2012年考研数学三真题及答案[精品文档]

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2012年考研数学三真题及标准答案

２0１2年考研数学三真题一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)曲线y=x 2+xx2−1渐近线的条数为(Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。

【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2−1=1=limx→−∞y=limx→−∞x2+xx2−1，得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx−1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→−1y=limx→−1x2+xx−1=12得x=−1不是曲线的渐近线;综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数f(x)=(e x−1)(e2x−2)⋯(e nx−n)，其中n为正整数，则f′(0)=（A）(−1)n−1(n−1)! (B)(−1)n(n−1)!（C)(−1)n−1(n)! (D）(−1)n(n)!【答案】A【解析】【方法1】令g (x )=(e 2x −2)⋯(e nx −n)，则f (x )=(e x −1)g (x )f ′(x)=e xg (x )+(e x −1)g′(x )f ′(0)=g (0)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!故应选Ａ．【方法2】由于f (0)=0,由导数定义知f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0(e x −1)(e 2x −2)⋯(e nx −n)x =lim x→0(e x −1)x ∙lim x→0(e 2x −2)⋯(e nx −n)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!.【方法3】排除法，令n =2,则f (x )=(e x −1)(e 2x −2)f ′(x )=e x (e 2x −2)+2e 2x (e x −1)f ′(0)=1−2=−1则（B)(C)（D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A ）【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ= (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2(Ｂ) ∫dx 20∫f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2。

2012年考研数学(三)真题

2
，
X3
X4 2
2 2
~
x2
1
，
X1
X2 2
X3
X4 2
2
2
1 X1 X 2 ~ t 1
X3 X4 2
。
二、填空题 9．
【答案】 e 2
【解析】
1
lim(tan x)cos xsin x
1
lim[1 (tan x 1)]cos xsin x
lim tan x1
ex cos xsin x 4
(y) 6y 1 y2 C
C(x, y) 20x x2 6 y 1 y2 C
6．【答案】B
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
Q
【解析】
P
1 0
1 0
0 1
Q
1
1 0
1 0
0 1
P
1
，可得
Q
1
AQ
1 0
1 0
0 1
P
1
AP
1 0
1 0
0 1
1 0 01 0 01 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0
Q 1 AQ
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 2
1 0
1 0
f (x 2 y 2 )dy
（B） 0
2x x2
2
4x2
dx
x 2 y 2 f (x 2 y 2 )dy
（C） 0
1 2 x x2
2
4x2
dx
f (x 2 y 2 )dy
（D） 0
1 2 x x2
(1) n
4．已知级数 i1

2012考研数学三真题及答案解析

,
1 0
a 0 0 1
0
（Ⅰ）计算行列式 A ；
（Ⅱ）当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解.
1 0 1
(21)已知
A
0 1
1 0
1 a
，二次型
f
x1,
x2 ,
x3
xT
AT A x 的秩为 2，
0
a 1
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）求正交变换 x Qy 将 f 化为标准形.
(13)设 A 为 3 阶矩阵， A 3 ， A* 为 A 的伴随矩阵。若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B ,则 BA*
(14)设 A 、 B 、 C 是随机事件， A 与 C 互不相容， P( AB) 1 , P(C) 1 ,则 P( AB | C)
2
3
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
0
2
0
0 0 1
(7)设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则
P X 2 Y 2 1 ( )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C) 8
(D) 4
(8)设 X1, X 2 , X 3 , X 4 为来自总体 N(1, 2 ) ( 0) 的简单随机样本，则统计量
4
2 2
2
（10）
dy dx
xe
(ln
x 1)
xe
1 e
【分析】本题主要考查复合函数求表达式及复合函数求导数。先利用分析法得到
y f ( f (x)) 的表达式，再求导数，或直接根据分段函数的定义用复合函数求导法求导

2012年考研数学三答案(完整版)

数三参考答案一、选择题二、填空题9、e； 10、4； 11、2dx dy -； 12、4ln 2； 13、27-； 14、34三、解答题 15、解：16、解：17、解：（I ）(,)=20+2xx C x y '，对x 积分得：()2(,)204xC x y xD y =++再对y 求导有，()(,)6yC x yD y y ''==+ 再对y 积分有，()262yD y y c =++所以22(,)20642x y C x y x y c =++++，又(0,0)10000C =，所以10000c = 所以22(,)2061000042xyC x y x y =++++（II ）x+y=50，把y=50-x 代入22(,)2061000042xyC x y x y =++++23()36115504x C x x =-+令23()361155004x C x x '⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，得x=24，y=50-24=26，这时总成本最小C （24,26）=11118万元（III ）()24,26(,)32xC x y '=（万元/件）经济意义：总产量为50件，当甲产品的产量为24时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加32万元。

18、证明：令()21lncos 112x xf x x x x+=+---，()212lnsin 11x x f x x xxx+'=+----()00f '= ()()()222221411cos 1111xx f x x xxx -+''=++--+--()()222244cos 12011x x x =--≥->--所以()()00f x f ≥=即证得：()21ln cos 11112x xx x x x++≥+-<<-19、解：（I ）'''()()2()0f x f x f x +-=对应的特征方程为220r r +-=，r=-2，r=1 所以()212xxf x C e C e -=+把()212xxf x C e C e -=+代入''()()2x f x f x e +=，得到()xf x e =（II ）同理，当x<0时，0y ''<可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。

2012数学三真题及答案解析

2012考研数学三真题1.选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)x x nx f x e e e n =--…（-），其中n 为正整数，则(0)f '=（）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -（3）设函数()f t 连续，则二次积分2222cos ()d f r rdr πθθ⎰⎰=（）（A ）2224222202()x x x dx x y f x y dy --++⎰⎰ （B ）22242202()x x x dx f x y dy --+⎰⎰（C ）2222220214()2x dx x y f x y dy x x -+++-⎰⎰（D ）22220214()2x dx f x y dy x x -++-⎰⎰（4）已知级数11(1)sin ni n n α∞=-∑绝对收敛，21(1)ni nα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A ）0<α12≤ （B ）12< α≤1 （C ）1<α≤32 （D ）32<α<2 （5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123ααα，，（B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P -1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（）（A ）14 （B ）12 （C ）8π （D ）4π （8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t （C ）2(1)χ （D ）(1,1)F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→（10）设函数0ln ,1(),(()),21,1x dy x x f x y f f x dx x x =⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.（11）函数(,)z f x y =满足221(,)22lim0,(1)x y f x y x y x y →→-+-=+-则(0,1)dz =_______.（12）由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A |=3，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA *|=________. （14）设A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，11(),(),23P AB P C ==则C P AB （）=_________.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）计算222cos 40lim x xx e e x-→- （16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy ⎰⎰，其中D 为由曲线1y x y x==与所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件)和y (件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos 1,1 1.12x x x x x x ++≥+-<<- （19）（本题满分10分）已知函数()f x 满足方程()()2()f x f x f x "'+-=及()()2x f x f x e '+=1）求表达式()f x2）求曲线的拐点220()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010a a A b a a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I ）求|A|（II ）已知线性方程组Ax b =有无穷多解，求a ，并求Ax b =的通解. (21)（本题满分10分）已知1010111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x x T T =A A 的秩为2，（1）求实数a 的值；（2）求正交变换x=Qy 将f 化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X ,Y 以及XY 的分布律如下表所示：X 012P 121316Y 012P 13 13 13XY 012 4P712 13 0112求（1）P (X =2Y );（2）cov(,)XY X Y Y -ρ与. （23）（本题满分10分）设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E U V +.。

2012考研数学三【解析版】【无水印】

f ′(1) f ( f (x))
ln
f (x), f (x) ≥ 1 ，而 f (x) ≥ 1 ⇔ x ≥ e2 ，
2 f (x) −1, f (x) < 1
f (x) < 1 ⇔ x < e2
所= 以 y
f ( f= (x))
ln
f (x), x ≥ e2 =
0 0 c3 + c4
−1 1 =(c3 + c4 ) 。 c4
由于 c1, c2 , c3, c4 为任意常数，所以α1,α3,α4 线性相关。故应选（C）。
（6）【答案】B
1 0 0
【分析】考查矩阵的运算。将
Q
用
P
表示，即
Q
=
P
1
1
0
，然后代入计算
0 0 1
即可。
1 0 【详解】由于 P = (α1,α2 ,α3 ) ，所以 Q = (α1 + α2 ,α2 ,α3 ) = P 1 1
±1 ，又因为 lim y x→1
=
lim
x→1
x2 + x x2 −1
=
∞，
= lim y x→−1
xl= →im−1 xx22 +−1x
1 ，所以该曲线只有一条铅直渐近线； 2
斜渐近线：
因= 为 lim y x→∞
lxi= →m∞ xx22 +−1x
1 ，所以该曲线没有斜渐近线。
故应选(C).
(2) 【答案】A
【分析】本题考查全微分的概念与多元函数连续的定义。
【详解】由于 lim f (x, y) − 2x + y − 2 = 0 ，，所以 lim[ f (x, y) − 2x + y − 2] =0

2012数学三真题及答案解析

2012考研数学三真题1.选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)x x nx f x e e e n =--…（-），其中n 为正整数，则(0)f '=（）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -（3）设函数()f t 连续，则二次积分2222cos ()d f r rdr πθθ⎰⎰=（）（A ）2224222202()x x x dx x y f x y dy --++⎰⎰（B ）22242202()x x x dx f x y dy --+⎰⎰（C ）2222220214()2x dx x y f x y dy x x -+++-⎰⎰（D ）22220214()2x dx f x y dy x x -++-⎰⎰（4）已知级数11(1)sin ni n n α∞=-∑绝对收敛，21(1)ni nα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A ）0<α12≤ （B ）12< α≤1（C ）1<α≤32 （D ）32<α<2 （5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123ααα，，（B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P -1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（）（A ）14 （B ）12 （C ）8π （D ）4π （8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t （C ）2(1)χ （D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→（10）设函数0ln ,1(),(()),21,1x dy x x f x y f f x dx x x =⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求__（11）函数(,)z fx y =满足221(,)22lim0,(1)x y f x y x y x y →→-+-=+-则(0,1)dz =_______.（12）由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A |=3，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA *|=________. （14）设A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，11(),(),23P AB P C ==则C P AB （）=_________.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）计算222cos 40lim x xx e e x-→- （16）（本题满分10分）计算二重积分x De xydxdy ⎰⎰，其中D 为由曲线1y x y x==与所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件)和y (件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x （万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos 1,1 1.12x x x x x x ++≥+-<<- （19）（本题满分10分）已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x "'+-=及()()2x f x f x e '+=1）求表达式()f x2）求曲线的拐点220()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010a a A b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I ）求|A|（II ）已知线性方程组Ax b =有无穷多解，求a ，并求Ax b =的通解. (21)（本题满分10分）已知1010111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x x T T =A A 的秩为2，（1）求实数a 的值；（2）求正交变换x=Qy 将f 化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X ,Y 以及XY 的分布律如下表所示：X 012P 121316Y 012P 13 13 13XY 012 4P712 13 0112求（1）P (X =2Y );（2）cov(,)XY X Y Y -ρ与. （23）（本题满分10分）设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E U V +.。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案解析

;免费考研辅导视频2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三答案解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-渐进线的条为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】()()()111x x y x x +=+-故1lim x y +→=∞，1x =为垂直渐近线；又由lim 1x y →∞=，故1y =为水平渐近线，无斜渐近线，故渐近线的条数为2.(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - 【答案】(A)【解析】()()()()()()2001200lim limx x nxx x e e en y x y y x x→→----'==()()()()()()120lim 2=12111!n x nxx e en n n -→=---⨯--=--(3)设函数()f t 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰ ( )(A) 2220d ()d x x y y +⎰(B) 2220d ()d x f x y y +⎰(C) 222d ()d y x y x +⎰(D) 22201d ()d y f x y x +⎰【答案】(B) 【解析】由02πθ≤≤，可知积分区域在第一象限，由2cos 2r θ≤≤，可知222224,2,(2cos )x y x x y r r θ+≤≤+≤故2220d ()d I x f x y y =+⎰，故选(B). ;免费考研辅导视频(4)已知级数11(1)a n n ∞=-∑绝对收敛，级数21(1)na n n∞-=-∑条件收敛，则 ( )(A) 102a <≤ (B) 112a <≤ (C) 312a <≤ (D)3 22a << 【答案】(D) 【解析】由()111na n n∞=-∑绝对收敛即1121a n n∞-=∑收敛，则有112a ->，即32a >，由21(1)na n n∞-=-∑条件收敛，则有021a <-≤，即12a ≤<. 综上：3 22a <<，故选(D).(5)设1100a c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2201a c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3311a c ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，4411a c -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中1234c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A) 123a a a (B) 124a a a (C) 134a a a (D) 234a a a 【答案】C 【解析】13411341111,,011011c c c c ααα--=-=⨯=-，故134,,ααα必定线性相关，从而应选C ．(6)设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若133(,,)P a a a =1223(,,)Q a a a a =+则1Q AQ -=( ) ;免费考研辅导视频(A)100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()()1223123100100,,,,110110001001Q P ααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111100100110110001001Q P P ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而11100100110110001001Q AQ P AP --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100100100100110010110010001002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故应选B ． (7)设随机变量X 与P 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}221P x y +≤= ( )(A) 14(B) 12(C)8π(D)4π【答案】 D【解析】 X 与Y 的概率密度函数分别为1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，1,01()0,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其他．又X 与Y 相互独立，所以X 与Y 的联合密度函数为1,0,1(,)()()0,X Y x y f x y f x f y ≤≤⎧==⎨⎩其他，从而 ;免费考研辅导视频22221{1}(,)d d 1d d 4D Dx y P X Y f x y x y x y S π+≤+≤====⎰⎰⎰⎰．(8)设1234,,x x x x 为来自总体2(1,6)N （60）的简单随机样本，则位计量234|2|x x x x -+-的分布为 ( )(A) N （0,1）(B) t(1)(C) 2(1)x (D)(1,1f ）【答案】Ｂ【解析】因为2~(1,)i X N σ，所以212~(0,2)X X N σ-~(0,1)N ， 234~(2,2)X X N σ+~(0,1)N ，22342(2)~(1)2X X χσ+-．因为1234,,,X X X X与2342(2)2X X σ+-也相互独立，从而1234342~(1)|2|2X X t X X σ-=+-．二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=【答案】e 【解析】()sin cos ln tan tan 11cos cos sin cos sin cos sin cos 1cos sin 44444lim tan lim lim lim lim x x x x x x xx xx xxx xx x x x x x eeeee πππππ-------→→→→→=====(10) 设函数()ln ,121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， ()()y f f x =，则x edy dx ==________. ;免费考研辅导视频【答案】1e【解析】()()()()()2211,121,12211,1x e f x y f f x x e f x f x x x ⎧≥⎪⎧≥⎪⎪===≤<⎡⎤⎨⎨⎣⎦-<⎪⎪⎩--<⎪⎩2211ln ln ,22ln 1,143,1x x e x x e x x ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-≤<⎨⎪->⎪⎪⎩, 所以()11ln 1x e x ex e dyx dxx e====-==.(11) 设连续函数(,)z f x y=满足0x y →→=则()0,1d |z =________.【答案】2dx dy - 【解析】由于01,220x y f x y x y →→-+-=，则()()01lim ,220x y f x y x y →→-+-=，由(),f x y 连续，则()()0,10120,0,11f f -+-==，则01,0,12(1)0x y f x y f x y →→--+-=，观察可知(),f x y 在()0,1处可微，且()()0,10,12,1,f f xy∂∂==-∂∂故2dz dx dy =-.(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为【答案】4ln 2.【解析】曲线4y x =与y x =交点为(2,2)，4y x=与4y x =交点为(1,4) 故平面图形所示： ;免费考研辅导视频4142011xx x xDS d dx dy dx dy σ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰120143()xdx x dx x =+-⎰⎰221314ln 22x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()314ln 2222=+-+ ()24ln 224ln 2=+-=.(13)设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵。

2012考研数学三真题及答案解析

2012年研究生入学考试数学三真题解析（纯word ）版一、 1. 解析：C 由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）2. 解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ） 3. 解析：B原式=2220()dx f x y dy+⎰4. 解析：D1211~,n n αα-且11(1)nn n α∞--∑绝对收敛.131.22α-α∴>>即又21(1)n n n α∞-=-∑条件收敛.02112αα∴<-≤⇒≤<322α∴<<，选D5. 解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或134134011,,0110c c c ααα-=-=134,,ααα∴线性相关，选C6. 解析：B111100100100110110110000001001Q P Q AQ P AP , ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100110011011100012001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110110010002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选B.7. 解析：D1,0,1)()()0,x y x y f x y f x f y <<⎧==⎨⎩（，其他22{1}(,)4D DS P X Y f x y d D S πΩ+≤=σ==⎰⎰，选8. 解析：B212~(0,2)~(0,1)X X X X N N --σ⇒23422~(0,2)~(0,1)X X X X N N +-+-σ⇒~(1)X X t -即1234~(1),2X X t X X -+-选B二、 9.解析：e解：原式=tan 11cos sin tan 14lim (1(tan 1))x x xx x x π---→⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=41sin cos limcos cos sin x x x x x ee π→-⋅-=10. 解析： 40[()]()(1)(0)x dyf f x f x dx dyf f dx ''''===-而1()2x f x '<=时，(1)(0) 2. 4.x dyf f dx=∴-===于是11. 解析：2x dzdx dy==-解：令ρ=则(,)220(),(0,1)1f x y x y f ρ-+-==(,)12(1)0()f x y x y ρ-=--+(0,1)(0,1)2,(0,1)1,2.x y f f dzdx dy ''==-∴=-12. 解析：4 ln2 解：12014(4)S x x dx x dxx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰1324ln 24ln 222=-+-=13. 解析：-27 解：|||| 3.B A =-=-**2||||||3||27.BA B A A =⋅=-⋅=-14.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==- AC φ= ，ABC φ∴=.1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、 15.解析：原式222cos 22cos 41lim x xx x ee x -+-→-=⋅2430022cos 2(sin )lim lim 4x x x x x x x x →→-+-==2011cos 1lim .2312x x x →-==16.解析：xDe xydxdy⎰⎰1xxe dx ydy=⎰1122001111(1)0222xx x x e dx e x e dx =-=-⎰⎰ 2111121(22)022222x e e e x x e ---=--+=-=.17.解析：1）设成本函数为(,),C x y 则(,)202,x x C x y '=+对x 积分得，2(,)20(),4x C x y x y +ϕ=+再对y 求导有，(,)()6y C x y y y'ϕ'==+，再对y 积分有，21()62y y y c ϕ=++所以，221(,)20642x C x y x y y c=++++ (0,0)10000,10000,C c =∴= 于是221(,)2061000042x C x y x y y =++++2）若50x y +=，则50(250)y x x =-≤≤，代入到成本函数得221()206(50)(50)1000042x C x x x x =++-+-+=2336115504x x -+所以，令3()360,24,26,2C x x x y '=-===得总成本最小为(24,26)11118C =3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32,x C '=即在要求总产量为50件时，在甲产品为24件时，改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。

2012数学三试题及答案

x→0
x4
( ) 【解析】 lim ex2
e − 2−2cos x
e2−2cos x = lim
e −1 x2 +2cos x−2
x2 + 2 cos x − 2
= lim
=
1
x→0
x4
x→0
x4
x→0
x4
12
(16)(本题满分 10 分)
∫∫ 计算二重积分 ex xydxdy ，其中 D 为由曲线 y = x 与 y = 1 及 y 轴为边界的无界区域
(2) 设函数 y(x) = (ex −1)(e2x − 2)⋯(enx − n), 其中 n 为正整数，则 y '(0) =
()
(A) (−1)n−1(n −1)! (B) (−1)n (n −1)! (C) (−1)n−1n!
(D) (−1)n n!
答案：(A)
【解析】因为 y '(0) = lim y(x) − y(0) = lim (ex −1)(e2x − 2)⋯(enx − n) = (−1)n−1(n −1)!
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
，
若
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
P = (α1,α2 ,α3 ),Q = (α1 + α2 ,α2 ,α3 ), 则 Q−1AQ =
()
⎛1 0 0⎞
(A)
⎜ ⎜
0
2
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎛1 0 0⎞
(B)
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
⎛2 0 0⎞
(C)
⎜ ⎜
0

2012年考研数学三真题及答案

2012年考研數學三真題一、選擇題（18小題，每小題4分，共32分。

下列每題給出の四個選項中，只有一個選項是符合題目要求の。

）(1)曲線漸近線の條數為(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。

【解析】由,得是曲線の一條水準漸近線且曲線沒有斜漸近線；由∞得是曲線の一條垂直漸近線；由得不是曲線の漸近線；綜上所述，本題正確答案是C【考點】高等數學—一元函數微分學—函數圖形の凹凸、拐點及漸近線(2)設函數,其中為正整數，則(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】【方法1】令,則故應選A.【方法2】由於,由導數定義知.【方法3】排除法，令,則則(B)(C)(D)均不正確綜上所述，本題正確答案是(A)【考點】高等數學—一元函數微分學—導數和微分の概念(3)設函數連續，則二次積分(A)(B)(C)(D)【答案】B。

【解析】令,則所對應の直角坐標方程為,所對應の直角坐標方程為。

由の積分區域得在直角坐標下の表示為所以綜上所述，本題正確答案是(B)。

【考點】高等數學—多元函數微積分學—二重積分の概念、基本性質和計算(4)已知級數絕對收斂，級數條件收斂，則(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】由級數絕對收斂，且當∞時，故,即由級數條件收斂，知綜上所述，本題正確答案是(D)【考點】高等數學—無窮級數—數項級數斂散性の判定(5)設,其中為任意常數，則下列向量組線性相關の為(A) (B)(C) (D)【答案】C。

【解析】個維向量相關顯然所以必線性相關綜上所述，本題正確答案是(C)。

【考點】線性代數—向量—向量組の線性相關和線性無關(6)設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且.若,則(A) (B)(C) (D)【答案】B。

【解析】由於經列變換(把第2列加至第1列)為，有那麼=綜上所述，本題正確答案是(B)。

【考點】線性代數—矩陣—矩陣運算、初等變換(7)設隨機變數相互獨立，且都服從區間上の均勻分佈，則(A) (B)(C) (D)【答案】D。

2012年考研数学三真题及解析

4
4
tan x
1 tan x tan
= lim
4
4
x 4
- 2 sin x
4
x
= lim
x 4
1 tan x tan
4
4
-2x 4
2
=
-2
=- 2
1
所以 lim tan x cosx sin x
x 4
1
lim tan x 1
x
e4
cosx sin x
= e- 2
（ 10）设函数 f ( x) 【答案】： 4
ln x, x 1, y
dy f f ( x) ，求
________ 。
2x 1, x 1
dx x 0
dy
【解析】：
f ' f ( x) f '(x)
f ' f (0) f '(0) f ' 1 f '(0)
dx x 0
x0
由 f (x) 的表达式可知 f ' 0
f '( 1) 2 ，可知 dy
4
dx x 0
D
1，故根据二重积
分的几何意义，知 P X 2 Y 2 1 = ，故选（ D） . 4
（ 8 ）设 X1, X 2 , X 3 , X 4 为来自总体 N 1, 2
0 的简单随机样本，则统计量
X1 X 2 的分布 X3 X4 2
（）
（ A ） N 0,1
（B） t 1 （C） 2 1
（ D ） F 1,1
（ 4）已知级数
( 1) n
i1
n sin 1 绝对收敛， n
( 1)n
条件收敛，则

2012年考研数学三真题及答案

2012年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。

【解析】由,得是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由得是曲线的一条垂直渐近线；由得不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数,其中为正整数，则(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】【方法1】令,则故应选A.【方法2】由于,由导数定义知.【方法3】排除法，令,则则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数连续，则二次积分(A)(B)(C)(D)【答案】B。

【解析】令,则所对应的直角坐标方程为,所对应的直角坐标方程为。

由的积分区域得在直角坐标下的表示为所以综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算(4)已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则(A)(B)(C)(D)【答案】D。

【解析】由级数绝对收敛，且当时，故,即由级数条件收敛，知综上所述，本题正确答案是(D)【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定(5)设,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A)(B)(C)(D)【答案】C。

【解析】个维向量相关显然所以必线性相关综上所述，本题正确答案是(C)。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关(6)设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若,则(A)(B)(C)(D)【答案】B。

【解析】由于经列变换(把第2列加至第1列)为，有那么=综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换(7)设随机变量相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则(A)(B)(C)(D)【答案】D。

2012真题数三全

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】★★ 【详解】解析：211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线. 1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线.无斜渐近线，故选C.（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f =（）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】A【考点】导数的概念【难易度】★★解析：方法一、由导数定义知：200()(0)(1)(2)()0(0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x →→-----'==-L1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L 故选A.方法二、22()(1)[(2)()](1)[(2)()]x x nx x x nx f x e e e n e e e n '''=---+---L L 22[(2)()](1)[(2)()]x x nx x x nx e e e n e e e n '=--+---L L20(0)(12)(1)(1)[(2)()]x x nx x f n e e e n =''=--+---L L1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L 故选（A ）.（3）设函数()f t 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰（）（A ） 222422222d ()d x x xx x y f x y y --++⎰⎰（B ） 22242202d ()d x x xx f x y y --+⎰⎰（C ） 2224222211d ()d y yy x y f x y x -+-++⎰⎰（D ） 222422011d ()d y yy f x y x -+-+⎰⎰【答案】B【考点】二重积分的计算【难易度】★★★ 【详解】解析：2cos r θ=，对应过原点且圆心在)0,1(点的圆即221(1)x y =-+；2r =对应圆心在原点，半径为2的圆，即224x y +=及0x =，区域D 如图，因此22242202d ()d x x x I x f x y y --=+⎰⎰.故选（B ）.（4）已知级数11(1)sin nn n n α∞=-∑绝对收敛，级数21(1)n n nα∞-=-∑条件收敛，则（）（A ）102α<≤（B ）112α<≤ （C ）312α<≤ （D ）322α<< 【答案】D【考点】p 级数及其收敛性【难易度】★★★ 【详解】解析：因为11(1)sinn n n n α∞=-∑绝对收敛所以11sinn n nα∞=∑收敛等价于111211n n n n n αα∞∞-===∑∑收敛所以112α->即32α>又因为21(1) n n n α∞-=-∑条件收敛，即21(1) nn nα∞-=-∑收敛，211 n n α∞-=∑发散所以021α<-≤，即12α≤< 综上，322α<<.故选（D ）.（5）设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）（A ）123,,ααα （B ） 124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】★★ 【详解】解析：（A ）1231123001,,011c c c c ααα=-=-不恒为零，（B ）1241124001,,011c c c c ααα-==不恒为零，（C ）13412311,,0110c c c ααα-=-=，（D ）23443342342341101111,,111100c c c c c c c c c c ααα--=-==-=-不恒为零，所以134,,ααα必线性相关.故选（C ）.（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ -= （）（A ） 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ） 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ） 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵【难易度】★★★ 【详解】解析：12100110(1)001Q P PE ⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，又⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-100011001)1(112E故111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选B. （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}221P X Y +≤=（）（A ）14 （B ） 12 （C ） 8π （D ）4π【答案】D【考点】常见二维随机变量的分布【难易度】★★ 【详解】解析：方法一：因为随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布所以(,)X Y 服从{}(,)01,01x y x y <<<<上的二维均匀分布，所以根据面积之比得{}2214P X Y π+≤=故选D.方法二：因为随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布故1,01,01,(,)()()0,X Y x y f x y f x f y <<<<⎧=⋅=⎨⎩其他从而{}222222111(,)14D x y x y P X Y f x y dxdy dxdy S π+≤+≤+≤====⎰⎰⎰⎰.故选D.（8）设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ(0)σ>的简单随机样本，则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为（）（A ）N （0,1）（B ）t （1）（C ）2(1)χ （D ）(1,1F ）【答案】B【考点】2χ分布；t 分布【难易度】★★★★ 【详解】解析：方法一：关于统计量四大抽样分布，其定义形式各有特点，（A ）正态分布自然不必多作说明，（C ）222212(),~(0,1),1,2,,n i n x x x x N i n χ=+++=L L ；分布形式上的重点在于是平方和的形式，（D ）nn m m n m F )()(),(22χχ=分布形式上的重点在于平方和的比，（B ）nn N n t )()1,0()(2χ=分布形式上的重点在于开方后的比；由于统计量1234|2|X X X X -+-符合t 分布的形式，而不符合其他分布，故选（B ）方法二：因为2(1,)i X N σ:，所以212(0,2)X X N σ-:(0,1)N :， 234(2,2)X X N σ+:(0,1)N :，22342(2)(1)2X X χσ+-:. 又1234,,,X X X X与2342(2)2X X σ+-也相互独立，于是(1)t :，即1234(1)|2|X X t X X -+-:. 故选B.二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=【答案】e【考点】两个重要极限【难易度】★★★ 【详解】解析：求1∞型极限441cos sin 411(tan 1)tan 1cos sin 4tan 1limcos sin (sin cos )cos limcos sin lim(tan )lim(1tan 1)x x x xx x x x xx x x x x x xx xx x e ee ππππ→→-→---→----=+-===（10）设函数()ln ,121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， ()()y f f x =，则x e dy dx ==【答案】1e【考点】复合函数；复合函数求导【难易度】★★★ 【详解】解析：复合函数求导，[()]()[()]()x ex ey f f x f x f f e f e =='''''==因为1()2f e ==，11()(ln )22x ef e x e =''==，121()(21)22x f x =''=-=所以111()()222x edyf f e dxe e=''==⋅=.（11）设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =【答案】2dx dy -【考点】无穷小量的比较；全微分存在的必要条件和充分条件【难易度】★★★★ 【详解】解析：根据全微分的定义，若当0,0→∆→∆y x 时()()22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆，即()()0lim220=∆+∆∆+∆-∆→∆→∆y x yB x A z y x 或()()0)()(),(),(lim2020000000=-+--+---→→y y x x y y B x x A y x f y x f y y x x ，则),(y x f z =可微，并有yz B x z A ∂∂=∂∂=,。