华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案二
高等数学B(下)华南理工
高等数学B（下）华南理工简介《高等数学B（下）华南理工》是华南理工大学开设的高等数学B课程的下半部分。
本门课程主要讲授高等数学的进阶内容，包括多元函数微分学、多元函数积分学、曲线积分与曲面积分等。
本文档将对《高等数学B（下）华南理工》课程的相关内容进行介绍和概述。
目录1.多元函数微分学2.多元函数积分学3.曲线积分与曲面积分1. 多元函数微分学1.1 偏导数与全微分多元函数微分学是高等数学的重要内容之一，它主要研究多元函数的微分和导数。
在本章中，我们将学习偏导数与全微分的概念。
偏导数是多元函数在某一变量上求导的结果，它表示了函数沿着某一方向变化的速率。
全微分则是多元函数在某一点附近的线性近似。
1.2 隐函数与参数方程在本节中，我们将学习隐函数与参数方程的概念和性质。
隐函数是由一个或多个方程组构成的函数，而参数方程则是由参数表示的函数。
我们将探讨如何通过隐函数和参数方程来求解一些特定的问题，例如曲线的切线与法线方程。
1.3 多元函数的极值与条件极值本节将介绍多元函数的极值和条件极值的概念。
我们将学习如何通过求偏导数和利用拉格朗日乘数法来求解多元函数的极值和条件极值问题。
1.4 多元函数的积分在多元函数积分学中，我们将学习多重积分的概念和计算方法。
多重积分是对多元函数在一个区域上的积分，它可以理解为将一个二维或三维的区域切割成无穷小的小块，然后对每个小块进行积分求和。
2. 多元函数积分学2.1 曲线积分曲线积分是多元函数积分学的一个重要内容，它主要研究曲线上的积分问题。
在本章中，我们将学习曲线积分的定义、性质以及计算方法。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，它们对应不同的物理问题和计算方法。
2.2 曲面积分曲面积分是多元函数积分学中的另一个重要内容，它主要研究曲面上的积分问题。
在本节中，我们将学习曲面积分的定义、性质以及计算方法。
曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分，它们对应不同的曲面类型和积分方法。
华南理工大学数分(二)期末考卷
《数学分析（二）》试卷（A ）一、 写出以下定义1、函数f(x)在[a,b]上可积；（5分）2、函数序列f n (x)在(0,1)上内闭一致收敛于f(x)；（5分)二、求不定积分∫x 2+1x +1dx （5分）三、令I n =∫(sin x)n dx π0，求I n 与I n−2之间的递推公式。
（10分）四、 平面上的心脏线参数表达式为r (θ)=a (1+cos (θ))，(0≤θ≤2π)，求该曲线所谓区域面积。
（10分）五、 旋轮线的参数表达式由x (t )=r (t −sin (t ))，y (t )=r (1−cos (t ))，(0≤t ≤2π)给出，把该曲线绕x 轴旋转一周，求所得旋转体体积。
（10分）六、 对不同的值a ，判断反常积分∫ln(1+x)x +∞0dx 的收敛性（条件收敛、绝对收敛）。
（10分）七、 令S =∑k 2+12∞k=11、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、求幂级数∑n 2x n ∞k=1的收敛区域；（10分）3、求S 的值；（5分）八、周期函数f(x)={1，(x∈(2kπ,2kπ+π])−1，(x∈(2kπ−π,2kπ])1.求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2.求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3.判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。
（5分）《数学分析（二）》试卷（B）一、写出以下定义1、函数序列f n(x)一致收敛于函数f(x)；（5分）2、数列{a n}的上极限为A；（5分）二、求不定积分∫ln(x 2+1)xdx。
（10分）三、计算定积分∫x sin x1+(cos x)2dxπ。
（5分）四、求椭圆x 24+y2=1内部区域面积。
（10分）五、平面上的心脏线参数表达式为r(θ)=a(1+cos(θ))，(0≤θ≤2π)，ba该曲线在x轴以上的部分绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积（5分）六、对反常积分∫[ln(x)]8x a dx+∞1，1、在a取不同的值时判断它的收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、在a=2时计算该反常积分的值（5分）七、令S=1−12+13−14+⋯+(−1)n−11n+⋯=∑[∞n=1(−1)n−11n]，1、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、写出函数ln(1+x)及11+x在x=0处的幂级数展开，并判断收敛性；（10分）3、求S的值；（5分）八、定义在全部实数上的周期函数f(x)=x，x∈[2kπ−π,2kπ+π)，1、求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2、求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3、判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。
试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
华南理工大学高等数学统考试卷下自测wjf2
《微积分（下）》自测试卷2（时间120分钟，总分100）学院（系） 专业班姓 名： 成绩报告表序号：一、填空题1．[3分] 已知级数1(2)n n u ∞=-∑收敛，则()sin limn n nu u π→∞= 2．[3分]幂级数)11n n n x ∞=+的收敛域为 3．[3分]若(),ln f x y =()1,1df =4．[3分] 二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点为5．[3分]二重积分(),D f x y dxdy ⎰⎰在极坐标下的二次积分为()2sin 00cos ,sin d f r r dr πθθθθ⎰⎰，则积分区域D 在直角坐标系中可表示为6、[3分]若()f x 满足方程()()02x f t dt f x =-⎰，则()f x = 二、计算1、[4分]设2y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求,z z x y ∂∂∂∂2、[6分]设()2x yxy z x y f t dt +=+⎰，其中()f t 可导，求2,z dz x y∂∂∂ 3、[7分]求函数()()22,2x f x y e x y y =++的极值 4、[7分] 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，D 为22(2)1x y -+≤ 5、[6分] 求幂级数21(2)1nn x n ∞=+∑的收敛半径及收敛域6、[7分]设()()1111n n n x x u x x n n +=--≤≤+，求()1n n u x ∞=∑的和函数7、[6分] 将函数()f x =展开为x 的幂级数，并求出其收敛域8、[6分]求微分方程30y y x y '-=-的通解 9、[7分]利用代换cos u y x =将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简，并求出原方程的通解10、[8分]设()f t 函数在[0,)+∞上连续，且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰，求()f x 三、证明题 1、[5分] 设函数y x z x y =，求证：()ln z z x y x y z z x y∂∂+=++∂∂ 2、[6分] 求证：原点到曲面()221x y z --=上的点的最短距离为23、[7分] 设()01,2,n a n >= 单调，且级数11n n a ∞=∑收敛，证明：级数112n n n a a a ∞=+++∑ 收敛参考答案及提示 一、()()223110;[,);;1,0;2;2223x dx dy x y y e ++≤ 二、2221,y x x f f x y xy y ⎛⎫⎛⎫'-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22212,x x f f x y y y ⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()()()()()()22,2xy f x y yf xy dx x f x y xf xy dy x f x y f xy xyf xy ''⎡⎤++-+++-++--⎡⎤⎣⎦⎣⎦；极小值为()()13111,1;;,,;11;228222e f S x x x -⎛⎫⎡⎤-=-=-≤≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 12cos 24,2sin cos 5cos xxx e u u e y c c x x x ''+==++ ()()()()()2222442402,88,412tt t t r f t e f rdr f t te tf t f t t e πππππππ⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰三、1、2略，3、提示：122222,n n n n n a a a na a ≤=+++ ，1221212(1)2,(1)n n nn n a a a n a a +++≤=++++ 由12n n a ∞=∑收敛知112n n n a a a ∞=+++∑ 收敛。
华南理工大学期末考试试题
六．（ 本题 ８分 ） （ 在 ［ ，］上可 导 ， 厂 ｏ 厂 ） ０ １ 且 （）＝ ２
ｄ． 试证 ： 在 ∈ （ ，）使 存 ｏ１，
（ ＋ ／（ 一２ （） ０ １ ） ） 一 ．
七（ ８Ｊ明程 南 ｄ 在 ，内且有个根 ． 题分证方 ￡ （）有仅一实． 本 一 ０ １
３计 积 Ｊ 如． ． 算 分１ ｒ ｚ
４ 算分 南 ・ 积Ｊ 计 ・
四（ ８） 常口的， 数（＝ ） 三 ＝处续可． ． 题分 定数，值 函， ｛ ， 在 Ｏ连且导 本 确 ６ 使 ： 三 ｘ ）
五．（ 本题 ８分 ）已知 ， ）的一个 原 函数是 ｅ ， （ ’ 求 （ ｄ． ）
高 等数 学研 究
６ ４
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ） ＥＳ Ｉ Ｃ【ＬＬＥ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ１ １ｌ， ． Ｎｏ． ６ ＮＯｖ ２ Ｏ８ ．． Ｏ
华南 理 工大 学期 末 考试 试题
一
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填 空题 （ ５小题 ， 共 每小题 ３分 ， １ 共 ５分 ）
．
１ ．设 Ｙ— ａｃａ ／ ＋ ， ｄ ｌ 。 ｒｔｎ￣ｌ 则 一 ：
２ ｉ １＋ ｓｎ 詈一 ．１ ｍ（ ｉｘ）
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３ ．已知 △Ａ Ｃ 的三个顶 点 的坐标 为 Ａ（ ， ．） Ｂ（ 。 ，） Ｃ Ｏ １ １ ， ／Ｂ Ｂ １ ０ １ ， ２ １ Ｏ 。 （ ， ，） 则 ＡＣ：
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４ 曲 一÷ ！ ｌ （≤ ． 线Ｙ 一＋ｎ １ ≤ｅ的 等 ． ７ ３ ） 弧长 于
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二．选择题 （ ５小题 。 共 每小 题 ３分 ， １ 共 ５分
１ 设 厂 一 ｇ ３ ，（ 一 。 （ ．２‘ ， ］ ． ａ Ｚ （ ） （ ）＾ ） ：则 厂 ｌ ） 等于（ ７ ［（ １７
2019年华南理工大学高数下答案.doc
对弧长的曲线积分22，其中曲线C 是y2ax x 2在 0x2a 的一段弧a0、计算x y ds。
1C解： C 的参数方程为x2a cos2y2a cos sin202 2a cos222 4a2 cos4a2原式2a sin 22a cos2d442、计算x 3y3ds ，其中 L 星形线x a cos3 t, y a sin3 t 在第一象限的弧L0t。
24cos4 t sin4 t 7sin6 t cos6 t27解：原式 2 a33a cost sin tdt3a 3a3 063、计算xyzds，其中为折线 ABC ，这里 A , B , C 依次为点0,0,0 , 1,2,3 , 1,4,3 。
x t x1解： AB 段参数方程y2t0t 1， BC 段参数方程y22t0t 1z3t z3xyzds xyzds 1614t 3dt112t dt原式012AB BC311314t 412t6t214182024、计算x2y2 ds ，其中为螺旋线x t cost , y t sin t , z t 上相应于t从 0 到1的弧。
解：方法一1221原式t2sin t t cost t 2 2 t 2 dtcost t sin t1dt001122121 t 2 t 2 t dt t 2 t 2 t2 2020121t222 t 2 dt2 t2t 233 1 2 2 t 2dt1 2 t 2dt2t3 3113 31 11原式2 t2 dt2ln t2 t2 4242 t 2 t231ln 1 2 32 2方法二、原式1 2 cost 2sin t t cost21 2 2 t 2dttt sin t 1dtt11t2 2 t 211 122t dtu 2 u du2 021u 211 120 2duu1112u1 1du11u 12u 112121 21u 11du21 01du2u 111 121213 u 1du ln u 1u 1 112 02 03 1 1u 21du1ln 2312 02原式 31232ln4方法三、1221原式t2sin t1dtt 2 2 t 2dtcost t sin tt cost因为t 32 t 23 t 2 2 t 2 t4 4 2t 2 2t 2t 2 2 t 2 1 t 244 2 t 22 2 t 2 t 2 t 2t 2 t 22 t 22t 2 t 22 t 2222ln t2 t 2t1 t2 1 2 t1 t 22t 22所以t 3 2 t 21 21ln t2 t 2t2 2 t24t 2 t24t 31t 2 t 21ln t13 1ln 11ln 2原式2 t 22 t 2344 22 225、计算x2y 2 ds ，其中 L : x 2 y 2 ax aL解： x 2y 2 axra cos ，曲线 L 的参数方程为x a cos 2 cos 22y a sin原式2a cosa 2 sin 2 2a 2 cos 2 2 d2a 2 2 cos d2a 226ey 2ds ,xy a，直线y x , y 0在第一象限内所围成的、计算x 2其中 L 为圆周2 2 2L扇形的边界。
高数下期末考试试题及答案解析
WORD 格式整理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110 分钟； 3 、姓名、学号必须写在指定地方题号一二三四总分得分阅卷人得分一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）将每题的正确答案的代号A、 B、 C或 D 填入下表中．号12345678答案1．已知 a 与b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（）.(A)a b 0(B)a b0(C) a b0(D)a b02. 极限lim( x2y2 )sin12().x0x2yy0(A) 0(B) 1(C) 2(D)不存在3．下列函数中，df f 的是().（ A）f (x, y)xy（ B）f (x, y)x y c0 ,c0为实数（ C）f (x, y)x2y2（ D）f (x, y)e x y4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f ( x, y) 的().（ A）驻点与极值点（ B）驻点，非极值点（ C）极值点，非驻点（ D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域D : (x1)2( y 1)22，若I1x y d， I 2x yd ，D4D4I 33x y，则有（） .dD4（A）I1I 2I 3（B）I1I 2I 3（C）I2I1I 3（D）I3I1I 26．设椭圆L：x2y 21的周长为l，则(3x2 4 y2 )ds（） .43L(A)l(B)3l(C)4l(D)12l7．设级数a n为交错级数，a n0 (n) ，则（）.n 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C) 该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（）.（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散n 1n 1（ B）若级数a n2发散，则级数a n也发散n 1n 1（ C）若级数a n2收敛，则级数a n也收敛n 1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛n 1n 1阅卷人得分二、填空题 (7 个小题，每小题2分，共 14分)．3x 4 y2z60a 为.1. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数x02．设f ( x, y)ln( xy), 则f y(1,0)___________.x3．函数f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.4．设D : x2y22x ，二重积分( x y)d=.D5．设f x是连续函数，{( x, y ,z) | 0z9x2y2 } ， f ( x2y2 )dv 在的三次积分为.6. 幂级数( 1)n 1x n的收敛域是.n!n 17. 将函数 f ( x)1,x01x2,0 x以 2为周期延拓后，其傅里叶级数在点于.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设 u xf ( x,x) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求u ，u．y x y解：4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z0 所围成的空间闭区域，求 I解：2．求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．解：5．求幂级数nx n 1的和函数 S(x) ，并求级数nn的和．n 1n 12解：3. 交换积分次序，并计算二次积分dxxsin y dy．0y解：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS ，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：2．计算积分( x2y2 )ds ，其中L为圆周 x2y2ax (a0 )．L解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx，S其中为圆锥面 z2x2y2介于平面z0 及 z 1 之间的部分的下侧.解：3．利用格林公式，计算曲线积分I(x2y2)dx (x 2xy)dy ，其中 L 是由抛物线y x2和Lx y2所围成的区域D的正向边界曲线．y y x2x y22017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号12345678答案D A B B A D C D1．已知a 与b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（D）(A) a b0 ；(B)a b 0 ；(C) a b0 ；(D)a b0 ．2. 极限lim( x2y2 )sin212( A )x0x yy0(A) 0；(B) 1；(C) 2；(D)不存在 . 3．下列函数中，df f 的是( B )；（ A） f ( x, y)xy ；（ B）f ( x, y)x y c0 , c0为实数；（ C） f (x, y)x2y2；（ D）f (x, y)e x y .4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f ( x, y) 的( B).（A）驻点与极值点；（B）驻点，非极值点；（C）极值点，非驻点；（ D）非驻点，非极值点 .5 ．设平面区域 D：( x 1)2( y 1)22，若I1x yd ，I2x y dD4D4WORD 格式整理3xyd，则有（ A）I 34D（A）I1I 2I3；（B） I1I 2I 3；（C）I2I1I3；（D）I36．设椭圆L：x2y 21的周长为l，则(3x24y2 )ds（ D）43L(A) l；(B)3l；(C)4l ；(D)127．设级数a n为交错级数， a n0 (n) ，则（C）n 1(A) 该级数收敛；(B)该级数发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D)该级数绝对收敛．8. 下列四个命题中，正确的命题是（D）（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散；n1n 1（ B）若级数n1a n2发散，则级数n 1a n也发散；（ C）若级数a n2收敛，则级数a n也收敛；n1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛．n1n1二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共14 分)．3x 4 y2z60a 为31. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数。
高等数学-微积分下-习题册答案-华南理工大学 (6)
《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩ 及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ A ）A ．平行于平面π；B ．在平面π上；C ．垂直于平面π；D ．与平面π斜交.2．二元函数22,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ C ）A ．连续、偏导数存在；B ．连续、偏导数不存在；C ．不连续、偏导数存在；D ．不连续、偏导数不存在.3．设()f x 为连续函数，1()d ()d ttyF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '＝（ B ）A ．2(2)f ；B ．(2)f ；C ．(2)f -D ．0.4．设∑是平面132=++z yx 由0≥x ，0≥y ，0≥z 所确定的三角形区域，则曲面积分(326)d x y z S ∑++⎰⎰＝（ D ）A ．7；B ．221； C ．14； D ．21. 5．微分方程e 1x y y ''-=+的一个特解应具有形式（ B ）A ．e x a b +；B ．e x ax b +；C ．e x a bx +；D ．e x ax bx +.二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为2230x y z +-=； 2．设arctan1x yz xy-=+，则d |z ＝24dx dy-； 3．设L 为122=+y x 正向一周，则2e d x Ly =⎰ 0 ；4．设圆柱面322=+y x ，与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交，且它们的交角为π6，则正数=0Z 32； 5．设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解21,y y ，若12y y αβ+也是该方程的解，则应有=+βα 1 .三、（本题7分）设由方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了u ，v 是x ，y 的函数，求x u ∂∂及x v ∂∂与yv∂∂. 解：方程两边取全微分，则e cos e sin e sin e cos u uu udx vdu vdvdy vdu vdv⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ 解出2222cos e sin ,,e sin e cos u uu u xdx ydy du e vdx vdy x y du dv xdy ydx dv vdx vdy x y ----+⎧=+=⎪+⎪⎨-⎪=-+=⎪+⎩从而222222,,u x v y v x x x y x x y y x y∂∂-∂===∂+∂+∂+ 四、（本题7分）已知点)1,1,1(A 及点)1,2,3(-B ，求函数()3ln 32u xy z =-在点A 处沿AB 方向的方向导数.解：{}2122,1,2,,,333AB AB ⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭2333336,,323232y x z gradu xy z xy z xy z ⎧⎫-=⎨⎬---⎩⎭，{}3,3,6A gradu =- 从而{}212,,3,3,62147333u AB ∂⎧⎫=-⋅-=++=⎨⎬∂⎩⎭五、（本题8分）计算累次积分24112211d e d d e d x xyy x x y x y y y+⎰⎰⎰）.解：依据上下限知，即分区域为1212,:12,1:24,2xD D D D x y D x y =⋃≤≤≤≤≤≤≤≤ 作图可知，该区域也可以表示为2:12,2D y y x y ≤≤≤≤从而()2242222112112111d e d d e d d e d e e d xxxy y y y yx y x y x y y x y y y y +==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2222211e e2e e e e yy e =-=---=六、（本题8分）计算d d d I z x y z Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面1,0==z z 围成的区域.解：先二后一比较方便，111220122zD z I zdz dxdy z dz πππ⋅==⋅⋅==⎰⎰⎰⎰七．（本题8分）计算32()d x y z S ++∑⎰⎰，其中∑是抛物面222y x z +=被平面2=z 所截下的有限部分.解：由对称性322d 0,d d x S y S x S ==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而223222()d ()d ()d 2x y x y z S z S x y S +++=+=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰222220(2D x y d rr πθπ=+==⎰⎰⎰⎰⎰(40411315t ππ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰八、（本题8分）计算22222(4cos )d cos d L x x x x x x y y y y y+-⎰，L 是点ππ(,)22A 到点(π,2π)B 在上半平面)0(>y 上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面)0(>y 上2223222322cos cos sin Q x x x x x x x x y y y y y y ⎛⎫∂∂=-=-+ ⎪∂∂⎝⎭223223222(4cos )0cos sin P x x x x x x Qx y y y y y y y y x∂∂∂=+=-+=∂∂∂且连续， 从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关，取π(π,)2C22222222424415(4cos )d cos d 12L AC CB x x x x y y y πππππππππ=+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 九、（本题8分）计算222()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y +++++∑⎰⎰，其中∑为半球面221y x z --=上侧.解：补1:0z ∑=取下侧，则构成封闭曲面的外侧11222()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y ∑+∑∑+++++=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰()122223211133132D D x y dv x dxdy dv x dxdy dxdy πΩ∑Ω+=++-=+=⋅⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2113400011922244d r dr r πππθππ=+=+⋅=⎰⎰ 十、（本题8分）设二阶连续可导函数)(x f y =，t s x =适合042222=∂∂+∂∂syt y ，求)(x f y =．解：21,y s y f f t t s t∂-∂''=⋅=⋅∂∂222223222211,y s s s y f f f f f t t t t t s s t t ∂∂--∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''''==+⋅== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由已知222223222440,0,y y s s f f f t s t t t∂∂-⎛⎫'''''+=⇒+⋅+= ⎪∂∂⎝⎭即()()()()()()()2221420,40,4x f x xf x x f x x f x c '⎡⎤'''''++=+=+=⎣⎦()()1122,arctan 422c c xf x f x c x '==++ 十一、（本题4分）求方程的x y y 2cos 4=+''通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为21,240,2r r i +==±非齐次项()cos2,f x x =，与标准式()()()cos sin x m l f x e P x x P x x αββ=+⎡⎤⎣⎦ 比较得{}max ,0,2n m l i λ===,对比特征根，推得1k =，从而特解形式可设为()()*12cos sin cos 2sin 2,k xn n y x Q x x Q x x e ax x bx x αββ=+=+⎡⎤⎣⎦**(2)cos2(2)sin 2,(44)sin 2(44)cos2y a bx x b ax x y a bx x b ax x '''=++-=--+-代入方程得14sin 24cos 2cos 2,0,4a xb x x a b -+=⇒==121cos 2sin 2sin 24y c x c x x x =+++十二、（本题4分）在球面2222a z y x =++的第一卦限上求一点M ，使以M 为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.解：设点M 的坐标为(),,x y z ，则问题即8V xyz =在22220x y z a ++-=求最小值。
华南理工大学高等数学统考试卷下2014试卷A及参考解答 打印版
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试2014-2015学年第二学期《微积分（下）》试卷（A 卷）注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；本试卷共十二大题，满分100分，考试时间120分钟。
4分，共20分）1. 设y xy z )1(+=, 则=∂∂xz12)1(-+y xy y .2. 函数22ln y x z +=在点)1,1(处的全微分=z d y x d 21d 21+. 3. 球面6222=++z y x 在点)1,2,1(处的切平面方程为062=-++z y x . 4. 设曲线1:22=+y x L , 则曲线积分=+⎰Ls y x d )(2π2.5. 函数)cos(e yz u x =在原点)0,0,0(处的梯度为)0,0,1(.二、（本题8分）设方程组⎩⎨⎧=-=uv y u v x 222确定了隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u , 求x u ∂∂与x v∂∂.解. ⎩⎨⎧+=⋅-⋅=x x x x vu uv u u v v 0222或者⎩⎨⎧=+=⋅-⋅01x x x x vu uv u u v v , 22v u u u x +-=, 22v u vv x +=.三、（本题8分）设),(y x y x f z -+=, ),(v u f 有二阶连续偏导数, 求x z∂∂与y x z ∂∂∂2.21f f z x '+'=221122211211f f f f f f z xy ''-''=''-''+''-''= 四、（本题8分）计算二重积分⎰⎰=Dx y I σd 22, 其中D 是由直线2=y , x y =及双曲线1=xy 围成的闭区域.49d d 12221==⎰⎰yyx x y y I五、（本题8分）计算曲线积分⎰+++=Ly x x x x y I d )(sin d )1cos (, 其中L 为由点)0,(a A 至点)0,(a B -的上半圆弧22x a y -=(0>a ).a a yx x x x y y x I BAD221d )(sin d )1cos (d d 2-=+++-=⎰⎰⎰π其中D 是半圆域222a y x ≤+, 0≥y .六、（本题8分）计算曲面积分⎰⎰∑=S z I d , 其中∑为圆锥面22y x z +=位于圆柱体x y x 222≤+内部分.2932d d 2d d 22cos 02222=⋅=⋅+=⎰⎰⎰⎰-θππθr r r yx y x I D其中D 是圆域x y x 222≤+.七、（本题8分）计算曲面积分⎰⎰∑++=y x z x z y z y x I d d d d d d 333, 其中曲面∑是由上半球面222y x z --=与圆锥面22y x z +=围成的闭曲面的外侧.)12(524d d sin d 3d )(32224020222-=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπϕϕθππr r r vz y x I其中Ω为已知两曲面围成的闭区域. 八、（本题7分）求微分方程y y x y ln tan ='通解.x xxy y y d sin cos d ln 1= C x y ln sin ln ln ln += x C y sin e =九、（本题7分）求微分方程x y y cos =+''的通解. 对应齐次方程的通解为x C x C Y sin cos 21+= 原方程的一个特解为x x y sin 21*=原方程的通解为x x x C x C y sin 21sin cos 21++=十、（非化工类做）（本题6分）判断级数∑∞=1!2sin n nn 的收敛性.!2!2sin n n nn ≤且10!2)!1(2lim1<=++→∞n n n n n ⇒级数∑∞=1!2n nn 收敛, 所以级数∑∞=1!2sin n n n 收敛.十一、（非化工类做）（本题6分）把函数x x x f arctan )(=展开为x 的幂级数, 并指出成立的区间.∑∑⎰⎰∞=+∞=+-=-=+=022020212)1(d )(d 11)(n n n n x n x x n x x x xx x x f其中11≤≤-x .十二、（非化工类做）（本题6分）设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛, n n n b c a ≤≤(*N ∈n ), 证明级数∑∞=1n n c 也收敛.⇒⎪⎭⎪⎬⎫-≤-≤∑∑∞=∞=收敛11,0n n n n n n n n b a a b a c ∑∞=-1)(n n na c收敛⇒∑∞=1n n c 收敛.十、（化工类做）（本题6分）求函数333y x axy z --=(0>a )的极值.由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322y ax z x ay z y x 得驻点),(),0,0(a a 在点)0,0(处0922<-=-a B AC , 从而在)0,0(处不取极值；在点),(a a 处02722>=-a B AC , 06<-=a A , 从而在点),(a a 处取极大值3a .十一、（化工类做）（本题6分）求微分方程0)d (cos d )3(sin 32=+++y x y x y x x 的通解.0d cos )d d (d sin 33=+++y y y x x y x x所求通解为.sin cos 3C y y x x =++-十二、（化工类做）（本题6分）证明曲面0),(=--cz ay bz ax F 上任一点处的切平面都平行于同一向量, 其中c b a ,,为非零常数.所给曲面在任一点处的法向量为),,(2121F c F b F a F a n '-'-''=它始终平行于向量),,(a c b .。
华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案二
《高等数学》（下册）测试题二一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母） 1．设()y z x y f x =⋅⋅，且()f u 可导，则z z xy x y∂∂+∂∂为（ D ） A ．2xy ；； B ．2()x y z +； C ．2()x y +； D ．2z ．2．从点(2,1,1)P --到一个平面引垂线，垂足为点(0,2,5)M ，则这个平面的方 程是（ B ）A ．236360x y z +-+=；B ．236360x y z --+=；C ．236360x y z ---=；D ．236360x y z -++=． 3．微分方程(1)1x y ''-=的通解是（ D ）A ．21(1)ln |1|y x x C =--+； B ．12ln |1|y x C x C =-++； C ．212ln |1|y x x C x C =-++； D ．12(1)ln |1|y x x C x C =--++．4．设平面曲线L为下半圆周y =22()d Lx y s +⎰等于（ A ）A ．π；B ．2π；C ．3π；D ．4π．5．累次积分24112211d e d d e d x xyy x x y x y y y+⎰⎰⎰＝（ A ）A ．e ；B ．2e ；C ．3e ；D ．4e ．二．填空题（每小题5分，本大题共15分）1．曲面333xyz z a -=在点(0,,)a a -处的切平面方程是0x z a ++=；.2．微分方程232e xy y y x -'''--=的待定特解形式是()*xy x ax b e -=+；3．设∑是球面2222xy z a ++=的外测，则曲面积分32222d d d d d d ()x y z y z x z x y x y z ∑++++⎰⎰＝4π．三、 一条直线在平面∏：20x y +=上，且与另两条直线L 1：1141x y z -==-及L2：412201x y z ---==（即L 2：42(2)10x z y -=-⎧⎨-=⎩）都相交，求该直线方程．（本题7分） 解：先求两已知直线与平面的交点，由,120,141x y z x y t -+====- ()1,4,1,50,0,0, 1.0,0,1x t y t z t t t x y z M ⇒===-=====由41220,,201x y z x y t ---+==== ()242,1,2,4220,3,2, 1.2,1,1x t y z t t t x z M ⇒=+==+++==-=-=---由两点式方程得该直线：122x z y -==-- 四、求函数2223u x y z z =++-在点(1,1,2)0M -处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分） 解：{}{}02,2,232,2,1,M gradu x y z gradu =-=-沿梯度方向上函数的方向导数03M gradu==五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分） 解：设底圆半径为r ，高为h ，则由题意，要求的是222S r rh ππ=+在条件21r h π=下的最小值。
华南理工大学高等数学作业
华南理工大学网络教育学院2016–2017学年度第二学期《高等数学B(上)》作业1. 若0x 是()f x 的极小值点，则0x 不一定是 （是/不一定是）()f x 的驻点；若0x 是()f x 的驻点，则0x 不一定是 （是/不一定是）()f x 的极值点。
2. 求函数13/2y x =- 解：要求23/2040x x -≠⎧⎨-≥⎩，3/2-22x x ≠⎧⇒⎨≤≤⎩， 即函数的定义域为[2,3/2)(3/2,2]-⋃3. 求2231lim 62n n n →∞++。
解：原式=124. 设5cos(34)y x =+，求y '。
解：-15sin(34)y x '=+5. 设2e x y x =，求dy 。
解：()()2222(2)x x x x dy x e dx xe x e dx x x e dx '==+=+6. 求极限01lim tan 2x x e x→-。
解：原式=0-1lim 2x x e x→ 01=lim =22x x e →7. 设ln ln 0xy x y ++=确定隐函数()y y x =，求dy dx。
解：方程两边同时关于x 求导，得：110''+++=y xy y x y即 11⎛⎫⎛⎫'+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y y y x 解得 11+=-=-+y dy y x dx x x y8. 求函数x y xe =的极值。
解：连续区间为(,)-∞+∞。
1+=0令（）x y x e '=，得驻点1x =- 当1x >-时，0令y '>；当1x <-时，0令y '<所以1x =-为极小值点，极小值为1(1)y e --=-。
9. 求25x e dx +⎰。
解：原式=251(25)2x e d x ++⎰ =2512x e C ++10. 求()20sin x t tdt '⎰。
(完整版)华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三
《高等数学》（下册）测试题三一、填空题1．若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a =5-． 2．设1()e d x yxf x y =⎰，则1()f x dx =⎰12e -． 3．设S 是立方体1,,0≤≤z y x 的边界外侧，则曲面积分567d d d d d d sx y z y z x z x y ++=⎰⎰Ò 3 ． 4．设幂级数nnn a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为()2,4-．5．微分方程2434exy y y x -'''+-=用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为()24e x y x ax bx c -=++．二、选择题1．函数22222222sin 2(),0,(,)0,2,x y x y f x y x yx y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩在点(0,0)处（ D ）．（A ）无定义； （B ）无极限；（C ）有极限但不连续； （D ）连续． 2．设sec(1)z xy =-，则zx∂=∂（ B ）． （A ）sec(1)tan(1)xy xy --； （B ）sec(1)tan(1)y xy xy --； （C ）2tan (1)y xy -； （D ）2tan (1)y xy --．3．两个圆柱体222x y R +≤，222x z R +≤公共部分的体积V 为（ B ）．（A）02d Rx y ⎰； （B）08d Rx y ⎰；（C）d RRx y -⎰； （D）4d R Rx y -⎰．4．若0n a ≥，1nn kk S a==∑，则数列{}n S 有界是级数收敛的（ A ）．（A ）充分必要条件； （B ）充分条件，但非必要条件； （C ）必要条件，但非充分条件； （D ）既非充分条件，又非必要条件．5．函数sin y C x =-（C 为任意常数）是微分方程22d sin d yx x=的（ C ）．（A ）通解； （B ）特解； （C ）是解，但既非通解也非特解； （D ）不是解． 三、求曲面e e4x y zz+=上点0(ln 2,ln 2,1)M 处的切平面和法线方程．解：{}{}022M 11e ,e ,e e 2,2,4ln 2//1,1,2ln 2xy x y z z z zx y n z z z z ⎧⎫=--=--⎨⎬⎩⎭r 切平面为()ln 2ln 22ln 212ln 20x y z x y z -+---=+-= 法线为1ln 2ln 22ln 2z x y --=-=-四、求通过直线 0:20x y L x y z +=⎧⎨-+-=⎩的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线1:L x y z ==．解：设过直线L 的平面束为()20,x y z x y λ-+-++= 即()(){}1120,1,1,1x y z n λλλλ+--+-==+-r第一个平面平行于直线1:L x y z ==，即有{}{}111,1,11,1,1210,2n s λλλλ⋅=+-⋅=+==-r r从而第一个平面为{}1111120,324,1,3,223x y z x y z n ⎛⎫⎛⎫--++-=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r 第二个平面要与第一个平面垂直，也即{}{}11,3,21,1,11332260,3n n λλλλλλ⋅=-⋅+-=+-++=-+==r r从而第二个平面为4220x y z ++-=五、求微分方程430y y y '''-+=的解，使得该解所表示的曲线在点(0,2)处与直线2240x y -+=相切．解：直线2240x y -+=为2,1y x k =+=，从而有定解条件()()01,02y y '==， 特征方程为()()212430,310,3,1r r r r r r -+=--===方程通解为312xx y c ec e =+，由定解的初值条件122c c +=3123x x y c e c e '=+，由定解的初值条件1231c c +=从而1215,22c c =-=，特解为31522x x y e e =-+ 六、设函数()f u 有二阶连续导数，而函数(e sin )xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂ 试求出函数()f u ．解：因为()()()()222sin ,sin sin xx x z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )xx x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂ ()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,uur r r f u c e c e --===-=+ 七、计算曲面积分222(cos cos cos )dS xy yx z αβγ∑++⎰⎰Ò， 其中∑是球体2222x y z z ++≤与锥体z ≥Ω的表面，cos α，cos β，cos γ是其外法线方向的方向余弦．解：两表面的交线为222222122122,0,1,1x y z z x y z z z z z z ⎧++=⎧+=⎪⇒===⇒⎨⎨==⎩⎪⎩原式()222xy z dv Ω=++⎰⎰⎰，投影域为22:1D x y +≤，用柱坐标:02,01,1r r z θπΩ≤≤≤≤≤≤原式)()2111122222rrd rdr rz dz r r z zπθπ=+=+⎰⎰⎰()(12220211r r r r dr π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰()()()113134220013122t t dt r r r dr ππ⎡⎤=--+-+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()11532452200221113125345t t r r r ππ⎡⎤⎛⎫=--⋅-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21181127022154551010πππππ⎡⎤⎛⎫=--+--=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭另解：用球坐标:02,0,02cos 4πθπϕρϕΩ≤≤≤≤≤≤原式()2cos 24222000sin 2cos sin d d d πϕπθϕρϕρϕρϕρ=+⎰⎰⎰()2cos 443302sin 2cos sin d d πϕπϕρϕρϕϕρ=+⎰⎰()545735022cos cos 2cos cos 5d ππϕϕϕϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎰1684579494216555658t t t t dt ππ⎛⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪⎭⎝6831161010t t π⎛=- ⎝2710π=八、试将函数2()e d xt f x t -=⎰展成x 的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）． 解：()220n=01()e d d n!n xxt n f x t t t ∞-⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭∑⎰⎰()()()21n=01,,!21nn x x n n ∞+-=∈-∞+∞+∑九、判断级数)0,0(1>>∑∞=βαβαn nn 的敛散性．解：()11lim lim 1n n n n n nu n u n ααβρββ++→∞→∞==⋅=+ 当01,1βρ<<<，级数收敛；当1,1βρ>>，级数发散； 当1,1βα=>时级数收敛；当1,01βα=<≤时级数发散十、计算曲线积分222(1e )d (e 1)d y y Lx x x y ++-⎰，其中L 为22(2)4x y -+=在第一象限内逆时针方向的半圆弧．解：再取1:0,:04L y x =→，围成半圆的正向边界 则 原式11222(1e )d (e 1)d y y L L L x x x y +=-++-⎰⎰()44200101122D dxdy x dx x x ⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰十一、求曲面S ：222124x z y ++=到平面π：2250x y z +++=的最短距离．解：问题即求d =在约束222124x z y ++=下的最小值 可先求()()22,,9225f x y z d x y z ==+++在约束222124x z y ++=下的最小值点 取()()2222,,225124x z L x y z x y z y λ⎛⎫=++++++- ⎪⎝⎭()()42250,422520,x y L x y z x L x y z y λλ=++++==++++=()22222250,1224z z x z L x y z y λ=++++=++=0λ≠时212,41,,12x y z y y x z ====±==±，211521151111,,13,1,,123233d d +++---+⎛⎫⎛⎫==---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这也说明了0λ=是不可能的，因为平面与曲面最小距离为13。
(整理)华工-2011高数下期末试卷.
华工2010-2011高数下期末试卷一、填空题1、函数z=4x2+9y2在点（2，1）的梯度为gradz= ；2、函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值点是；3、假设L为圆x2+y2=a2的右半部分，则∫； 4、设A=e x siny i+(2xy2+z)j+xzy2k，L ds=则divA｜(1,0,1)= ；5、设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是方程（x2-2x）y‘‘(x2-2)y’+(2x-2)y=6x-6的解，则方程的通解为。
二、计算三重积分（），其中Ω是由x2+y2+z2=1所围成的闭球体。
三、证明：f(x，y)=︱︱在点（0，0）处连续，f x(0,0)与f y(0,0)存在，但在（0,0）处不可微。
四、设函数u（x，y）有连续偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式x=rcosθ，y=rsinθ，将x- y变换为r，θ下的表达式。
，其中L为：五、计算²²（1）圆周（x-1）²+(y-1)²=1(按反时针方向)；（2）闭曲线︱x︱+︱y︱=1（按反时针方向）。
六、计算，∑是平面x+y+z=4被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分。
七、计算曲面面积分I=，其中∑为上半球面z=²²的上侧。
八、求微分方程+ = 的通解。
九、求微分方程2y‘’+y‘-y=2e x的通解。
十、（非化工类做）求幂级数()121141-∞=-∑⋅-nnnnxn的收敛域。
十一、（非化工类做）将函数f(x)=展开成麦克劳林级数，并确²定其成立区间。
十二、（非化工类做）设函数f(x)是以2为周期的周期函数，它在-上的表达式为f(x)=，将其展成傅里叶级数，并确定其成立范围。
十（化工类做）求微分方程（3x2+6xy2）dx+（6x2y+4y3）dy=0的通解。
十一（化工类做）计算，其中L为直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界。
华南理工大学期末考试“数学分析(二)”试卷
，
供 则 f (x) 在任何区间[a,b]上
，但 f ( x) 在区间[a, b]上
3、曲线 x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π ) 绕 x 轴旋转的体积
4、设 x = a 是 f ( x) 的在[a, b]上的唯一奇点，且 lim( x − a) p f ( x) = k x→a
{ } λ(∆)
=
max
i =1,2,L,n
∆xi
< δ 时，对应于幅度 ωi' ≥ ε 的那些区间 ∆xi' 的长度之和
供 ∑ ∆xi′ < σ 。 i′ D． f ( x) 为连续函数
学号
3、极限
lim ⎜⎛ m→∞⎝
1 m+
1
+
1 m+
2
+
L+
1 2m
⎟⎞ ⎠
=
。
A．1
B. 0
C. + ∞
D. ln 2
n=1
n=1
供 x ≠ kπ , k = 0, ± 1, ± 2, L时是否为条件收敛？
《 数学分析（二） 》试卷 A 第 3 页 共 3 页
5、设
f
(x)
为周期为 T
的函数，且在
⎢⎣⎡−
T 2
,
T 2
⎤ ⎥⎦
上可积和绝对可积，则
其中正确的是
∑ f ( x) =
a0 2
∞
+ (ak cos kωx + bk sin kωx),
k =1
ω
=
2π T
。
∫ ∫ A． ak
华东理工大学高等数学(下) 期末考试卷
高等数学（下）期末考试卷 (华东理工)222222{0,0,6},{2,2,1}_______;225(0),________;4)___a La b xyz yz zx xy L x y R y yds x y z y y z==-==⎧⎨++=⎩+=≥=⎧++=⎨=⎩⎰b 00一、试解下列各题（每题4分，共16分）1、向量在向量上的投影Prj 、曲线在(2,1,1)点的切线方程是____________;3、(1)设是上半圆周则(2过曲线母线平行于轴的柱面方程是0000(4)_______;41(,,)(,,),:__________;)(,)(,),:0_________;(3)4'''3''0__________;L L x x x y z u x y z L y y I D x y u x y D L Ax By C I y y y y =⎧ΩΩ⎨=⎩++=-+==0、（）立体上点处的密度为则对直线的转动惯量用三重积分可表示为(2平板上点处的密度为则对于直线的转动惯量用二中积分表示为微分方程的通解为33001002(1)8(1)(1)81218(2,3,2)101(2){1)}6241(,)ln(1)0n nnn yx x x y x n x y z M x dx e dy n y z z x y x ze z ∞=--++--==-=--+=∑⎰⎰0二、（分）求幂级数的收敛域（包括收敛的端点）。
三、（分）求点到直线的距离。
四、（1）计算二次积分求数列的极限。
五、试解下列各题（每题分，共分）、设函数由方程所确定，试求此函数112222232sin()()sin ,(0,0)(1,0)1(0,0,1)(0,0,2),2n n n Ldz a x x y dx x y x dy L y x x MAM A B M MB ∞∞==+--=--=∑⎰00的全微分。
华南理工大学高等数学统考试卷下1994
1994高等数学下册统考试卷及解答一、在下列各题的横线上填上最合适的答案（12分）1．与三点)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -决定的平面垂直的单位向量=︒a2．设1:22=+y x L 正向一周，则⎰=Lx dy e 2答：2,0x e Q P ==22x xe yPx Q =∂∂-∂∂ 3．级数∑∞=12)!()!2(n n x n n 的收敛半径=R 41二、计算下列各题（本大题分4小题，共21分）1．计算二次积分⎰⎰πθ022dr r d解 ππθπ383203022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d2．设L 是连结点)0,3(),1,2(),0,1(C B A 的折线，计算曲线积分()⎰+Lds y x 22解 1,010121:-=--=--x y y x AB x y y x BC -=--=--3,101232: 3．求微分方程2=+x dydx满足0)1(=y 的的特解 解,2dy x dx-=- y e x c c y x -=---=-)2(,ln )2ln( 将1,0==y x 代入得1,1-==-c c ；特解：y e x --=24．设)(2u f x z =，而xyu =，其中)(u f 二阶可导，求y x z ∂∂∂2三、证明下列各题（共10分）1．求证：()()b a b a b a⨯=+⨯-2)(证明：()()()()a b a b a b a a b b -⨯+=-⨯+-⨯2．设)(1x y 与)(2x y 函数都是方程)()()()(21x Q y x P y x P y x P =+'+''的解，试证明函数)()(21x y x y -是其对应的齐次方程的解。
证明：由已知11121()()()()P x y P x y Px y Q x '''++=两式相减()()()12112212()()()0P x y y P x y y P x y y '''-+-+-=即)()(21x y x y -满足12()()()0P x y P x y Px y '''++=，是对应的齐次方程的解 四、根据题目要求解答下列各题（共10分）1．写出方程x y y y =-'-''32的待定特解的形式。
华南理工大学高等数学统考试卷下2005zxA
高等数学下册(重修)理工试卷A2006．6．18姓名： 学院与专业： 学号：单项选择题[共21分]一、1、[3分]设非零向量,a b 满足关系式a b a b -=+，则必有（ ）(A) a b a b -=+ (B) a b =(C) 0a b ⨯= (D) 0a b ⋅=2、[3分] 设直线;32,6:;5251:21=+=-+=--=-z y y x L z y x L 则这两直线的夹角为（ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 3、[3分]二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的（ ）(A) 充分条件而非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件4、[3分]设)(22y x z -=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是（ ） (A) y z y x z x ∂∂=∂∂ (B) yz x x z y ∂∂=∂∂ (C) y z x x z y ∂∂-=∂∂ (D) yz y x z x ∂∂-=∂∂ 5.[3分]设),(y x f 连续，则)(),(102211=⎰⎰-dy y x yf dx(A) dy y x yf dx ⎰⎰102210),(2 (B) dy y x yf dx x⎰⎰02210),(4 (C) dy y x yf dx y y ⎰⎰-),(22210 (D) 06、[3分]设2211cos sin x y d I x y σ+==++⎰⎰,则有（ ） (A) 223I ≤≤ (B) 23I ≤≤ (C) 102I ≤≤ (D) 10I -≤≤ 7、[3分] 若L 是平面曲线)0(222>=+a a y x 依顺时针方向一周，则 dy y x y xy dx yx y x e L x ⎰+-++-2222222)sin(2的值为（ ） (A) 2a π⋅ (B)22a π⋅ (C) 0 (D) 22a π⋅-二、填空题[共18分]1、[3分]过点(1,2,1)M -且与直线7,34,3x t y t z t =-+=+=+垂直的平面是 .2、[3分]设cos()cos(2)(,)()cos()xy x y f x y e x x y π-=+-+，则=')4,(ππy f . 3、[3分] 设0ln =-yz z x ，则=dz . 4、[3分] 设D 是椭圆22194x y +=所围成的闭区域，则Dd σ=⎰⎰ .5、[3分]将二重积分()10,dy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为 .6、[3分] 设∑是以原点为球心，4为半径的球面，则2221dS x y z∑=++⎰⎰ .三、解答下列各题[共31分]1、[6分] 设x y x z yarctan +=，求y x z ∂∂∂2.2、[6分]设直线⎩⎨⎧=--+=++030:z ay x b y x l 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点)5,2,1(-，求b a ,之值.3、[6分] 求dy e y dx x x y ⎰⎰-121dy e ydx x y ⎰⎰-+2421的值.4、[6分] 计算dxdydz e z⎰⎰⎰Ω，其中1:222≤++Ωz y x .5、[7分] 求⎰+-=L yx xdy ydx I 224，其中L 是椭圆1422=+y x 由对应于x 从1-到1（在第一、二象限内）的那一段.四、[6分]求()222120x x y xy xe'++-=的通解.五、[6分] （本大题供所有专业选做一小题）1、求22u x y z =+-在约束条件2221x y z ++=下的最大值和最小值2、设长方体过同一顶点的三条棱长之和为9，问这三条棱长各为何值时，长方体的表面积最大？3、求椭圆223:1x y x y z ⎧+=Γ⎨++=⎩的长半轴长度、短半轴长度和面积.六、[8分]计算曲面积分2(81)2(1)4I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰，其中∑是由曲线0(13)x y z =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y 轴的正向的夹角恒大于2π.七、[8分]（注意: 根据各自专业学分情况选做）1、（4学分化工类不做本题，5学分专业做本题） 将函数21()82x f x x x+=--展开为x 的幂级数并求出该级数的收敛区间. 2、（4学分化工类做本题，5学分专业不做本题）设)(x f 定义在),0(+∞，具有一阶连续导数，0)1(=f 且对在右半平面内的任意闭曲线L ，曲线积分0])([)]([=++-⎰dy e x xf ydx x f e Ly x（1）求)(x f ；（2）求函数(,)U x y ，使它的全微分等于dy e x xf ydx x f e y x ])([)]([++-.。
华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三
华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三《高等数学》（下册）测试题三一、填空题1．若函数f(x,y) 2x2 ax xy2 2y在点(1, 1)处取得极值，则常数a 5． 2．设f(x)1xedy，则 f(x)dxxy1e 1． 23．设S是立方体0 x,y,z 1的边界外侧，则曲面积分sx5dydz y6dzdx z7dxdy 3 ．4．设幂级数n 0n 13na(x 1)ax的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为 n nn 12,4 ．5．微分方程y 3y 4y x2e 4x用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形2 4x式为y xax bx ce．二、选择题sin2(x2 y2), 221．函数f(x,y) x y2,x2 y2 0,x2 y2 0,在点(0,0)处（ D ）．（A）无定义；（B）无极限；（C）有极限但不连续；（D）连续． 2．设z sec(xy 1)，则z（ B ）． x（A）sec(xy 1)tan(xy 1)；（B）ysec(xy 1)tan(xy 1)；（C）ytan(xy 1)；（D） ytan(xy 1)．2222223．两个圆柱体x y R，x z R公共部分的体积V为（ B ）．22（A）2 （C）Rdx （B）y；8 dx0R RRy；y．RRdxy；4 dx （D）k4．若an 0，Snak 1n，则数列 Sn 有界是级数收敛的（ A ）． 1。
华东理工大学高等数学(下) 期末考试卷
高等数学（下）期末考试卷 (华东理工)222222{0,0,6},{2,2,1}_______;225(0),________;4)___a La b xyz yz zx xy L x y R y yds x y z y y z==-==⎧⎨++=⎩+=≥=⎧++=⎨=⎩⎰b 00一、试解下列各题（每题4分，共16分）1、向量在向量上的投影Prj 、曲线在(2,1,1)点的切线方程是____________;3、(1)设是上半圆周则(2过曲线母线平行于轴的柱面方程是0000(4)_______;41(,,)(,,),:__________;)(,)(,),:0_________;(3)4'''3''0__________;L L x x x y z u x y z L y y I D x y u x y D L Ax By C I y y y y =⎧ΩΩ⎨=⎩++=-+==0、（）立体上点处的密度为则对直线的转动惯量用三重积分可表示为(2平板上点处的密度为则对于直线的转动惯量用二中积分表示为微分方程的通解为33001002(1)8(1)(1)81218(2,3,2)101(2){1)}6241(,)ln(1)0n nnn yx x x y x n x y z M x dx e dy n y z z x y x ze z ∞=--++--==-=--+=∑⎰⎰0二、（分）求幂级数的收敛域（包括收敛的端点）。
三、（分）求点到直线的距离。
四、（1）计算二次积分求数列的极限。
五、试解下列各题（每题分，共分）、设函数由方程所确定，试求此函数112222232sin()()sin ,(0,0)(1,0)1(0,0,1)(0,0,2),2n n n Ldz a x x y dx x y x dy L y x x MAM A B M MB ∞∞==+--=--=∑⎰00的全微分。
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《高等数学》（下册）测试题二一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母） 1．设()y z x y f x =⋅⋅，且()f u 可导，则z zxyx y∂∂+∂∂为（ D ） A ．2xy ；； B ．2()x y z +； C ．2()x y +； D ．2z ．2．从点(2,1,1)P --到一个平面引垂线，垂足为点(0,2,5)M ，则这个平面的方 程是（ B ）A ．236360x y z +-+=；B ．236360x y z --+=；C ．236360x y z ---=；D ．236360x y z -++=． 3．微分方程(1)1x y ''-=的通解是（ D ）A ．21(1)ln |1|y x x C =--+；B ．12ln |1|y xC x C =-++； C ．212ln |1|y x x C x C =-++；D ．12(1)ln |1|y x x C x C =--++． 4．设平面曲线L为下半圆周y =22()d Lx y s +⎰等于（ A ）A ．π；B ．2π；C ．3π；D ．4π．5．累次积分24112211d e d d e d x xyy x x y x y y y+⎰⎰⎰＝（ A ）A ．e ；B ．2e ；C ．3e ；D ．4e ．二．填空题（每小题5分，本大题共15分）1．曲面333xyz z a -=在点(0,,)a a -处的切平面方程是0x z a ++=；. 2．微分方程232e x y y y x -'''--=的待定特解形式是()*xy x ax b e -=+；3．设∑是球面2222xy z a ++=的外测，则曲面积分32222d d d d d d ()x y z y z x z x y x y z ∑++++⎰⎰＝4π．三、 一条直线在平面∏：20x y +=上，且与另两条直线L 1：1141x y z -==-及L2：412201x y z ---==（即L 2：42(2)10x z y -=-⎧⎨-=⎩）都相交，求该直线方程．（本题7分） 解：先求两已知直线与平面的交点，由,120,141x y z x y t -+====- ()1,4,1,50,0,0, 1.0,0,1x t y t z t t t x y z M ⇒===-=====由41220,,201x y z x y t ---+==== ()242,1,2,4220,3,2, 1.2,1,1x t y z t t t x z M ⇒=+==+++==-=-=---由两点式方程得该直线：122x z y -==-- 四、求函数2223ux y z z =++-在点(1,1,2)0M -处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分） 解：{}{}02,2,232,2,1,Mgradu x y z gradu =-=-沿梯度方向上函数的方向导数03M gradu ==五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）解：设底圆半径为r ，高为h ，则由题意，要求的是222S r rh ππ=+在条件21r h π=下的最小值。
222221221222,40,dS S r r r r r h r r dr r r ππππππ=+⋅=+=-=⇒===由实际问题知，底圆半径和高分别为r h == 六、设积分域D 为224,0,0x y x y +≤≥≥所围成，试计算二重积分22sin()d Dx y σ+⎰⎰．（本题8分） 解：观察得知该用极坐标，224,0,0x y x y +≤≥≥24,cos 0,sin 0,02,02r r r r θθθπ⇒≤≥≥≤≤≤≤()222222222200sin sin()d sin 2cos 1cos 42Dr xy d r rdr dr r πσθπππ+=⋅==-=-⎰⎰⎰⎰⎰七、计算三重积分d z v ⎰⎰⎰Ω，式中Ω为由12z z ⎧≥⎪⎨≤≤⎪⎩（本题8分）解：解：观察得知该用先二后一的方法22242111d 1544z D z v zzdz dxdy z z dz πππ⎰⎰⎰Ω==⋅==⎰⎰⎰⎰八、设()f x 在(,)-∞+∞上有连续的一阶导数，求曲线积分2221()d [()1]d Ly f xy x x y f xy y y y ++-⎰，其中曲线L 是从点2(3,)3A 到点(1,2)B 的直线段．（本题8分） 解：在上半平面)0(>y 上2221[()1]()()Q x y f xy f xy xyf xy x x y y ⎛⎫∂∂'=-=-+ ⎪∂∂⎝⎭211()()()P Qyf xy f xy xyf xy y y y y x ⎛⎫∂∂∂'=+=-++=⎪∂∂∂⎝⎭且连续， 从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关，取折线(3,2)(1,2)2(3,)3B AC →→21222222331()314(2)d [()1]d [(3)1]d d 2L y f xy x f x x y f xy y y f y y x y y y +++-=-+⎰⎰⎰2122116222223332633331313(3)d 2(2)d ()()dt22f y dy y dx f x x f t dt x f t y y =-++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰21233313913422222x y ==+=-+-=-九、计算曲面积分()d x y z S ++⎰⎰∑，其中，∑为上半球面：2222 (0)x y z R z ++=≥．（本题8分）解：由于()(),,,,x y z x y z ∈∑⇒--∈∑，故()d d x y z Sz S ++⎰⎰⎰⎰∑∑=∑为上半球面，则{}{}cos 0,2,2,2//,,,,,x y z n x y z x y z n R R R γ⎧⎫>==⎨⎬⎩⎭原式222222200RD z R x y R r dxdy dxdy d rdr R R R πθ∑---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()2322400221124RRR r r dr R r r RR ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰32R π=十、求微分方程cos π2d tan 2e 0,|1d x x y x y y x =⎡⎤⋅-+==-⎢⎥⎣⎦的解．（本题8分）解： cos d cot 2e ,d x yy x x+= ()cot cot cos lnsin cos lnsin 2e 2e xdxxdx x x x xy e e dx c e e dx c --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰()()cos cos 112e sin 2e sin sin x x y xdx c c xx=+=-⎰由π2|1x y ==-，得()cos 112,1,12e sin x c c y x-=-==- 十一、试证224, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分）解：沿着直线2, (,)(0,0)x ky x y =→，222242000lim (,)lim 1y y x ky x ky xy kf x y x y k →→=→=→==++ 依赖k 而变化，从而二重极限不存在，函数在点(0,0)处不连续。
而()()()(,0)0,0,0,0,00,0,00x y f x f y f f ''≡≡⇒==十二、设二阶常系数线性微分方程exy y y αβγ'''++=的一个特解为2e(1)e xxy x =++，试确定常数,,αβγ，并求该方程的通解．（本题4分）解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为122,1r r ==，否则不能有这样的特解。
从而特征方程为()()221320,r r r r --=-+=因此3,2αβ=-=1x y xe =为非齐次方程的另一个特解，()()111,2x xy x e y x e '''=+=+()()2e 231,2332,1x x x x xe x e x e x x x γγγ+=+-+⇒+--+==-故3,2αβ=-=，1γ=-，e xy y y αβγ'''++=通解为212e()e xxy c c x =++附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）1．求无穷级数113n nn x n -∞=⋅∑的收敛域及在收敛域上的和函数．解：()()2111limlim 23313n n n n n n a R n a n ++→∞→∞+==⋅+⋅=+⋅ 由于在3x =时发散，在3x =-时条件收敛，故收敛域为[3,3)-看()()111,[1,1),01n n s t t t s n∞-==∈-=∑，则()()()11011,ln 1,11tn n ts t t ts t dt t t t ∞-='==⇒==--⎡⎤⎣⎦--∑⎰ 从而111ln 1,[3,0)(0,3)133331,03n n n x x x x x s n x -∞=⎧⎛⎫--∈- ⎪⎪⎪⎛⎫⎝⎭==⎨ ⎪⋅⎝⎭⎪=⎪⎩∑ 2．求函数()(2)ln(4)f x x x =-+在01x =处的幂级数展开式．解：[][][]()(1)1ln 5(1)(1)1ln 5ln 115f x x x x x =--+---++⎡-⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]()10(1)1ln 51115n n n x x n +∞=--+⎡⎤--⎛⎫=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑()()()()()()()21110011ln 51ln 5111515nnn n n n n n x x x n n ∞∞++++==--=-+-+---++∑∑()()()()()()22016111ln 5ln 5115512nn n n n x x n n ∞++=-+⎛⎫=-+--+- ⎪++⎝⎭∑3．将函数0,20()1, 02x f x x -≤<⎧=⎨≤≤⎩展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围．解：作周期延拓，()22020114,2,1122T l a f x dx dx -=====⎰⎰()2220111cos cos sin 02222n n x n x a f x dx dx n n ππππ-====⎰⎰()()()222011111sin sin cos 12222nn n x n x a f x dx dx n n n πππππ----===-=⎰⎰ 从而()()1111sin ,2,22nn n x f x x k k Z n ππ∞=--=+≠∈∑。