积分变换第3讲

§5 卷
积
卷积是积分变换中的一个重要概念， 卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算 在实际问题如线性系统分析中有着重要应用. 在实际问题如线性系统分析中有着重要应用.
下面着重介绍卷积概念与卷积定理. 下面着重介绍卷积概念与卷积定理 1、卷积 在整个数轴上有定义, 定义 设函数 f1(t), f2(t)在整个数轴上有定义, 则 在整个数轴上有定义
F(ω) 此时有 F [ ∫−∞ f (t)dt] = iω
——前面的积分性质 前面的积分性质
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4、傅里叶变换举例 例2 若 f(t)=cosω0t ⋅ u(t), 求F [f(t)]. 解：用位移公式: 用位移公式:
F [ f (t )] = F [u(t ) e
iω0t
1 1 = + πδ (ω − ω0 ) 2 i(ω − ω0 ) 1 + + πδ (ω + ω0 ) i(ω + ω0 )
2
2.2 结合律
f1 (t ) ∗[ f2 (t ) ∗ f3 (t )] = [ f1 (t ) ∗ f2 (t )]∗ f3 (t ).
事实上，根据定义， 事实上，根据定义，有
[ f1 (t ) * f2 (t )]* f3 (t ) = ∫ [∫
−∞
交换 次序 −∞
+∞
+∞
−∞
f1 (ξ ) f2 (τ − ξ )dξ ] f3 (t −τ )dτ
0, 设 f1 (t ) = 1, t < 0, t ≥ 0; 0, f2 (t ) = −t e , t < 0, t ≥ 0.
求 f1(t)*f2(t). 1 O o
f 1( τ ) 1
f2(t−τ) −
τ
O
t
τ
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代入定义，计算积分即可. 解：代入定义，计算积分即可
f1(t ) ∗ f2 (t ) =
+∞
∫
+∞
−∞
f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
t −τ >0
= ∫ 1⋅ f2 (t −τ )dτ = 0
=e
−t
∫ 1⋅e
0
t
−( t −τ )
dτ
∫
t
0
eτ dτ = 1 − e−t
(t ≥ 0).
f1(t ) ∗ f2 (t ) = 0 (t < 0).
练习： 练习：请计算 f2 (t ) ∗ f1 (t ).
所以由位移公式
F [ f (t )] = F [e
−β t
u(t )
+e 2
− iω0t
]
1 1 1 = + 2 β + i(ω + ω0 ) β + i(ω − ω0 )
练习题： 练习题： 求δ (t − 1)以及 u(t )的傅氏变换 t .
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练习： 练习：求解常微分方程
x → +∞ x → +∞
′′( x ) − a 2 y( x ) = f ( x ) y
( −∞ < x < +∞ )
lim y( x ) = 0, lim y ′( x ) = 0,
解：记F [ y ( x)] = Y (ω ), F [ f (t )] = F (ω )
那么方程两端同取傅立叶变换，并注意到条件及 那么方程两端同取傅立叶变换， 线性关系、微分公式，得到： 线性关系、微分公式，得到：
2.3 分配律
f1 (t ) ∗[ f2 (t ) + f3 (t )] = f1 (t ) ∗ f2 (t ) + f1 (t ) ∗ f3 (t ).
4
2.4 卷积满足如下不等式
| f1(t ) ∗ f2 (t ) |≤| f1(t ) | ∗ | f2 (t ) | .
思考题： 思考题：问 f (t ) ∗δ (t ) = ? 例1
y ( x) = F
−1
−1
[Y (ω )] = −F
−1
−1
F (ω ) [ 2 ] 2 a +ω
查表
= −F [ F (ω )] ∗ F
1 [ 2 ] 2 a +ω
−1 a x = − f ( x ) ∗ ( )e 2a
1 +∞ a x −t = ∫−∞ f (t )e dt 2a
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傅立叶积分变换内容小结 一、概念、术语 概念、 傅立叶积分变换（正变换，逆变换）； 傅立叶积分变换（正变换，逆变换）； 函数（ 原象函数，象函数； 函数 单位脉冲函数）； 原象函数，象函数； δ函数（单位脉冲函数）； 卷积； 频谱函数； 能量谱密度* 卷积； 频谱函数； 二、公式、定理 公式、 傅立叶积分公式； 函数性质 函数性质； 傅立叶积分公式； δ函数性质； 傅立叶积分变换性质
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例： 1) 证明
∫
t
−∞
f (t )dt = f (t ) ∗ u (t )
t −∞
2) 已知F [ f (t )] = F (ω ), 求 F [ ∫
解 ： 1） f ( t ) ∗ u ( t ) =
f (t )dt ]
∫
+∞
−∞
f (τ ) u ( t − τ )d τ
=
∫
t
−∞
f (τ ) ⋅ 1d τ =
F[ f1(t ) ∗ f2 (t )] = F1(ω) ⋅ F2 (ω).
证明：根据定义， 证明：根据定义，有
F[ f1(t ) ∗ f2 (t )] = ∫ [ f1(t ) ∗ f2 (t )]e−iω t d t
−∞
+∞
= ∫ [∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f1(τ ) f2 (t −τ )dτ ]e−iω t d t
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卷积与卷积定理； 卷积与卷积定理； 三、基本运算 用定义直接求简单函数的傅立叶变换 用积分变换的性质、卷积定理并结合变换表间接 用积分变换的性质、 求稍复杂些函数的变换 积分变换求解微分方程
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+e 2
− iω0t
]
π iω = 2 + [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )]. 2 2 ω0 − ω
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例3 若
f (t ) = e−β t u(t ) cosω0 t (β > 0)， F [f(t)]. 求
−β t
解： F [e Q
1 u(t )] = β + iω
e
iω0t
∫
−∞
f2 (u) f3 (t − ξ − u)du
= g(t − ξ ).
从而再根据(1), 得 从而再根据
[ f1(t )* f2 (t )]* f3 (t ) = ∫
+∞
−∞
f1(ξ )g(t − ξ )dξ
= f1(t )* g(t ) = f1(t )*[ f2 (t )* f3 (t )].
+∞ −∞
=
∫
+∞
f1 (ξ )[∫
+∞ −∞
f2 (τ − ξ ) f3 (t −τ )dτ ]dξ .
(1)
令
g(t ) = ∫
f2 (τ ) f3 (t −τ )dτ = f2 (t ) ∗ f3 (t ).
3
则∫
+∞
−∞
f2 (τ − ξ ) f3 (t −τ )dτ =
τ −ξ =u +∞
∫
+∞
−∞
f1 (τ ) f2 (t −τ ) dτ
称为函数 f1(t)与 f2(t)的卷积, 记为 f1(t)*f2(t). 与 的卷积
1
即 f1 (t ) ∗ f2 (t ) = ∫ f1 (τ ) f2 (t −τ ) dτ . −∞ 2、卷积的性质 2.1 交换律 f1(t ) ∗ f2 (t ) = f2 (t ) ∗ f1 (t ). 事实上在积分
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注：1、最后一步应用了一个前面未介绍的公式： 最后一步应用了一个前面未介绍的公式：
f (t )δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
2、 若当t →+∞时∫ f (t)dt → 0，则 、
−∞ t
F(0) = ∫
+∞
−∞
f (t)e
t
− j 0t
dt = ∫
+∞
−∞
f (t)dt = 0
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=∫
=∫
+1(τ )e−iωτ f2 (t −τ )e−iω(t −τ )dτ d t
−iωτ
+∞
−∞
f1(τ )e
+∞ f (t −τ )e−iω(t −τ )dt dτ ∫−∞ 2
= F (ω) ⋅ F2 (ω). 1
类似地，可以证明 类似地， 1 F1(ω) ∗ F2 (ω). F[ f1(t ) f2 (t )] = 2π 可以将不太容易计算的卷积运算化为普通乘 法，这就使得卷积在线性系统分析中成为特别有 用的方法. 用的方法
∫
t
−∞
f ( t )dt
2）下面求变换：由卷积定理，有 ）下面求变换： 卷积定理，
F [∫
t
−∞
f (t )dt ] = F [ f (t ) ∗ u (t )] = F [ f (t )]F [u (t )]
1 F (ω ) = F (ω )[ + πδ (ω )] = + π F (0)δ (ω ) iω iω
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3、卷积定理 卷积在积分变换中有着十分重要的的应用， 卷积在积分变换中有着十分重要的的应用，主 要体现在卷积定理上. 要体现在卷积定理上