2013成都一诊文科数学试题及详解答案
四川省成都市高三数学第一次诊断考试试题 文(含解析)
2013年四川省成都市高考数学一诊模拟试卷（一）（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2013•成都一模）不等式的解集是（）A、（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）B、（﹣∞，﹣8]∪[﹣3，+∞）C、[﹣3，2]D、（﹣3，2]考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把2移到左边后通分，再把分式不等式转化为整式不等式，进而即可求出其解集．解答：解：∵不等式，∴，化为（x+3）（x+8）≥0，且x≠﹣3，解得x＞﹣3或x≤﹣8．∴原不等式的解集为{x|x≤﹣8或x＞﹣3}．故无答案．点评：正确把分式不等式转化为整式不等式是解题的关键．注意，若利用去分母的方法去解，则必须就x+3的正负讨论，否则可能会出错．2．（5分）（2005•天津）若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4C．﹣6 D．6考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．分析：化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式，让其实部为0，虚部不为0，可得结论．解答：解：复数=，它是纯虚数，则a=﹣6．故选C．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的分类，是基础题．3．（5分）（2013•甘肃三模）（文）公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列，则公比为（）A．1B．2C．3D．4考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：等差数列的第2、3、6项依次成等比数列，所以a32=a2•a6，设此等差数列的首项为a1，公差为d，通项即为a1+（n﹣1）d，得a2=a1+d，a3=a1+2d，a6=a1+5d，代入可得a1和d 的关系式，求出公比即可．解答：解：设此等差数列的首项为a1，公差为d，通项即为a1+（n﹣1）d，得a2=a1+d，a3=a1+2d，a6=a1+5d，又因为等差数列的第2、3、6项依次成等比数列，所以a32=a2•a6，，把a2，a3，a6代入可得2a1=﹣d，d=﹣2a1所以公比==把d=﹣2a1代入得公比为3．故选C．点评：考查学生会求等差数列通项公式的能力，会求等比数列公比的能力，以及利用等差、等比数列性质的能力．4．（5分）（2013•成都一模）已知平面向量，满足，与的夹角为，则“m=1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的充要条件，直接代入向量数量积公式易构造方程，解方程即可求出未知参数m的值，从而判断出正确选项．解答：解：∵平面向量，满足，与的夹角为，∴=1×2×=1，又若“”，∴=0，即1﹣m=0解得m=1，则“m=1”是“”的充要条件．故选C．点评：本题考查的知识点为平面向量的数量积运算，⊥⇔x1•x2+y1y2=0．即：两个向量若垂直，对应相乘和为0．5．（5分）（2013•成都一模）关于命题p：A∪∅=∅，命题q：A∪∅=A，则下列说法正确的是（）A．（￢p）∨q为假B．（￢p）∧（￢q）为真C．（￢p）∨（￢q）为假D．（￢p）∧q为真考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：利用集合知识，先判断出命题p：A∩∅=∅是真命题，命题q：A∪∅=A是真命题，再判断复合命题的真假．解答：解：∵命题p：A∩∅=∅是真命题，命题q：A∪∅=A是真命题，∴（￢p）∨q为真命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，（￢p）∨（￢q）为假命题，（￢p）∧q为假命题，故选C．点评：本题考查复合命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．[“命题p：A∩ϕ=ϕ，命题q：A∪ϕ=A”应该更正为：“命题p：A∩∅=∅，命题q：A∪∅=A”]6．（5分）（2005•江西）设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f（x）为（）A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，数小正周期为2πD．非周期函数考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：可把四个选项中的最小正周期代入f（x+T）=f（x）检验，即可得到答案．解答：解：先将周期最小的选项A和C的周期T=和2π代入f（x+）=﹣sin3x+|sin3x|≠f （x），f（x+2π）=﹣sin3x+|sin3x|≠f（x），故排除A和C；再检验（B）f（x+）=sinx+|sin3x|=f（x），成立，可推断函数为周期函数排除D．故选B点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．对于选择题可用逆向法，把选项中的值代入题设条件中逐一检验获得答案．有时也能收到事半功倍的效果．7．（5分）（2013•成都一模）下列类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则”；③“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”．其中类比结论正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：归纳推理．专题：证明题；探究型．分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．解答：解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；②在有理数集Q中，若，则（a﹣c）+（b﹣d）=0，易得：a=c，b=d．故②正确；③若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故③错误故3个结论中，有两个是正确的．故选C点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．8．（5分）（2013•成都一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用与平面AB1C1所的一个法向量的夹角，求出则BB1与平面AB1C1所成的角．解答：解：以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），B1（0，0，3），C1（0，2，3），=（﹣，﹣1，3），=（0，2，0），=（0，0，3）．设平面AB1C1所的一个法向量为=（x，y，z）则即，取z=1，则得=（﹣，0，1），∵cos＜，＞===，∴BB1与平面AB1C1所成的角的正弦值为，∴BB1与平面AB1C1所成的角为故选A．点评：本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．9．（5分）（2013•成都一模）设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，] B．[，]C．（，）D．[0，]考点：函数的值；元素与集合关系的判断．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：利用当 x0∈A时，f[f （x0）]∈A，列出不等式，解出 x0的取值范围．解答：解：∵0≤x0＜，∴f（x0）=x0 +∈[，1]⊆B，∴f[f（x0）]=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0）．∵f[f（x0）]∈A，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤．又∵0≤x0＜，∴＜x0＜．故选C．点评：本题考查求函数值的方法，以及不等式的解法，属于基础题．10．（5分）（2013•成都一模）定义在（﹣1，1）上的函数；当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，若，，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＞Q＞P B．R＞P＞Q C．P＞R＞Q D．Q＞P＞R考点：不等关系与不等式．专题：新定义．分析：在已知等式中取x=y=0，可求得f（0）=0，取﹣1＜x＜y＜1，能说明，所以说明，从而说明函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，再由已知等式把化为一个数的函数值，则三个数的大小即可比较．解答：解：取x=y=0，则f（0）﹣f（0）=f（0），所以，f（0）=0，设x＜y，则，所以所以f（x）＞f（y），所以函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，由，得：取y=，，则x=，所以，因为0＜，所以所以R＞P＞Q．故选B．点评：本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P化为一个数的函数值，是中等难度题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2013•成都一模）若x=log43，（2x﹣2﹣x）2= ．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：根据题目给出的x的值，首先化为以2为底数的对数，然后代入要求的式子，运用公式计算．解答：解：因为，所以=．故答案为．点评：本题考查了有理指数幂的化简求值，解答此题的关键是熟记公式，是基础题．12．（5分）（2013•成都一模）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i值为7 ．考点：循环结构．专题：计算题．分析：根据题意，该算法流程图是要我们求出等比数列{2n﹣1}的前n项和，并且找到使这个和大于100的最小正整数n的值，由此再结合等比数列的求和公式，不难得到本题的答案．解答：解：根据题意，列出如下表格该算法流程图的作用是计算1+21+22+…+2n﹣1的和，并且求出使这个和大于2012的最小n的值∵1+21+22+…+2n﹣1=2n﹣1，且26﹣1=63，27﹣1=127∴S=1+21+22+…+2n﹣1，使S＞100的最小正整数n的值为7．故答案为：7点评：本题以循环结构的算法流程图为载体，求满足条件的最小正整数n，着重考查了等比数列的求和公式和循环结构等知识，属于基础题．13．（5分）（2013•成都一模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给出以下四个结论：①AC1⊥MN；②AC1∥平面MNPQ；③AC1与PM相交；④NC1与PM异面．其中正确结论的序号是①③④．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：①要证A1C⊥MN，由于AD1∥MN，则只需证A1C⊥AD1，即只需证AD1⊥面A1CD即可；②由于A1C与MP交于一点，则A1C与平面MNPQ相交；③④判定空间中直线与直线之间的位置关系，要紧扣定义来完成．解答：解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴A1D⊥AD1，∵CD⊥面AA1D1D，AD1⊂面AA1D1D，∴CD⊥AD1，∴AD1⊥面A1CD，∴A1C⊥AD1∵M，N分别是AA1，A1D1的中点，∴AD1∥MN，即A1C⊥MN，故①正确；由于M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，则A1C与PM相交，故②不正确，③正确；∵N∉面ACC1A1，而M，P，C∈面ACC1A1，∴NC与PM异面，故④正确；故答案为：①③④．点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，我们可以根据空间几何中的定义，定理及常用结论对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结果．14．（5分）（2013•成都一模）已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|，则其最大值为 2 ．考点：带绝对值的函数．专题：不等式的解法及应用．分析：通过去掉绝对值符号得出函数解析式，进而画出图象，即可得出最大值．解答：解：∵函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=，根据解析式画出图象：由图象可以看出：当且仅当x=0时，函数f（x）取得最大值2．故答案是2．点评：正确去掉绝对值符号并画出图象是解题的关键．15．（5分）（2013•成都一模）设两个向量=（λ+2，λ2﹣cox2α）和=（m，+sinα），其中λ，m，α为实数．若=2，则的取值范围是[﹣6，1] ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：根据向量相等的概念，向量相等，即向量的横纵坐标相等，可哪λ用m表示，所以可化简为2﹣，所以只需求的范围即可，再利用向量相等得到的关系式，把m用α的三角函数表示，根据三角函数的有界性，求出m的范围，就可得到的范围．解答：解：∵=2，∴λ+2=2m，①λ2﹣cox2α=m+2sinα．②∴λ=2m﹣2代入②得，4m2﹣9m+4=cox2α+2sinα=1﹣sin2α+2sinα=2﹣（sinα﹣1）2∵﹣1≤sinα≤1，，∴0≤（sinα﹣1）2≤4，﹣4≤﹣（sinα﹣1）2≤0∴﹣2≤2﹣（sinα﹣1）2≤2∴﹣2≤4m2﹣9m+4≤2分别解4m2﹣9m+4≥﹣2，与4m2﹣9m+4≤2，得，≤m≤2∴≤≤4==2﹣∴﹣6≤2﹣≤1∴的取值范围是[﹣6，1]故答案为[﹣6，1]点评：本题考查了向量相等的坐标表示，以及利用三角函数有界性求范围．属于综合题．三、解答题（第16-第19题每小题12分，20题13分，21题14分．共75分）16．（12分）（2013•成都一模）为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取6个工厂进行调查．已知A、B、C区中分别有18，27，9个工厂．（1）求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的6个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）先计算A，B，C区中工厂数的比例，再根据比例计算各区应抽取的工厂数．（2）本题为古典概型，先将各区所抽取的工厂用字母表达，分别计算从抽取的6个工厂中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可．解答：解：（1）工厂总数为18+27+9=54，样本容量与总体中的个体数的比为=，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，1．…（5分）（2）设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1为在C区中抽得的1个工厂．在这6个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区（记为事件X）的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1）共9种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P（X）=．…（11分）答：（1）从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，1．（2）这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为．…（12分）点评：本题主要考查分层抽样、古典概型的基本运算．属于基础知识、基本运算的考查．17．（12分）（2013•成都一模）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=•．（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+c=b，求函数f（B）的取值范围．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）=1，得出sin（+）的值，最后将所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin（+）的值代入即可求出值；（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosA中，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出B的范围，得出+的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即为f（B）的范围．解答：解：（1）∵=（sin，1），=（cos，cos2），∴f（x）=•=sin cos+cos2=sin+cos+=sin（+）+，又f（x）=1，∴sin（+）=，（4分）∴cos（x+）=cos2（+）=1﹣2sin2（+）=；（6分）（2）∵cosC=，acosC+c=b，∴a•+c=b，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=，（10分）又∵0＜B＜，∴＜+＜，∴f（B）∈（1，）．（12分）点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2013•成都一模）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点（1）求证：GN⊥AC；（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC．并给出证明．考点：直线与平面平行的判定；简单空间图形的三视图．专题：计算题；证明题．分析：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，则（1）连接DB，我们易得FD⊥AD，FD⊥CD，由线面垂直的判定定理，可得FD⊥面ABCD，进而得到AC⊥面FDN，由线面垂直的定义，即可得到GN⊥AC；（2）由图分析得，点P与点A重合时，GP∥面FMC，取DC中点S，连接AS、GS、GA 由三角形中位线宣，我们易证明出面GSA∥面FMC，根据面面平行的性质，我们易得GA∥面FMC，即P与A重合．解答：证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC （1）连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN又FD⊥AD，FD⊥CD，∴FD⊥面ABCD∴FD⊥AC∴AC⊥面FDN，GN⊂面FDN∴GN⊥AC（2）点P与点A重合时，GP∥面FMC证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA∵G是DF的中点，∴GS∥FC，AS∥CM∴面GSA∥面FMCGA⊂面GSA∴GA∥面FMC即GP∥面FMC点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，简单空间图形的三视图，其中根据三视图，判断出该几何体为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，是解答本题的关键．19．（12分）（2013•长宁区一模）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额﹣总的成本）考点：基本不等式在最值问题中的应用；根据实际问题选择函数类型．专题：应用题．分析：（1）根据每件产品的成本费P（x）等于三部分成本和，建立函数关系，再利用基本不等式求出最值即可；（2）设总利润为y元，根据总利润=总销售额﹣总的成本求出总利润函数，利用二次函数的性质求出取最值时，x的值即可．解答：解：（Ⅰ）根据某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成，①职工工资固定支出12500元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件0.05x元，可得由基本不等式得当且仅当，即x=500时，等号成立∴的最小值为90元．∴每件产品的最低成本费为90元（Ⅱ）设总利润为y元，∵每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x∴总销售额=xQ（x）=170x﹣0.05x2，则y=xQ（x）﹣xP（x）=﹣0.1x2+130x﹣12500=﹣0.1（x﹣650）2+29750当x=650时，y max=29750答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及二次函数的性质，同时考查了建模的能力，属于中档题20．（13分）（2013•成都一模）已知一非零向量列{a n}满足：a1=（1，1），a n=（x n，y n）=（1）证明：{|a n|}是等比数列；（2）设θn=＜a n﹣1，a n＞（n≥2），b n=2nθn﹣1，S n=b1+b2+…+b n，求S n；（3）设c n=|a n|log2|a n|，问数列{c n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．考数列与函数的综合；数列的函数特性；等比关系的确定．点：专综合题；压轴题．题分析：（1）先利用向量模的计算公式得出的表达式，发现得出=利用等比数列定义判定是等比数列．（2）根据向量夹角公式可以求出θn =，b n=2nθn﹣1=．分组后结合等差数列求和公式计算．（3）由上可得出c n =•，可利用作商法研究数列{c n}的单调性，确定最小项存在与否．解答：解：（l ）证明：===（n≥2）又=∴数列是以为首项，公比为的等比数列．…（4分）（2）∵===2∴cosθn ==，∴θn =，∴b n=2nθn﹣1=．Sn=b1+b2+…+b n ==…（8分）（3）假设存在最小项，不防设为cn ，∵==，∴c n=|a n|log2|a n |=•，由c n≤c n+1得≤即（2﹣n）≤1﹣n ，∴（﹣1）n≥2﹣1．∴n≥=3+，∵n为正整数，∴n≥5．由c n≤c n﹣1得n≤4+，n≤5．，∴n=5故存在最小项，最小项为c5=…（12分）点评本题考查数列的函数性质，等比数列的判定，数列求和，向量数量积、夹角的计算，是数列与不等式的综合．所涉及的知识、方法均为高中学段基本要求．21．（14分）（2013•牡丹江一模）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；（III）求导：g'（x）=lnx+1﹣a解g'（x）=0，得x=e a﹣1，得出在区间（0，e a﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当e a﹣1≤1，当1＜e a﹣1＜e，当e a﹣1≥e，从而得出g（x）的最小值．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）由f'（x）=0得，…（3分）所以，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）所以，是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）（Ⅱ）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，…（6分）切线的斜率为lnx0+1，所以，，…（7分）解得x0=1，y0=0，…（8分）所以直线l的方程为x﹣y﹣1=0．…（9分）（Ⅲ）g（x）=xlnx﹣a（x﹣1），则g'（x）=lnx+1﹣a，…（10分）解g'（x）=0，得x=e a﹣1，所以，在区间（0，e a﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）当e a﹣1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）=0．…（12分）当1＜e a﹣1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1．…（13分）当e a﹣1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最小值为g（e）=a+e﹣ae．…（14分）综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a﹣e a﹣1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e﹣ae．点评：本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题 (文科) word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}-1.【答案】B 【解析】本题考查用列举法表示的集合的交运算．∵A ＝{1,2,3}，B ＝{－2,2}，∴A ∩B ＝{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}．选B. 【易错点】看清题！求交集不是求并集！ 【难易度评价】★送分题2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台答案 D解析 根据三视图可知，此几何体是圆台，选D.3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，由图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D 答案 B解析 表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B.4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉答案 C解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选C.5．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1 答案 D解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，由点到直线的距离公式得F (2,0)到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝22＝1.选D.6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 由图象知f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，又T ＝2πω，ω>0，∴ω＝2.由于f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的一个最高点为⎝⎛⎭⎫5π12，2，故有2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .即φ＝2k π－π3，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，选A.7．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的概率分布直方图是( )答案 A解析 由于频率分布直方图的组距为5，去掉C 、D ，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B ，应选A.8．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16答案 C解析 画出可行域如图阴影部分(包括边界)易解得A (4,4)，B (8,0)，C (0,2)．对目标函数令z ＝0作出直线l 0，上下平移易知过点A (4,4)，z 最大＝16，过点B (8,0)，z 最小＝－8，即a ＝16，b ＝－8， ∴a －b ＝24.选C.9．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bca，把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1，而⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.选C.10．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[1,1＋e]C ．[e,1＋e]D ．[0,1] 答案 A解析 由于f (x )＝e x ＋x －a 在其定义域上单调递增，且y ≥0，∴y ＝f (x )存在反函数y ＝f －1(x )，又存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b ，则f －1[f (f (b ))]＝f －1(b )，即f (b )＝f －1(b )，∴y ＝f (x )与y ＝f －1(x )的交点在直线y ＝x 上，所以e x ＋x －a ＝x 在[0,1]上有解．由e x ＋x －a ＝x 得a ＝e x ＋x －x 2，当x ∈(0,1)时，a ′＝e x －2x ＋1>e x －2＋1>0，∴a ＝e x ＋x －x 2在[0,1]上单调递增，∴当x ＝0时，a 最小＝e 0＝1，当x ＝1时，a 最大＝e ，故a 的取值范围是[1，e]．选A.第二卷二、填空题11．lg 5＋lg 20的值是________． 答案 1解析 lg 5＋lg 20＝lg(5·25)＝lg 10＝1.12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 由于ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.13．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 答案 36解析 ∵x >0，a >0，∴f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x (x >0)即x ＝a2时f (x )取得最小值，由题意得a2＝3，∴a ＝36.14．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 答案 3解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 15．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析 直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2(x －1)y －5＝－(x －1)得M (2,4)．三、解答题16．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．解 设该数列的公比为q .由已知，可得 a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －12.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B ＝sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.又0<A <π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有 a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.18．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表(部分)当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．解 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．19．如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1； (2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A1QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC . 由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过D 作DE ⊥AC 于E ，因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交，所以DE ⊥平面AA 1C 1C .由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝32AD ＝32，又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以VA 1QC 1D ＝VDA 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36.故三棱锥A 1QC 1D 的体积是36.20．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，请将n 表示为m 的函数．解 (1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4中，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*) 由Δ＝(－8k )2－4(1＋k )2×12>0，得k 2>3.所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M 、N 在直线l 上，可设点M 、N 的坐标分别是(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 22， 又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2.由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，得2(1＋k 2)m 2＝1(1＋k 2)x 21＋1(1＋k 2)x 22， 即2m 2＝1x 21＋1x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 21x 22. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36.由m 2＝365k 2－3及k 2>3，可知0<m 2<3，即m ∈(－3，0)∪(0，3)．根据题意，点Q 在圆C 内，则n >0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805.于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3))．21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x <0，ln x ，x >0，其中a 是实数，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，证明：x 2－x 1≥1； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．(1)解 函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)证明 由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)． 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时， 有f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，当x <0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2， 因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2<0,2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－(2x 1＋2)](2x 2＋2)＝1.(当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立)所以，函数f (x )的图象在点A 、B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1. (3)解 当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)， 故x 1<0<x 2.当x 1<0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a .当x 2>0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2， ①ln x 2－1＝－x 21＋a ②由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t <2，且a ＝14t 2－t －ln t .设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t <2)则h ′(t )＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t<0，所以h (t )(0<t <2)为减函数，则h (t )>h (2)＝－ln 2－1，所以a >－ln 2－1. 而当t ∈(0,2)且t 趋近于0时，h (t )无限增大， 所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)，故当函数f (x )的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围为(－ln 2－1，＋∞)．。
成都市高2013级第一次诊断考试数学文科及答案
成都市高2013级第一次诊断性考试数学试题(文科)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，{|22}B x x =-<<，则A B = （A ）{|12}x x -≤≤ （B ）{|12}x x -≤< （C ）{|12}x x -<< （D ）{|21}x x -<≤ 2．在ABC ∆中，“4A π=”是“cos A = （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为 （A ）3:1 （B ）2:1 （C ）1:1 （D ）1:24．设147()9a -=，159()7b =，27log 9c =，则a , b , c 的大小顺序是（A ）b a c << （B ）c a b <<（C ）c b a << （D ）b c a <<5．已知n m ,为空间中两条不同的直线，βα,为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（A ）若βα//,//m m ，则βα//（B ）若,m m n α⊥⊥，则//n α（C ）若n m m //,//α，则α//n （D ）若βα//,m m ⊥，则βα⊥6．已知实数,x y 满足402020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2zy x =-的最大值是（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）6 7．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于正视图侧视图俯视图50，则输入的整数k 的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）78．已知菱形A B C D 边长为2，3B π∠=，点P 满足A P A B λ= ，λ∈R ．若3BD CP ⋅=-，则λ的值为（A ）12 （B ）12- （C ）13 （D ） 13- 9．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若E 上存在点P 使12F F P ∆为等腰三角形，且其顶角为23π，则22a b的值是（A ）43 （B）3 （C ）34 （D）210．已知函数232log (2),0()33,x x k f x x x k x a-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩ .若存在实数k 使得函数()f x 的值域为[1,1]-，则实数a 的取值范围是（A）3[,12+ （B）[2,1 （C ）[1,3] （D ） [2,3]第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．设复数z 满足i (32i)(1i)z -=+-（其中i 为虚数单位），则z = ． 12．已知函数3()sin 1f x x x -=++.若()3f a =，则()f a -= ．13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙.则x >甲x 乙的概率是 ．14. 已知圆422=+y x ，过点(0,1)P 的直线l 交该圆于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最大值是 ．15．某房地产公司要在一块矩形宽阔地面（如图）上开发物业 ，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线2413y x =-的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M ，N ．则当能开发的面积达到最大时，OM 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且212()5n n n a a a +++=． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若2510a a =，求数列{}3nna 的前n 项和n S ． 17．（本小题满分12分）有编号为,,,A A A 的9道题，其难度系数如下表：（Ⅰ）从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率； （Ⅱ）从难题中随机抽取2道，求这两道题目难度系数相等的概率． 18．（本小题满分12分）已知函数2251()cos cos sin 424f x x x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合；（Ⅱ）设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3cos 5B =，1()4f C =-，求sin A 的值．19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面A B C D ，且FD =（Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=︒，求几何体EFABCD 的体积． 20．（本小题满分13分）已知椭圆22:132x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于,A B 的任意一点.（Ⅰ）求直线PA 与PB 的斜率之积；（Ⅱ）过点(Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点.证明：以MN 为直径的圆恒过点A .21．（本小题满分14分）已知函数21()(1)ln ()2f x ax a x x a =-++-∈R ． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a =时，设函数()()(2)2g x xf x k x =-++.若函数()g x 在区间1[,)2+∞上有两个零点，求实数k 的取值范围．数学（文科）参考答案及评分意见第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．A ； 8．A ； 9．D ； 10．B ．第II 卷（非选择题，共100分）二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．15i +； 12．-1； 13．25； 14．3； 15．1． 三、解答题：(本大题共6小题，共75分) 16．解：（Ⅰ） 212()5,n n n a a a +++=22()5.n n n a a q a q ∴+= 由题意，得0n a ≠，∴22520.q q -+=2q ∴=或1.21q >，2.q ∴= ……………………6分 （Ⅱ）2510,a a = 42911().a q a q ∴=12a ∴=.∴112.n n n a a q -==∴2().33nn n a = ∴122[1()]2332.2313n n n n S +-==--……………………12分 17．解：（Ⅰ）记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件M ，9道题中难题有1A ，4A ，6A ，7A 四道.∴4().9P M =……………6分 （Ⅱ）记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件N ，则基本事件为：14{,}A A ，16{,}A A ，17{,}A A ，46{,}A A ，47{,}A A ，67{,}A A 共6个；难题中有且仅有6A ，7A 的难度系数相等. ∴1().6P N =……………12分 18．解：（Ⅰ）2251()cos cos sin 44f x x x x x =-5sin 231cos 242222x x -=--⨯13(cos 22)24x x =--+1).23x π=--……………………3分 要使()f x 取得最大值，须满足sin(2)3x π-取得最小值.∴22,32x k k ππ-=π-∈Z. ∴,12x k k π=π-∈Z.……………………5分 ∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12x x k k π=π-∈Z ……………………6分（Ⅱ）由题意，得sin(2)3C π-= (0,),2C π∈ 22(,).333C πππ∴-∈-3C π∴=. ………………9分(0,)2B π∈ ，4sin .5B ∴=sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+413525=⨯+=………………12分 19．解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接.HDEH ∴平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊆平面BCE ， 平面ABCD 平面BCE 于BC ，∴EH ⊥平面.ABCD又FD ⊥ 平面ABCD，FD =//.FD EH ∴ ∴四边形EHDF 为平行四边形.//.EF HD ∴EF ⊄ 平面ABCD ，HD ⊆平面,ABCD//EF ∴平面.ABCD ………6分（Ⅱ）连接,CF HA .由题意,得HA BC ⊥.HA ⊆平面,ABCD 平面ABCD ⊥平面BCE 于BC ，∴HA ⊥平面BCE .//FD EH ，EH ⊆平面BCE ，FD ⊄平面BCE ，//FD ∴平面.BCE同理，由//HB DA 可证，//DA 平面.BCEFD DA 于D ，FD ⊆平面ADF ，DA ⊆平面ADF ， ∴平面BCE //平面.ADFF ∴到平面BCE 的距离等于HA 的长. FD 为四棱锥F ABCD -的高, EFABCD F BCE F ABCD V V V --∴=+1133BCE ABCD S HA S FD =⨯+⨯1133=⨯3.= ……………………………12分20．解：（Ⅰ）(A B .设点(,)P x y (0)y ≠.则有22132x y +=，即22222(1)(3).33x y x =-=-223PA PBy k k x ∴⋅==-222(3)23.33x x -==-- ……………………4分（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ， MN 与x 轴不重合，∴设直线:)MN l x ty t =∈R .由22,2360x ty x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩得22144(23)0.525t y +--= 由题意,可知0∆>成立，且122122523.1442523y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩ ……（*）11221212()()(AM AN x y x y ty ty y y ⋅=+=+++2121248(1)().525t y y y y =++++ 将（*）代入上式，化简得2222214414448484823482525250.2325252325t t t AM AN t t --++⋅=+=-⨯+=++ ∴AM AN ⊥，即以MN 为直径的圆恒过点A ． ………………13分21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)()(0).ax x f x a x--'=-> ①当(0,1)a ∈时，11a >.由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈，1(,)x a∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞.②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞.③当(1,)a ∈+∞时，11a<.由()0f x '<，得1x >或1x a <.∴当1(0,)x a ∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,)+∞.综上，当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞；当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,)a ,(1,)+∞. ………6分（Ⅱ）2()ln (2)2g x x x x k x =--++在1[,)2x ∈+∞上有零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1[,)2x ∈+∞上有两个不相等的实数根.令函数2ln 21(),[,)22x x x h x x x -+=∈+∞+. 则2232ln 4()(2)x x x h x x +--'=+. 令函数21()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞. 则(21)(2)()x x p x x -+'=在1[,)2+∞上有()0p x '≥.故()p x 在1[,)2+∞上单调递增.(1)0p = ，∴当1[,1)2x ∈时，有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，有()0p x >即()0h x '>，∴()h x 单调递增.19ln 2()2105h =+ ，(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=>=>1()2h ， ∴k 的取值范围为9ln 2(1,].105+…………14分。
四川省成都市高考数学一诊试卷(文科)解析版
A. -l 或 0
B. 0 或 1
C. -l 或 2
D. l 或 2
3. 若
，则 tan2θ=（ ）A. Nhomakorabea-B.
C. -
D.
4. 已知命题 p：∀x∈R，2x-x2≥1，则￢p 为（ ）
A. ∀x∉R，2x-x2＜1
B.
C. ∀x∈R，2x-x2＜1
D.
5. 某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名同 学的得分都在[50，100]内，按得分分成 5 组：[50，60），[60，70），[70，80）， [80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的 中位数为（ ）
3.【答案】C
【解析】解：若
，则 tanθ= ，则 tan2θ=
=- ，
故选：C． 由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：命题为全称命题，则命题 p：∀x∈R，2x-x2≥1，则￢p 为
高考数学一诊试卷（文科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 若复数 z1 与 z2=-3-i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1=（
）
A. -3i
B. -3+i
C. 3+i
D. 3-i
2. 已知集合 A={-l，0，m），B={l，2}，若 A∪B={-l，0，1，2}，则实数 m 的值为（ ）
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四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）含答案解析
四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.57．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．39．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣312．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）【考点】补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，根据补集的定义写出∁U A．【解答】解：集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，则∁U A={x|x≤﹣1或x≥2}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故选：C．2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出即可．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是“若a+c＞b+c，则a＞b”．故选：C．3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=，b=2，所以c=3，所以双曲线的离心率为：e==．故选B．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α为锐角，且sinα=，可得cosα=，利用诱导公式化简cos（π+α）=﹣cosα可得答案．【解答】解：∵α为锐角，sinα=，∴cosα=，那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．故选A．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.5【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出m 值．【解答】解：∵=2.5，=2.1x﹣1.25，∴=4，∴m+3.2+4.8+7.5=16，解得m=0.5，故选：D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为3的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），∴函数f（x）是周期为3的函数，∵当x∈[0，）时，f（x）=﹣x3，∴f（）=f（﹣6）=f（﹣）=﹣f（）=，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．可得最长的棱长为PC．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．连接AC，则最长的棱长为PC===．故选：B．9．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一个对称中心．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin2x的图象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，令k=1，可得g（x）图象的一个对称中心为（，0），故选：D．10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：C．11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A12．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=的导数，求出斜率，由点斜式方程可得切线的方程，设切点为（m，n），求出y=e x+1﹣1的导数，可得切线的斜率，得到t的方程，解方程可得．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），即有y=，y′=•，在点M（，2）处的切线斜率为•=，可得切线方程为y﹣2=（x﹣），即y=x+1，设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=m•﹣1，n=e m+1﹣1，可得（ln﹣1）•﹣1=e﹣1，即有（ln﹣1）•=，可得=e2，即有t=4e2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：z==i+1的虚部为1．故答案为：1．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为8．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为4×2=8．故答案为8．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域如图，变形目标函数可得y=3x﹣z，平移直线y=3x可知当直线经过点A（2，0）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=3x﹣y的最大值为6，故答案为：616．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，故甲乙两校的合格率相同．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD ⊥平面PEF ， ∵=，即，∴在△PDH 中，RG ∥PD ，∴GR ⊥平面PEF ．解：（Ⅱ）正方形ABCD 边长为4， 由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S △PDF =2，S △DEF =S △DPE =4，=6，设三棱锥P ﹣DEF 的内切球半径为r ， 则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P ﹣DEF 的内切球的半径为．20．已知椭圆的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点． （I ）若直线l 1的倾斜角为，|AB |的值；（Ⅱ）设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l ．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB |的值；（Ⅱ）设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由A ，M ，N 三点共线，求得N点坐标，y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线BN⊥l．【解答】解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2﹣10x﹣15=0，则x1+x2=，x1x2=﹣，则丨AB丨=•=，|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1）=，==0，∴直线BN∥x轴，∴BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，推导出k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，由此利用导数秘技能求出k的最大整数值．【解答】解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，∴（x﹣1）k＜xlnx+x，∵x＞1，∴k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，∵x＞0，∴μ′（x）＞0，μ（x）在（1，+∞）上单调递增，而μ（3）=1﹣ln3＜0，μ（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使μ（x0）=0，即x0﹣2=lnx0，∴当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x0）＞0，此时函数g（x）单调递增，∴g（x）在x=x0处有极小值（也是最小值），∴==x0∈（3，4），又由k＜g（x）恒成立，即k＜g（x）min=x0，∴k的最大整数值为3．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．4月5日。
2013年四川高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B = （ ） A ．∅ B.{2} C.{2,2}- D.{2,1,2,3}- 【测量目标】集合的交集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求两集合交集. 【参考答案】B【试题解析】直接根据交集的概念求解,故选B.2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是 （ ） A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台第2题图【测量目标】平面图形的直观图与三视图. 【考查方式】利用三视图判断几何体. 【参考答案】D【试题解析】先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体.由俯视图是圆环可排除A,B,由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C ，故选D.3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是 （ ）A.AB.BC.CD.D 【测量目标】复数的基本概念及复平面.【考查方式】直接给出复数象限，判断共轭复数的象限. 【参考答案】B【试题解析】根据复数的几何表示可求得.表示复数z 的点A 在第二象限，由共轭复数的定义，设i(,),z a b a b =+∈R 且0,0,a b <>则z 的共轭复数为i,a b -其中0,0,a b <-<故应为B 点.4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则 （ ） A.:,2p x A x B ⌝∃∈∈ B.:,2p x A x B ⌝∃∉∈ C.:,2p x A x B ⌝∃∈∉ D.:,2p x A x B ⌝∀∉∉ 【测量目标】含有一个量词的命题的否定. 【考查方式】直接给出全称命题，求其否命题. 【参考答案】C【试题解析】由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得.命题p 是全称命题：(),,x M p x ∀∈则p ⌝是特称命题：(),,x M p x ∃∈⌝故选C. 5．抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是 （ ） A.23 B.2 C.3 D.1 【测量目标】点到直线的距离公式、抛物线的标准方程及其简单几何性质. 【考查方式】已知抛物线的标准方程与直线方程，运用点到直线距离公式求距离. 【参考答案】D【试题解析】由抛物线方程得焦点坐标，再由点到直线的距离公式求解. 抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0,F 则()22230 1.13d -⨯==+-故选D.6．函数ππ()2sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A.π2,3-B.π2,6-C.π4,6-D.π4,3【测量目标】正弦三角函数的图象与性质.【考查方式】给出正弦函数的部分图象，运用正弦函数性质、数形结合思想求正弦函数中的未知量. 【参考答案】A【试题解析】借助三角形的图象和性质求解. 115ππ,π.21212T T =-∴=（步骤1） 又()2π2π0,π, 2.T ωωωω=>∴=∴=（步骤2）由五点作图法可知当5π12x =时，π,2x ωϕ+=即5ππ2π,.1223ϕϕ⨯+=∴=-故选A.（步骤3）7．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是 （ ）A B C D 【测量目标】茎叶图、频率分布直方图的有关知识及应用. 【考查方式】由茎叶图列表（据茎叶图性质）求直方图. 【参考答案】A【试题解析】借助已知茎叶图得出各小组的频数，再有频率=频数样本容量求出各小组的频率，进一步求出频率组距并得出答案. 方法一：由题意知样本容量为20，组距为5.（步骤1） 列表如下：分组 频数 频率频率组距[)0,51 120 0.01 [)5,101 120 0.01 [)1015， 4 15 0.04 [)15,20 2 1100.02 [)20,254 15 0.04 [)25,303 320 0.03 [)30,353 320 0.03 []35,402 1100.02合计201观察各选项的频数分布直方图知选A.（步骤2）方法二：由茎叶图知落在区间[)0,5与[)5,10上的频数相等，故频率、频率组距也分别相等.比较四个选项知A 正确，故选A.8．若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩…………且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b-的值是 （ ） A ．48 B.30 C.24 D.16 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出变量约束条件，画图求目标函数的最优解. 【参考答案】C【试题解析】先将不等式24y x -…转化为24,x y --…画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数55x zy =+的最优解，进而求得,a b 的值.8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩ …………8,24,0,0,x y y x x y +⎧⎪--⎪∴⎨⎪⎪⎩…………由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由5,z y x =-得.55x zy =+（步骤1）由图知目标函数55x zy =+，过点()8,0A 时，m i n5=508=8z y x =-⨯--，即8.b =-（步骤2） 目标函数55x zy =+过点B (4，4)时，m a x 554416,z y x =-=⨯-=即16.a =()16824,a b ∴-=--=故选C.（步骤3）9．从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是 （ ） A ．24 B.12 C.22 D.32【测量目标】椭圆的标准方程、几何性质，椭圆与直线的位置关系.【考查方式】已知椭圆的标准方程形式，椭圆中特殊线段间的关系，根据椭圆的性质、离心率公式求解. 【参考答案】C【试题解析】设()0,,P c y -代入椭圆方程求得0,y 从而求得,op k 由OP AB k k =及ce a=可得离心率e .由题意设()0,,P c y -将()0,P c y -代入22221,x y a b+=得220221,y c a b +=则222422202221.c a c b y b b a a a ⎛⎫-=-=⋅= ⎪⎝⎭（步骤1） 20b y a ∴=或()2b y a =-舍去，222,,.OP b b P c k a ac ⎛⎫∴-∴=- ⎪⎝⎭（步骤2） ()()0,0,0,,.0AB b bA aB b k a a-∴==-- （步骤3）又2//,,.b b AB OP b c a ac∴-=-∴= 2222.22c c c e a b c c∴====+故选C.（步骤4）10．设函数()e x f x x a =+-（a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是 （ ） A.[1,e] B.[1,1e]+ C.[e,1e]+ D.[0,1] 【测量目标】函数的概念及其性质、导数的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x ，结合导数的相关性质求未知数的取值范围. 【参考答案】A 【试题解析】由()()f f b b =得()()()(),,,A b f b A f b b '都在()y f x =的图象上为突破口解决.若存在[0,1]b ∈使()()f f b b =成立，则()()()(),,,A b f b A f b b '都在()y f x =的图象上.又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，()()0,A AAAx x y y ''∴--…即()()()()0,f b b b f b --…()()()20,.f b b f b b ∴-∴=…（步骤1）()[]0,1f x x x ∴=∈在上有解， 即e [0,1]x x a x +-=在上有解，2e ,[0,1].x a x x x ∴=+-∈（步骤2）令()x ϕ2e ,[0,1]x x x x =+-∈，则()e 120,xx x ϕ'=+-…[0,1]x ∈，()x ϕ∴在[]0,1上单调递增，又()0ϕ=1, ()1e ϕ=, ()[]1,e ,x ϕ∴∈即[]1,e ,a ∈故选A.（步骤3）第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分． 11．lg 5lg 20+的值是____ _． 【测量目标】对数的化简与求值.【考查方式】直接给出两对数，借助对数运算性质求解. 【参考答案】1【试题解析】借助对数运算法则：()lg lg lg ,0M N MN M N +=>及()log 101a a a a =>≠且求解.12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=___ __ _．第12题图【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】直接根据平行四边形法则和向量数乘的性质求未知数λ. 【参考答案】2【试题解析】根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解.由向量加法的平行四边形法则，得.AB AD AC +=（步骤1）又O 是AC 的中点，∴2,AC AO =+2.AB AD AO ∴=又+.AB AD AO λ==2.λ∴（步骤2）13．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =___ ___． 【测量目标】基本不等式的应用.【考查方式】给出函数形式与函数取得最值的条件，运用基本不等式求解. 【参考答案】36【试题解析】借助基本不等式求最值的条件求解.()()42440,0,a a f x x x a x a x x=+=>> …当且仅当4,a x x =即2ax =时等号成立，此时()f x 取得最小值4a .（步骤1）又由已知3x =时，()min 4,f x a =3,2a∴=即36a =.(步骤2) 14．设sin 2sin αα=-，π(,π)2α∈，则tan 2α的值是________． 【测量目标】二倍角公式、诱导公式及特殊角的三角函数值.【考查方式】给出正弦函数的二倍角与单倍角关系、角的取值范围，利用三角函数计算的相关公式和性质求正切函数的二倍角. 【参考答案】3【试题解析】由sin 22sin cos ααα=及πsin 2sin ,,π2ααα⎛⎫=-∈⎪⎝⎭解出α，进而求得tan 2α的值.sin 2sin ,2sin cos sin .ααααα=-∴=- π(,π)2α∈，1sin 0,cos .2αα≠∴=-（步骤1）又 π(,π)2α∈，2π,3α∴=（步骤2） 4ππtan 2tan πtan πtan 3.333α⎛⎫∴==+== ⎪⎝⎭（步骤3）15．在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是【测量目标】直线方程及两相交直线的综合应用.【考查方式】已知坐标系中四点，运用等价转化思想和直线方程性质求坐标. 【参考答案】()2,4【试题解析】设平面上任意一点M ,因为,MA MC AC +…当且仅当,,A M C 共线时取等号，同理,MA MC BD +…当且仅当,,B M D 共线时取等号， 连接,AC BD 交于一点M ，若MA MC MB MD +++最小，则点M 为所求.（步骤1） 又622,31AC k -==-∴直线AC 的方程为()221,y x -=-即20.x y -=○1（步骤2） 又()511,17BDk --==--()51,BD y x ∴-=--直线的方程为即60.x y +-=○2（步骤3） 由○1○2得()20,2,2,4.60,4,x y x M x y y -==⎧⎧∴∴⎨⎨+-==⎩⎩（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分) 在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和． 【测量目标】等比数列的通项公式与前n 项和公式.【考查方式】给出等比数列各项之间的关系，运用等比数列通项公式、前n 项和公式、等差中项公式求解.【试题解析】由已知列出两个含1a 和q 的方程并求解，再借助等比数列求和公式得n S 解：设{}n a 的公比为q ．由已知可得211=-a q a ，211134q a a q a +=，所以2)1(1=-q a ，0342=+-q q ，解得 3q = 或1q =， 由于2)1(1=-q a .因此1=q 不合题意，应舍去，（步骤1） 故公比3=q ，首项11=a ．（步骤2）所以，数列的前n 项和213-=n n S ．（步骤3）17．(本小题满分12分) 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C ---+=-．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA 在BC方向上的投影．【测量目标】三角恒等变换，正、余弦定理，三角函数及其诱导公式等.【考查方式】已知三角形的内角正余弦关系（1）根据三角和内角定理、两角和的余弦公式求解.（2）借助向量投影公式求解.【试题解析】(1)由三角形内角和定理得π,A C B +=-即()sin sin ,A C B +=然后利用两角和的余弦公式求得cos .A （2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解.解：（Ⅰ）由3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C ---+=-得 53sin )sin(cos )cos(-=---B B A B B A ，（步骤1） 则 53)cos(-=+-B B A ，即 53cos -=A （步骤2）又0πA <<，则 54sin =A （步骤3）． （Ⅱ）由正弦定理，有BbA a sin sin =，所以22sin sin ==a A b B ，（步骤4） 由题知b a >，则 B A >，故π4B =．（步骤5） 根据余弦定理，有 )53(525)24(222-⨯⨯-+=c c ， 解得 1=c 或 7-=c （负值舍去），（步骤6）向量BA 在BC方向上的投影为=B BA cos 22．（步骤7） 18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分） 运行次数n输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数301461021001027376697乙的频数统计表（部分） 运行次数n输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数301211721001051696353当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．【测量目标】算法与程序框图，古典概型的计算.【考查方式】（1）直接利用程序框图和古典概性求概率.（2）运用古典概型频率的运算，再比较可能性.【试题解析】(1)借助程序框图及古典概型概率公式求解.（2）利用已知条件中概率统计表得出各小组频数，利用频率的计算公式得频率，再与（1）的结论比较得出结论.解：（Ⅰ）变量x 是在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时，输出y 的值为1，故211=P ；（步骤1）当x 从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时，输出y 的值为2，故312=P ；（步骤2） 当x 从24,18,12,6这4个数中产生时，输出y 的值为3，故613=P ．（步骤3） 所以输出y 的值为1的概率为21，输出y 的值为2的概率为31，输出y 的值为3的概率为61．（步骤4） （Ⅱ）当2100n =时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率如下，比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大．（步骤5） 19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，122AB AC AA ===，120BAC ∠= ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥11A QC D -的体积．（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）第19题图【测量目标】线面平行与垂直、棱锥的体积等.【考查方式】已知三棱柱和三棱柱中线段的关系.（1）由线面、线线平行，线面、线线垂直证明.（2）利用三棱柱的等价转化方法求体积.【试题解析】（1）只需在平面ABC 内过点P 作//,l BC 由线面平行、垂直的相关知识得证.（2）借助等面积转换法求解.（Ⅰ）如图，在平面ABC 内，过点P 作直线BC l //，因为l 在平面BC A 1外，BC 在平面BC A 1 内，由直线与平面平行的判定定理可知，//l 平面1A BC ．（步骤1） 由已知，AC AB =，D 是BC 中点，所以BC AD ⊥，则直线AD l ⊥，（步骤2） 又因为1AA ⊥底面ABC ，所以l AA ⊥1，（步骤3） 又因为AD ，1AA 在平面11A ADD 内，且AD 与1AA 相交， 所以直线⊥l 平面11A ADD （步骤4）．（Ⅱ）过D 作AC DE ⊥于E ，因为1AA ⊥平面ABC ，所以DE AA ⊥1，（步骤5）输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率甲 2100102721003762100697乙2100105121006962100353因为AC ，1AA 在平面C C AA 11内，且AC 与1AA 相交，所以⊥DE 平面C C AA 11，（步骤6） 由2==AC AB ，∠BAC ︒=120，有1=AD ，∠DAC ︒=60， 所以在△ACD 中，2323==AD DE ，（步骤7） 又1111112AQC S AC AA == △，所以111111113313326A QC D D A QC A QC V V DE S --==== 因此三棱锥11A QC D -的体积为63．（步骤8） 20．(本小题满分13分)已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点．直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+．请将n 表示为m 的函数．【测量目标】直线与圆的位置关系、一元二次不等式、函数的概念.【考查方式】已知圆的标准方程、含未知数的直线方程（1）运用数形结合思想，图形相交等价于0∆>求根.求k 的范围.（2）利用方程根与系数的关系、点与直线的位置关系求解. 【试题解析】（1）利用直线与圆相交等价于直线方程与圆方程联立所得一元二次方程的0∆>求解.（2）利用点,M N 在直线y kx =上，设点,M N 的已知条件，再利用一元二次方程根与系数的关系及点Q 坐标适合直线方程y kx =求解.解：（Ⅰ）将x k y =代入22(4)4x y +-=得0128)1(22=+-+x k x k ，（*）（步骤1） 由012)1(4)8(22>⨯+--=∆k k 得 32>k ．所以k 的取值范围是),3()3,(+∞--∞ .（步骤2）（Ⅱ）因为,M N 在直线l 上，可设点,M N 的坐标分别为),(11kx x ，),(22kx x ，则2122)1(x k OM +=，2222)1(x k ON +=，（步骤3）又22222)1(m k n m OQ +=+=， 由222112ONOMOQ+=得，22221222)1(1)1(1)1(2x k x k m k +++=+，所以222121221222122)(112x x x x x x x x m -+=+=（步骤4） 由（*）知 22118k k x x +=+，221112k x x +=， 所以 353622-=k m ，（步骤5）因为点Q 在直线l 上，所以mnk =，代入353622-=k m 可得363522=-m n ，（步骤6）由353622-=k m 及32>k 得 302<<m ，即 )3,0()0,3( -∈m ．（步骤7）依题意，点Q 在圆C 内，则0>n ，所以 518015533622+=+=m m n ， 于是，n 与m 的函数关系为 5180152+=m n （)3,0()0,3( -∈m ）.（步骤8）21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <． （Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，证明：211x x -…； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．【测量目标】基本函数的性质、导数的应用、基本不等式、直线的位置关系等相关知识. 【考查方式】（1）运用数形结合思想直接求函数的单调区间.（2）利用基本不等式和导数的几何意义求解.（3）由两直线的位置关系，导数和单调性的关系、分类讨论思想求解. 【试题解析】(1)直接由二次函数、对数函数的图象求解.（2）由导数的几何意义知()()121,f x f x ''=- 并借助基本不等式得证.(3)两直线重合的充要条件是两直线方程系数成比例，求a 时需先分离出a ，再进一步利用导数求函数值域.解：（Ⅰ）函数()f x 的单调减区间为)1,(--∞，单调增区间为[)1,0-，),0(+∞．（步骤1） （Ⅱ）由导数的几何意义知，点A 处的切线斜率为)(1x f '，点B 处的切线斜率为)(2x f '， 故当点,A B 处的切线互相垂直时，有)(1x f '2()1f x '=-，（步骤2） 因为2120,,x x x <<所以120.x x << 当0x <时，22)(+=x x f因为021<<x x ，所以 12(22)(22)1x x ++=-，所以0221<+x ，0222>+x ，（步骤3） 因此2112121[(22)(22)](22)(22)12x x x x x x -=-+++-++=…，（步骤4） （当且仅当122)22(21=+=+-x x ，即231-=x 且212-=x 时等号成立） 所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时有211x x -…．（步骤5） （Ⅲ）当021<<x x 或012>>x x 时，)(1x f ')(2x f '≠，故210x x <<．（步骤6） 当01<x 时，()f x 的图象在点))(,(11x f x 处的切线方程为21111(2)(22)()y x x a x x x -++=+- 即 a x x x y +-+=211)22(．（步骤7） 当02>x 时，()f x 的图象在点))(,(22x f x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=- 即 221ln 1y x x x =+- ．（步骤8） 两切线重合的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=②①a x x x x 212121ln 221，由①及210x x <<知，2102<<x ，（步骤9） 由①、②得 1)21(411ln 1)121(ln 222222--+-=--+=x x x x a ，（步骤10） 令21x t =，则20<<t ，且t t t a ln 412--= 设)20(ln 41)(2<<--=t t t t t h ，则023)1(1121)(2<--=--='t t t t t h （步骤11）所以)20()(<<t t h 为减函数，则2ln 1)2()(--=>h t h ， 所以2ln 1-->a ，（步骤12）而当)2,0(∈t 且t 趋向于0时，)(t h 无限增大， 所以a 的取值范围是),2ln 1(+∞--．故当函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合时，a 的取值范围是),2ln 1(+∞--．（步骤13）。
2013年高考文科数学四川卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，文1)设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－2,2}．则A ∩B ＝( )．A ．∅B ．{2}C ．{－2,2}D ．{－2,1,2,3}2．(2013四川，文2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )．A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台3．(2013四川，文3)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．A ．AB ．BC ．CD ．D4．(2013四川，文4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B5．(2013四川，文5)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x＝0的距离是( )．A．．2 C．1 6．(2013四川，文6)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π37．(2013四川，文7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )．8．(2013四川，文8)若变量x ，y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )．A ．48B ．30C ．24D ．169．(2013四川，文9)从椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )．A．4 B ．12 C．2 D．210．(2013四川，文10)设函数f (x )a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是( )．A ．[1，e]B ．[1,1＋e]C ．[e,1＋e]D ．[0,1]第二部分(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，文11)__________．12．(2013四川，文12)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD交于点O ，AB ＋AD＝λAO .则λ＝__________.13．(2013四川，文13)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.14．(2013四川，文14)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________．15．(2013四川，文15)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，文16)(本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．17．(2013四川，文17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cosB －sin(A －B )sin(A ＋C )＝35-.(1)求sin A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC方向上的投影．18．(2013四川，文18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)．(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n ＝2 100的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．19．(2013四川，文19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1； (2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)20．(2013四川，文20)(本小题满分13分)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且222211||||||OQ OM ON =+，请将n 表示为m 的函数．21．(2013四川，文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝22,0,ln,0,x x a xx x⎧++<⎨>⎩其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2－x1≥1；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1． 答案：B解析：{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}． 2． 答案：D解析：从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台．3． 答案：B解析：设z ＝a ＋b i ，则共轭复数为z ＝a －b i ， ∴表示z 与z 的两点关于x 轴对称． 故选B ． 4． 答案：C解析：原命题的否定是∃x ∈A,2x ∉B ． 5． 答案：D解析：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，它到直线x ＝0的距离d1.故选D ． 6． 答案：A解析：由图象知函数周期T ＝211π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π， ∴ω＝2ππ＝2，把5π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式，得5π22sin 212ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3-＋2k π(k ∈Z )．又ππ22ϕ-<<，∴φ＝π3-.故选A ．7．答案：A解析：由分组可知C ，D 一定不对；由茎叶图可知[0,5)有1人，[5,10)有1人， ∴第一、二小组频率相同，频率分布直方图中矩形的高应相同，可排除B ．故选A ． 8．答案：C解析：画出可行域，如图．联立8,24,x y y x +=⎧⎨-=⎩解得4,4.x y =⎧⎨=⎩即A 点坐标为(4,4)，由线性规划可知，z max ＝5×4－4＝16，z min ＝0－8＝－8，即a ＝16，b ＝－8，∴a －b ＝24.故选C ． 9．答案：C解析：由题意知A (a,0)，B (0，b )，P 2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵AB ∥OP ，∴2b bac a-=-.∴b ＝c .∵a 2＝b 2＋c 2，∴22212c e a ==.∴2e =.故选C ．10． 答案：A解析：当a ＝0时，f (x )∴b ∈[0,1]时，f (b )∈[1．∴f (f (b 1.∴不存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，故D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )b ∈[0,1]时，只有b ＝1时，f (x )才有意义，而f (1)＝0， ∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故B ，C 错．故选A ．第二部分(非选择题 共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：1解析：1===.12．答案：2 解析：由平行四边形法则知AB ＋AD ＝AC＝2AO ，∴λ＝2. 13．答案：36解析：由基本不等式可得4x ＋a x ≥4x ＝ax即2x =∴32=，a ＝36.14．解析：∵sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭， ∴2sin αcos α＝－sin α，cos α＝12-.∵α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2π3α=，4π23α=.∴tan 2α＝4πtan3. 15．答案：(2,4)解析：由题意可知，若P 为平面直角坐标系内任意一点，则 |PA |＋|PC |≥|AC |，等号成立的条件是点P 在线段AC 上； |PB |＋|PD |≥|BD |，等号成立的条件是点P 在线段BD 上，所以到A ，B ，C ，D 四点的距离之和最小的点为AC 与BD 的交点． 直线AC 方程为2x －y ＝0，直线BD 方程为x ＋y －6＝0， ∴20,60,x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2,4.x y =⎧⎨=⎩即所求点的坐标为(2,4)．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：设该数列的公比为q ，由已知，可得 a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝312n -.17．解：(1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝35-，得 cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-. 则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-.又0＜A ＜π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有sin sin a bA B =，所以，sin B ＝sin 2b A a =. 由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =.根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B ＝2.18．解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12； 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16. 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 10019．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC ． 由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以，BC ⊥AD，则直线l ⊥AD ．因为AA 1⊥平面ABC，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过D 作DE ⊥AC 于E ，因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交， 所以DE ⊥平面AA 1C 1C ．由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°， 所以在△ACD 中，DE AD . 又11A QC S ∆＝12A 1C 1·AA 1＝1， 所以11A QC D V -＝11D A QC V -＝13DE ·11A QC S ∆＝11326⨯⨯=.因此三棱锥A 1－QC 1D 的体积是6.20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4中，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0，得k 2＞3.所以，k 的取值范围是(－∞，∪(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 12，|ON |2＝(1＋k 2)x 22，又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2. 由222211||||||OQ OM ON =+，得22222212211111k m k x k x =+(+)(+)(+)，即212122222212122211x x x x m x x x x (+)-=+=. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝281k k +，x 1x 2＝2121k+， 所以223653m k =-.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以n k m =，代入223653m k =-中并化简，得5n 2－3m 2＝36. 由223653m k =-及k 2＞3，可知0＜m 2＜3，即m ∈(0)∪(0．根据题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0，所以n ==于是，n 与m的函数关系为n =m ∈(0)∪(0))．21．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2. 因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1. 所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝1[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2] 1.(当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立) 所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y＝(2x 1＋2)x －x 12＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x ·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是12221122,ln 1.x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①② 由①及x 1＜0＜x 2知，0＜21x ＜2. 由①②得，a ＝ln x 2＋22112x ⎛⎫-⎪⎝⎭－1＝222111ln 214x x ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭. 令21t x =，则0＜t ＜2，且a ＝14t 2－t －ln t ，设h(t)＝14t2－t－ln t(0＜t＜2)，则h′(t)＝12t－1－1t＝2132tt(-)-＜0.所以h(t)(0＜t＜2)为减函数，则h(t)＞h(2)＝－ln 2－1，所以a＞－ln 2－1.而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大．所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．2013 四川文科数学第11页。
2013年全国一卷文科数学试题与答案解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ） （A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）错误!未找到引用源。
（B ）错误!未找到引用源。
（C ）14错误!未找到引用源。
（D ）16错误!未找到引用源。
（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为错误!未找到引用源。
，则C 的渐近线方程为（ ） （A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为错误!未找到引用源。
的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =，则POF ∆的面积为（ ）（A ）2（B ）22（C ）23（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
成都市2013届毕业班零诊试题数学一文数
成都市2013届毕业班摸底检测模拟试题(文数)数学注意事项：本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I卷(选择题)1至4页，第II卷(非选择题)4至6页,共6页，满分150分，考试时间120分钟。
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，只将答题卡交回。
参考公式如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+ P(B)如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A • B) =P(A) • P(B) 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么N次独立重复试验中恰好发生A次的概率其中R表示球的半径第I卷(选择题，共60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.x 处连续的是（1）下列四个图像所表示的函数，在点0（A）（B）（C）（D）（2）552log 10log 0.25+= （A ）0（B ）1（C ） 2 （D ）4（3）函数2()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是 （A ）2m =-（B ）2m =（C ）1m =-（D ）1m =（4）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（A ）8（B ）4（C ） 2 （D ）1（5）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=-（D ）1sin()220y x π=-（6）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 (7)椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（A ）⎛⎝⎦（B ）10,2⎛⎤⎥⎝⎦（C ） )1,1（D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭(8) 已知函数，，当x=a 时，取得最小值b ，则函数的图象为（9）设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点。
四川省成都市2013届高三12月一诊模拟考试数学文试题Word版含答案
四川成都2012年高2013级一诊模拟考试数学试题一（文）（考试时间： 2012年12月27日 总分：150分）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．不等式223x x -≤+的解集是（ ） A (,8](3,)-∞-⋃-+∞ B (,8][3,)-∞-⋃-+∞ C ．[3,2]- D (3,2]-2．若复数（，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A -2B 4C 6D -63．公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知平面向量a r ，b r 满足||1,||2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60︒，则“m=1”是“()a mb a -⊥r r r ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．关于命题p ：A φφ⋂=，命题q ：A A φ=，则下列说法正确的是（ ） A ．()p q ⌝∨为假B ．()()p q ⌝∧⌝为真C ．()()p q ⌝∨⌝为假D ．()p q ⌝∧为真6．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ）A ．周期函数，最小正周期为23π B ．周期函数，最小正周期为3π C ．周期函数，最小正周期为π2D ．非周期函数7．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：( )①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d”；③“若a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．38．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π9．设集合11[0,),[,1]22A B ==，函数1,()()22(1),()x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩00[()]x A f f x A ∈∈且，则0x 的取值范围是（ ） A ．(10,4] B ．(11,42] C ．(11,42) D ．[0，38] 10．定义在(1,1)-上的函数()()()1x yf x f y f xy--=-；当(1,0)()0x f x ∈->时，若111()(),(),(0),,,5112P f f Q f R f P Q R =+==则的大小关系为（ ） A ．R Q P >> B. R P Q >> C. P R Q >> D.Q P R >> 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．若24log 3,(22)x x x -=-=则12.某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为 13．在正方体!111D C B A ABCD -中,Q P N M 、、、分别是1111CC D C AA AB 、、、的中点,给出以下四个结论:①1AC MN ⊥； ②1AC //平面MNPQ ； ③1AC 与PM 相交； ④1NC 与PM 异面其中正确结论的序号是 .14已知函数()321f x x x =---，则其最大值为 。
成都市2013年一诊模拟数学
2013年四川省成都市中考数学一模预测试卷一、选择题：（每小题3分，共30分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．二、填空题（每小题3分，共15分）设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1=ab，k2=cd，根据三角形的面积公式求出cd-ab=4，即可得出答案．解答：解：设A（a，b），B（c，d），代入得：k1=ab，k2=cd，∵S△AOB=2，∴12cd-12ab=2，∴cd-ab=4，∴k2-k1=4，根据旋转的性质--旋转不改变图形的形状和大小解答．解答：解：直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，4）两点，由图易知点B'的纵坐标为O′A′=OA=3，横坐标为OA+O′B′=OA+OB=7．则点B′的坐标是（7，3）．三、解答题（本大题共8个小题，满分55分）分析：（1）原式第一项利用负指数公式化简，第二项利用零指数公式化简，第三项利用特殊角的三角函数值化简，第四项利用-1的奇次幂为-1计算，最后一项利用负数的绝对值等于它的相反数化简，合并即可得到结果；（2）将方程第一项变形后，设y=x-12，将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，得到x-12的值，即可求出方程的解；（3）将原式被除式分子利用完全平方公式化简，分母利用平方差公式化简，除数通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将m的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．解答：解：（1）原式=12-1+3×32-（-1）+6=12-1+32+1+6=8；（2）方程变形得：2（x-12）2-（x-12）-1=0，设y=x-12，方程变为2y2-y-1=0，即（2y+1）（y-1）=0，可得2y+1=0或y-1=0，解得：y=-12或1，∴x-12=-12或1，解得：x1=0，x2=32；（3）原式=(m-1)2(m+1)(m-1)÷(m+1)(m-1)-(m-1)m+1=(m-1)2(m+1)(m-1)•m+1m(m-1)=1m，当m=3时，原式=33．点评：此题考查了实数的混合运算，利用换元法求一元二次方程，以及分式的化简求值，涉及的知识有：零指数、负指数公式，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A 的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答；（2）根据点C到y轴的距离判断出点C的横坐标，代入反比例函数解析式求出纵坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．解答：解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，61=y，解得y=6，∴点A的坐标为（1，6），又∵点A在一次函数图象上，∴1+m=6，解得m=5，∴一次函数的解析式为y1=x+5；（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，∴点C的横坐标为3，∴y=63=2，∴点C的坐标为（3，2），过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2，∴x+5=2，解得x=-3，∴点D的坐标为（-3，2），∴CD=3-（-3）=3+3=6，点A到CD的距离为6-2=4，联立y=x+5y=6x，解得x1=1y1=6（舍去），x2=-6y2=-1，∴点B的坐标为（-6，-1），∴点B到CD的距离为2-（-1）=2+1=3，S△ABC=S△ACD+S△BCD=12×6×4+12×6×3=12+9=21．点评：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出点A的横坐标是解题的关键．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）考点：代数式求值．专题：计算题．分析：把x=1代入代数式求出2a+b的值，然后整体代入x=2时的代数式进行计算即可得解．解答：解：当x=1时，2ax2+bx=2a×12+b×1=2a+b=3，当x=2时，ax2+bx=a×22+b×2=4a+2b=2（2a+b）=2×3=6．故答案为：6．点评：本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解本题的关键．考点：切线的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：连接OT、OD、过O作OM⊥AD于M，得到矩形OMCT，求出OM，求出∠OAM，求出∠AOT，求出OT∥AC，得出PC是圆的切线，得出等边三角形AOD，求出∠AOD，求出∠DOT，求出∠DTC=∠CAT=30°，求出DC，求出梯形OTCD 的面积和扇形OTD的面积．相减即可求出答案．解答：解：连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD 于M，∵OA=OT，AT平分∠BAC，∴∠OTA=∠OAT，∠BAT=∠CAT，∴∠OTA=∠CAT，∴OT∥AC，∵PC⊥AC，∴OT⊥PC，∵OT为半径，∴PC是⊙O的切线，∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC，∴∠OMC=∠MCT=∠OTC=90°，∴四边形OMCT是矩形，∴OM=TC=3，∵OA=2，∴sin∠OAM=32，∴∠OAM=60°，∴∠AOM=30°∵AC∥OT，∴∠AOT=180°-∠OAM=120°，∵∠OAM=60°，OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠TOD=120°-60°=60°，∵PC切⊙O于T，∴∠DTC=∠CAT=12∠BAC=30°，∴tan30°=DC3，∴DC=1，∴阴影部分的面积是S梯形OTCD-S扇形OTD=12×（2+1）×3-60π×22360=93-4π6．故答案为：93-4π6．点评：本题考查了切线的性质和判定，解直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理，扇形的面积，梯形的性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：根据E，F都在反比例函数的图象上得出假设出E，F的坐标，进而分别得出△CEF的面积S1以及△OEF的面积S2，然后即可得出答案．考点：一次函数的应用；分段函数．专题：经济问题．分析：（1）某学校的多媒体教学设备费用为18万元，包括两部分：10万以内和超过10万部分求出即可；（2）利用市财政部门补贴不同阶段的补贴百分比不同，列出函数关系式即可；（3）用30代入上题求得的函数的解析式，利用市财政部门补贴y万元的取值范围为12≤y≤24得到有关m的不等式组，解得即可．解答：解（1）∵18＜m，10×80%+（18-10）×50%=12（万），18-12=6（万），则市、区两级财政部门应各自补贴12万，6万；（2）①当x≤10时，y=0.8x，②当10＜x≤m时，y=10×80%+（x-10）×50%=0.5x+3，③当x＞m时，y=10×80%+（m-10）×50%+（x-m）×20%=0.2x+0.3m+3，（3）∵20≤m≤40，∴当某学校的多媒体教学设备费用为30万元时，就有可能是按照第二和第三两种方式收费，①当30≤m≤40时，此时选择第二种方案，费用=0.5×30+3=18，符合题意，②当20≤m＜30时，此时选择第三种方案，费用=0.2x+0.3m+3，则：12≤0.2x+0.3m+3≤24，12≤0.2×30+0.3m+3≤24∴10≤m≤50，综合①、②可得m的取值范围为：20≤m≤40．点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．考点：二次函数综合题．分析：（1）本题关键是求得E点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式．如题图，可以证明△BCD≌△BAE，则AE=CD，从而得到E点坐标；（2）首先求出M点坐标，然后利用待定系数法求直线MB的解析式，令x=0，求得G点坐标，进而得到线段CG、DG的长度；由△BCG≌△BAF，可得AF=CG，从而求得OF的长度．比较OF与DG的长度，它们满足OF=12DG的关系，所以结论成立；（3）本问关键在于分类讨论．△PFE为等腰三角形，如解答图所示，可能有三种情况，需逐一讨论并求解．解答：解：（1）∵BE⊥DB交x轴于点E，OABC是正方形，∴∠DBC=EBA．在△BCD与△BAE中，∠BCD=∠BAE=90°BC=BA∠DBC=∠EBA，∴△BCD≌△BAE（ASA），∴AE=CD．∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中点，∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．设过点D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则有：c=216a+4b+c=436a+6b+c=0。
成都市2013届高三一诊考前模拟试题数学试题含答案
⎧ − x, x ≤ 0
① f ( x ) 在 [ a , b ] 内是单调函数； ② f ( x ) 在 [ a , b ] 上的值域为 [2a , 2b ] ，则称区间 [ a , b ] 为 y = f ( x ) 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有_______ ① f ( x) = x 2 ( x ≥ 0) ； ③ f ( x) = ② f ( x) = e x ( x ∈ R ) ； ④ f ( x ) = log a ( a x − )(a > 0, a ≠ 1)
5 × 27 = 3 人. 45
……4 分
（2）法一：由（2）可知，抽取的 5 人中，年龄大于 40 岁的有 3 人，分别记作 1，2，3； 20 岁至 40 岁的观众有 2 人，分别高为 a, b ，若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ，则包含 的总的基本事件有： (1,2), (1,3), (1, a ), (1, b), ( 2,3), ( 2, a), (2, b), (3, a), (3, b), ( a, b) 共 10 个。 其 中 恰 有 1 名 观 众 的 年 龄 为 20 岁 至 40 岁 包 含 的 基 本 事 件 有 ：
4x ( x ≥ 0) ； x +1
2
1 8
三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16. 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， OA = ( 2 sin 2 x,1), OB = (1,−2 3 sin x cos x + 1) ，
��� � ��� � f ( x) = OA ⋅ OB + m 。
（1）求 y = f ( x) 的单调递增区间； （2）若 f ( x) 的定义域为 [
2013级一诊数学模拟试题2(文科试题及解答)
高2013届“一诊”模拟试题二文科数学试题一、选择题：每题5分，共50分. 1、函数tan(2)4y x π=-的周期是 （ ）A ． πB ． 2πC ．4πD ． 2π2、函数9lg yx x=-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（6,7）B ．（7,8）C ．（8,9）D ．（9,10） 3、下列结论正确的是 （ ）A ．当101,lg 2lg x x x x>≠+≥且时 B ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2C ．当0x >2的最小值为2 D ．当02x <≤时，1x x-有最大值.4、盒中有10个铁钉,其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的 概率是( ) A.51 B.41 C.54 D.1015、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，）A. 2)π+B. (2)π+C. 42π+D. 3)π+6、已知定义在区间(0,)2π上的函数y x =的图象与函数cos y x =的图象的交点为P ，过P 作1PP x ⊥轴于点1P ，直线1P P 与 tan y x =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为（ ）A.B.2C.327、如图,若程序框图输出的S 是127， 则判断框①中应为 （ ） A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤....................M8040840214019532011201020093218、如右图,在A B C ∆中，13AN N C = ,P 是B N 上的一点,若29A P m AB AC =+，则实数m 的值为( ) A.19B31 C. 1 D. 39、函数ln xx xxe e y e e---=+的图象大致为（ ）10、给出若干数字按下图所示排成倒三角形， 其中第一行各数依次是1 , 2 , 3 , … , 2011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右 两数之和，最后一行只有一个数M ， 则这个数M 是（ ） A ．200920122⨯ B ．201020112⨯ C ．201120102⨯ D ．200720102⨯二、填空题：每题5分，共25分.11、已知i 为虚数单位，则234561i i i i i i ++++++=______. 12、在A B C ∆中，若4B π∠=，b =，则C ∠= ．13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后， 甲、乙两名选手得分的平均数分别为1a 、2a ， 则1a 、2a 的大小关系是_____________.(填12a a >，21a a >，12a a =之一) ． 14.函数()|21||f x x a x =++，若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则实数a = . 15.已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R (定值)， 分别按图A 、B 作扇形的内接矩形，若按图A 作出 的矩形面积的最大值为21tan 2R α，则按图B 作出的矩形面积的最大值为.DCBAC 1B 1A 1高2013届“一诊”模拟试题二文科数学试题答题卷二、填空题：11、 ；12、 ；13、 ；14、 ；15、 . 三、解答题：共6个小题，满分75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知πsin()410A +=，ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．17.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，BC AB ⊥，D 为A C 的中点，12AA AB ==.（I ）求证：1A B //平面1BC D ；（II ）设3BC =，求四棱锥11B D AA C -的体积.18.（本小题满分12分）已知函数()f x ax =+0x ≥）的图象经过两点(0,1)A和2B -.（I ）求()f x 的表达式及值域；（II ）给出两个命题2:()(34)p f m m f m -<-和2:log (1)1q m -<.问是否存在实数m ，使得复合命题“p 且q ”为真命题？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.19.（本小题满分12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元. 旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过．．．35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于．．35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人.设旅行团的人数为x 人，飞机票价格为y 元，旅行社的利润为Q 元.（I ）写出飞机票价格y 元与旅行团人数x 之间的函数关系式；（II ）当旅行团人数x 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.20.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项的和为n S ，数列{}2n a 的前n项的和为n T ，且()2*234,n n S T n N -+=∈． (I)求1a 、2a 的值；(II)证明数列{}n a 是等比数列，并写出通项公式； (III)若20n n S T λ-<对*n N ∈恒成立，求λ的最小值；21.（本小题满分14分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >. （I ）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；（II ）当4a =时，是否存在实数m ，使得直线60x y m ++=恰为曲线()y f x =的切线？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（III ）设定义在D 上的函数()y h x =的图象在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”。
成都青羊2013年九年级一诊数学试题及答案
、管路敷设技术通过管线敷设技术不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。
在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。
管线敷设技术中包含线槽、管架等多项式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。
线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。
、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。
对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。
因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。