第二章 分子动力学理论tcl2

vp 附近单位速
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物理意义 率间隔内的相对分子数最多 .
气体在一定温度下分布在最概然速率
2）平均速率
v
∫ v=
N 0
vdN N
∞ 0
∫ =
∞
0
vNf ( v)dv N
v = ∫ vf (v)dv
v=∫
0 ∞
m mv2 2 kT 3 4π v dv e 2πkT
3 2
8kT = πm
kT RT v ≈1.60 =1.60 m Mm
等概率性----在没有理由说明哪一事件出现的概率都应 等概率性 相等。
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3、概率的基本性质 、
(1)、 n个互相排斥事件发生的总概率是每个事 件发生概率之和，简称概率相加法则。 概率相加法则。 概率相加法则 (2)、相互统计独立的事件同时或依次发生的发 生的概率等于各个事件概率之乘积，简称概 概 率相乘法则。 率相乘法则
3 2
vP
v v+dv
dN = f ( v)dv = dS N
麦克斯韦速率分布曲线 麦克斯韦速率分布曲线 速率
N v2 S = = ∫ f (v)dv v1 N
f (v )
S
o
v 1 v2
v
速率位于 v1 → v2 区间的分子数占总数的百分比 在f(v)~v整个曲线下的面积为 1 ----- 归一化条件。 整个曲线下的面积为 归一化条件。
归一化条件 归一化条件
N dN ∫0
N
∞ = ∫0 f (v)dv =1
m mv 2 2kT 2 f (v) = 4π v e 2πkT 记忆这个公式分三部分： 记忆这个公式分三部分：
第一部分： 球壳”的体积， 球壳” 第一部分：4πv2dv是“球壳”的体积，而“球壳”全方位的高 度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现； 度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现； 第二部分： 第二部分： e
随机事件：若某一事件或现象可能发生也可能不发生。 随机事件：若某一事件或现象可能发生也可能不发生。 概率：在总次数趋于无限大时， 概率：在总次数趋于无限大时，某事件出现次数对总次数的比率 离散变量xi
P (xi ) = l m i i N N→ ∞ N
dN(x) N
x→0 N→∞
连续变量x , x-x+dx区间
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四、 均方偏差
ui = ui u , 一般u = 0, 但均方偏差不为零。 （u） = ∑ (u r ) Pr = ∑ (ur u ) Pr = u 2u u + (u )
2 2 2 2 r =1 r =1 n n 2
= u 2 2u u + (u ) 2 = u 2 (u ) 2 ≥ 0, u 2 1/ 2 [(u ) 2 ]1/ 2 (u ) rms [( = 定义相对均方根偏差： ) ] = u u u
三种统计速率 1）最概然速率
df ( v ) =0 d v v =v p
根据分布函 数求得
定义： 定义：与 f(v)极大值相对应的速率。 ( )极大值相对应的速率。
f max
f (v)
o
vp
v
QMm = mN , R= NA k A
2kT kT vp = ≈ 1.41 m m
RT ∴ vp ≈ 1.41 Mm
x→0
N(x) N x
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N x2 处于x1 → x2范围内的概率： = ∫ f (x)dx x1 N
少数分子无规律性
大量分子的统计分布
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麦克斯韦（ 麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
他提出了有旋电场和位移电流概念，建 他提出了有旋电场和位移电流概念， 他提出了有旋电场和位移电流概念 立了经典电磁理论，预言了以光速传播 立了经典电磁理论， 的电磁波的存在。 的电磁波的存在。 1873年，他的《电磁学通论》问世，这 年 他的《电磁学通论》问世， 是一本划时代巨著， 是一本划时代巨著，它与牛顿时代的 自然哲学的数学原理》并驾齐驱， 《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 在气体动理论方面，1859年提出气体分 在气体动理论方面， 在气体动理论方面 年提出气体分 子按速率分布的统计规律。 子按速率分布的统计规律。
dx,
(a > 0, n = 0,1,2,3,L)
Q Q Q Q Q = = = = = π 2 a 1 2 a 4 a 1 2 a 3 8 a
1 / 2
n n n n n
= = = = =
0 1 2 3 4
π
3 / 2
2
π
5 / 2
§2.1 分子动理学理论与统计物理学
分子动理学理论方法的主要特点 主要特点是，它考虑到分子 分子动理学理论 主要特点 与分子间、分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间有 相互作用力，利用力学定律和概率论来讨论分子运动及 分子碰撞的详情。它的最终及最高目标是描述气体由非 平衡态转入平衡态的过程。
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f (v)
三种速率的比较
o
vp v v2
三种速率统计值有不同的应用： 三种速率统计值有不同的应用：
v
在讨论速率分布时，要用到最概然速率； 在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计算 分子运动的平均距离时，要用到平均速率； 分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算 分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。 分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。
统计物理学是从对物质微观结构和相互作用的认识 统计物理学 出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组 成的宏观物体的物理性质。
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§2.2 概率论的基本知识
一、伽尔顿板实验
. . . . . . . . . . . .
对于由大量分子 组成的热力学系统从微 观上加以研究时， 观上加以研究时，必须 用统计的方法 .
19世纪伟大的英 世纪伟大的英 国物理学家、数 国物理学家、 学家。 学家。经典电磁 理论的奠基人， 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。 始人之一。
速度取向的概率问题。速度是矢量， 速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的 概率问题。首先我们容易想到这样两个事实： 概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1。由于分子受 到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的， 到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，说某一分子 具有多大的运动速率没有意义， 具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔 内出现的概率； 哪怕是相同的速率间隔，例如都是100 内出现的概率；2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100ms-1， 但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200 ms-1 有相同的速率间隔， 500和500-600 ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速 率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。 率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比 速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小， 如，速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小， 而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实， 而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要 在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的， 问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这 个规律能用一个函数定量表示出来。为此， 个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布 函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。 函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。
v m 2 2kT
3 2
正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个 正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意， 指数衰减律的结果没有单位， /2是分子热运动的动能 是分子热运动的动能， 指数衰减律的结果没有单位，mv2/2是分子热运动的动能，kT 既有能量的量纲， 既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能 与体系能量状态特征量之比，对于大的速率， 与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速 增加的速度快得多，二者共同影响的结果， 度比v2增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数 值必然较小。 值必然较小。
§2.3 麦克斯韦速率分布
一、分子射线束实验
实验装置 接抽气泵
金属蒸汽 显 示 屏 L
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二、麦克斯韦速率分布
麦克斯韦 速率分布函数 f(v) f(vP)
m mv2 2kT 2 f (v) = 4π v e 2πkT
m——分子的质量 分子的质量 T——热力学温度 热力学温度 k——玻耳兹曼常量 玻耳兹曼常量 面积= dN/N 面积 曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于 分布在此速率区间 内的分子数占总分 子数的概率dN/N 。 子数的概率 v
v
p
=
2 kT m
v
=
8 kT π m
v
2
=
3 kT m
f (v)
T1 = 1200K
f (v)
T2 = 300K
O2
H2
o
vp1 vp2
v
o
N2 分子在不 同温度下的速率分 布
vp 0 vpH
v
同一温度下不同气 体的速率分布
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课堂练习1． 的物理意义为： 课堂练习 ．速率分布函数 f (v) 的物理意义为： 的分子占总分子数的百分比． v的分子占总分子数的百分比． （Ｂ）速率分布在 （Ｂ）速率分布在 v附近的单位速率间隔中的分子 （Ａ）具有速率 （Ａ）具有速率 （Ｃ）具有速率 （Ｃ）具有速率 数． 的分子数． v的分子数． （Ｄ）速率分布在 （Ｄ）速率分布在 v附近的单位速率间隔中的分子
相对均方根偏差 表示了随机变量在平均 值附近分散开分布的程度，也称为涨落、散 称为涨落、 称为涨落 度或散差。 度或散差。