湖北省武汉市2014届高三11月调考数学(文)试题
2014年湖北省高考数学文科试卷(含解析)
2014年湖北省高考数学文科试卷（含解析）绝密★启用前2014年湖北省高考数学文科试卷（含解析）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．2014•湖北卷]已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝()A．{1，3，5，6}B．{2，3，7}C．{2，4，7}D．{2，5，7}1．C解析]由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁UA＝{2，4，7}．故选C.2．2014•湖北卷]i为虚数单位，1－i1＋i2＝()A．1B．－1C．iD．－i2．B解析]1－i1＋i2＝（1－i）2（1＋i）2＝－2i2i＝－1.故选B. 3．2014•湖北卷]命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∈/R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x0∈/R，x20≠x0D．∃x0∈R，x20＝x03．D解析]特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∃x0∈R，x20＝x0”.故选D.4．2014•湖北卷]若变量x，y满足约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则2x＋y的最大值是()A．2B．4C．7D．84．C解析]作出约束条件x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7.故选C.5．2014•湖北卷]随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p25．C解析]掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：123456123456723456783456789456789105678910116789101112则p1＝1036，p2＝2636，p3＝1836.故p16．2014•湖北卷]根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y^＝bx＋a，则()A．a＞0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0D．a＜0，b＞06．A解析]作出散点图如下：由图像不难得出，回归直线y^＝bx＋a的斜率b0，所以a>0，b图1-1 7．2014•湖北卷]在如图1-1所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-2A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②7．D解析]由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.8．、2014•湖北卷]设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的公共点的个数为()A．0B．1C．2D．38．A解析]由方程t2cosθ＋tsinθ＝0，解得t1＝0，t2＝－tanθ，不妨设点A(0，0)，B(－tanθ，tan2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xtanθ，该直线恰是双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.9．、2014•湖北卷]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3}D．{－2－7，1，3}9．D解析]设x0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x10．2014•湖北卷]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.227B.258C.15750D.35511310．B解析]设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr.由题意得136L2h≈13Sh，代入S＝πr2化简得π≈3.类比推理，若V≈275L2h时，π≈258.故选B.11．2014•湖北卷]甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800解析]设乙设备生产的产品总数为n，则80－50n＝804800，解得n＝1800.12．、2014•湖北卷]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→•OB→＝0，则|AB→|＝________．12．25解析]由题意知，OB→＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝25. 13．2014•湖北卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________．13.π3或2π3解析]由正弦定理得asinA＝bsinB，即1sinπ6＝3sinB，解得sinB＝32.又因为b>a，所以B＝π3或2π3.14．2014•湖北卷]阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．图1-314．1067解析]第一次运行时，S＝0＋21＋1，k＝1＋1；第二次运行时，S＝(21＋1)＋(22＋2)，k＝2＋1；……所以框图运算的是S＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(29＋9)＝1067. 15．2014•湖北卷]如图1-4所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．图1-415.0，16解析]“∀x∈R，f(x)>f(x－1)”等价于“函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方”，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a16．2014•湖北卷]某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．16．(1)1900(2)100解析](1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，F＝76000vv2＋18v＋121＝76000v＋121v＋18≤760002v•121v＋18＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．(2)当l＝5时，F＝76000vv2＋18v＋100＝76000v＋100v＋18≤2000，当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．17．2014•湖北卷]已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则(1)b＝________；(2)λ＝________．17．(1)－12(2)12解析]设点M(cosθ，sinθ)，则由|MB|＝λ|MA|得(cosθ－b)2＋sin2θ＝λ2（cosθ＋2）2＋sin2θ，即－2bcosθ＋b2＋1＝4λ2cosθ＋5λ2对任意的θ都成立，所以－2b＝4λ2，b2＋1＝5λ2.又由|MB|＝λ|MA|，得λ>0，且b≠－2，解得b＝－12，λ＝12.18．、、、2014•湖北卷]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10℃.(2)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t所以π3≤π12t＋π3当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. 19．、、2014•湖北卷]已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)•4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n此时不存在正整数n，使得Sn>60n ＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝n2＋（4n－2）]2＝2n2.令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.20．、2014•湖北卷]如图1-5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.图1-520．证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1. 同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.21．2014•湖北卷]π为圆周率，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝lnxx的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1－lnxx2.当f′(x)>0，即0当f′(x)e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e即ln3e于是根据函数y＝lnx，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增可得，3e故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e即lnππ由lnπππ3.由ln33综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.22．2014•湖北卷]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即（x－1）2＋y2＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝4x，x≥0，0，x(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组y－1＝k（x＋2），y2＝4x，可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝14.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点14，1.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－2k＋1k.③(i)若Δ12.即当k∈(－∞，－1)∪12，＋∞时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若Δ＝0，x00，x0≥0，由②③解得k∈－112或－12≤k即当k∈－1，12时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈－12，0时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈－12，0∪－1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若Δ>0，x0即当k∈－1，－12∪0，12时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上所述，当k∈(－∞，－1)∪12，＋∞∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈－12，0∪－1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈－1，－12∪0，12时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．。
(湖北版02期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题004 三角函数与三角形(含解析)理 新人教A版
（湖北版02期）2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题004 三角函数与三角形（含解析）理 新人教A 版一．基础题组1.【湖北省部分重点高中2014届高三11月联考】函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin2θ的值是（ ） A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-2.【湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若三边的长为连续的三个正整数，且C B A >>，C A 2=，则CB A s i n :s i n :s i n为（ ）A ．4:3:2B ．5:4:3C ．6:5:4D ．7:6:5∴)1(2)1()1()1(21222+--++⋅-=+n n n n n n n ，解得5=n ，∴61=+n ，41=-n ， ∴4:5:6::=c b a ，由正弦定理得4:5:6sin :sin :sin =C B A ，选C.考点：正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式.3.【黄冈中学 黄石二中 鄂州高中2014届高三三校联考】要得到一个奇函数，只需将x x x f cos 3sin )(-=的图象（ ）A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移3π个单位 C 、向左平移3π个单位 D 、向左平移6π个单位4.【湖北省八校联考】△ABC 中，角,,A B C 成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.【武汉市2014届高三11月调研测试】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ﹤0，－tan x ，0≤x ＜π2．则f (f (π4))＝ ．6.【湖北省部分重点高中2014届高三11月联考】（选修4-1：几何证明选讲）AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =，设COD θ∠=，则tan θ的值为 .7.【黄冈中学 黄石二中 鄂州高中2014届高三三校联考】若1cos cos -=βα，则)sin(βα+＝考点：三角函数求值．8.【湖北省八校联考】将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到的函数图象关于点4(,0)3π成中心对称，那么||ϕ的最小值为 .二．能力题组1.【武汉市2014届高三11月调研测试】已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是（ ）A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()f x x x x x f x πππ+=++==，故周期是2π，故D 正确；对于C 选项，2.【黄冈中学 黄石二中 鄂州高中2014届高三三校联考】已知函数x x f 2sin 1)(π+=，若有四个不同的正数i x 满足M x f i =)(（M 为常数），且8<i x ，)4,3,2,1(=i ，则4321x x x x +++的值为（ ）A 、10B 、14C 、12D 、12或2020．考点：三角函数图像与性质．3.【湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学】 在△ABC 中，边，，2AB 1AC == 角32A π=，过A 作P BC AP 于⊥，且μλ+=，则=λμ .又0=∙，4.【湖北省八校联考】已知向量2(2sin(),2)3xπω=+a，(2cos,0)xω=b(0)ω>，函数()f x=⋅a b的图象与直线2y=-π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x在[0,2]π上的单调递增区间．5.【武汉市2014届高三11月调研测试】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a ＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若sin A sin C＝3－14，求C．【答案】（I）23π；（II）12π或4π.【解析】考点：1.余弦定理；2.两角的和差公式.6.【湖北省部分重点高中2014届高三11月联考】（本小题满分12A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.7.【湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学】已知函数)4(2cos )12(212sin 3)(ππf x f x x f '+'+=. （1）求)(x f 的最小正周期和最小值；（2）若不等式3|)(|<-m x f 对任意⎥⎦⎤⎝⎛∈3,12ππx 恒成立，求实数m 的取值范围.（2）有（1）知2)62sin(2)(-+=πx x f ，当]6,12(ππ∈x 时]65,3(62πππ∈+x ， ∴]1,21[)62sin(∈+πx ，则0)(1≤≤-x f ， …………8分三．拔高题组1.【黄冈中学 黄石二中 鄂州高中2014届高三三校联考】已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量)cos 1,(sin B B -=与向量)0,2(=的夹角θ的余弦值为21 （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若3=b ，求c a +的范围。
湖北省武汉市2014届高三11月调研考试数学理试题Word版含解析
（考试时间：120分钟，满分150分）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是（ ）A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i2．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则→OP＋→OQ＝（）A．→OH B．→OG C．→EO D．→FO4．已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC 内部，则z＝－x＋y的取值范围是（）A．(1－3，2) B．(0，2) C．(3－1，2) D．(0，1＋3)5．给定两个命题p，q．若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π7．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N (1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）A ．12B ．38C ．14D ．188．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43B ．2C ．83D ．1623【答案】C 【解析】9．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ） A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1]10．已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是（ ）A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32 D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 【答案】C 【解析】第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ﹤0，－tan x ，0≤x ＜π2．则f (f (π4))＝ ．12．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为．14．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是．（用数字作答）【答案】59015．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i，j（i，j∈N*），则（Ⅰ）a9，9＝；（Ⅱ）表中的数82共出现次．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若sin A sin C ＝3－14，求C ．cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C A C ∴-=+=-+112242=+⨯= 6A C π∴-=或6A C π-=-12C π∴=或4C π=考点：1.余弦定理；2.两角的和差公式.17．（本小题满分12分）已知等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{b n}满足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列．（Ⅰ）求a的值及数列{b n}的通项公式；a n}的前n项和为T n．求使T n＞b n的最小正整数n．（Ⅱ）设数列{log218．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）【答案】（Ⅰ）x＝15，y＝20．E(X)＝1.9；（Ⅱ）980【解析】＝320×320＋320×310＋310×320＝980．故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980．考点：1.离散型随机变量的分布列与数学期望;2.以及相互独立事件的概率的求法.19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°． （Ⅰ）证明：AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．∴OA ,OC 1OA 两两相互垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，|OA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设2AB CB ==20．（本小题满分13分）已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求→AD·→EB的最小值．【答案】（Ⅰ）当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）16.【解析】试题分析：（Ⅰ）要求动点P的轨迹C，设动点P的坐标为(x，y)，根据题意列出关系式(x－1)2＋y2－|x|＝1，化简得y2＝2x＋2|x|，式中有绝对值，需要根据x讨论为当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，→AD·→EB取最小值16．考点：1.曲线的轨迹方程求解；2.直线与圆锥曲线问题.21．（本小题满分14分）已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意x ＞0，都有f ′(x )＞f (x )x ．（Ⅰ）判断函数F (x )＝f (x )x在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．。
湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考文数答案-含答案
湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考高三数学答案（文史类）一、1——5 C,D,B,B,A; 6——10 B,D,C,A,C二、11、022,2≤+-∈∃x x R x 12、300 13、223+14、6 15、21-52113+ 16、4910 17、①② 三、18、解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，则， …………2分故 B C B A C B cos sin cos sin 4cos sin -=，可得 B A B C C B cos sin 4cos sin cos sin =+，即 B A C B cos sin 4)sin(=+，可得 B A A cos sin 4sin =， …………4分又 由 可得 …………6分 （II ）解：由2=⋅BC BA ，可得2cos c =⋅B a ，又因为 ， 故． …………8分又， 可得， …………10分 所以0)(2=-c a ，即c a =．所以． …………12分 19、解：（1）连BD ，Θ四边形ABCD 为菱形，∴AB=AD又060=∠BAD ∴ABD ∆为正三角形，Q 为AD 的中点∴BQ AD ⊥B C R B A R C B R cos sin 2cos sin 8cos sin 2-=0sin ≠A 41cos =B 41cos =B 8=ac Bac c a b cos 2222-+=1622=+c a 22==c a1221,1)1(22)12()2(4234411111-=∴⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+-+=-++=⋅+∴n a d a d n a d n a d a d a n 解得ΘPA=PD,Q 为AD 的中点 PQ AD ⊥∴ 又PAD AD PQB AD Q PQ BQ 平面，平面⊂⊥∴=⋂ PAD PQB 平面平面⊥∴(2)当t=31时，PA ∥平面MQB证明：若PA ∥平面MQB ，连AC 交BQ 于N 由AQ ∥BC 可得，△ ANQ ∽△BNC 21==∴NC AN BC AQ ΘPA ∥平面MQB,PA ⊂平面PAC,平面PAC ⋂平面MQB=MN, ∴PA ∥MN, 31==∴AC AN PC PM ,即：31t ,31=∴=∴PC PM 20、解：（1）12,4224+==n n a a S S Θ .21、解：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12222b y ax c x 得P 点的坐标为),(2a b c - ac b c c a b k PF 2222-=--=∴ 22QF PF ⊥Θ 222bac k QF =∴ )12.(462324321112112121111114121311211111),211(2118).1(2)()()()(2,32212121341112232111分分）（也成立时，当）由题（+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=∴+-=∴=+=+++++=+-+-++-+-=≥=-+---n n n n n n n n n b b b b T n n b n n n b a a a a b b b b b b b b b b n b n n n n n n n n n n n ΛΛΛΛ)(222c x b ac y QF -=∴的方程为： 将ca x 2=代入上式解得a y 2= )2,(2a ca Q 点的坐标为∴ （1）因为Q 点的坐标为（4,4），所以4242==∴a ca 且 3,1,2222=-===∴c abc a 13422=+∴y x C 的方程为椭圆 （2）)2,(2a c a Q 点的坐标为Θ P 点的坐标为),(2a b c - a c c a a b a c c ca ab a k PQ =+-=---=∴)()2()(2222222 )(22ca x a c a y PQ -=-∴的方程为 即a x ac y += 将PQ 的方程代入椭圆C 的方程得222222)(b a a x ac a x b =++ 02)(2242222=-+++∴b a a cx a x c b ① 222c b a +=Θ方程①可化为0222222=++c a cx a x a解得c x -=所以直线PQ 与椭圆C 只有一个公共点22、解：（1）x ex x f -='1)( 由1,0)(=='x x f 解得当单调递增；时)(,0)(1x f x f x >'< 当单调递减。
湖北省部分重点中学高三数学上学期11月联考试题 文
湖北省部分重点中学2014-1015学年度第一学期11月联考高三数学（文科）试卷试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．全集{}0,4,3,2,1----=U，集合{}0,2,1--=A，{}0,4,3--=B，则=⋂BACU)(（）A．{0} B．{－3，－4} C．{－1，－2} D．φ2．复数3(1)z i i=+(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知a，b，c满足a＜b＜c且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab<ac B．c(a﹣b)>0 C．ab2<cb2 D．(22)0a cac->4．已知l,,m n是三条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．,,αγβγαβP P P 若则B．,,m mαβαβP P P 若则C．,,αγβγαβ⊥⊥P 若则D．,,m l n l m n⊥⊥P 若则5．若双曲线22221x ya b-=的离心率为2，则其渐近线的斜率为（）A．．．3±D．5±6．执行如右图所示的程序框图，则输出的y=（）A．0.5 B．1 C．1- D．27．若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（）A．2211220x y+=B．221412x y+=C．221128x y+=D．221812x y+=8．定义式子运算为12142334a a a a a a a a =-，将函数1cos ()3sin wx f x wx=（其中0ω>）的图象向左平移3πω个单位，得到函数y=g (x)的图象．若y=g(x)在[0,6π]上为增函数，则ω的最大值( )A ．6B ．4C ．3D ．29．如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完． 则函数()h f x =的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知b a >，若函数()f x 在定义域内的一个区间[],a b 上函数值的取值范围恰好是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称区间[],a b 是函数()f x 的一个减半压缩区间，若函数()2f x x m =-+存在一个减半压缩区间[],a b ，（2b a >≥），则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0.5,1 B ．(]0.5,1 C ．(]0,0.5 D ．()0,0.5二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填写在题中横线上．11．下列四个结论中，①命题“若x≠1，则x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x2-3x+2=0，则x=1”；②若p∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；③若命题p ：∃x0∈R，使得20x +2x0+3<0，则﹁p: ∀x∈R,都有x2+2x+3≥0；④设a ，b 为两个非零向量，则“a·b＝|a|·|b|”是“a与b 共线”的充分必要条件；正确结论的序号是的是_____ _．12．某运动队有男女运动员49人，其中男运动员有28人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，那么应抽取女运动员人数是 ．13．已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数=a _________．14．若偶函数()y f x =（x∈R 且0x ≠）在(),0-∞上的解析式为1()ln f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的图象在点()()2,2f 处的切线的斜率为_________．15．如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不低于乙的平 均成绩的概率为________．16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1．2万元 0．55万元 韭菜6吨0．9万元0．3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为________．17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：10631将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）2014b 是数列{}n a 中的第_________项；（Ⅱ）若n 为正偶数，则()11357211n n b b b b b ---+-++-L =_________．（用n 表示）三、解答题：本大题共5个小题，共65分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知向量()sin 2,1m x =-u r，向量()32,0.5n x =-r ，函数m n m x f ⋅+=)()(．（I ）求)(x f 的最小正周期T ；（II ）已知c b a ,,分别为ABC ∆内角C B A ,,的对边，A 为锐角，13,2a c ==，且()f A 恰是()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求A 和b ．19．（本小题满分13分）设{}n a 是公比为q 的等比数列． （I ）推导{}n a 的前n 项和公式；（II ）设q≠1, 证明数列{2}n a +不是等比数列．20．（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=o,BAC CAD ∠=∠60=o ，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成角为45o ，2AB =．（I ）求四棱锥P ABCD -的体积V ；（II ）若E 为PC 的中点，求证：平面ADE ⊥平面PCD ．DECA BP21．（本小题满分13分）如图，已知抛物线2:4C x y =，过焦点F 任作一条直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（I ）证明：动点D 在定直线上；（II ）点P 为抛物线C 上的动点，直线l 为抛物线C 在P 点处的切线，求点Q （0，4）到直线l 距离的最小值．22．（本小题满分14分）已知函数()1xf x e x =--，x R ∈， 其中，e 是自然对数的底数．函数()1g x xsinx cosx =++，0x >．（I ）求()f x 的最小值；（II ）将()g x 的全部零点按照从小到大的顺序排成数列{}n a ，求证：（1）(21)(21)22n n n a ππ-+<<，其中*n N ∈；（2）222212311112ln 1ln 1ln 1ln 13n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．高三联考数学文科参考答案1—5． B D D A B 6—10．A D C C B 11．①③ 12． 6 13．23±14． －0．5 15． 10916． 30, 20 17． 5035, 225204n n +-18．解: （1）()21()sin 2132cos 22f x m n m x x x =+⋅=++u r r u r 2分 1cos 4311sin 4sin 422226x x x π-⎛⎫=+++=-+ ⎪⎝⎭， 4分 2.42T ππ∴== 6分（2） 由（1）知：()sin(4)26f x x π=-+，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,54666x πππ-≤-≤∴当462x ππ-=时()f x 取得最大值3，此时6x π=．∴由3)(=A f 得.6A π=9分由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-∴222222cos6b b π=+-⨯，∴b = 12分19．答案：（I ）当q ≠1时，()11111n n n a q a a qS qq --==--，当q=1时，1n S na =（2）略解析：(Ⅰ) 因为211111n n S a a q a q a q -=++++L ，231111nn qS a q a q a q a q =++++L ，两式相减得()()11111n n n q S a a q a q -=-=-，所以当q ≠1时，()11111n n n a q a a qS qq --==--， 4分当q=1时，数列为常数列，1n S na = 6分（II ）证明：假设数列{2}n a +是等比数列，则有()()()22111222a q a a q +=++ 9分整理得()21210a q -=，因为1a ≠0，所以q=1与已知q≠1矛盾，所以数列{2}n a +不是等比数列． 12分 20．解：（1）∵PA ⊥平面ABCD ∴PAC ∠是直线PC 与平面ABCD 所成角，依题设，45PAC ∠=o ． 2分在Rt ABC ∆中，2AB =，060BAC ∠=，∴4BC AC ==．在Rt APC ∆中∵︒=∠=∠45APC ACP ∴PA=AC=4．在Rt ACD ∆中，4AC =，060CAD ∠=，CD =分∴1111242222ABCD S AB BC AC CD =⋅+⋅=⨯⨯⨯⨯=∴143V =⨯=． 6分DECA BP（2）∵ PA ABCD ⊥平面，∴PA CD ⊥，又AC CD ⊥，PA AC A =I ，∴CD PAC ⊥平面，∵AE PAC ⊂平面，∴CD AE ⊥ 9分 在Rt APC ∆中∵PA=AC ，E 是PC 的中点，∴AE PC ⊥ ∴PCD AE ⊥平面∵AE AED ⊥平面，∴AED PCD ⊥平面平面． 13分21．（1）解：依题意，F （0，1），易知AB 的斜率存在，设AB 的方程为1y kx =+．代入24x y =得24(1)x kx =+，即2440x kx --=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x =-， 2分直线AO 的方程为11y y x x =；BD 的方程为2x x =；解得交点D 的坐标为1221(,)y x x x ， 4分注意到124x x =-及2114x y =，则有212121211144y x x x x x y x x ====-，因此，D 点在定直线1(0)y x =-≠上． 6分（II ）设2(,)4t P t 为曲线2:4C x y =上一点，因为12y x '=，所以的斜率为12t ，因此直线l 的方程为2()42t t y x t -=-，即224t t x y --=． 8分 则Q （0，4）点到的距离2|4|t d --=， 10分 所以()211612t d +==≥当t =时取等号，所以O点到距离的最小值为 13分22．解：（I ）()1xf x e '=-，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>；所以，函数()f x 在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数，所以min ()(0)0f x f ==，综上所述，函数()f x 的最小值是0． 4分 （II ）证明：对()g x 求导得()()'sin cos cos 0g x x x x sinx x x x =+-=>，令()'0g x =可得*)(2)12(N k k x ∈-=π，当()32,222x k k k N ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，此时()'0g x <；当()2,2*22x k k k N ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，此时()'0g x >．所以，函数()f x 的单调递减区间为()32,222k k k N ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，单调递增区间为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭和()2,2*22k k k N ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． 7分因为函数()g x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()02g =，所以12a π>．当*n N ∈时，因为()()()121(21)(21)(21)111102222n n n n n n g g ππππ-+⎛⎫--+⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-+-+<⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，且函数()g x 的图像是连续不断的,所以()g x 在区间()()2121,22n n ππ-+⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，又()f x 在区间()()2121,22n n ππ-+⎛⎫⎪⎝⎭上是单调的，故(21)(21)22n n n a ππ-+<<． 9分（2）证明：由（I ）知，10xe x --≥，则ln(1)x x +≤，因此，当*n N ∈时，记S=22221231111ln 1ln 1ln 1ln 1n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 则S22221231111n a a a a ≤++++L 11分由（1）知，S2222241111135(21)n π⎛⎫<++++ ⎪-⎝⎭L 当1n =时，2423S π<<；当2n ≥时，S2411111335(23)(21)n n π⎛⎫<++++ ⎪⨯⨯--⎝⎭L 即，S 2241162112(21)3n ππ⎡⎤⎛⎫<+-<<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦，证毕． 14分。
湖北省武汉市2014届高中毕业生二月调研考试数学(文)试题(纯word版-含答案)
武汉市2014届高三2月调研测试数 学（文科）2014.2.20一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x ≤0}，则满足A ∪B ＝{0，1，2}的集合B 的个数为A ．3B ．4C ．7D ．8 2．设a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数f (x )＝ln(x 2＋2)的图象大致是4．某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 A ．45 B ．50C ．55D ．605．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5， 则输出s 的值是A ．4B ．7C ．11D ．166．若关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集 是空集，则实数a 的取值范围是A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞) 7．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2，则a 与b 的夹角为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 8．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加A ．47尺B ．1629尺C ．815尺D ．1631尺9．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．设AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝B 1F ．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为A ．1116B ．34C ．1316D ．7810．抛物线C 1：x 2＝2py （p ＞0）的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的左焦点的连线交C 1于第二象限内的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝ A ．316 B ．38 C ．233 D ．433二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．下图是某公司10个销售店某月销售某品牌 电 脑数量（单位：台）的茎叶图，则数 据落在区间[19，30)内的频率为 ．12．若复数z ＝(m 2－7m ＋15)＋(m 2－5m ＋3)i （m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于直线y ＝－x 上，则m ＝ ．13．已知某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为 ．14．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －2|与y ＝1所围成的封闭区域内， 则2x ＋y 的最小值为 ． 15．如下图①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则（Ⅰ）f (5)＝ ；（Ⅱ）f (2014)的个位数字为 ．16．过点P (－10，0)引直线l 与曲线y ＝－50－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 ． 17．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，π2]上的最大值为3，则（Ⅰ）m ＝ ；（Ⅱ）当f (x )在[a ，b ]上至少含有20个零点时，b －a 的最小值为 ．D 1C 1 B 1A1 ABCDE GF H正视图 俯视图侧视图 5 6 3 5 56 3三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B )＝cos C ． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若a ＝32，b ＝10，求c ．19．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足0＜a 1＜2，a n ＋1＝2－|a n |，n ∈N *． （Ⅰ）若a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值；（Ⅱ）是否存在a 1，使数列{a n }为等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面P AC ；（Ⅱ）若P A ＝1，AD ＝2，求三棱锥E -BCD 的体积． 21．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝e x －1－x ． （Ⅰ）求f (x )的最小值； （Ⅱ）设g (x )＝ax 2，a ∈R ．（ⅰ）证明：当a ＝12时，y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有唯一的公共点；（ⅱ）若当x ＞0时，y ＝f (x )的图象恒在y＝g (x )的图象的上方，求实数a 的取值范围． 22．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，|AB |＝22，|BC |＝2．E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，分别以HF ，EG 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，已知→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，其中0＜λ＜1．（Ⅰ）求证：直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上；（Ⅱ）若点N 是直线l ：y ＝x ＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F 1、F 2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF 1和NF 2与椭圆Γ的交点分别为P 、Q 和S 、T ．是否存在点N ，使得直线OP 、OQ 、OS 、OT 的斜率k OP 、k OQ 、k OS 、k OT 满足k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．武汉市2014届高三2月调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．D 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．D 10．D 二、填空题11． 12．3 13．33π 14．3 15．（Ⅰ）21；（Ⅱ）316．－33 17．（Ⅰ）0；（Ⅱ）28π3三、解答题18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由sin(A －B )＝cos C ，得sin(A －B )＝sin(π2－C )．∵△ABC 是锐角三角形，∴A －B ＝π2－C ，即A －B ＋C ＝π2， ①又A ＋B ＋C ＝π， ②由②－①，得B ＝π4．………………………………………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，得(10)2＝c 2＋(32)2－2c ×32cos π4，即c 2－6c ＋8＝0，解得c ＝2，或c ＝4．当c ＝2时，b 2＋c 2－a 2＝(10)2＋22－(32)2＝－4＜0， ∴b 2＋c 2＜a 2，此时A 为钝角，与已知矛盾，∴c ≠2．故c ＝4．…………………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵0＜a 1＜2，∴a 2＝2－|a 1|＝2－a 1，a 3＝2－|a 2|＝2－|2－a 1|＝2－(2－a 1)＝a 1． ∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴a 22＝a 1a 3，即(2－a 1)2＝a 21，解得a 1＝1．…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2－a 1)＝2a 1， 解得a 1＝1．从而a n ＝1（n ∈N *），此时{a n }是一个等差数列；因此，当且仅当a 1＝1时，数列{a n }为等差数列．……………………………12分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BD ．∵PC ⊥平面BDE ， ∴PC ⊥BD ．又P A ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面P AC ．………………………………………………6分 （Ⅱ）如图，设AC 与BD 的交点为O ，连结OE ．∵PC ⊥平面BDE ，∴PC ⊥OE ．由（Ⅰ）知，BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥AC ， 由题设条件知，四边形ABCD 为正方形．由AD ＝2，得AC ＝BD ＝22，OC ＝2．在Rt △P AC 中，PC ＝P A 2＋AC 2＝12＋(22)2＝3． 易知Rt △P AC ∽Rt △OEC ， ∴OE P A ＝CE AC ＝OC PC ，即OE 1＝CE 22＝23，∴OE ＝23，CE ＝43． ∴V E -BCD ＝13S △CEO ·BD ＝13·12OE ·CE ·BD ＝16·23·43·22＝827．………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x )＝e x －1．令f ′(x )＝0，解得x ＝0．当x ＜0时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数； 当x ＞0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．故f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0．……………………………………………4分 （Ⅱ）设h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －ax 2，则h ′(x )＝e x －1－2ax ．（ⅰ）当a ＝12时，y ＝e x －1－x 的图象与y ＝ax 2的图象公共点的个数等于h (x )＝e x －1－x －12x 2零点的个数．∵h (0)＝1－1＝0，∴h (x )存在零点x ＝0． 由（Ⅰ），知e x ≥1＋x ，∴h ′(x )＝e x －1－x ≥0，∴h (x )在R 上是增函数，∴h (x )在R 上有唯一的零点．故当a ＝12时，y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有唯一的公共点．………9分（ⅱ）当x ＞0时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝g (x )的图象的上方⇔当x ＞0时，f (x )＞g (x )，即h (x )＝e x －1－x －ax 2＞0恒成立． 由（Ⅰ），知e x ≥1＋x （当且仅当x ＝0时等号成立）， 故当x ＞0时，e x ＞1＋x ．h ′(x )＝e x －1－2ax ＞1＋x －1－2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，h ′(x )≥0（x ＞0），∴h (x )在(0，＋∞)上是增函数，又h (0)＝0， 于是当x ＞0时，h (x )＞0．由e x ＞1＋x （x ≠0），可得e －x ＞1－x （x ≠0），从而当a ＞12时，h ′(x )＝e x －1－2ax ＜e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，h ′(x )＜0，此时h (x )在(0，ln2a )上是减函数，又h (0)＝0， 于是当x ∈(0，ln2a )时，h (x )＜0．综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，12]．……………………………14分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，得F (2，0)，C (2，1)．由→OR ＝λ→OF ，→CR ′＝λ→CF ，得R (2λ，0)，R ′(2，1－λ)． 又E (0，－1)，G (0，1)，则直线ER 的方程为y ＝12λx －1， ①直线GR ′的方程为y ＝－λ2x ＋1． ② 由①②，得M (22λ1＋λ2，1－λ21＋λ2)．∵(22λ1＋λ2)22＋(1－λ21＋λ2)2＝4λ2＋(1－λ2)2(1＋λ2)2＝(1＋λ2)2(1＋λ2)2＝1，∴直线ER 与GR ′的交点M 在椭圆Γ：x 22＋y 2＝1上．…………………………6分（Ⅱ）假设满足条件的点N (x 0，y 0)存在，则直线NF 1的方程为y ＝k 1(x ＋1)，其中k 1＝y 0x 0＋1，直线NF 2的方程为y ＝k 2(x －1)，其中k 2＝y 0x 0－1．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋1)，x 22＋y 2＝1．消去y 并化简，得(2k 21＋1)x 2＋4k 21x ＋2k 21－2＝0． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 212k 21＋1，x 1x 2＝2k 21－22k 21＋1．∵OP ，OQ 的斜率存在，∴x 1≠0，x 2≠0，∴k 21≠1．∴k OP ＋k OQ ＝y 1x 1＋y 2x 2＝k 1(x 1＋1)x 1＋k 1(x 2＋1)x 2＝2k 1＋k 1·x 1＋x 2x 1x 2＝k 1(2－4k 212k 21－2)＝－2k 1k 21－1．同理可得k OS ＋k OT ＝－2k 2k 22－1． ∴k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝－2(k 1k 21－1＋k 2k 22－1)＝－2·k 1k 22－k 1＋k 21k 2－k 2(k 21－1)(k 22－1)＝－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)． ∵k OP ＋k OQ ＋k OS ＋k OT ＝0，∴－2(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)(k 21－1)(k 22－1)＝0，即(k 1＋k 2)(k 1k 2－1)＝0． 由点N 不在坐标轴上，知k 1＋k 2≠0，∴k 1k 2＝1，即y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝1． ③又y 0＝x 0＋2， ④ 解③④，得x 0＝－54，y 0＝34．故满足条件的点N 存在，其坐标为（－54，34）．………………………………14分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,解析版)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．[2014·某某卷] 已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，6}，则∁U A ＝( )A ．{1，3，5，6}B ．{2，3，7}C ．{2，4，7}D ．{2，5，7}1．C [解析] 由A ＝{1，3，5，6}，U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁U A ＝{2，4，7}．故选C.2．[2014·某某卷] i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i2．B [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝（1－i ）2（1＋i ）2＝－2i 2i＝－1.故选B. 3．[2014·某某卷] 命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∈/R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x 0∈/R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 03．D [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x ∈R ，x2≠x ”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＝x 0”. 故选D.4．[2014·某某卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．84．C [解析] 作出约束条件⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，表示的可行域如下图阴影部分所示．设z ＝2x ＋y ，平移直线2x x －y ＝2的交点A (3，1)处，z ＝2x ＋y 取得最大值7. 故选C.5．[2014·某某卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 1＜p 3C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 25．C [解析]则p 1＝1036，p 2＝2636，p 3＝36.故p 1<p 3<p 2.故选C.6得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＜0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞0 6．A [解析]由图像不难得出，回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0，所以a >0，b <0.故选A.7．[2014·某某卷] 在如图11所示的空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②7．D [解析] 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.8．、[2014·某某卷] 设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．A [解析] 由方程t 2cos θ＋t sin θ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－tan θ，不妨设点A (0，0)，B (－tan θ，tan 2θ)，则过这两点的直线方程为y ＝－x tan θ，该直线恰是双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A. 9．、[2014·某某卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}9．D [解析] 设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x . 求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x <0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7.故选D.10．[2014·某某卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在某某省江陵县X 家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.35511310．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr .由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3.类比推理，若V ≈275L 2h 时，π≈258.故选B.11．[2014·某某卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800 [解析] 设乙设备生产的产品总数为n ，则80－50n ＝804800，解得n ＝1800.12．、[2014·某某卷] 若向量OA →＝(1，－3)， |OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．12．2 5 [解析] 由题意知，OB →＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB |＝22＋42＝2 5.13．[2014·某某卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sinπ6＝3sin B ，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.14．[2014·某某卷] 阅读如图13所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为 9，则输出S 的值为________．14．1067 [解析] 第一次运行时，S ＝0＋21＋1，k ＝1＋1；第二次运行时，S ＝(21＋1)＋(22＋2)，k ＝2＋1； ……所以框图运算的是S ＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(29＋9)＝1067.15．[2014·某某卷] 如图14所示，函数y ＝f (x )的图像由两条射线和三条线段组成． 若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值X 围为________．15.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，16 [解析] “∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)”等价于“函数y ＝f (x )的图像恒在函数y ＝f (x －1)的图像的上方”，函数y ＝f (x －1)的图像是由函数y ＝f (x )的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a >0，由图知6a <1，所以a 的取值X 围为 ⎛⎭⎪⎫0，16.16．[2014·某某卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．16．(1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知，l >0，v >0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002 v ·121v＋18＝1900，当且仅当v ＝11时，取等号． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v＋18≤2000， 当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．17．[2014·某某卷] 已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2，0)，若定点B (b ，0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则(1)b ＝________； (2)λ＝________．17．(1)－12 (2)12[解析] 设点M (cos θ，sin θ)，则由|MB |＝λ|MA |得(cos θ－b )2＋sin 2θ＝λ2[]（cos θ＋2）2＋sin 2θ，即－2b cos θ＋b 2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝4λ2，b 2＋1＝5λ2.又由|MB |＝λ|MA |，得λ>0，且b ≠－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，λ＝12.18．、、、[2014·某某卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)某某验室这一天上午8时的温度； (2)某某验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·某某卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4， 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 20．、[2014·某某卷] 如图15，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .20．证明：(1)连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体， 知AD 1∥BC 1.因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)如图，连接AC ，BD ，A 1C 1，则由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 可得CC 1⊥BD .又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1. 而AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥AC 1.因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，所以MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN .21．[2014·某某卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(2)求e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln x x，所以f ′(x )＝1－ln xx2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增可得，3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中． 由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)， 即ln ππ<ln 33<ln e e .由ln ππ<ln 33， 得ln π3<ln3π，所以3π>π3.由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.22．[2014·某某卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值X 围．22．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x ≥0)，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－112或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(iii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有一个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上所述，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点； 当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．。
湖北省部分重点高中2014届高三十一月联考数学(文)试题-含答案
湖北省部分重点高中2014届高三十一月联考数学（文）试题时间：2013年11月15日 下午：15：00—17：00 本试题卷共4页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数1012ii-= ( )A ．-4+ 2iB ．4- 2iC ．2- 4iD ．2+4i2．己知集合{|||2,},{|2,}A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =( )A ．（0,2）B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}3．执行右面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是 ( )A ．1 20B ．720C ．1440D ．50404．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上 平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x yD. cos 2y x =5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 （单位：cm ）。
可得这个几何体的体积是( ) A ．313cm B ．323cmC ．343cmD ．383cm6．已知m ，n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是 ( ) A ．若n m n m //,//,//,//则βαβα B ．若,//,//,βαβαn m ⊥则n m ⊥C ．若n m n m //,,,则βαβα⊥⊥⊥D ．若则,,//,//βαβα⊥n m n m ⊥7．设p 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BABP ＋＝，则( )A.PAPB ＋＝0 B.PC PA ＋＝0C.PB PC ＋＝0D.PAPB PC ＋＋＝0 8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
湖北省武汉市部分学校2014届高三数学9月起点调研考试文新人教A版
故 f(x) 的最小值 φ (a) 的解析式为 φ (a) ＝ a－ alna （ a＞ 0）．……………………… 6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ） ，知 φ (a) ＝ a－ alna （ a＞ 0），
求导数，得 φ ′(a) ＝－ lna ．
（ⅰ）令 φ ′ (a) ＝ 0，解得 a＝ 1．
当 0＜ a＜ 1 时， φ ′ (a) ＞0，∴ φ (a) 在 (0 ，1) 上是增函数；
11． {3} 12 ． 15 13
4 ．C 5 ．A 9 ． D 10 ．B
5 ．－ 3 14 ．6 15
1 ． [ 2， 4]
10
16．－ 5
17
．（Ⅰ） 98；（Ⅱ） 5
三、解答题
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由 2cos(B － C)＋1＝ 4cosBcosC，得 2(cosBcosC ＋ sinBsinC) ＋1＝ 4cosBcosC，
A． x＋y－ 2＝ 0 B ． x＋ y＋ 1＝ 0 C ． x＋ y－ 1＝ 0 D ． x＋y＋ 2＝ 0
3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成
6 组： [40 ， 50) ，
[50 ， 60) ，[60 ， 70) ，[70 ，80) ，[80 ， 90) ，[90 ， 100] 加以统计，得
武汉市部分学校 2014 届高三起点调研考试
数 学（文科）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．如图，在复平面内，点 M表示复数 z，则 z 的共轭复数对应的点是
A． M
B． N
C． P
D． Q
湖北省武汉市2014届高三11月调研考试数学(理)试题(解析版)
湖北省武汉市2014届高三11月调研考试数学（理）试题（解析版）（考试时间：120分钟，满分150分）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是（ ）A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i2．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则→OP ＋→OQ ＝（ ）A ．→OHB ．→OGC ．→EOD ．→FO4．已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC 内部，则z＝－x＋y的取值范围是（）A．(1－3，2) B．(0，2) C．(3－1，2) D．(0，1＋3)5．给定两个命题p，q．若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π7．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N (1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）A ．12B ．38C ．14D ．188．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43B ．2C ．83D ．1623 【答案】C 【解析】9．椭圆C ：x 24＋y23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ） A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1]10．已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是（ ）A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32 D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 【答案】C 【解析】第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ﹤0，－tan x ，0≤x ＜π2．则f (f (π4))＝ ．12．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场作的9个分数的茎叶图后有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为．14．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是．（用数字作答）【答案】59015．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j 列的数为a i，j（i，j∈N*），则（Ⅰ）a9，9＝；（Ⅱ）表中的数82共出现次．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若sin A sin C ＝3－14，求C ．cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C A C ∴-=+=-+122=+=6A C π∴-=或6A C π-=-12C π∴=或4C π=考点：1.余弦定理；2.两角的和差公式.17．（本小题满分12分）已知等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{b n}满足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列．（Ⅰ）求a的值及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{loga n}的前n项和为T n．求使T n＞b n的最小正整数n．218．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）【答案】（Ⅰ）x＝15，y＝20．E(X)＝1.9；（Ⅱ）980【解析】＝320×320＋320×310＋310×320＝980．故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为9 80．考点：1.离散型随机变量的分布列与数学期望;2.以及相互独立事件的概率的求法.19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°． （Ⅰ）证明：AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．∴OA ,OC 1OA 两两相互垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，|OA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设2AB CB ==20．（本小题满分13分）已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求→AD·→EB的最小值．【答案】（Ⅰ）当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）16.【解析】试题分析：（Ⅰ）要求动点P的轨迹C，设动点P的坐标为(x，y)，根据题意列出关系式(x－1)2＋y2－|x|＝1，化简得y2＝2x＋2|x|，式中有绝对值，需要根据x讨论为当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，→AD·→EB取最小值16．考点：1.曲线的轨迹方程求解；2.直线与圆锥曲线问题.21．（本小题满分14分）已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意x ＞0，都有f ′(x )＞f (x )x ． （Ⅰ）判断函数F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上的单调性； （Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．。
湖北省武汉市部分学校2014届高三11月调考数学理试题
武汉市2014届高三11月调研测试数 学（理科）2013.11.15一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i 2．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为A ．0B ．1C ．2D ．33．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则→OP ＋→OQ ＝A ．→OHB ．→OGC ．→EOD ．→FO4．已知正三角形ABC 的顶点A (1，1)，B (1，3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是 A ．(1－3，2) B ．(0，2) C ．(3－1，2) D ．(0，1＋3) 5．给定两个命题p ，q ．若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π7．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N (1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为A ．12B ．38C ．14D ．188．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A ．43B ．2C ．83D ．16239．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]10．已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ﹤0，－tan x ，0≤x ＜π2．则f (f (π4))＝ ． 12．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为 ．14．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 ．（用数字作答）15．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i ，j （i ，j ∈N *），则 （Ⅰ）a 9，9＝ ；（Ⅱ）表中的数82共出现 次．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ． （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若sin A sin C ＝3－14，求C ．17．（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，n ∈N *．设公差不为零的等差数列{b n }满足：b 1＝a 1＋2，且b 2＋5，b 4＋5，b 8＋5成等比数列．（Ⅰ）求a 的值及数列{b n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{log 2a n }的前n 项和为T n ．求使T n ＞b n 的最小正整数n ．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．已知平面内一动点P 到点F (1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求→AD ·→EB 的最小值．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意x ＞0，都有f ′(x )＞f (x )x． （Ⅰ）判断函数F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．武汉市2014届高三11月调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．A 6．A 7．B 8．C 9．B 10．C 二、填空题11．－2 12．1321 13．367 14．590 15．（Ⅰ）82；（Ⅱ）5三、解答题16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac ．由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°．……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝12＋2×3－14＝32， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°．…………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1．∵{a n }为等比数列， ∴2－a ＝1，解得a ＝1． ∴a n ＝2n －1．设数列{b n }的公差为d ，∵b 2＋5，b 4＋5，b 8＋5成等比数列， ∴(b 4＋5)2＝(b 2＋5)(b 8＋5)，又b 1＝3，∴(8＋3d )2＝(8＋d )(8＋7d )， 解得d ＝0（舍去），或d ＝8．∴b n ＝8n －5．………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）由a n ＝2n －1，得log2a n ＝2(n －1)，∴{log2a n }是以0为首项，2为公差的等差数列，∴T n ＝n (0＋2n －2)2＝n (n －1)．由b n ＝8n －5，T n ＞b n ，得n (n －1)＞8n －5，即n 2－9n ＋5＞0， ∵n ∈N *，∴n ≥9．故所求n 的最小正整数为9．……………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20．该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得 P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110．X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9．…………………………6分（Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i （i ＝1，2）为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则P (A )＝P (X 1＝1且X 2＝1)＋P (X 1＝1且X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5且X 2＝1)． 由于各顾客的结算相互独立，且X 1，X 2的分布列都与X 的分布列相同，所以 P (A )＝P (X 1＝1)×P (X 2＝1)＋P (X 1＝1)×P (X 2＝1.5)＋P (X 1＝1.5)×P (X 2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980． 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980．……………………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B ．∵CA ＝CB ，∴OC ⊥AB ． ∵AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，∴△AA 1B 为等边三角形，∴OA 1⊥AB ． ∵OC ∩OA 1＝O ，∴AB ⊥平面OA 1C ． 又A 1C ⊂平面OA 1C ，∴AB ⊥A 1C ．………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，OC ⊥AB ，OA 1⊥AB ．又∵平面ABC ⊥平面AA1B 1B ，交线为AB ， ∴OC ⊥平面AA 1B 1B ，∴OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，→OA 的方向为x 轴的正方向，|→OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ．由题设知A (1，0，0)，A 1(0，3，0)，C (0，0，3)，B (－1，0，0)． 则→BC ＝(1，0，3)，→BB 1＝→AA 1＝(－1，3，0)，→A 1C ＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·→BC ＝0，n ·→BB 1＝0．即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0．可取n ＝(3，1，－1)．∴cos ＜n ，→A 1C ＞＝n ·→A 1C |n ||→A 1C |＝－105．∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105．…………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1， 化简，得y 2＝2x ＋2|x |．当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0．∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x （x ≥0）和y ＝0（x ＜0）．………………5分 （Ⅱ）由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ．得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是 x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1．∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k．设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1．故→AD ·→EB ＝(→AF ＋→FD )·(→EF ＋→FB )＝→AF ·→EF ＋→AF ·→FB ＋→FD ·→EF ＋→FD ·→FB＝|→AF ||→FB |＋|→FD ||→EF | ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16．当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，→AD ·→EB 取最小值16．………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）对F (x )求导数，得F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2． ∵f ′(x )＞f (x )x，x ＞0，∴xf ′(x )＞f (x )，即xf ′(x )－f (x )＞0， ∴F ′(x )＞0．故F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………4分（Ⅱ）∵x 1＞0，x 2＞0，∴0＜x 1＜x 1＋x 2．由（Ⅰ），知F (x )＝f (x )x在(0，＋∞)上是增函数，∴F (x 1)＜F (x 1＋x 2)，即f (x 1)x 1＜f (x 1＋x 2)x 1＋x 2．∵x 1＞0，∴f (x 1)＜x 1x 1＋x 2f (x 1＋x 2)．同理可得f (x 2)＜x 2x 1＋x 2f (x 1＋x 2)．以上两式相加，得f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)．………………………………………8分 （Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x 1，x 2，…，x n ∈(0，＋∞)，其中n ≥2，则f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )＜f (x 1＋x 2＋…＋x n )．∵x 1＞0，x 2＞0，…，x n ＞0， ∴0＜x 1＜x 1＋x 2＋…＋x n ．由（Ⅰ），知F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上是增函数，∴F (x 1)＜F (x 1＋x 2＋…＋x n )，即f (x 1)x 1＜f (x 1＋x 2＋…＋x n )x 1＋x 2＋…＋x n ．∵x 1＞0， ∴f (x 1)＜x 1x 1＋x 2＋…＋x n f (x 1＋x 2＋…＋x n )．同理可得 f (x 2)＜x 2x 1＋x 2＋…＋x n f (x 1＋x 2＋…＋x n )，f (x 3)＜x 3x 1＋x 2＋…＋x n f (x 1＋x 2＋…＋x n )，…… f (x n )＜x nx 1＋x 2＋…＋x n f (x 1＋x 2＋…＋x n )．以上n 个不等式相加，得f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )＜f (x 1＋x 2＋…＋x n )．………14分。
(完整版)2014年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版),推荐文档
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖北，文1，5分】已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ð（ ） （A ）{1,3,5,6} （B ）{2,3,7} （C ）{2,4,7} （D ）{2,5,7} 【答案】C【解析】∵全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,3,5,6A =，∴{}2,4,7U A =ð，故选C ．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．（2）【2014年湖北，文2，5分】i 为虚数单位，21i ()1i-=+（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】B【解析】因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选B ． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． （3）【2014年湖北，文3，5分】命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是（ ）（A ）x ∀∉R ，2x x ≠ （B ）x ∀∈R ，2x x = （C ）x ∃∉R ，2x x ≠ （D ）x ∃∈R ，2x x =【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：0x ∃∈R ，200x x =，故选D ．【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．（4）【2014年湖北，文4，5分】若变量x ，y 满足约束条件420,0x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）7 （D ）8 【答案】C【解析】满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数2Z x y =+，∴0O Z =，4A Z =，7B Z =，4C Z =，故2x y +的最大值是7，故选C ．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．（5）【2014年湖北，文5，5分】随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则（ ） （A ）123p p p << （B ）213p p p << （C ）132p p p << （D ）312p p p <<【答案】C【解析】列表得：（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6）（6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）（5，1） （6，1）∴一共有36种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，∴向上的点数之和不超过5的概率记为11053618p ==，点数之和大于5的概率记为226133618p ==，点数之和为偶数的概率记为3181362p ==，∴132p p p <<，故选C ．【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（6）【2014年湖北，文6，x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 得到的回归方程为ˆy=（A ）0a >，0b < （B ）0a >，0b > （C ）0a <，0b < （D ）0a <，0b > 【答案】A【解析】样本平均数 5.5x =，0.25y =，∴()()6124.5i i i x x y y =--=-∑，()26117.5i i x x=-=∑，∴24.51.417.5b =-=-，∴()0.25 1.4 5.57.95a =--⋅=，故选A ．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题． （7）【2014年湖北，文7，5分】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）（A ）①和②（B ）③和①（C ）④和③（D ）④和② 【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D ．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题． （8）【2014年湖北，文8，5分】设是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】∵a ，b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，∴sin cos a b θθ+=-，0ab =，过()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线为()222b a y a x a b a --=--，即()y b a x ab =+-，即sin cos y x θθ=-， ∵双曲线22221cos sin x y θθ-=的一条渐近线方程为sin cos y x θθ=-，∴过()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线与双 曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为0，故选A ．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． （9）【2014年湖北，文9，5分】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为（ ） （A ）{1,3} （B ）{3,1,1,3}-- （C ）{27,1,3}- （D ）{27,1,3}-- 【答案】D【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -，令0x <，则0x ->，∴()()23f x x x f x -=+=-，∴2()=3f x x x --，∴()223030x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，∵()()3g x f x x =-+，,a b 2(,)A a a 2(,)B b b 22221cos sin x y θθ-=∴()22430430x x x g x x x x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩，令()0g x =，当0x ≥时，2430x x -+=，解得1x =，或3x =，当0x <时，2430x x --+=，解得2x =-∴函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为{21,3}-，故选D ． 【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．（10）【2014年湖北，文10，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）（A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2014年湖北，文11，5分】甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测． 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件． 【答案】1800【解析】∵样本容量为80，∴抽取的比例为801480060=，又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产品由乙设备生产，∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800．【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键．（12）【2014年湖北，文12，5分】若向量(1,3)OA =-u u u r ，||||OA OB =u u u r u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r，则||AB =u u u r ．【答案】【解析】设(),OB x y =u u u r ，∵向量()1,3OA =-u u u r ，||||OA OB =u u u r u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r，∴30x y -=⎪⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ 或31x y =-⎧⎨=-⎩．∴()3,1OB =u u u r ，()3,1--．∴()2,4AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r 或()4,2-．∴||AB =u u u r 【点评】本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．（13）【2014年湖北，文13，5分】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 已知π6A =，a =1，b =则B = ． 【答案】3π或23π【解析】∵在ABC ∆中，6A π=，1a=，b =sin sin a b A B=得：1sin 2sin 1b A B a ===， ∵a b <，∴A B <，∴3B π=或23π．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． （14）【2014年湖北，文14，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为_________． 【答案】1067【解析】由程序框图知：算法的功能是求1222212k S k =+++++++L L 的值，∵输入n 的值为9，∴跳出循环的k 值为10，∴输出()91291021219222129922451067122S -+=+++++++=+⨯=-+=-L L ． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断是否的功能是解题的关键． （15）【2014年湖北，文15，5分】如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ． 【答案】10,6⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由已知可得：0a >，且()4f a a =，()4f a a -=-，若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则()()421241a a a a ⎧-->⎪⎨=->⎪⎩，解得16a >，故正实数a 的取值范围为：10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出()()421241a a a a ⎧-->⎪⎨=->⎪⎩是解答的关键．（16）【2014年湖北，文16，5分】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、 平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（1）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（2）如果限定车型，5l =, 则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时． 【答案】（1）1900；（2）100【解析】（1）2760007600020182018v F l v v lv v==++++，∵121212122v v +≥=，当11v =时取最小值，∴7600019002018F l v v=≤++， 故最大车流量为：1900辆/小时． （2）22760007600076000100182********v v F v v l v v v v===++++++，∵100210020v v +≥=，∴2000F ≤， 2000﹣1900=100（辆/小时），故最大车流量比（1）中的最大车流量增加100辆/小时．【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足． （17）【2014年湖北，文17，5分】已知圆22:1O x y +=和点，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，则（1） ；（2） ．【答案】（1）12-；（2）12【解析】（1）设(),M x y ，则∵||||MB MA λ=，∴()()2222222x b y x y λλ-+=++，由题意，取()1,0、()1,0-分别代入可得()()222112b λ-=+，()()222112b λ--=-+，∴12b =-，12λ=． （2）由（1）知12λ=． 【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （18）【2014年湖北，文18，12分】某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()103cos sin 1212f t t t =--，[0,24)t ∈（1）求实验室这一天上午8时的温度； （2）求实验室这一天的最大温差．(2,0)A -M b =λ=解：（1）ππ(8)103cos 8sin 81212f =-⨯-⨯()()2π2π103cos sin 33=--13103()102=-⨯--=．故实验室上午8时的温度为10 ℃．（2）因为3π1πππ()102(cos sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤．当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-．于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃．【点评】本题主要考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题．（19）【2014年湖北，文19，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=， 解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．（2）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．（20）【2014年湖北，文20，13分】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ，1BB ，11A B ，11A D 的中点．求证： （1）直线1BC ∥平面EFPQ ； （2）直线1AC ⊥平面PQMN ．解：（1）连接AD 1，由1111ABCD A B C D -是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，1DD的中点，所以FP ∥AD 1．从而BC 1∥FP ．而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ， 故直线1BC ∥平面EFPQ ．（2）如图，连接AC ，BD ，则AC BD ⊥．由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥．又1AC CC C =I ，所以BD ⊥平面1ACC ．而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥．因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以MN ∥BD ，从而1MN AC ⊥．同理可证1PN AC ⊥． 又PN MN N =I ，所以直线1AC ⊥平面PQMN ． 【点评】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题．（21）【2014年湖北，文21，14分】π为圆周率，e 2.71828=L 为自然对数的底数．（1）求函数ln ()xf x x=的单调区间；（2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ， 单调递减区间为(,)e +∞． （2）因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==，x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π与3π之中，最小数在3e 与3e 之中．由3e π<<及（1）的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3ee<，得3ln3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．【点评】1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点： （1）寻找同底的指数式或对数式；（2）分清是递增还是递减；（3）把自变量的值放到同一个单调区间上．（22）【2014年湖北，文22，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C ． （1）求轨迹C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -． 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解：（1）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+， 故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①1）当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)42）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ （ⅰ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． （ⅱ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C只有一个公共点，与2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．（ⅲ）若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 综合1）2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--U 时，直线l 与轨迹C恰好有三个公共点．【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．。
2014高三11月考文科数学
元济高级中学2014届11月考试卷数学（文）（总分150分 考试时间120分钟）一、选择题（每小题5分，共50分；每题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设}4,3,2,1,0{=U ，}3,2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则B A C U )(=（ ） A ．}0{ B ．}4{ C ．}4,0{ D ．}4,1,0{ 2．已知函数)0()(≠++=p m xpx x f 是奇函数，则实数m 的值为（ ） A ．p B ．p - C ．0 D ．13．在下列关于直线m l ,与平面βα,的命题中，真命题是（ ）A ．若β⊂l ，且βα⊥ ，则α⊥lB ．若β⊥l ，且βα// ，则α⊥lC ．若m =βα ，且m l ⊥ ，则α//lD ．若β⊥l ，且βα⊥ ，则α//l4．有关部门对某产品的尺寸进行抽样调查，将抽取样品的尺寸分成若干组，],[1+k k a a 是其中一组，抽取出的个体数在该组上的频率为p ，该组上的直方图的高为h ，则k k a a -+1等于（ ） A ．ph B ．p h C ．hpD ．与h p ,无关 5．已知命题1:=m p ，命题:q 直线02=+-y mx 与直线x my 1=平行，则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象是由函数x x g 2sin 3)(=的图象（ ）个单位得到A ．向左平移6πB ．向右平移6πC ．向左平移3πD ．向右平移3π7．已知两个单位向量b a ,夹角是120，若1>+b a λ恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．)1,0(∈λB ．)0,1(-∈λC ．),1()0,(+∞-∞∈ λD ．),1()1,(+∞--∞∈ λ 8．已知函数1)12()(2++++=m x m x x f ，若函数)(x f 在R 上恰有三个零点，则实数m 的值是（ ） A ．1- B ．23±C ．23- D ．0 9．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，且有圆2221:a y x C =+，圆2222:b y x C =+，如果圆2C 中长度为a 22的弦恰好与圆1C 相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．1010．已知函数)0(112)(>--⋅=t x t x f ，若方程013)(=+⋅x x f 的所有实数根 的和为a ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1≤a B ．1>a C ．21≤a D ．121<<a二、填空题（每小题4分，共28分；把答案填在题中横线上） 11．已知ni im-=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=-ni m ； 12．从1、2、3、4、5、6六个数中任取2个数，取出的两个数之和为m ，则5≤m 的概率是 ；13．某个多面体的三视图如右下图所示，那么该几何体的体积为 ；14．已知某程序框图如右上图所示，则执行的该程序后输出的结果是 ；15．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+00033y x y x ，则x y 2-的最大值是 ；16．已知直线3+=kx y 与圆4)2()3(22=-+-y x 相交于B A ,两点，若32≥AB ，则k 的取值范围是 ；17．已知函数)0(2)(2>-=a x ax x f ，对于定义域内的任意两个数21,x x ，给出下列结论：①1212)()(x x x f x f ->-； ②)()(2112x f x x f x >；③0)()(2211>+x x f x x f ④0)]()()[(1212<--x f x f x x ； ⑤0)]()()[(1212>--x f x f x x . 其中正确结论为 ；（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共5小题，共72分。
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武汉市2014届高三11月调研测试数 学（文科）2013.11.15一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M ∩N ＝A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2，3}D ．{0，1，2，3} 2．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝A ．－2B ．0C ．1D ．23．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则→OP ＋→OQ ＝A ．→OHB ．→OGC ．→EOD ．→FO6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π37．给定两个命题p ，q ．若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)．若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝A ．14B ．12C ．1D ．29．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝110．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则 A ．x 1＞－1 B ．x 2＜0 C ．x 2＞0 D ．x 3＞2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设z ＝(2－i)2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．12．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为 ． 13．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．14．直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于 ．15．为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄抽样统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25，30)内的数据不慎丢失，依据此图可得： （Ⅰ）年龄在[25，30)内对应小长方形的高度为 ； （Ⅱ）这800名志愿者中年龄在[25，35)内的人数为 ．16．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有 个．17．挪威数学家阿贝尔曾经根据阶梯形图形的两种不同分割（如下图），利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝L 1(b 1－b 2)＋L 2(b 2－b 3)＋L 3(b 3－b 4)＋…＋L n －1(b n －1－b n )＋L n b n ，其中L 1＝a 1，则（Ⅰ）L 3＝ ；（Ⅱ）L n ＝ ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若sin A sin C ＝3－14，求C ．19．（本小题满分12分）在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{b n }的前n 项和S n ． 20．（本小题满分13分） 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动．（Ⅰ）证明：AD ⊥C 1E ；（Ⅱ）当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1-A 1B 1E 的体积．21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ． （Ⅰ）求f (x )的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a ＞ln2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1． 22．（本小题满分14分）已知平面内一动点P 到点F (1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求→AD ·→EB 的最小值．武汉市2014届高三11月调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．A 2．A 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．B 9．D 10．C 二、填空题11．5 12．23 13．1321 14．45 15．（Ⅰ）0.04；（Ⅱ）44016．4 17．（Ⅰ）a 1＋a 2＋a 3；（Ⅱ）a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n三、解答题 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac ．由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°．……………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝12＋2×3－14＝32， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°．…………………………………………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝－23，2a 1＋9d ＝－29．解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－3．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2．…………………………………………4分 （Ⅱ）∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，∴a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1．∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)＝n (3n －1)2＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． 当c ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n2；当c ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－c n1－c．……………………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ． ①又在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥BB 1． ② 由①，②得AD ⊥平面BB 1C 1C ．由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥C 1E ．………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵AC ∥A 1C 1，∴∠A 1C 1E 是异面直线AC ，C 1E 所成的角，由题设，∠A 1C 1E ＝60°． ∵∠B 1A 1C 1＝∠BAC ＝90°， ∴A 1C 1⊥A 1B 1，又AA 1⊥A 1C 1，从而A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，于是A 1C 1⊥A 1E ．故C 1E ＝A 1C 1cos60°＝22，又B 1C 1＝A 1C 12＋A 1B 12＝2，∴B 1E ＝C 1E 2－B 1C 12＝2．从而V 三棱锥C 1-A 1B 1E ＝13S △A 1B 1E ×A 1C 1＝13×12×2×2×2＝23．…………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R ．令f ′(x )＝0，得x ＝ln2．于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )．……………6分 （Ⅱ）设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ．于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ．由（Ⅰ）知，当a ＞ln2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )＞0． 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0， ∴g (x )在R 内单调递增．于是当a ＞ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0．即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1．……………………………………14分22．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有 (x －1)2＋y 2－|x |＝1，化简，得y 2＝2x ＋2|x |．当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0．∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x （x ≥0）和y ＝0（x ＜0）．………………6分 （Ⅱ）由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ．得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1．∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k．设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1．故→AD ·→EB ＝(→AF ＋→FD )·(→EF ＋→FB )＝→AF ·→EF ＋→AF ·→FB ＋→FD ·→EF ＋→FD ·→FB＝|→AF ||→FB |＋|→FD ||→EF |＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16．当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，→AD ·→EB 取最小值16．………………………14分。