互斥事件及其概率
数学：3.4-2《互斥事件的概率》
回顾小结：
一、本节课主要应掌握如下知识： ⑴ 互斥事件、对立事件的概念及它们的关系； ⑵ n 个彼此互斥事件的概率公式：
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
⑶ 对立事件的概率之和等于1，即：
P(A A) P(A) P(A) 1
27 9
1 8 1 故“3只颜色不全相同”的概率为 9 9
(3)“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”
6 2 思考：“3只颜色全不相同” 概率是多少？27 9
.
若：红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？
课堂练习
• 1 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现 奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=， P(B)=，求 “出现奇数点或偶数点”的概率．
例题讲解：
例1 黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：
血型 该血型人所占比/%
A 28
B 29
AB 8
O 35
已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血 型的人，任何人的血都可以输给 AB型血的人，其他不 同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病 需要输血，问： （1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ （2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
• 2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放 回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件 的概率：(1)取到的2只都是次品； (2)取到 的2只中正品、次品各一只； (3)取到的2只中至少有一只正品．
课堂练习
• 3.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽 1 取一张，那么取到红心（事件A）的概率是 ， 1 4 取到方块（事件B）的概率是 4 ，问 （1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？ 4. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、 1 绿球，从中任取一球，得到红球的概率为 3， 5 得到黑球或黄球的概率是 12 ，得到黄球或绿 5 球的概率也是 12 ，试求得到黑球、得到黄球、 得到绿球的概率各是多少？
互斥事件的概率公式
互斥事件的概率公式互斥事件是指事件 A 和事件 B 的交集为空，即 A∩B=。
互斥事件的概率可以用以下公式计算:P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，A 和 B 为互斥事件，A∩B 表示事件 A 和事件 B 的并集，P(A) 表示事件 A 的概率，P(B) 表示事件 B 的概率，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 的交集的概率。
互斥事件的概率和为 0，但对立事件的概率和为 1。
对立事件是指与事件 A 互斥的事件 B，即 A∩B=。
对立事件的概率可以用以下公式计算:P(B) = 1 - P(A∩B)在概率论中，互斥事件和对立事件是两种最基本的事件类型。
互斥事件的概率公式可以推导出其他许多事件的概率公式，例如等可能性事件的概率公式和必然事件的概率公式等。
拓展:1. 互斥事件和对立事件是概率论中最基本的事件类型之一。
在概率论中，我们可以用事件的概率来描述事件发生的可能性大小，而互斥事件和对立事件的概率公式则是计算事件发生可能性大小的基本公式。
2. 互斥事件和对立事件的概率和可以为 0 或 1，这取决于事件A 和事件B 的具体情况。
如果事件 A 和事件 B 是互斥的，则它们的交集为空，即 P(A∩B)=0。
如果事件 A 和事件 B 是对立事件，则它们的交集也为空，即 P(A∩B)=0。
如果事件 A 和事件 B 不是互斥事件或对立事件，则它们的交集的概率可以为 0 或 1。
3. 互斥事件和对立事件在概率论中有着广泛的应用。
例如，在赌博中，如果我们已知某个赌注是互斥事件，我们就可以计算出这个赌注的中奖概率，从而更好地决策是否参与这个赌注。
在统计学中，互斥事件和对立事件也是常用的概念，例如在抽样调查中，我们可以用互斥事件和对立事件来描述样本和总体之间的关系。
互斥事件和独立事件的概率及条件概率
互斥事件和独立事件的概率及条件概率【知识要点】1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B 为．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝=条件概率具有以下性质：(1) ；(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件．4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是事件．5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为.6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝．【基础检测】1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．恰有1个白球与恰有2个白球B．至少有1个白球与都是白球C．至少有1个白球与至少有1个红球D．至少有1个白球与都是红球2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.3753．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为.4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为.5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为13，则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为.典例分析：例1.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子，其中6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔．(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率；(3)求笼内至多剩下5只果蝇的概率．例2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲队总分不低于2分的概率；(2)用A 表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．离散型随机变量的分布列、期望与方差【知识要点】1．离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，X取每一个值x i(i＝1,2，…)的概率P(X＝x i)＝p i(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的①；②；(3)两点分布：(4)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M，N∈N*，此时称分布列：(5)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．3．离散型随机变量的期望与方差则称Eξ＝为随机变量型随机变量取值的．把Dξ=叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的，记作.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．4．基本性质若η＝aξ＋b(a，b为常数)，Eη＝E(aξ＋b)＝；Dη＝D(aξ＋b)＝；若ξ服从两点分布，则Eξ＝，Dξ＝，若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝，Dξ＝．【基础检测】1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为( )A．25个B．10个C．7个D．6个2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck＋1，k＝0,1,2,3，则c＝.3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为45，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种子发芽颗数的平均值为颗，方差为.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝5．随机变量ξ的分布列为则Eξ＝，＝，＝.6.有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．综合练习卷1.在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a (13)i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1 B.913 C.1113 D.27133．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选得正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( )A ．60分B ．70分C ．80分D ．90分4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是 .5．用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求： (1)3个矩形颜色都相同的概率为 ；(2)3个矩形颜色都不同的概率为 .6．某单位订阅《人民日报》的概率为0.6，订阅《参考消息》的概率为0.3，则它恰好订阅其中一份报纸的概率为 .7.(2011湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)设X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．8.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。
互斥事件的概率公式
3.什么是对立事件 对立事件有什么性质 什么是对立事件?对立事件有什么性质 什么是对立事件 对立事件有什么性质? 必有一个发生的互斥事件事件叫对立事件 为对立事件， 若A与B为对立事件，则P(A)+P(B)=1. 与 为对立事件
创设情境
甲坛子里有3个白球， 个黑球 个黑球； 甲坛子里有 个白球，2个黑球；乙坛子里 个白球 个白球， 个黑球 个黑球． 有2个白球，2个黑球．设“从甲坛子里摸出一 个白球 A 个球，得到白球” 个球，得到白球”叫做事件 ，“从乙坛子里 B 摸出一个球，得到白球” 摸出一个球，得到白球”叫做事件 A 问 与 ． B 是不是互斥事件呢？是不是对立事件？ 是不是互斥事件呢？是不是对立事件？还有其 他什么关系？ 他什么关系？
反过来，事件 是否发生对事件 是否发生对事件A发生的概 反过来，事件B是否发生对事件 发生的概 率有没有影响呢? 率有没有影响呢 没有. 答:没有 没有 这就是说， 这就是说，事件 A 或 B ）是否发生对事 （ 发生的概率没有影响， 件 B 或 A ）发生的概率没有影响，这样的两 （ 相互独立事件． 个事件叫做相互独立事件 个事件叫做相互独立事件．
个球， “从甲坛子里摸出1个球，得到白球” 从甲坛子里摸出 个球 得到白球” 从乙坛子里摸出1个球 个球， 与“从乙坛子里摸出 个球，得到黑 球”同时发生的概率
3 1 3 P(A·B)=P(A)·P(B) = 5 × 2 = 10
个球， “从两个坛子里分别摸出1个球，恰得 从两个坛子里分别摸出 个球 到一个白球”的概率为 到一个白球”的概率为
人都击中目标的概率， （1）欲求 人都击中目标的概率，即求 、B ）欲求2人都击中目标的概率 即求A 同时发生的概率. 同时发生的概率 人各射击1次 恰有1人击中目标 人击中目标” （2）“2人各射击 次，恰有 人击中目标”包 ） 人各射击 括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（ 括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件 A· B 发生 ） ，另一种是甲未击中 、乙击中（事 发生） 另一种是甲未击中、乙击中（ 发生） 且事件A· 互斥. 件 ·B发生）,且事件 B 与 ·B互斥 发生 且事件 互斥 人击中目标” （3）“至少有 人击中目标”包括两种情况： ） 至少有1人击中目标 包括两种情况： 一种是恰有1人击中 另一种是恰有2人击中 人击中， 人击中. 一种是恰有 人击中，另一种是恰有 人击中
随机事件的互斥事件和独立事件
随机事件的互斥事件和独立事件1. 互斥事件1.1 定义互斥事件（Mutually Exclusive Events）指的是两个事件不可能同时发生。
用数学符号表示为：A ∩ B = ∅，即事件A和事件B的交集为空集。
1.2 性质（1）完备性：对于任意事件A，有P(A) = P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，其中B’为事件B的补集。
（2）互斥事件的概率公式：若A1, A2, …, An为互斥事件，则P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 应用互斥事件在实际生活中有很多应用，如在抽奖活动中，中奖和不中奖这两个事件就是互斥的。
在统计分析中，也可以利用互斥事件来计算概率。
2. 独立事件2.1 定义独立事件（Independent Events）指的是两个事件的发生与否互不影响。
用数学符号表示为：P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
2.2 性质（1）组合性：对于任意事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
（2）独立事件的乘法公式：若A1, A2, …, An和B1, B2, …, Bm为独立事件，则P(A1 ∩ B1 ∩ … ∩ An ∩ Bm) = P(A1)P(B1) … P(An)P(Bm)。
2.3 应用独立事件在实际生活中也有很多应用，如在投掷两个骰子的情况下，第一个骰子出现1点，第二个骰子出现2点的概率就是独立事件。
在统计分析中，独立事件可以用来计算联合概率。
3. 互斥事件与独立事件的区别与联系3.1 区别（1）定义不同：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响。
（2）概率公式不同：互斥事件的概率公式为P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，独立事件的概率公式为P(A)P(B)。
3.2 联系（1）互补事件：互斥事件和独立事件都可以看作是互补事件。
互斥事件及其发生的概率
A
对立事件与互斥事 件有何异同？ 1、对立事件是相对于两个互斥事件来说的 ； 2、我们可用如图所示的两个图形来 区分：
A B A、B为互斥事件： 、 为 对 立 事 件
试试看，你会获得成功！
抛掷一颗骰子1次，记“向上的 点数是4，5，6”为事件A，“向上的 点数是1，2”为事件B，“向上的点数 是1，2，3”为事件C，“向上的点数 是1，2，3，4”为事件D。判别下列 每件事件是不是互斥事件，如果是， 再判别它们是不是对立事件。 （1）A与B （2）A与C （3）A与D
分层练习:
1、把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机分给甲、 乙、丙、丁四个人，每人得一张，事件A为“甲分得 红桃”，事件B为“乙分得红桃”，则事件A、B是 （ C ） A. 对立事件 B 都是不可能事件 C 互斥但不对立事件 D 对立但不是互斥事件
分层练习:
2、袋中有白球和黑球各5个，从中连续摸 两次，每次摸出1个球， 记事件A为“两次摸到黑球”， 事件B为“两次摸到白球”， 事件C为“恰有一次摸到白球”， 事件D为“至少有一次摸到白球”， 其中互为互斥事件的是 ＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿， 互为对立事件的是＿＿＿＿＿＿＿＿。
3某地区年降水量（单位：mm）在下列范围 内的概率如下表：
年降 水量 [600,800） [800,1000） [1000,1200） [1200,1400） [1400, 1600） 概率 0.12 0.26 0.38 0.16 0.08
（1）、求年降水量在[800，1200）内的概率； （2）、如果年降水量≥1200mm,就可能发生涝灾，求该地区可能发生 涝灾的概率。
例3 把集合A= 1，2，3 的所有子集写 在一些卡片上（每张卡片只写一个子 集），然后把这些卡片装入一个盒子， 从中任取一张，那么这一张的集合含有 2个元素的概率是多少？
互斥事件及其概率
互斥事件及其概率教学目标：（1）了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件．（2）了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算．（3）注意学生思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转而逆向思维． 教学重点：互斥事件和对立事件的概念，互斥事件中有一个发生的概率的计算公式． 教学难点：利用对立事件的概率间的关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率．教学过程：（一） 知识要点：1．互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．2．互斥事件的概率：如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．一般地，如果事件n A A A ,,,21Λ两两互斥，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ΛΛ．3．对立事件：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ．对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ．因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=．思考：对立事件和互斥事件有何异同？（二） 例题选讲：例1、一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B ．问事件A 和B 是否为互斥事件？是否为对立事件？解：事件A 和B 互斥。
因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件A 和B 不是对立事件．（2） 求射击1次，命中不足7环的概率．解：记事件“射击1次，命中k 环”为),10,(≤∈k N k A k 且则事件k A 两两相斥．（1）记“射击一次，至少命中7环”的事件为A ，那么当10A ，9A ，8A 或7A 之一发生时，事件A 发生．由互斥事件的概率加法公式，得)()(78910A A A A P A P +++==)()()()(78910A P A P A P A P +++=9.032.028.018.012.0=+++．（2）事件“射击一次，命中不足7环”是事件“射击一次，命中至少7环”的对立事件，即A 表示事件“射击一次，命中不足7环”．根据对立事件的概率公式，得1.09.01)(1)(=-=-=A P A P ．答：此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9；命中不足7环的概率为0.1． 血型A B AB O 该血型的人所占比/%28 29 8 35 血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问：（1） 任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2） 任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解（1）对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为,,,,D C B A ''''它们是互斥的．由已知，有35.0)(,08.0)(,29.0)(,28.0)(='='='='D P C P B P A P ．因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件D B '+'．根据互斥事件的加法公式，有64.035.029.0)()()(=+='+'='+'D P B P D B P ．（2）由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件C A '+'，且36.008.028.0)()()(=+='+'='+'C P A P C A P ．答任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36．注 ：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有 36.064.01)(1)(=-='+'-='+'D B P D B P例3 、某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或7环的概率（2）不够7环的概率例4 、在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率； (4)至少取得一个红球的概率．(答案: (1)157 （2）151 (3)158 (4)1514) 例5 、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品； (2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品．解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有36种不同取法．(1)取到的2只都是次品情况为4种．因而所求概率为91364=． (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品．因而所求概率为9423624=⨯⨯=P ． (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件．因而所求概率为98911=-=P ． 例6 、从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会．如果选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有x -36名．选得2名委员都是男性的概率为3536)1(⨯-x x ． 选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(⨯--x x ． 上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x ．解得15=x 或21=x即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名．总之，男女生相差6名．（三） 巩固练习：1、判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．从一堆产品（其中正品与次品都多于2个）中任取2件，其中：(1)恰有1件次品和恰有2件正品；(2)至少有1件次品和全是次品；(3)至少有1件正品和至少有1件次品；(4)至少有1件次品和全是正品；答案：（互斥但不对立，不互斥，不互斥，互斥对立）2、在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球，从中任取一个球，求：⑴得到红球的概率； ⑵得到绿球的概率； ⑶得到红球或绿球的概率； ⑷得到黄球的概率．（5） “得到红球”和“得到绿球”这两个事件A 、B 之间有什么关系，可以同时发生吗？（6） ⑶中的事件D “得到红球或者绿球”与事件A 、B 有何联系？答案：（1）107 （2）51 （3）109 （4）101 （5）互斥事件（6）)()()(B P A P D P +=．3、下列说法中正确的是（ D ）A ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B ．事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件4、回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0．65，乙的命中率为0．60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．65＋0．60＝1．25，为什么?(2)一射手命中靶的内圈的概率是0．25，命中靶的其余部分的概率是0．50，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．25＋0．50＝0．75，为什么?(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为221．由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于432112=-这样做对吗?说明道理．解: (1)不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥．(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件．(3)不对．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1．5、某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛．甲乙两队夺取冠军的概率分别是73和41．试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率．(2819) 6、在房间里有4个人．问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?(9641) 7、某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．(4534)（四）课堂小结：1．互斥事件和对立事件的概念；2．互斥事件中有一个发生的概率的计算公式；3．对立事件的概率间的关系．。
互斥事件有一个发生的概率
互斥事件有一个发生的概率知识要点1．试验时不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件或互不相容事件.2．彼此互斥:一般地，如果事件A1，A2，……，A n中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，……，A n彼此互斥.3．互斥事件的概率加法公式:设事件A、B互斥,把A、B中有一个发生的事件记为(A+B),则:P(A+B)=P(A)+P(B).4．推广:如果事件A1，A2，……，A n两两彼此互斥，那么事件A1+A2+……+A n发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+……+A n)=P(A1)+P(A2)+……+P(A n)5．对立事件:试验时如果两个互斥事件A、B中必有一个发生，那么就称A、B为对立事件.6．一个事件A的对立事件记为，则P()=1-P(A).理解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.典型题目例1．判断下列每对事件是不是互斥事件？（1）x>；0和x=0；（2）在一个盒子内放有大小相等的2003个白球、2004个黑球，从中摸出2个球，“摸出2个白球”与“摸出2个白球或2个黑球”.解:（1）当x>；0和x=0是互斥事件.这是因为:不存在这样的实数x，它既是大于10的实数又是零；从事件的角度讲，事件x>；10与事件x=0不可能同时发生.从集合的角度可解释为: {x|x>；10}∩{x|x=0}=；图形见图.（2）从放有大小相等的2003个白球、2004个黑球的盒子内摸出2个球，这一事件是随机事件，其结果有三种可能两白球；两黑球；一白球、一黑球.本题中的两个事件是指令性的事件，即事件A={摸出2个白球}；事件B={摸出2个白球或2个黑球}.对事件B应理解为:摸出2个白球也可以，摸出2个黑球也可以，于是事件A与事件B有可能同时发生，所以，本题中的这对事件不是互斥事件.例2．15台电视机中，有10台是神星牌，有5台是仙乐牌.从中任意选取两台，问两台中至少有一台是神星牌的概率是多少？分析:应首先求出两个互斥事件的概率，以便解决问题.解:依题设条件可得:从15台中选出两台就是一个试验结果，也就是一个基本事件.因为这两台没有顺序差别，所以，基本事件共=15·7=105个.每次选取是任意的，因此，我们可以假定这些基本事件都是等可能的.这样就可用古典定义来解决问题.下一步是将“两台中至少有一台神星牌”这一事件分解为两个互斥事件的和，令A=“两台中恰有1台神星牌”.B=“两台中恰有2台神星牌.”显然，A与B是互斥事件，而A+B=“两台中至少有一台神星牌”.由分步计数原理可知，A所含的基本事件总数为=50，B所含的基本事件总数为=45.于是P(A)=, P(B)=, 而P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.点评:在常见的习题中，已知P(A)、P(B)，并且A、B互斥，因而能直接地运用公式P(A+B)=P(A)+P(B)的并不多，往往必须先将要求概率的事件分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后再运用概率加法公式.例3．某人衣袋里有人民币10张，其中伍元的2张，贰元的3张，壹元的5张.该人从衣袋里随意掏出3张，求这3张人民币中至少有2张的币值相等的概率.解:该人从衣袋里随意掏出3张人民币，共有结果=120种.设A={3张人民币中至少有2张的币值相等}，则={3张人民币中任何2张的币值都不相等}；所以，发生就是从伍元、贰元、壹元的人民币中各取1张，它所含的基本事件数是=30，所以P() =, P(A)=1-.例4．8个蓝球队中有2个强队.先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少？分析:应抓住两个强队被分在一个组和不在同一组是对立的事件，由此入手解决问题.解:依题意，有我们用a、b分别为八个队中的两个强队.令C=“a队与b队分在同一组”，则=“a队与b队不在同一组”.a队与b队不在同一组，只能分成两种情况:a队在第一组，b队在第二组，此时有种分法；a 队在第二组，b队在第一组，此时有种分法.种.每一种分法是一个基本事件，任何两个基本事件都是八个队平分成的两组的分法共/2等可能的.这样，P()==，∴P(C)=1-P.点评:在概率计算中，用P()=1-P(A)有时比较简便.课外练习1．军训时，某同学在一次打靶射击中射中10环、9环、8环的概率分别是0.21, 0.29, 0.18.计算这个同学在一次射击中:（1）射中10环或9环或8环的概率；（2）不足9环的概率.2．某电脑体育彩票销售中心首批销售体育彩票2003000注，这家销售中心在首批销售中共设立三个奖项；特等奖1个，一等奖2个，二等奖5个.求:（1）购买1注彩票获得特等奖的概率；（2）购买1注彩票获得一等奖或二等奖的概率；（3）购买1注彩票未获奖的概率.参考答案:1．（1）0.21+0.29+0.18=0.68.（2）1-0.21-0.29=0.5.2．（1）；（2）（3）1-.在线测试选择题1．在10个乒乓球中，有5个白球，5个黄球，从中任取3个，其中至少有1个为白球的概率是( )A 、B 、C 、D 、2．某投资咨询公司对投资者的投资去向作了一个调查，获得如下结果.①外汇交易占20%；②债券占30%；③存银行占7%；④高风险股票占18%；⑤中等风险股票占25%.假如任选一位投资者，求他的资金不会投入股票市场的概率( )A、67%B、57%C、45%D、43%3．在一个50人的班级中至少有二人生日相同（同月同日）的概率是( )A、0.95B、0.96C、0.87D、0.974．在40本教辅书中，有35本是北大出版的，有5本是其他出版社出版的.从中任取3本，其中至少有1本是其他出版社出版的概率是多少（结果用组合数表示）( )A 、B 、C 、D 、答案与解析答案：1、A 2、B 3、D 4、A解析：1.答案：A。
互斥事件概率和小于1
互斥事件概率和小于1摘要：I.引言- 介绍互斥事件的概念- 说明互斥事件概率和小于1 的原理II.互斥事件的定义- 互斥事件的概念- 举例说明互斥事件III.互斥事件概率和小于1 的原理- 互斥事件概率和的概念- 为什么互斥事件概率和小于1- 举例说明互斥事件概率和小于1IV.结论- 总结互斥事件概率和小于1 的重要性- 强调在实际问题中应用这一原理正文：【引言】在概率论中，互斥事件是指两个或多个事件中，只能发生其中一个事件的情况。
例如，抛一枚硬币，正面和反面就是互斥事件，因为同一枚硬币只能出现正面或反面。
今天我们要探讨的是互斥事件概率和小于1 的原理。
【互斥事件的定义】互斥事件是指两个或多个事件中，只能发生其中一个事件的情况。
根据概率论的公理系统，互斥事件的概率和为1，即所有互斥事件的概率之和等于1。
例如，抛一枚硬币，正面和反面就是互斥事件，因为同一枚硬币只能出现正面或反面。
设抛硬币正面概率为P(A)，反面概率为P(B)，则P(A) + P(B) = 1。
【互斥事件概率和小于1 的原理】根据概率论的公理系统，互斥事件的概率和为1。
这意味着，当有两个或多个互斥事件时，它们的概率之和必须等于1。
由于概率的取值范围在0 到1 之间，因此互斥事件概率和小于1。
例如，考虑抛两枚硬币的情况。
可能出现的结果有：正正、正反、反正、反反。
这四个事件是互斥的，因为每次抛硬币只能出现正面或反面。
设这四个事件的概率分别为P(AA)、P(AB)、P(BA)、P(BB)，则有：P(AA) + P(AB) + P(BA) + P(BB) = 1由于概率的取值范围在0 到1 之间，因此互斥事件概率和小于1。
【结论】互斥事件概率和小于1 是概率论中的一个基本原理，它反映了互斥事件之间相互排斥的关系。
在实际问题中，我们应充分运用这一原理，分析各种互斥事件发生的概率，从而更好地把握问题的实质。
概率与统计如何计算事件的互斥与独立性
概率与统计如何计算事件的互斥与独立性在概率与统计领域中，我们常常需要计算事件之间的互斥与独立性，以便更好地理解事件之间的关系和概率的计算。
本文将介绍如何计算事件的互斥与独立性，并提供实例来加深理解。
一、互斥事件的计算方法互斥事件指的是两个事件之间不可能同时发生的情况。
在计算互斥事件的概率时，我们可以使用以下公式：P(A or B) = P(A) + P(B)其中，P(A or B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
例如，假设我们有一个骰子，事件A表示掷到1的概率为1/6，事件B表示掷到2的概率为1/6。
则事件A或事件B发生的概率为：P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3这意味着在一次掷骰子的实验中，掷到1或掷到2的概率为1/3。
二、独立事件的计算方法独立事件指的是两个事件之间的发生与否相互独立，一个事件的发生不会影响另一个事件的发生概率。
在计算独立事件的概率时，我们可以使用以下公式：P(A and B) = P(A) × P(B)其中，P(A and B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
例如，假设我们有一副扑克牌，事件A表示从中随机抽出一张红桃牌的概率为1/4，事件B表示从中随机抽出一张大于等于10的牌的概率为1/13。
则事件A和事件B同时发生的概率为：P(A and B) = P(A) × P(B) = 1/4 × 1/13 ≈ 1/52这意味着在一次从一副扑克牌中随机抽牌的实验中，既抽到红桃牌又抽到大于等于10的牌的概率为约1/52。
三、互斥与独立性的关系互斥事件和独立事件是概率与统计中重要的概念，它们之间存在一定的关系。
首先，互斥事件是独立事件的一种特殊情况。
如果两个事件是互斥事件，那么它们是独立事件吗？答案是否定的。
概率与统计事件的互斥与独立的概率计算方法
概率与统计事件的互斥与独立的概率计算方法概率与统计是数学中的重要分支，它研究随机事件发生的规律性和不确定性。
在概率与统计的研究中，互斥事件和独立事件是两个重要的概念，它们在计算概率时具有不同的计算方法和特点。
一、互斥事件的概率计算方法互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的事件。
例如，掷硬币的结果只能是正面或者反面，不能同时出现正面和反面。
互斥事件的概率计算方法可以用加法法则来进行计算。
设两个互斥事件分别为A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)。
根据加法法则，当两个事件互斥时，它们的概率可以通过简单相加来计算，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
举例来说，假设某次试验中，事件A表示掷一枚硬币出现正面的概率，事件B表示掷一枚硬币出现反面的概率。
由于硬币只有两面，所以事件A和事件B是互斥事件。
假设P(A) = 0.5，P(B) = 0.5，根据加法法则可以得到P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1，即事件A或者事件B发生的概率为1。
二、独立事件的概率计算方法独立事件指的是在一次试验中，事件的发生与其他事件的发生无关。
例如，连续掷两次硬币，第一次掷硬币结果不会影响第二次掷硬币的结果。
独立事件的概率计算方法可以用乘法法则来进行计算。
设两个独立事件分别为A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)。
根据乘法法则，当两个事件独立时，它们的概率可以通过简单相乘来计算，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
举例来说，假设某次试验中，事件A表示掷一枚硬币出现正面的概率，事件B表示掷一枚骰子得到6点的概率。
由于硬币的结果不会影响骰子的结果，所以事件A和事件B是独立事件。
假设P(A) = 0.5，P(B) = 1/6，根据乘法法则可以得到P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.5 × 1/6 = 1/12，即事件A和事件B同时发生的概率为1/12。
概率与统计事件的互斥与独立的概率计算实例解析
概率与统计事件的互斥与独立的概率计算实例解析概率与统计是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。
在概率与统计的研究中，事件的互斥与独立是两个基本的概念。
本文将通过实例解析，详细介绍互斥事件和独立事件的概率计算方法。
1. 互斥事件的概率计算实例解析互斥事件指的是两个事件之间不可能同时发生的情况。
以抛掷一枚硬币为例，事件A表示硬币正面朝上，事件B表示硬币反面朝上。
由于硬币只有两面，所以事件A和事件B是互斥事件。
当两个事件是互斥事件时，它们的概率计算方法如下：P(A 或 B) = P(A) + P(B)例如，如果硬币是均匀的，则硬币正面朝上的概率P(A) = 1/2，硬币反面朝上的概率P(B) = 1/2。
因此，硬币正面朝上或者反面朝上的概率为：P(A 或 B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1由此可见，两个互斥事件的概率之和等于1。
2. 独立事件的概率计算实例解析独立事件指的是两个事件之间的发生与否互不影响的情况。
以从一副标准扑克牌中抽取一张牌为例，事件A表示抽到红心牌，事件B表示抽到大于等于10的数值牌。
由于抽取一张红心牌与抽取一张大于等于10的数值牌之间没有影响，所以事件A和事件B是独立事件。
当两个事件是独立事件时，它们的概率计算方法如下：P(A 且 B) = P(A) × P(B)例如，一副标准扑克牌中有13张红心牌，一共有52张牌，所以抽到红心牌的概率P(A) = 13/52。
而大于等于10的数值牌有10张，所以抽到大于等于10的数值牌的概率P(B) = 10/52。
因此，抽到一张红心牌且大于等于10的数值牌的概率为：P(A 且 B) = P(A) × P(B) = (13/52) × (10/52) ≈ 0.049由此可见，两个独立事件的概率之积等于它们各自的概率乘积。
综上所述，概率与统计中的事件互斥与独立是两个基本的概念，其概率计算方法分别为P(A 或 B) = P(A) + P(B)和P(A 且 B) = P(A) × P(B)。
概率计算中的互斥事件与补事件的计算
概率计算中的互斥事件与补事件的计算概率计算是数学中的一个重要分支，它研究了事件发生的可能性。
在概率计算中，互斥事件和补事件是两个基本概念。
本文将介绍互斥事件和补事件的定义，并通过具体案例来说明如何计算它们的概率。
一、互斥事件的定义与计算方法互斥事件指的是两个或多个事件不可能同时发生的情况。
简而言之，一个事件的发生将排除其他事件的发生。
在概率计算中，我们可以通过以下公式来计算互斥事件的概率：P(A 或 B) = P(A) + P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
公式中的“或”表示两个事件中至少发生一个的情况。
举例来说，假设有一枚骰子，我们希望计算掷出的点数是3或5的概率。
根据互斥事件的定义，点数为3和点数为5是互斥事件，它们不可能同时发生。
因此，我们只需要计算事件A和事件B的概率，然后将它们相加即可。
假设事件A表示点数为3的情况，事件B表示点数为5的情况。
由于骰子有6个面，每个面的概率相等，因此事件A和事件B的概率均为1/6。
根据互斥事件的计算公式，我们可以得到：P(A 或 B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3所以，掷出的点数是3或5的概率为1/3。
二、补事件的定义与计算方法补事件指的是某个事件不发生的情况。
在概率计算中，我们可以通过以下公式来计算补事件的概率：P(A') = 1 - P(A)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(A')表示事件A不发生的概率。
公式中的“'”表示事件的补事件。
举例来说，假设我们有一个装有50个红球和50个蓝球的箱子，我们希望计算从箱子中随机取出一个球后，不是红球的概率。
根据补事件的定义，不是红球的事件是红球事件的补事件。
因此，我们只需要计算红球事件的概率，然后用1减去它即可。
假设事件A表示取出的球是红球的情况。
由于箱子中共有100个球，其中50个是红球，因此红球事件的概率为50/100，即1/2。
互斥对立事件的概率公式
互斥对立事件的概率公式在概率论中，互斥对立事件是指两个事件之间不存在重叠部分，即两个事件不能同时发生。
对于互斥对立事件，存在一种概率公式可以帮助我们计算它们的概率。
本文将介绍互斥对立事件的概念和相应的概率公式，并通过实际例子加深理解。
一、互斥对立事件的概念互斥对立事件是指两个事件不能同时发生的情况。
例如，抛一枚硬币，它的正面和反面是互斥对立事件；投掷一颗骰子，出现奇数和出现偶数也是互斥对立事件。
在数学中，我们用符号“∩”表示两个事件的交集为空集，即没有共同的结果。
二、互斥对立事件的概率公式对于互斥对立事件，其概率公式为：P(A或B) = P(A) + P(B)。
即两个互斥对立事件的概率等于它们各自的概率之和。
三、实例解析为了更好地理解互斥对立事件的概率公式，我们通过几个实例进行解析。
1. 抛硬币实验假设我们抛一枚硬币，事件A表示出现正面，事件B表示出现反面。
由于硬币只有两面，所以事件A和事件B是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出事件A或事件B发生的概率为P(A或B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1。
2. 投掷骰子实验假设我们投掷一颗骰子，事件A表示出现奇数，事件B表示出现偶数。
同样地，事件A和事件B是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出事件A或事件B发生的概率为P(A或B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1。
通过以上两个实例，我们可以看到互斥对立事件的概率公式在计算概率时非常简单明了。
四、互斥对立事件的应用互斥对立事件的概率公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在赌场中赌博的概率计算、生产线上产品合格率的概率计算等等。
在赌场中，常见的赌博游戏如轮盘赌、骰宝等都涉及到互斥对立事件的概率计算。
例如，在轮盘赌中，下注红色和下注黑色就是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出中红色或中黑色的概率。
在生产线上，产品合格率的计算也可以使用互斥对立事件的概率公式。
高三数学互斥事件概率
二、重点难点 ：
互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公 式是重点；互斥事件、对立事件的概念及 二者的联系与区别及应用是难点。
三、思维方式 ：
在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两 种方法：一是将所求事件的概率分化成一 些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求 出此事件的对立事件的概率，即用逆向思 维法。正难则反的思想。
（1）三个组各有一个亚洲队的概率； （2）至少有两个亚洲队分在同一组的 概率。
五、例题：
思维点拨：要能正确熟练地掌握排列、 组合的有关计算。
五、例题：
例5、从一副52张的扑克牌中任取4张，求 其中至少有两张牌的花色相同的概率。
思维点拨：直接计算符合条件的事件个数 较繁时，可间接地先计算对立事件的个数， 求得对立事件的概率，再求出符合条件的 事件的概率。
第二节 互斥事件 有一个发生的概率
一、基本知识概要：
1、互斥事件：如果事件A与B不能同时发生 （即A发生B必不发生或者B发生A必不发 生），那么称事件A，B为互斥事件（或称 互不相容事件）。如果事件A1，A2，… An 中任何两个都是互斥事件，那么称事件A1， A2，…An彼此互斥。
一、基本知识概要：
六、课堂小结
1．互斥事件不一定是对立事件、对立事件 一定是互斥事件。在求用“至少”表达的 事件的概率时，先求其对立事件的概率往 往比较简便。
2．把一个复杂事件分解成几个彼此互斥的 事件时，要做到不重复不遗漏。
六、课堂小结
3．互斥事件的概率加法公式
利用互斥事件的概率加法公式来求概率， 首先要确定事件彼此互斥，然后求出事件 分别发生的概率，再求其和。在具体计算 中，利用 P(A) 1 P(A)或 P(A) 1 P( A)常可 使概率的计算简化。
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第7课互斥事件及其概率
【考点导读】
1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立.
2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率计算.
【基础练习】
1.两个事件互斥是这两个事件对立的必要不充分条件（充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分
也不必要）
2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是③ .
①至少有1个白球，都是红球②至少有1个白球，至多有1个红球
③恰有1个白球，恰有2个白球④至多有1个白球，都是红球
3．从
个同类产品（其中
个是正品，
个是次品）中任意抽取
个的必然事件是④ .
①
个都是正品②至少有
个是次品③
个都是次品④至少有
个是正品
4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范围内的概率
是 0.38 .
5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 50% .
【范例解析】
例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品.
解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理可以判断：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件
点评解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义.
例2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率.
解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.
（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.
例3 一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率.
解：记事件A1={任取一球为红球}，A2={任取一球为黑球}，A3={任取一球为白球}， A4={任取一球为绿球}，则
（1）
（2）
（或
）
点评（1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是
不是互斥事件和对立事件，再决定用哪一个公式
（2）要注意分类讨论和等价转化高考数学思想的运用.
【反馈演练】
1. 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10
环；
事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、
7、8、9、10环.
分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生.
解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）
2．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
3．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为
,出现丙级品的概率为
,则对产品抽查一次抽得正品的概率是
.
4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
，乙获胜的概率是
，则
是② .
①乙获胜的概率②乙不输的概率③甲胜的概
率④甲不输的概率
5．如果事件A，B互斥，那么
② .
①
是必然事件②
是必然事件③
互斥④
独立
6. 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是
7.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次实验，实验共进行3次，则至少摸到一次红球的概率是
8．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是
，
从中取出2粒都是白子的概率是
，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是
9.同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张贺年卡.则至少一人拿到自己所写贺年卡
的概率为
10.有三个人，每个人都以相同的可能性被分配到四个房间中的某一间，求：
（1）三个人都分配到同一个房间的概率；
（2）至少两个人分配到同一个房间的概率.
答案（1）
；（2）
.
11. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为
，得到黑
球或黄球的概率是
，得到黄球或绿球的概率也是
，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是
多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P(B+C)=P(B)+P(C)=
；P(C+D)=P(C)+P(D)=
；又P(A)=
, P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1
解得P(B)=
,P(C)=
,P(D)=
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是
、
、
.。