工程流体力学第3章

流动的描述方法
根据上述分析，以下各图中加速度的表达式为：
Du 0 Dt
Du u u Dt x
Du u Dt t
Du u u u Dt t x
流动的分类
3.2 流体及流动的分类
（1）分类
① 牛顿流和非牛顿流； ② 理想流和粘性流 ③ 可压流和不可压流； ④ 层流和湍流 ⑤ 亚音速、跨音速、超音速流
根据质量守恒定律：
( v ) 则： x t x
M M M M 0 x y z t
v v v 1 d y ( x z) 0 dt x y z
( v ) ( v ) y 或 z 0 y z
第三章 流体运动学
赵小虎
2018/12/16
三
流体运动学
研究流体的运动主要包括: （1）如何描述运动 — 运动学：
包括流场及其描述方法，速度、加速度、连续性方程
等； 运动的描述，不涉及到流体产生运动的力学原因，因 此运动学结论对理想流体和粘性流体均适用。 （2）流体运动产生的原因以及必须遵循的基本物理规
v v v v 11 y a u v w 0 y 0 y t x y z 22 4
w w w w y 2 2 2 3 xy a u v w x y y x 0 x y z t x y z 2 2
流动的描述方法
② Euler法 — 流场的概念 着眼于整个流场各空间点的状态，而不是单个的流体质点 所有物理参数都是空间坐标(x, y, z)和时间坐标t的函数
V u(x, , t)i v(x, y,, z t)j w(x, y,,z t)k y, z
(x, y,t) z,
p p(x, y, , t) z
x x(a, b, c, t) y y(a, b, c, t) z z(a, b, c, t)
dx x x'(a,, b, t) c dt t du u a x''(a, c, b, t) x dt t u
迹线 — 流体质点的运动轨迹。
2 11 22
连续性方程
（3）直角坐标系中微分形式的连续性方程 设: ① 中心点坐标：x, y, z ② 六面体三边:dx, dy, dz ③ 中心点速度:vx , vy , vz ④ 中心点密度：ρ
v y
( v y ) dy y 2
d O Z
b a e ·A c h
f
v y
( v y ) dy y 2
即 xdx + ydy = 0，积分得流线方程为：x2 + y2 = C
基 本 概 念
例. 设有一个二维非定常流场其速度 a 0 1 t
求t = 0时过（1，1）的流线和迹线。 解：1. 求流线，由流线方程（其中 t 固定当常数看） ：
可以是非均质的； 均质：密度的梯度为零，即密度在空间上处处均匀，但 不能保证随时间不变化； ρ＝c：不可压缩均质流体，即密度既不随时间变化、也
不随位置而变化。
连续性方程
v v v y x 连续性方程是流动首先应该满足的基本关系: z 0 x y z
例如，速度场： u x y , w0 x y , v 是否能够代表一个真实的不可压缩流动?
律 — 动力学。
三
流体运动学
3.1 流场及描述方法 （1）流场：流体质点运动的全部空间。 （2）描述流体运动的参数，如速度、加速度 等，均为所选坐标的连续函数 。 （3）流体运动的描述方法：Lagrange法和 Euler法
流动的描述方法
① Lagrange法 — 随体的概念 (a,b,c)：流体质点的初始位置，不同质点的标记； (x,y,z)：流体质点运动时的坐标，与(a,b,c)和t有关；
2 a 2 at 积分得迹线参数方程： x c ( 1 t ) , y c e 1 2
由初始条件可得c1=c2=1, 故所求的迹线参数方程为：
2 a 2 at x ( 1 t ) , y e , 即： y e
1 2 2 a ( xa 1 )
可见非定常时迹线与流线不重合。
流动的分类
（2）定常和非定常流动：
V u(x, , t)i v(x, y,, z t)j w(x, y,,z t)k y,
(x, y,t) z, p p(x, y, , t) z
若流动的这些物理参数不随时间变化，称为定常 或恒定流动，此时物理量的当地导数 为0；否则为 为非定常流动。
g Y
X
连续性方程
① dt时间内流入abcd的流体质量：
( v 1 y) v dy y dxdzdt 2 y
Z
② dt时间内流出efgh的流体质量：
a
b e c d O ·A h
f
v y
( v y ) dy y 2
( v 1 y) v dy y dxdzdt 2 y
i j k x y z
流动的描述方法
矢量描述：
DV V a ( V ) V i j k Dt t x y z
V ：当地加速度或时变加速度，速度场的不稳定性 t
( V ) V
：迁移加速度或位变加速度，速度场的不均匀性
x e2at, y e2at
即:
xy 1
定常时迹线与流线重合。
基 本 概 念
（3）流面，流管，流束；流束的极限是流线。 （4）流量：体积流量和质量流量
Q ( V . n ) dA V dA V cos dA V n
A A A
平均速度：
V Q A V /A
而速度场： ux , v y ,
w z
则不能代表一个真实的不可压缩流动。 此外，还可以根据某方向的速度分布和连续方程，确定出其 它方向的速度分布。
连续性方程
例1：不可压二维平面流动，vy = y2 – y – x ，求vx。
初始条件：x = 0 时 vx = 0
解：由不可压流的连续性方程
( V ) 0
不可压流：
d 0 dt
v v v y x z 0 x y z
V 0
连续性方程
不可压、均质流体与密度为常数的关系 不可压：dρ/dt=0,指的是每个流体质点的密度在流动过
程中保持不变，但是不同流体质点的密度可以不同，即流体
t
流动的分类
（3）一元、二元、三元流动（或一、二、三维）：
依据:流动在空间的自变量数目。自变量越少，
流动越简单。
维数和运动方向的区别。
流动的分类
例1 ：
2 2 V x yi
1 yj xyk 2
，属几维几向？求加速度。
二维三向流动，定常
u u u u 12 2 2 2 3 4 2 2 a u v w y x 2xy y 2x y 0 2x y y x x t x y z 2
dA Vcos
A
（5）其它概念：
有效截面、湿周、水力半径、当量直径
连续性方程
3.4 连续性方程 — 质量守恒定律在流动中的体现 （1）物理意义：在流体运动中，流体质量不生不灭。
（2）不可压定常流流束和总流的连续性方程
v dA v dA 1 1 2 2
1 1 2 A A 1 2
v dA v dA V A V A
基 本 概 念
如果流动定常： u 2 ax , v 2 ay
dx dy 1. 流线： → 2ax 2ay
xy 1
2. 迹线:
dx dy 2 ax , 2 ay dt dt
2 at y c e 2
2 at 积分得迹线参数方程：x c e , 1
由初始条件可得c1=c2=1, 故所求的迹线参数方程为：
（2）流线 ① 定义：
② 方程：
cos( V , x ) u / V
cos( V ,y ) v / V
cos( V , z ) w / V
,y ) dy / ds cos( , z ) dz / ds cos( , x ) dx / ds cos(
dx dy dz u v w
v y
( v y ) dy y 2
g Y
③ dt时间内流出流入的质量差:
My ( vy) y dxdydzdt
X
连续性方程
( v ( v z) x) 同理： M dxdydzdt M dxdydzdt z x
x
z
另，密度变化引起六面体内质量的变化为： M dxdydzdt t t
基 本 概 念
3.3 迹线、流线、流管、流量等 （1）迹线：是拉格朗日观点下描述流动的曲线， 是给定质点在空间走过的轨迹。
当速度场u,v,w给定时，迹线微分方程可写为：
dx dy dz u , v , w , 其中 t 是自变量 dt dt dt
上式对时间 t 积分后可得迹线表达式。
基 本 概 念
点源、点汇等）
基 本 概 念
ky kx 例1：流场速度 v ，求流线方程 ， v ， v 0 x y z 2 2 2 2 x y x y
已知流线方程满足：
dx dy ，将速度分布代入得： vx vy
2 2 2 2 (x y )dx (x y )dy ky kx
流动的描述方法
加速度：（1） A→B，速度不变；（2）水位下降，速度减小; （3）管道收缩，速度增大；（4）水位下降，管道收缩。