复变函数课件5-2-1利用留数求积分
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高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.1 留数定理及留数的求法
0
的去心邻域内的罗朗展开式为：
sin z
1 z2
z4
L
1n z2n
L
z
3! 5!
2n 1!
故负幂次项 z1的系数 C1 0 ，即
Res
sin z
z
, 0
0
若孤立奇点z0为f (z)的可去奇点，则
Res f (z), z0 0
例1.3
函数
f
(z)
1 z(z 1)2
在
z
1 处有一个
二级极点，这个函数又有下列罗朗展开式：
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证 把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来 （如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
Cm 0
Байду номын сангаас
g z Cm Cm1 z z0 L C1 z z0 m1
C0 z z0 m L
在点 z0 是解析的，且 g z0 Cm 0
由
f
z
gz z z0 m
，有 z
z0 m
f
z
gz
上式两端对 z 求导 m 1 次，并取极限（z z0），
得
lim
在 z 1的去心邻域
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
《复变函数》第5章
例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第1页
§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.
南大复变函数与积分变换课件(PPT版)5.2 留数
lim
z 1
d z
5
( z sin z )
1 5!
lim ( cos z )
z 1
. 巧合?
(非也!)
注 (1) 此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。
(2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，
而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。
16
§5.2 留数 第 三、留数定理 五 章 定理 设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外 处处解析，在边界 C 上连续， 则 留 n 数 及 C f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] . k 1 其 应 用 证明 如图，将孤立奇点用含于 D 内且
13
§5.2 留数 第 五 章 留 数 及 其 应 用
解 方法一 利用洛朗展式求留数 将 f (z ) 在 z 0 的去心邻域展开， 得
f (z) 1 z
6
[ z (z 1 5! z
1 3! 1
z
3
1 5!
z
5
1 7!
z ) ]
7
1 3! z
3
7!
z ,
Res [ f ( z ) , z 0 ] lim ( z z 0 )
z z0
P(z) Q(z)
lim
z z0
P ( z0 ) P(z) . Q ( z ) Q ( z0 ) Q ( z 0 ) z z0
6
§5.2 留数 第 五 章 留 数 解 (1) z 0 是 f1 ( z ) 的可去奇 点， 及 Res [ f1 ( z ) , 0 ] 0 . 其 应 用 (2) z 0 和 z 1均为 f 2 ( z ) 的一阶极点，
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.2 用留数定理计算实积分
§5.2 用留数定理计算实积分
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
复变函数留数PPT课件
1
1 z2
1 1 2! z4
Res[ f (z),0] 0
I0
工程数学---------复变函数
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4. 无穷远点的留数 定义：设 f (z)在H : R z 内解析，C为H内绕原点的 任何一条简单正向闭曲线，则积分
2i
k 1
Res[
f
(z), zk ]
工程数学---------复变函数
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以 (z z0 )m 乘上式的两端，得 (z z0 )m f (z) cm cm1(z z0 ) c1(z z0 )m1
c0 (z z0 )m c1(z z0 )m1
两边求 m 1阶导数，并乘以 1 , 得 (m 1)!
{ z
1 }
z2
(1)m1
(m 1)! (z z2)m
1 Res[ f (z), z1] (z2 z1)m
工程数学---------复变函数
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z2为f (z)的一级极点，
Res[
f
( z ),
z2 ]
lim ( z
zz2
z2 )
f
(z)
1
lim
zz2
(z
z1 ) m
(z z2 z3 )3
z2 z3
1 z2 z4 ) 3! 5!
(1 z z2 )3
2! 3!
2! 3!
1(z)
z
工程数学---------复变函数
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1 z2 z4 )
其中(z)
(1
3! z
5! z2
)3
,
且(0) 1，(z)在z 0
留数定理计算积分
留数定理计算积分留数定理（Residue Theorem）是复变函数论中的一个重要定理，用于计算恰当积分（狭义上的积分）。
留数定理是由法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）首次提出的，后来由数学家埃伯特（Augustin-Louis Cauchy）进一步发展和推广。
留数定理的基本思想是：将一个复变函数在复平面上的奇点（pole）附近进行留数运算，可以得到函数在这些奇点处的留数（Residue），而这些留数又与函数的积分值有着密切的关系。
具体来说，留数定理是基于复变函数的洛朗级数展开定理（Laurent series expansion），将复变函数表示为有限项幂级数的形式。
留数定理的表述如下：设f(z)是在以z0为中心的一个除去z0的可去奇点的域D上的解析函数，若沿着C所绕一圈的积分为I，则I=2πi∑Ci=1Res[f(z),zi]，其中Ci表示D中唯一一种类型的奇点，zi是沿C所绕一圈所取的这种类型的奇点。
简单来说，就是对于一个解析函数f(z)，如果它的奇点及其类型都已知，并且积分路径C能包围这些奇点，那么C绕这些奇点一圈的积分值就等于这些奇点处留数的和的2πi倍。
这个定理在计算积分时非常有效，因为通过计算奇点处留数，就能把积分问题转化为简单的代数运算。
下面我们通过一个具体的例子来说明留数定理的应用。
例子：计算函数f(z)的积分∮Cf(z)dz，其中C是圆周，z，=2的路径，函数f(z)=sin(1/z)。
解：首先，函数f(z)在z=0处有一个非孤立奇点，因此奇点处的留数需要通过级数展开来计算。
将函数f(z)展开为洛朗级数，得到：f(z)=sin(1/z)=1/z-1/(3!z^3)+1/(5!z^5)-1/(7!z^7)+…对于sin(1/z)来说，其除0外的所有整数次幂项的系数都为0，因此只需要计算奇点处的1/z系数即可。
由于我们只需要计算z=0处的留数，所以只需要取展开式的第一项，即留数为1根据留数定理，积分∮Cf(z)dz=2πi×留数=2πi×1=2πi。
复变函数第五章 留数理论及其应用
由规则3
P( z) z 1 = 3= 2, Q ( z ) 4 z 4z
此法在很多情况下此法更为简单.
z dz , C为正向圆周: z = 2 . 例5 计算积分 4 z 1 C z 在 z = 2 的外部, 除 点外没有 解 函数 4 z 1
其他奇点. 根据定理 5.2与规则4: z z 4 1 dz = 2iRes f ( z ), C 1 1 = 2iRes f 2 ,0 z z z = 0. = 2iRes , 0 4 1 z
k =1
n
C
Res[ f ( z ), zk ] f ( z )dz = 2i k =1
= 2iRes[ f ( z ), ].
n
(留数定理)
计算积分
C
f ( z )dz
计算无穷远点的留数.
优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)
3.在无穷远点处留数的计算 •规则4
z = 0是p( z )的 三 级 零 点 , 是f (z)的三级极点。
1 z sin z z sin z 由规则2 Re s ,0 = lim " 6 3 z (3 1)! z0 z
若将f ( z )作Laurent级数展开 :
z sinz 1 1 3 1 5 = 6 [ z ( z z z )] 6 z z 3! 5! 1 1 11 = 3 3! z 5! z
1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] = c1 = f ( z )dz 2i c
( 2)
二、利用留数求积分
1. 留数定理 设函数 f(z)在区域D内除有限个孤立奇点
复变函数第五章2留数的一般理论
2020/6/3
1 !z idz
1 4 e12
定理5.5(留数定理） 设D是复平面上一个有界闭区域，
若函 f(z)数 在区 D内 域除有限个 z1,z2,孤 ,zn立 外 处 奇处 点解
且它D 在的边C界上也解析n ，则
f(z)d z2iRefs(z)[,zk].
C
k1
证明：分别z围 1,z2, 绕 ,zn构造小c1的 ,c2,圆 ,cn 周
z0是 f(z)的一阶 zi极 是 f(z)的 点二 ，阶
Re f(zs )0 [,]lifm (z)z z 0
lim
z0
eiz (z2 1)2
1
Rfe(z)si],[1lid m {f(z)(z i)2}
1 !z idz
d
eiz
lim { zi dz z(z
i)2}
3 4e
类似地，Rfe (z)s ,i] [1lim d{f(z)(z i)2 }
z0
f(z)在z0的去心 0邻 z域 上的罗朗级数
1
(fn( z0)zn11z)e(zzn 0n1z!1(11z)zn)e 1z(z zz 2 (n 0zz3 n ) (n) 01 ( n 1!1 z( 1z)2 1 n!)z 1 2 3 1 !z 1 3 )
z1的系数 c1
1 2!
解：ez在z 0的去心邻域内的罗 数朗 为级 ：
1
ez
1 (1)n
n0 n! z
ce1 zd zc {n 0n 1 !(1 z)n}d zc { 11 z2 !1 z2 }d z
2i
2020/6/3
2
二.留数定义
（一般情 计形 算） 积 cf(z分 )d， z 其 c为 中 z0去心邻
复变函数与积分变换留数
时移性质
积分变换具有时移性质，即对于函数在时间上的平移，其 积分变换的结果也相应地发生平移。
微分性质
积分变换具有微分性质，即对于函数的导数或微分，其积 分变换的结果等于原函数积分变换结果的导数或微分。
03 留数
留数的定义与性质
总结词
留数是复变函数在奇点附近的行为的度 量，具有连续性、可加性、可乘性和可 交换性等性质。
02 积分变换
傅里叶变换
定义
傅里叶变换是复变函数中的一种积分变换，它将一个函数从实数域转换到频域，通过将函数分解为正弦和余弦函数的 无穷和来表达。
性质
傅里叶变换具有线性、平移、相似和周期性等性质，这些性质使得傅里叶变换在信号处理、图像处理和数值分析等领 域具有广泛应用。
应用
傅里叶变换在信号处理中用于频谱分析和滤波器设计，在图像处理中用于图像压缩和特征提取，在数值 分析中用于求解偏微分方程和积分方程。
在其他领域的应用
量子力学
电路分析
在量子力学中，波函数通常表示为复数形式， 而积分变换在量子力学中的哈密顿算符和薛 定谔方程中有着重要的应用。
在电路分析中，复数和积分变换被广泛应用 于分析交流电路和线性时不变电路的响应。
06 留数的应用
在复分析中的应用
1 2
计算复积分
通过计算留数，可以将复平面上的闭合曲线的积 分转化为有限个简单积分的和，从而简化计算。
拉普拉斯变换
01
定义
拉普拉斯变换是复变函数中的另一种积分变换，它与傅里叶变换类似，
但适用于更广泛的函数类，特别是那些在实数域上无界的函数。
02
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、复数移位和微分等性质，这些性质使得
拉普拉斯变换在控制系统分析和偏微分方程求解等领域具有广泛应用。
复变函数留数习题PPT课件
VS
应用
留数定理在解决各种数学问题中有着广泛 的应用，如求解定积分、求解微分方程等 。此外，留数定理还在物理学、工程学等 领域中有着广泛的应用。
03
习题解析
简单习题解析
总结词
基础知识点
详细描述
简单习题主要涉及复变函数和留数的基本概念，包括复数、复变函数、级数、积分等。 这些题目旨在帮助学生掌握复变函数和留数的基本知识点，为后续的学习打下基础。
留数的定义与性质
留数的定义
留数是复变函数在奇点附近的行为的一种度量，它是通过计算函数沿着正反两个方向的无穷小包围区 域的积分来定义的。
留数的性质
留数具有一些重要的性质，如线性性质、可加性、奇偶性质等，这些性质在计算留数时非常有用。
留数定理及其应用
留数定理
留数定理是复变函数积分理论中的重要 定理，它表明一个复函数沿着一个封闭 曲线的积分可以用该函数在曲线内部的 奇点上的留数来计算。
复数在物理中的应用
在交流电和电信中的应用
在交流电和电信中，常常需要用到复数来表示正弦波和余弦波，以便于进行计 算和分析。
在量子力学中的应用
在量子力学中，波函数通常是复数，通过复数来表示粒子的状态和行为。
02
复变函数的积分与留数
复变函数的积分
பைடு நூலகம்
01
复数平面上的路径
复变函数在复平面上的积分依赖于所选择的路径，不同的路径可能导致
04
留数在解决实际问题中的应用
在电路分析中的应用
总结词
电路分析中，留数可以用于计算复平面上的 奇异点对应的电流和电压。
详细描述
在电路分析中，留数是一个重要的概念，它 可以用于计算复平面上的奇异点对应的电流 和电压。通过将电路模型转化为复平面上的 函数，并利用留数的性质，可以方便地求解 电路中的电流和电压，特别是在处理具有极
《复变函数留数》PPT课件
(3 ) e 1 z 1 z 1 1 z 2 1 z n
2 !
n !
特点：有无穷多个负幂次项
定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，
若f (z)的洛朗级数
(i)f(z) cn(zz0)n n0 没有负幂次项，称z=z0为可~~去~~奇~~点~~;
( i)if(z )c n (z z 0 ) n ( c m 0 ,m 1 ) n m
将函 f(z)在 数 Rz展 成幂 cnzn,级 由数 此得定 n 可去奇 ---展 点式中不含正幂项； m阶极--点 -展式中含有,且 限 zm为 项最 正高 幂正幂； 本性奇 ---展 点式中含无穷 。项正幂项
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则 4. 在无穷远点的留数
当m=1时，式(5)即为式(4).
规则III
设 f(z)P(z) Q(z)
P(z),Q(z)在 z0处解 , 析
P(z0)0,Q(z0)0,Q'(z0)0
z0是 f(z)的 一 阶 ,且 极 Rse[点 f(z),z0]Q P'((zz00))(6)
事实上， Q(z0)0及 Q'(z0)0
z0为 Q(z)的 一 阶 ,从z零 而 0为 Q1 点 (z)的 一 阶 ,
只有有限多个负幂次项，称z=z0为m~~~阶~~极~~点~ ;
(ii)if(z) cn(zz0)n n
有无穷多个负幂次项，称z=z0为本~~性~~奇~~点~~。
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f ( z ) n 0 c n ( z z 0 ) n l z z 0 if ( m z ) c 0
复变函数留数.ppt
ze z
例1
计算积分
C
z
2
1
d
z
,
C
为正向圆周|z|=2.
[解]
由于
f (z)
z ez z2 1 有两个一级极点+1,1,
而这两个极点都在圆周|z|=2 内, 所以
C
ze z z2 1d
z
2π
i{Res[
f
(z),1]
Res[
f
(z),1]}.
由规则1, 得
Res[
f
( z ),1]
lim (z
则
1 cosmx
I
dx
2 5 4 cosx
命
I1
cosmx dx
5 4 cosx
I2
sin mx dx
5 4 cos x
I1 iI2
e imx
dx
5 4 cos x
设 z eix ，则
I1
iI2
1 i
z
1
5
z
zm 2(1
z
2
)
dz
i
zm dz
2 z 1 (z 1 )(z 2)
2、留数的求法
求函数在奇点a处的留数即求它在以z0为中 心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-a)-1项的系数 即可. 如果a是f(z)的可去奇点, 则Res[f(z),a]=0, 如 果a是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好将 其按洛朗级数展开。 如果a是极点, 则有一些对求c-1有用的规则.
留数的计算规则 规则1 如果a为f(z)的一级极点, 则
Res[
f
( z ),1]
Res[ f (z),i] Res[ f (z),i]}
复变函数第五章留数教学课件
1 z (z
z5 1)2(z 1)3
s in z z
1 z
g( z ),
所以 z 0 是单极点； z 1 是二级极点;
z 1 是三级极点.
26
例3
证明 z
0
是
f
(z)
1 z 3 (e z3
的六级极点. 1)
证
1 f (z)
z 3 (e z3
1)
z31
z3
(z3 )2 2!
1,
n
f (z)dz 2π i Res[ f (z), zk ]
C
k 1
留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数 在C内各孤立奇点处的留数.
11
2)留数的计算方法
(1) 如果 z0 为 f (z) 的可去奇点, 则
Res[ f (z), z0] 0.
(2) 如果 z0 为 f (z)的本性奇点, 则需将 f (z) 展开
解 (1)在 0 z 1 内,
sin z
1
1
z
1
1
1 3!(z
1)3
,
所以 Ressin(1z 1) ,1 C1 1.
28
(2) z2 sin1 z
解 因为sinz z z3 z5 , 3! 5!
所以在0 z 内，
z2
sin1 z
z 2
1 z
1 3! z 3
1 5! z 5
z6 z9 z12 2! 3!
因为 z 0是 1 z3(ez3 1)的六级零点， f (z)
所以
z
0是
f
(z)
1 z 3 (e z3
的六级极点. 1)
27
例4 求下列各函数在有限奇点处的留数.
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可见, 利用无穷远点的留数更简单.
例6
计算积分
C
(
z
dz i)10(z 1)(z
, 3)
C为正向圆周 : z 2.
解
被积函数
f (z)
(
z
i
)10
(
1 z
1)(
z
3)
除
点外, 其他奇点为 i , 1, 3 .
26
则 Res[ f (z),i] Res[ f (z),1] Res[ f (z),3] Res[ f (z),] 0 .
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则3得
Res[
f
(z),0]
(3
1 lim
1)! z0
d2 dz 2
z
3
z
sin z6
z
.
计算较麻烦.
19
解 如果利用洛朗展开式求c1 较方便:
z
sin z6
z
1 z6
z
z
z3 3!
z5 5!
z
C
z4
dz 1
2iRes[ f (z),1] Res[ f (z),1]
Res[ f (z), i] Res[ f (z),i]
由规则3
P(z) Q( z )
z 4z3
1 4z2
,
25
C
z
4
z
1
dz
2i 14
1 4
1 4
14
0
.
1
2
d
Res
f
1 z
1 z2
,0.
( 1 为正向).
在 1内除 0
外无其他奇点 .
[证毕]
17
四、典型例题
例1
求
f
(z)
ez zn
在
z
0 的留数.
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，
所以
Res
ez zn
点的一条正向简单闭曲线, 那末
n
f (z)dz 2i Res[ f (z), zk ].
C
k 1
说明: 1. f (z)在C上及C内部处处解析；
2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数.
5
证 如图
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
计算无穷远点的留数.
C
优点: 使计算积分进一步得到简化.
(避免了计算诸有限点处的留数)
14
3.在无穷远点处留数的计算
•规则4
Res[
f
( z ),
]
Res
f
1 z
1 z2
,0
说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线
积分的又一种方法:
C
f
(z)dz
2iRes
m
1
[(
z
z0 )m
f
(z)].
[证毕]
9
•规则3
设
f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那末 z0 为
f (z) 的一级极点,
且有
Res[
f
( z ),
z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
.
C
C
C
0 (柯西-古萨基本定理)
2ic1 洛朗级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
3
即
1
c1
2i C
f
(z)dz
Res[ f (z), z0 ] f (z)在 z0的留数
定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
在 z0的某个去心邻域0 z z0 R内包含 z0 的
那末积分 1 f (z)dz的值与C无关，则称此定值
2 i C1
为 f (z)在点的留数，
记作
Res[
f
(z),]
1 2i
C
f
(z)dz
1 2i
C
f
(z)dz
注意积分路线取顺时针方向
说明 Res[ f (z),] c1
c1
12
2.定理二 如果函数 f (z) 在扩充复平面内只有有限个
取得比实际的级数高. 但有时把m取得比实际的
级数高反而使计算方便. 如上例取 m 6 :
Res
f
(z),0
(6
1 lim 1)! z0
d5 dz5
z6
z
sin z6
z
1 5!
.
21
例4
计算积分
C
z
(
ez z
1)2
dz
,
C为正向圆周: z 2.
解 z 0 为一级极点, z 1为二级极点,
c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 )
(z z0 )m f (z) cm cm1(z z0 ) c1(z z0 )m1
c0(z z0 )m c1(z z0 )m1
8
两边求 m 1 阶导数,
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
C
以 2i 后所得的数称为 f (z)在 z0 的留数.
记作 Res[ f (z), z0 ]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环
域内的洛朗级数中负幂项c1(z z0 )1的系数.)
4
二、利用留数求积分
1.留数定理 函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤 立奇点 z1 , z2 ,, zn 外处处解析, C 是 D内包围诸奇
Res[
f
(
z
),0]
lim
z0
z
z(
ez z
1)2
dz
lim
z0
(
z
ez 1)2
,
Res[
f
( z ),1]
(2
1 lim
1)! z1
d dz
( z
1)2
ez z(z
1)2
22
lim
z1
d dz
ez z
lim
z1
e
z
(z z2
,0
(n
1
dn1
1)!
lim
z0
dz
n1
zn
ez zn
1. (n 1)!
18
例2
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z6
z
在
z
0
的留数.
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0 是 z sin z 的三级零点
1)
0,
所以
ez C z(z 1)2dz
2iRes[ f (z),0] Res[ f (z),1]
2i(1 0) 2i.
23
例5
计算积分
C
z
4
z
1
dz
,
C为正向圆周:
z 2.
解
函数
z在 z4 1
z
2 的外部, 除
点外没有
其他奇点. 根据定理 2与规则4:
证 因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0
所以z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点.
10
因此 1 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
c1(z z0 ) cn(z z0 )n
2
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
(高阶导数公式)
2i
0
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz
z3 z5 , 3! 5!
Res
z
sin z6
z
,0
c1
1 . 5!
20
说明: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,
可直接展开洛朗级数求 c1 来计算留数 .
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般不要将m
第二节 留 数
一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考
一、留数的引入
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;