2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库48

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2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库11

沁园春·雪<毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。

沁园春·雪 <毛泽东> 北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

第8讲函数与方程一、填空题1．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0,2)内零点的个数为________．解析依题意得f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0,2)时恒为负，即f (x )在(0,2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，因此f (x )在(0,2)内只有一个零点．答案 12．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x的零点个数为________．解析依题意得，当x ＞1时，ln x ＞0，sgn(ln x )＝1，f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x ＝1－ln 2x ，令1－ln 2x ＝0，得x ＝e 或x ＝1e ，结合x ＞1，得x ＝e ；当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x )＝0，f (x )＝－ln 2x ，令－ln 2x ＝0，得x ＝1，符合；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，sgn(ln x )＝－1，f (x )＝－1－ln 2x .令－1－ln 2x ＝0，得ln 2x ＝－1，此时无解．因此，函数f (x )＝sg n(ln x )－ln 2x 的零点个数为2.答案 23．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数是________．解析依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数是8.答案 84．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则函数f (x )在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点个数分别为________．解析设y ＝13x 与y ＝ln x ，作图象可知f (x )在区间(0,1)内无零点，在(1，＋∞)内仅有两个零点．答案 0,25．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－log 4x 的零点个数为________．解析设y ＝f (x )与y ＝log 4x ，分别画出它们的图象，得有2个交点，所以函数g (x )的零点个数为2.答案 26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析画出图象，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即y ＝f (x )与y ＝m 的图象的交点有3个，∴0＜m ＜1.答案 (0,1)7．方程log 2(x ＋4)＝2x 的根有________个．解析作函数y ＝log 2(x ＋4)，y ＝2x 的图象如图所示，两图象有两个交点，且交点横坐标一正一负，∴方程有一正根和一负根．答案 28．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)<0，即2<k <3.答案 (2,3)9．若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 有解，则实数k 的取值范围是________．解析如图，若y ＝kx ＋1与y ＝ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ k ＝1x 0，kx 0＋1＝ln x 0，解得x 0＝e 2，k ＝1e 2.欲使方程有解，则y ＝kx ＋1与y ＝ln x 有公共点，所以k ≤1e 2.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e 2 10．已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 0112 011，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ](a ＜b ，a ，b ∈Z )内，则b －a 的最小值为________．解析由f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2 010＝1＋x 2 0111＋x，则f ′(x )＞0，f (x )为增函数，又f (0)＝1＞0，f (－1)＜0，从而f (x )的零点在(－1,0)上；同理g (x )为减函数，零点在(1,2)上，∴F (x )的零点在(－4，－3)和(4,5)上，要使区间[a ，b ]包含上述区间，则需(b －a )min ＝9. 答案 9二、解答题11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)． (1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)试确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解 (1)∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点．作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)和f (x )的图象如图．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，其对称轴为直线x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2，故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，∴m 的取值范围是m >－e 2＋2e ＋1.12．已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )＞0，求实数p 的取值范围．解二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )＞0的否定是对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f (x )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (－1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧2p 2＋3p －9≥0，2p 2－p －1≥0，解得p ≥32或p ≤－3，∴二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )＞0的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 13．已知函数f (x )＝|x －a |－a 2ln x ，a ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：1<x 1<a <x 2<a 2.(1)解由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，当a ≤0时，f (x )＝|x －a |－a 2ln x ＝x －a －a 2ln x ，f ′(x )＝1－a 2x >0，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f (x )＝|x －a |－a 2ln x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －a －a 2ln x ，x ≥a ，a －x －a 2ln x ，0<x <a ，若x ≥a ，f ′(x )＝1－a 2x ＝2x －a 2x >0，此时函数f (x )单调递增，若0<x<a，f′(x)＝－1－a2x<0，此时函数f(x)单调递减，综上，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)；单调递增区间为(a，＋∞)．(2)证明由(1)知，当a≤0时，函数f(x)单调递增，至多只有一个零点，不合题意；则必有a>0，此时函数f(x)的单调递减区间为(0，a)；单调递增区间为(a，＋∞)，由题意，必须f(a)＝－a2ln a<0，解得a>1.由f(1)＝a－1－a2ln 1＝a－1>0，f(a)<0，得x1∈(1，a)．而f(a2)＝a2－a－a ln a＝a(a－1－ln a)，下面证明：a>1时，a－1－ln a>0.设g(x)＝x－1－ln x，x>1，则g′(x)＝1－1x＝x－1x>0，∴g(x)在x>1时递增，则g(x)>g(1)＝0，∴f(a2)＝a2－a－a ln a＝a(a－1－ln a)>0，又f(a)<0，∴x2∈(a，a2)，综上，1<x1<a<x2<a2.14．设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a>0，a，c∈R)．(1)设a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范围；(2)函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解(1)因为二次函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的图象的对称轴为x＝a＋c 3a，由条件a>c>0，得2a>a＋c，故a＋c3a<2a3a＝23<1，即二次函数f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f(x)在[1，＋∞)内是增函数．若f(x)>c2－2c＋a对x∈[1，＋∞)恒成立，则f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0，所以0<c <1.(2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点． ②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a .而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac 3a<0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点．希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。

2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库62

第2讲古典概型一、填空题1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．解析分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故所求事件的概率P＝315＝1 5.答案1 52．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为________．解析试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36(个)基本事件．事件点P 在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P＝636＝1 6.答案1 63．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．解析要及格必须答对2道或3道题，共C23C12＋C33＝7(种)情形，故P＝7C35＝7 10.答案7 104．从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有一人是女生的概率是3435，则n＝________．解析三人中没有女生的概率为C33C3n＋3，∴三人中至少有一人是女生的概率为1－C 33C 3n ＋3. 由题意得1－C 33C 3n ＋3＝3435，解得n ＝4.答案 n ＝45．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二位走的是男同学的概率是________．解析每个同学均可能在第二位走，故共有4种情况，而男同学有2个，故所求概率为P ＝24＝12. 答案 126．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________．解析：从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 答案 357．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是________．解析正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，所以概率等于518. 答案 5188．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________．解析基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为364. 答案 3649．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，向量a ＝(m ，n )，若b ＝(－1,1)，△ABC 中AB→与a 同向，CB →与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是________．解析 ∵∠ABC 是钝角，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)夹角为锐角，∴n －m >0，m <n ，∴包含15个基本事件，又共有36个基本事件，∴∠ABC 是钝角的概率是512. 答案 51210．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析 6节课共有A 66种排法，按要求共有三类排法，一类是三门文化课排列，有两个空，插入2节艺术课，有A 33A 23×2种排法；第二类，三门文化课排列有两个空，插入1节艺术课，有A 33·A 13·2A 33种排法；第三类，三门文化课相邻排列，有A 33A 44种排法．则满足条件的概率为 2A 33A 23＋A 33A 13·2A 33＋A 33A 44A 66＝35.答案 35 二、解答题11．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率．解将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)＝1－936＝3 4；即两数中至少有一个奇数的概率为34.(2)基本事件总数为36，点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C包含8个事件，所以P(C)＝836＝2 9.即点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率为29.12．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．解(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝3570＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率P＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为：故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P2＝915＝3 5.13．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．解(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，这6位同学成绩的方差s2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4. 14．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．解(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝1 6，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝1 6.故ξ的分布列为：所以E(ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.。

2015届高考理科数学第一轮总复习教案48

学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有______________，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有____________，则称f (x )为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____；f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于_____ ___对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝________，则称f (x )为________函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________________．(2)性质： ①f (x ＋T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T 2)．②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )或f (x ＋a )＝－1f (x )(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(2011·茂名月考)如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是( )A ．增函数且最小值是－5B ．增函数且最大值是－5C ．减函数且最大值是－5D ．减函数且最小值是－53．函数y ＝x －1x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称4．(2009·江西改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为 ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．25．(2011·开封模拟)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________.探究点一函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ；(2)f (x )＝x (12x －1＋12)； (3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ，x >0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－x 3；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．变式迁移2 (2011·承德模拟)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．探究点三函数性质的综合应用例3 (2009·山东)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.变式迁移3 定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例 (12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答题模板】解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.[2分](2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.[4分]令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．[6分](3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，[7分]∵f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)[8分]∵f (x )为偶函数，∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[10分]又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )的定义域为D.∴0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.[11分]解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.∴x 的取值范围为{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}．[12分]【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x ))≤f (a )的形式，但思维障碍在于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，g (x )是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x )是偶函数的结论，则有f (g (x ))＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x )的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0<|g (x )|≤a ，解之得x 的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x )，若有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )或f (x ＋a )＝－1f (x )(a 为常数且a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·吉林模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶A ．－13 B.13C.12 D ．－122．(2010·银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x )为偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，若f (－3)＝0，则f (x )x <0的解集为 ( )A ．(－3,0)∪(0,3)B ．(－∞，－3)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,0)∪(3，＋∞)3．(2011·鞍山月考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)等于 ( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.54．(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－35．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)大小关系是( )A ．f (－1)>f (2)B ．f (－1)<f (2)6．(2010·辽宁部分重点中学5月联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x >0，a ， x ＝0，x ＋b ，x <0是奇函数，则a ＋b ＝________.7．(2011·咸阳月考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且f (1)>1，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围是________．8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·汕头模拟)已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的表达式．10．(12分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)(1)证明f (x )是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数；(4)求函数的值域．11．(14分)(2011·舟山调研)已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．答案自主梳理1．f (－x )＝－f (x ) f (－x )＝f(x )2．(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反3．(1)f(x ) 周期最小正周期 (2)③2a自我检测1．B [因为f(x )为偶函数，所以奇次项系数为0，即m －2＝0，m ＝2.]2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]3．A [由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]4．C [f (－2 012)＋f (2 011)＝f (2 012)＋f (2 011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.]5．－1解析 ∵f (－1)＝0，∴f (1)＝2(a ＋1)＝0， ∴a ＝－1.代入检验f(x)＝xx 12-是奇函数，故a ＝－1. 课堂活动区例1 解题导引判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x )为偶函数．(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解 (1)定义域要求xx +-11≥0且x ≠－1， ∴－1<x ≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x )是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x )＝－x )21121(+--x ＝－x )21212(+-x x ＝)21122(--x x x ＝)21121(+-x x ＝f(x)． ∴f(x )是偶函数．(3)函数定义域为R .∵f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1) ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )．故f (x )为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f (－1)＝2，f (1)＝0，f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，从而函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|≠3得，f (x )定义域为[－2,0)∪(0,2]． ∴定义域关于原点对称，又f (x )＝4－x 2x ，f (－x )＝－4－x 2x∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数．例2 解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，∴y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增，且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x (x －12)>0x (x －12)<1即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.若f [x (x －12)]<0＝f (－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －12)<0x (x －12)<－1由x (x －12)<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是{x |12<x <1＋174或1－174<x <0}．变式迁移2 (－2，23)解析易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0，等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，此时应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)<0h (2)<0即可，解得x ∈(－2，23)．例3 解题导引解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．－8解析因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.变式迁移3 B [∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x ＋1)＝f (1－x )．∴x ＝1为函数f (x )的一条对称轴．又f (x ＋2)＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )，∴2是函数f (x )的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．]课后练习区1．B [依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝－2a b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝13b ＝0， ∴a ＋b ＝13.]2．D[由已知条件，可得函数f (x )的图象大致为右图，故f (x )x <0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．]3．D [由f (x ＋2)＝－1f (x )，得f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，那么f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数，则f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)．而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，∴f (1.5)＝－0.5.由上知：f (6.5)＝－0.5.]4．D [因为奇函数f (x )在x ＝0有定义，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.∴f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝3，从而f (－1)＝－f (1)＝－3.]5．A [由y ＝f (x ＋1)是偶函数，得到y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)．又f (x )在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f (3)>f (2)，即f (－1)>f (2)．]6．1解析 ∵f (x )是奇函数，且x ∈R ，∴f (0)＝0，即a ＝0.又f (－1)＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1)＝0，即b ＝1，因此a ＋b ＝1.7．－1<m <23解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)．∵f (x )为奇函数，且f (1)>1，∴f (－1)＝－f (1)<－1，∴2m －3m ＋1<－1. 解得：－1<m <23.8．2解析由g (x )＝f (x －1)，得g (－x )＝f (－x －1)，又g (x )为R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，∴f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (x －1)＝－f (－x －1)，用x ＋1替换x ，得f (x )＝－f (－x －2)．又f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )＝－f (x ＋2)．∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期为4.∴f (2 010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2.9．解由题意，当3≤x ≤6时，设f (x )＝a (x －5)2＋3，∵f (6)＝2，∴2＝a (6－5)2＋3.∴a ＝－1.∴f (x )＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．…………………………………………………………(3分)∴f (3)＝－(3－5)2＋3＝－1.又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f (x )＝－13x (0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(6分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，∴f (－x )＝－13(－x )＝13x .又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－13x .∴f (x )＝－13x (－3≤x ≤3)．………………………………………………………………(9分)当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，∴f (－x )＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3.又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝(x ＋5)2－3.∴f (x )＝错误!10．解 (1)f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数．………………………………………………………(2分)(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2－2， x ≥0，(x ＋1)2－2， x <0. 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．……………………………………(6分)(3)由(2)中函数图象可知，函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f (x )在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………(8分)(4)当x ≥0时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2；当x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2；故函数f (x )的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(12分)11．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R )，若x ＝±1时，则f (－1)＋f (1)＝2≠0；∴f (－1)≠－f (1)，又f (－1)≠f (1)∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a ＝0时，f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，………………………………………………………………(10分)要使f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4，即a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．………………………………………(12分)又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，∴a 的取值范围为(－∞，16]．…………………………………………………………(14分)。

2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)3.1导数的概念及运算档专练(新人教A版)文

§3.1 导数的概念及运算1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.4．基本初等函数的导数公式5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x＝2.( × )2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t ＋1，∴f ′(1)＝2.3．已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( )A ．－1B ．±1C ．1D ．±3答案 B解析由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2. 又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，∴3a 2·(－13)＝－1，∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C. 又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．答案 [34π，π)解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x＋1ex ＋2. ∵e x >0，∴e x ＋1ex ≥2，∴y ′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)．又α∈[0，π)，∴α∈[3π4，π)．题型一利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键．解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0 x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20. 曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维升华求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →ΔyΔx.(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx＝________；该函数在x ＝1处的导数是________．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →f (x 0＋h )－f (x 0－h )h的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0答案 (1)1－1x (x ＋Δx ) 0 (2)B解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －x －1x＝Δx ＋1x ＋Δx －1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx ). ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ).y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝0. (2)lim h →f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝2×lim h →f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)．题型二导数的运算例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；思维启迪求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x (ln x ＋1x )．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；求下列函数的导数． (1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x4)；解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(2)∵y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，∴y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .题型三导数的几何意义例3 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．思维启迪由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解 ∵y ′＝2ax ＋b ，∴抛物线在点Q (2，－1)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝2＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.①又∵点P (1,1)、Q (2，－1)在抛物线上，∴a ＋b ＋c ＝1，② 4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．审题路线图C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义)利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516.[9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1． f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．失误与防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．eC.ln 22D ．ln 2答案 B解析由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.4．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( )A.112B.16C.13D.12答案 B解析求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N*，则f 2 015(x )等于 ( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 A解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A. 二、填空题6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.7．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．答案 x －y －2＝0解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.8．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x ≥2. 三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ； (2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3；(3)y ＝sin x xn ；解 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n ·1x ln 10＝x n －1(n lg x ＋1ln 10)． (2)y ′＝(1x )′＋(2x 2)′＋(1x 3)′＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4＝－1x 2－4x 3－3x4.(3)y ′＝(sin xx n )′＝x n (sin x )′－(x n )′sin x x 2n＝x n cos x －nx n －1sin xx 2n＝x cos x －n sin xx n ＋1. 10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103，显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A. 2．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图象是 ( )答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24＋c ，由f (x )的图象的顶点在第四象限得－b 2>0，∴b <0. 又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.3．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．答案 278解析设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得，t ＝0或t ＝32. 分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数得a ＝278. 4．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② ①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4. ∴Q 点的坐标为(92，－4)．。

2015届高考理科数学第一轮知识点复习方案测试题43

45分钟滚动基础训练卷(五)(考查范围：第17讲～第24讲，以第21讲～第24讲内容为主分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．要得到函数y ＝－sin x 的图像，只需将函数y ＝cos x 的图像( )A ．向右平移π2个单位B ．向右平移π个单位C ．向左平移π个单位D ．向左平移π2个单位2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，则x ＝( ) A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．33．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的度数为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A 的值为( ) A.5 314 B ．－5 314C.3 314 D ．－3 3145．在△ABC 中，A ＝π3，b ＝1，S △AB C ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝( )A.393B.2 393C.13 D ．2 136．[2013·临沂一模] 函数f (x )＝Asin(ωx ＋φ)其中（A >0，|φ|<π2）的部分图像如图G5-1所示，为了得到g (x )＝cos 2x 的图像，则只要将f (x )的图像( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度7．在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是( )A ．b ＝20，A ＝45°，C ＝80°B ．a ＝30，c ＝28，B ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D ．a ＝12，c ＝15，A ＝120°8．[2013·银川一中二模] 已知2sin 2θ＋sin 2θ1＋tan θ＝k ，0<θ<π4，则sin （θ－π4）的值( )A ．随着k 的增大而增大B ．有时随着k 的增大而增大，有时随着k 的增大而减小C ．随着k 的增大而减小D ．是一个与k 无关的常数二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上)9．[2013·大连一模] 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，且sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C 的值为________．10．[2013·临沂模拟] 若△ABC 的边a ，b ，c 满足a 2＋b 2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．11．[2013·北京西城区一模] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A cos B ＝b a ＝34.若c ＝10，则△ABC 的面积是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asin 2B 2＋b sin 2A 2＝c 2.(1)求证：a ，c ，b 成等差数列；(2)若a －b ＝4，△ABC 的最大内角为120°，求△ABC 的面积．13．[2013·广东惠州模拟] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos （B ＋π4）的最大值，并求取得最大值时角A 的大小．14．已知向量m ＝(3sin 2x ＋2，cos x )，n ＝(1，2cos x )，f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最小正周期及对称轴方程；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f (A )＝4，b ＝1，△ABC 的面积为32，求a 的值．45分钟滚动基础训练卷(五)1．D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.A 7.C 8.A9．－14 10.4 11.2412．(1)略 (2)S △ABC ＝15 3413．(1)C ＝π4 (2)最大值为2，此时A ＝π314．(1)T ＝π，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )(2)a ＝3薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2015届高考理科数学第一轮知识点复习方案测试题48

课时作业(二)[第2讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词](时间：30分钟分值：80分)1．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．綈p∨q B．p∧qC．綈p∧綈q D．綈p∨綈q2．若命题p：∀x∈R，2x2＋1>0，则綈p是()A．∀x∈R，2x2＋1≤0 B．∃x0∈R，2x20＋1>0C．∃x0∈R，2x20＋1<0 D．∃x0∈R，2x20＋1≤03．[2013·黄冈调研] 下列命题中，为真命题的是()A．∃x0∈R，使得e x0≤0B．∀x∈R，2x>x2C．a>1，b>1是ab>1的充分条件D．sin2x＋2sin x≥3(x≠kπ，k∈Z)4．命题：“对任意a∈R，方程ax2－3x＋2＝0有正实根”的否定是()A．对任意a∈R，方程ax2－3x＋2＝0无正实根B．对任意a∈R，方程ax2－3x＋2＝0有负实根C．存在a0∈R，方程a0x2－3x＋2＝0有负实根D．存在a0∈R，方程a0x2－3x＋2＝0无正实根5．命题p：函数f(x)＝a x－2(a>0且a≠1)的图像恒过(0，－2)点．命题q：函数f(x)＝lg|x|(x≠0)有两个零点．下列说法中正确的是() A．p∨q是真命题B．p∧q是真命题C．綈p为假命题D．綈q为真命题6．在下列说法中，正确的是()(1)“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；(2)“p ∧q 为假”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；(3)“p ∨q 为真”是“綈p 为假”的必要不充分条件；(4)“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的必要不充分条件．A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(3)(4)7．[2013·牡丹江一联] 下列命题中正确的个数为( )(1)命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”； (2)“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件；(3)x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1，2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在[1，2]上恒成立；(4)“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a ·b <0”．A ．1B ．2C ．3D ．48．[2013·东北三校二模] 下列判断中正确的是( )A ．命题“若a －b ＝1，则a 2＋b 2>12”是真命题B ．“a ＝b ＝12”是“1a ＋1b ＝4”的必要不充分条件C ．命题“若a ＋1a ＝2，则a ＝1”的逆否命题是“若a ＝1，则a＋1a ≠2”D ．命题“∀a ∈R ，a 2＋1≥2a ”的否定是“∃a 0∈R ，a 20＋1<2a 0”9．若命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题，则实数a 的取值范围是________．10．命题p ：∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3的否定是________________________．11．命题p ：末位数字是0或5的整数能被5整除的否定是________________________________________________________________________；它的否命题是________________________________________________________________________．12．(13分)命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根．若p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．13．(12分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数．若p ∧q 为假，p ∨q 或为真，求实数c 的取值范围．课时作业(二)1．D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.B 7.B 8.D9．[4，＋∞) 10.∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤311．存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除12．(－∞，－1) 13.⎩⎨⎧c ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<c <1薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2015届高考理科数学第一轮知识点复习方案测试题53

课时作业(七) [第7讲二次函数](时间：45分钟分值：100分)1．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－22．已知反比例函数y ＝k x 的图像如图K71所示，则二次函数y＝2kx 2－x ＋k 2的图像大致为( )图K71K73．函数y ＝－x 2－2x ＋3的增区间是( )A ．[－3，－1]B ．[－1，1]C ．(－∞，－3)D ．[－1，＋∞)4．有一批材料可以围成200 m 长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形(如图K73所示)，则围成的矩形场地的最大面积为( )图K73A ．1000 m 2B ．2000 m 2C ．2500 m 2D ．3000 m 25．[2013·惠州模拟] 生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)，一万件的售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件6．某汽车运输公司购买了一批新型大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (10万元)与营运年数x (x ∈N *)满足二次函数关系，其图像如图K74所示，为了使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( )图K74A ．6年B ．7年C ．8年D ．9年 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)8．[2013·枣庄模拟] 已知函数f (x )＝x 2＋1的定义域为[a ，b ](a <b )，值域为[1，5]，则在平面直角坐标系内，点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴所围成的图形的面积是( )A ．8B ．6C ．4D ．29．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的定义域为D .若所有点(s ，f (t ))(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为( )A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定10．若二次函数的图像过点(4，－3)，且x ＝3时，二次函数有最大值－1，则此函数的解析式为________．11．[2013·天津重点中学联考] 已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________．12．[2013·蚌埠一检] 数列{a n }是首项a 1＝m ，公差d ＝2的等差数列，数列{b n }满足2b n ＝(n ＋1)a n .若对任意n ∈N *都有b n ≥b 5成立，则m 的取值范围是________．13．[2013·金丽衢十二校一联] 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x .若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．14．(10分)某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元．该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y (万元)，且y ＝ax 2＋bx .若第1年的维修、保养费为2万元，第2年为4万元．(1)求y 的函数关系式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资？15．(13分)已知f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上的最大值为1，求实数a 的值．16．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数)，x ∈R ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）（x >0），－f （x ）（x <0）.(1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)设m ·n <0，m ＋n >0，a >0且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零．课时作业(七)1．A 2.D 3.A 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.B10．y ＝－2x 2＋12x －19 11.a ≥4＋2 3或a ≤4－2 312．[－22，－18] 13.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 14．(1)y ＝x 2＋x (2)第4年 15.a ＝34或a ＝－3＋2 22 16．(1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2（x >0），－（x ＋1）2（x <0）(2)k ≥6或k ≤－2 (3)能大于零薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2015届高考理科数学第一轮知识点复习方案测试题9

课时作业(十) [第10讲函数的图像及与性质的综合](时间：45分钟分值：100分)1．函数y ＝－e x 的图像( ) A ．与y ＝e x 的图像关于y 轴对称 B ．与y ＝e x 的图像关于坐标原点对称 C ．与y ＝e －x 的图像关于y 轴对称D ．与y ＝e －x 的图像关于坐标原点对称2．若将函数y ＝f (x )的图像先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到的图像恰好与y ＝2x 的图像重合，则y ＝f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝2x ＋2＋2B ．f (x )＝2x ＋2－2C ．f (x )＝2x －2＋2D ．f (x )＝2x －2－23．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )图K1014．函数y ＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 与y ＝－x 2＋1在同一平面直角坐标系内的大致图像为( )图K105．设a <b ，函数y ＝(2的图像可能是( )图K1036．[2013·济南模拟] 函数f (x )＝ln(x －1x )的图像是( )图K1047．[2013·河南十所名校联考] 已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，则函数y ＝f (|x －1|)－1的图像可能是( )图K108．[2013·宁德质检] 已知函数f (x )的图像如图K106所示，则f (x )的解析式可以是( )图K106A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x9．[2013·昆明模拟] 函数f (x )＝18x 2＋ln|x |的图像大致是()图K10710．若函数y ＝f (x ＋3)的图像经过点P (1，4)，则函数y ＝f (x )的图像必经过点________．11．设函数y ＝f (x )定义在实数集上，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图像的对称轴方程是________．12．已知函数f (x )对∀x ∈R 恒满足f (2＋x )＝f (2－x )．若方程f (x )＝0恰有5个不同的实数根，则5个根之和为________．13．[2013·日照模拟] 定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝[)[)23201,11,2.2-⎧-∈⎪⎪⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩x x x x x ，，，若x ∈[－4，－2)时，f (x )≥t 4－12t 恒成立，则实数t 的取值范围是________．14．(10分)(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证：y ＝f (x )的图像关于直线x ＝m 对称；(2)若函数f (x )＝log 2|ax －1|的图像的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．15．(13分)[2013·江西重点中学一联] 定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝0，f (x )＋f (1－x )＝1，f (x 3)＝12f (x )，且当0≤x 1<x 2≤1时，有f (x 1)≤f (x 2)，求f (12013)的值．16．(1)(6分)[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0](2)(6分)[2013·天津滨海新区重点中学联考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ∈[－2，0]，2f （x －2），x ∈（0，＋∞）.若方程f (x )＝x ＋a 在区间[－2，4]内有3个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－2<a <0}B ．{a |－2<a ≤0}C ．{a |－2<a <0或1<a <2}D ．{a |－2<a <0或a ＝1}课时作业(十)1．D 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8．A 9．C 10．(4，4) 11.x ＝1 12.10 13．(－∞，－2]∪(0，1] 14．(1)略 (2)12 15．1128 16．(1)D (2)D薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2015届高考理科数学第一轮知识点复习方案测试题58

课时作业(十二)[第12讲函数模型及其应用](时间：30分钟分值：80分)1．某种细胞每15分钟分裂一次(1→2)，这种细胞由1个分裂成4096个需经过()A．12小时B．4小时C．3小时D．2小时2．某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是f(t)＝－t2＋24t －101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是() A．54℃B．58℃C．64℃D．68℃3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为() A．800米B．900米C．1000米D．1200米4．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(km)表示为时间t(h)的函数表达式是________．5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0，240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为() A．100台B．120台C．150台D．180台6．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个．若此商品销售单价每个再涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为()A．12元B．13元C．14元D．15元7．某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供() A．3人洗澡B．4人洗澡C．5人洗澡D．6人洗澡8．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．109．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则这个人的稿费为________元．10．一个工厂生产某种产品，每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)11．[2013·北京房山区一模] 某商品在最近100天内的销售单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 4＋22（0≤t <40，t ∈N ），－t 2＋52（40≤t ≤100，t ∈N ），日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t 3＋1093(0≤t ≤100，t ∈N )，则这种商品的日销售额的最大值为________．12．(13分)[2013·蚌埠一检] 经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每多生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2012年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？13．(12分)[2013·东莞一调] 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P (万件)与日产量x (万件)之间满足关系：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 26（1≤x <4），x ＋3x －2512（x ≥4）.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T (万元)表示为日产量x (万件)的函数；(2)当工厂将这种仪器元件的日产量x 定为多少时，获得的利润最大，最大利润为多少？课时作业(十二)1．C 2.C 3.A4.x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5<t ≤3.5，150－50（t －3.5），3.5<t ≤6.5 5．C 6.C 7.B 8.D 9.380010．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，x ∈N *，160－x ，x >20，x ∈N* 16 11．808.5 12.(1)y ＝28－16m ＋1－m (m ≥0) (2)3万元 13．(1)T ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 22，1≤x <4，－x －9x ＋254，x ≥4.(2)当日产量定为2万件时，工厂可获得最大利润2万元．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2015届高考理科数学第一轮知识点专项题库2

沁园春·雪<毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。

沁园春·雪 <毛泽东> 北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

第2讲命题及其关系、充要条件一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.解析x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－2 3.答案－2 32．对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：①若f(－2)＝f(2)，则f(x)为偶函数；②若f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数；③若f(－2)＝f(2)，则f(x)一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________．解析①设f(x)＝x(x2－4)，则f(－2)＝f(2)，但f(x)是奇函数；②正确；③设f(x)＝0(x∈R)，则f(－2)＝f(2)＝0，f(x)是奇函数．所以②正确．答案②3．下列命题是假命题的是________(填序号)．①命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”；②若0<x<π2，且x sin x<1，则x sin2x<1；③互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线；④“x>2”是“3x＋1－1≤0”的充分不必要条件．解析①正确；②由0<x<π2，得0<sin x<1，又x sin x<1，则x sin2x<sin x<1，②正确；③射影可能是点，③不正确；④由3x＋1－1≤0，得x<－1或x≥2，所以④正确．答案③4．“a＝3”是“直线ax＋3y＝0与直线2x＋2y＝3平行”的________条件．解析本题考查了充分、必要条件的判断及两直线平行的充要条件．解决本题的关键是牢记两直线平行的充要条件．直线ax＋3y＝0与直线2x＋2y＝3平行的充要条件是a 2＝32≠03，解得a ＝3.答案充要条件5．有下面四个判断：①命题“设a 、b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题；③命题“∀a 、b ∈R ，a 2＋b 2≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤2(a －b －1)”；④若函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2x ＋1的图象关于原点对称，则a ＝3. 其中正确的有________个．解析对于①：此命题的逆否命题为“设a 、b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，①错误；“p 或q ”为真，则p 、q 至少有一个为真命题，②错误；“∀a 、b ∈R ，a 2＋b 2≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2<2(a －b －1)”，③错误；对于④：若f (x )的图象关于原点对称，则f (x )为奇函数，则f (0)＝ln(a ＋2)＝0，解得a ＝－1，④错误．答案 06．给出下列命题：p ：函数f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；q ：∃x ∈R ，使得log 2(x ＋1)<0；r ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ＝－1.其中所有的真命题是________．解析本题考查简易逻辑中的相关知识．对于p ：f (x )＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，最小正周期T ＝π，故p 为真命题；对于q ：因为log 2(x ＋1)的范围是R ，所以∃x ∈R ，使得log 2(x ＋1)<0，故q 为真命题；对于r ：由(a ＋b )∥c 得λ－1＋λ2＋1＝0，∴λ＝0或λ＝－1，故r 为假命题．答案 p 、q7．下列命题中，①△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则该三角形是等边三角形的充要条件为a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ；②数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的必要不充分条件；③A ＝B 是sin A ＝sin B 的充分不必要条件；④已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是不等于零的实数，关于x 的不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为P 、Q ，则a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的充分必要条件．其中正确的命题是________．解析 △ABC 中，由a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，得(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2＝0，则a ＝b ＝c ；若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，故ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋b 2＋c 2，故①正确．S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的充要条件，故②错．显然③正确．对于④，由于两不等式的系数不确定，由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2不能推出P ＝Q ；反之P ＝Q 时，若P ＝Q ＝∅，则不一定有a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，故a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的既不充分也不必要条件．答案 ①③8．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值范围是________．解析设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a －1）2－4（a 2－2）≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥ 2. 即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，94 9．若三条抛物线y ＝x 2＋4ax －4a ＋3，y ＝x 2＋(a －1)x ＋a 2，y ＝x 2＋2ax －2a 中至少有一条与x 轴有公共点，则a 的取值范围是________________．解析假设这三条抛物线与x 轴均无公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝（4a ）2－4（－4a ＋3）<0，Δ2＝（a －1）2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4（－2a ）<0，解得－32<a <－1.记A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，则所求a 的范围是 ∁R A ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 10．使得关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件的a 的取值范围是________．解析当a ＝0时，原方程变形为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根，当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a ，当有一负实根时，⎩⎨⎧a ≤1，1a ＜0⇔a ＜0，有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a ＜0，⇔0＜a ≤1.1a ＞0综上所述，a ≤1.答案 (－∞，1]二、解答题11．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解：(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0，由4x ＋p <0得x <－p 4，故－p 4≤－1时，“x <－p 4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．(2)若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件，则x 2－x －2>0的解集是4x ＋p <0的解集的子集，由题知不存在．故不存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件．12．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．问：这个命题的逆命题是否成立，并给出证明．解逆命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0”．该命题是真命题，证明如下：法一 (利用原命题的逆命题与否命题等价证明)：若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，因为原命题的逆命题与它的否命题等价，所以该命题正确．法二 (用反证法给出证明)：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上的增函数，所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，该命题正确．13．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5.∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4. 14．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时， A ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪ x －2x －52<0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2<x <52， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ x －94x －12<0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <94，∴∁U B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤12或x ≥94. ∴(∁U B )∩A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 94≤x <52. (2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13. 综上所述：a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。