模糊数学3模糊映射与变换模糊关系方程

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第四章__模糊映射与模糊变换

第四章模糊映射与模糊变换模糊映射、模糊变换和扩张原理都建立在模糊关系的基础之上，它们是模糊数学基本理论的重要内容，并且有着广泛的应用。

此外，如何度量和评价一个模糊集合，在模糊数学的实际应用中也将时常遇到。

所有这些，均是本章讨论的内容。

4.1 模糊映射在经典集合论中，映射与关系有着密切的联系，因为它完全是建立在关系概念的基础之上的，是关系的一种特例。

映射主要涉及的是将一个有限集合变换成另一个有限集合的函数，在实际应用中，使用最多的就是这种特殊的关系。

例如，任何程序在计算机中的实现包括了种种这样的变换。

计算机输出可以被视为输入数据的函数，编译系统将一个原程序变换为目标程序的一个集合，…，等等。

在本节中，经典集合论的这一重要概念将推广到模糊集合论中。

4.1.1 投影与截影一．预备知识由于在许多课程中，经典集合论中的投影和截影概念均被忽略，但在讨论模糊映射中却需要涉及到这部分内容，所以这里首先对经典集合论中的这部分做一简要介绍。

定义4-1 设R 为论域X 到Y 的关系则称R X =｛X ∣（ X ， Y ） ∈ R ｝为R 在“X 中的投影” ，而称R Y =｛Y|（ X ， Y ） ∈ R ｝为R 在“Y 中的投影”。

不难推断，R X 和R Y 分别是论域X 和Y 中的一个子集。

采用经典集合的描述法表示时，这两个子集可分别记为：C X R （ x ）= Yy ∈∨ C R （x ，y ）（4•1）C Y R （ y ）= Xx ∈∨ C R （x ，y ）关系R 投影的几何意义见图4-1。

定义4-2 设R 为论域X 到Y 关系，对于给定的x 0∈ X ，称 R ∣x 0 = ｛y ∣（ x 0，y ）∈R ｝为“R 在x 0处的截影”；而对于给定的y 0∈Y ，称R ∣y 0 = ｛x ∣（ x ，y 0）∈R ｝为“R 在y 0处的截影”。

注意，与关系的投影不同，截影与所选的给定元素x 0或y 0有直接的关系。

第五章模糊映射与模糊变换

r1m
r2m
rnm
(b1, b2 , , bm )
n
其中bj i1(ai rij ), j 1,2, , m.
第五章模糊映射与模糊变换
二、综合评判问题的三个要素
(1)因素集U {u1 , u2 , , un } (2)评语集V {v1 , v2 , , vm } (3)单因素评判ui (ri1, ri2 , , rim )
~
权重分配A与评判矩阵R的合成就是对各个因素的综合决策.
B AR (b1, b2 , , bm ).
最后，按照最大隶属原则给出评语.
第五章模糊映射与模糊变换
(U,V , R)构成一个综合决策模型.
A F(U ) R F(U V ) B AR F(V )
输入一种权重分配A F (U ), 输出一个综合决断B A R F (V ).
采用","运算进行综合评判，其结果一般未必是归一化的.
第五章模糊映射与模糊变换
§6 模糊综合决策数学模型的改进及应用实例
例1 评价一批产品的质量，因素集包含九项指标. 评价分四个级别：一等品、二等品、三等品、次品.
因素集U {u1, u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 }
为模糊线性变换，则对s
S
,
s
[0,1],
A(s) F ( X ),
~
T
~
sS
s
A(
~
s
)
sS
s
T
~
(
A(
~
s
)
).
二、模糊线性变换的性质
(1)T( A B) T( A) T(B).

模糊数学3模糊映射与变换模糊关系方程

① Ru U（a.满）
②对任意 uRU ，投影 R|u 都包含而且只包含一个元素
v Vu （一一对应）
那么，满足① ，②两个条件的普通关系，便唯一确定了一个普通映射
f fR :u V
满足： { f (u)} R|u
f (u) @vu
反之任给一普通映射 f :U V 也可确定普通关系
R{(u,v)|v f (u)} 或
权重。令 ai 表示对第i个因素的权重,并规定
于是
m
S aisi
m
ai 1
i 1
i 1
二、模糊综合评判
步骤1: 建立评判对象的因素集 U {u1, u2 L un} 因素就
是对象的各种属性或性能,根据因素给对象评价.
步骤2: 建立评判集 V {v1, v2 L vm} 步骤3: 建立单因素评判,既建立一个从U到F(v)的模糊映射
• 定是义U的5.一2：个设模糊R~ 集F,记(U作VR)U，，所其谓隶R~属在函U数中的内投影,指的
~
•
Ru
~
(u)
vV
R
~
(u,
v)
•
•
R
~
v
(v)
uU
R
~
(u,
v)
•
•
当U，V为有限集，R 用矩阵R nm 表示时 ~
RU a n1 , RV b 1m
~
~
ai
min
1 jm
ij
aj
min
f :U F(V ) ui U
~
ui a
f
~
(ui )
ri1 V1
ri 2 V2
L
rim Vm
0 rij 1 1 i n 1 j m

模糊数学——模糊映射与模糊变换教学课件

f R 是X到Y的模糊映射。
。
于是，也确定了模糊映射 f R
模糊变换
定义4.3.2 称映射 T : F ( X ) F (Y ), A T ( A) B
为X到Y得模糊变换。
由定义可知，模糊变换是集合变换的推广，即在影射T下，将模糊集A变成模糊集B. 若模糊变换T满足
T ( A B) T ( A) T ( B), T (A) T ( A),
因为Tf是由f诱导出的，所以 :Tf(A)=A•Rf .
r11 r12 令R r21 r22 , r r r 1,1,0 r 31 32 r
r 11 1 有，,0,0 r21 r 31
11 21
r 12 r22 0.2,0.5 , r32
例4. 3. 1 设 X x1 , x2 , x3 , x4 , Y y1, y2, y3 , 令
f1 : x1 f1 ( x1 ) x2 f1 ( x2 ) x3 f1 ( x3 ) x4 f1 ( x4 ) 1 y1 , y1 1 1 y1 , y2 , y1 y2 1 y3 , y3 1 1 1 y1 , y2 , y3 ; y1 y2 y3 0.2 0.3 0.8 , y1 y2 y3
B是Y上的模糊子集。因此，T是X到Y的一个模糊变换。
模糊变换
例4.3.3
f : X Y,
T : F ( X ) F (Y ),
由1.4节的扩张原理知
A T ( A) f ( A), T 1 : F (Y ) F ( X ), B T ( B) f ( B)
则T是X到Y的模糊线性变换，

第5章模糊映射与模糊变换

~
例5-3 设U为某校全体教师的集合，V为体检项目的
集合 f 为体检。每个教师的体检结果是V上的一个模 ~
糊子集，因此 f 为从U到V上的一个模糊映射 ~
定理5-1 若给定模糊映射 f : U F (V), 则唯一确定 ~
一个模糊关系 RF (UV), 使对任意的 u U, 都有 ~
R f (u);
~u ~
反之，若给定模糊关系 RF (UV), ~
则
唯一确定一个模糊映射 f : U F (V), 使对任意的 ~
u U, 都有 f (u) R
~
~u
证明：分别定义 R(u, v) (f (u))(v), (f(u))(v) R(u, v)
~
~
~
~
则可得前后两部分结果
例5-4 设 U u1,u2, ,un, V v1, v2, , vm, 若给定
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
则“男少年” 在身高论域
V={ 1.4，1.5，1.6，1.7，1.8}（单位：m）表现为
B A R (0.8, 0.9, 0.8, 0.6, 0.2)

5.3 扩张原理
5.3.1 扩张原理 I
设f:UV,由f可诱导出两个映射
F : F (U) F (V), A F(A)F (V)
~~
~
~~
~
例5-6 设 U u1, ,u5, V v1, , v4, 且
v1 ,u u4 ,u5 f ( u ) v3 ,u u3
v4 ,u u1 ,u2
又设U上的模糊集 A {0.1,0.8,0.4,0.3,1}, 由扩张原理I ~
F(
~

模糊数学_3第五章模糊映射与变换,模糊关系方程

f fR : u V
满足：
{ f (u)} R | u
f (u ) vu
反之任给一普通映射 f : U V 也可确定普通关系
R {(u,v) | v f (u )}
或
1 当v f (u ) X R (u ,v) 0 当v f (u )
普通关系的映射象和原象都是清晰的。
~
R | u 4 f (u4 ) (0.7,0,0.4)
~
R | u1 0.4 0.7 0 ~ R | u 2 0.1 0.4 0.3 R ~ u R|u ~ 3 0 0.5 0 R | u 4 0.7 0 0.4 ~ v
对于模糊集合普通映射， f : U V 给定 A F (U )，在 f 之下的象应当是什么？ ~ 给定 B F (V )，在 f 之下的原象应当是什么？ ~ 普通集合 f 怎样扩展到 F (U ) 与 F (V ) 之间去。 • 定义5.６设 f : U V ，所谓 f 在模糊集类上的扩展， 1 乃是指这样两个映射，仍记为 f 与 f
f : U V
设 A 1, 0, 0.2, 0, 0.1,， 0.9
~
由扩展原理： f ( A) (v1) A (u1 ) A (u2 ) A (u3 )
~ ~ ~ ~
1 0 0.2 1
f ( A) (v2 ) 0.1
f ( A) (v3 ) 0.9
在身高论域V上应表现为
0 .1 0 .2 1 . 5 1 .6
b a R (0.8,1,0.8,0.6,0.2) 0.8 1 0.8 0.6 0.2 1.4m 1.5m 1.6m 1.7m 1.8m

模糊关系方程的求解

模糊关系方程的求解
模糊关系方程在现代数学领域占据了诸多重要位置。

换句话说，模糊关系方程是一种特殊的参数形式，这种参数形式可以用来处理领域涉及的系统的模糊关系，它可以表示特定的复杂性矩阵。

模糊关系方程又称为Foetisch模糊关系方程，它是现代数学中重要的一种概念，可以用来解决模糊、复杂范畴系统关系模糊关系的描述问题。

模糊关系方程按其形式表示，可以分为两部分，即等式及其参数。

等式的形式通常为将未知值一侧，等式的右侧表示模糊关系的关联函数，即通常被称为模糊子空间的值。

参数部分用来表示系统的决策，用来解释系统的非线性关系。

模糊关系方程具有许多值得研究的特点，所引起的模糊关系经常不是清晰可用的。

因此，求解模糊关系方程变得相当困难。

一般情况下，采用解析求解、数值求解和感知求解等方法可以解决Foetisch模糊关系方程的求解问题。

解析求解是以Foetisch模糊关系方程的解析形式求解的相关方法，实施解析求解可以明确求解的基本原理和求解所需要计算的细节；数值求解是用许多数值技术总结问题，把Foetisch模糊关系方程拆分成多个子问题，再分别解决每个子问题；而感知求解是以模糊关系中提出的模糊子空间等非常量参数解决问题，采用多项式构建模型，使结果获得更高的精度。

总的来说，模糊关系方程的求解是一个非常重要的问题，它可以帮助学术界解决模糊关系研究和讨论一些重要的应用实例，也可以为现实世界的复杂系统关系提供更有效的模型。

模糊数学第三章小结

3.4 基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析.
1
3.1 模糊关系及其运算 1, 设U, V 为两个论域, 若R∈F(U×V),则称R为U到 V的一个模糊关系. 对(u, v)∈U×V , 称R(u, v)为u 对v具有模糊关系R的相关程度. 特别地 (1) 称R∈F(U×U) 为U上的模糊关系; (2) 若(u, v)∈U×U,有则称R为U上的恒等关系 , 这时记R = I ;
19
目录
在实际应用中,常采用如下距离来确定rij
(1).Chebyshev 距离 : d ui , u j max uik u jk ;
1 k m m k 1
( 2).Ham min g距离： d ui , u j uik u jk ; m 2 (3).Euclid距离： d ui , u j uik u jk ; k 1 ( 4).Minkowski 距离 :
u11 u 21 u n1 u12 u 22 un 2 u1m u2 m u nm
18
U
*
称U*为U的特性指标矩阵.
目录
第一步: 数据规格化常用的数据规格化方法有如下几种: 数据标准化, 均值规格化, 中心规格化、最大规格化、极差规格化、对数规格化等(参见教材P96) 第二步: 构造模糊相似矩阵
14
9, 定理3.2.5 设I, R, Q∈F(U×U), 则有 (1) t(I)=I ; (2) R Q t(R) = t(Q) (3) (t(R))T= t(RT) (4) RT=R (t(R))T= t(R)
15
10, 设R∈F(U×U), 则 (1) R称为相似的,如果R是自反和对称的; (2) 称包含R的最小的相似模糊关系为相似闭包,记作a(R). 11, 定理3.2.6 设R∈F(U×U),则有 (1) R为相似的当且仅当∈[0,1], R 为相似的; (2)若R为相似的,则n∈N, Rn也是相似的.

第5章模糊映射及模糊变换

,rim ) R
5.2.2 模糊变换
定义5-4 设有非空集合U，V，若存在一个法则 T, 对
~
U中任何一个模糊子集 A, 都有V中唯一确定模糊子
~
集 B 与之对应，则 T称为从U到V的模糊变换，记作
~ ~
T : F (U) F (V)
~
模糊变换与模糊关系有如下联系：
定理5-2 任给模糊关系 R F (U V), 都有唯一确定
~
F (U), 均有的U到V的模糊变换 T, 使得对任意的 A ~ ~ T(A) A R F (V)
~ ~ ~ ~
其隶属函数为
~ ~
T(A)(v) (A(u) R(u, v))
uU ~ ~
T 称为 R 所诱导处的模糊变换
~
~
该定理说明模糊概念在不同论域中的表现之间的
转换关系，即若有一个概念 , 在U中表现为模糊集
~ V
R 在V中的投影是指V的一个模糊子集，记为 R ,
(v) 它具有隶属函数 R ~
V
uU ~
R(u, v)
, R 都可由模糊向量表示当U、V有限时，R ~ V ~ U
例5-1 设
v1 0 .3 R 0.3 0 .8
v2 0.4 0. 2 0.6
~ V
v3 v 4 0.5 0.7 u1 0. 6 0 . 8 u 2 0.9 0 u3
则可得前后两部分结果

例5-4 设 U u1 ,u2 , ,un ,V v1, v2 , , vm, 若给定
模糊映射 f : U F (V), ui
~
f(ui ) (ai1 ,
~
,aim )

模糊关系方程的求解方法(ⅰ)

模糊关系方程的求解方法(ⅰ)模糊关系方程（Fuzzy Relation Equation，FRE）是模糊数学中的一种重要工具，用于描述两个或多个模糊集之间的关系。

在实际应用中，模糊关系方程可以用来分析和处理各种信息不确定性问题，具有很高的实用性和广泛的应用前景。

一、模糊关系方程的定义模糊关系方程是一种表示模糊关系的数学工具，它定义了一个模糊集关系，用于描述两个或多个模糊集之间的关系。

它的一般形式为：R = R(x, y)其中，x、y是两个变量，R(x, y)是它们之间的模糊关系，通常用一个模糊规则来定义，如下所示：IF x is A and y is B, THEN R(x, y) is C其中，A、B、C分别是三个模糊集，表示变量x、y和它们的关系R(x, y)。

这个规则是根据当前问题场景和需求来确定的，可以人工经验或使用专家系统等技术来定义。

二、模糊关系方程的求解方法模糊关系方程的求解方法有很多，本文介绍以下三种常用方法：1.等价变换法等价变换法是一种利用变换函数将原问题转化为等价的新问题去求解的方法。

该方法的基本思想是将原问题中的变量通过变换函数映射到新的变量上，然后求解等价的新问题，最后再将结果通过逆变换函数还原回原问题中的变量上。

这种方法适用于模糊化程度较低的问题，计算量较小，但容易出现误差。

2.迭代逼近法迭代逼近法是一种通过迭代计算来逐步逼近模糊关系方程解的方法。

该方法的基本思想是先给出一个初始的解或解集，然后通过迭代计算的方式逐步不断地优化解的准确度和稳定性，直到满足一定的收敛条件为止。

这种方法适用于任意模糊度的问题，计算效率较高，但容易受到初始解的影响。

3.逻辑推理法逻辑推理法是一种利用模糊逻辑运算规则和模糊推理机制来推导求解模糊关系方程的方法。

该方法的基本思想是先将模糊关系方程转化为一组模糊规则或模糊逻辑表达式，然后通过运用模糊逻辑运算规则和模糊推理机制来推导求解出问题的答案。

模糊数学方法

四模糊数学方法模糊数学方法，是一种研究和处理模糊现象的新型数学方法。

这一方法，是由美国自动控制专家查德(L.A.Zadeh)于1965年首次提出来的。

20多年来，模糊数学方法在自然科学和社会科学研究的各个领域得到了广泛应用。

4.1糊子集及其运算在经典集合论中，一个元素对于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，绝不允许模棱两可。

这一要求就从根本上限定了以经典集合论为基础的常规数学方法的应用范围，它只能用来研究那些具有绝对明确的界限的事物和现象。

但是，在现实世界中，并非所有事物和现象都具有明确的界限。

譬如，“高与矮”，“好与坏”，“美与丑”，……，这样一些概念之间就没有绝对分明的界限。

严格说来，这些概念就是没有绝对的外延，这些概念被称之为模糊概念，它们不能用一般集合论来描述，而需要用模糊集合论去描述。

4.1.1子集及其表示方法1.模糊子集(1)隶属函数：在经典集合论中，一个元素x 和一个集合A 之间的关系只能有x A ∈或者x A ∉这两种情况。

集合可以通过其特征函数来刻划，每一个集合A 都有一个特征函数C A (x)，其定义如下：由于经典集合论的特征函数只允许取0与1两个值，故与二值逻辑｛0，1｝相对应。

模糊数学是将二值逻辑｛0，1｝拓广到可取[0，1]闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。

因此，也必须把特征函数作适当的拓广，这就是隶属函数μ(x)，它满足：0≤μ(x)≤1 (2)(1)式也可以记作μ(x)∈[0，1](2)模糊子集的定义：1965年，查德首次给出了模糊子集的如下定义：设U 是一个给定的论域(即讨论对象的全体范围)，μA ：x →[0，1]是U 到[0，1]闭区间上的一个映射，如果对于任何x ∈U ，都有唯一的μA (x)∈[0，1]与之对应，则该映射便给定了论域U 上的一个模糊子集，μA 称做的隶属函数，μA (x)称做x 对的隶属度。

2.模糊子集的表示方法通过上述关于模糊子集的定义可以看出，一个模糊子集完全由其隶属函数所刻划。

教学大纲_模糊数学

《模糊数学》教学大纲课程编号：121082B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0学分：2适用对象：金融数学专业先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计毕业要求：1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法2.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流一、教学目标模糊数学是统计学院金融数学专业选修的基础课之一。

通过本课程的学习，使学生对模糊数学的原理和思想方法有一个基本的认识。

掌握应用模糊数学的原理分析和解题的基本技巧。

了解模糊数学方法在各个领域的应用，为应用模糊数学知识解决问题打下基础。

二、教学基本要求本课以课堂讲授为主。

适当补充一些模糊数学在实际中应用的实例，理论联系实际。

在各章中均可安排一些内容引导学生自学，通过布置作业和讨论题，提高学生自己解决问题与分析问题的能力。

同时，也可适当让学生自己来寻找一些实际问题，应用学过的知识来进行分析、综合、评判，以期达到更好的巩固、应用的目的。

(一) 模糊数学的基本理论和基本原理1、模糊集合是处理模糊事物的新的数学概念，是模糊数学的基础。

理解模糊集的定义、表示方法、模糊集的运算。

了解模糊算子的定义及各种模糊算子，了解模糊集的模糊度定义。

2、理解模糊集截集的定义及性质，掌握模糊数学的基本原理：分解定理（联系普通集与模糊集的桥梁）、扩张原理。

了解模糊数及模糊数的运算。

(二) 模糊数学方法及其在各领域中的应用1、理解模糊关系的概念及性质，深入理解在有限域的情况下，模糊关系可以用矩阵表示。

理解模糊关系合成的定义及性质。

理解掌握贴近度概念及最大隶属原则和择近原则。

了解模糊变换以及模糊控制。

2、对于模糊数学方法的应用。

重点掌握模糊模式识别、模糊聚类分析、模糊综合评判决策，以及了解它们在不同领域的应用举例。

每章节后的习题要求全部完成；本课程建议使用形成性和终结性考试相结合，并各占50%比例。

模糊数学 (3)

u
= f (u )
• 证任给R∈Y (U×V ) ，令 Y × f R (u )(v) = R(u, v) 由截影的定义， ∀u ∈ U R u (v) = R(u, v) , 于是任意u∈U ，都有 f R (u ) = R u
反之，任给 f :U→Y (V ) ，令 Y
R f (u , v ) = f (u )(v ) , ( (u,v ) ∈ U × V )
T f ( A) = A R f 0 0 0 .1 0 . 5 1 = (0, 1, 1) 0 0.9 0 0.4 0 = (0.6, 0.9, 0.1, 0.4, 0.8) 0 .6 0 0 .1 0 0 .8
T f ( B) = B R f
0 0 0.1 0.5 1 = (0.6, 0.7, 1) 0 0.9 0 0.4 0 = (0.6, 0.7, 0.6, 0.4, 0.8) 0.6 0 0.1 0 0.8
u∈U
(v ∈ V )
证按照定理1中所定义的映射 TR ( A) = A R 及其运算，便可将U上的模糊集映射到V上的模糊集。所以，只要给定从U到V的模糊关系，便可确定从U到 V的模糊变换。任意模糊关系R可导出模糊变换TR 。实际上这个变换就是模糊关系R ，故 TR =R, 即有 R: Y ( U)→Y (V ) Y
(v ∈ V )
于是Rf ∈Y (U×V )，由截影定义，任意u∈U Y R f u (v) = R f (u, v) = f (u )(v) , (v ∈ V ) 所以
Rf
u
= f (u )
可见， U×V上的模糊关系与从U到V的模糊映 × 射之间有一一对应关系，甚至有时把模糊关系看成是模糊映射。反之亦然。在不致混淆的情况下，等同使用下面符合： R = Rf = fR = f 当论域为有限时，一般表示如下，设U ={u1,u2,…um}，V ={v1,v2,…,vn} 且 f :U→Y (V ) Y ui→ f(ui)=(ri1,ri2,…,rin) (i=1,2,…,m) 由定理1，对任意ui∈U (i=1,2,…,m) ，有

模糊数学中的模糊关系与模糊矩阵

模糊数学中的模糊关系与模糊矩阵模糊数学，作为应用于不确定性问题的重要工具，对于描述模糊和不确定现象具有重要意义。

其中，模糊关系和模糊矩阵是模糊数学中的两个重要概念。

本文将对模糊关系和模糊矩阵进行详细介绍，并探讨其在实际问题中的应用。

1. 模糊关系在模糊数学中，模糊关系是指一种描述元素之间模糊互相关系的工具。

模糊关系可以表示为一个二元组R = (U×V, {μR(u,v)})，其中U和V是两个隶属函数，代表了元素u和v之间的隶属程度，μR(u,v)表示模糊关系R在元素u和v之间的隶属度。

模糊关系可以通过物理世界的实际问题得到，例如描述两个城市之间的距离、两个人之间的亲密程度等。

在实际问题中，模糊关系常常用于描述隶属程度的模糊性，以及元素之间关系的不确定性。

2. 模糊矩阵模糊矩阵是模糊关系的一种表示形式。

它是一个正方形矩阵，矩阵的每个元素都表示了模糊关系的隶属度。

假设元素集合U={u1, u2, ..., un}，模糊关系R可以表示为一个n×n 的模糊矩阵R=(μR(u,v))，其中μR(u,v)表示元素u和v之间的隶属度。

模糊矩阵中的元素可以是实数也可以是区间，取决于具体问题的模糊性程度和不确定性程度。

模糊矩阵在实际问题中的应用十分广泛。

例如，在推荐系统中，可以利用模糊矩阵描述用户对不同商品之间的喜爱程度；在风险评估中，可以利用模糊矩阵描述不同因素之间的关联程度，以及对整体风险的影响程度等。

3. 模糊关系的运算模糊关系可以进行多种运算，用以描述元素之间的模糊关系以及模糊关系之间的逻辑关系。

（1）模糊关系的合成运算模糊关系的合成运算可以将两个模糊关系进行组合，得到新的模糊关系。

常用的合成运算有模糊交、模糊并、模糊合和模糊补等，通过这些运算可以描述模糊关系之间的逻辑操作。

（2）模糊关系的传播运算模糊关系的传播运算可以通过已知模糊关系推导出新的模糊关系。

传播运算可以根据给定的模糊关系和传播规则，计算出新的模糊关系，用以描述元素之间的关系传递和传递程度。

模糊数学第三章

两点说明：
模糊关系－example3
模糊关系的运算
模糊关系就是模糊子集，只不过其论域是直积 A×B罢了模糊关系的运算法则完全服从模糊集合的运算法则
运算
设R, S F ( X Y )
包含： R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); 相等： R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); 并：交：余：
(2)包含：A B <=>对任意i, j 有 aij ≤ bij
因此，对任何
R m n , 总有：
ORE
模糊矩阵的运算
设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m,
j=1,2,…,n, 则 (1)并：A∪B <=> (aij∨bij)m×n (2)交: A∩B <=> (aij∧bij)m×n (3)余: Ac <=> (1-aij) m×n 例：
则称O为X×Y的“零关系”，表示零关系O的矩阵为零矩阵。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X×Y上的模糊关系E满足
E ( x, y ) X Y , E ( x, y ) 1
称E为X×Y的“全称关系”，表示全称关系E的矩阵为全称矩阵。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X×Y上的模糊关系R，定义
1 0.7 R 0 0.5
0.7 1 0 0.4
0 0 1 0
0.5 0.4 0 1
模糊矩阵－mple
例1.
X Y {甲，乙，丙} R 信任
1 0.8 0.9 R 0.3 0.9 1 0.9 0.3 1

模糊数学(模糊关系合成)

）－1,
x
y
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13
例2答案
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14
例2答案
同例1一样，首先把y作为变量，x和 z均当作常量，画出对应的曲线
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15
例2答案
求出交点的横坐标z* 求得交点的纵坐标，即为合成关系
RоR的隶属函数
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存在一个y，y是x的兄弟，且y是z父亲
xSz存在y∈X,使xQy且yRz 称叔侄关系S是兄弟关系Q和父子关
系R的合成，记为S=QоR
5
关系合成的定义
设Q∈P(U×V),R∈P(V×W), S∈P(U×W)
若(u,w)∈S存在v∈V,使 (u,v)∈Q且(v,w)∈R，则称关系S是由关系Q与关系R合成的，记作 S=QоR
I ⊆ A⊆A2 ⊆ A3 ⊆…⊆ An-1 ⊆An⊆…
证明:
A2 A A A I A;
A3 A2 A A2 I A2;
...
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32
对称性
若模糊关系R满足R(u,v)=R(v,u)，则称R具有对称性
模糊对称矩阵
rij = rji
例如：
1 0.4 0.5 A 0.4 1 0.9
(5) (QоR) λ= Qλо Rλ 推论 (Rn) λ= (Rλ)n
(6) (QоR) T= QTо RT 推论 (Rn) T= (RT)n
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27
课后作业
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28
3-7 模糊等价关系及聚类图
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29

模糊控制的数学基础-2(3-1至3-15)模糊关系、逻辑及运算

举例eg 1 y=sinx, x ∈(-∞,+∞)，y ∈[-1,+1]，由于［－1,＋1］是y 轴的一个子集，故这个映射是x 到y 内的映射，是属于“非全射”。

eg 2 y=x 2, x ∈(-∞,+∞), y ∈(0,+∞)。

这是由x 到y 内的映射，也属于“非全射”。

eg 3 y=x 3, x ∈(-∞,+∞), y ∈(-∞,+∞)。

这个映射是由x 射到y 轴上的映射，属于“全射”。

并且也是“单射”，同时也是“一一映射”。

Ch 3 Fuzzy 控制理论的预备知识§3－1 Fuzzy 关系与Fuzzy 关系图一 Fuzzy 关系~R 第二章讲过，所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。

现在把它扩展到Fuzzy 集合中来，可定义如下：所谓A 和B 两集合的直积A ×B ＝﹛(a ，b)|a ∈A ，b ∈B ﹜中的一个模糊关系~R ，是指以A ×B 为论域的一个Fuzzy 子集，其序偶(a ，b)的隶属度为 ~R μ (a ，b)，可见~R 是二元Fuzzy 关系。

3-1Nose ：当A=B 时，我们称之为“A 面上的Fuzzy 关系”R 。

eg ．要求列出集合A=﹛1，5，7，9，20﹜“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系~R 。

解：直积空间R ＝A ×A 中有25个“序偶”，其中R 1=﹛(20,1)，(20,9)，(20,7)，(20,5)，(9,7)，(9,5)，(9,1)，(7,5)，(7,1)，(5,1)﹜ 是满足“前元比后元大”的子集。

~0.50.70.810.10.30.950.10.90.85(5,1)(7,1)(9,1)(20,1)(7,5)(9,5)(20,5)(9,7)(20,7)(20,9)R =+++++++++ 上式中分子的值即是按人的判断结果给出的相应满足“前元比后元大得多”的程度，还有一种求法是利用适当的隶属函数来确定。

模糊数学3模糊映射与变换模糊关系方程

第四章__模糊映射与模糊变换

第五章 模糊映射与模糊变换

模糊数学3模糊映射与变换模糊关系方程

模糊数学——模糊映射与模糊变换教学课件

第5章模糊映射与模糊变换

模糊数学_3第五章 模糊映射与变换,模糊关系方程

模糊关系方程的求解

模糊数学第三章小结

第5章 模糊映射及模糊变换

模糊关系方程的求解方法(ⅰ)

模糊数学方法

教学大纲_模糊数学

模糊数学 (3)

模糊数学中的模糊关系与模糊矩阵

模糊数学第三章

模糊数学(模糊关系合成)

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第五章模糊映射与模糊变换

模糊数学_3第五章模糊映射与变换,模糊关系方程

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