垂直平分线、等腰三角形求角度专题(难度较大,适合中考复习)

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中考专题垂直平分线与角平分线

线段的垂直平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质〔1〕垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，假设点C 在直线m 上，那么AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等〔2〕线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理〔1〕线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，假设AC ＝BC ，那么点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理〔1〕关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，假设直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，那么直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.〔2〕三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：假设三角形是锐角三角形，那么它三边垂直平分线的交点在三角形内部；假设三角形是直角三角形，那么它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；假设三角形是钝角三角形，那么它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，那么该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，那么该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么该三角形是钝角三角形.经典例题：m图1DABCm图2DABCjik图3OBCA例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，那么AC 的长等于〔〕 A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点 A E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点 E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度，那么∠EBC 是例2. ：如下图，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析

中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析双等腰直角三角形问题前解法分析一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1.如图1,已知ACB ?和ECD ?都是等腰直角三角形，90,ACB ECD D ∠=∠=°为AB 边上一点.(1)求证: ACE BCD ;(2)求证: 2222CD AD DB =+.分析当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一.例2.如图2，在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结,,,AG BG CG DG ，且AGD BGC ∠=∠.(1)求证: AD BC =;(2)求证: AGD EGF ??:;(3)如图3，若,AD BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值.分析初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现，DGC ?和AGB ?均为等腰三角形，当四边形ABCD 中AD BC ⊥时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例3.如图4, ,A B 分别在射线,OM ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段,OA OB 为斜边向MON ∠外侧作等腰直角三角形，分别是,OAP OBQ ??，点,,C D E 分别是,,OA OB AB 的中点.(1)求证: PCE EDQ ;(2)延长,PC QD 交于点R .①如图5，若150MON ∠=°，求证:ABR ?为等边三角形;②如图6，若ARB PEQ ??:，求MON ∠的大小和AB PQ的值.分析本题中两等腰直角三角形OAP ?与OBQ ?中的一底角顶点O 重合，通过OAP ?绕点O 旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC )过度，利用线段中垂线证线段相等;第(2)②问，需要对(2)①问逆向思考，通过证PE EQ ⊥这一中间环节，得出PEQ ?与ARB ?为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近.例4.已知两个共顶点的等腰三角形Rt ABC ?和Rt CEF ?,90ABC CEF ∠=∠=°，连结,AF M 是AF 的中点，连结,MB ME .(1)如图7，当CB 与CE 在同一直线上时，求证: //MB CF ;(2)如图7，若,2CB a CE a ==，求BM ,ME 的长;(3)如图8，当45BCE ∠=°时，求证: BM ME =.分析两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第(1)问利用这个性质结合M 点为中点直接证全等;(2)问在(1)问的基础上，证明BEM ?为等腰直角三角形;第(3)问研究在CEF ?绕点C 旋转45°时，BME ?的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明.三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例5.如图9，在Rt ABC ?中，90,BAC AB AD ∠=°=，点D 是AC 的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与,A D 重合，连结,BE EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想.分析等腰直角ADE ?的底角顶点A 与等腰直角ABD ?的直角顶点A 重合，借助BAE EDC 证明BEC ?为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形ADE ?与BEC ?旋转问题的逆问题.例6 如图10 , ABC ?和ACD ?是两个等腰直角三角形，90ACB ADC ∠=∠=°，延长DA 至点E ，使AE AD =，连结,,EB EC BD .(1)求证: BDA BEA ;(2)若BC =BE 的长.分析本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直.第(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第(2)问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长.四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例7如图11，在等腰直角ABC ?中，90,ACB CO AB ∠=°⊥于点O ，点,D E 分别在边,AC BC 上，且AD CE =,连结DE 交CO 于点P ，给出以上结论:①DOE ?是等腰直角三角形;②CDE COE ∠=∠;③1AC =，则四边形CEOD 的面积为14; ④22222AD BE OP DP PE +?=?. 其中所有正确结论正确的序号是 .分析本题表面上看，是一个等腰直角三角形通过作出斜边上的高探究相关结论的问题，实质上是等腰直角DOE ?的直角顶点O 在等腰直角ABC ?斜边中点O 处的结论探究问题.对于选项④利用“四点共圆”，并借助“共角共边的母子”相似三角形，能起到事半攻倍的效果，五、一底角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例8 如图12，等腰直角三角形ABC ?和ODE ?，点O 为BC 中点，90,BAC ODE OD ∠=∠=°交BA 于,M OE 交AC 于N ，试求,,BM NM NA 的关系，并说明理由.分析 DOE ?绕等腰直角ABC ?的底边中点O 旋转，在图12~图14三种情况中，对应的线段和差关系分别是,BM MN NA MN BM NA =+=+.此时DOE ?为等腰直角三角形并不是必备条件，本质上45MON ∠=°才是这一模型的必备条件，其基本的解题途径是，构造共直角顶点的两个等腰直角三角形，通过截长补短解决线段的和差问题.等腰直角三角形底边中点具有独特的性质，以双等腰直角三角形为背景的几何图形，常常具有中点(隐含中点)这一条件，并且图形中常常包含全等三角形，发现其中的全等三角形往往是解题的突破口，而基本的辅助线便是借助中点构造新的等腰直角三角形.。

等腰三角形角平分线定理垂直平分线定理

故∠B=36°
如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD,求∠A的度数
设∠A为x
∵CA=CB
∴ ∠A=∠B=x
E
∵DF=DB
∴∠F=∠B=x
∴ ∠A=∠B= ∠F =x
∴∠ADE=2x
∵AE=AD
∴∠AED=∠ADE=2x
∴ ∠A=180÷5=36°
△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作 DG//BC,交AB于点G，在GD的延长线上取一点E，使DE=DC，连接AE,BD。（1）求证△AGE≌△DAB。
下列命题中真命题的个数是( B)； ①等边三角形也是等腰三角形，任何一边都可以作为底或腰； ②不等边三角形是遍都不相等的三角形； ③不等边三角形是三边不都相等的三角形； ④三角形按边可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。 A.1 B.2 C.3 D.4
已知一个三角形的边长为4cm，5cm，且第三边长x为整数，问：（1）由4cm,5cm,xcm为边可组成多少个不同
∠CAD+∠C=90°， ∴∠BFD=∠CAD
又∵∠AFE=∠BFD
∴∠CAD=∠AFE， ∴EA=EF（等角对等边）， ∴E在AF的垂直平分线上
谢谢！
谢谢！
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD 垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F
，求证：BD＝2CE．
F A
E D
B
C
如图，在△ABC中，已知AB＝AC， ∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC， EC＝BD，DF＝FE．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）AF⊥DE．
∵ＢＰ，ＣＰ分别是△ABC的外角平分线
∴PE=PQ, PF=PQ ∴PE=PF ∵ＰＥ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ＡＣ ∴点P在∠A的平分线上

考点12 等腰三角形-备战2023年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)(解析版)

考点12 等腰三角形【命题趋势】等腰三角形的性质及判定是初中数学最为重要的知识点之一，也是重要几何模型的“发源地”，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的。

在浙江中考中，等腰三角形可以以选择题、填空题出现，来考察其性质；也可以以解答题出题，来考察其性质和判定的综合(此时多为压轴题)。

所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点。

【中考考查重点】一、等腰三角形的性质和判定二、角平分线的性质与判定三、线段垂直平分线的性质与判定考向一：等腰三角形的性质和判定【方法提炼】1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，∠BAD＝35°，则∠B的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．60°【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC＝70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，∵∠BAD＝35°，∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，∴∠B＝（180°﹣70°）＝55°．故选：C．2．等腰三角形的一边等于5，一边等于11，则此三角形的周长为（）A．10B．21C．27D．21或27【分析】因为等腰三角形的两边分别为11和5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当5为底时，其它两边都为11，11、11、5可以构成三角形，周长为27；当5为腰时，其它两边为11和5，因为5+5＝10＜11，所以不能构成三角形，故舍去．所以答案只有27．故选：C．3．在直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），在y轴负半轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，1）D．（0，﹣）【分析】由勾股定理得OA＝，当OA为腰时，以O为圆心，OA为半径画弧交y轴负半轴上一点：（0，﹣）．【解答】解：∵点A（﹣1，1），∴OA＝，当OA为腰时，以O为圆心，OA为半径画弧交y轴负半轴上一点，此点P的坐标为（0，﹣）．故选：D．4．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定【分析】由a2+b2﹣2ab＝0，可得出a＝b，结合a，b是△ABC的两条边长，即可得出△ABC为等腰三角形．【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝0，即（a﹣b）2＝0，∴a﹣b＝0，∴a＝b．又∵a，b是△ABC的两条边长，∴△ABC为等腰三角形．故选：A．5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长（）A．大于9B．等于9C．小于9D．不能确定【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN ＝MN即可解答．【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠NCE，∴MB＝ME，NE＝NC，∵BM+CN＝9，∴ME+NE＝9，∴MN＝9，故选：B．6．如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG ＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝m，则△MGQ周长是（）A．8+2m B．8+m C．6+2m D．6+m【分析】根据等边三角形的判定得出△PMN是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠PMN＝∠PNM＝60°，PN＝MN＝PM＝4，PQ＝NQ＝PN＝2，∠QMN＝PMN ＝30°，求出∠G＝∠GQN＝30°，根据等腰三角形的性质得出GQ＝MQ＝m，再求出答案即可．【解答】解：∵∠P＝60°，MN＝NP，∴△PMN是等边三角形，∵△MNP的周长是12，∴∠PMN＝∠PNM＝60°，PN＝MN＝PM＝4，∵MQ⊥PN，∴PQ＝NQ＝PN＝2，∠QMN＝PMN＝30°，∵NG＝NQ，∴∠G＝∠GQN，NG＝2，∵∠G+∠∠GQN＝∠PNM＝60°，∴∠G＝∠GQN＝30°，即∠QMN＝∠G＝30°，∴GQ＝MQ＝m，∴△MGQ是周长＝MQ+GQ+MG＝m+m+4+2＝6+2m，故选：C．7．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根据已知给出的条件即可得出答案；【解答】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．8．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为50°，则顶角的度数为．【分析】分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．【解答】解：①当为锐角三角形时，如图1，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∴三角形的顶角为40°；②当为钝角三角形时，如图2，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝140°，∴三角形的顶角为140°，故答案为：40°或140°．9．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点；已知A，B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有个．【分析】分三种情况，CA＝CB，AB＝AC，BA＝BC．【解答】解：如图：当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，符合条件的点有6个，当AB＝AC时，以A为圆心，AB长为半径作圆，符合条件的点有2个，当BA＝BC时，以B为圆心，BA长为半径作圆，符合条件的点有2个，综上所述，△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有10个，故答案为：10．10．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为．【分析】根据已知条件得出OA＝OC＝AC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】解：∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，∴OA＝OC，∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，∴AC＝AO，∴OC＝AC＝OA，∴△AOC的形状是等边三角形，故答案为：等边三角形．11．“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A 在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．【分析】利用平行线性质得出：∠ABC＝60°，∠1＝40°，进而得出∠BAC＝∠BCA＝60°，得出△ABC是等边三角形，进而得出答案．【解答】解：由题意得：∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，BC＝10×2＝20（海里），∵CD∥BE，∴∠1＝∠CBE＝40°，∵∠ACD＝20°，∴∠ACB＝∠1+∠ACD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20海里，答：货轮到达C处时与灯塔A的距离AC为20海里．12．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数；（3）若AE＝8，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．【解答】解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝36°，∴∠ABD＝∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°；（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝8，∴AB＝2AE＝16，∵△CBD的周长为24，∴AC+BC＝24，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝16+24＝40．13．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE ＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】先证△BDF≌△CEF（AAS），得出BF＝CF，则∠FBC＝∠FCB，得出∠ABC＝∠ACB，则AB＝AC．【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，∴∠DBF＝∠ECF，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴BF＝CF，DF＝EF，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．考向二：角平分线的性质与判定一．角平分线的性质定理与判定定理性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

专题10 多个等腰三角形求角度(解析版)

专题10 多个等腰三角形求角度1．如图，在第一个△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ，得到第二个△A 1A 2C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（）A ．5°B ．10°C ．175°D ．170°【答案】A【解析】【分析】根据第一个△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，可得∠BA 1A =80°，依次得∠CA 2A 1=40°…即可得到规律，从而求得以点A 4为顶点的等腰三角形的底角的度数．【详解】解：1ABA △中，20B ∠=︒，1AB A B =，1180802B BA A ︒-∠∴∠==︒， 121A A AC =，1BA A ∠是△12A A C 的外角， 121402BA A CA A ∠∴∠==︒ 同理可得：3220DA A ∠=︒，4310EA A ∠=︒，1802n n A -︒∴∠=， ∴以点4A 为顶点的等腰三角形的底角的度数为：548052A ︒∠==︒．故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据等腰三角形的性质求出底角的度数然后发现规律．2．如图，8∠=︒BOC ，点A 在OB 上，且1OA =．按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点1A ，得第1条线段1AA ；再以1A 为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点2A ，得第2条线段12A A ；再以2A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点3A ，得第3条线段23A A ；……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n 的值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质依次可得∠A 1AA 2的度数，∠A 3A 1A 2的度数，∠A 3A 2A 4的度数，∠A 4A 3C 的度数，…依次得到规律，再根据三角形外角小于90°，即弧线与角的另一边无交点，即可求解.【详解】由题意可知：AO =A 1A ,A 1A =A 2A 1，…则∠AOA 1=∠OA 1A ,∠A 1AA 2=∠A 1A 2A ，…∵∠BOC =8°，∴∠A 1AA 2=16°，∠A 3A 1A 2=24°，∠A 3A 2A 4=32°，∠A 4A 3C =40°，…∴8°n ＜90°，解得n ＜1114， ∵n 为整数，故n =11.故选C.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意找到规律进行求解.3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DE ，∠BAD ＝19°，∠EDC ＝11°，则∠DAE 的度数为（）A ．59°B ．57°C ．61°D ．60° 【答案】C【解析】【分析】设DAE x ∠=，则由等腰三角形的性质可得，180192x C ︒-︒-∠=，AED x ∠=，利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，由此解方程求出x ，即DAE ∠的度数．【详解】解：设DAE x ∠=，AB AC =，∴1801801922BAC x C ︒-∠︒-︒-∠==， AD DE =，∴AED DAE x ∠=∠=，AED C EDC ∠=∠+∠，∴18019112x x ︒-︒-=+︒，解得61x =︒，∴61DAE ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．4．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…均为等边三角形，若OA 1＝1，则△A 8B 8A 9的边长（）A ．16B ．64C ．128D ．256【答案】C【解析】【分析】据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【详解】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，…∴△AnBnAn+1的边长为2n-1，∴△A8B8A9的边长为28-1=27=128．故选C．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O点相连并可绕O 转动，点C 固定，点D ，E 可在槽中滑动，OC CD DE ==．若81BDE ∠=︒，则AOB ∠的度数是（）A ．24°B ．27°C ．30°D ．33°【答案】B【解析】【分析】设∠O =x ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：设∠O =x ，∵OC =CD ，∴∠O =∠CDO =x ，∴∠DCE =2x ，∵DC =DE ，∴∠DCE =∠DEC =2x ，∴∠BDE =∠O +∠OED =3x =81°，∴x =27°，∴∠AOB =27°．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．6．某兴趣小组开展了一次探究活动，过程如下：设()090BAC θθ∠=︒<<︒，现把长度相等．．．．的小棒依次摆放在射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上，从点A 1开始，依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1．若只能摆放5根小棒，则θ的范围是（）．A ．15°＜θ＜18°B ．15°＜θ≤18°C ．15°≤θ＜18°D ．15°≤θ≤18°【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，用θ表示出其它角度，再题目条件，列出不等式，即可求出最后的范围．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴12AA A 为等腰三角形，再根据三角形外交的性质，得212A A C A ∠=∠，又∵小棒长度都相等，∴123A A A △为等腰三角形，∴231212A A A A AC A ∠=∠=∠， ∴232313BA A A A A A A ∠=∠+∠=∠，同理可得到434534A A C A A A A ∠=∠=∠，64546555A A A A A A A θ∠=∠=∠=，654656A A C A A A A θ∠=∠+∠=，又∵只能摆放五根小棒，∴690590θθ≥︒⎧⎨<︒⎩，解得1518θ︒≤<︒，故选：C ．【点睛】本题只要考察了一元一次不等式，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是找到等量关系，列出相应的不等式，求出最后答案．7．如图，点B ，C 在射线AN 上，点D ，E 在射线AM 上，且AB BE CE CD AD ====，则A ∠的度数是（）A ．28︒B ．30C ．34︒D ．36︒【答案】D【解析】【分析】设A x ∠=，根据等边对等角可得ACD AEB x ∠=∠=，由外角的性质2CBE CDE x ∠=∠=，根据三角形内角和定理5180A BCE CED x ∠+∠+∠==︒即可．【详解】解：设A x ∠=， AB BE CE CD AD ====∴ACD AEB x ∠=∠=，由三角形的外角的性质得；2CBE CDE x ∠=∠=，根据等边对等角得，2BCE CED x ∠=∠=，根据三角形内角和定理，5180A BCE CED x ∴∠+∠+∠==︒，36x ∴=︒，36A ∴∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、三角形内角和，解题的关键是找到角与角之间的关系，通过三角形内角和定理建立等式求解．8．如图，在第1个1ABA △中，30B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…按此作法进行下去，第n 个三角形的以n A 为顶点的内角的度数为（）A ．1302n +︒B ．1752nC ．1752n +︒D ．1302n -︒ 【答案】B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1A ＝180°−∠B 2＝75°，∵A 1A 2＝A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1＝∠BA 1A 2＝75°÷2＝37.5°；同理可得∠DA 3A 2＝18.75°，∠EA 4A 3＝9.375°，∴第n 个三角形的以An 为顶点的内角的度数为1752n ，故选：B ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．9．如图，ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝AC ，D 、E 分别是AC 、AB 上两点，且BD ＝BE ＝BC ，连接DE ，则∠BDE ＝_________【答案】67.5°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C =∠ABC =75°，再由BD =BC ，得到75BDC C ∠=∠=︒，则45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，由BD =BE ，则18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒．【详解】解：∵∠A =30°，AB =AC ， ∴180===752A C ABC ︒-︒∠∠∠， ∵BD =BC ，∴75BDC C ∠=∠=︒，∴18030DBC C BDC ∠=︒-∠-∠=︒，∴45EBD ABC DBC ∠=∠-∠=︒，∵BD =BE ， ∴18067.52EBD BDE BED ︒-∠∠=∠==︒，故答案为：67.5°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题的关键．10．某数学兴趣小组开展了一次数学活动，其过程如下：如图，设∠BAC =α（0°＜α＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线AB 、AC 之间，并使小棒两端分别落在两条射线上，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2=AA 1，若只能摆放5根相同的小棒，则α的取值范围是__________．【答案】15°≤α＜18°【解析】【分析】本题需先根据已知条件，列出不等式，解出α的取值范围，即可得出正确答案．【详解】解：∵A 1A 2=AA 1，∴∠A =∠A 1A 2A =α，∵A 1A 2=A 2A 3，∴∠A 2A 1A 3=∠A 2A 3A 1=2α，∵A 3A 2=A 3A 4，∴∠A 3A 4A 2=∠A 3A 2A 4=α+2α=3α，∵A 4A 3=A 4A 5，∴∠A 4A 3A 5=∠A 4A 5A 3=α+3α=4α，∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，∴6α≥90°，5α＜90°，∴15°≤α＜18°．故答案为：15°≤α＜18°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．11．如图，D ，E 为ABC 的边BC 上两点，80AEC ∠=︒，BD AD =，DE AE CE ==，则BAC ∠的度数为______．【答案】110°##110度【解析】【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠CAD ＝90°，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求解∠BAD 的度数，进而可求解．【详解】解：∵DE ＝AE ＝CE ，∴∠ADE ＝∠DAE ，∠C ＝∠CAE ，∵∠ADE ＋∠DAE ＋∠C ＋∠CAE ＝180°，∴∠DAE ＋∠CAE ＝∠CAD ＝90，∵∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＋∠DAE ＝∠AEC ＝80°，∴∠ADE ＝∠EAD ＝40°，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝2∠BAD ，∴∠BAD ＝20°，∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠CAD ＝20°＋90°＝110°．故答案为：110°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠CAD 的度数是解题的关键．12．如图，在ABC 中，已知AB AC BD ==，215∠=︒，那么1∠的度数为________．【答案】65︒【解析】【分析】根据AB AC BD ==，可得C B ∠=∠,13∠=∠，根据三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质列出方程组解方程组即可求解．【详解】解：如图，∵AB AC BD ==∴C B ∠=∠,13∠=∠，23180B C ∠+∠+∠+∠=︒1318022C ∴∠=∠=︒-∠-∠又12C ∠=∠+∠218022C C ∴∠+∠=︒-∠-∠318022C ∴∠=︒-∠18030503C ︒-︒∴∠==︒ 12155065C ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：65︒【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，等边对等角求角度，二元一次方程组的应用，掌握以上知识是解题的关键．13．小丽从一张等腰三角形纸片ABC （AB ＝AC ）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC ＝BD ，EC ＝EF ＝FG ＝DG ＝DA ，则∠B ＝_________°．【答案】67.5【解析】【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角求解即可．【详解】解：设∠ECF ＝x ，∵EC ＝EF ，∴∠EFC ＝∠ECF ＝x ，∴∠GEF ＝2x ，∵EF ＝GF ，∴∠FGE ＝∠GEF ＝2x ，∴∠DFG ＝∠FGE +∠ECF ＝3x ，∵DG＝GF，∴∠GDF＝∠DFG＝3x，∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，∵DG＝DA，∴∠A＝4x，∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝5x，∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD＝6x，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝454︒，∴∠B＝4564︒⨯＝67.5°．故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质：等边对等角是解答本题的关键．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AC上一点，AD＝BD，BC＝DC，则∠A的大小是_________．【答案】180 7︒【解析】【分析】由AD＝BD，BC＝DC可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A＝∠ABD＝x，则∠CDB ＝∠CBD＝2x，又由AB＝AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC 中，用内角和定理列方程求解．【详解】解：∵AD ＝BD ，BC ＝DC ，∴△ABD ，△BCD 为等腰三角形，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠CDB ＝∠CBD ＝2x ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝3x ，在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，即x ＋3x ＋3x ＝180°，解得x ＝1807︒，即∠A ＝1807︒．故答案为：1807︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．15．如图，在钢架AB 、AC 中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条12PP 、23P P 、34P P …来加固钢架，且112AP PP =，则BAC ∠的最大值为______°．（结果保留整数）【答案】12【解析】【分析】设∠BAC =x ，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP 6P 7，∠AP 7P 6，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【详解】解：设∠BAC =x ，∵AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 6P 7，∴∠A =∠AP 2P 1=x ，∴∠P 2P 1P 3=2x ，∴∠P 3P 2P 4=3x ，…，∠P 7P 8P 6=7x ，∴7x ＜90°且8x ＞90°，则11.25°＜∠BAC ＜（907）°，故∠BAC 的最大值约为12°．故答案为：12．【点睛】考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．16．如图，在ABC 中，,,AB AC BD BC AD DE EB ====，则A ∠=________．【答案】45︒【解析】【分析】设∠A =x °根据等腰三角形的性质及等边对等角性质进行分析得出∠ABC =∠C =∠BDC902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=，，2x EBD ︒∠=，再利用三角形的内角和定理即可求得∠A 的度数．【详解】解：设∠A =x °∵AB =AC ，BD =BC∴∠ABC =∠C =∠BDC 902x DBC A x ︒︒︒=-∠=∠=， ∵AD =DE =BE∴∠A =∠AED =2∠EBD =2∠EDB ∴2x EBD ︒∠= ∵∠ABC =∠C ∴9022x x x ︒︒︒︒-=+ ∴x =45即∠A 等于45°．故答案为：45︒【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边对等角，以及三角形的内角和定理的运用．17．如图，在ABC 中，AB AC CD ==，点D 在BC 上，且AD BD =，求BAC ∠的度数．【答案】∠BAC ＝108°．【解析】【分析】利用AB ＝AC ，可得∠B 和∠C 的关系，利用AD ＝BD ，可求得∠CAD ＝∠CDA 及其与∠B 的关系，在△ABC 中利用内角和定理可求得∠B ，进一步求得∠ABC ，得到结果．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵BD ＝AD ，∴∠B ＝∠DAB ，∵AC ＝DC ，∴∠DAC ＝∠ADC ＝2∠B ，∴∠BAC ＝∠BAD +∠DAC ＝∠B +2∠B ＝3∠B ，又∠B +∠C +∠BAC ＝180°，∴5∠B ＝180°，∴∠B ＝36°，∠C ＝36°，∠BAC ＝108°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．18．已知：如图，A 1，A 2，A 3是∠MON 的ON 边上顺次三个不同的点，B 1，B 2，B 3是∠MON 的OM 边上顺次三个不同的点，且有OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3(1)当∠MB 1A 2＝45°时，∠MON ＝_______；(2)若OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则∠MON 的最小值是_______．【答案】(1)15°(2)18°【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可；（2）由OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，则OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，则32390180A B B ︒≤∠<︒，再由323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠求解即可．(1)解：∵OA 1＝A 1B 1＝B 1A 2＝A 2B 2＝B 2A 3∴1111AOB A B O =∠∠，112121B A A B A A =∠∠，∵1121111112B A A AOB A B O AOB ∠=∠+∠=∠，1212MB A MON B A O =+∠∠∠， ∴1212=3=45MB A MON B A O MON =+︒∠∠∠∠，∴∠MON =15°；故答案为：15°；(2)解：∵OM 边上不存在B 3点，使得A 3B 3＝B 2A 3 ，∴OM 边上不存在B 3点，使得323332A B B A B B =∠∠，∴32390180A B B ︒≤∠<︒ ，同理可求出223224B A A MON OB A MON =+=∠∠∠∠ ，∴323325A B B MON OA B MON ∠=∠+∠=∠，∴905180MON ︒≤<︒∠，∴1836MON ︒≤<︒∠，故答案为：18°．。

垂直平分线-最短路径-等腰三角形-角平分线--专项拔高训练

垂直平分线最短路径等腰三角形角平分线专项拔高训练1．前后两辆摩托车，从前面一辆的反光镜中看到后面一辆的车牌号是“”，则后面摩托车的实际号码就是__________．2．一辆汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码为．3．如图，EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是G ，BP 、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是P ，F 、C 在AN 上，B 、E 在AM 上，若∠G ＝680，那么∠P ＝。

4．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（直角三角形的中位线）剪去上面的小直角三角形.将留下的纸片展开，得到的图形是（）5．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD 的长为（）A ．32B ．23C ．12D ．34 6．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D C 、分别落在11 D C 、的位置．若65EFB ∠=°，则1AED ∠等于_______度。

7．如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得 ∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2008BC 与 ∠A 2008CD 的平分线相交于点A 2009，得∠A 2009 ．则∠A 2009＝。

8．如图所示，在梯形ABCD 中，90614AD BC ABC AD AB BC ∠====∥，°，，，点M 是线段BC 上一定点，且MC =8．动点P 从C 点出发沿C D A B →→→的路线运动，运动到点B 停止．在点P 的运动过程中，使PMC △为等腰三角形的点P 有 _______．个．9．在如图所示的4×4正方形网格中．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝______．10．如图，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B =50°，则∠BDF =_________．A B CD AD C P B60° A E D C FBD 1C 1BAA 1 A2BaB11．（1）如图，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形；（2）如图，再找一个格点D ，使图中的4点组成一个轴对称图形．12．作图：如图，已知直线l 及其两侧两点A 、B ．（1）在直线l 上求一点Q ，使l 平分∠AQB ；（2）如图，在直线a 上求一点P ，使得P A +P B 最小．13．（1）在正方形ABCD 上,P 在AC 上,E 是AB 上一定点,则当点P 运动到何处时,△PBE 的周长最小；（2）如图等边三角形ABC ，M 是AB 上的中点,在BC 边上找一点P,使PA+PM 的最小；（3）如图，已知，∠AOB 内有一点P ，求作△PQR ，使Q 在OA 上，R 在OB 上，且使△PQR 的周长最小．14．如图，△ABC 的∠B 的外角平分线BD 与∠CCE 相交于点P ．求证：点P 到三边AB,BC,CA 所在直线的距离相等．15．如图，有A ，B ，C 三个村庄，现要修建一所希望小学，•使三个村庄到学校的距离相等，学校的地址应选在什么地方？请你在图中画出学校的位置并说明理由（•保留作图痕迹）．16．某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；（2）说明你设计的理由．17、如图所示，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现l 1l 2l 3在要建造一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等。

学姐笔记-中考数学几何-角平分线、垂直平分线经典题型总结

角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：ACABDC BD =。

分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

初中数学等腰三角形和垂直平分线

等腰三角形和垂直平分线模块一等腰三角形1．等腰三角形等腰三角形解释定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边．性质（1）两腰相等、两底角相等．（2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形．（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形和等腰直角三角形等边三角形等腰直角三角形1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形．2．性质：三边都相等，三角都是60︒．3．判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是90︒的三角形叫做等腰直角三角形．2．性质：两个底角为45︒．3．判定：有一个角是90︒的等腰三角形是等腰直角三角形．模块二垂直平分线垂直平分线解释示例定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线．如图，若AC BC=，AB CD⊥，则直线DE就是线段AB的垂直平分线．性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，已知直线DE是线段AB的垂直平分线，则DA DB=．A BDCEADCEB判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．如图，若DA DB=，则点D在线段AB的垂直平分线上．（1）（2015—2016年七育周练）等腰三角形的一边长为10，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长是__________．（2）等腰三角形的一边长为6cm，且周长为16cm，则这个三角形的底边为_________．（3）等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则该三角形底角的度数为__________．（4）等腰三角形一个角为30︒，则这个三角形腰上的高与底边所夹角的度数为_____．（5）等腰三角形一腰上的中线将三角形的的周长分为两部分，分别是12与15，则腰长为__________．【解析】（1）24；（2）4cm或6cm；（3）30︒或80︒；（4）30︒或15︒；（5）①12315a ba+=⎧⎨=⎩；=57ab⎧⎨=⎩，腰长为10；②31215aa b=⎧⎨+=⎩；=411ab⎧⎨=⎩，腰长为8．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的定义，腰或底角不确定．（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，则这个等腰三角形的顶角为______．（2）已知BD是等腰ABC△一腰上的高，且50ABD∠=︒，则ABC△的底角为_______．【解析】（1）45︒或135︒（提示：等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形）；（2）20︒或40︒或70︒；EDC BA2abaaaab2a模块一等腰三角形例题1例题2若ABC △为钝角三角形时，A ∠为顶角时，三内角大小为140︒，20︒，20︒；若ABC △为钝角三角形时，A ∠为底角时，三内角大小为100︒，40︒，40︒；若ABC △为锐角三角形时，A ∠为顶角，三内角大小为40︒，70︒，70︒．【教师备课提示】这道题主要考查分类讨论，锐角等腰和钝角等腰．（1）如图3-1，在第1个1ABA △中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得在第2个12A CA △中，121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得在第3个23A DA △中，232A A A D =；……，按此做法进行下去，第n 个三角形中以n A 为顶点的内角的度数为_____________．（2）如图3-2的钢架中，焊上13根钢条来加固钢架．若1223131414AP PP P P P P P A =====，则C 的度数是___________．图3-1 图3-2【解析】（1）1602n︒；（2）12︒．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的性质结合外角倒角找规律．（1）如图4-1，ABC △中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且BD CF =，BE CD =，G 是EF 的中点，求证：DG EF ⊥.（2）（14—15年嘉祥期末）如图4-2，在ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，BM AN =，点D 是BC 的中点，连接AD ． ①求证：AD BD =；②求证：DM DN =，且DM DN ⊥．图4-1 图4-2A n A 4A 3A 2A 1EDCB AP 14P 13P 12P 11P 10P 9P 8P 7P 6P 5P 4P 3P 2P 1A例题3例题4A MBCNA B E GFD C【解析】（1）连接ED、DF，AB AC=，B C∴∠=∠，在EDB△和DFC△中BD CFB CBE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)EDB DFC∴△△≌，DE DF∴=，G是EF的中点，∴DG EF⊥．（2）①AB AC=，90BAC∠=︒，45B C∴∠=∠=︒点D是BC的中点，1452BAD BAC∴∠=∠=︒，AD BD∴=，②由①知45DAN∠=︒在ADN△和BDM△中AN BMDAN DBMAD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ADN BDM∴△△≌，DM DN∴=，MDB NDA∠=∠，90ADB∠=︒，DM DN∴⊥．【教师备课提示】这两道小题主要考查等腰三角形三线合一的性质结合全等．（1）如图，ABC△中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：ABC△是等腰三角形．（2）如图，ABC△中，AD是BAC∠的角平分线，AD是BC边上的高，求证：ABC△是等腰三角形．（3）如图，ABC△中，AD是BAC∠的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：ABC△是等腰三角形．【解析】（1）AD为BC中垂线，所以AB AC=，所以ABC△是等腰三角形（2）ABD△和ACD△中，D CBAFEDCBA 例题5ABEG FD C∴ABD ACD △≌△，∴AB AC =， ∴ABC △是等腰三角形（3）过点D 作DF AC ⊥于点F ，作DE AB ⊥于点E ，∵AD 是BAC ∠的角平分线，DF AC ⊥，DE AB ⊥，∴DE DF =， ∵AD 为中线，∴ADB ADC S S =△△，∵，，∴，∴ABC △是等腰三角形．【教师备课提示】这道题主要考查三线合一的性质倒过来推等腰三角形．（1）如图6-1，P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF ⊥BC 于点F ，AD BC ⊥于点D ，求证：PE PF AD +=．（2）如图6-2，如果P 为等腰三角形ABC 的底边BA 延长线上的任意一点，其余条件保持不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；不成立，请求出PE ，PF 和AD 三边满足的关系．（3）如果P 为等腰三角形ABC 的底边AB 延长线上的任意一点，请直接写出PE ，PF 和AD 三边满足的关系．（4）如图6-3，如果ABC △是等边三角形，点P 为三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系，并说明理由．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）连接CP ．∵APC BPC ABC S S S ∆∆∆+=，即111222AC EP BC PF BC AD ⋅+⋅=⋅，而AC BC =，∴PE PF AD +=；（2）连接CP ，由CPB CPA CAB S S S ∆∆∆-=，=90BAD CAD AD ADADB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩12ADB S AB DE =⋅⋅△12ADC S AC DF =⋅⋅△AB AC =AB CE D PF ABCEDP F AB CDEG PF 例题6得：111222BC PF AC PE BC AD⋅-⋅=⋅又∵AC BC=，∴PF PE AD-=；（3）PE PF AD-=；（4）连接CP、AP、BP，∴APC PBC APB ABCS S S S∆∆∆∆++=，∴11112222AC EP BC PF AB PG BC AD⋅+⋅+⋅=⋅，而AC BC AB==，∴EP FP GP AD++=．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的一个常见题型，面积法．（1）如图7-1，AB AC=，54A∠=︒，DE垂直平分AB交AC于E，垂足为D，ABC△周长为28cm，8cmBC=，则BCE△的周长为__________，EBC∠=__________．（2）如图7-2，ABC△的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若150BAC DAE∠+∠=︒，则BAC∠的度数为___________．图7-1 图7-2【解析】（1）18cm，9︒；（2）110︒．【教师备课提示】这道题主要考查垂直平分线的性质．A BCEDPFA BCEDPFA BCDEGPFCBEDAHFEDCBA模块二垂直平分线例题7（1）如图8-1，已知：在ABC △中，22.5B ∠=︒，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF AC ⊥于F ，交BC 边上的高于G ．求证：EG EC =．（2）如图8-2，ABC △中，AB AC =，54BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将C ∠沿EFCE 在BC 上，F 在AC 上折叠，点C 与点O 恰好重合，则OEC∠为____________．【解析】（1）连接AD ，∵D 为AB 的垂直平分线上一点，∴DA DB =，22.5B ∠=︒，∴22.5BAD B ∠=∠=︒， ∴45ADE ∠=︒，AE BC ⊥，∴45DAE ADE ∠=∠=︒， ∴AE DE =，DF AC ⊥，90FDC C ∴∠+∠=︒，又∵90EAC C ∠+∠=︒，∴EAC EDG ∠=∠，在EDG △和EAC △中 EAC EDG ED EAAEC DEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)EDG EAC ∴△≌△，∴EG EC =．（2）如图，连接OB 、OC ， ∵54BAC ∠=︒，AO 为BAC ∠的平分线，∴11542722BAO BAC ∠=∠=⨯︒=︒，又∵AB AC =，∴11(180)(18054)6322ABC BAC ∠=︒-∠=︒-︒=︒,∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA OB =，∴27ABO BAO ∠=∠=︒， ∴632736OBC ABC ABO ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线，∴点O 是ABC △的外心，∴OB OC =，∴36OCB OBC ∠=∠=︒，∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE CE =，∴36COE OCB ∠=∠=︒，在OCE △中，1801803636108OEC COE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．GF EDCBA例题8 ABCDEF G BA OF CEB A O FC E证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．【解析】如图，在ABC△中，设AB、AC的垂直平分线相交于点O，连接OA、OB、OC，由垂直平分线的性质可知：OA OB=，OA OC=，∴OB OC=，∴点O在BC的垂直平分线上，∴三角形三边的垂直平分线交于一点．（1）已知一个等腰三角形的两条边分别为3cm和4cm，则这个三角形的周长为______．（2）等腰三角形的一个外角为100︒，则顶角为__________．（3）等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为6和12两部分，则腰长为________．（4）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，则这个等腰三角形的底角为______．【解析】（1）10cm或11cm；（2）20︒或80︒；（3）8；（4）65︒或25︒．（1）（武侯区期末）如图，在下列三角形中，若AB AC=，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个AB C①AB C②③④364590108AB CAB C例题9复习巩固模块一等腰三角形演练1演练2OCBA（2）如图，AOB ∠是一个钢架，且10AOB ∠=︒，为了使钢架更加牢固，需要在内部添加一些钢管EF 、FG 、GH 、HI ，且有OE EF FG GH HI ====，则IHB ∠=__________．（3）如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE AD =，则EDC ∠=（）度． A ．30 B ．20 C ．25 D ．15【解析】（1）C ；（2）50︒；（3）D ．【解析】【解析】如图，在ABC △中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE CF =，BD CE =．（1）求证：DEF △是等腰三角形；（2）当40A ∠=︒时，求DEF ∠的度数．【解析】（1）AB AC =，B C ∴∠=∠，在EDB △和FEC △中： BE CF B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ (SAS)EDB FEC ∴△△≌，DE EF ∴=，DEF ∴△是等腰三角形．（2）40A ∠=︒，70B C ∴∠=∠=︒，110EFC FEC ∴∠+∠=︒，由（1）知EFC DEB ∠=∠，110DEB FEC ∴∠+∠=︒，70DEF ∴∠=︒．（1）如图4-1：已知等边ABC △中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE CD =，DM BC ⊥，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．（2）如图4-2，等边三角形ABC 中，E ，D 分别在AC ，BC 上，且AE DC =，求AD 与BE 所夹锐角的度数．图4-1 图4-2【解析】（1）连接BD ，演练3演练4PDA B C EO EF H B AGIA BCD EA BCEFDB A M E D∵ABC△为等边三角形，D为AC中点，∴1302DBC ABC∠=∠=︒，∵CD CE=，∴CDE E∠=∠，又∵等边ABC△中60ACB∠=︒，∴160302E∠=⨯︒=︒,∴CBD E∠=∠，∴BD ED=，又∵DM BE⊥，∴M为BE中点．（2）60︒．（1）（15年育才期末）如图5-1，在ABC△中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若ADC△的周长为7cm，2cmAC=，则BC的长为（）．A．4cm B．5cm C．3cm D．以上答案都不对（2）（15年嘉祥半期）如图5-2，50ABC∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABC∠的平分线BE交AD于点E，连接EC，则AEC∠的度数是______________．图5-1 图5-2【解析】（1）B；（2）115︒．如图，在ABC△中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F，EG AC⊥的延长线于G．求证：BF CG=．模块二垂直平分线演练5演练6BAM C EDAEB D CAB CDEABFD CGEABFD CGE笔记区【解析】连接BE 、CE ．DE 垂直平分BC ，BE CE ∴=， AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥， EF EG ∴=，又90BFE CGE ∠=∠=︒， Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△， BF CG ∴=．。

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2.角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。

专题17 等腰三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮

专题17 等腰三角形的核心知识点精讲1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．考点1：等腰三角形的性质与判定考点2：等边三角形的性质与判定性质 1. 等腰三角形的两个底角度数相等 2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”） 3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等，且每个内角都等于60° 3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形 2. 三个角相等的三角形是等边三角形 3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长，h 是任意边上的高考点3 ：线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的作图1. 分别以点 A 、B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C 、D 两点； 2. 作直线 CD ，CD 为所求直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1：等腰三角形的性质和判定】【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（）A ．25B ．22C ．19D ．181.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A ．70°B ．45°C ．35°D ．50°2．（2023•菏泽）△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a ﹣b ）2++|c ﹣3|＝0，则△ABC 是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【题型2：等边三角形的性质和判定】【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交B C的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°2．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△B OC的面积之和为（）A．B．C．D．3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．【题型3：线段的垂直平分线】【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为度．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若A B＝4，则DC的长是．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．一．选择题（共9小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或122．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．AB，AC两边中线的交点处B．AB，AC两边高线的交点处C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（）A．2B．3C．4D．55．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（）A．15B．18C．20D．226．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．107．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则B C长为（）A．5B．6C．7D．88．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°9．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°二．填空题（共6小题）10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC的度数是度．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若A C＝7，BC＝4，则BD的长为．12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝°．13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则P E+PF的长度和为．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为．15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．三．解答题（共3小题）16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CD E的度数．17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？一．选择题（共5小题）1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（）A．B．C．D．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（）A．B．C．D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（）A．3B．3.5C．4D．4.55.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（）A．0.8cm2B．1cm2C．1.2cm2D．不能确定二．填空题（共4小题）6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为c m．7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为．8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD＝60°．其中，正确的有．9．如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠C EB＝60°，则DC的最大值为．三．解答题（共2小题）10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE D B（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6B．3C．1.5D．12．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝．。

线段垂直平分线四种常考题型及解决思路分析

解法探究２０２３年３月下半月㊀㊀㊀线段垂直平分线四种常考题型及解决思路分析◉天津市北辰区秋怡中学㊀张福阳㊀㊀摘要:线段垂直平分线是初中数学几何部分非常重要的知识点,常在几何证明㊁计算㊁尺规作图中使用．考查方式通常比较灵活,且与角平分线结合考查时难度较高．基于此,本文对线段垂直平分线的四种常考题型进行分析,并以此为基础探究与垂直平分线有关的几何题的解决思路．关键词:垂直平分线;证明;解决思路;题型１引言在初中数学几何内容中,垂直平分线是非常重要的知识点,不仅中考考查比较频繁,而且也是教师授新和复习的重点内容[１]．本文中以人教版初中数学教材为参考,对线段垂直平分线的四种常考题型进行介绍和分析,并在此基础上对如何解决这类问题进行探究,希望给教师教学带来帮助．２线段垂直平分线的理论基础人教版初中数学教材是这样安排线段垂直平分线的教学内容:首先从轴对称图形入手,让学生建立初步的直观感受．然后介绍等腰三角形,并借此引入垂直平分线的定义㊁性质和判定,最后简单描述了线段垂直平分线的尺规作图方法．与线段垂直平分线有关的理论如下:(１)定义:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线．(２)性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．(３)判定:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．图１(４)作法:如图１所示．(５)全等三角形．在利用线段垂直平分线解决问题的过程中大多情况下会运用到三角形全等的内容．(６)等腰三角形．由于线段垂直平分线的性质其实是利用等腰三角形的性质得到,因此垂直平分线和等腰三角形结合非常紧密．３常考题型及思路分析从历年数学中考命题来看,线段垂直平分线的考查题型主要有以下四种．３．１求三角形的周长图２例１㊀如图２,M P ,N Q 分别垂直平分A B ,A C ,且B C ＝１３c m ,求әA P Q 的周长．分析:本题可根据垂直平分线的性质将A P 转换为B P ,将A Q 转换为C Q ,于是әA P Q 的周长就转换成线段B C 的长．解:ȵM P ,N Q 分别垂直平分A B ,A C ,ʑA P ＝B P ,A Q ＝C Q ．ʑәA P Q 的周长＝A P ＋P Q ＋A Q＝B P ＋P Q ＋C Q＝B C ＝１３(c m )．思路总结:由垂直平分线的性质可知,垂直平分线既可以实现线段数量关系的转换,也可改变线段的位置．所以,当所求几条线段没有明显的位置关系或数量关系时,可利用垂直平分线将之如例１的方法处理,这是垂直平分线比较常用的方法．３．２求角的度数图３例２㊀如图３,在直角三角形A B C 中,øC ＝９０ʎ,A B 边的垂直平分线D E 交B C 于点D ,交A B 于点E ,连接A D ,A D 将øC A B 分成两个角,且ø１ʒø２＝２ʒ５,求øA D C 的度数．分析:本题先根据垂直平分线的性质得到әA B D为等腰三角形,然后根据其性质得到ø２＝øB ,接着利用三角形的外角得到øA D C ＝２ø２,最后在R t әA D C 利用直角三角形的两个锐角互余的性质求出øA D C 的度数．解:设ø１＝２x ,ȵø１ʒø２＝２ʒ５,ʑø２＝５x ．ȵD E 是线段A B 的垂直平分线,４８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀ʑA D ＝B D ．ʑøB ＝ø２＝５x ．ʑøA D C ＝ø２＋øB ＝１０x ．在R t әA D C 中,ø１＋øA D C ＝９０ʎ,则２x ＋１０x ＝９０ʎ．解得x ＝７．５ʎ．ʑøA D C ＝１０x ＝７５ʎ．思路总结:根据垂直平分线求角度也是初中数学几何中常考题型,这类问题主要是利用垂直平分线的性质得到等腰三角形,然后借助等腰三角形的性质或与直角三角形有关的知识点解题．３．３解决距离问题例３㊀如图４,某城市规划局为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A ,B ,C 之间修建一个购物中心,试问:该购物中心应建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等图４㊀㊀图５分析:本题是点到点距离相等的问题,可根据垂直平分线的判定来解决,分别作线段A B ,B C 的垂直平分线,其交点即为所求．解:如图５所示,点M 即为所求．思路总结:垂直平分线的尺规作图常以这种解决点到点的距离问题的形式出现．需注意的是,垂直平分线上的点是到线段两个端点的距离相等,而角平分线上的点是到角的两边的距离相等．这是学生极易混淆的地方,教师在授新和复习时一定要注意引导学生进行区分．３．４说明线段的数量关系图６例４㊀如图６,在四边形A B C D 中,A D ʊB C ,E 为C D 的中点,连接A E ,B E ,B E ʅA E ,延长A E 交B C 的延长线于点F ．试说明A B ＝B C ＋A D ．解:ȵA D ʊB C ,ʑøD ＝øF C E ．ȵE 为C D 的中点,ʑD E ＝C E ．又øA E D ＝øF E C ,ʑәA D E ɸәF C E (A S A )．ʑA E ＝F E ,A D ＝C F ．又ȵB E ʅA E ,B E ＝B E ,ʑәA B E ɸәF B E (S A S )．ʑA B ＝B F ．ȵB F ＝B C ＋C F ,ʑA B ＝B C ＋A D ．思路总结:本题也可根据垂直平分线直接得到,根据A E ＝F E 和B E ʅA E 证明B E 是线段A F 的垂直平分线．故而,利用垂直平分线可以转化边的位置,进而获得线段之间的数量关系．４利用垂直平分线解决问题的注意事项线段的垂直平分线与线段具有两种关系,一种是位置关系,即线段和垂直平分线互相垂直,另一种是数量关系,即垂直平分线平分线段[２]．所以,在利用垂直平分线解决问题时应注意以下几点:首先,理解这两种关系,准确把握解题方向．很多学生在解题时常常因对关系理解不够准确导致出错,所以教师应先讲透垂直平分线中蕴含的这两种关系,让学生理解题意．如果是数量关系,那么应如例４根据题意找到相应线段转换位置,然后分析这几条线段之间存在怎样的数量关系;如果是位置关系,那么只需分析线段是否平行或垂直;如果题中需要讨论关系 ,而未说明需讨论何种关系,则既要讨论数量关系,又要讨论位置关系．其次,编织和丰富知识网络,为解决问题奠定基础．从本文例题可以看出,利用线段垂直平分线解决问题的过程中,会使用很多细小的知识点．而只要某个知识点出现问题,那么势必会影响解决整道题[３]．所以,教师在授新和复习过程中,要指导学生不断编织和丰富知识网络．５结语综上所述,线段垂直平分线是解决初中几何问题的重要知识点,但是解题过程中一定要注意本文所述的几个方面．为此,初中数学教师一方面要注意基础知识点的传授,另一方面要指导学生构建知识网络．参考文献:[１]朱玉杰,任敏芬,蔡伟,等．小小一纸片玩出大乐趣线段的垂直平分线和角平分线实践类作业设计[J ]．上海中学数学,２０２１(Z ２):６Ｇ９,２５．[２]夏鸣．一次图形性质探究课的实践与思考以线段的垂直平分线的性质教学为例[J ]．中学数学,２０１６(８):３３Ｇ３５,３．[３]涂爱玲,梁艳云．用好四环节教学模式有效训练初中生思维记«线段垂直平分线的性质与判定»的教学与思考[J ]．中学教学参考,２０１８(２６):１Ｇ３．Z５８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

专题11 垂直平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略(解析版)

专题11垂直平分线定理应用的4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一由垂直平分线定理求角的大小】 (1)【考点二由垂直平分线定理求线段的大小】 (2)【考点三由垂直平分线定理求三角形周长的大小】 (2)【考点四垂直平分线定理应用的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一由垂直平分线定理求角的大小】【例题1】如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，垂足为点E ，CD 平分ACB ∠，若50A ∠=︒，则B ∠的度数为（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒【答案】B 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC DA =，得到50DCA A ∠=∠=︒，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角等知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴DC DA =，∴50DCA A ∠=∠=︒，∵CD 平分ACB ∠，A．60︒【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．首先利用AB的垂直平分线A ．20︒B ．30︒C ．25︒D ．35︒【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．连接OA 、OB ，根据三角形内角和定理求出110ABC ACB ∠+∠=︒，根据线段的垂直平分线的性质得到OA OB =，OA OC =，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】解：连接OA 、OB ，70BAC ∠=︒，∴110ABC ACB ∠+∠=︒O 是AB 、AC 垂直平分线的交点，∴OA OB =、OA OC =，∴OAB OBA ∠=∠、OCA OAC ∠=∠、OB OC =，∴70OBA OCA ∠+∠=︒，∴1107040OBC BCO ∠+∠=︒-︒=︒，OB OC =，∴20BCO OBC ∠=∠=︒．故选：A ．【变式3】如图，ABC DEC ≌△△，点A 和点D 是对应顶点，点B 和点E 是对应顶点，若AF 垂直平分CD ，垂足为点F ，则BCE ∠的度数为（）A ．30︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质．全等三角形的性质，得到,ECD ACB AC CD ∠=∠=，进而得到BCE ACF ∠=∠，连接AD ，中垂线的性质，得到AC AD =，进而得到ACD 为等边三角形，进而得到60BCE ACF ∠=∠=︒，即可．解题的关键是得到ACD 为等边三角形．【详解】解：∵ABC DEC ≌△△，∴,ECD ACB AC CD ∠=∠=，∴BCE ACF ∠=∠，连接AD ，∵AF 垂直平分CD ，∴AC AD =，∴AC AD CD ==，∴ACD 为等边三角形，∴60BCE ACF ∠=∠=︒；故选C ．【考点二由垂直平分线定理求线段的大小】【例题2】如图，在ABC 中，点O 是ABC 内一点，OD 垂直平分AB ，若OBC OCB ∠∠＝，4OC =，则点A 、O 之间的距离为（）A ．4B ．8C ．2D ．6【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和等角对等边，连接OA ，由垂直平分线的性质可得OA OB =，由等角对等边可得4OB OC ==，即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，∵OD 垂直平分AB ，∴OA OB =，∵OBC OCB ∠=∠，4OC =，∴4OB OC ==，∴4OA OB OC ===，故选：A ．【变式1】如图，DE 是ABC 的边BC 的垂直平分线，若ADB 的周长为14，6AB =，则AC 的长为（）A ．5B ．7C ．8D ．11【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．先根据垂直平分线的性质，证明CD DB =，再根据ADB 周长AD BD AB =++，进行等量代换即可．【详解】解：DE 是ABC 的边BC 的垂直平分线，CD BD ∴=，AC AD CD =+ ，ADB 的周长614AD DB AB AC BC AC =++=+=+=，1468AC ∴=-=，故选：C ．【变式2】如图，在ABC 中，4cm AC =，线段AB 的垂直平分线交AB ，AC 于点M ，N ，BCN △的周长是7cm ，则BC 的长为（）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质：熟记：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”是解题的关键．【详解】解：MN 是线段AB 的垂直平分线，BN AN ∴=，7cm BC CN BN ++=，7cm BC AN CN ∴++=，即7cm BC AC +=，4cm AC = ，3cm BC ∴=，故选：B ．【变式3】如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线分别交,AC BC 于点,E D ．若ABC 的周长为23，ABD △的周长为15，则EC 的长是（）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】DA．12B．【答案】B【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，用线段垂直平分线的性质得出A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF FC BF FC BC +=+=是解题关键．直接利用基本作图方法得出DE 垂直平分AB ，AF AH =，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF FC BF FC BC +=+=，即可得出答案．【详解】解：由基本作图方法得出：DE 垂直平分AB ，则AF BF =，1AF FC BF FC BC ∴+=+==，AF AH AC FH =⊥，，FC CH ∴=，1AF FC AH HC BC ∴+=+==，AFH ∴ 的周长为：22AF FC CH AH BC +++==，故选：B ．【变式2】如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是212cm ，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则BDM 的周长最短为（）A ．8cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称—最短路线问题，连接AD ，由等腰三角形的性质结合三角形的面积得出6cm AD =，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线，可得点B 关于直线ABC 是等腰三角形，点AD BC ∴⊥，BD =12ABC S BC AD ∴=⋅ 6cm AD ∴=，【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到两端距离相等，即可进行解答．【详解】解：∵,DM EN 分别为边AB ∴,BD AD CE AE ==，A ．160︒B ．140︒C ．130︒D ．125【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理：连接出OAB OBA ∠+∠，根据线段垂直平分线的性质得到OCB OBC ∠=∠，求出CAB CBA ∠+∠的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．∵140AOB ∠=︒，∴18014040OAB OBA ∠+∠=︒-︒=︒∴OCA OAC OCB OBC ∠+∠+∠+∠=∵O 是三边垂直平分线的交点，∴OA OC =，OB OC =，A ．45︒【答案】B 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出利用翻折变换的性质得出50，BAC BAC ∠=︒∠ 12OAB CAO ∴∠=∠=25OAB ABO ∠=∠=∵在等腰ABC 中，A．90α+B．135【答案】D【分析】此题主要考查垂直平分线的性质和三角形的内角和，∠=∠,即得180︒-∠QMC QCMA．1个B．2个C【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论．【详解】解：如下图，作AB垂直平分线与AC相交于点以A为圆心，AB为半径画圆，交以B为圆心，AB为半径画圆，交∴符合条件的点P共有4个．故选：D．【过关检测】一、单选题A．65︒B．60【答案】A【分析】本题主要考查作图-A．100︒B【答案】B【分析】本题主要查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据线段垂直平A．40︒B【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠即可得到结论．对等角求出ABD=【详解】解：∵AB AC【点睛】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．4．如图，在ABC 中，P 为ABC 内一点，过点P 的直线MN 分别交AB 、BC 于点M ，N ，若M 在PA 的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，若64MAP NCP ∠+∠=︒，则PAC PCA ∠∠+的度数为（）A ．116︒B ．64︒C ．68︒D ．118︒【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键．根据题意，得,MAP MPA NCP NPC ∠=∠∠=∠，结合180MPA NPC APC ∠+∠+∠=︒，180PAC PCA APC ∠∠++∠=︒计算即可．【详解】∵M 在PA 的垂直平分线上，N 在PC 的垂直平分线上，∴,MAP MPA NCP NPC ∠=∠∠=∠，∵64MAP NCP ∠+∠=︒，∴64MPA NPC ∠+∠=︒，∵180MPA NPC APC ∠+∠+∠=︒，180PAC PCA APC ∠∠++∠=︒，∴64PAC PCA MPA NPC ∠∠+=∠+∠=︒，故选B ．5．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，E 为BC 的中点，连接DE AE ，，AE DE ⊥，延长DE 交AB 的延长线于点F ．若52AB CD ==，，则AD 的长为（）A ．0B ．6C ．7D ．9【答案】C【分析】由“AAS ”可证BEF CED ≌△△，可得EF DE =，2BF CD ==，由线段垂直平分线的性质可得7AD AF ==．【详解】解：∵E 为BC 的中点，∴BE EC =，∵AB DC ，∴F CDE ∠=∠，在BEF △与CED △中，F CDE BEF CED BE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS BEF CED ≌ ∴2EF DE BF CD ===，，∴7AF AB BF =+=，∵AE DE EF DE ⊥=，，∴7AF AD ==，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明BEF CED ≌△△是本题的关键．二、填空题【答案】45【分析】根据垂直平分线的性质得角和及外角的性质得2PBC ∠【详解】解：AC 的垂直平分线【答案】7【分析】本题考查中垂线的性质．根据中垂线的性质得到AC PA PC AC PB PC =++=++的值，进而得到ACP △的周长的最小值为∵EF 垂直平分AB ，点P 为直线∴PA PB =，∴ACP △的周长AC PA PC =++∵PB PC BC +≥，【答案】10【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．再根据三角形的周长公式计算即可．的周长为【详解】解：∵ABC【答案】19【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到等量代换可得答案．（1）若CMN 的周长为8，（2）若110MFN ∠=︒，则∠【答案】440︒/40【分析】（1）根据中垂线的性质，得到（2）三角形的内角和定理，得到（1）线段BC=cm；（2）分别连接OA、OB、OC，若∠【答案】13100【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质以及三角形内角和，（1）根据线段垂直平分线的性质可得∵OM垂直平分AB，ON垂直平分AC【答案】13【分析】根据垂直平分线得到OB 【详解】解：∵边AB 的垂直平分线∴8OB OA OC ===，AD BD =，∵OBC △的周长为29，【答案】6【分析】本题考查三角形中的最短路径，过点CM MN +最小值．【详解】解：过点C 作CE ∵BD 平分ABC ∠，'⊥M E ∴M N M E '''=，∴CE CM M E''=+∴当点M 与M '重合，点N【答案】7.5【分析】根据垂直平分线得到△的周长为28cm即可得到答案；OBC【详解】解：∵边AB的垂直平分线【答案】40︒/40度【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得∠+∠+∠=︒，则可得BAPB C70【答案】7【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到根据三角形的周长公式即可求出BC关键．【答案】122︒/122度【分析】根据三角形内角和定理得到∠【答案】5【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三线合一，解题的关键是根据已知求出再利用垂直平分线的性质和三线合一得到【答案】10【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到据三角形的周长公式即可得解，键．三、解答题20．已知：如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，22.5B ∠=︒，DE 是BC 的垂直平分线交AB 于D 点．求证：AD AC =．【答案】见解析【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，连接BD ，根据线段垂直平分线的性质得到DB DC =，然后利用等边对等角得到22.5B DCB ∠=︒∠=，然后利用三角形外∵DE 是BC 的垂直平分线∴DB DC=∴22.5B DCB ∠=︒∠=∴45ADC B DCB ∠=∠+∠=︒(1)若40BAE ∠=︒，求C ∠的度数；(2)若ABC 的周长为19cm ，【答案】(1)C ∠的度数为35︒(2)6cm。

7.垂直平分线与等腰三角形

垂直平分线与等腰三角形一、重点知识回顾1、角平分线性质定理——角平分线上一点到角两边距离相等；判定定理——角的内部，到角两边距离相等的点在角平分线上。

2、垂直平分线性质定理——垂直平分线上一点到线段两端距离相等；判定定理——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上。

3、等腰三角形的性质性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；性质2 等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。

二、经典例题专题一垂直平分线的应用及相关证明例1.如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.例2．如图所示，AB=AC ，BM=CM ，直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？变式练习1.（2016荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若BC=3，则DE 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4ED G FCBA2.在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，交AB 于D ，若△BCE 的周长为8，且AC ﹣BC=2，则AB= .3.已知如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，过点E 作DE ∥BC 交AB 于点D ，若AE=3 cm ，△ADE 的周长为10 cm ，则AB= 。

4.（2016天门）如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于E ，D 两点，EC=4，△ABC 的周长为23，则△ABD 的周长为（）第3题第4题5.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA=PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个6.△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC=5 cm ，BC=4cm ，那么△DBC 的周长是（）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm7、如图，（1)、AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=（2）、AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是（3）、AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28°，那么∠EBC 是8、如图，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，且AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别是E 、F. 求证：AD 是EF 的垂直平分线.专题二等腰三角形的性质与判定例3.若等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于3，则它的周长等于（）A．10 B．11 C．13 D．11或13例4如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，求CE的长度。

人教版数学八年级上册第十三章中垂线(角平分线)与等腰三角形联手巧解题

中垂〔角平分〕线与等腰三角形联手巧解题角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．一、角平分线与等腰三角形例1、如图1，在△ABC中，∠BAC，∠BCA的平分线相交于点O，过点O 作DE∥AC，分别交AB，BC于点D，E．试猜测线段AD，CE，DE的数量关系，并说明你的猜测理由．分析：当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．由于OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，DE∥AC，可得△ADO 和△CEO均是等腰三角形，那么DO＝DA，EC＝EO，故AD+CE＝DE。

解：AD+CE＝DE．理由如下：OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠OAC=∠DAO，∠OCA=∠OCE，因为DE∥AC，所以∠DOA=∠OAC，∠EOC=∠OCA，所以∠DOA=∠DAO，∠EOC=∠OCE，所以DO＝DA，EC＝EO，故AD+CE＝DO+EO=DE。

．例2、如图2，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F．说明：AE＝AP．分析：要说明AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，那么可以作AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以AD∥EF，所以可得到△AEP是等腰三角形，故AE＝AP．解：作AD平分∠BAC，那么∠BAD=∠CAD，因为AB=AC，所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以∠ADC=∠EFC=90°，所以AD∥EF，所以∠BAD=∠E，∠CAD=∠APE，所以∠E=∠APE，所以AE=AP。

二、中垂线与等腰三角形例3、如图3，在Rt ABC∠=︒，DE是AB的垂直平分线，△中，90C交BC于D，E是垂足，∠CA D∶∠CAB＝1∶3 ，求∠B的度数．分析：由DE是AB的垂直平分线，得DA＝DB，从而DAB B∠=∠，从而找到CAB∠与B∠的关系，再根据三角形内角和定理可求．解：因为DE垂直平分AB，所以DA＝DB，所以DAB B∠=∠.设CAD xB DAB x∠=∠=︒．CAB x∠=︒，所以3∠=︒，所以2因为90x x x︒+︒+︒=︒．∠+∠+∠=︒，所以2290CAD DAB B解得18∠=︒=︒．B xx︒=︒，所以236例4 、如图4，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，且∠BAC=115º，∠EAF的度数．分析：要求∠EAF的度数，可采用整体思想，结合条件“垂直平分线〞得“线段相等〞，进一步可得∠B=∠EAB，∠C=∠F AC，而∠B+∠C=180º-∠BAC=65º，从而可求得∠EAF的度数．解：因为EM、FD分别是AB、AC的垂直平分线，所以EB=EA，FC=FA．所以∠B=∠EAB，∠C=∠F AC．因为∠B+∠EAB+∠C+∠F AC+∠EAF=180º，所以∠EAF=180º-2〔∠B+∠C〕，而∠BAC=115º．所以B+∠C=180º-115º=65º，所以∠EAF=180º-130º=50º．。

等腰三角形、等边、中垂线、角平分线专题练习

考点一等腰三角形的性质1、已知等腰三角形一个内角为50°，则其余两个内角为。

2、如果等腰三角形的一个底角为40°，则其余各角为。

3、等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，那么这个等腰三角形各个内角分别为。

4、如图所示，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 的度数为（）A 、90°B 、25°C 、70°D 、60 °5、等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A 、顶角B 、顶角的一半C 、顶角的2倍D 、底角的一半6、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，AB 垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，则∠DBC 的度数为（） A 、50° B 、15° C 、30° D 、65°7、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，AD=DB=BC ，求∠A 的度数。

8、如图所示，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB=AC ，BC=BD ，AD=DE=BE 。

求：∠A 的度数。

9、如图所示，在△ABC 中，AB=AC, ∠BAD=30°，且AD=AE ，求∠EDC10、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，BF=CD ，BD=CE ，∠FDE=α，求证：2α+∠A=180°.A F （第4题）B（第6题）B CBEB D11、在△ABC 中，AC=AB ，AB 的垂直平分线交AB 于N,交BC 的延长线于M ，∠A=50°.求：(1)∠NMB 的度数；如图（1）所示、（2）如图（2）所示，以上条件不变，试猜想∠NMB 与∠A 的关系？考点二等腰三角形的判定1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹角为45°，则顶角的度数为。

2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，CA=8cm ，动点P 从C 点出发，以每秒2cm 的速度沿CA 、AB 运动到B 点，则从C 点出发 s 时，可使14BCP ABC S S ∆∆=. 3、如图所示，两个全等的直角三角形都有一个锐角为30°，且较长的直角边在同一直线上，则图中的等腰三角形有（）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个4、在△ABC 中，AD ⊥BC 于D 点，且D 是BC 的中点，则下列结论中正确的个数是（）①△ABD≌△ACD；②∠B=∠C ；③AD 是△ABC 的高；④AD 是△ABC 的中线；⑤AD 是△ABC 的角平分线；⑥AB=ACA 、3个B 、4个C 、5个D 、6个C （1）C （2）（第3题）5、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠ACD ，求证：AD ⊥BC6、如图所示，D 是BC 边的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF ，求证：AB=AC8、如图所示，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E 。

【例题讲解】等腰三角形中角度或线段的相关计算例 -完整版课件

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2
情况二：点B是△ABC的底角的顶点， BD在三角形内部；
解：延长BD到点G，使DG=BD， ∵ BD⊥AC，
连接AG．
∴∠BAD=30°．
∴BG=2BD．
∵DG=BD= 1AC，BD⊥AC． 2
在△ABC中， ∵ AB=AC，
∴BG=AC=AB=AG．
∴∠ABC=∠C．
∴△ABG是等边三角形．又∠BAD+∠ABC+∠C=180°，
BD= 1 AC，则等腰三角形ABC底角的度数为
．
2
情况二：点B是△ABC的底角的顶点， BD在三角形内部；
延长BD到点G，使DG=BD，连接AG．
AG=AB，BG=2BD
BD 1 AC 2 BG=AB
△ABG是等边三角形 ∠BAG=60° ∠BAD=30°
△ABG是等边三角形
∠C=75°
例题已知△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，垂足为点D，且
三角形
点B作为底角顶点
△ABC是钝角三角形
例题已知△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，垂足为点D，且
BD= 1 AC，则等腰三角形ABC底角的度数为
．
2
情况一：点B是△ABC的顶角的顶点；
AB=BC，BD⊥AC
CD 1 AC 2
BD 1 AC 2
BD=CD
∠C=45°
例题已知△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，垂足为点D，且
BD= 1 AC，则等腰三角形ABC底角的度数为
．
2
情况三：点B是△ABC的底角的顶点，BD在三角形外部．
延长BD到点E，使DE=BD，连接AE，
△ABE是等边三角形
∠BAE=60°