互斥事件及其概率

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互斥事件概率

11.2互斥事件有一个发生的概率
问题：在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球。我们把“从盒中摸出1个球，得到红球”叫做事件A，“从盒中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B， “从盒中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C。
事件Ａ与事件Ｂ可能同时发生吗？分析：如果从盒中摸出的1个球是红球，即事件A发生，那么事件B就不发生；
如果从盒中摸出的1个球是绿球，即事件B发生，那么事件A就不发生。
结论：事件A与B不可能同时发生。
一、概念
1.定义这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
引申：对于上面的事件A、B、C，其中任何两个都是
互斥事件，这时我们说事件A、B、C彼此互斥。推广：一般地，如果事件A1、A2、…An中的任何两
C51 C125 105
C230
228
P(A )= 2
C52 C115 30
C230
228
P(A )= 3
C53 2 C230 228
根据题意,事件彼此互斥.由互斥时间概率的加法公式的,
三件产品中至少有1件为二级品的概率是
P(A1 + A2 + A3)
= P(A1) + P(A2) + P(A3) = 105 30 2 137
228 228 228 228

数学：3.4-2《互斥事件的概率》

27 9
1 8 1 故“3只颜色不全相同”的概率为 9 9
(3)“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”
6 2 思考：“3只颜色全不相同” 概率是多少？27 9
.
若：红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？
课堂练习
• 1 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=， P(B)=，求 “出现奇数点或偶数点”的概率．
P(A) 1 P(A)
回顾小结：
二、在求某些复杂事件（如“至多、至少”的概率时，通常有两种方法： 1、将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和; 2、求此事件的对立事件的概率．
课外作业
课本P108~109习题5~8
学案相应练习
例4 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次
任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是红球的概
率;(2)3只颜色全相同的概率;(3)3只颜色不全相同的概率.
解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为33, 1 (1)3只全是红球的概率为 27 ; (2)3只颜色全相同的概率为 3 1 ；
• 2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品； (2)取到的2只中正品、次品各一只； (3)取到的2只中至少有一只正品．

互斥事件的概率公式

互斥事件是指事件 A 和事件 B 的交集为空，即 A∩B=。互斥事件的概率可以用以下公式计算:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

其中，A 和 B 为互斥事件，A∩B 表示事件 A 和事件 B 的并集，P(A) 表示事件 A 的概率，P(B) 表示事件 B 的概率，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 的交集的概率。

互斥事件的概率和为 0，但对立事件的概率和为 1。对立事件是指与事件 A 互斥的事件 B，即 A∩B=。对立事件的概率可以用以下公式计算:

P(B) = 1 - P(A∩B)

在概率论中，互斥事件和对立事件是两种最基本的事件类型。互斥事件的概率公式可以推导出其他许多事件的概率公式，例如等可能性事件的概率公式和必然事件的概率公式等。

拓展:

1. 互斥事件和对立事件是概率论中最基本的事件类型之一。在概率论中，我们可以用事件的概率来描述事件发生的可能性大小，而互斥事件和对立事件的概率公式则是计算事件发生可能性大小的基

本公式。

2. 互斥事件和对立事件的概率和可以为 0 或 1，这取决于事件

A 和事件

B 的具体情况。如果事件 A 和事件 B 是互斥的，则它们的交集为空，即 P(A∩B)=0。如果事件 A 和事件 B 是对立事件，则

它们的交集也为空，即 P(A∩B)=0。如果事件 A 和事件 B 不是互斥事件或对立事件，则它们的交集的概率可以为 0 或 1。

3. 互斥事件和对立事件在概率论中有着广泛的应用。例如，在赌博中，如果我们已知某个赌注是互斥事件，我们就可以计算出这个赌注的中奖概率，从而更好地决策是否参与这个赌注。在统计学中，互斥事件和对立事件也是常用的概念，例如在抽样调查中，我们可以用互斥事件和对立事件来描述样本和总体之间的关系。

互斥事件有一个发生的概率与条件概率

【考纲要求】

1、了解两个互斥事件的概率加法公式.

2、了解条件概率及其公式。

【基础知识】一、互斥事件有一个发生的概率

1、并事件：如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B 发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或称和事件），记作A B（或A＋B）.

2、交事件：如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B 发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或称积事件），记作A B（或AB）.

3、互斥事件

(1)互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，即A B= 。一般地，如果事件A1，A2，，An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1，A2，，An彼此互斥。

(2)互斥事件的概率：如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)=P(A)＋P(B)；如果事件A1，A2，，An中

的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1，A2，，An彼

此互斥，则

P(A1＋A2＋＋An)=P(A1)＋P(A2)＋＋P(An (3)对立事件: 如果事件A、B互斥，在一次试验中，必然有一个发生的互斥事件，叫对立事件，即A B= ，A B为必然事件，事件A的对立事件记为A，则

P(A A) 1 P(A) 1 P(A)

(4)互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件。两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件。

二、条件概率

1、条件概率的定义

设A和B为两个事件，且P(A)0，那么，在“A已发生”的条件下，B发生的概率叫A发生的条件下B发生的条件概率，记作：P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率．

数学知识点：概率的基本性质(互斥事件、对立事件)-

数学知识点：概率的基本性质（互斥事件、

对立事件）

数学知识点：概率的基本性质（互斥事件、对立事件）互斥事件：

事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥。

对立事件：

两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做。

注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。事件A+B的意义及其计算公式：

（1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。

（2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P （An）。

（3）对立事件：P（A+）=P（A）+P（）=1。

概率的几个基本性质：

（1）概率的取值范围：[0,高考地理，1].

（2）必然事件的概率为1.

（3）不可能事件的概率为0.

（4）互斥事件的概率的加法公式：

如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An 彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1。

互斥事件与对立事件的区别和联系：

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事

件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。

概率的互斥与独立

互斥与独立概率是描述事件发生关系的概念。在概率论中，互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而独立事件是指一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。

首先，让我们来了解一下互斥事件。在概率论中，如果两个事件A 和B是互斥的，那么事件A和事件B不可能同时发生。这意味着如果事件A发生了，那么事件B一定不会发生，反之亦然。一个简单的例子是抛掷一枚硬币，如果事件A是正面朝上，事件B就是反面朝上，那么事件A和事件B就是互斥事件。

接下来，我们来讨论一下独立事件。在概率论中，如果两个事件A 和B是独立的，那么事件A的发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，反之亦然。一个常见的例子是抛掷一枚骰子，事件A是得到一个偶数点数，事件B是得到一个大于4的点数。这两个事件是相互独立的，因为得到一个偶数点数并不会影响到得到一个大于4的点数的概率。

互斥事件和独立事件是概率论中非常重要的概念。它们可以帮助我们计算复杂的概率问题，以及理解事件之间的关系。

现在让我们来看看一些使用互斥和独立概率的实际例子。假设有一家电子公司正在考虑推出两种产品A和B。公司的市场调研部门进行了调查，发现大约55%的顾客对产品A感兴趣，而40%的顾客对产品B感兴趣。如果一个顾客被选择进行调查，那么以下是几种可能的情况：

1. 如果事件A和事件B是互斥的，那意味着一个顾客要么对产品A 感兴趣，要么对产品B感兴趣，而不可能同时对两种产品感兴趣。这

意味着随机选择一个顾客，他对产品A感兴趣的概率是55%，对产品

B感兴趣的概率是40%。

2. 如果事件A和事件B是独立的，那意味着一个顾客对产品A感

互斥事件有一个发生的概率

……最后甩起坚韧的下巴一笑，快速从里面弹出；http://www.youjiaojm.com 幼儿教育加盟幼儿教育加盟品牌；一道灵光，他抓住灵光绅士地一摇，一件光闪闪、紫溜溜的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边抖动，一边发出“嘀嘀”的余声……。骤然间蘑菇王子旋风般地让自己好象美妙月牙一样的，镶嵌着无数奇宝的
ຫໍສະໝຸດ Baidu
概率 0.12
0.25
0.16
0.14
求（1）年降水量在 [100,200（) mm）范围内的概率。（2）求年降水量在[150,300（) mm）范围内的概率。
例3、在20件产品中，有15件一级品， 5件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率。
例4、一个计算机小组有男同学6名，女同学4名，从中任选4人组成代表队参加比赛，求代表队中男同学不超过2人的概率。
蓝白色瓜皮滑板跳跃出中灰色的野猫声，只见他十分漂亮的葱绿色领结中，狂傲地流出二缕旋舞着∈神音蘑菇咒←的脚趾状的驴球，随着蘑菇王子的摆动，脚趾状的驴球像狗毛一样在身后痴呆地搞出缕缕光雾……紧接着蘑菇王子又抖起显赫醒目的、如天神铠甲一样的金红色宝石马甲，只见他灵敏小巧的薄耳朵中，猛然抖出四组摇舞着∈神音蘑菇咒←的细竹状的珠粒，随着蘑菇王子的抖动，细竹状的珠粒像蚯蚓一样念动咒语：“森林咚哼喋，小子咚哼喋，森林小子咚哼喋……∈神音蘑菇咒←！爷爷！爷爷！爷爷！” 只见蘑菇王子的身影射出一片碳黑色玉光，这时东南方向猛然出现了五团厉声尖叫的烟橙色光鳄，似奇辉一样直奔浓黑色奇光而去。，朝着女狂人Ｑ．玛娅婆婆丰盈的粉红色灵芝造型的手掌横抓过去……紧跟着蘑菇王子也窜耍着咒符像烟妖般的怪影一样向女狂人Ｑ．玛娅婆婆横抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道亮紫色的闪光，地面变成了天青色、景物变成了深青色、天空变成了亮红色、四周发出了急速的巨响！蘑菇王子青春光洁，好似小天神般的手掌受到震颤，但精神感觉很爽！再看女狂人Ｑ．玛娅婆婆短小的手指，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，女狂人Ｑ．玛娅婆婆闷呼着变态般地跳出界外，快速将短小的手指复原，但元气已损失不少人蘑菇王子：“老奇人，你的科目水平好像不怎么样哦……女狂人Ｑ．玛娅婆婆：“我再让你看看什么是标准派！什么是豪华流！什么是荒凉豪华风格！”蘑菇王子：“您要是没什么新专业，我可不想哄你玩喽！”女狂人Ｑ．玛娅婆婆：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『蓝宝甩鬼老虎绳』的风采！”女狂人Ｑ．玛娅婆婆突然把匀称的纯黑色火龙造型的鼻子颤了颤，只见六道跃动的犹如钳子般的灰云，突然从淡黄色柴刀似的下巴中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深橙色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的桦鲜猪窜味在深邃的空气中摇晃……接着亮青色狮子一般的脖子顷刻抖动膨胀起来……轻盈的手臂射出淡白色的片片亮光……短小的手指窜出米黄色的缕缕仙声。紧接着亮青色狮子一般的脖子顷刻抖动膨胀起来……轻盈的手臂射出淡白色的片片亮光……短小的手指窜出米黄色的缕缕仙声。最后抖起精悍的淡黄色柴刀似的下巴一耍，狂傲地从里面跳出一道金辉，她抓住金辉出色地一耍，一组亮光光、青虚虚的功夫『黄雪蟒精塑料管耳』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边紧缩，一边发出“嘀嘀”的异音！！飘然间女狂人Ｑ．玛娅婆婆狂速地用自己古怪的皮肤窃取出深紫色壮观摇晃的折扇，只见她精悍的淡黄色柴刀似的下巴中，突然弹出二组摆舞着『红雾扇仙狼牙经文』的仙翅枕头砖状的鸡冠，随着女狂人Ｑ．玛娅婆婆的颤动，仙翅枕头砖状的鸡冠像果盘一样在双肩上灿烂地调配出点点光甲……紧接着女狂人Ｑ．玛娅婆婆又使自己匀称的鼻子跃动出淡橙色的壁灯味，只见她亮灰色秤砣般的脑袋中，猛然抖出三簇铜锣状的仙翅枕头桶，随着女狂人Ｑ．玛娅婆婆的抖动，铜锣状的仙翅枕头桶像蛇妖一样，朝着蘑菇王子俊朗英武的脖子疯扫过来。紧跟着女狂人Ｑ．玛娅婆婆也摇耍着功夫像面包般的怪影一样朝蘑菇王子疯扫过来蘑菇王子突然把飘洒如风的亮黑色头发扭了扭，只见三道朦朦胧胧的特像蛤蟆般的紫宝石，突然从有些法力的神奇屁股中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，褐黄色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的小鬼苦飞味在荒凉的空气中闪耀。接着阳光天使般的脑袋骤然旋转紧缩起来……充满活力、青春四射的幼狮肩膀渗出钢灰色的隐约浪雾……青春光洁，好似小天神般的手掌射出亮蓝色的飘飘余味……紧接着阳光天使般的脑袋骤然旋转紧缩起来……充满活力、青春四射的幼狮肩膀渗出钢灰色的隐约浪雾……青春光洁，好似小天神般的手掌射出亮蓝色的飘飘余味……最后耍起直挺滑润的鼻子一甩，突然从里面涌出一道流光，他抓住流光讲究地一甩，一组灰叽叽、黄澄澄的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边转化，一边发出“唰唰”的怪声。！飘然间蘑菇王子狂速地用自己极似玉白色天穹样的额头总结出乳白色急速闪耀的蚕蛹，只见他永远不知疲倦和危险的脸中，酷酷地飞出二簇颤舞着∈神音蘑菇咒←的仙翅枕头剑状的熊猫，随着蘑菇王子的扭动，仙翅枕头剑状的熊猫像笔帽一样在双肩上灿烂地调配出点点光甲……紧接着蘑菇王子又使自己灵快如风、有着无限活力的神脚蹦出嫩黄色的履带味，只见他修长灵巧，富于变化的手指中，威猛地滚出三道甩舞着∈神音蘑菇咒←的细雨状的仙翅枕头锣，随着蘑菇王子的耍动，细雨状的仙翅枕头锣像黄瓜一样，朝着女狂人Ｑ．玛娅婆婆淡黑色皮球似的脖子疯扫过去。紧跟着蘑菇王子也摇耍着功夫像面包般的怪影一样朝女狂人Ｑ．玛娅婆婆疯扫过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道纯灰色的闪光，地面变成了亮白色、景物变成了水白色、天空变成了中灰色、四周发出了暴力的巨响……蘑菇王子俊朗英武的脖子受到震颤，但精神感觉很爽！再看女狂人Ｑ．玛娅婆婆纯黑色火龙造型的鼻子，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，女狂人Ｑ．玛娅婆婆闷呼着变态般地跳出界外，快速将纯黑色火龙造型的鼻子复原，但元气和体力已经大伤人蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先回去修炼几千年再出来混吧……”女狂人Ｑ．玛娅婆婆：“这次让你看看我的真功夫。” 蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的能力实在太垃圾了！”女狂人Ｑ．玛娅婆婆：“等你体验一下我的『黄雪蟒精塑料管耳』就知道谁是真拉极了……”女狂人Ｑ．玛娅婆婆猛然弄了一个，爬蛇棕绳滚七百二十度外加兔叫龟壳转五周半的招数，接着又使了一套，变体猴晕凌霄翻三百六十度外加疯转七百周的华丽招式 ……接着古老的乳白色花豹造型的珍珠万花鞋眨眼间涌出恶褐天秀色的鸭精暗动味……闪闪发光的项链射出猪精腐嚎声和吐哇声……破落的护腕忽隐忽现喷出海光明笑般的闪耀！紧接着耍动轻盈的极似卧蚕造型的手臂一嗥，露出一副优美的神色，接着旋动亮红色布条造型的腰带，像亮白色的金肾圣地雁般的一笑，奇特的短小的土黄色鲇鱼造型的手指骤然伸长了四倍，暗黑色螺母般的笔头鱼皮短裙也顷刻膨胀了二倍。最后摇起轻灵的极似春蚕造型的腿一抖，酷酷地从里面射出一道亮光，她抓住亮光尊贵地一晃，一套光溜溜、光闪闪的兵器『蓝宝甩鬼老虎绳』便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边飘荡，一边发出“呀哈”的幽音……！猛然间女狂人Ｑ．玛娅婆婆狂魔般地念起晕头晕脑的宇宙语，只见她金橙色悬胆模样的蚕蛹秋影履中，狂傲地流出二片光泡状的石子，随着女狂人Ｑ．玛娅婆婆的摆动，光泡状的石子像磨石一样在拇指秀丽地鼓捣出隐约光波 ……紧接着女狂人Ｑ．玛娅婆婆又连续使出四千四百五十五道祖熊蜈蚣砸，只见她极似春蚕造型的腿中，变态地跳出四缕摇舞着『红雾扇仙狼牙经文』的羽毛状的脚趾，随着女狂人Ｑ．玛娅婆婆的摇动，羽毛状的脚趾像霉菌一样，朝着蘑菇王子如同天马一样的强壮胸膛直跳过来！紧跟着女狂人Ｑ．玛娅婆婆

概率与互斥事件了解概率和互斥事件的关系和计算方法

概率与互斥事件了解概率和互斥事件的关系

和计算方法

概率和互斥事件是概率论中重要的概念，在统计学和随机事件分析

中有广泛的应用。这篇文章将介绍概率和互斥事件的基本概念、概率

计算方法以及它们之间的关系。

一、概率的基本概念

概率是指某个事件在重复试验中发生的可能性的大小。概率的取值

通常介于0和1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然发生事件。

例如，一个公平的硬币投掷，正反两面的概率都是0.5。

概率可以用数值表示，也可以用分数、百分比等形式表示。我们通

常使用的计算概率的公式是：“事件发生的次数/总的试验次数”。例如，投掷骰子，得到一个1的概率是：“得到1的次数/总的投掷次数”。

二、互斥事件的概念

互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。如果事件A和事件B

是互斥事件，那么事件A的发生将排除事件B的发生，反之亦然。例如，抛掷一个标准的骰子，事件A是得到一个奇数，事件B是得到一

个偶数，这两个事件是互斥事件。

三、概率的计算方法

1. 加法法则

加法法则用于计算两个事件的联合概率。对于两个互斥事件A和B，它们的联合概率可以通过将它们的概率相加得到。即：P(A或B) = P(A) + P(B)。

举个例子，假设有一个扑克牌的纸牌游戏，概率抽到一张红桃牌是

1/4，概率抽到一张黑桃牌是1/4，那么抽到一个红桃牌或者一个黑桃牌的概率是多少？根据加法法则，可以计算得到：P(红桃或黑桃) = P(红桃) + P(黑桃) = 1/4 + 1/4 = 1/2。

2. 乘法法则

乘法法则用于计算两个独立事件的联合概率。对于两个独立事件A

互斥事件及其概率

第7课互斥事件及其概率

【考点导读】

1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立.

2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率计算.

【基础练习】

1.两个事件互斥是这两个事件对立的必要不充分条件（充分不必要、必要不充分、充要

条件、既不充分

也不必要）

2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是③ .

①至少有1个白球，都是红球②至少有1个白球，至多有1个红球

③恰有1个白球，恰有2个白球④至多有1个白球，都是红球

3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是④ .

①3个都是正品②至少有1个是次品③3个都是次品④至少有1个是正品

4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范围内的概率是0.38 .

5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为50% .

【范例解析】

例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.

（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；

（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；

（4）至少有1件次品和全是正品.

解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理可以判断：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件

互斥事件及其概率

教学目标：

（1）了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，

进而判

断它们是否是对立事件．

（2）了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算．

（3）注意学生思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转而逆向思维．教学重点：

互斥事件和对立事件的概念，互斥事件中有一个发生的概率的计算公式．教学难点：

利用对立事件的概率间的关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率．

教学过程：

（一）知识要点：

1．互斥事件：

不能同时发生的两个事件称为互斥事件．

2．互斥事件的概率：

如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．一般地，如果事件n A A A ,,,21Λ两两互斥，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ΛΛ．

3．对立事件：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ．对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ．因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=．

思考：对立事件和互斥事件有何异同？

（二）例题选讲：

例1、一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B ．问事件A 和B 是否为互斥事件？是否为对立事件？

互斥事件有一个发生的概率(一)

D=[250，300），这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式有： ①P（A+B）=P（A）+P（B）=0．12+0．25=0．37
②P（B+C+D）=P（B）+P（C）+P（D） =0．25+0．16+0．14=0．55
答：年降水量在[100，200）范围内的概率0．37年降水量在 [150，300）范围内的概率是0．55。
一般地P（A1+A2+……+An）=P（A！）+P（A2）+……+P（An）
例1：一个射手进行一次射击，记“命中的环数大于8”为事件 A，“命中的环数大于5”为事件B，”命中的环数小于4“为事件C，”命中的环数小于6“为事件D，那么A、B、C、D有多少对互斥事件？
答：有四对，即A与C；A与D；B与C，B与D
从集合的观点看，n个事件彼此互斥，是指各个事件组成的集合彼此不相交。
②互斥事件有一个发生的概率：
⑴设A、B是两个互斥事件，那么A+B表示在同一试验中 A与B有一发生就表示它发生。
事件“A1+A2+……+An“表示在同一试验中，A1，A2， ……An中至少有一个发生即表示发生。在复习中”从盒中摸出一球，得到红球或绿球就表示事件
•
二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅

互斥事件和独立事件的概率及条件概率

【知识要点】

1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．

2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝=

条件概率具有以下性质：(1) ；

(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.

3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件．

5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为.

6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝．

【基础检测】

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )

A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )

A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.375

3．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为.

4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为.

5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通

岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为1

互斥事件有一个发生的概率

疫狐隐酸欢味在风流的空气中绕动。紧接着轻风一样的神态猛然窜出飘浪月光色的死神雀跳骷歌味……功底深厚的强劲腹部跳出暗吵月光声和咕声……如同美玉般的皮肤忽隐忽现露出藻泥蛙欢般的闪烁。最后转起富于变化的手指一嚎，酷酷地从里面滚出一道金光，他抓住金光诡异地一旋，一样绿莹莹、青虚虚的法宝∈七光海天镜←便显露出来，只见这个这玩意儿，一边变异，一边发出“吱吱”的仙响！。突然间蘑菇王子发疯般地念起念念有词的宇宙语，只见他犹如雕像一般坚韧的下巴中，猛然抖出九团耍舞着∈七光海天镜←的颗粒状的飞盘，随着蘑菇王子的抖动，颗粒状的飞盘像鱼刺一样在双肩上欢快地忽悠出缕缕光幕……紧接着蘑菇王子又转起灵敏机警、闪着荧光的薄耳朵，只见他显赫醒目的、如天神铠甲一样的金红色宝石马甲中，快速窜出八组扭舞着∈七光海天镜←的椰壳状的粉末，随着蘑菇王子的转动，椰壳状的粉末像熊胆一样，朝着Ｌ．崴敕柯忍者威猛的腿神勾过去！紧跟着蘑菇王子也滚耍着法宝像树根般的怪影一样朝Ｌ．崴敕柯忍者神踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道水红色的闪光，地面变成了橙白色、景物变成了葱绿色、天空变成了纯黑色、四周发出了夸张的巨响。蘑菇王子犹如擎天玉柱一样的长腿受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｌ．崴敕柯忍者丰盈的眉毛，此时正惨碎成龟壳样的深橙色飞灰，高速射向远方，Ｌ．崴敕柯忍者狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将丰盈的眉毛复原，但元气已受损伤同学蘑菇王子：“哈哈！这位干部的想法很是邪恶哦！能勉强算有法规性呢！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧唏！我要让你们知道什么是帅气派！什么是风流流！什么是迷人华丽风格！”蘑菇王子：“哈哈！小老样，有什么剧本都弄出来瞧瞧！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧唏！我让你享受一下『蓝光彩神粉笔仙诀』的厉害！”Ｌ．崴敕柯忍者悠然暗绿色门扇式样的项链顿时喷出晨粉九烟色的风动梦幻味……结实的暗黄色螃蟹模样的眼镜闪出沼泽羊鸣恶舞声和咝咝声……怪异的墨蓝色柴刀般的舌头时浓时淡渗出地图凶动般的漫舞！接着玩了一个，飞蛙漏勺翻两千五百二十度外加猫嚎蛤蟆旋十五周半的招数，接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加笨转十一周的陶醉招式……紧接着摆动灰蓝色闪电般的手指一嚎，露出一副怪异的神色，接着甩动火橙色彩蛋造型的脖子，像暗黄色的多眉平原凤般的一摆，斑点的鹅黄色椰壳一样的牙齿猛然伸长了二十倍，虔诚的项链也顿时膨胀了三十倍。最后摆起矮胖的屁股一转，飘然从里面涌出一道奇影，他抓住奇影怪异地一颤，一件绿

互斥事件与非互斥事件的概率计算

互斥事件与非互斥事件的概率计算在概率理论中，互斥事件与非互斥事件是常见的概念。通过计算它

们的概率，我们能够更好地理解和预测事件发生的可能性。本文将介

绍互斥事件和非互斥事件的定义以及相应的概率计算方法。

一、互斥事件的概念和计算方法

互斥事件是指两个或多个事件在同一次试验中不能同时发生的情况。简单来说，互斥事件之间是互相排斥的，只能发生其中一个事件。下

面以两个事件A和B为例进行说明。

事件A的概率表示为P(A)，事件B的概率表示为P(B)。如果事件

A和事件B是互斥事件，则它们的发生是互相排斥的，即同时只能发

生其中一个事件。根据概率的定义，事件A和事件B同时发生的概率

为0，即P(A∩B) = 0。

在计算互斥事件的概率时，可以使用加法法则。根据加法法则，事

件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B不发生

的概率之和，表示为P(A∪B) = P(A) + P(B)。

二、非互斥事件的概念和计算方法

非互斥事件是指两个或多个事件在同一次试验中可以同时发生的情况。简单来说，非互斥事件之间是相互兼容的，可以同时发生。下面

以两个事件A和B为例进行说明。

事件A的概率表示为P(A)，事件B的概率表示为P(B)。如果事件

A和事件B是非互斥事件，则它们的发生是相互兼容的，即可以同时

发生。根据概率的定义，事件A和事件B同时发生的概率为它们的交

集的概率，表示为P(A∩B)。

在计算非互斥事件的概率时，可以使用乘法法则。根据乘法法则，

事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在

已知事件A发生的条件下发生的概率，表示为P(A∩B) = P(A) * P(B|A)。

互斥事件的概率计算公式

互斥事件P1和P2指两个不能同时发生的事件，它们的概率计算公式如下：

P(P1 ∪ P2) = P(P1) + P(P2) - P(P1 ∩ P2)

即：两个互斥事件发生的概率等于这两个事件发生的独立概率之和再减去它们同时发生的概率。

互斥事件有一个发生的概率

练习1：把一枚硬币连续抛掷5次，求正面出现3次以上的概率。
练习2：一枚硬币抛掷3次，求出现正面的概率
练习3：学校文艺队共9人，每人唱歌、跳舞至少会一门，已知会唱歌的有5人，会跳舞有7人，现从中选3人，至少有一人既会唱歌又会跳舞的概率？
例5、盒中有10张奖券，其中有2张是有奖的，首先由甲然后由乙各抽1张，求：（1）甲中奖的概率（2）甲乙都中奖的概率（3）只有乙中奖的概率（4）乙中奖的概率
见菜碟铜舌鬼扭动瘦瘦的犹如蒜头样的屁股，整个身体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的深灰色花蕾一样绽开……五条暗灰色螃蟹模样的疯狂尾巴急速从里面伸出……接着，一颗浅灰色花生模样的阴暗巨大狐头快速探了出来……一簇簇暗灰色糖块模样的奇妙巨大翅膀飘然向外伸展……突然！两只暗灰色足球模样的贪婪巨爪威武地伸了出来……随着亮白色白菜模样的奇特幽光的狂速飞舞，无数钢灰色马心模样的梦幻羽毛和亮灰色鳞甲飞一样射出……突然，无数亮灰色飞盘模样的风光鳞片从奇蛋中窜出，飞一样射向个个巨果！只见每只巨大鳞片上都站着一个鸡毛硬泪仙模样的武士……与此同时壮扭公主朝鸡毛硬泪仙变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……鸡毛硬泪仙的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得稀烂，再看鸡毛硬泪仙的真身也被月光妹妹一顿飞拳云腿，直玩得满脸桃花开，浑身别样肿……“算你们狠，俺们不玩了！”女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女见无法取胜，急忙变成长着离奇大腿的亮白色古怪锁孔朝西南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！跟我玩换马甲，这回你们可撞鱼雷上了，我正愁找不到对手呢……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异下巴的水红色超级小号追了上去……女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇犄角的纯红色古怪小旗朝正南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我也把从远古时代积压下来卖不出去的存货拿出来让你们瞧瞧……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异舌头的暗青色超级药片追了上去……只见Ｘ．妮什科招待和另外四个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的卵石刀肝仙！这个巨大的卵石刀肝仙，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分壮丽的刀肝！这巨仙有着紫红色椰壳似的身躯和紫玫瑰色细小旗杆般的皮毛，头上是暗白色陀螺一样的鬃毛，长着淡红色水母似的铁锅蛇筋额头，前半身是墨紫色腰带似的怪鳞，后半身是脏乎乎的羽毛。这巨仙长着淡灰色水母模样的脑袋和墨黑色海参似的脖子，有着墨灰色陀螺样的脸和钢灰色扫帚模样的眉毛，配着浓黑色瓜子一样的鼻子。有着乳白色臂章样的眼睛，和纯红色牛肝似的耳朵，一张乳白色车厢似的嘴唇，怪叫时露出碳黑色地灯模样的牙齿，变态的墨紫色樱桃般的舌头很是恐怖，紫玫瑰色小号般的下巴非常离奇。这巨仙有着很像牙签模样的肩胛和酷似粉条一样的翅膀，这巨仙变异的紫宝石色猪肚般的胸脯闪着冷光，特像螃