正弦函数的图像与性质(第二课时)

§1.5 正弦函数的图像与性质（二）【教材版本】 北师大版 【教材分析】对于函数性质的研究，学生已经熟悉了。

在必修1中学生已研究了幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质。

因此，作为高中最后一个基本初等函数性质的研究，学生已经有些经验了。

其中，通过观察函数的图像，从图像特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用。

学生已经利用单位圆学习了正弦函数的诱导公式，在本节可以通过观察正弦函数图像，进一步验证正弦函数的诱导公式，深化对这些公式的理解，同时帮助学生直观形象地记忆这些诱导公式。

同样，观察正弦函数的图像，可以再认识正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等性质。

由于正弦函数具有周期性，为了研究问题方便，我们可以在任意一个周期内研究正弦函数的性质就完全清楚它在整个定义域内的性质。

当然，一个周期的性质不一定都在区间[]0,2π上研究（如单调性），也可以引导学生自己思考和设计研究正弦函数性质的方案。

正弦函数的性质均可以借助单位圆得到。

为此，教科书设置了“思考交流”栏目，教师应引导学生借助单位圆认识角的变化引起的角的终边与单位圆交点的坐标的变化，进一步理解正弦函数的相关性质。

【学情分析】作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数。

但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系应通过学习有所领悟。

由正弦函数图像研究其性质指导思想方法是在课堂上充分探究、大量活动，并在解题中降低变化技巧的难度，突出数形结合思想，提高应用图像与性质解题的力度。

学习三角函数性质后，要学会温故知新，例如απαsin )2sin(=+，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到它表明正弦函数的周期性，以提升思维层次。

【教学目标】 1．知识与技能会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的主要性质（定义域、值域或最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性）2．过程与方法通过利用函数图像研究正弦函数性质的过程，进一步体会画函数图像与研究函数性质的相互依赖关系．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

【重点难点】1．教学重点：正弦函数的主要性质；深入研究函数性质的思想方法。

2．教学难点：正弦函数性质的理解及灵活运用，特别是周期性的理解。

【教学环境】1．多媒体课件2．多媒体教室【教学思路】借助于正弦函数的图像研究其性质（定义域、值域或最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性），整个思想方法就是数形结合，紧扣各种性质的概念和图像特征。

教学环节以提问—观察—思考—举例—总结为主线，重在引导学生参与发现。

【教学过程】一、导入新课思路1：（类比导入）我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图像来研究。

本节可先让学生画出正弦函数的图像，从学生画图像、观察图像入口，由此展开正弦函数性质的探究。

思路2：（直接导入）上节课我们根据正弦函数的定义，结合单位圆直观看出了正弦函数的一些性质，本节课我们结合正弦曲线进一步研究正弦函数的性质。

二、新知探究1．定义域易知正弦函数的定义域是实数集R 或(),-∞∞ 2．值域易观察出正弦曲线上、下都有界，得正弦函数的值域是]1,1[-。

教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明：∵ 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度 ∴ sin 1x ≤ 即 1sin 1x -≤≤ （1）当且仅当2,2x k k Z ππ=+∈时，取得最大值1 。

（2）当且仅当2,2x k k Z ππ=-+∈时，取得最小值-1 。

3．周期性正弦函数是周期函数，它的最小正周期为2π。

为了研究问题方便，我们可以选取任意一个x 值，讨论区间[],2x x π+上的函数性质，然后拓展到整个定义域(),-∞∞上。

4．单调性教师引导、点拨学生先截取一段图像来看（如图1）。

选哪一段呢？，通过学生充分讨论后确定选图像上的]23,2[ππ- (如图2)这段。

教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理。

图1 图2对于函数]2,2[,sin -∈=x x y当]23,2[ππ-∈x 时，曲线逐渐上升，是增函数，x sin 的值由-1增大到1； 当]23,2[ππ∈x 时，曲线逐渐下降，是减函数，x sin 的值由1减小到-1。

结合正弦函数的周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上都是减函数，其值从1减小到-1。

5．奇偶性由图像直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称。

sin y x =在R 上为奇函数。

教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式： ∵ ()sin sin x x -=- ∴ s i ny x =为奇函数 6．对称性在正弦曲线上还有其他的对称中心，如：()()()()2,0,,0,,0,2,0,ππππ--引导学生观察总结对称点都是图像与x 轴的交点，由周期性可知其通式为：(),0k k Z π∈正弦曲线还关于直线3,,222x x x πππ=-==等对称，()()()2,0,,0,,0,πππ-- ()2,0,π引导学生观察总结对称轴都是过最值点且垂直于x 轴的直线，由周期性可知其通式为：2x k k Z ππ=+∈三、应用示例例1 函数3sin ()y x x R =-∈有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么。

解：当sin y x =取得最小值-1时，3sin y x =-取得最大值，最大值为：3此时x 的集合为：2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭当sin y x =取得最大值1时，3sin y x =-取得最小值，最小值为：-3 此时x 的集合为：2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭点评：通过这道例题直接巩固正弦函数的性质。

课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个。

例2 利用函数的单调性，比较sin 18π⎛⎫-⎪⎝⎭与sin 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小。

分析：回忆利用指数函数、对数函数的图像与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高。

解：因为2π-<10π-<18π-<0，正弦函数sin y x =在区间[2π-,0]上是增函数，所以sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点评：三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内；其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题。

如55sin 0,sin 064ππ><显然大小立判。

例3 求下列函数的定义域：（1）11sin y x=+ （2）y =解：（1）由1sin 0x +≠得sin 1x ≠-，即2,2x k k Z ππ≠-+∈∴ 原函数的定义域为2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭（2）由sin 0x ≥得 ()22k x k k Z πππ≤≤+∈∴ 原函数的定义域为[]()2,2k k k Z πππ+∈点评：本例实际上是解三角不等式。

可充分利用函数图像，根据正弦曲线写出结果体会数形结合思想方法的灵活运用。

例4 求函数2sin 63y xx ππ=≤≤的值域。

解：由图像可知：2sin 63y xx ππ=≤≤在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，且2sinsin 63ππ<，所以当2x π= 时，max 1y =，当6x π=时，min 12y =四、巩固练习1．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： （1）sin 20与sin30； （2）sin()sin()1510ππ--与2．求函数xy sin 1=的定义域3．求函数37sin 44y xx ππ=≤≤的值域。

五、说学小结1．本节课我们研究了正弦函数的性质。

通过从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对正弦函数的理解，同时也巩固了上节课所学的正弦函数图像的画法。

2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点。

六、作业P28 习题1-5 A 中 1、3、4、5、6。