最新浙教版数学九年级上册3.4《圆心角》同步练习2.doc

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浙教版九年级数学上册《圆心角、圆周角》练习题

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.4圆心角、3.5圆周角》优生辅导综合练习题（附答案）一．选择题1．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC＝130°，则∠BAC的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．50°2．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°3．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（）A．85°B．75°C．70°D．65°4．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（）A．158°B．58°C．64°D．116°5．如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°6．一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点D在圆圈外，其他几个顶点都在圆圈上，圆圈和AD交于点E，已知AC＝8cm，则这个圆圈上的弦CE长是（）A．6cm B．6cm C．4cm D．cm 二．填空题7．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD＝50°，则∠BAD的大小为°．8．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．若∠BAC＝44°，BD＝2，则弧AE的度数是，DC的长为．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为．10．在半径为r的圆中，长度为r的弦所对的圆周角的度数是．11．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为．12．如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠OBC＝20°，则∠ADC 等于度．13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，以点D为圆心，CD长为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点E，若的度数为60°，则直径BC长为．14．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆内．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C旋转到C′，则∠C′AB＝°．15．如图，OA、OB是⊙O的半径且OA＝OB＝1，AB＝，在⊙O上一点C，使BC＝，则∠BAC的度数为．三．解答题16．如图，在下列4×4（边长为1）的网格中，已知△ABC的三个顶点A，B，C在格点上，请分别按不同要求在网格中描出一个格点D，并写出点D的坐标．（1）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后所得的三角形，点A旋转后落点为D；（2）经过A，B，C三点有一条抛物线，请找到点D，使点D也落在这条抛物线上；（3）经过A，B，C三点有一个圆，请找到一个横坐标为2的点D，使点D也落在这个圆上，①点D的坐标为；②点D的坐标为；③点D的坐标为．17．如图，在⊙O中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E．（1）求证：AC＝BD；（2）连接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度数．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，连接CO，CB．（1）若AM＝2，BM＝8，求CD的长度；（2）若CO平分∠DCB，求证：CD＝CB．19．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径．20．如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB交OC 于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．21．如图，AD为⊙O的直径，∠BAD＝∠CAD，连接BC．点E在⊙O上，AB＝BE，求证：（1）BC平分∠ACE；（2）AB∥CE．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．23．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，且OC平分∠ACD，延长AC与DB交于点E，过点C作CF⊥OC交DE于点F．（1）求证：∠A＝∠E．（2）若BF＝5，，求⊙O的半径．24．如图，Rt△ABC中，AC＝CB，点E，F分别是AC，BC上的点，△CEF的外接圆交AB 于点Q，D．（1）如图1，若点D为AB的中点，求证：∠DEF＝∠B；（2）在（1）问的条件下：①如图2，连接CD，交EF于H，AC＝4，若△EHD为等腰三角形，求CF的长度．②如图2，△AED与△ECF的面积之比是3：4，且ED＝3，求△CED与△ECF的面积之比（直接写出答案）．（3）如图3，连接CQ，CD，若AE+BF＝EF，求证：∠QCD＝45°．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B＝180°，∵∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣130°＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°．故选：C．2．解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．3．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．4．解：∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．故选：D．5．解：∵DE||BC，∴∠C＝∠ADE＝46°，∴的度数是92°，∴的度数为180°﹣92°＝88°．故选：C．6．解：作AH⊥CE于H，如图，∠ACB＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，∴∠BCE＝∠BAD＝30°，∴∠ACE＝60°，在Rt△ACH中，CH＝AC＝×8＝4cm，∴AH＝CH＝4cm，∵∠AEC＝∠ABC＝45°，∴AH＝HE＝4cm，∴CE＝CH+HE＝（4+4）cm．故选：C．二．填空题7．解：连接BD，∵BD是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，∴∠ABD＝∠ACD＝50°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40．8．解：连接OE，AD，∵OA＝OE，∠BAC＝44°，∴∠BAC＝∠OEA＝44°，∴∠AOE＝92°，∴弧AE的度数是92°，∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵BD＝2，∴CD＝2．故答案为：92°，2．9．解：连接CD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，∴△BCD是等边三角形，∴CD＝BC＝2，故答案为：2．10．解：如图，作OD⊥AB，垂足为D，则由垂径定理知，点D是AB的中点，∴AD＝AB＝r，∴∠AOD＝45°，∴∠AOB＝2∠AOD＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°，∵A、C、B、E四点共圆，∴∠ACB+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝135°，故答案为：45°或135°．11．解：连接AO，CO，则∠AOC＝2∠ADC，∠BOC＝2∠BAC，∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝2∠BAC+2∠ADC＝2×15°+2×20°＝70°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝55°，故答案为：55°．12．解：∵OA⊥BC，∴∠OEB＝90°，∵∠OBC＝20°，∴∠AOB＝90°﹣∠OBC＝70°，∴的度数是70°，∵OA⊥BC，OA过圆心O，∴＝，∴的度数是70°，∴圆周角∠ADC＝＝35°，故答案为：35．13．解：如图，连接BE，EC．∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∵的度数＝60°，∴∠BCE＝×60°＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，∵DE＝DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC＝CD＝6，∴BC＝4．故答案为：．14．解：如图，分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′；∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°；同理可得△OAD′为等边三角形，∴∠OAD′＝60°，∴∠D′AB＝60°+60°＝120°；∵AC′为正方形AB′C′D′的对角线，∴∠D′AC′＝45°，∴∠C′AB＝∠D′AB﹣∠D′AC′＝120°﹣45°＝75°．故答案为75．15．解：如图，作OH⊥BC于H．连接AC．∵OH⊥BC，∴BH＝CH＝，∴∠OBH＝30°，∵OA＝OB＝1，AB＝，∴AB2＝OA2+OB2，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝45°，∵∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝45°+30°＝75°，∴∠BAC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，作点C关于直线OB的对称点C′，连接AC′，BC′，CC′，∵∠OBC＝∠OBC′＝30°，∴∠CBC′＝60°，∵BC＝BC′，∴△BCC′是等边三角形，∴∠BCC′＝60°，∴∠BAC′＝180°﹣60°＝120°，故答案为60°或120°．三．解答题16．解：（1）如图，点B的对应点为B′，点A的对应点为点D（4，2）；故①答案为：（4，2）；（2）抛物线的对称轴在BC的中垂线上，则点D、A关于函数对称轴对称，故点D（3，2），故②的答案为：（3，2）；（3）AB中垂线的表达式为：y＝x，BC的中垂线为：x＝，则圆心O为：（，），设点D（2，m），则OD＝OB，（）2+（）2＝（2﹣）2+（m﹣）2，解得：m＝0或3（舍去0），故点D（2，3）；故③的答案为（2，3）．17．（1）证明：∵B，C是的三等分点，∴＝＝，∴+＝+，∴＝，∴AC＝BD；（2）解：如图，连接CD，AD，∵∠BDC＝25°，＝＝，∴∠CAD＝∠BDA＝∠BDC＝25°，∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，∴∠BEC＝∠AED＝130°．18．解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CM＝DM，∵AM＝2，BM＝8，∴AB＝10，∴OA＝OC＝5，在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，∴CM＝＝4，∴CD＝8；（2）过点O作ON⊥BC，垂足为N，∵CO平分∠DCB，∴OM＝ON，∴CB＝CD．19．（1）证明：∵AB⊥CD，∴，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣BE＝r﹣8，∵AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝×24＝12，在Rt△OCE中，122+（r﹣8）2＝r2，解得r＝13，∴⊙O的直径＝2r＝26．20．（1）证明：连接OE、CE，如图，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵＝2，∴∠COE＝2∠AOE，∴∠COE＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE＝＝，在Rt△EFD中，EF＝＝＝2．21．证明：（1）∵AB＝BE，∴，∴∠ACB＝∠BCE，∴BC平分∠ACE；（2）连接OC、OB，∵OA、OB、OC是⊙O半径，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ABO＝∠ACO，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBA+∠OBC＝∠OCA+∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AB＝BE，∴AC＝BE，∴，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥CE．22．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF．（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝8，∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AD＝3，∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．23．（1）证明：由题意∠ACO＝∠A＝∠D．∵OC平分∠ACD，∴∠ACO＝∠OCD，∴∠OCD＝∠D．∴OC∥DE，∴∠E＝∠ACO，∴∠E＝∠A．（2）解：∵，∴设BD＝3x，OB＝4x，由（1）得∠E＝∠A＝∠CDE，OC∥DE．∵CF⊥OC，∴CF⊥DE，∴EF＝DF＝3x+5．∴BE＝3x+10，∵∠E＝∠A，∴AB＝BE，即3x+10＝8x，解得x＝2∴半径OB＝4x＝8．24．（1）证明：连接CD．在Rt△ABC中，∵AC＝CB，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD＝DB，∴∠DCB＝∠B＝45°，∵∠DEF＝∠DCB，∴∠DEF＝∠B．（2）解：①如图2﹣1中，当EH＝HD，可证四边形CFDE是正方形CF＝2．如图2﹣2中，当EH＝ED时，∠EDH＝∠EHD＝67.5°，∵∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠EDH＝∠BDF＝67.5°，∴∠BFD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠BDF＝∠BFD，∴BD＝BF，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝4，∴BD＝BF＝2，∴CF＝4﹣2．如图2﹣3中，当DA＝FH时，点E于A重合，点H与C重合，CF＝0．综上所述，满足条件的CF的值为0或2或4﹣2．②如图2﹣4中，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DF．∵CA＝CB，AD＝DB，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD＝DA＝DB∴DE＝DF，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，∵DC平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC，∴DM＝DN，可得四边形DMCN是正方形，∴DM＝CM＝CN＝DN，∵＝＝＝＝，∴可以假设DN＝3k，EC＝4k，则AC＝BC＝6k，AE＝CF＝2k，∴＝＝．（3）证明：连接OD，OQ，作ER⊥AB，OH⊥AB，FK⊥AB．∵ER∥OH∥FK，EO＝OF，∴RH＝HK∴OH＝（ER+FK），∵ER＝AE，FK＝FB，∴OH＝（AE+BF）＝EF＝OE＝OQ，∴∠OQD＝∠ODQ＝45°，∴∠QOD＝90°，∴∠QCD＝45°．。

浙教版九年级数学上册同步练习(PDF)版)：3.4 圆心角

A. 100∘
B. 110∘
C. 120∘
D. 135∘ )
7. 如图，�� 是 ⊙ �� 的直径，�� = �� = ��，∠�� = 34∘，则 ∠�� 的度数是 (
A. 4 5cm
B. 3 5cm
C. 5 5cm )
D. 4cm
10. 如图所示，⊙ �� 与 ⊙ ��ʹ 为等圆，��∥��ʹ，下列结论中正确的是 (
A. �� = �� ，但 �� ≠ �� C. �� = �� ，且 �� = �� 二、填空题（共 10 小题；共 50 分） 11. 13. 有 4 个命题：（1）直径相等的两个圆是等圆；（2）长度相等的两条弧是等弧；（3）圆中最大的弦是通过圆心的弦；的叫做圆心角．
5. 如图，�� = �� ，且 ∠�� = 60∘ ，半径 �� = 2，则下列结论不正确的是
A. ∠�� = 60∘ C. �� 的度数为 240∘
B. ∠�� = 120∘ D. 弦 �� = 3
C. �� < 2��
D. 无法确定 )
9. 如图，半圆 �� 的直径 �� = 10cm，弦 �� = 6cm，�� 平分 ∠��，则 �� 的长为 (

2017年秋季新版浙教版九年级上学期3.4、圆心角同步练习2

圆心角1. 如图，BD 是⊙O 的直径，弦AC 与BD 相交于点E ，下列结论一定成立的是……（）A. ∠=∠ABD ACDB. ∠=∠ABD AODC. ∠=∠AOD AEDD. ∠=∠ABD BDC2.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A. 2对B. 4对C. 6对D. 8对3. 下列命题：①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．其中真命题个（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个4.如图，直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD =40°，则∠DCF = ．5.如图，AB 是直径，点C ，D ，E 都在⊙O 上，若∠C =∠D =∠E ，则∠A +∠B = 度.6. 已知3cm 长的一条弦所对的圆周角是135° ，直径是 .7.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，∠ABC =30°，则∠CAD 度． 8. 如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 . 9. 如图， A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径，且AD =6cm ，若∠ABC =∠CAD ．求弦AC 的长．AB AF =，A C 与BF 交于点M . 10. 如图，已知：BC 为半圆O 的直径，(1) 若∠FBC =α，求∠ACB （用α表示）(2) 过A 作AD ⊥BC 于D ，交BF 于E ，求证：BE =EM .11.已知，如图 BC 与 AD 的度数之差为20°，弦AB 与CD 交于点E ，∠CEB = 60°，则∠CAB 等于（）A. 50°B. 45°C. 40D. 35°12.如图，MN 是⊙O 的直径，MN =2，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值A.AE 第13题第14题第11第12题13.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O 交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是……………（）A. 60≤x≤120B. 30≤x≤60C. 30≤x≤90D. 30≤x≤12014.如图，△ABC内接于⊙O，∠BCA=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC等于．15. 如图，OC经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°．求⊙C的半径和圆心C的坐标.16. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是AB上的点，且AC=BD，P，Q是⊙O上在AB同侧的两点，且=，延长PC，AP BQQD分别交⊙O于点M，N．求证：=.AM BN。

3.4.1 圆心角定理浙教版数学九年级上册同步练习(含解析)

3.4　圆心角第1课时　圆心角定理基础过关全练知识点1　圆的中心对称性和旋转不变性1.下列说法中,不正确的是( )A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与自身重合C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴2.如图,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形MNEF各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影部分的面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π知识点2　圆心角的定义及其定理3.如图,下列角中不是☉O的圆心角的是( )A.∠AOBB.∠AODC.∠BODD.∠ACD4.【教材变式·P85作业题T2】如图,A、B、C、D是☉O上的点,∠1=∠2,给出下列结论:①AB=CD;②BD=AC;③AC=BD;④∠BOD=∠AOC.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.【新独家原创】如图,AB是☉O的直径,AB=8,∠AOC=∠COD=60°,则四边形OACD的面积为 .6.如图,在☉O中,D、E分别为半径OA、OB上的点,且AD=BE.C为弧AB上一点,连结CD、CE、CO,且CD=CE.求证:C为AB的中点.知识点3　圆心角的度数与它所对弧的度数的关系7.(2023浙江杭州西湖期中)在☉O中,弦AB等于圆的半径,则它所对的劣弧的度数为( )A.120°B.75°C.60°D.30°8.如图,☉O经过五边形OABCD的四个顶点A,B,C,D,若∠AOD=150°,∠A=65°,∠D=60°,则BC的度数为 °.能力提升全练9.【易错题】(2023浙江宁波北仑期中,16,★★☆)在半径为1的圆中,2的弦所对的弧的度数为 .10.【一题多解】(2023江苏常州新北月考,16,★★☆)如图,在☉O中,∠AOC=2∠BOD,则AC 2BD.(填“>”“<”或“=”)()11.如图,平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB长为半径的圆分别交AD、BC于F、G,延长BA交圆A于E,连结EF.(1)求证:EF=FG;(2)当∠ADC为多少度时,四边形GCDF为平行四边形?为什么?素养探究全练12.【推理能力】如图,AB是☉O的直径,已知AB=2,C,D是☉O上的两点,且BC+BD=2AB,M是AB上的一点,则MC+MD的最小值3是 .13.【推理能力】如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,MC ⊥AB,ND⊥AB,点M,N在☉O上.(1)求证:AM=BN;(2)若点C,D分别为OA,OB的中点,则AM=MN=BN成立吗?请说明理由.答案全解全析基础过关全练1.D　圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,所以A说法正确;圆是一个特殊的中心对称图形,它绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合,所以B说法正确;圆的对称轴是过圆心的直线,这样的直线有无数条,对称中心只有一个,是圆心,所以C说法正确;直径是线段而不是直线,不能说直径是圆的对称轴,所以D说法错误.故选D.2.D　利用圆和正方形的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积π×(4÷2)2=π.的四分之一,即S阴影=143.D　根据圆心角的定义可知∠AOB、∠AOD、∠BOD都是圆心角,∠ACD不是圆心角,故选D.4.D　∵∠1=∠2,∴AB=CD,∠DOB=∠AOC,∴BD=AC,AC=BD,∴①②③④均正确,故选D.5.答案　83解析　∵∠AOC=∠COD=60°,OA=OC,OC=OD,∴△AOC和△COD都为等边三角形,∴AC=OA=OC=OD=CD,∠OAC=60°,∴四边形OACD为菱形,∴OC⊥AD,∠OAD=∠CAD=30°,∵AB=8,∴OA=OC=4,∵△OAC 为等边三角形,AE ⊥OC ,∴OE =12OC =2,∴AE =42―22=23,∴AD =2×23=43,∴S 菱形OACD =12OC ·AD =12×4×43=83.6.证明　∵OA =OB ,AD =BE ,∴OD =OE ,在△OCD 和△OCE 中,OD =OE ,CD =CE ,OC =OC ,∴△OCD ≌△OCE (SSS ),∴∠COD =∠COE ,∴AC =BC ,即C 为AB 的中点.7.C 如图,连结OA 、OB ,∵OA =OB =AB ,∴△OAB 为等边三角形,∴∠AOB =60°,∴AB 的度数为60°,即弦AB 所对的劣弧的度数为60°.故选C .8.答案　40解析　如图,连结OB 、OC ,∵OA=OB=OC=OD,∴∠OBA=∠A=65°,∠OCD=∠D=60°,∴∠AOB=180°-2×65°=50°,∠COD=180°-2×60°=60°,∴∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠COD=150°-50°-60°=40°,∴BC的度数为40°.能力提升全练9.答案　90°或270°解析　如图,☉O的半径为1,弦AB=2,连结OA、OB,∵OA=OB=1,AB=2,∴OA2+OB2=AB2,∴△OAB为等腰直角三角形,∴∠AOB=90°,∴AB的度数为90°,ACB的度数为270°,即弦AB所对的弧的度数为90°或270°.10.答案　<解析　解法一:如图,以OD为边作∠DOE=∠BOD,OE与☉O交于点E,连结BE、ED,则∠BOE=2∠BOD,BD=DE,∵∠AOC=2∠BOD,∴∠AOC=∠BOE,∴AC=BE,在△BDE中,BE<BD+ED=2BD,∴AC<2BD.解法二:如图,作∠AOC的平分线交☉O于点E,连结AE、CE,∴∠AOC=2∠AOE=2∠COE,∵∠AOC=2∠BOD,∴∠AOE=∠COE=∠BOD,∴AE=CE=BD,在△ACE中,AC<AE+CE=2BD,∴AC<2BD.11.解析　(1)证明:如图,连结AG,∵AB=AG,∴∠ABG=∠AGB,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AGB=∠DAG,∠EAD=∠ABG,∴∠DAG=∠EAD,∴EF=FG.(2)当∠ADC为60°时,四边形GCDF为平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∠D=60°,∴∠B=60°,∠BAD=120°,AD=BC,AD∥BC,∵AB=AG,∴△ABG是等边三角形,∴∠BAG=60°,BG=AG,∵AF=AG,∴AF=BG,∴DF=CG,又∵DF∥CG,∴四边形GCDF为平行四边形.素养探究全练12.答案　3解析　如图,过D作DD'⊥AB于H,交☉O于D',∴BD=D′B,∵BC +BD =23AB ,∴CD′=BC +BD′=23AB,∵AB 的度数为180°,∴CD′的度数为180°×23=120°,∴∠COD'=120°,连结CD'交AB 于M ,此时MC +MD 的值最小,为线段CD'的长,过O 作ON ⊥CD'于N ,交☉O 于点G ,连结CG ,则CN =ND'.∵OC =OD',∴∠OCD'=∠OD'N =30°.∴∠COG =60°,∵OC =OG ,∴△OCG 为等边三角形,∵CN ⊥OG ,∴ON =12OG ,∵OG =OC =12AB =1,∴ON =12,∴CN=32,∴CD'=3,∴MC +MD 的最小值是3.13.解析　(1)证明:如图,连结OM ,ON.∵OA =OB ,AC =BD ,∴OA -AC =OB -BD ,∴OC =OD.∵MC ⊥AB ,ND ⊥AB ,∴∠OCM =∠ODN =90°,又∵OM =ON ,∴Rt △OCM ≌Rt △ODN ,∴∠AOM =∠BON ,∴AM =BN .(2)成立.理由如下:如图,连结AM,BN,∵C为OA的中点,MC⊥AB,∴AM=OM,又∵OA=OM,∴△AOM为等边三角形,∴∠AOM=60°.同理可得∠BON=60°,∴∠MON=180°-∠AOM-∠BON=60°,∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°,∴AM=MN=BN.。

浙教版数学九年级上册(同步练习)《3.4圆心角》

《3.4圆心角》同步练习1．下列结论中正确的是( )A ．长度相等的两条弧是等弧B ．半圆是弧C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．弧是半圆2．如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆半径OA ，OB 交小圆于点C ，D ，有下列结论：①AB ︵＝CD ︵；②AB ＝CD ；③∠OCD ＝∠OAB .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3,3．如图，在△ABC 中，∠C 是直角，∠A ＝30°，以点C 为圆心，BC 长为半径画圆，交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么DE ︵的度数是( )A ．30° B．40° C．50° D．60°4．如图，在半径为2cm 的⊙O 中有长为2 3 cm 的弦AB ，则弦AB 所对的圆心角是( )A ．60° B．90° C．120° D．150°5. 如图，若∠AOB＝100°，则ACB ︵的度数为．6．⊙O 的一条弦长与半径之比为 2∶1，这条弦将圆周分成的两部分中，劣弧的度数为__ __．7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AB于点N.求证：AC ︵＝CD ︵＝BD ︵.8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，OD 为半径，且OD∥AC.求证：CD ︵＝BD ︵.9．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10.若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于( )A ．5B ．6C ．5 2D ．5 310．如图，在⊙O 中，半径OC ，OD 分别交弦AB 于点E ，F ，且AF ＝BE .(1)求证：OE ＝OF ；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.11．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E ，且AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．。

3.4.2 圆心角定理的逆定理浙教版数学九年级上册同步练习(含解析)

3.4　圆心角第2课时　圆心角定理的逆定理基础过关全练知识点圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.【教材变式·P87T2】如图所示的齿轮有16个齿,每相邻两齿之间间隔相等,相邻两齿间的圆心角α的度数为( )A.20°B.22.5°C.25°D.30°2.【易错题】下列语句中,正确的有()( )①相等的圆心角所对的弧相等;②等弦对等弧;③弧相等则所对的圆心角相等;④弧长相等的弧一定是等弧.A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图,AB为☉O的直径,BD=CD,∠BOD=42°,则∠AOC的度数为( )A.90°B.96°C.98°D.100°4.如图,AB是☉O的直径,AC、CD、DE、EF、FB都是☉O的弦,且AC=CD=DE=EF=FB,则∠AOC= °.5.如图,A、B是半径为2的☉O上的两点,若∠AOB=120°,点C是AB的中点,则四边形AOBC的周长为 .6.如图,点A,点B,点C在☉O上,分别连结AB,BC,OC.若AB=BC,∠B=40°,则∠OCB= °.7.如图,在☉O中,M,N分别为弦AB,CD的中点,AB=CD,AB不平行于CD.求证:∠AMN=∠CNM.能力提升全练8.如图,AB为☉O的直径,点C是BE的中点.过点C作CD⊥AB于点G,交☉O于点D,若BE=8,BG=2,则☉O的半径是()( )A.5B.6.5C.7.5D.89.如图,在半径为2的☉O中,弦AB与弦CD相交于点M,如果AB=CD=2 3,∠AMC=120°,那么OM的长为 .10.如图,A、B是圆O上的两点,∠AOB=120°,C是AB的中点.(1)连结AB,求证:AB平分∠OAC;(2)延长OA至P,使得AP=OA,连结PC,若圆O的半径为1,求PC的长.素养探究全练11.【推理能力】【新独家原创】[情境再现]如图1,AB,AC是☉O的两条弦,AO平分∠BAC.求证:AB=AC;[类比探究]如图2,点A为☉O外一点,AO平分∠DAE,求证:BD=CE; [拓展延伸]如图3,在△ABC中,∠B=70°,☉O截三边所得的弦DE=FG=HI,则∠AOC= 度.答案全解全析基础过关全练1.B　由相邻两齿之间间隔相等,可知相邻两齿间的圆心角都相等,故=22.5°,故选B.α=360°162.A　在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故①错误;弦所对的弧有两条,不一定相等,故②错误;等弧所对的圆心角相等,故③正确;能够重合的圆弧为等弧,长度相等的两个弧不一定能够重合,故④错误,故选A.3.B　∵BD=CD,∴∠COD=∠BOD=42°,∵AB为☉O的直径,∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-42°-42°=96°.故选B.4.答案　36解析　∵AC=CD=DE=EF=FB,∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠BOF.∵AB是☉O的直径,∴∠AOB=180°,∠AOB=36°.∴∠AOC=155.答案　8解析　如图,连结OC,∵C是AB的中点,∴∠AOC=∠BOC,∵∠AOB =120°,∴∠AOC =∠BOC =60°,又∵OA =OC ,OB =OC ,∴△AOC 和△BOC 都是等边三角形,∴OA =OB =CA =CB =2,∴四边形AOBC 的周长=2+2+2+2=8.6.答案　20解析　如图,连结AO ,BO ,∴OA =OB =OC ,∴∠OBC =∠OCB ,∠OAB =∠OBA ,∵AB =BC ,∴∠AOB =∠BOC ,∴∠OBA =12(180°-∠AOB )=12(180°-∠BOC )=∠OBC ,∵∠ABC =40°,∴∠OBC =20°,∴∠OCB =∠OBC =20°.7.证明　连结OM ,ON ,如图所示,∵M ,N 分别为AB ,CD 的中点,∴OM⊥AB,ON⊥CD,∵AB=CD,∴OM=ON,∴∠OMN=∠ONM,∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM,即∠AMN=∠CNM.能力提升全练8.A　如图,连结OD,设☉O的半径为r,∵CD⊥AB,∴BC=BD,CG=DG,∵点C是BE的中点,∴CE=CB,∴CE=CB=BD,∴CE+CB=BD+CB,即BE=CD,∴CD=BE=8,CD=4,∴DG=12在Rt△ODG中,∵OG=r-2,OD=r,∴42+(r-2)2=r2,解得r=5,即☉O的半径为5.故选A.9.答案　233解析　如图,过点O 分别作OE ⊥AB 于E ,OF ⊥CD 于F ,连结OA ,则AE =BE =12AB =3,CF =DF =12CD =3,在Rt △AOE 中,OE =OA 2―AE 2=22―(3)2=1,∵AB =CD ,∴OE =OF =1.∵OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,OE =OF ,∴∠OME =∠OMF =12∠AMC =60°,在AM 上取一点G ,使得MG =OM ,连结OG ,∴△OMG 为等边三角形,∵OE ⊥AB ,∴EM =12MG =12OM ,在Rt △EOM 中,设OM =x ,则EM =12x ,由勾股定理,得OM 2=EM 2+OE 2,即x 2x 2+12,解得x =233或x =―233(舍去).∴OM =233.10.解析　(1)证明:连结OC (图略),∵∠AOB =120°,C 是AB 的中点,∴∠AOC =∠BOC =60°.∵OA =OC ,∴△ACO 是等边三角形,∴OA =AC ,同理OB=BC,∴OA=AC=BC=OB,∴四边形AOBC是菱形,∴AB平分∠OAC.(2)由(1)知△OAC是等边三角形,∴∠OAC=60°,∵OA=AP,OA=AC,∴AP=AC,∴∠APC=1∠OAC=30°,2∴∠PCO=90°,∴△OPC是直角三角形.∵PA=AO=OC=1,∴PC=(1+1)2―12=3.素养探究全练11.解析　[情境再现]证明:如图,过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,∵AO平分∠BAC,∴OD=OE,∴AB=AC,∴AB=AC.[类比探究]证明:如图,过点O作OM⊥AD于M,ON⊥AE于N,∵AO 平分∠DAE ,∴OM =ON ,∴BD =CE ,∴BD =CE .[拓展延伸]如图,过点O 作OM ⊥DE 于M ,OK ⊥FG 于K ,OP ⊥HI 于P ,∵DE =FG =HI ,∴OM =OK =OP ,∴AO 平分∠BAC ,CO 平分∠ACB ,∴∠OAC =12∠BAC ,∠OCA =12∠BCA ,∵∠B =70°,∴∠BAC +∠BCA =180°-∠B =110°,∴∠OAC +∠OCA =12(∠BAC +∠BCA )=12×110°=55°,∴∠AOC =180°-(∠OAC +∠OCA )=180°-55°=125°.。

九年级数学上册 3.4 圆心角同步练习(无答案)(新版)浙教版

3.4 圆心角一、选择题1.已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧所对圆心角的度数是A. B. 或 C. D. 或2.P是外一点，PA、PB分别交于C、D两点，已知、的度数别为、，则的度数为A.B.C.D.3.如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么与EF的大小关系是A. B.C. D. 大小关系不确定4.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆心角度数是A. B. C. D. 或5.如图，AB是的弦不是直径，以点A为圆心，以AB长为半径画弧交于点C，连结AC、BC、OB、若，则的度数是A.B.D.6.如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点若，则的度数为何？A. 25B. 40C. 50D. 557.如图，在中，若点C是的中点，，则A.B.C.D.8.如图，在中，，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为A.B.C.D.9.如图，在中，，则的度数是A.B.D.10.已知如图：：5，则的度数A.B.C.D.二、填空题11.已知圆O的半径长为6，若弦，则弦AB所对的圆心角等于______ ．12.中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是______ 度13.如图，利用图中的量角器可以测出一个破损扇形零件的圆心角度数若测量时指针OA指向，则这个扇形零件的圆心角是______ 度14.如图，已知AB和CD是的两条直径，，若的度数为，则的度数为______ ．三、计算题15.如图，在中，，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，求、的度数．16.17.18.19.20.21.22.23.24.如图，在中，，求的度数．25.26.27.28.29.30.如图，分别是半径的中点，CE的延长线交于点F．求证：；若，求半径OA的长．。

浙教版数学九年级上册3.4《圆心角》word同步练习2

3.3 圆心角同步练习【知识要点】1. 圆是中心对称图称图形，圆心就是它的对称中心。

不仅知此，而且把围绕圆心旋转任意一个角度，所得的像都和原图形重合，2．顶点在圆心的角叫做圆心角.3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．课内同步精练●A组基础练习1. 顶点在圆心的角叫做角．2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，所对的弦的相等．3. 弧的度数和的度数相等．4. 如图，AC和BD是⊙O的两条直径．( l )图中哪些量相等？（指劣弧和弦）(2 )当点A在圆周上运动时是否存在一点，使AB = BC=CD=DA .AB AmC=求∠AOC的度数．5. 如图，在⊙O中，已知A B=BC，且:3:4,●B组提高训练7. 如图，已知AB是⊙O的直径，M, N分别是AO, BO的中点，CM⊥AB , DN⊥AB．=.求证：AC BD8．如图，在Rt△AOB中，∠B=400，以OA为半径，O为圆心作⊙O，交AB于点C，交OB 于点D．求CD的度数．课外拓展练习●A组基础练习A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形2. 如图，在半径为2cm 的⊙O中有长为23cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角的度数为( )A. 600B. 900C. 1200D. 15003. 以菱形ABCD的一个顶点A为圆心，以边AB长为半径画图，被菱形截得的BD是400，则菱形的一个钝角是（)A. 1400B. 1600C.1000D. 1500如果CD=BD,则AD等于（）A.300B. 450C. 600D. 9005. 圆的一条弦把圆分成5 : 1 两部分，如果圆的半径是2cm，则这条弦的长是.6. 如图，若∠AOB=1000，则ACB= ；若∠AC B=2500，则∠AOB= .AC CE EB , 则∠4= ;∠6= .7. 如图，AB, CD, EF都是直径，::2:3:48. 如图，D,E分别是⊙O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,则AC与CB弧长的大小关系是 .=, AC=BD.9.如图，在⊙O中，∠AOB =∠COD．求证：AC BD●B组提高训练10. 如图，在条件：①∠COA＝∠AOD=600；②AC=AD=OA；③点E分别是AO,CD的中点；④OA⊥CD 且∠ACO=600中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有个．11. 如图，O为等腰三角形ABC的底边A B的中点，以AB为直径的半圆分别交AC, BC于点E，求证：(1 )∠AOE=∠BOD;=(2 ) AD BE12. 如图，在△ABC中，∠B = Rt∠，∠A = 600，以点B为圆心，AB为半径画圆，交AC 于点D,交BC 于点E ．求证： (1) 2AD ED : ( 2 ) D 是AC 的中点．。

九年级数学上：3.4圆周角同步练习(浙教版)

第1题.如图，在O 中，已知60ACB CDB ∠=∠=，3AC =，求△ABC 的周长．答案：9第2题. 如图，已知在O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，ACB ∠的平分线交O 于D ．求BC ，AD 和BD 的长．答案：8BC =cm，AD =，BD =第3题. 如图，BD 是O 的直径，弦AC 与BD 相交于点E ，则下列结论一定成立的是（）Ａ．ABD ACD ∠=∠Ｂ．ABD AOD ∠=∠ Ｃ．AOD AED ∠=∠Ｄ．ABD BDC ∠=∠ 答案：Ａ第4题. 如图，四边形ABCD 内接于O ，若它的一个外角70DCE ∠=，则BOD ∠=（）Ａ．35Ｂ．70Ｃ．110Ｄ．140Ａ答案：Ｄ第5题.如图，AB 是O 的直径，BC BD =，若50BOD ∠=，则A ∠的度数为．答案：25第6题.如图，A ，B ，C 为O 上三点，若50OAB ∠=，则ACB ∠=度．答案：40 第7题. 如图，O 的直径8cm AB =，45CBD ∠=，求弦CD 的长．答案：连接OC ，OD ，则290COD CBD ∠=∠=，由已知得4cm OC OD ==，ＥＡＣＡ故CD ==．第8题. 如图，AB 为半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ，若3CD =，4AB =，求sin APC ∠的值．答案：连结AC ，BCD BAD ∠=∠，CDA ABC ∠=∠，∴△CPD ∽△APB ．34PC CD PA AB ∴==，由AB 是直径得90ACB ∠=．设3PC x =，则4PA x =，AC ∴==，sin AC APC PA ∴∠===．第9题. 如图，A C B 、、是O 圆上三点，若40AOC ∠=，则ABC ∠的度数是（）Ａ．10Ｂ．20Ｃ．40Ｄ．80 答案：B第10题.如图，O 圆中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于（） A ．150B ．130C ．120D ．60 答案：C第11题. 如图，已知半圆O 的直径4AB =，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上，当三角板绕着点O 转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C 、D 两点，连结AD 、BC 交于点E ．（１）求证：ACE BDE △∽△；（２）求证：BD DE =恒成立；（３）设BD x =，求AEC △的面积y 与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围．A答案：．解：（１）ACD ∠与ADB ∠都是半圆所对的圆周角，90,ACD ADB AEC DEB ∴∠=∠=∠=∠又（对顶角相等）．所以.ACE BDE △∽△ （２）9090DOC AOC BOD ∠=∴∠+∠=，45BAD ABC ∴∠+∠=45BED BAD ABC ∴∠=∠+∠=．又90BDE ∠=，BED ∴△是等腰直角三角形，BD DE ∴=．（３）BD x BD DE ==，,DE x AD AE AD DE x ∴=∴=-=．,ACE BDE △∽△AEC ∴△也是等腰直角三角形，)22AC AE x ∴==．ACE BDE AC EC ∴=△∽△，．)22111224y AC EC AC x ∴=⨯==144)2x =-<<．（本题解答中，若用1452DBE DOC ∠=∠=来解答）第12题.如图，PA 、PB 是O 圆的切线，点A 、B 为切点，AC 是O 圆的直径，20BAC ∠=，则P ∠的大小是度．AOBEDCword答案：40第13题. 已知O 圆的内接四边形ABCD 中，AD BC ∥．试判断四边形ABCD 的形状，并加以证明．答案：（１）如图①，当AD BC =时，四边形ABCD 为矩形．AD BC AD BC =∴∥，，四边形ABCD 为平行四边形．四边形ABCD 内接于.180.O B D ∴∠+∠=90B D ∴∠=∠=．∴四边形ABCD 为矩形．（２）如图②，当AD BC ≠时，四边形ABCD 为等腰梯形，.AD BC AB CD AB CD ∴∴=∥，=，AD BC ≠．∴四边形ABCD 为等腰梯形．第14题.如图，圆心角∠AOB =120︒，P 是AB 上任一点（不与A ，B 重合），点C 在AP 的延长线上，则∠BPC 等于（）A.45︒B.60︒C.75︒D.85︒ 答案：B第15题. 如图，在O 中，50BOC OC AB ∠=，∥．则BDC ∠的度数为．答案：75第16题.如图，ABC △内接于O ，30B ∠=，2cm AC =，则O 半径的长为图①图②ＡB答案：2第17题. 如图，AB 为O 圆的直径，点P 为其半圆上任意一点（不含A 、B ），点Q 为另一半圆上一定点，若POA ∠为x 度，PQB ∠为y 度．则y 与x 的函数关系是．答案：1902y x =-+ 第18题.如图，在100O AOB C AB ∠=中，，为优弧的中点，则CAB ∠=答案：65第19题. 如图，已知在半圆AOB 中，30AD DC CAB =∠=，，AC =AD 的长度．解：答案：解：AB 为直径，90ACB ∴∠=，13060..2CAB ABC BC AC ∠=∴∠=∴=， 1.2AD DC AD DC AC BC AD =∴==∴=，．BC AD ∴=．在ABC Rt △中30CAB AC ∠==，且tan BC AC CAB =∠． tan 302BC ∴==．yxＯＡＣＯＢＡ302AD ∴=．第20题. 如图，AB 是O 圆的弦，PA 是O 圆的切线，A 是切点，如果30PAB ∠=，那么AOB ∠＝．答案：60P。

浙教版-数学-九年级上册-3.4 圆心角(2) 作业

3.4圆心角（2）随堂检测1.如图，OE.OF分别为⊙O的弦AB.CD的弦心距，如果OE=OF，那么．（只需写一个正确的结论）2.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=35°，求∠AOE的度数．3.如图,在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.拓展提高1.如图，AB.CD 是⊙O 的两条弦．（1）如果AB =CD ，那么___________，_______________．（2）如果弧AB =弧CD ,那么____________，_____________．（3）如果∠AOB =∠COD ，那么_____________，___________．（4）如果AB =CD ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，OE 与OF 相等吗？为什么？2.在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（） A.4个B.3个C.2个D.1个（注意：本题是在同圆的大前提下）3.如图，已知AB 和CD 是⊙O 的两条弦，弧AD =弧CB ，求证：AB =CD .4.如图MN 是⊙O 的直径，弦AB.CD 相交于MN •上的一点P ，∠APM =∠CPM ．（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．5.在圆O 中若弦AB 的长等于半径，求弦AB 所对的弧所对的圆周角的度数.体验中考1.如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为__________.2.如图，已知的半径，，则所对的弧的长为（）A. B. C. D.参考答案随堂检测1.弧AB=弧CD或∠AOB=∠COD或AB=CD．2.解：∠AOE=180°-335°=75°.3.证明：∵AB=AC，∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴弧AB=弧AC=弧BC，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.拓展提高1.解：（1）弧AB=弧CD，∠AOB=∠COD．（2）AB=CD，∠AOB=∠COD．（3）AB=CD，弧AB=弧ＣＤ．（4）OE=OF.理由如下:∵AB=CD，∴易证△ABO≌△CDO.∴可证Rt△AOE≌Rt△COF，∴可得OE=OF.2.A．3.证明：∵弧AD=弧BC，∴弧AD＋弧BD=弧BC+弧BD,即弧AB=弧CD，∴AB=CD.4.解：（1）AB和CD相等，通过三角形全等可证．（2）成立,通过三角形全等可证．5.解：∵AB=OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°,∴∠C=∠AOB=30°,∠D=180°-30°=150°.∴弦AB所对的弧所对的圆周角的度数为30°或150°.体验中考1.72°.2.B.【解析】本题考查了圆的周长公式. ∵的半径，，∴弧的长为.。

九年级数学上册第三章 3.4 圆心角(第2课时)同步测试 (新版)浙教版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题3.4 圆心角(第2课时)1．圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个________中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．2．应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中”，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法．A 组基础训练1．下列说法中正确的是( ) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等，所对的圆心角相等2．观察下列4个图形及相应推理，其中正确的是( )第2题图A ．如图1，∵∠AOB ＝∠A′OB′，∴AB ︵＝A ′B ′︵B ．如图2，∵AD ︵＝BC ︵，∴AB ＝CD C ．如图3，∵AB ︵＝40°，∴∠AOB ＝80° D ．如图4，∵MN 垂直平分AD ，∴AM ︵＝ME ︵3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°第3题图3．如图，AB 是AB ︵所对的弦，AB 的垂直平分线CD 交AB ︵于点C ，交AB 于点D ，EF 垂直平分AD ，GH 垂直平分BD.下列结论中，不正确的是(C )第4题图A.AC ︵＝CB ︵B.EC ︵＝CG ︵C.AE ︵＝EC ︵D ．EF ＝GH5．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，OM ，ON 是弦AB ，CD 的弦心距，根据圆心角定理填空： (1)如果AB ＝CD ，那么____________，____________，____________； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么____________，____________，____________； (3)如果OM ＝ON ，那么____________，____________，____________．第5题图4．如图，AD ︵＝BC ︵，若AB ＝3cm ，则CD ＝________．第6题图7．如图，已知AB ︵＝m120°(指AB ︵所对圆心角的度数为120°)，则∠OAB ＝________．第7题图5．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝AB ，以顶点B 为圆心，AB 长为半径画圆，延长DC 交⊙B 于点E ，则CE ︵的度数为________．第8题图9．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，AC ＝3cm. (1)求证：AC ︵＝BD ︵； (2)求BD 的长．第9题图10．如图，P 为⊙O 的直径EF 延长线上一点，PA 交⊙O 于点A ，B ，PC 交⊙O 于点C ，D ，且∠1＝∠2，求证：AB ＝CD.第10题图B 组自主提高11．如图，在△ABC 中，∠A ＝48°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC 等于( )第11题图A ．96°B ．114°C ．132°D ．138°12．如图，半圆的直径AB 为2，C ，D 是半圆上的两点．若AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，动点P 在直径AB 上，求CP ＋PD 的最小值第12题图13．如图，MN 为半圆O 的直径，半径OA⊥MN ，D 为OA 的中点，过点D 作BC∥MN.求证： (1)四边形ABOC 为菱形； (2)∠MNB ＝18∠BAC.第13题图C 组综合运用14．如图所示，在⊙O 中，AD ，BC 相交于点E ，OE 平分∠AEC. (1)求证：AB ＝CD ；(2)如果⊙O 的半径为5，AD ⊥CB ，DE ＝1，求AD 的长.第14题图3．4 圆心角(第2课时)【课堂笔记】 1．弦心距【课时训练】 1－4.BBBC5.(1)∠AOB＝∠CO D AB ︵＝CD ︵OM ＝ON (2)AB ＝CD ∠AOB＝∠COD OM ＝ON (3)∠AOB ＝∠COD AB ＝CD AB ︵＝CD ︵6.3cm 7．30° 8.60°9. (1)证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BOC＝∠2＋∠BOC，∴∠AOC ＝∠BOD，∴AC ︵＝BD ︵； (2)∵AC ︵＝BD ︵，∴AC ＝BD ＝3cm .10. 作OG⊥AB 于G ，OH ⊥CD 于H ，∵∠1＝∠2，∴OG ＝OH ，∴AB ＝CD. 11.B第12题图12．如图，将半圆补成整圆，作点D 关于直径AB 的对称点D′，连结OC ，OD ，OD ′，CD ′，CD ′交AB 于点P ，此时CP ＋PD 最小，即为CD′的长．作ON⊥CD′于点N.∵AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，∴∠DOB ＝36°，∠AOC ＝96°，∴∠COD ＝48°，∠BOD ′＝36°，∴∠COD ′＝36°＋36°＋48°＝120°，∴∠OCN ＝∠OD′N＝30°.∵半圆的直径AB 为2，∴ON ＝12OC ＝14AB ＝12.∴CN ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，∴CD ′＝ 3.∴CP ＋PD 的最小值为 3.13.(1)∵BC∥MN，OA ⊥MN ，∴OA ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∵D 为AO 中点，∴四边形ABOC 为平行四边形，∵AO ⊥BC ，∴▱ABOC 为菱形； (2)∵OB＝ON ，∴∠MNB ＝∠OBN，∴∠MOB ＝∠MNB＋∠OBN＝2∠MNB，∵OD ＝12AO ＝12BO ，∴∠OBD ＝30°.∴∠BOD ＝60°，∴∠MOB ＝30°，∠BOC＝120°，∴∠MNB ＝15°，∠BAC ＝120°，∴∠MNB ＝18∠BAC.第14题图14．(1)证明：作OM⊥AD 于M ，ON ⊥BC 于N ，连结OA 、OC ，如图，则AM ＝DM ，BN ＝CN ，在Rt △OAM 中，AM ＝OA 2－OM 2，在Rt △OCN 中，CN ＝OC 2－ON 2，∵OE 平分∠AEC，∴OM ＝ON ，而OA ＝OC ，∴AM ＝CN ，∴AD ＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵，即AB ︵＋BD ︵＝BD ︵＋CD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD ； (2)∵AD⊥CB，∴∠MEN ＝90°，∵OE 平分∠MEN，∴∠MEO ＝45°，∴△MEO 为等腰直角三角形，∴OM ＝EM ，设ME ＝x ，则OM ＝x ，DM ＝ME ＋DE ＝x ＋1，∴AM ＝DM ＝x ＋1，在Rt △AOM 中，∵OM 2＋AM 2＝OA 2，∴x 2＋(x ＋1)2＝52，解得x 1＝3，x 2＝－4(舍去)，故AD ＝2AM ＝8.。

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3．4 圆心角(2)(第1题)1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝42°，则∠B ＝(B ) A ．84° B ．69° C ．60° D ．21°2. 在⊙O 中，若AB ︵＝2AC ︵，则有(C )A. AB ＝ACB. AB ＝2ACC. AB <2ACD. AB >2AC3．如图，两同心圆中，大圆的半径OA ，OB ，OC ，OD 分别交小圆于点E ，F ，G ，H ，∠AOB ＝∠GOH ，则下列结论错误的是(D )A ．EF ＝GH B.EF ︵＝GH ︵C ．∠AOG ＝∠BOD D.AB ︵＝GH ︵,(第3题)) ,(第4题))4．如图，在△ABC 中，∠A ＝48°，⊙O 截△ABC 的三边所在的弦长相等，则∠BOC 等于(B ) A ．96° B ．114° C ．132° D ．138°5．如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB ，CE ︵的度数为60°，则∠BOC ＝__60°__.,(第5题)) ,(第6题))6. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝27°，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ，则AD ︵的度数为__54°__．(第7题)7. 如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E.若∠COD ＝120°，OE ＝3 cm ，则OD ＝__6__ cm.(第8题)8. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，半径OB ，OC 分别交弦AC ，BD 于点M ，N.求证：∠OMN ＝∠ONM. 【解】 ∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵， ∴AC ︵＝BD ︵，OB ⊥AC ，OC ⊥BD. ∴AC ＝BD.∴OM ＝ON ，∴∠OMN ＝∠ONM.9．如图，已知AB ，AC 是⊙O 的两条弦，AO 平分∠BAC.求证：AB ︵＝AC ︵.(第9题)【解】连结OB ，OC. ∵AO 平分∠BAC ， ∴∠BAO ＝∠CAO. ∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ，∴∠AOB ＝180°－∠ABO －∠BAO ＝180°－2∠BAO . 同理，∠AOC ＝180°－2∠CAO ， ∴∠AOB ＝∠AOC ， ∴AB ︵＝AC ︵.(第10题)10．如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，过上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆(不包括A ，B 两点)上移动时，点P(B )A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分BD ︵D ．随点C 的移动而移动【解】延长CO 交⊙O 于点E ，连结OP. ∵CP 平分∠DCO ，∴∠DCP ＝∠PCO. ∵OC ＝OP ，∴∠PCO ＝∠OPC. ∴∠OPC ＝∠DCP ，∴OP ∥CD. ∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ， ∴P 始终是ADB ︵的中点． ∴点P 的位置不变．11．如图，半圆的直径AB 为2，C ，D 是半圆上的两点．若AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，动点P 在直径AB 上，则CP ＋PD 的最小值为__3__．,(第11题)) ,(第11题解))【解】如解图，将半圆补成整圆，作点D 关于直径AB 的对称点D ′，连结OC ，OD ，OD ′，CD ′，CD ′交AB 于点P ，此时CP ＋PD 最小，即为CD ′的长．作ON ⊥CD ′于点N.∵AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°， ∴∠DOB ＝36°，∠AOC ＝96°， ∴∠COD ＝48°，∠BOD ′＝36°，∴∠COD ′＝36°＋36°＋48°＝120°， ∴∠OCN ＝∠OD ′N ＝30°. ∵半圆的直径AB 为2， ∴ON ＝12OC ＝14AB ＝12.∴CN ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，∴CD ′＝ 3.∴CP ＋PD 的最小值为 3.(第12题)12. 如图，MN 为半圆O 的直径，半径OA ⊥MN ，D 为OA 的中点，过点D 作BC ∥MN ， (1)求证：四边形ABOC 为菱形； (2)求证：∠MNB ＝18∠BAC.【解】 (1)∵BC ∥MN ，OA ⊥MN ，∴OA ⊥BC ，∴BD ＝DC.又∵D 为OA 的中点，∴DA ＝DO. ∴四边形ABOC 为菱形．(2)∵OD ＝12OA ，OA ＝OB ，∴OD ＝12BO.∵∠BDO ＝90°，∴∠DBO ＝30°，∴∠BOD ＝60°，∴∠BOC ＝120°.∴∠BAC ＝∠BOC ＝120°. ∵∠MOB ＝90°－60°＝30°，OB ＝ON ， ∴∠MNB ＝∠OBN ＝15°， ∴∠MNB ＝18∠BAC .13．如图，AD ︵是以等边△ABC 的一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD ︵上任意一点．若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是15＋5_ 2.(第13题)【解】 ∵点P 在AD ︵上，B 是圆心，∴PB 的长是定值．又∵AC ，BC 的长也固定，∴只要AP 的长为最大值，四边形ACBP 的周长就最大．当点P 运动到点D 时，AP 最长．∵AD ︵是以等边△ABC 的一边AB 为半径的四分之一圆周， ∴∠DBA ＝90°，由勾股定理，得AD ＝AB 2＋BD 2＝5 2， ∴周长为5×3＋5 2＝15＋5 2.初中数学试卷。

浙教版数学九年级上册3.4 圆心角(二).docx

3.4 圆心角（二）1.已知下列命题：①若a ＞b ，则c －a ＜c －b ；②若a ＞0，则a 2＝a ；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的有(D )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第2题)2.如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA ，OB 分别交小圆于点C ，D.给出下列结论：①AB ︵＝CD ︵；②AB ＝CD ；③AB ︵的度数＝CD ︵的度数.其中正确的结论有(B )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3.已知内接于⊙O 的等边三角形ABC 的边长是23，则⊙O 的半径为(B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.如图，AB 是AB ︵所对的弦，AB 的中垂线CD 交AB ︵于点C ，交AB 于点D ，AD 的中垂线EF 交AB ︵于点E ，交AB 于点F ，DB 的中垂线GH 交AB ︵于点G ，交AB 于点H ，则下列结论中，不正确的是(C )A. AC ︵＝CB ︵B. EC ︵＝CG ︵C. AE ︵＝EC ︵D. EF ＝GH(第4题) (第5题)5.如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥C D.若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD ，OE ＝OF ，AB ︵＝CD ︵ .6.如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，则线段AB < 2AC (填“>”“<”或“＝”).(第6题)7.如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，延长BA 交⊙A 于点G .求证：GE ︵＝EF ︵.(第7题)【解】连结AF . ∵AB ＝AF ， ∴∠ABF ＝∠AF B.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥B C. ∴∠DAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF . ∴∠GAE ＝∠EAF .∴GE ︵＝EF ︵.8.如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，AC ︵＝CE ︵.求证：BD ＝CE .(第8题)【解】连结A C. ∵AC ︵＝CE ︵，∴AC ＝CE . ∵∠AOC ＝∠BOD ， ∴AC ＝B D.∴BD ＝CE .9.如图，在⊙O 中，AB 为直径，弦CD 交AB 于点P ，且OP ＝PC ，则AD ︵与CB ︵之间的关系为AD ︵＝3CB ︵.(第9题)【解】如解图，连结OC ，O D.(第9题解)∵OC ＝OD ，∴∠D ＝∠C. ∵OP ＝PC ，∴∠C ＝∠COP ， ∴∠D ＝∠C ＝∠COP .又∵∠AOD ＝∠DPO ＋∠D ，∠DPO ＝∠C ＋∠COP ， ∴∠AOD ＝∠C ＋∠COP ＋∠D ＝3∠COP ， ∴AD ︵＝3CB ︵.10.如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任取一点作弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，连结PA ，P B.求证：PA ＝P B.(第10题)【解】连结OP . ∵CO ＝OP ， ∴∠OCP ＝∠OP C. ∵CP 是∠DCO 的平分线，∴∠DCP ＝∠OCP .∴∠DCP ＝∠OP C.∴OP ∥C D. ∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ， ∴PA ︵＝PB ︵，∴PA ＝P B.11.如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点E ，OE 平分∠BE D. (1)求证：AB ＝C D.(2)若∠BED ＝60°，EO ＝2，求BE －AE 的值.(第11题)【解】 (1)过点O 作AB ，CD 的垂线，垂足分别为M ，N . ∵OE 平分∠BED ，且OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴OM ＝ON ，∴AB ＝C D. (2)∵OM ⊥AB ，∴AM ＝BM .∵∠BED ＝60°，∴∠BEO ＝12∠BED ＝30°.∴OM ＝12OE ＝1.∴EM ＝ 3.∴BE －AE ＝BM ＋EM －AE ＝AM ＋EM －AE ＝2EM ＝2 3.12.如图，半圆的直径AB 长为2，C ，D 是半圆上的两点，若AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，动点P 在直径AB 上，求CP ＋PD 的最小值.(第12题)【解】如解图，将半圆补成整圆，作点D 关于直径AB 的对称点D ′，连结CD ′，交AB 于点P ，则此时CP ＋PD 最小.连结PD ，OD ，OD ′，OC ，过点O 作ON ⊥CD ′于点N .(第12题解)∵AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°， ∴∠AOC ＝96°，∠DOB ＝36°， ∴∠COD ＝48°，∠BOD ′＝36°， ∴∠COD ′＝36°＋48°＋36°＝120°， ∴∠OCN ＝30°.∵半圆的直径AB 长为2， ∴ON ＝12OC ＝14AB ＝12，∴CN ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，∴CD ′＝2CN ＝ 3.∵CD ′＝PC ＋PD ′＝PC ＋PD ，∴PC ＋PD ＝ 3.初中数学试卷。

九年级数学上册第3章圆的基本性质 3.4 圆心角(2)练习 (新版)浙教版

3.4 圆心角(2)(见A 本27页)A 练就好基础基础达标1．已知内接于⊙O 的等边三角形ABC 的边长是23，则⊙O 的半径为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．下列说法中正确的是( C ) (1)相等的弦所对的弧相等；(2)同一圆中两条平行弦所夹的弧相等； (3)等弧所对的圆心角相等； (4)相等的圆心角所对的弧相等．A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(3)D ．(3)(4) 3．如图所示，AB ，CD 是圆O 的直径，AC ︵＝DE ︵，AD ︵的度数为140度，则AE ︵的度数是( A ) A ．100°B ．70°C ．75°D ．140°3题图第4题图4．如图所示，在△ABC 中，∠A ＝70°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC 等于( D )A ．140°B ．135°C ．130°D ．125°5．如图所示，在△ABC 中，∠BAC＝90°，以AB 为直径画圆，交BC 于点D.如果CD ＝BD ，则AD ︵等于( D )A ．60°B ．75°C ．80°D ．90°第5题图第6题图6．如图所示，在⊙O 中，AB ＝AC ，BC ︵的度数为80°，AC ︵的度数为__140°__． 7．有一个齿轮有20个齿，每两齿之间间隔相等，则相邻两齿间的圆心角为__18°__．第8题图8．如图所示，已知AB ，CD 是⊙O 的两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD.若∠AOB＝∠COD，则AB ＝__CD__，OE ＝__OF__，AB ︵＝__CD ︵__．第9题图9．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB ＝CD. 求证：AD ＝BC.证明：∵AB＝CD ，∴ AB ︵＝CD ︵，∴ AB ︵－BD ︵＝CD ︵－BD ︵，即 BC ︵＝AD ︵，∴AD ＝BC.第10题图10．如图所示，弦DC ，FE 的延长线交于⊙O 外一点P ，直线PAB 经过圆心O ，∠1＝∠2. 求证：(1)CD ＝EF ； (2) PC ＝PE.证明：(1)连结OC ，OE ，过O 点作OG⊥CD 于点G ，OH ⊥EF 于点H ， ∴∠OGP ＝∠OHE＝90°， ∴GC ＝12DC ，HE ＝12EF ，又∵∠1＝∠2， ∴△OPG≌△OPH.∴OG ＝OH.又OC ＝OE.∴△OGC≌△OHE， ∴GC ＝HE ，∴CD ＝EF.(2)∵GC＝HE ，又GP ＝HP ， ∴GP －GC ＝HP －HE ， ∴PC ＝PE.B 更上一层楼能力提升11．已知AB ︵，CD ︵是同圆中的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 与CD 的关系是( B ) A ．AB ＝2CD B ．AB ＜2CD C ．AB ＞2CDD ．不能确定12．如图所示，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN ︵的中点，点P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP ＋BP ．12题图13题图13．如图所示，AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ，BE 是弦，且DF ＝BE. 求证：∠D ＝ ∠B.第13题答图证明：如图，连结OE ，OF ， ∵DF ＝BE ，∴∠DOF ＝∠BOE. ∵OD ＝OB ＝OF ＝OE ， ∴△ODF ≌△OBE(SSS)， ∴∠D ＝∠B.第14题图14．如图所示，已知A ，B ，C 是半径为2的⊙O 上的三个点，其中点A 是BC ︵的中点，连结AB ，AC ，点D ，E 分别在弦AB ，AC 上，且满足AD ＝CE.(1)求证：OD ＝OE.(2)连结BC ，当BC ＝22时，求∠DOE 的度数．解：(1)证明：连结OA ，第14题答图∵点A 是BC ︵的中点，∴∠AOB ＝∠AOC， ∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠ABO ＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO. 又∵AD＝CE ，∴△AOD ≌△COE(SAS)， ∴OD ＝OE.(2)连结BC 交OA 于点F ， ∵点A 是BC ︵的中点，∴OA ⊥BC ，BF ＝12BC ＝12×22＝ 2.在Rt △BFO 中，OF ＝OB 2－BF 2＝2，∴BF ＝CF ，∴∠AOB ＝45°. ∵△AOD ≌△COE ， ∴∠AOD ＝∠COE. ∴∠BOD＝∠AOE.∴∠DOE ＝∠AOB＝45°. C 开拓新思路拓展创新第15题图15．如图所示，在扇形OAB 中，∠AOB ＝110°，半径OA ＝18，将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在AB ︵点D 处，折痕交OA 于点C ，则AD ︵的度数为__50°__． 16．(1)数学爱好者小森偶然阅读到这样一道探究题：一个圆内接六边形ABCDEF ，各边长度依次为 3，3，3，5，5，5，求六边形ABCDEF 的面积．小森利用“同圆中相等的弦所对的圆心角相等”这一数学原理，将六边形进行分割重组，得到图③.可以求出六边形ABCDEF 的面积等于2．第16题图(2)类比探究：一个圆内接八边形，各边长度依次为2，2，2，2，3，3，3，3. 请你仿照小森的思考方式，求出这个八边形的面积．解：(1)如图，∵六边形ABCDEF 为轴对称图形，每次绕圆心O 旋转120°都和原来的图形重合，第16题答图1∴△MNQ 为等边三角形，△MAF 、△NBC 和△QDE 都是等边三角形， ∴NQ ＝3＋5＋3＝11，∴六边形ABCDEF 的面积＝S △MNQ －3S △AMF ＝34×112－3×34×32 ＝4732故答案为4732.第16题答图2(2)如图，∵八边形ABCDEFGH 为轴对称图形，每次绕圆心O 旋转90°都和原来的图形重合，∴四边形PQMN 为正方形，△PAB 、△QCD、△MEF、△NHG 都是等腰直角三角形，∴PA ＝22AB ＝2，PN ＝2＋3＋2＝3＋22， ∴这个八边形的面积＝(3＋22)2－4×12×2×2＝9＋122＋8－4＝13＋12 2.。

3.4圆心角同步练习 2021-2022学年浙教版数学九年级上册

浙教版九年级上册圆 3.4圆心角同步练习1.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是（）A. AB=ADB. BC=CDC.D. ∠BCA=∠DCA2.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，的度数为α ，以点C 为圆心，BC 长为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则∠A 的度数为（）A. 45º－ αB. αC. 45º＋ αD. 25º＋ α3.已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°CBA O4.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( )A.100°B.80°C.50°D.40°C BAO5.如图，在⊙O 中，＝，∠A ＝40°，则∠B 的度数是（）A. 60°B. 40°C. 50°D. 70° 6.如图，已知点A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 的五等分点，则∠BAD 的度数是（）A. 36°B. 48°C. 72°D. 96° 7.如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O 中，P 是弧AD 上任意一点，则∠ABP+∠DCP 等于（） A ．90° B 。

45 ° C 。

60° D 。

30°OCABDP8.如图，△ABC 内接于⊙O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，若∠B=70°，∠C=50°，则∠ADB 的度数是（）A. 70°B. 80°C. 82°D. 85° 9.如下图，已知AB 是⊙O 的直径， = = ，∠BOC=40°，那么∠AOE 等于（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 120° 10.如图,AB 是⊙O 的直径, BC BD ,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.11.如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.DCBAOED CBAO12.如图，在⊙O 中，，若∠AOB ＝40°，则∠COD ＝________．13.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.DCB AO14.已知弦AB 把圆周分成1：5的两部分，则弦AB 所对的圆心角的度数为________度。

浙教版初中数学九年级上册《3.4 圆心角》同步练习卷

浙教新版九年级上学期《3.4 圆心角》同步练习卷一．选择题（共20小题）1．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°5．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25B．40C．50D．556．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°9．如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm11．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．6212．如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交于E，F两点，则∠EDF的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°13．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A．15B．20C．15+D．15+14．如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（）A．＜B．＝C．＜D．＝15．如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°16．如图，已知AB是⊙O的直径，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE ＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°17．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°18．如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18+6D．12＜P≤12+619．如图，在⊙O中，∠B＝37°，则劣弧的度数为（）A．106°B．126°C．74°D．53°20．半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为，则角α所对的弦长等于（）A．B．10C．8D．6二．填空题（共9小题）21．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE 的度数为．22．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝度．23．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是cm．24．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为cm．25．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝度．26．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝度．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于度．28．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝度．29．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE ＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是．三．解答题（共14小题）30．如图，在⊙O中，＝2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．31．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．32．如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF＝AD；（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）．33．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．34．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．35．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是°，∠B2的度数是°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．36．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．37．如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）．连接AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连接DE．若AB＝2．（1）求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC＝y，＝x（0＜x＜3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y．38．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．（1）求证：AC＝AE；（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．39．如图，，D、E分别是半径OA和OB的中点，CD与CE的大小有什么关系？为什么？40．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程．）（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．41．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．42．如图，AB是⊙O的弦，矩形ABCD的边CD与⊙O交于点E，F，AF和BE 相交于点G，连接AE，BF．（1）写出图中每一对全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．43．如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD＝BC，连接AC．（1）求证：△MAC是等腰三角形；（2）若AC为⊙O直径，求证：AC2＝2AM•AB．浙教新版九年级上学期《3.4 圆心角》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或2【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD＝×2×3＝2，如图②，BD＝×2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径的三等分点上，∴BD＝×2×3＝2，∴OD＝OB﹣BD＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴DE＝BD＝1，∴OE＝2，连接OC，∵CE＝＝，∴边CD＝＝；如图②，BD＝×2×3＝4，同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，连接OC，∵CE＝＝＝2，∴边CD＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，∴∠ABC＝34°，∵＝，∴2∠ABC＝∠COE＝68°，又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠OCE 的度数是解题关键．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO＝BO，AB∥DC，可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，故的度数是150°．故选：C．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．5．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25B．40C．50D．55【分析】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A＝65°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【解答】解：连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A＝65°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×65°＝50°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵＝150°，∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣50°﹣60°＝40°，则的度数为40°．故选：B．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．6．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可．【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，故选：A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故选：A．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB＝AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出∠B＝∠C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．【解答】解：∵在⊙O中，，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C；又∠A＝30°，∴∠B＝＝75°（三角形内角和定理）．故选：B．【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦推知△ABC是等腰三角形．10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB＝∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE＝AF＝3cm，根据勾股定理，得DE＝4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．故选：A．【点评】本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．11．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．62【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，根据平行线求出∠1＝∠2，推出弧DC＝弧AM＝62°，即可求出答案．【解答】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，∵AD∥OC，∴∠1＝∠2，∴弧AM＝弧DC＝62°，∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，故选：A．【点评】本题考查了平行线性质，圆周角定理的应用，关键是求出弧AM的度数．12．如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交于E，F两点，则∠EDF的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】先根据AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11求出、的度数，再根据其度数即可求出∠ACB及∠ABC的度数，由平行线的性质即可求出∠FED及∠EFD的度数，由三角形内角和定理即可求出∠EDF的度数．【解答】解：∵AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11，∴＝×360°＝120°，＝×360°＝110°，∴∠ACB＝×120°＝60°，∠ABC＝×110°＝55°，∵AC∥ED，AB∥DF，∴∠FED＝∠ACB＝60°，∠EFD＝∠ABC＝55°，∴∠EDF＝180°﹣60°﹣55°＝65°．故选：C．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及平行线的性质，能根据AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11求出∠ABC及∠ACB的度数是解答此题的关键．13．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A．15B．20C．15+D．15+【分析】因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可（因为其余三边长为定值5）．【解答】解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB 的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长为5，所以周长为5×3+5＝15+5．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使周长成为最大值．14．如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（）A．＜B．＝C．＜D．＝【分析】由图知，BC＞AD，根据大弦对大弧知，＜．【解答】解：A、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，则其所对的弧相等，因为AB＞AE，所以AB＞AD，故不正确；B、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，因为AB＞AE，所以AB＞AD，则可得＞，故不正确；C、弦AB＜AE+BE（三角形两边之和大于第三边），弦BC＝EF+BE+FC＞EF+BE＝AE+BE＞弦AB，所以＞，故正确；D、由图可看出其不相等，故错误．故选：C．【点评】本题利用了在同圆或等中大弦对大弧求解．15．如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°【分析】先运用了等腰三角形的性质求出∠N，再根据三角形的内角和是180°即可得．【解答】解：∵OM＝ON，∴∠N＝∠M＝50°．再根据三角形的内角和是180°，得：∠MON＝180°﹣50°×2＝80°．故选：D．【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．16．如图，已知AB是⊙O的直径，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE ＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】根据圆心角与弦的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．【解答】解：∵＝＝，∠BOC＝40°∴∠BOE＝3∠BOC＝120°∴∠AOE＝180﹣∠BOE＝60°故选：B．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系的掌握情况．17．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．【解答】解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∴∠BCD＝120°．故选：B．【点评】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．18．如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18+6D．12＜P≤12+6【分析】四边形ABCD的周长P就是四边形的四边的和，四边中AB，AD，CD 的长是BD长度确定，因而本题就是确定BC的范围，BC一定大于0，且小于或等于BE，只要求出BE的长就可以．【解答】解：∵△ABD是等边三角形∴AB+AD+CD＝18，得P＞18∵BC的最大值为当点C与E重合的时刻，BE＝∴P≤18+6∴p的取值范围是18＜P≤18+6．故选：C．【点评】本题解题的关键是找到临界点，将动态问题转化为普通的几何计算问题．19．如图，在⊙O中，∠B＝37°，则劣弧的度数为（）A．106°B．126°C．74°D．53°【分析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，∠B＝37°∴∠A＝∠B＝37°，∠O＝180°﹣2∠B＝106°．故选：A．【点评】本题利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解．20．半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为，则角α所对的弦长等于（）A．B．10C．8D．6【分析】先根据特殊角的三角函数值1求出α的度数，再根据等边三角形的判定定理及性质解答即可．【解答】解：∵cosα＝，∴α＝60°．又∵圆心角的两边为半径，一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，∴∠α所对的弦长等于6．故选：D．【点评】熟记特殊角的三角函数值和掌握等边三角形的判定是解题的关键．二．填空题（共9小题）21．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE 的度数为30°．【分析】想办法证明△AOC是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC．∵AB是直径，＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°．故答案为30°【点评】本题考查等弧所对的圆心角相等的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝60度．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠C＝20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝20°，∴∠OAB＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查的等腰三角形的性质的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．23．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是5cm．【分析】根据题意得到MN＝BC，当正方形纸片卷成一个圆柱时，EF卷成一个圆，线段卷成圆上一段弧，该段弧所对的圆心角为×360°，要求圆柱上M，N两点间的距离即求弦MN的长．【解答】解：根据题意得：EF＝AD＝BC，MN＝2EM＝EF，把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．所对的圆心角为：×360°＝120°，所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°＝5cm．故答案为：5．【点评】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．24．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为40cm．【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．【解答】解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，，解得，r＝40cm．故应填40．【点评】解决本题的关键是熟记圆周长的计算公式和弧长的计算公式，根据题意列出方程．25．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝75度．【分析】根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB ＝∠OBA＝45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC＝∠OCD ＝60°，根据圆周角的性质可证∠CDB＝∠CAB，而∠ODB＝∠OBD，所以∠CAB+∠OBD＝∠CDB+∠ODB＝∠ODC＝60°，再根据三角形的内角和定理可求α．【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝，CD＝1，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠ODC＝∠OCD＝60°，∵∠CDB＝∠CAB，∠ODB＝∠OBD，∴α＝180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD＝180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）＝180°﹣45°﹣60°＝75°．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角的性质，等边三角形的性质以及三角形的内角和定理．26．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝40度．【分析】首先由AD∥OC可以得到∠BOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO ＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．【解答】解：∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠DAO＝70°，又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°，∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．【点评】此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA＝OB，∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°；∵点C是弧AB的中点，即＝，∴∠BOC＝∠BOA＝40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．28．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝70度．【分析】先利用“在同圆中等弧所对的弦也相等”得到AB＝AC即△ABC是等腰三角形，则∠B可得．【解答】解：∵，∴AB＝AC，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．【点评】本题利用了三角形的内角和定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．29．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE ＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是①②④．【分析】先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC 的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出②、④．【解答】解：连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC＝＝67.5°，AD平分∠BAC，∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故②正确，∵∠ABE＝45°，∠EBC＝22.5°，故①正确，∵AE＝BE，∴＝，又AD平分∠BAC，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正确．∵∠EBC＝22.5°，BE⊥CE，∴BE＞2EC，∴AE＞2EC，故③错误．∵∠BEC＝90°，∴BC＞BE，又∵AE＝BE，∴BC＞AE故⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题利用了：①等腰三角形的性质；②圆周角定理；③三角形内角和定理．三．解答题（共14小题）30．如图，在⊙O中，＝2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．【分析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．【解答】证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴，AE＝2AD，∵，∴，∴AB＝AE，∴AB＝2AD．【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．31．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．【分析】连接OC，先根据＝得出∠AOC＝∠BOC，再由已知条件根据AAS 定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．【解答】证明：连接OC，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO＝∠CEO＝90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∵AO＝BO，∴AD＝BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．32．如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF＝AD；（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）．【分析】（1）连接OB、OF，得到等边△AOB、△AOF，据此并结合弦的性质，即可推理出AB＝AF＝AO＝OD，从而得到AB+AF＝AD；（2）由于AD是⊙O的直径，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，故点B与点F，点C与点E均关于AD对称，故分点P在不同的位置﹣﹣﹣在上、在上、在上三种情况讨论．【解答】解：（1）连接OB、OF．∵A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°，∴△AOB、△AOF是等边三角形．∴AB＝AF＝AO＝OD，∴AB+AF＝AD．（2）当P在上时，PB+PF＝PD；当P在上时，PB+PD＝PF；当P在上时，PD+PF＝PB．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，要注意题目中的隐含条件﹣﹣﹣半径相等及分类讨论思想的应用．33．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．34．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．【分析】（1）首先由AC＝CD得到弧AC与弧CD相等，然后得到∠ABC＝∠CBD，而OC＝OB，所以得到∠OCB＝∠OBC，接着得到∠OCB＝∠CBD，由此即可证明结论；（2）首先由BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形根据三角形的面积公式可以推出OC＝BD，而后利用（1）的结论可以证明四边形OBDC为平行四边形，再利用OC＝OB即可证明四边形OBDC为菱形．【解答】（1）证明：∵AC＝CD，∴弧AC与弧CD相等，∴∠ABC＝∠CBD，又∵OC＝OB（⊙O的半径），∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD；（2）解：∵OC∥BD，设平行线OC与BD间的距离为h，又S△OBC ＝OC×h，S△DBC＝BD×h，因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC＝S△DBC，∴OC＝BD，∴四边形OBDC为平行四边形，又∵OC＝OB，∴四边形OBDC为菱形．【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、圆周角定理和等弧对等弦等知识，有一定的难度．35．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．36．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．【分析】证CD和CE所在的三角形全等即可．【解答】证明：∵OA＝OB AD＝BE，∴OA﹣AD＝OB﹣BE，即OD＝OE．在△ODC和△OEC中，，∴△ODC≌△OEC（SAS）．∴CD＝CE．【点评】两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．37．如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）．连接AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连接DE．若AB＝2．（1）求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC＝y，＝x（0＜x＜3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y．【分析】（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，连OM，OB，可求出∠BOM的度数，∠C＝∠BOM．（2）根据圆内接四边形一外角等于它的内对角，可证明△CDE∽△CBA，两三角形相似对应线段成比例，同时运用（1）中∠C＝60°可得的值，能计算出DE的长．（3）根据直径所对的圆周角是直角，连接AE，在直角三角形中用三角函数可求出y与x之间的关系．【解答】解：（1）如图：连接OB、OM．则在Rt△OMB中，∵OB＝2，MB＝，∴OM＝1．∵OM＝，∴∠OBM＝30°．∴∠MOB＝60°．连接OA．则∠AOB＝120°．∴∠C＝∠AOB＝60°．（2）∵四边形ABED内接于⊙M，∴∠CBA+∠ADE＝180°，∵∠CDE+∠ADE＝180°，∴∠CDE＝∠CBA，在△CDE和△CBA中，∵∠CDE＝∠CBA，∠ECD＝∠ACB，∴△CDE∽△CBA，∴．连接BD，则∠BDC＝∠ADB＝90°．在Rt△BCD中，∵∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°．∴BC＝2DC．。