14章-6 率与构成比的假设检验

设有k个相互独立的标准正态分布变量，则
称为自由度为k的χ2分布。与标准正 χ 态分布不同，χ2 分布的随机变量取 χ 值在「 o ，十 ∞ ）。图 14 一 4 描述 了不同自由度χ2分布的概率密度曲线。 χ 从附表 13 ( 22 分布界值表）可以查到 不同自由度的χ2分布的各种临界值。 χ
2检验 （二）分布的χ
（1）χ2分布是一种连续型随机变量 的概率分布
χ2分布的形状依赖于自由度v的大小，
A：当自由度v ≤ 2时，曲线呈L型； B：当自由度v> 2时，随着v的增加，曲线逐渐 趋于对称； C：当自由度v趋于∞时， χ2分布逼近正态分布
(2) χ2分布的基本性质——可加性
如果两个独立的随机变量X1和X2分 别服从自由度为v1和v2的 χ2 分布， 那么它们的和（X1+X2）服从 （V1+V2）的 χ2 分布。
1.两种特征分布间独立性检验
检验的目的：是判断两种特征分 类间是否存在关联 。如果一种特 征的概率分布与另一种特征的概 率分布无关，则认为这两种特征 相互独立。
例 14 一 26
某医院从正常体检人员血清标本获得如 下结果，试问，乙肝表面抗原（ HbsAg ） 与乙肝核心抗体（-HBc ）检测结果之间 是否存在联系？
分析
在表 14 － 17 中，如果 HbsAg 为阳性的151 人中一 HBc 的阳性率与 HbsAg 为阴性的 1911 人中一 HBe 的阳性率没有统计差异， 则可认为 HbsAg 与一 HBc 检测结果之间没 有关联，即相互独立。若将 HbsAg 与- HBc 位置互换进行分析，道理是一样的。因此可 应用两个率比较的 X2 检验处理本例的问题。
于是格子 a 的理论频数
（2）计算其余三个格子的理论频数为：
（3）计算χ2统计量
3、计算P值并作统计结论
查附表 13：
X 02.01(1) = 6.636
X 02.025(1) = 5.412
故 0 . 01 ＜P＜ 0 . 025
在a= 0 . 05 水平上拒绝 H0 ，接受 H1 。 可认为两药疗效不同，替硝哗疗效较好。
(1)建立假设，确定检验水准
（2）计算检验统计量
（3）确定P值，作统计结论
X
2 0.005(1)
= 7.88 所以P＜ 0 . 005 ，
在 a = 0 . 05 水平上拒绝 H0，接受 H1 ， 可认为两种检测结果有关联。
2. 两种检测结果比率比较
在本章前部已经对配对设计有所了 解。如果这种设计的反应变量为二 项分类，其观察结果可以整理成 2 x2 表（如表 14－18 ）。对这种资料分 析的目的之一是比较两种方法的阳 性率 。
（1）建立假设，确定检验水准
（2）计算检验统计量
（3）求P值，做统计结论
X 02.005( 2) = 10.60, P 0.005, 在α＝0.05的水平上拒绝H 0 , 接受H 1。 可以认为三个年龄组立克次感染率不全相同。
例 14 一 25
为探讨青少年吸烟行为与心理特质的关 系，南方某市调查到如下资料。试问， 吸烟与不吸烟的中学生心理特质构成是 否相同？
由每组的观察频数(A)减去相应的理论频数(T)， 即得每组A与T的差异，如果将各组A-T的频数相加， 其总和数常等于零，这种关系可用下式表示：
∑ (A T ) = ∑ A ∑T = n n = 0
故用 ∑ ( A T ) 不能反映实际观察频数与理论观 察频数相差的程度
如果将A-T平方，并将各组( A T ) 2 相加，得总 2 数 ∑ ( A T ) 。观察频数与理论频数相差越大 ，则 ( A T ) 2 的数值越大，反之则越小。 尚有不足之处，因为绝对差异数还不能完全 反映相差的程度： 某一资料的观察频数为204，理论频数为200 另一资料的观察频数为19，理论频数为15 故需把 ( A T ) 2 的数值变为相对数，即
例 14 一 23
1997 年血清流行病学调查部分 结果如下。试间立克次氏体感 染率甲地是否高于乙地？
(1(建立假设，确定检验水准
a= 0 . 05
（2）计算概率
将原表以及 a = 5 与 a = 6 两个表的概率之和 作为检验的P值： P = 0 . 01088 + 0 . 08899 + 0 . 25955 = 0 . 35942 > 0 . 05 。 按a ＝ 0 . 05 水准，不能拒绝 H0 。所以尚不 能认为甲地的感染率高于乙地。
求，所以应用较广。 所以应用较广。
K . Pearson ( 1899 ）证明了，如果零假设 “ H0 ：样本来自某理论分布”成立而且当 大样本时， ( 14 一 37 ）式服从自由度为v的 χ2 分布。其中，v＝k一 1 一（计算 T 时利用 样本估计的总体参数的个数）。
χ2统计量的意义，可通过下列例子说明:
知 0 . 5 < P < 0 .75，在a＝ 0.05 的水平 上不能拒绝 H 。 所以尚不能认为P53 在两种病理切片 的表达率不同。 本例如果不校正，X2＝ 0 . 6835 ，相应 的 0 . 25 < P < 0 . 5 。
四、四格表精确概率法
两个样本率比较的四格表资料如果出现 : <40或T<1时 不能用χ 检验， n<40或T<1时，不能用χ2检验，需用 精确概率法。 Fisher 精确概率法。
列表资料的χ （3）行×列表资料的χ2检验 ）
(A T) χ =∑ T
2 2
经推导，行×列表： 行 列表
A2 2 x = n ∑ n n 1 R c
A为实际数； n为总例数
n R 为与某实际数(A)同行的合计数；
n c 为与某实际数（A)同列的合计数；
例 14 一 24 为了解立克次体病在某省存在的 情况， 1997 年对 23 个县（市） 进行了血清流行病学调查，结果 如下，试问不同年龄人群的立克 次体感染率是否不同？
χ
2
=
∑
( A T )2 T
分母为什么是T而不是A，因为：
1.当理论数的数值极小时，由于抽样误差可 使实际观察例数为零； 2.理论数是大量的经验和自然规律推算出来 的，论据较广，而观察例数来自有限的样本， 变动较大。
二、完全随机设计两个样本率 2检验 比较的四格表χ χ
这里的两个样本可以是完全随机分 组的两份样本，也可以是从两个总 体（例如男性与女性）分别独立抽 取的两份样本。
例如：母豚鼠所产的幼豚鼠的性别分为雌雄两组， 在某次实验中，若干只母豚鼠所产的幼豚鼠中有70 只为雌性，54只为雄性，而在大量的调查资料中， 雌雄豚鼠的性比例一般为1：1。 如果观察频数与理论频数相吻合，则其性比例符合 1：1；如果相差很大，即需要研究某种实验条件是 否影响母豚鼠所产幼豚鼠的性比例，这就需要研究 观察频数与理论频数相差的程度。
例 14 一 28
某医院称治疗声带白斑的有效率为 80 ％。今 统计来求医的此类患者60例，其中 45 例有 效。试问该医院宣称的疗效是否客观？
（1）建立假设，确定检验水准
第六节 率与构成比的假设检验
学 习 目 标
能够进行两个或多个率（或构成比） 两个或多个率（或构成比 两个或多个率 差别的 检验2 X 能够根据资料的性质正确选择 X 2 检 验方法。
2检验 χ
检验是一种用途较广的假设检验方法。 χ2检验是一种用途较广的假设检验方法。 它常用于分类计数资料的分析， 它常用于分类计数资料的分析，如两个 或多个率或构成比的比较 的比较、 或多个率或构成比的比较、计数资料的 相关分析等 相关分析等。
如果是双侧检验
H 0： π 1 = π 2 H1 ： 1 ≠ π 2 π 则应将 IA 一 Tl 大于等于原表的所有四格表 （它们更支持 H1 ）的概率相加作为检验的P 值。
双侧检验： P=0.05, χ2 =3.86 P=0.01, χ2 =6.63
五、 R xC 表分析
把表达构成比或多个样本率资料的统计表 统称为 R ( Row ) x C ( Column ）表。 行列表χ2常用于多个样本构成比或多个样 χ 本率的比较。
2 ．如果行或列的变量是有序的（等级 分组的），不要仅作率或构成比的比较。 根据资料特点或研究目的还应考虑作秩 和检验或趋势检验分析。
六、 2 x 2 列联表分析
对一份随机样本按两个二项分类的特征 进行交叉分类的结果，可归纳成双向分 类表，称为 2 x2 列联表。 这种表虽然在形式上与两个率比较的四 格表类似，但是分析的角度却有不同。 对 2 x2列联表一般可作两个方面的分析。
四格表专用公式：
2检验 常用的χ 常用的χ
成组（四格表）资料的χ 成组（四格表）资料的χ2检验 n>40，T>5时 ， 时
χ χ
2
2
( A T )2 = ∑ 或 T （ ad bc)2 n = (a + b )(c + d )(a + c )(b + d )
P149
甲 乙 合计
+ a c a+c
注 意 事 项：
1.总样本量不能太小，至少50例； 2.如有1/5以上格子的理论数小于5或 有一个格子的理论数小于1；应考虑 a.条件允许时增加样本含量以增大 理论数；
b.将理论数太小的行或列与相邻的行或列 的观察值合并，以增大理论数，但合并 时应考虑资料的性质合理合并，不能把 不同性质的实际频数合并，否则会导致 错误的结论。
(Hale Waihona Puke )建立假设，确定检验水准（2）计算检验统计量
（3）求P值，做统计结论
2 X 0.005(2) = 10.60, 知P 0.005 ，在 ＝0.05 α 的水平上拒绝 0 , 接受 1， H H
可认为吸烟与不吸烟的 中学生心理特质构成不 同。