高中数学2.2.5《导数的几何意义》教案北师大版选修2-

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《导数的概念及其几何意义》课件1 (北师大版选修2-2)

1
y
M
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
1 3 8 y x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解： ) y x , y lim (1 lim 3 x 0 x x 0 3 x y 1 y x 2 2 3 3 4 1 3 x x 3 x ( x ) ( x ) lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 xx ( x ) ] x . 1 3 x 0
'
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
3
P
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
x
-2 -1
O -1 -2
1
2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即

2.2 导数的概念及其几何意义课件(北师大版选修2-2)

ℎ →0
��
�� (�� 0 -4ℎ )-�� (�� 0 ) ℎ
=-4 ��
�� (�� 0 -4ℎ )-�� (�� 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ��
导.学. 固. 思
问题1 根据创设的情境,割线PP 的变化趋势是 n
点Pn趋近于
点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线 .
问题2
导数的概念与求法: 我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx Δy
Δ x →0
lim
称为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ��
�� ℎ →0 �� ℎ →0
�� (�� 0 +ℎ )-�� (�� 0 ) ℎ
ℎ →0
=-
4f'(x0)=-8.
求切线方程已知曲线 y=��-�� 上两点 P(2,-1),Q(-1,2 ). (1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
1 1
x=x 0 Δ x → 0 Δ x

北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义学案

导数的概念及几何意义简析一、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念和在某一点的导数的联系和区别；了解导数的概念，能利用导数定义求导数和解决与曲线的切线有关的问题．二、重点难点解释1导数概念的发生和发展过程的认识教材在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念，函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，变化率无限去趋近于唯一的一个常数，这个常数就定义为在该点的导数．对于一般的曲线，必须重新寻求曲线的切线的定义，所以新教材利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．为此导数集数与形于一身，运动变化的认识导数的形成过程，代数的认为过曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数,这个常数称为在该点的导数；几何的认为过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，这就是导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率，于是，导数问题丰富多彩，切线问题使“数”和“形”达到完美的统一。

只要我们分析导数的形成过程，深刻理解导数概念和几何意义，设切点、写切线、跟题走，掌握解题归律，导数问题就不难被解决。

2求导数的方法把握导数定义的生成过程，可用两种方法求解，一是利用在某一点的导数的形成过程，即定义法求解；二是利用导函数的函数值即为某一时刻的瞬时速度。

对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x ∆是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x ∆→0时，xy ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数；(3) 如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；(2) 求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f k x y x =--=→=→∆∆→∆时，时，3 导数几何意义的再认识用运动变化的观念分析曲线()x f y C =:上某点()00,y x 切线的斜率就是过曲线上某点()00,y x 处的导数，它可以从曲线上某点()00,y x 引割线，当动点无限趋近某点()00,y x 时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点()00,y x的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f x y k x =--=→=∆∆=→∆时，时，特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x x =三、经典问题解释1导数的定义与瞬时速度的关系例1 一质点运动的方程为S=8—3t 2.（1）求质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度；（2）求在t=1时的瞬时速度；简析：（1）理解平均速度的意义，质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度()()t t f x f t S ∆--=∆-∆+=∆∆611（2）由导数的定义，运动变化使增量趋近于1时，其平均速度变为t=1时的瞬时速度为-6；理解导数的意义，求导数导函数的函数值就是在某一刻的瞬时速度，()()61,6,,-=∴-=S t t S 为在t=1时的瞬时速度2 理解导数的概念和几何意义，用定义法求在某一点处的导数例2求下列函数的导数⑴ ()()()()()0f 5021,求,x x x x x f ---= ;⑵ 已知函数()()()()⎩⎨⎧<≥+=0022x x x x x f ，求在x=0处的导数 ; ⑶ 已知函数()x x x f =，求在x=0处的导数简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？ ⑴ 若先对函数求导，用积的导数运算法则复杂难以切入；若用导数的定义求在0处的导数使问题获解。

高中数学《导数的概念及几何意义》导学案课件北师大版选修22

设P0为曲线(qūxiàn)f(x)=x3+x-2上的点,且曲线(qūxiàn)在P0处
的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为
(1,0)或(-1,-4)
【解析】f'(x)= lim
3
(x+Δx) +(x+Δx)-2-(x 3 +x-2)
Δx
Δx→0
= lim
Δx→0
.
2
(3x 2 +1)Δx+3x(Δx) +(Δx)
【解析】设 P 点坐标为(x0,y0),
y'=

=
→0 →0
2
(+ ) - 2

=
2 +()
→0

2
= (2x+Δx)=2x.
→0
∴y'|=0 =2x0,又由切线与直线 4x-y+2=0 平行,
2
∴2x0=4,∴x0=2.∵P(2,y0)在抛物线 y=x 上,∴y0=4,
第2课时导数的概
念(gàiniàn)及几何意
义
第一页，共18页。
1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.
2.会计算函数在某点处的导数,理解导数的实际意义.
3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线(qiēxiàn)
方程.
第二页，共18页。
如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线(qūxiàn)f(x)趋近点
= lim
Δx→0 Δx Δx→0
2
2
=
= lim
Δx
Δx→0
2
∴f'(2)=4.

高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义课件北师大版选修2-2

Δ�� Δ��
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ��(��0 +Δ��)-��(��0 ) = �� . Δ�� 1 →�� 0 x1 -x0 ��x →0
2
,
∴ =Δ�� ∴lim
Δ��+4
(Δ��+2)
��y Δ��+4 =- �� 2=-1. Δ�� →0 ��x ��x →0 (Δ��+2)
答案:-1
-4-
§2 导数的概念及其几何意义
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f(x0 +��x)-f(x0 ) =切线 ��x Δ�� →0 Δ�� Δ��
=
��(��0 +Δ��)-��(��0 ) ,可知 Δ��
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
-2-
§2 导数的概念及其几何意义
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INZHI DAOXUE

2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)

T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大，函数值变化越快，即切线“越陡”.

高中数学选修2-2 北师大版第二章 2导数的几何意义(学案)

导数的集合意义[学习目标] 1.通过瞬时变化率理解导数，能解释函数在某点处的导数的实际意义，会求简单函数在某点处的导数.2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义，理解曲线在其上某点处的切线的概念，会求简单函数的图像在某点处的切线.知识点一导数的概念设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当x 1趋于x 0时，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10lim x x → f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 思考 (1)如何理解Δx ，Δy?(2)求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的基本步骤是什么？答案 (1)Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，所以Δx 可正、可负，但不能为零.当Δx >0(或Δx <0)时，Δx →0表示x 0＋Δx 从右边(或从左边)趋于x 0，Δy 是相应函数的改变量，Δy 可正、可负，也可以为零.(2)求导数的步骤：由导数的定义知，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤：第一步：求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；第二步：求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；第三步：取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限.知识点二导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 对导数几何意义的理解应注意：(1)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直.(2)显然f ′(x 0)>0，切线的倾斜角为锐角；f ′(x 0)<0，切线与x 轴正向的夹角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行或重合.(3)曲线的切线是用导数来定义的，是割线的极限位置.(4)如图所示，尽管直线l1与y＝f(x)有两个公共点，但l1也称为y＝f(x)在点A处的切线.尽管直线l2与y＝f(x)仅有一个公共点，但l2不是y＝f(x)在点B处的切线，即切线与曲线公共点的个数无关，只是割线的极限位置.(5)在曲线y＝f(x)上一点A处的切线有且仅有一条，而割线可以有无数条.思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导.题型一导数概念的应用例1求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数. 解∵f(x)＝2x2＋4x，∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝[2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)]－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx.∴ΔyΔx＝2(Δx)2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.∵f′(3)＝limΔx→0f(3＋Δx)－f(3)Δx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.反思与感悟把Δx＝0代入Δy的表述式中，往往可得Δy的趋近值.跟踪训练1求函数f(x)＝x在x＝1处的导数. 解∵f(x)＝x，∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝1＋Δx－1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx )2－12Δx (1＋Δx ＋1)＝Δx Δx (1＋Δx ＋1)＝11＋Δx ＋1. f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12. 题型二求曲线的切线方程1.求曲线在某点处的切线方程例2 求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程.解因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为f ′(1)＝lim Δx →0(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝lim Δx →0(Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx ＝lim Δx →0[(Δx )2＋3Δx ＋2] ＝2，故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.反思与感悟若求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程，其切线只有一条，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，且是切点，其切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).跟踪训练2 (1)曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处切线的倾斜角为________. (2)曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线斜率为3，则点P 的坐标为____________.答案 (1)34π (2)(－1，－1)或(1,1) 解析 (1)设切线的倾斜角为α，则tan α＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－(13－1＋5)Δx ＝lim Δx →013(Δx )3－Δx Δx＝lim Δx →0[13(Δx )2－1]＝－1. ∵α∈[0，π)，∴α＝34π. ∴切线的倾斜角为34π. (2)设点P 的坐标为(x 0，x 30)，则有lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →03x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20.∴3x 20＝3，解得x 0＝±1. ∴点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1).2.求曲线过某点的切线方程例3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程.解 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx ＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2. 设切点的坐标为(x 0,2x 0－x 30)，∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)，即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32. ∴切点的坐标为(0,0)或(－32，38). 当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为(－32，38)时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0. 综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0. 反思与感悟若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何。

高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章导数的概念及其几何意义第二课时参考教案

§2 导数的概念及其几何意义第二课时导数的几何意义（一）一、教学目标：1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2、理解曲线在一点的切线的概念；3、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：了解导数的几何意义教学难点：求简单函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导数的概念及求法。

（二）、探究新课设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为xy ∆∆，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ∆+）两点的直线的斜率。

这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。

如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。

直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ，称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。

该切线的斜率就是函数)(x f y =在x 0处的导数)(0x f '。

函数)(x f y =在x 0处的导数，是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。

函数)(x f y =在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义。

1、导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.2、导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．3、函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系。

数学北师大版高中选修2-2导数的几何意义

§2.2导数的几何意义学习目标1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；学习难点：导数的几何意义．一．自主学习（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近图3.1-2于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. ．二．典例分析例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=（2）因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --= （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2．如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请根据导数的几何意义描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2）当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3）当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例3．如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．。

2.2导数的概念及其几何意义学案(高中数学选修2-2 北师大版)

§2 导数的概念及其几何意义2．1 导数的概念2．2 导数的几何意义课标解读 1.理解导数的概念及导数的几何意义．(难点) 2.会求导函数及理解导数的实际意义．(重点) 3.掌握利用导数求切线的方程．(重点)导数的概念及其几何意义1.设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义.求函数的导数求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．【思路探究】先求在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率，再求当Δx 趋于0时的平均变化率的趋近值．【自主解答】 ∵Δy ＝1＋Δx －1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，当Δx 趋于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1趋于12， ∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.1．本题中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出．切忌算到1＋Δx －1Δx时，就下结论：当Δx 趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定．2．计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤：(1)计算Δy ；(2)计算Δy Δx ；(3)计算lim Δx →0 Δy Δx.求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．【解】 ∵f (x )＝2x 2＋4x ，∴Δy ＝f (3＋Δx )－f (3)＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx .∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. 当Δx →0时，Δy →16，∴f ′(3)＝16.热．如果第x h 时，原油的温度(单位：°C)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数f (x )在x ＝2和x ＝6时的导数，并说明它们的意义．【思路探究】先算出平均变化率，再利用定义求f ′(2)，f ′(6)，而导数就是瞬时变化率，可解释它的实际意义．【自主解答】 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(2x －7)Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －7，当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于2x －7，故f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5.说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 °C/h 的速度下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 °C/h 的速度上升．1．理解导数就是瞬时变化率是解答本题的关键．2．一般地，函数在某点处的导数值反映了函数在这一点处的变化情况，从而也揭示了事物在某一时刻的运动状况．某物体走过的路程s (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：s ＝2t 2.求函数s ＝2t 2在t ＝1处的导数s ′(1)，并解释它的实际意义．【解】当t 从1变到1＋Δt 时，函数值s 从2×12变到2(1＋Δt )2，函数值s 关于t 的平均变化率为s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝2(1＋Δt )2－2×12Δt＝4＋2Δt (m/s)．当Δt 趋于0时，平均变化率趋于4方程．【思路探究】设切点坐标P (x 0，y 0)→求导函数y ′＝f ′(x 0)→由斜率k ＝4，求x 0→求P 点坐标(x 0，y 0)→求切线方程【自主解答】设P 点坐标为(x 0，y 0)，先求f (x )＝x 2在x ＝x 0处的导数：f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0＋Δx .∴令Δx 趋于0，可知y ＝x 2在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)＝2x 0.∴2x 0＝4，∴x 0＝2.∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上，∴y 0＝4.∴点P 的坐标为(2,4)．∴切线方程为y －4＝4(x －2)．即4x －y －4＝0.1．理解导数的几何意义即函数在某点处的导数就是在该点切线的斜率．2．求曲线C ：y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程，关键是求切线的斜率，而求斜率实际上是求函数f (x )在x 0处的导数．将本例中“与直线4x －y ＋2＝0平行”改为“与直线4x －y ＋2＝0垂直”，其他不变．【解】设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx .令Δx 趋于0，则f ′(x 0)＝2x 0.∵切线与直线4x －y ＋2＝0垂直，∴2x 0＝－14， ∴x 0＝－18. ∵P (－18，y 0)在y ＝x 2上， ∴y 0＝164， ∴点P 的坐标为(－18，164)． ∴切线方程为y －164＝－14(x ＋18)，即16x ＋64y ＋1＝0.以直代曲的思想在研究函数变化中的应用(12分)如图2－2－1，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图像，根据图像，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2，t 3附近的变化情况．图2－2－1【思路点拨】因为导数描述函数的变化情况，而导数的几何意义表示切线斜率，故可作出曲线h ＝h (t )在点t 0，t 1，t 2，t 3处的切线，并通过其斜率的大小，加以描述．【规范解答】我们用曲线h (t )在t 0，t 1，t 2，t 3处的切线，刻画曲线h (t )在上述四个时刻附近的变化情况．2分(1)当t ＝t 0时，曲线h (t )在t 0处的切线l 0平行于t 轴．所以，在t ＝t 0处附近曲线比较平坦，几乎没有升降，即函数h (t )没有变化.4分(2)当t ＝t 1时，曲线h (t )在t 1处的切线l 1的斜率h ′(t 1)<0，所以函数h (t )是递减的，曲线是下降的.6分(3)当t ＝t 2时，曲线h (t )在t 2处的切线l 2的斜率h ′(t 2)<0.所以函数h (t )在t ＝t 2附近单调递减，曲线是下降的.8分(4)当t ＝t 3时，曲线h (t )在t 3处的切线l 3的斜率h ′(t 3)>0.所以，函数h (t )在t ＝t 3附近单调递增，曲线是上升的.10分从图中可以看出，直线l 1的倾斜程度小于直线l 2的倾斜程度，这说明h (t )在t 1附近比在t 2附近下降的缓慢.12分既然导数f ′(x 0)描述了函数f (x )在x ＝x 0处的变化率，那么我们就可以利用导数的几何意义，曲线的切线，研究函数的变化情形．一般地，当f ′(x 0)>0(<0)时，曲线y ＝f (x )在x 0处的切线为上升(下降)的，函数f (x )在x ＝x 0处是单调递增(递减)的，且|f ′(x 0)|越大，说明函数瞬时变化率越大，函数值变化的越快，图像越“陡峭”；|f ′(x 0)|越小，说明函数变化的越慢，图像越平缓．1．导数描述了函数在某一点处的瞬时变化率；导数为正(负)说明函数在对应点附近递增(减)．2．求导数的步骤：(1)求平均变化率Δy Δx； (2)求导：f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx. 3．导数f ′(x 0)的几何意义：表示曲线y ＝f (x )在点(x ，f ′(x 0))处的切线斜率．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．。

高中数学第二章变化率与导数导数的几何意义教案北师大版选修

2.2 导数的几何意义一、复习：导数的概念及求法。

二、探究新课多媒体演示，得出以下定义:1．割线及其斜率：连结曲线C 上的两点的直线PQ 叫曲线C 的割线，设曲线C 上的一点(,())P x f x ，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(,())Q x x f x x +∆+∆，则割线PQ 的斜率为 00()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x+∆-+∆-==+∆-∆． 2．切线的定义：随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ在点P 附近越来越逼近曲线C 。

当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线；3．切线的斜率：当点Q 沿着曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 处的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当x ∆无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近于点(,())P x f x 处的切线的斜率．4.导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 5.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。

（1）分别对Δx =2，1，0.5求2x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的导数，并画出曲线2x y =在点（－2，4）处的切线。

《2.2.2 导数的几何意义》课件 3-优质公开课-北师大选修2-2精品

• [点评] 用导数定义求函数在某一点处的导数的过程：一差、二比、三极限．
• 求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数．
[ 解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13 ＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
2 3 Δy 5Δx＋3Δx ＋Δx 2 ＝＝ 5 ＋ 3Δ x ＋ (Δ x ) ， Δx Δx
3Δx，当 Δx 趋于 0 时，5＋3Δx 趋于 5，所以曲线 y＝3x2－x 在点 A(1,2)处的切线斜率是 5. 所以切线方程为 y－2＝5(x－1)，即 5x－y－3＝0.
• [点评] 求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤： • (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； • (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)· (x－x0)．
学习方法指导
• 1．函数在某点的导数即为函数在该点的瞬时变化率，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数． • 2．导数的几何意义 • 如图所示，设函数y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l.直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．该切线的斜率就是函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)．
1 将 A(1,0)代入①式，得 a＝2.所以所求的切线方程为 y＝－ 4x＋4.
1 (2)设切点坐标为 P(x0，x )，由(1)知，切线的斜率为 k＝－ 0 1 1 1 3 3 ，则－x2＝－3， x0＝± 3.那么切点为( 3，3 )或(－ 3，－ 3 )． x2 0 0 1 2 3 1 2 3 所以所求的切线方程为 y＝－3x＋ 3 或 y＝－3x－ 3 .

北师大版高中数学选修高二导数的几何意义教学设计

第二章变化率与导数2.2.2 导数的几何意义一、教学目标：1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2、理解曲线在一点的切线的概念；3、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：了解导数的几何意义教学难点：求简单函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程复习回顾1.平均变化率.],[)()()(0)(00000的平均变化率在为函数称时，比值当及其附近有定义，在点已知函数x x x x f xx f x x f x y x x x x f y ∆+∆-∆+=∆∆≠∆== 2.瞬时变化率.)()()(0x 000的瞬时变化率在点则这个常数称为函数常数，时，平均变化率当x x f xx f x x f →∆-∆+→∆ 3.导数的定义xx f x x f x f y x f x x x f x x x x ∆-∆+='''=→∆=)()((lim )(|)()(00000000，故或记作处的导数在为的瞬时变化率，就定义函数在4.点斜式直线方程：y-y0=k(x-x0)曲线的切线y=f(x)y0=f(x0)， y1=f(x1)当自变量从x0变化到x1时，相应的函数值从f(x0)变化到f(x1) 自变量的增量△x= x1- x0函数值的增量△y= f(x1) - f(x0) Q(x0+ △x,y0+ △y) △y=f(x0+ △x)-f(x0)曲线在某一点处的切线的定义设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点(x0,y0)及邻近一点(x0+△x,y0+△y) 过P,Q两点作割线当点Q沿着曲线无限接近于点P即△x→0时, 如果割线PQ有一个极限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。

曲线在某一点处的切线的斜率公式设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α tan β=x y∆∆xx f x x f ∆-∆+=)()(00当△x →0时，割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线的斜率，即 tan α=x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(0000lim lim 切线斜率求曲线L ：y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率。

【创新设计】高中数同步课件：2.2.2 导数的几何意义 (北师大版选修22)

课前探究学习
课堂讲练互动
(3)若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
(4)显然f′(x0)>0，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)<0，切线倾斜角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行或重合．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．利用导数的几何意义求曲线上某点的切线方程的步骤第一步：求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
课前探究学习
课堂讲练互动
解析 ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 ＝x0＋Δx3－3x0＋ΔΔxx2＋1－x03＋3x20－1 ＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0. 所以，f′(x0)＝li m [(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x02－
Δx→0
课堂讲练互动
题型一曲线的切线方程
【例1】曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线
y＝9x－1，则切线方程为
( )．
A．y＝9x
B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26
D．y＝9x＋6或y＝9x－26
[思路探索]设点P(x0，y0)，由导数的几何意义可知，曲线在点P处的切线斜率为9，由此可求出切点的横坐标x0.
4．求切线的倾斜角求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，由导数的几何意义，得f′(x0)＝k＝tan α，(其中α为曲线f(x)在(x0，f(x0)处的切线的倾斜角)进而求出α.特别地，若f(x)在x0处的导数不存在，而f (x)在x0处的切线存在，则此切线的倾斜角为90°.
课前探究学习

高中数学2.2.2导数的几何意义教学案无答案北师大版选修22

课题陕西省渭南市澄城县寺前中学高中数学 2.2.2导数的几何意义教学案（无答案）北师版选修2-2班级授课（完成）时间教师（学生）教学目标知识与技能会求简单函数在某点的切线方程。

过程与方式通过函数的图像直观理解导数的几何意义。

感情态度与价值观经历建立导数概念、切线定义的形成过程，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的认识和理解。

重点难点重点：理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线的方式；难点：理解导数的几何意义.教学方式讲练结合法学生自学反馈教学过程新知导学B备注知识点归纳阅读课本34页内容归纳总结：1．函数()x f y =在0x处的导数，是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k = ；2、求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标())(,00x f x ;②求出函数在点x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x kx ∆→+∆-'==∆ ，获得曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程))(()(000x x x f x f y -'=-.注意：函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x 轴。

注明知识要求：A “识记类” B “理解类” C “应用类” D “能力提升类” 合作探究 C备注例1、已知函数2)(x x f y ==， x0＝－2。

（1）分别对Δx=2，1，0.5求2x y =在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并画出过点（x0，)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2x y =在x0＝－2处的导数，并画出曲线2x y =在点（－2，4）处的切线。

当堂检测 C备注1、已知曲线22x y =上一点)8,2(P ，则过点的切线的斜率为（） A ．4 B ．16 C ． 8 D ． 2 2、曲线34x x y -=在点)3,1(--处的切线方程是：（） A ．47+=x y B ．27+=x y C ．2-=x y D ．4-=x y3、求()2x x f =在2=x 处的切线斜率，并求出过该点的切线方程。

北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义教案(1)

导数的概念和几何意义一、教学目标(一)知识目标1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2．通过函数图象直观了解导数的几何意义.（二）能力目标掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题.（三）情感目标通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力，认识事物之间的相互联系，会用联系的观点看问题.二、教学重点导数的定义与求导的方法.三、教学难点对导数概念的理解.四、教学过程：（一）复习引入师：前面我们研究了两类问题，一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来？生：这两类问题都涉及到以下几件事：（1）一个函数f （x ）；（2）f （x+d ）－f （x ）；（3）dx f d x f )()(-+；（4）当d 趋于0时，dx f d x f )()(-+趋于一个确定的常数. 师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学模型，今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义.（二）探求新知1.增量、变化率的概念对于函数),(),(000y x P x f y =是函数图象上的一点，),(11y x Q 是另一点，自变量从x 0变化为x 1时，相应的函数值有y 0变为y 1，其中x 1－x 2叫做自变量x 的增量，记为△x ， y 1－y 0叫做函数的增量（也叫函数的差分），记为△y ，则).()(01x f x f y -=∆xy ∆∆叫做函数的变化率（或函数)(x f 在步长为△x 的差商）.★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限.★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限.2．导数定义设函数)(x f 在包含x 0的某个区间上有定义，如果比值dx f d x f )()(00-+在d 趋于0时，（d ≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数)(x f 在x=x 0处的导数或微商，记做)('x f . 上述定义的符号表示为：)0)(()()(0'00→→-+d x f dx f d x f . 这个表达式读作“d 趋于0时，dx f d x f )()(00-+趋于)(0'x f . 简单地说：函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商.★)('x f 也是关于x 的函数，叫做函数)(x f 的导函数.3．求导数的步骤（1）求函数的增量).()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）令△x →0，差商→)(0'x f .4．导数的几何意义函数)(x f y =在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点P （x 0，)(0x f ）处的切线的斜率)(0'x f .5．导数的物理意义函数)(t s s =在点t 0处的导数)(0't s 的物理意义是运动物体在时刻t 0处的瞬时速度.（三）讲解例题例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（图中W 1（t ），W 2（t ）分别表示甲、乙企业在时刻t 的排污量）.试问哪个企业的治污效果较好？分析：本题主要体现差商（即差分和对应步长的比）定义在现实生活中的运用，要.解：在时刻t 1处，虽然W 1（t ）=W 2（t ），即排污量相同，但是考虑到一开始有W 1（t 0）＞W 2（t 0），所以有 010*********)()()()(t t t W t W t t t W t W -->-- 说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大.即企业甲的治污效果要好一些.例2 投石入水，水面产生圆形波纹区.圆的面积随着波纹的传播半径r 的增大而增大（如图），计算：（1）半径r 从a 增加到a+h 时，圆面积相对于r 的平均变化率；（2）半径r=a 时，圆面积相对于r 的瞬时变化率.分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆）面积的平均变化率。

北师大版数学高二学案导数的几何意义

2.2 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.(重点)2.会求导函数.(重点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.(重、难点)知识点一切线的概念如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1，2，3，4，…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.显然割线PP n的斜率是k n＝f（x n）－f（x0）x n－x0，当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率.知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，也就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝0limx∆→f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0).相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 【预习评价】1.曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？提示不一定.曲线的切线与曲线除了切点外，可能还有其他的公共点.2.曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”的差异是什么？提示在点P处的切线，点P必为切点，过点P的切线，点P不一定为切点，点P也不一定在曲线上.题型一已知过曲线上一点求切线方程【例1】若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值. 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）3＋3a （x ＋Δx ）－x 3－3axΔx＝ 0lim x ∆→3x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3＋3a ΔxΔx＝0lim x ∆→[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a .设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342，∴a ＝1－322.规律方法一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图像，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.【训练1】求过曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程.解因为0lim x ∆→ f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝0lim x ∆→12＋Δx －12Δx ＝0lim x ∆→ －12（2＋Δx ）＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0. 题型二求过曲线外一点的切线方程【例2】已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3，9)的切线方程. 解 y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx＝0lim x ∆→[2（x ＋Δx ）2－7]－（2x 2－7）Δx＝0lim x ∆→(4x ＋2Δx )＝4x .由于点P (3，9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0). 将P (3，9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0). 解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25).从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 【训练2】求过点A (2，0)且与曲线y ＝f (x )＝1x 相切的直线方程. 解易知点(2，0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由f′(x0)＝limx∆→1x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20，得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0).由点(2，0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.【例3】已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.解对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，y′|x＝x0＝limx∆→[（x0＋Δx）2－1]－（x20－1）Δx＝limx∆→2x0·Δx＋（Δx）2Δx＝limx∆→(2x0＋Δx)＝2x0.对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，y′|x＝x0＝limx∆→[1－（x0＋Δx）3]－（1－x30）Δx＝limx∆→－3x20Δx－3x0（Δx）2－（Δx）3Δx＝limx∆→[－3x20－3x0·Δx－(Δx)2]＝－3x20，又y＝1－x3与y＝x2－1在x＝x0处的切线互相平行，所以2x0＝－3x20，解得x0＝0或x0＝－23.【迁移1】(条件不变，改变问法)本典例条件不变，试分别求出这两条平行的切线方程.解 (1)当x 0＝0时，两条切线的斜率k ＝0，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为(0，－1)，切线方程为y ＝－1，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为(0，1)，切线方程为y ＝1. (2)当x 0＝－23时，两条切线的斜率k ＝－43，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－59，切线方程为y ＋59＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即12x＋9y ＋13＝0，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3527，切线方程为y －3527＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即36x＋27y －11＝0.故两曲线的切线方程分别是y ＝－1，y ＝1或 12x ＋9y ＋13＝0，36x ＋27y －11＝0.【迁移2】 (条件不变，改变问法)本典例条件不变，试求出两条切线之间的距离.解由迁移1知两切线的方程为y ＝－1，y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0，36x ＋27y －11＝0，其中36x ＋27y －11＝0可化为12x ＋9y －113＝0，故两直线间的距离d 1＝2或d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪13＋113122＋92＝109. 故两条切线之间的距离为2或109.规律方法解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直等.课堂达标1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2，8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4B.16C.8D.2解析 f ′(2)＝0lim x ∆→f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝0lim x ∆→2（2＋Δx ）2－8Δx ＝0lim x ∆→ (8＋2Δx )＝8，即斜率k ＝8.答案 C2.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A.a ＝1，b ＝1 B.a ＝－1，b ＝1 C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1解析由题意，知k ＝0lim x ∆→（0＋Δx ）2＋a （0＋Δx ）＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A. 答案 A3.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.解析设点P (x 0，2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→2（Δx ）2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3，30). 答案 (3，30)4.曲线y ＝2x 2＋1在点P (－1，3)处的切线方程为________. 解析 Δy ＝2(Δx －1)2＋1－2×(－1)2－1＝2(Δx )2－4Δx ，ΔyΔx ＝2Δx －4，0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(2Δx －4)＝－4，由导数几何意义知，曲线y ＝2x 2＋1在点(－1，3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y ＝－4x －1，即4x ＋y ＋1＝0. 答案 4x ＋y ＋1＝05.在抛物线y ＝x 2上，问哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝0lim x ∆→ (2x ＋Δx )＝2x .设抛物线上点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线 4x －y ＋1＝0，则k ＝2x 0＝4，解得x 0＝2. 所以y 0＝x 20＝4，即P (2，4).设抛物线上点Q (x 1，y 1)处的切线垂直于直线 4x －y ＋1＝0，则k ＝2x 1＝－14，解得x 1＝－18. 所以y 1＝x 21＝164，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，164.故抛物线y ＝x 2在点(2，4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，164处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0.课堂小结1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.。

高中数学北师大版选修2-2第2章导数的概念及其几何意义

导数的概念及其几何意义第四课时导数的几何意义习题课一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。

二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法教学难点：理解导数的几何意义三、教学方式：探析归纳，讲练结合四、教学进程（一）、温习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。

（二）、探讨新课例1、在曲线34xy =上求一点P 使得曲线在该点处的切线知足下列条件：（1）平行于直线y ＝x ＋1；（2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0；（3）倾斜角为135°。

解：设点坐标为（0x ，0y ），则202002020202020)(48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ∆+∆--=∆∆+∆-∆-=∆-∆+=∆∆ ∴当Δx 趋于0时，30400088)(x x x x f -=-='。

（1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。

∴1)(0='x f ，即1830=-x ， ∴20-=x ，10=y 。

即P （―2，1）。

（2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)162(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，∴10=x ，40=y 。

即P （―1，4）。

（3）∵切线倾斜角为135°，∴1135tan )(00-=='x f ，即1830-=-x ， ∴20=x ，10=y 。

即P （2，1）。

例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。

解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x xx x x x x x x x x x y ∆+∆+=∆∆+∆+∆=∆+-+∆+=∆∆ 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='，由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ①又过（1，1）点的切线的斜率111030--+=x x k ② ∴由①②得：130302-=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。