第二章 力系的简化
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工程力学第二章力系简化与平衡
一、平面任意力系的平衡方程
1 平衡条件
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
2 平衡方程
Fx 0
X 0
Fy 0
或 Y 0
M o (F) 0
M o 0
M i
i1
二、 平面任意力系的简化研究
1、力的平移定理
作用在刚体上力F的作用线可等效 地平移到同一刚体上的任意一点，但 须附加一力偶，此附加力偶的矩值等 于原力F对平移点的力矩。
M M (F ) Fd
B
B
２ 力与力偶的合成 是力线平移的逆过程。
3、力线平移定理在简化中的应用
F F
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例6 已知：P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
（2）、求合力及其作用线位置。
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
第二章 力系的简化
MO FR
O
将MO分解为MO 和MO
MO
MO
FR
O
FR MO
力螺旋
MO FR
d
O
A
MO FR
d
O
A
力螺旋
例3：已知F1＝300kN、F2＝400kN、F3＝
500kN，试将该力系向柱底中心O简化，并 求出简化的最终结果。（AB＝0.3m，BC =0.7m）
解：FR x
4 5
F3
400kN
FR y F1 300 kN
FR
§2-5 重心
Wi
z
O
C
W y
x W = Wi
一、重心的基本公式
由合力矩定理有：
xC
Wi xi W
yC
Wi yi W
zC
Wi zi W
C
y
Wi W
z
zc O
zi
x
x
Wi
C
z W
zi zc y
O
xi
yi
xc
yc
二、质心的公式、形心的公式
xC
Wi xi W
yC
Wi yi W
O
F1
F4
F2
F3
FR
FR F1 F2 Fn
几何法
§2-1 汇交力系的简化
O
F1
解析法：
Fi =Fix i+ Fiy j+ Fiz k
F4
F2
FR =Fix i+ Fiy j+ Fiz k
F3 FR
FR F1 F2 Fn
FRx =Fix FRy =Fiy
FRz =Fiz 矢量投影定理
第二章力系的简化
A
x
i j k
y
F
MA r F l 2l 0 对点A的力矩： F sin 0 F cos 2Fl cosi Fl cosj 2Fl sin k
15
三.力偶 1.力偶定义 两个等值、反向、不共线的平行力。记为 ( F , F ) 力偶不能合成为一个力，故也不能与 一个力平衡，因此力和力偶都是基本力学 F 量。 F M 静止时力偶 M 与F 平衡吗? 力偶只能使物体转动，用力偶矩衡量
22
2.主矢与主矩——原力系的特征量 1)定义
' 主矢：（各力的矢量和）FR Fi Fi' ，与简化中心无关
主矩： （各力对O点取矩的矢量和）
MO MO (Fi ) ，与简化中心有关
2)简化结果 一般力系向某一点简化，可以得到一个力和一 个力偶，该力作用在简化中心，其大小，方向与原 力系主矢相同；该力偶矩等于原力系对简化中心的 主矩。
F
三要素:
大小、力偶作用面方位、转向.
16
F
2.力偶矩矢
A
rB A
F
F
B
h
rA
M
M
rB
O
定 义: 而
MO F ,F rA F rB F
F ' F
rA rB rB A
M0 F , F (rA rB ) F rBA F rAB F M
5
力矩的解析表达式：
由于F Fx i Fy j Fz k
M O (F ) r F x Fx i
r xi y j zk
第二章 力系的简化
第二章 力系的简化将复杂力系等效地化为最简力系在理论分析和工程中都具有重要意义。
前一章将汇交力系和力偶系分别合成为一个力和一个力偶，是力系简化的例子。
力系简化的前提是等效。
等效力系是指不同力系对同一物体所产生的运动效应相同。
力系的简化是指用简单的力系等效地替换一个复杂力系。
力系简化而得到的最简单力系称为力系简化的结果，可以是平衡、一个力、一个力偶，或者一个力和一个力偶。
力系的简化结果可以导出力系平衡条件，将在下章中详细讨论。
力系简化并不局限于静力学。
例如，飞行中的飞机受到升力、牵引力、重力、空气阻力等分布在飞机不同部位力作用，为确定飞机运动规律可以先进行力系的简化。
因此，力系简化也是动力学分析的基础本章首先引入主矢和主矩两个力系的基本特征量，作为力系等效简化的依据。
然后讨论力系简化，力系简化的基础是力线平移，由此力系可向任意一点简化，并进而分析力系的几种最简形式。
最后，考虑平行力系的简化，并叙述重心、质心和形心的概念与计算公式。
§2.1 力系的基本特征量：主矢与主矩为讨论力系的等效和简化问题，引入力系的两个基本特征量：主矢和主矩。
设刚体受到力系F i (i=1, 2,…,n )作用，诸作用点相对固定点O 的矢径依次为r i (i=1, 2,…,n )。
力系F i 的矢量和，称为力系的主矢。
记为F R ，即∑==ni i 1R F F （2.1.1）主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。
主矢通常不是力。
计算力系F i 对固定点O 的力矩的矢量和，称为力系对点O 的主矩。
记为M O ，即 ∑=⨯=ni iiO 1F r M （2.1.2）它不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。
因此，主矩是定位矢量。
利用动力学理论，可以证明，不同力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主矢以及对相同点的主矩对应相等。
因此，主矢和主矩的引入为判断力系的等效提供了依据。
第二章 力系的简化
主矩 MO =m1 +m2 +m3 +… =mO (F1)+mO (F2 )+…=∑mO (Fi )
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
第二章力系的简化和平衡方程
第二章力系的简化和平衡方程一、填空题1、在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。
2、求多个汇交力的合力的几何法通常要采取连续运用力法则来求得。
3、求合力的力多边形法则是：将各分力矢首尾相接，形成一折线，连接其封闭边，这一从最先画的分力矢的始端指向最后面画的分力矢的的矢量，即为所求的合力矢。
4、平面汇交力系的合力作用线过力系的。
5、平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。
6、平面汇交力系合成的结果是一个合力，这一个合力的作用线通过力系的汇交点，而合力的大小和方向等于力系各力的。
7、若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。
8、如果共面而不平行的三个力成平衡，则这三力必然要。
9、在平面直角坐标系内，将一个力可分解成为同一平面内的两个力，可见力的分力是量，而力在坐标轴上的投影是量。
10、合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。
11、已知平面汇交力系合力R在直角坐标X、Y轴上的投影，利用合力R与轴所夹锐角a的正切来确定合力的方向，比用方向余弦更为简便，也即tg a= | Ry / Rx | 。
12、用解析法求解平衡问题时，只有当采用坐标系时，力沿某一坐标的分力的大小加上适当的正负号，才会等于该力在该轴上的投影。
13、当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影会值为；当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上的投影的值等于力的大小。
14、平面汇交力系的平衡方程是两个的方程，因此可以求解两个未知量。
15、一对等值、反向、不共线的平行力所组成的力系称为_____。
16、力偶中二力所在的平面称为______。
17、在力偶的作用面内，力偶对物体的作用效果应取决于组成力偶的反向平行力的大小、力偶臂的大小及力偶的______。
18、力偶无合力，力偶不能与一个_____等效，也不能用一个______来平衡.19、多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是_____系的作用。
材料力学 第2章 力系简化
而合力的作用点即平行力系的中心：
n
xC
lim
n
Fi xi
i 1 n
l
q( x) xdx
0 l
lim
n
i 1
Fi
0 q(x)dx
分布力对点A之矩
分布力包围的面积
结论：分布力的合力的大小等于分布力载荷图的面积，合
力的作用线通过载荷图的形心。
2.2 物体的重心、质心和形心
例2-5 如图所示，已知q、l, 求分布力对A点之矩。
2.2 物体的重心、质心和形心
xC
ΣFi xi ΣFi
，yC
ΣFi yi ΣFi
，zC
ΣFi zi ΣFi
3、平行力系中心的性质
平行力系的中心位置只与各平行力的大小和作用点的 位置有关，与平行力的方向无关。
2.2 物体的重心、质心和形心
二、物体的重心、质心和形心
1、重心
n个小体积ΔVi
坐标xi、yi、zi
（2）实验测定方法 悬挂法
称重法
l
A
C
B
xC G
FNB
二力平衡 两次悬挂
2.2 物体的重心、质心和形心
三、分布力
工程上存在大量分布力的情况，通常需要确定这些分布力
的合力的大小及其合力作用线的位置。对于图示的线分布力，
可以视为由无穷个集中力所构成的平行力系，
其合力的大小：FR
l
q ( x)dx
0
FP1 450kN，FP2 200kN
F1 300kN ，F2 70kN
求：
（1）力系向点 O 简化的结果；
（2）力系简化的最终结果。
2.1 力系简化
解：（1）确定简化中心为O点
第2 章 力系的简化
R R'' = ∑ Fi i =1 n M = m ( F ) O ∑ O i i =1
n
rC
R'
ri Ci C1
Fi
F1
平衡、合力 平衡、 或力偶
O x
y
MO
若已知各力作用点，不仅可确定合力作用线， 若已知各力作用点，不仅可确定合力作用线，还可确定合力作用 合力作用线 且当力系方位改变时该点不变） 平行力系的中心 平行力系的中心。 平 点（且当力系方位改变时该点不变）──平行力系的中心。──平 行力系的重要特征。 行力系的重要特征。
1 R '· M O = − F 2 a < 0 2 所以，力系最终简化结果为左力螺旋。 所以，力系最终简化结果为左力螺旋。
⑤力螺旋中的力与力偶为： 力螺旋中的力与力偶为：
R = R' = −
∥ MO
2 F (i + j − 2 k ) 2
2 Fa = (i + j − 2 k ) 12
=
( R '· M O ) R ' R '2
B.合力作用线方程： M O = r × R 合力作用线方程： 合力作用线方程 其中 R = R '
8-19
M Ox = yRz − zR y M Oy = zRx − xRz M Oz = xR y − yRx
(二式独立)
(2) 第二不变量 R ' · M O ≠ 0
① R '∥ M O ， ( R ' , M O ) 为力螺旋 力螺旋，最简力系之一。 力螺旋
3-19
§2 - 2
力偶系
力偶矩矢为自 由矢量(等效性 等效性) 由矢量 等效性
n
rC
R'
ri Ci C1
Fi
F1
平衡、合力 平衡、 或力偶
O x
y
MO
若已知各力作用点，不仅可确定合力作用线， 若已知各力作用点，不仅可确定合力作用线，还可确定合力作用 合力作用线 且当力系方位改变时该点不变） 平行力系的中心 平行力系的中心。 平 点（且当力系方位改变时该点不变）──平行力系的中心。──平 行力系的重要特征。 行力系的重要特征。
1 R '· M O = − F 2 a < 0 2 所以，力系最终简化结果为左力螺旋。 所以，力系最终简化结果为左力螺旋。
⑤力螺旋中的力与力偶为： 力螺旋中的力与力偶为：
R = R' = −
∥ MO
2 F (i + j − 2 k ) 2
2 Fa = (i + j − 2 k ) 12
=
( R '· M O ) R ' R '2
B.合力作用线方程： M O = r × R 合力作用线方程： 合力作用线方程 其中 R = R '
8-19
M Ox = yRz − zR y M Oy = zRx − xRz M Oz = xR y − yRx
(二式独立)
(2) 第二不变量 R ' · M O ≠ 0
① R '∥ M O ， ( R ' , M O ) 为力螺旋 力螺旋，最简力系之一。 力螺旋
3-19
§2 - 2
力偶系
力偶矩矢为自 由矢量(等效性 等效性) 由矢量 等效性
第二章 力系的简化
条件： A、B、C是平面内 不共线的任意三点
4.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程：
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以， 平面汇交力系 平衡的充要条件
解析条件是：
Fx 0 F y 0
几何条件：
FR= 0 或 F =0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投 影的代数和等于零。
力F3在各坐标轴上的投影： F3 y F3 cos30 cos 45 75 6 N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构
成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
FR Fi 0
i1 n
即
2.2 汇交力系的平衡
2.1.2 解析法
汇交力系的合力在某轴上的投
FR Fi
i1 n
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
由汇交力系合成的几何法知：
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRz k
代入上式，得
Fi Fixi Fiy j Fizk
FRxi FRy j FRz k ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, Fx 0
条件： 连线AB不垂 直投影轴 x
4.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
P
4.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程：
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以， 平面汇交力系 平衡的充要条件
解析条件是：
Fx 0 F y 0
几何条件：
FR= 0 或 F =0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投 影的代数和等于零。
力F3在各坐标轴上的投影： F3 y F3 cos30 cos 45 75 6 N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构
成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
FR Fi 0
i1 n
即
2.2 汇交力系的平衡
2.1.2 解析法
汇交力系的合力在某轴上的投
FR Fi
i1 n
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
由汇交力系合成的几何法知：
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRz k
代入上式，得
Fi Fixi Fiy j Fizk
FRxi FRy j FRz k ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, Fx 0
条件： 连线AB不垂 直投影轴 x
4.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
P
第2章 力系的简化
16 第2章 力系的简化 2.1 主要内容2.1.1 汇交力系汇交力系合成为通过汇交点的合力，合力的大小、方向等于各分力的矢量和F F R ∑=或 汇交力系的合力在轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和，称之为合力投影定理，即R R R 111,,nnnx xi y yi z zi i i i F F F F F F ======∑∑∑2.1.2 力偶系力偶系合成结果为一合力偶，其力偶矩M 等于各力偶矩的矢量和：∑==ni i1MM合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影：∑∑∑======ni ziz ni yi y ni xi x MM MM MM 111,,或 k j i M iz iy ix M M M ∑+∑+∑=平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和：i M M ∑=2.1.3 任意力系力的平移定理作用在刚体上的力，可平行移动到刚体上任一点，平移时需附加一力偶，附加力偶的矩等于原作用力对平移点之矩，称为力的平移定理。
该定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。
其逆定理表明，可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。
用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成，应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。
kj i F z y x F F F ∑+∑+∑=R17力系向一点简化·主矢和主矩力系向任一点O （称简化中心）简化，得到通过简化中心的一个力及一个力偶。
力系中各力的矢量和称为力系的主矢量。
即F F ∑='R主矢与简化中心位置无关力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。
即)(F O O M M ∑=主矩与简化中心位置有关。
力系的简化结果归结为计算两个基本物理量——主矢和主矩。
它们的解析表达式分别为R1111()nni i i i n nO i O i i i ====⎫''==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑∑∑F F F M M M F 力的大小、方向等于力系的主矢量，力偶矩矢等于力系对O 点的主矩。
工程力学——第2章(力系的简化)
1. FR 0 , M O 0 （为一合力偶，主矩与简化中心无关） 2. FR 0 , M O 0 （为一合力，合力矢 通过简化中心，且等于
3. F 0 , M 0 （为一平衡力系） R O
主矢）
4.
FR 0 , M O 0
FR
（为一般情况，可继续简化为一合力 ）
y
(2) 求力系对点O的主矩MO
M O M O ( Fi )
3F1 1.5G1 3.9G2 2355kN m
9m
3m 1.5m
G1 F1
3.9m
G2
900 F2
3m
(3) 求合力作用线的位置
合力矢
FR FR
O
B
A
x
5.7m
FR
其作用线与基线OA的交点 到O点的距离x为
28
[例2-4] 均质平面薄板的尺寸如图所示，试求其重心坐标。
29
解：分割法：将截面分成三部分，坐标系如图所示。
因为该平面薄板关于y 轴对称，其重心必在y轴上,即
xC 0 ,因此只需求 y C 。
30
三部分面积和重心坐标分别为
A1 75 380 10 6 0.0285m 2 , A2 75 380 10 6 0.0285m 2 , A3 350 50 10 6 0.0175m 2 ,
结论：三角形分布力的合 力大小等于分布力三角形 的面积，其作用线通过三 角形的形心。 17
[例2-3] 求图中分布力系的合力。 解：⑴确定合力的大小及方向
FR1
q1=0.5 KN/m
合力的大小：
第2章 力系的简化(工程力学课件)
❖力系中所有力的作用线都汇交于一点，这种力系称为 汇交力系。对于作用线都通过O点的平面汇交力系， 利用矢量合成的方法可以将这一力系合成为一通过O 点的合力，这一合力等于力系中所有力的矢量和，即
n
FR F1 F2 Fn Fi i1
2-3 平面力系的简化
机电系
❖对于平面汇交力系，在Oxy坐标系中，上式可以写成力的
② FR' =0, MO≠0，即简化结果为一合力偶, M=MO 此时
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR'≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR。' （此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
2-3平面力学简化
机电系
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR。
FR FR FR
FR'
M0 FR d
FR'
FR
FR
FR
合力的大小等于原力系的主矢 FR FR' F
合力的作用线位置
d MO
FR
结论：平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 FR
2.1.3 简化的概念
❖所谓力系的简化，就是将由若干个力和力偶所组成 的力系，变为一个力或一个力偶，或者一个力与一 个力偶的简单而等效的情形。这一过程称为力系的 简化。力系简化的基础是力向一点平移定理。
2-2 力系简化的基础—力向一点平移 2.2 力系简化的基础—力向一点平移
❖作用于刚体上的力可以平移到任一点，而不改变它对 刚体的作用效应，但平移后必须附加一个力偶，附加 力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。此即为 力向一点平移定理(力的平移定理)。
n
FR F1 F2 Fn Fi i1
2-3 平面力系的简化
机电系
❖对于平面汇交力系，在Oxy坐标系中，上式可以写成力的
② FR' =0, MO≠0，即简化结果为一合力偶, M=MO 此时
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR'≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR。' （此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
2-3平面力学简化
机电系
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR。
FR FR FR
FR'
M0 FR d
FR'
FR
FR
FR
合力的大小等于原力系的主矢 FR FR' F
合力的作用线位置
d MO
FR
结论：平面任意力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 FR
2.1.3 简化的概念
❖所谓力系的简化，就是将由若干个力和力偶所组成 的力系，变为一个力或一个力偶，或者一个力与一 个力偶的简单而等效的情形。这一过程称为力系的 简化。力系简化的基础是力向一点平移定理。
2-2 力系简化的基础—力向一点平移 2.2 力系简化的基础—力向一点平移
❖作用于刚体上的力可以平移到任一点，而不改变它对 刚体的作用效应，但平移后必须附加一个力偶，附加 力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。此即为 力向一点平移定理(力的平移定理)。
第二章 力系的简化
【例3-2】 如图3-8(a)所示，在柱子的A点受有吊车梁传来的集中 】 力 F = 100kN。求将这力 F 平移到柱轴上O点时所应附加的力偶矩
M ，其中e=0.4m。
【解】 根据力的平移定理，力 F 由A点平移到O点，必须附加一力偶，
M = M B ( F ) = − F × e = −100kN × 0.4m = −40kN ⋅ m
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力 FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 F = F A B 由平衡条件 ∑ M i = 0 ，得： i =1
n
FB × d − M = 0
FB × (4m × sin 30o ) − 20kN ⋅ m = 0
平面任意力系的平衡方程，除了这种基本形式以外，还有如 平面任意力系的平衡方程，除了这种基本形式以外， 下两种形式 。 二力矩式： 二力矩式：∑FX=0 ∑MA=0 条件： 连线不能垂直于X 条件：A、B连线不能垂直于X轴 ∑MB=0 三力矩式： 三力矩式： ∑MA=0 ∑MB=0 条件：A、B、C不能在一条直线上 条件： ∑MC=0 无论哪种形式的平衡方程，都只有三个独立的方程，所以，平 无论哪种形式的平衡方程，都只有三个独立的方程，所以， 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。
）、平面任意力系平衡的情形 （3）、平面任意力系平衡的情形 ）、 R′=0 ，M0′=0 则原力系是平衡力系， 则原力系是平衡力系，这种情形将在下一节中讨论
情况 向O点简化的结果 主矢R 主矩M 分类 主矢R′ 主矩MO 1 2 3 4 R′=0 R'=0 R′≠0 ′ R′≠0 ≠ MO=0 MO≠0 MO=0 MO≠0
第二章力系的简化理论
M
z
F1
x
O
F3
a
C
b
y
0
A
B
M O ( Fa Fc)i Fbj
15
2-3 力偶
16
1. 力在轴上投影是代数量,力对轴之矩是代数量。 2. 刚体上的力是滑移矢量；
力对点之矩是定位矢量；
力偶矩矢是自由矢量。
16
2-3 力偶
17
作业：P7 2；P8 5
17
18
2-4 力系的简化理论
(2)对轴
M x (FR ) M x (Fi )
合力对任一点（轴）之矩等于各分力对 同一点（轴）之矩的矢量（代数）和。
8
2-3 力偶
1.力偶的概念 1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F ) 2)实例:
9
F
F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 O r1
F2
MOn
y
Fn
x
O
F1
MO2 F2 F1 M O1
y
x
z
空间汇交力系：
FR
O
Fi Fi
空间力偶系： M Oi M O ( Fi )
y
MO
合力 力偶
Fi Fi FR
M O M Oi M O ( Fi )
y
500 N
0.8 m 80 N m
100 N 0.6 m
O
1m 200 N
1m
z
F1
x
O
F3
a
C
b
y
0
A
B
M O ( Fa Fc)i Fbj
15
2-3 力偶
16
1. 力在轴上投影是代数量,力对轴之矩是代数量。 2. 刚体上的力是滑移矢量；
力对点之矩是定位矢量；
力偶矩矢是自由矢量。
16
2-3 力偶
17
作业：P7 2；P8 5
17
18
2-4 力系的简化理论
(2)对轴
M x (FR ) M x (Fi )
合力对任一点（轴）之矩等于各分力对 同一点（轴）之矩的矢量（代数）和。
8
2-3 力偶
1.力偶的概念 1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F ) 2)实例:
9
F
F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 O r1
F2
MOn
y
Fn
x
O
F1
MO2 F2 F1 M O1
y
x
z
空间汇交力系：
FR
O
Fi Fi
空间力偶系： M Oi M O ( Fi )
y
MO
合力 力偶
Fi Fi FR
M O M Oi M O ( Fi )
y
500 N
0.8 m 80 N m
100 N 0.6 m
O
1m 200 N
1m
理论力学：第2章 力系的简化
第 2 章 力系的简化
2-3 沿着直棱边作用五个力，如题 2－3 图所示。已知 F1＝F3＝F4＝F5＝F，F2＝ 2 F，
OA＝OC＝a，OB＝2a。试将此力系简化。
解：将所有力向 O 点简化
Fy＝0 Fz＝F2sin45F4＝0
Fx＝F1F2cos45＝0
M ox | OC | F | OB | F 3aF
Si xi Si
4
2
2.5
0.75
6.25
11 6
4 2.5 6.25
1.67(m)
yc
Si yi Si
4
0.5
2.5
3.5
6.25
8 3
4 2.5 6.25
2.15(m)
所以有 xC 1.67 m, yC 2.15 m 。
2-12 题 2－12 图所示由正圆柱和半球所组成的物体内挖去一正圆锥，求剩余部分物体 的重心。
6)
圆锥： V3
1 3
π
5 2
2
4
题 2-12 图
zc
Vi zi Vi
2 3
5 2
3 10.9375源自 5 2
2
(4
6)
5
5 2
2
4 3
2 3
5 2
3
5 2
2
(4
此力系简化结果。
2-3 沿着直棱边作用五个力，如题 2－3 图所示。已知 F1＝F3＝F4＝F5＝F，F2＝ 2 F，
OA＝OC＝a，OB＝2a。试将此力系简化。
解：将所有力向 O 点简化
Fy＝0 Fz＝F2sin45F4＝0
Fx＝F1F2cos45＝0
M ox | OC | F | OB | F 3aF
Si xi Si
4
2
2.5
0.75
6.25
11 6
4 2.5 6.25
1.67(m)
yc
Si yi Si
4
0.5
2.5
3.5
6.25
8 3
4 2.5 6.25
2.15(m)
所以有 xC 1.67 m, yC 2.15 m 。
2-12 题 2－12 图所示由正圆柱和半球所组成的物体内挖去一正圆锥，求剩余部分物体 的重心。
6)
圆锥： V3
1 3
π
5 2
2
4
题 2-12 图
zc
Vi zi Vi
2 3
5 2
3 10.9375源自 5 2
2
(4
6)
5
5 2
2
4 3
2 3
5 2
3
5 2
2
(4
此力系简化结果。
工程力学
力系简化的基础是力向一点平移定理。
工程力学
第2章 力系的简化
§2–2 力向一点平移定理
力向一点平移定理 作用于刚体上的力可从原来的作用点 平行移动任一点而不改变对刚体的作用效应，但须附加一 个力偶，附加力偶的矩等于原力对新作用点的矩。
F B h
F
F = B h
F
F
A
A
=
M=Fh B A
第2章 力系的简化
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， y F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129 .3 N
FR=FR，但其作用线不过简化中心O。
FR
MO O
FR
= O
d
FR
FR
A
= O
d
FR
A
M 0 m0 ( FR ) d FR ' FR '
把各力矢首尾相接，连接第一个力的始端与最后一个力的终 端的矢量就是合力FR，力系中各力称为合力FR的分力。 F2 F1 F3 F2 F3 F
O
4
F1
FR
F4 • 得到的多边形，称为力多边形，合力就是力多边形的封闭边。
• 用力多边形求解合力的方法称为力的多边形法则。
工程力学 c F3 d F4 c F1 a
加减平衡力系原理
力偶
[证明]
力F
M o M o ( F ) Fh
力系F，F'，F''
力系的简化
j
k
MC(F) a·Sinθ a·CosθCosα a·Sinα =- a·CosθCosαi+FaSin θj
=
0
0
0
令CB=b 则CB =bSinαj + bSinαk
e CB CB
b sin j
sin j cos k
b2 sin 2 b2 cos2
故MC(F)在AB轴上得投影
MAB(F)=MC(F )eCB=FaSinαSinθ
三. 力系向一点的简化
（一）. 空间汇交力系的简化（将其简化为一合力）
力的作用线在空间任意分布的力系成为空间任 意力系。各力作用线汇于一点的空间力系，成为空 间汇交力系。
空间汇交力系的合理等于各分力的矢量和（满足 平行四边形法则），合力作用线通过汇交点，即
FR=F1+F2+…… 又由于+FFni=xii+yij+zik
合力偶对各坐标轴得方向余弦：
cos(M,i)= Mx 0.6786 M cos(M,i)= M z 0.2811 M cos(M,i)= M z 0.6786 M
(三). 空间任意力系得简化
FacSinSin
a2 b2
例2.2 作用于手柄上的力F=100N,求①力F 对x轴的
矩 ②力F 对原点o的矩.
解:画出r , r =0.1i+0.4k
又有
z y
o
F = 100(Sin60°cos45°i+Sin60°sin45°j
-cos60°k)
x
100
2i 4
2 4
j
3k 4
0.4m
第二章 力系的简化
右手定则：
第二章力系的简化
2
∑F 合力的方向：cos α =
F
∑F cos β =
F
iy
∑F cos γ =
F
8
iz
合力的作用线过汇交点
§2–1 汇交力系的合成
三、汇交力系的合力矩定理 r r r r 汇交力系 ( F1 , F2 ,L , Fn ) 合力为 F
合力对点 O 的力矩矢为： r r r r r r M O F = r × F 由于 F = ∑ Fi r r r r 得： O F = r × ∑ Fi M
i i i i i c
i i i c i i i i i i c
i
22
§2-3 重心
重心—物体重力的作用点 重心 物体重力的作用点 物体的重心在物体内有确定的位置。 物体的重心在物体内有确定的位置。 把物体内各微小部分的重力都 看作一平行力系， 看作一平行力系，平行力系的合力 就是物体的重力， 就是物体的重力，则求重心问题就 是求平行力系的中心问题。 是求平行力系的中心问题。
共点力系
3
§2–1 汇交力系的合成
一、合成的几何法
F1 F1 A F2 F4 F3 F4 F1
A B
A F2 F3
F2
C
F3
D
F
F4
E
4
§2–1 汇交力系的合成
F1
A B
F2
C
F3
D
F1
A
B
F2
C
F3
D
F
F4
r r r r r 由力的三角形法则，得 F = F + F + F + F 1 2 4 r r r r r 3 分力矢 F1、F2、F3、F4 和合力矢 F 构成了封闭四边形
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2.1.2 解析法
1、直接投影法
Fx Fy
F F
i F cos
j
F
cos
Fz F k F cos
2、二次投影法
Fx Fy
F cos cos F cos sin
Fz F sin
2.1 汇交力系的合成
2.1.2 解析法
已知力F在直角坐标轴上的三个投影，其 大小和方向分别为
F Fx2 Fy2 Fz2
Fe F e 直角坐标系Oxyz的单位矢量为i、j、k，力F在各轴上投影
Fx Fy
F F
i F cos
j
F
cos
Fz F k F cos
在直角坐标系中力F 的
Theoretical Mechanics
F = Fx i + Fy j + Fz k
2.1 汇交力系的合成
力在直角坐标 轴上的投影：
4.1.1 力的平移定理
FRx FRxi FRy j FRzk ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k 0
得
Fix Fiy
0 0
即为汇交力系的平衡方程。
Fiz 0
Fix 0
特例：平面汇交力系平衡方程 Fiy 0
2.2 汇交力系的平衡
例题
例2-2：求图示平面刚架的支反力。 P
解Ⅰ：几何法
已知P=1000N，CE=ED=12cm，
EA=24cm， 45 ，不计杆重；求绳索 的拉力和杆所受的力。
D E
C
B
A
P
解：以铰A为研究对象，受力如图，
z
建立如图坐标。
E D FTD A
Fx 0: FTC sin FTD sin 0
C
FTCx
y
Fy 0:FTC cos FTD cos S sin 0
F3z F3 sin 30 150N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构 成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
n
即
FR Fi 0
i1
2.2 汇交力系的平衡
2.2.2 解析法
汇交力系的平衡方程：
由汇交力系平衡的几何法知：汇交力系平衡的充 要条件是力系的合力等于零。即：
以刚架为研究对象，受力如图。 由于刚架受三力平衡，所以力三
4m
A
B
8m
P
角形封闭。
由几何关系，
FA
FNB
A B
P
sin 5 , cos 2 5
5
5
FA
FNB
解得
FA
P
cos
5 2
P, FNB
P cot
1 2
P
2.2 汇交力系的平衡
例题
P
解Ⅱ：解析法
以刚架为研究对象，受力如图， 建立如图坐标。
2.1.1 几何法
结论 汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系
中各力的矢量和，其作用线通过各力的汇交点
•合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关 •各分力矢必须首尾相接 •合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端 •按力的比例尺准确地画各力的大小和方向
2.1 汇交力系的合成
2.1.2 解析法
力在轴上的投影：力与该投影轴单位矢量的标量积
2.1 汇交力系的合成
2.1.2 解析法
合力投影定理: 汇交力系的合力在某轴上的投
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
n
由汇交力系合成的几何法知：
FR Fi
i1
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRzk 代入上式，得
Fi Fix i Fiy j Fiz k
第二章 力系的简化
2.1 汇交力系的合成
F2
2.1.1 几何法
F3
F1
F4
2.1 汇交力系的合成 用力多边形法则求四个力的合力
2.1.1 几何法
FR F4
FR2
F3
FR1 F2
F1
使各力首尾相接，其封闭边即为合力FR。
Theoretical Mechanics
2.1 汇交力系的合成
2.1.1 几何法
F1x 0, F1y 0, F1z F1 100 N
力F2在各坐标轴上的投影：
F2x F2 cos 60 100 N F2 y F2 cos30 100 3N F2z 0N
F3x F3 cos30sin 45 75 6N
力F3在各坐标轴上的投影： F3y F3 cos30cos45 75 6N
FRxi FRy j FRzk ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
由矢量相等的概念有
FRx FRy
Fix Fiy
FRz
Fiz
2.1 汇交力系的合成
例题
例2-1 图中a = b = 3 m， c = 2 m。力F1 = 100N，F2 = 200N， F3 = 300N，方向如图。求各力在三个坐标轴上的投影。 解：力F1在各坐标轴上的投影：
设汇交于A点的力系由n个力Fi（i = 1、2、…、n）组成。记 为F1、F2、…、Fn。根据平行四边形法则，将各力依次两两 合成，FR为最后的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量 表达式为
n
FR Fi i 1
汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的
矢量和确定，作用线通过汇交点。
2.1 汇交力系的合成
cos Fx , cos Fy , cos Fz
F
F
F
2.1 汇交力系的合成
2.1.2 解析法
将力F 沿直角坐标轴方向分解
F = Fx + Fy + Fz 力F沿直角坐标轴分量与在相应轴上投影有如下关系
Fx = Fx i,，Fy = Fy j，Fz = Fz k
值得注意:以上各式是在直角坐标系中推导的，在 非直角坐标系中并不成立。力在轴上的投影是一个 重要的概念，应用投影的概念，可将力的合成由几 何运算转换为代数运算。
4m
A
B
8m
Fx 0 : FA cos P 0
P
Fy 0 : FA sin FNB 0
由几何关系 sin 5 , cos 2 5
5
5
A ByBiblioteka FAFNBx
解得
5
1
FA 2 P, FNB 2 P
2.2 汇交力系的平衡
例题
例2-３： 重为P的物体用杆AB和位于同 一水平面的绳索AC与AD支承，如图。
S
Fz 0:S cos P 0
P
B
由几何关系：cos 24 2
12 2 24 2 5
解得： S 1414N FTC FTD 559 N
4.1 平面任意力系的简化
力的平移定理
4.1.1 力的平移定理
FR
FR
FR
FR
(FR )O (FR , FR)
M
FR + M
4.1 平面任意力系的简化