高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线自我小测新人教B版选修2_1

2.5 直线与圆锥曲线
自我小测
1．若椭圆x 236＋y 2
9＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为( )
A ．2
B ．－2 C.13 D ．－1
2
2．已知椭圆x 2
＋2y 2
＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3
C.
303 D.3
2
6 3．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与双曲线交于M ，
N 两点，且MN 中点的横坐标为－23
，则此双曲线的方程为( )
A.x 23－y 2
4
＝1
B.x 24－y 2
3
＝1 C.x 25－y 2
2
＝1
D.x 22－y 2
5
＝1 4．设抛物线y 2
＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]
5．设双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2
＋1只有一个公共点，则双曲线的离
心率为( )
A.54 B ．5 C.5
2
D. 5 6．已知直线y ＝k (x ＋2)与双曲线x 2m －y 2
8＝1，有如下信息：联立方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋2)，x 2m －y
2
8
＝1，消去y 后得到方程Ax 2
＋Bx ＋C ＝0，分类讨论：(1)当A ＝0时，该方程
恒有一解；(2)当A ≠0时，Δ＝B 2
－4AC ≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )
A ．(1，3]
B ．[3，＋∞)
C(1,2] D ．[2，＋∞)
7．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，则过它的焦点且垂直于x 轴的弦长为__________．
8．在直角坐标系中任给一条直线，它与抛物线y 2
＝2x 交于A ，B 两点，则OA →·OB →的取值范围为__________．
9．已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →
，则p ＝__________.
10．已知椭圆4x 2
＋y 2
＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线和椭圆有公共点时， (1)求实数m 的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．
11．如图，过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA ，OB .
(1)设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A ，B 的坐标； (2)求弦AB 中点M 的轨迹方程．
12．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 2
2＋y 2
＝1
有两个不同的交点P 和Q .
(1)求k 的取值范围；
(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →
＋OQ →与AB →
共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．解析：设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，
又2
2
11
22
2
2
1,3691,36
9x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②
①－②得
(x 1＋x 2)(x 1－x 2)36＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
9＝0，
即
8(x 1－x 2)36＋4(y 1－y 2)
9
＝0， 所以所求直线的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝－1
2
. 答案：D
2．解析：依题设弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 又x 2
1＋2y 2
1＝4，x 2
2＋2y 2
2＝4， ∴x 2
1－x 2
2＝－2(y 2
1－y 2
2)， 此弦的斜率k ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12
， ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－1
2(x －1)，
即y ＝－12x ＋3
2
.
代入x 2
＋2y 2
＝4，整理得3x 2
－6x ＋1＝0， ∴x 1x 2＝1
3
，
∴|AB |＝1＋k 2
·(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2 ＝
1＋14
×4－4×13＝303
.
答案：C
3．解析：由c ＝7，得a 2
＋b 2
＝7. ∵焦点为F (7，0)，
∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2
7－a 2
＝1，①
并设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将y ＝x －1代入①并整理得 (7－2a 2
)x 2
＋2a 2
x －a 2
(8－a 2
)＝0， ∴x 1＋x 2＝－2a
2
7－2a
2，
由已知得－2a 27－2a 2＝－23×2，解得a 2
＝2，
故双曲线的方程为x 22－y 2
5＝1.
答案：D
4．解析：由y 2＝8x ，得Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，直线l 与抛物线有
公共点，方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋2)，
y 2
＝8x 有解，即k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0有解，Δ＝(4k 2－8)
2
－16k 4
≥0，得k 2
≤1，∴－1≤k ≤1.
答案：C
5．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b
a
x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝b a
x ，y ＝x 2＋1，
消去y ，
得x 2
－b a x ＋1＝0，有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b a 2－4＝0，所以b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫b a 2
＝ 5.
答案：D
6．解析：依题意可知直线恒过定点(－2,0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－m ，即0＜m ≤4，又e ＝
1＋b 2a
2＝
1＋8
m
，所以e ≥ 3.
答案：B
7．解析：设一个焦点为F (c,0)，其中c 2＝a 2＋b 2
，过F 且垂直于x 轴的弦为AB ，则A (c ，
y 0)，
∵A (c ，y 0)在双曲线上，∴c 2a 2－2
y b
2＝1.
∴y 0＝±b c 2a 2－1＝±b 2a .∴|AB |＝2|y 0|＝2b 2
a
. 答案：
2b
2
a
8．解析：设直线方程为x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2
＝2x ，得y 2
－2ty －2b ＝0，设A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2b ，∴OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2
＝b 2－2b ＝(b －1)2
－1，∴OA →·OB →的取值范围为[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
9．解析：如图，过B 作BE 垂直于准线l 于E ， ∵AM →=MB →， ∴M 为AB 的中点， ∴|BM|=
12
|AB|.
BAE=30°， ∴|BE|=
12
|AB|，∴|BM|=|BE|，
∴M 为抛物线的焦点，∴p=2. 答案：2
10．解：联立得方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x 2
＋y 2
＝1，
y ＝x ＋m ，
消去y ，整理得5x 2
＋2mx ＋m 2－1＝0， Δ＝4m 2
－20(m 2
－1)＝20－16m 2
. (1)由Δ≥0，得20－16m 2
≥0， 解得－
52≤m ≤5
2
. (2)由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2＝－2m
5
，x 1x 2
＝m 2
－1
5
，
所以弦长l ＝(1＋k 2
)[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]＝
2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4m 225－4(m 2
－1)5＝25
10－8m 2.
当m ＝0时，l 取最大值为210
5，此时直线的方程为y ＝x .
11．解：(1)∵依题意可知直线OA 的斜率存在且不为0， ∴直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠0)，
∴联立方程，得⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，
y 2
＝2px ，
解得x A ＝2p k 2，y A ＝2p
k
.
以－1k
替代上式中的k ，解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝－1k x ，y 2＝2px ，
解得x B ＝2pk 2
，y B ＝－2pk ，
∴A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2p k
2，2p k ，B (2pk 2
，－2pk )． (2)设AB 中点M (x ，y )，则由中点坐标公式，
得221,1,
x p k k y p k k ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
消去参数k ，得y 2＝px －2p 2
， 即为M 点的轨迹方程．
12．解：(1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程，得x 2
2
＋(kx ＋2)2
＝1.
整理，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2x 2
＋22kx ＋1＝0.①
直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，
等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2＝4k 2
－2＞0，
解得k ＜－
22或k ＞22
， 即k 的取值范围为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－
22∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →
＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①，得x 1＋x 2＝－42k
1＋2k 2.②
又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22，③
而A (2，0)，B (0,1)，AB →
＝(－2，1)，
所以OP →＋OQ →与AB →
共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 把②③代入上式，解得k ＝
22
.
由(1)知k＜－
2
2
或k＞
2
2
.
故没有符合题意的常数k.。