人教高中数学必修五同课异构课件：2-5-1 等比数列的前n项和 探究导学课型
合集下载
高中数学必修五课件：2.5-1《等比数列的前n项和》(人教A版必修5)
以1为首项，2 为公比的等比数列的前64项的求和问题，即： 62 63 …… ① S 1 2 4 8 2 2
64
把上式左右两边同乘以2 得：
2S 64
2 4 8 16+ ……
2 2
63
64
②
由②- ①得：
S 64 2 1
例2. 某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销 售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使 总销售量达到30000台（保留到个位）？ 解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同， 所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列 { an } 其中 , ％=1.1 , 可得： 可得：
等比数列的前n项和（一）
1
（一）知识回顾：
1.等比数列的定义：
a n 1 an
（ q 0, n N ） q（常数）
n 1
2.通项公式：
an a1 q
成等比数列
3.等比数列的主要性质： ① a, G , b
G ab (G,a,b ≠ 0)
2
②在等比数列{ n }中，若 m n p q 则 am an a p aq ( m, n, p, q N )
两边取对数，得：
利用计算器得：
(年 )
7
答：约5年内可以使总销售量达到30000台。
例3.求和：
……
解 :当 时 …… …… + ……
8
例3.求和：
……
9
例4.求数列 （1+2+ 1,(1+2)， 解 :∵ …… ( ), …… …… 前n項和。
∴
…… …… ……
10
64
把上式左右两边同乘以2 得：
2S 64
2 4 8 16+ ……
2 2
63
64
②
由②- ①得：
S 64 2 1
例2. 某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销 售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使 总销售量达到30000台（保留到个位）？ 解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同， 所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列 { an } 其中 , ％=1.1 , 可得： 可得：
等比数列的前n项和（一）
1
（一）知识回顾：
1.等比数列的定义：
a n 1 an
（ q 0, n N ） q（常数）
n 1
2.通项公式：
an a1 q
成等比数列
3.等比数列的主要性质： ① a, G , b
G ab (G,a,b ≠ 0)
2
②在等比数列{ n }中，若 m n p q 则 am an a p aq ( m, n, p, q N )
两边取对数，得：
利用计算器得：
(年 )
7
答：约5年内可以使总销售量达到30000台。
例3.求和：
……
解 :当 时 …… …… + ……
8
例3.求和：
……
9
例4.求数列 （1+2+ 1,(1+2)， 解 :∵ …… ( ), …… …… 前n項和。
∴
…… …… ……
10
人教版高中数学必修5课件：2.5.1等比数列前N项和(第一课时)(共18张PPT)
由① – ②得： -S30 = 1 – 230
反思： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2 ？ 那乘以3？ 22 ？会达到一样的效果吗？
问题：对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
【新知探究】
探究：设等比数列错位相减法
Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an-2 + an-1 + an
即 Sn = a1 + a1q + a1q2 + …… + a1qn-3 + a1qn-2 + a1qn-1
①
qSn =
a1q + a1q2 + a1q3 + …… + a1qn-2 + a1qn-1 + a1qn ②
结合等比数列通项公式，
由① – ②得： (1 – q)Sn = a此1 –时aS1qnn可变形为什么？
问题1 : 探讨等比数列前n项和的多种推导方法， 并整理成小论文，相互交流 问题2 : 求和, Sn 1 2 2 22 3 23 ...... n 2n
【课堂小结】
1. 掌握等比数列的前n项和公式能进行简单应用. ——知三求二 方程思想
a1(1 qn )
Sn
1q
或
a1 anq 1q
【新课引入】
不学数学害死 猴啊！！！
【新知探究】
探究： S30 = 1 + 21 + 22 + …… + 227 + 228 + 229 = ？
S30 = 1 + 21 + 22 + …… + 227 + 228 + 229
人教A版高中数学必修五课件2.5.1等比数列的前n项和(一).pptx
3
四、练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应等比数列{an} 的前n 项和Sn。
( 1 ) a1 3, q 2, n 6 189
(2)
a1
8,
q
1 2
, an
1 2
31 2
2.在等比数列{an} 中，
( 1 ) 已知a1 1.5, a4 96, 求q和S4
(
2
)
已知q
1 2
,
S5
31 8
,
求a1和a5
1 (-2)n
3. 1 2 4 8 16 L (2)n1 ___3___
三、例题
例 2.在等比数列
an 中 ,
S3
7 2
,
S6
63 2
,求 an
.
解
: 若q
1, 则
S6
2S3,这与已知 S3
7 2
,
S6
63 是矛盾 2
的,所以q 1.从而
S3
a1
1 q3 1 q
7 2
a1 a1q a1q2 L a1qn1
qSn
a1q a1q2 L a1qn1 a1qn
上述两式相减得 (1 q)Sn a1 a1qn
故当q≠1时，
Sn
a1(1 qn 1q
)
错位相 减法
二、新课
等比数列的前n项和公式：
S由n特San别n=地aa1，q1na(n11-当1a1代(q11q1q入=n1可)时(q得，qqSn（nS1)=n)naq1aa11111aq）nqaq(nqq 1()q 1)
空白演示
在此输入您的封面副标题
2.5.1等比数列的前n项和
第一课时
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.5.1 等比数列的前n项和 精讲优练课型
3.(变 换 条件、改变问 法)若把典例中条件改为
“an=
求数列{an}的前n项 和Sn.
【解析】由an=
可知数列{an}的所有奇数项构成以2为首项，以2为公
差的等差数列，所有偶数项构成以4为首项，以4为公
比的等比数列，
当n为正奇数时， 当n为正偶数时，
所以数列{an}的前n项和为
【方法技巧】等比数列前n项 和公式的基本运算 (1)应 用等比数列的前n项 和公式时，首先要对公比 q=1或q≠1进 行判断，若两种情况都有可能，则要分 类讨论.
(2)当q=1时 ，等比数列是常数列，所以Sn=na1； 当q≠1时 ，等比数列的前n项 和Sn有两个公式.
当已知a1，q与n时 ，用Sn=
比较方便；
当已知a1，q与an时 ，用Sn=
比较方便.
【补 偿 训 练 】设 等比数列{an}的前n项 和为Sn，已知 a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn. 【解析】设数列{an}的公比为q，由题设得
【解析】(1)当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=2an-a1-(2an-1-a1)， 则an=2an-1(n≥2)，
=2(n≥2).
则{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列. 又由题意得2a2+2=a1+a3， 即2·2a1+2=a1+4a1，解得a1=2，则an=2n(n∈N*).
(2)由题意得
2.等比数列{an}中，首项a1=8，公比q= ，那么它的 前5项 的和S5的值是( )
【解析】选A.
3.等比数列1，x，x2，x3，…（x≠0）的前n项 和Sn为 ( )
【解析】选C.当x=1时，Sn=1+1+…+1=n，
人教版高中数学必修五课件：2.5 等比数列的前n项和 (共20张PPT)
4.写出等比数列5，-15，45,……的第5项 ? 405
-1 -729 。 5.已知a3 =-9,q=-3,则a1 =_______ ，a7=________
国际象棋起源于古代印度，相传国 王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要 什么。发明者说：“请在棋盘的第1个格 子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2 颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在 第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每 个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍,直到第64 个格子,请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王觉得这并不是 很难办到的,就欣然同意了他的要求. 据查，目前世界年度小麦产量约6亿t，根据以上数据，判 断国王是否能实现他的诺言。
[ C ]
பைடு நூலகம்
【例1】某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上 一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30 万吨（保留到个位）？
分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同， 所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则 为等比数列的前n项和.
解：设每年的产量组成一个等比数列{an}，其中a1=5，q= 1+10%=1.1，Sn=30
等比数列前n项和公式的推导 在等比数列 {an} 中
an a2 a3 a4 因为 q a1 a2 a3 an 1
a a a a 2 3 4 n 所以 q a1 a2 a3 an 1
当q≠1时，等比数列的前n项和公式
S n a1 即 q S n an
a1 an q Sn （q 1 ） 1 q
n 1 a a q 因为 n ，所以前面的公式还可以写成 1
a1 (1 q n ) Sn （q 1 ） 1 q
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.5 第1课时 等比数列的前n项和 情境互动课型
等比数列的前n项和公式
1.注意q=1与q≠1两种情形 2.q≠1时， 3.五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知三求二” 问题.
【即时练习】 等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为( )
【解析】选 D.要考虑到公比为1的情况，此时Sn ＝n.
【变式练习】 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn；
1．数列{2n－1}的前99项和为 ( C )
A．2100-1
B．1-2100
C．299-1
D．1-299
2．若等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1，则 其公比为__3_或__－__4___．
4.2+(2+22)+(2+22+23)+…+(2+22+23+…+210） =__2_1_2－__2_4___.
四粒麦子……依此
？
类推，每一格上的
麦子数都是前一格
的两倍Байду номын сангаас国王一听，
几粒麦子，加起来
也不过一小袋，他
就答应了宰相的要
求.实际上国王能
满足宰相的要求吗？
1.掌握等比数列的前n项和公式.(重点） 2.掌握前n项和公式的推导方法.（重点） 3.对前n项和公式能进行简单应用.（难点）
探究：等比数列的前n项和公式
S1=a1 S2=a1+a2=a1+a1q
=a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2
=a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3
高中数学必修五课件：2.5-1《等比数列的前n项和》(人教A版必修5)
a1 (1 q n ) 1 q
Sn
( q 1) { na ) 1 (q 1
a1 an q 1 q
1 例1.求等比数列 2
, , ,
1 4
1 …… 的前8项的和。 8
解 :由
a1
n8
1 2
q
得：
1 4
1 2
1 2
S8
1 1 8 [ 1 ( ) ] 2 2 1 1 2
1 2 2 …… 2 k 1
2
∴ Sn
1 ( 2 k 1) 2 1 k
2 1
a1 a2 …… an
(2 1) (2 2 1) …… (2 n 1)
2 2 2 …… 2 n n
2 (1 2 n ) 1 2
1. ① , ④ 2. 3. 6.
3.预习下节课内容。
等比数列的前n项和（一）
（一）知识回顾：
1.等比数列的定义： 2.通项公式：
a n 1 an
（ q 0, n N ） q（常数）
n 1
an a1 q
成等比数列
3.等比数列的主要性质：
① a, G , b
G ab (G,a,b ≠ 0)
2
②在等比数列{ an }中，若
2 4 8 16+ ……
2 2
63
64
②
由②- ①得：
S 64 2 1
64
已知：等比数列{ an }，公比为 q ，S n
……
解：S n
an ，如何用 a1 , n, q 来表示 S n
a1 a2
n1
a1 a1q a1q
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.5 第1课时 等比数列的前n项和 教学能手示范课
∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)． 即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列． 方法点评：将已知条件Sn＝a2n－1与an＝Sn－Sn－1结 合起来 ，得到n≥2时的通项公式an＝(a2－1)a2n－2，特别 注意的是，n＝1时即a1＝a2－1能否统一到an＝(a2－ 1)·a2n－2中去，如果能统一起来，则数列{an}为等比数列， 否则数列{an}不是等比数列．
(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条 件为q≠1，当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.在 解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论 q≠1与q＝1两种情况．
2．等比数列的判定方法
(1)an＋1＝anq(an≠0，q是不为0的常数， n∈N*)⇔{an}为等比数列．
(2)an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an} 是等比数列．
(2)在使用等比数列的前n项和公式时，要注意 讨论公比q＝1和q≠1两种情况．
若本例(1)中的条件不变，如何求{an}的通项公式 ？
题型二 错位相减法求和
2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
(2)当x≠1时 ，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和
1．记住等比数列的前n项和公式，能够利用公 式求等比数列的前n项和．
2．掌握前n项和公式的推导方法．
自学导引
1．在等比数列{an}中，若公比q＝1，则其前n 项和Sn＝________.
答案：na1 2．在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项 和Sn＝________＝________.
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.5.1 等比数列的前n项和 探究导学课型
【拓展延伸】等比数列的前n项 和公式的其他推导方法 方法一：Sn= a1+a2+…+an =a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(等比数列定义) =a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2)=a1+qSn-1 =a1+q(Sn-a1qn-1)=a1+qSn-a1qn(方程思想)， 所以(1-q)Sn=a1(1-qn)，因为q≠1， 所以Sn=
①
用q同乘以①式的两边，得
qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn
②
①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn，
当q≠1时 ，得Sn=
探究1：①式两边为什么要同乘以q？ 提示：根据等比数列的定义，①式两边同乘以q，可以使所得 到的式子与①式有若干共同的项，使得作差后能消去若干项， 得到有限项，从而求出数列的前n项和. 探究2：①式减②式的目的是什么？ 提示：①式减②式的目的是消去两式中若干项，从而得出有限 项.
又a2=
所以a1=4，所
以数列{an}是首项为a1=4，公比q= 的等比数列.故S10=
3.当q=1时，S3=3a3，符合题意；
类 型一 等比数列前n项 和的基本计算
1.(2013·新课标 全国卷Ⅰ)设 首项为 1，公比为 的等比数列
{an}的前n项 和为Sn，则( )
A.Sn=2an-1
B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an
D.Sn=3-2an
2.(2013·大纲版全国卷)已知数列{an}满 足3an+1+an=0，
2.由3an+1+an=0求出数列的公比，再利用等比数列的求和公式
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.5.1 等比数列的前n项和 精讲优练课型
(1)若数列{an}是非常数列的等比数列，则其前n项和 公式为：Sn=-Aqn+A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*). (2)注意到指数式的系数和常数项互为相反数，且A=
a1 . 1q
(3)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是 函数y=-Aqx+A图象上一群孤立的点. 当q=1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比 例函数y=a1x图象上一群孤立的点.
2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和
【知识提炼】 等比数列的前n项和公式
na1
a1(1－qn ) 1－q
na1
a1－a n q 1－q
【即时小测】
1.判断
(1)求等比数列的前n项和可以直接套用公式
()
(S2n )等a1(比11数qqn列) . 的前n项和不可以为0.(
)
(3)数列{an}的前n项和为Sn=an+b(a≠0，a≠1)，则数
由an=a1qn-1和 Sn
a1
1 qn 1q
126，
2qn1 64， 64qn1 2，
得
2
1
qn
或
64
1
q
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1q
126
1q
126，
解得
n q
6，或 2
n q
6， 1. 2
方法二：当q=1时，经检验不合适，由题意可得
a1 1 qn1 66，①
a12qn1 128，②
23
22n1 22 1 22
8 (4n 3
1).
3.(变换条件、改变问法)若把典例中条件改为 “ 【解an=析】n2n，由1n，a为nn正为=偶正n数奇1，数，求，n为数正列奇{数an，}的前n项和Sn. 可知数列{an}的所2n有，n奇为数正项偶数构，成以2为首项，以2为公 差的等差数列，所有偶数项构成以4为首项，以4为公 比的等比数列，
a1 . 1q
(3)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是 函数y=-Aqx+A图象上一群孤立的点. 当q=1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比 例函数y=a1x图象上一群孤立的点.
2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和
【知识提炼】 等比数列的前n项和公式
na1
a1(1－qn ) 1－q
na1
a1－a n q 1－q
【即时小测】
1.判断
(1)求等比数列的前n项和可以直接套用公式
()
(S2n )等a1(比11数qqn列) . 的前n项和不可以为0.(
)
(3)数列{an}的前n项和为Sn=an+b(a≠0，a≠1)，则数
由an=a1qn-1和 Sn
a1
1 qn 1q
126，
2qn1 64， 64qn1 2，
得
2
1
qn
或
64
1
q
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1q
126
1q
126，
解得
n q
6，或 2
n q
6， 1. 2
方法二：当q=1时，经检验不合适，由题意可得
a1 1 qn1 66，①
a12qn1 128，②
23
22n1 22 1 22
8 (4n 3
1).
3.(变换条件、改变问法)若把典例中条件改为 “ 【解an=析】n2n，由1n，a为nn正为=偶正n数奇1，数，求，n为数正列奇{数an，}的前n项和Sn. 可知数列{an}的所2n有，n奇为数正项偶数构，成以2为首项，以2为公 差的等差数列，所有偶数项构成以4为首项，以4为公 比的等比数列，
人教A版高中数学必修五课件2.5.1等比数列的前n项和(二).pptx
n lg1.6 0.20 5(年) lg1.1 0.041
答：约5年可以使总销售量量达到30000台。
例2.为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的
区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作
y 轴的平行线与函数图象相交，再从各交点向左作x轴的平行
线，构成(n-1)个矩形，下面的程序用来计算
解:根据题意 ,每年销售量比上一年增加的百分率
相同,所以,从今年起 ,每年销售量组成一个等比数
列 an,其中 a1 5000 , q 1 10% 1.1, Sn 30000 ,
5000(11.1n ) 30000 即 1.1n 1.6. 1 1.1
两边取对数，得 n lg1.1 lg1.6
这 (n-1)个矩形的面积的和S，请阅读程序，
回答下面的问题： SUM=0
（1）程序中的SUM、 AN分别表示什么，
为什么？
（2）请根据程序分别 计算出当n=6，11，
16时，各个矩形的
k=1 INPUT N WHILE k<=N-1
AN=(9-(k*3/N)^2)*3/N SUM=SUM+AN PRINT k,AN,SUM k=k+1
五、小结
1.等比数列前n项和的性质： 一般地，如果等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…仍为等比数列. 公比为qn
2.解数列应用题的关键是：将实际问题抽象成数列模型 通常是等差数列或等比数列
六、作业
P61 A组 2、3
二、练习
1.若等比数列{an
}的公比qຫໍສະໝຸດ 1 3,且a1a3
L
a99
60,
则{an}的前100项和S100 ___8_0___
答：约5年可以使总销售量量达到30000台。
例2.为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的
区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作
y 轴的平行线与函数图象相交，再从各交点向左作x轴的平行
线，构成(n-1)个矩形，下面的程序用来计算
解:根据题意 ,每年销售量比上一年增加的百分率
相同,所以,从今年起 ,每年销售量组成一个等比数
列 an,其中 a1 5000 , q 1 10% 1.1, Sn 30000 ,
5000(11.1n ) 30000 即 1.1n 1.6. 1 1.1
两边取对数，得 n lg1.1 lg1.6
这 (n-1)个矩形的面积的和S，请阅读程序，
回答下面的问题： SUM=0
（1）程序中的SUM、 AN分别表示什么，
为什么？
（2）请根据程序分别 计算出当n=6，11，
16时，各个矩形的
k=1 INPUT N WHILE k<=N-1
AN=(9-(k*3/N)^2)*3/N SUM=SUM+AN PRINT k,AN,SUM k=k+1
五、小结
1.等比数列前n项和的性质： 一般地，如果等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…仍为等比数列. 公比为qn
2.解数列应用题的关键是：将实际问题抽象成数列模型 通常是等差数列或等比数列
六、作业
P61 A组 2、3
二、练习
1.若等比数列{an
}的公比qຫໍສະໝຸດ 1 3,且a1a3
L
a99
60,
则{an}的前100项和S100 ___8_0___
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.4.2等比数列的性质 探究导学课型
=a7=3.
答案：3
等比数列的性质
探究1：已知等比数列{an}：1，2，4，8，16，…，2n-1，…，
(1)计算a1a4=
；a2a3=
.并说明a1a4与a2a3有什
么关系？它们项数之间有什么关系？
提示：a1a4=8，a2a3=8，所以a1a4=a2a3；项数之和对应相 等，即1+4=2+3.
(2)若项数满足4+5=2+7，那么项之间满足a4a5=a2a7吗？ 提示：满足，因为a4=23=8，a5=24=16，a2=2， a7=26=64，所以a4a5=128=a2a7.
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
什么是学习力
什么是学习力-你遇到这些问 题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
512， 8 =12-42，.
所以a10=5 aa83q7=-4(-2)7=512. 答案：51a23
【延伸探究】题2条件不变，求数列{an}的通项公式. 【解析】由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
所以aaq33 =a8a
解51得2，a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍). 8 =12-42，，
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.5.2 等比数列习题课 探究导学课型
第2课时 等比数列习题课
类型一 错位相减法求数列的和
12..(求2和01：3·湖1南232高考243)设Sn为2nn－数1 列n{2an 1n}的前n项和，已知.a1≠0，
2an-a1=S1·Sn，n∈N*. (1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式. (2)求数列{nan}的前n项和.
【解题指南】1.令Sn= 1
-(4-1)n-1an-1+ 1 2n1 .
1
若n为偶数，则an-1=- (n2n≥2).
所以an=
(n为正奇数1 )； 2n
若n为奇数 2，1n1则an-1=-2an+ =(-2)·
所以an= (n为正偶数).所以1 a3= 2n
1 11 ( 2n1 ) 2n 2n1 .
1 2n
1 24
1. 16
=(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a99+a10(01)- 2
1 22
1 2100
)
11
1 11
1
2( 4
16
2100
)
( 2
22
2100
)
2
1 4
(1
1 450
)
1 (1 2
1 2100
)
1 1
1 1
4
2
答 13案(2：1100 1).
1－ 1
16
2
1 3
(
1 2100
－1)
【规律总结】与Sn有关问题的求解步骤 (1)分析题设条件. (2)分清是an与an+1的关系，还是an与Sn的关系. (3)转化为等差数列或等比数列，特别注意an=Sn-Sn-1(n≥2，n 为正整数)在an与Sn的关系中的应用. (4)整理求解.
类型一 错位相减法求数列的和
12..(求2和01：3·湖1南232高考243)设Sn为2nn－数1 列n{2an 1n}的前n项和，已知.a1≠0，
2an-a1=S1·Sn，n∈N*. (1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式. (2)求数列{nan}的前n项和.
【解题指南】1.令Sn= 1
-(4-1)n-1an-1+ 1 2n1 .
1
若n为偶数，则an-1=- (n2n≥2).
所以an=
(n为正奇数1 )； 2n
若n为奇数 2，1n1则an-1=-2an+ =(-2)·
所以an= (n为正偶数).所以1 a3= 2n
1 11 ( 2n1 ) 2n 2n1 .
1 2n
1 24
1. 16
=(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a99+a10(01)- 2
1 22
1 2100
)
11
1 11
1
2( 4
16
2100
)
( 2
22
2100
)
2
1 4
(1
1 450
)
1 (1 2
1 2100
)
1 1
1 1
4
2
答 13案(2：1100 1).
1－ 1
16
2
1 3
(
1 2100
－1)
【规律总结】与Sn有关问题的求解步骤 (1)分析题设条件. (2)分清是an与an+1的关系，还是an与Sn的关系. (3)转化为等差数列或等比数列，特别注意an=Sn-Sn-1(n≥2，n 为正整数)在an与Sn的关系中的应用. (4)整理求解.
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.4.1等比数列 探究导学课型
林老师网络编辑整理
12
【探究总结】对等比数列通项公式的两点说明 (1)在等比数列的通项公式中含有4个基本量，只要知其中任意 3个，可求第四个基本量. (2)通项公式的推导方法采用的是累乘法，该方法是求数列通 项公式常用的方法.
林老师网络编辑整理
13
二、等比数列的判定
探究1：根据等比数列的定义，判断下面的数列是否为等比数
83 3
33
林老师网络编辑整理
24
【加固训练】在等比数列{an}中，若2a4=a6-a5，则公比q
是
.
【解析】由已知得2a1q3=a1q5-a1q4，即2=q2-q， 所以q=-1或q=2.
答案：-1或2
林老师网络编辑整理
25
类型二 等比中项及应用
1.(2014·济宁高二检测)已知等比数列{an}中，a1=2，a5=18，
则a2a3a4等于( )
A.36
B.216
C.±36
D.±216
2.(2015·兰州高二检测)已知各项均为正数的等比数列{an}中，
a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=( )
A.5
B.7
C.6
D.4
2
林老师网络编辑整理
2
26
3.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1，a+1，a+4，则
以b=-3，且a，c必同号.
所以ac=b2=9.
林老师网络编辑整理
34
类型三 等比数列的证明 1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( ) A.{an+bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B.{an+bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C.{an+bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D.{an+bn}，{an·bn}都不一定是等比数列 2.在数列{an}中，若an+1=2an+3(n≥1，n∈N*)， 证明：数列{an+3}是等比数列.
高中数学人教版必修5课件：2.5等比数列的前n项和(共22张PPT)
问题7 问题8
题型1
例1
解作业布置
课本P61 A组 1,2,3,4,5
题型2
例3
解1
解2
数列的求和方法的类型 类型1 公式法
公式法常与其它方法相结合使用,单独命题并不多见
类型2 错位相减法
例4
解
类型3 裂项相消法
例5
解
类型4 并项求和法
直接把求和的项按加法结合律两两结合(或三三 结合)求和 例6
解
类型5 分组求和法
把数列的每一项分成若干部分,并分别 的把具有相同特征的部分放到一起,使 其转化为前面的类型数列求和.
2.5等比数列 的前n项和
问题预习
问题1
问题2
首项、公比、项数分别为1，2， 64
问题3
两边同乘以2，即两边同乘以公比2,使 原数列的各项相应增加1次,两式相减时,就有 许多项可以抵消.这种方法称“错位相减法”
问题4 在这个算中, 两边同乘以2,“2”在这个数列中
是一个什么角色?
问题5 问题6
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.5 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及推导方法.
2.掌握等比数列前n项和性质，并能应用性质解决有关问题.
等比数列前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项、项数与公比
选用 公式
na1 _____ q 1 a 1 q n Sn 1 __________(q 1 q 1)
1 2为S= 3源自1 5 [1 ( ) ] 8 2 93 . 1 128 1 2
1 方法二：由题意得，此等比数列的首项为 3 ，公比为 ， 2
3 1 7 所以S7= [1 ( ) ] ，所以从第3项到第7项的和为 2 2 381 1 128 1 2 3 3 381 9 93 S7 ( ) . 答案： 2 4 128 4 128 93 128
列是等比数列，则A+B=0吗？反之成立吗？ 提示：等于.反之也成立.因为Sn= a 1 q n 1
a1 a1 n q， n 则常数项与q 的系数互为相反数，即 反之，若 1A+B=0. q 1 q 1 q A+B=0，
则数列是等比数列.当n=1时，a1=S1=Aq+B=A(q-1). 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =Aqn-Aqn-1=(q-1)·Aqn-1， 又因为a1=A(q-1)满足an=(q-1)Aqn-1， 所以an=A(q-1)qn-1，所以{an}是等比数列.
na1 q 1 _____ a a q Sn 1 n __________(q 1 q 1)
1.等比数列 1 1 1 …的前10项和等于(
，， 2 4 8
)
1 511 A. B. 1 024 512 【解析】选 C.因为数列
1 023 1 C. D. 1 024 512 的 …是首项为 ，公比为 1 1 1 1 1 ，， 2 2 4 8 2
2
3.对于等比数列{an}，若a1=5，q=2，Sn=35，则an= 【解析】由Sn= a1 1 q n =20. 答案：20
.
1 q
a，得 aa q=
1 n
n
a1 1 q Sn q
1 q
5 35 2
一、等比数列的前n项和 根据等比数列前n项和的推导过程，思考下面的问题： 设等比数列{an}的前n项和为Sn=a1+a2+…+an， 即Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. 用q同乘以①式的两边，得 qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn ② ①
a3 a n (等比数列定义) a1 a 2 a n 1 a a a n 2 3 a1 a 2 a n 1 (比例的性质)， Sn a1 Sn a n -a )=S -a ，(1-q)S =a -a q. 所以 q(S
提示：①式减②式的目的是消去两式中若干项，从而得出有限 项.
n a (1 － q ) (q≠1)的过程中，限制了q≠1， 探究3：在推导Sn= 1 1－q
当q=1时，Sn等于多少呢？
提示：当q=1时，数列中的每一项都相等，所以其前n项和 Sn=na1.
【探究总结】等比数列前n项和公式的关注点 (1)q≠1时前n项和公式的推导采用的是错位相减法. (2)在等比数列的通项公式与前n项和公式中共含有5个量，若 知道其中3个可求另2个. (3)求等比数列{an}的前n项和时，要注意公比是否为1，要分 情况选取合适的公式求解.
【拓展延伸】等比数列的前n项和公式的其他推导方法
方法一：Sn= a1+a2+…+an
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(等比数列定义)
=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2)=a1+qSn-1
=a1+q(Sn-a1qn-1)=a1+qSn-a1qn(方程思想)， 所以(1-q)Sn=a1(1-qn)，因为q≠1， 所以Sn=
方法三：q= a 2
n n n 1 n 1 n
因为q≠1，所以Sn=
n a 1 q a1 a n q 1 . 1 q 1 q
二、等比数列前n项和的性质 根据Sn= a (1－q n ) 1
1－q
a1 a1 n (q≠1)探究以下问题： － q 1－q 1－q
探究1：一个数列{an}的前n项和写成Sn=Aqn+B(q≠1)，若此数
a1 1 q n 1 q
.
方法二：Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a2q+…+an-1q(等比数列定义) =a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an) =a1+qSn-anq， 所以(1-q)Sn=a1-anq，因为q≠1， 所以Sn=
n a 1 q a1 a n q 1 . 1 q 1 q
探究2：若数列{an}为等比数列，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(其中Sk， S2k-Sk，S3k-S2k均不为零)成等比数列吗？若成等比数列，公比
为多少？
提示：Sk=a1+a2+…+ak，
S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=qk(a1+a2+…+ak)，
S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=q2k(a1+a2+…+ak)， 显然Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也成等比数列，且新等比数列首项为 Sk，公比为qk.
①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn，
当q≠1时，得Sn=
a1 (1－q n ) . 1－q
探究1：①式两边为什么要同乘以q？ 提示：根据等比数列的定义，①式两边同乘以q，可以使所得
到的式子与①式有若干共同的项，使得作差后能消去若干项，
得到有限项，从而求出数列的前n项和.
探究2：①式减②式的目的是什么？
等比数列，所以S10=
1 1 [1 ( )10 ] 2 2 1 023 . 1 1 024 1 2
2.等比数列 3 3 3 …从第3项到第7项的和为
【解析】方法一：此等比数列的第3项到第7项仍然构成等比数 列，新等比数列的首项为 ，公比为 ，从第3项到第7项的和
， ，， 2 4 8
.
3 8
第1课时 等比数列的前n项和
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及推导方法.
2.掌握等比数列前n项和性质，并能应用性质解决有关问题.
等比数列前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项、项数与公比
选用 公式
na1 _____ q 1 a 1 q n Sn 1 __________(q 1 q 1)
1 2为S= 3源自1 5 [1 ( ) ] 8 2 93 . 1 128 1 2
1 方法二：由题意得，此等比数列的首项为 3 ，公比为 ， 2
3 1 7 所以S7= [1 ( ) ] ，所以从第3项到第7项的和为 2 2 381 1 128 1 2 3 3 381 9 93 S7 ( ) . 答案： 2 4 128 4 128 93 128
列是等比数列，则A+B=0吗？反之成立吗？ 提示：等于.反之也成立.因为Sn= a 1 q n 1
a1 a1 n q， n 则常数项与q 的系数互为相反数，即 反之，若 1A+B=0. q 1 q 1 q A+B=0，
则数列是等比数列.当n=1时，a1=S1=Aq+B=A(q-1). 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =Aqn-Aqn-1=(q-1)·Aqn-1， 又因为a1=A(q-1)满足an=(q-1)Aqn-1， 所以an=A(q-1)qn-1，所以{an}是等比数列.
na1 q 1 _____ a a q Sn 1 n __________(q 1 q 1)
1.等比数列 1 1 1 …的前10项和等于(
，， 2 4 8
)
1 511 A. B. 1 024 512 【解析】选 C.因为数列
1 023 1 C. D. 1 024 512 的 …是首项为 ，公比为 1 1 1 1 1 ，， 2 2 4 8 2
2
3.对于等比数列{an}，若a1=5，q=2，Sn=35，则an= 【解析】由Sn= a1 1 q n =20. 答案：20
.
1 q
a，得 aa q=
1 n
n
a1 1 q Sn q
1 q
5 35 2
一、等比数列的前n项和 根据等比数列前n项和的推导过程，思考下面的问题： 设等比数列{an}的前n项和为Sn=a1+a2+…+an， 即Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. 用q同乘以①式的两边，得 qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn ② ①
a3 a n (等比数列定义) a1 a 2 a n 1 a a a n 2 3 a1 a 2 a n 1 (比例的性质)， Sn a1 Sn a n -a )=S -a ，(1-q)S =a -a q. 所以 q(S
提示：①式减②式的目的是消去两式中若干项，从而得出有限 项.
n a (1 － q ) (q≠1)的过程中，限制了q≠1， 探究3：在推导Sn= 1 1－q
当q=1时，Sn等于多少呢？
提示：当q=1时，数列中的每一项都相等，所以其前n项和 Sn=na1.
【探究总结】等比数列前n项和公式的关注点 (1)q≠1时前n项和公式的推导采用的是错位相减法. (2)在等比数列的通项公式与前n项和公式中共含有5个量，若 知道其中3个可求另2个. (3)求等比数列{an}的前n项和时，要注意公比是否为1，要分 情况选取合适的公式求解.
【拓展延伸】等比数列的前n项和公式的其他推导方法
方法一：Sn= a1+a2+…+an
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1(等比数列定义)
=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2)=a1+qSn-1
=a1+q(Sn-a1qn-1)=a1+qSn-a1qn(方程思想)， 所以(1-q)Sn=a1(1-qn)，因为q≠1， 所以Sn=
方法三：q= a 2
n n n 1 n 1 n
因为q≠1，所以Sn=
n a 1 q a1 a n q 1 . 1 q 1 q
二、等比数列前n项和的性质 根据Sn= a (1－q n ) 1
1－q
a1 a1 n (q≠1)探究以下问题： － q 1－q 1－q
探究1：一个数列{an}的前n项和写成Sn=Aqn+B(q≠1)，若此数
a1 1 q n 1 q
.
方法二：Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a2q+…+an-1q(等比数列定义) =a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an) =a1+qSn-anq， 所以(1-q)Sn=a1-anq，因为q≠1， 所以Sn=
n a 1 q a1 a n q 1 . 1 q 1 q
探究2：若数列{an}为等比数列，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(其中Sk， S2k-Sk，S3k-S2k均不为零)成等比数列吗？若成等比数列，公比
为多少？
提示：Sk=a1+a2+…+ak，
S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=qk(a1+a2+…+ak)，
S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=q2k(a1+a2+…+ak)， 显然Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也成等比数列，且新等比数列首项为 Sk，公比为qk.
①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn，
当q≠1时，得Sn=
a1 (1－q n ) . 1－q
探究1：①式两边为什么要同乘以q？ 提示：根据等比数列的定义，①式两边同乘以q，可以使所得
到的式子与①式有若干共同的项，使得作差后能消去若干项，
得到有限项，从而求出数列的前n项和.
探究2：①式减②式的目的是什么？
等比数列，所以S10=
1 1 [1 ( )10 ] 2 2 1 023 . 1 1 024 1 2
2.等比数列 3 3 3 …从第3项到第7项的和为
【解析】方法一：此等比数列的第3项到第7项仍然构成等比数 列，新等比数列的首项为 ，公比为 ，从第3项到第7项的和
， ，， 2 4 8
.
3 8