第2课时空间两条直线的位置关系--平行

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1.2.2空间两条直线的位置关系

1 . 2 . 2 空间两条直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系只有平行和相交两种那么空间两条直线的位 , 于关系有哪些呢?
本书中如无特别说明"两条直线指不重 , , " 合的两条直线"两个平面指不重合的两 , " 个平面.
D1
C1 B1
A1
D A
C B
图1 2 12
思考经过直线外一点有几条直线和这条直线 , 平行 ?
例1 如图1 2 16 , 长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中,已知 E , F分别是 AB, BC 的中点, 求证 : EF // A1C1 .
D1
C1 B1
A1
D
C
F
A
图1 2 16
E
B
在证连结AC . ABC中, E, F分别是AB, BC的中点, 所以EF // AC.
图1 1 14
O`
B1
A1
O
A B
图1 1 15
这表明空间的三条直线也具有 , 这样的性质, 我们把它作为公理 . 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 . a // b a // c . 用符号可表示为 b // c
a, b, c三条直线两两平行可以记为a // b // c . .
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做
异面直线 skewlines.
因此,空间两条直线的位置关系有以下三种:
位置关系公共点个数共面情况相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有不同在任何没有异面直线一平面内
1 . 平行直线
在平面几何中同一平内的三条直 , 线 a, b, c, 如果a // b 且b // c, 那么a // c.这个性质在空间是否成立 ?

1. 2.2 空间两条直线的位置关系

1．2.2空间两条直线的位置关系在天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交，也不平行，它们具有怎样的位置关系呢？旗杆与天安门广场、天安门广场与地面又有怎样的位置关系呢？1．空间的两条直线有如下三种关系：①相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；②平行直线：同一平面内，没有公共点；③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．相交直线和平行直线统称为共面直线．2．公理4.文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行；符号语言：设a、b、c是三条直线，a∥b，c∥b⇒a∥c．3．空间中的等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等．4．异面直线所成的角：已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a与b所成的角(夹角)．,一、空间两条直线的位置关系(1)共面：空间的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．共面的两条直线位置关系又分平行和相交两种．(2)异面直线：把既不相交也不平行的直线叫做异面直线．异面直线判定方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线．空间的两条直线的位置关系的判定是以平面的基本性质和推论为重要依据的，位置关系的表示则是通过相关符号语言实现的，以下几种常用的符号语言同学们要记牢．①点A在直线b上，记作A∈b，点B不在直线b上，记作B∉b；②点B在平面α内，记作B∈α，点B不在平面α内，记作B∉α；③直线a在平面α内，记作a⊂α，直线a不在平面α内，记作a⊄α.二、公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．用符号语言表示为：设a、b、c是三条直线，a∥b，c∥b⇒a∥c.公理4将平面内两条直线平行的传递性推广到了空间中，是证明线线平行的重要依据之一．但要注意：并不是所有平面内的结论都能推广到空间中来．三、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角相等．等角定理的实质是空间中角的平移，在应用时我们需要注意以下两个结论的区别：①如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且两边的方向分别相同，那么这两个角相等；②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边且有一组边的方向相同，另一组边的方向相反，那么这两个角互补．其中“角的两边分别平行”这个条件要特别注意，谨记等角定理的逆命题不成立．四、异面直线所成的角已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(夹角)．求异面直线所成角的一般步骤是：①根据定义作出或找出两异面直线所成的角；②使该角为某个三角形的内角；③解这个三角形从而求角．其中通过平移法作出其所成角是关键，解答相关题目时要谨记异面直线所成角的取值范围．千万不要把相交直线所成的钝角作为异面直线所成的角．若求出的是钝角，应取它的补角作为异面直线所成的角．基础巩固知识点一空间两条直线之间的位置关系1．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的所成角大小是________．解析：先把平面图形还原为正方体(如下图)，然后根据图形就可以看出△ABC是等边三角形．答案：60°2．一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是________．解析：可用模型演示．答案：可能平行、可能相交、可能异面3．下列命题中，其中正确的为________(填序号)．①若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行；②若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行；③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行；④若两条直线都和第三条直线异面，则这两条直线互相平行；⑤若两条直线都和第三条直线有公共点，那么这两条直线不可能互相平行．解析：根据两条直线的位置关系，知只有③正确．答案：③知识点二平行公理及等角定理的判断与应用4．如果一个角两边与另一个角的两边分别平行，并且方向不相同，那么这两个角________．解析：根据等角定理，但条件中方向相同变成了方向不相同，所以两角只能互补．答案：互补知识点三异面直线及其所成角的概念5．两条异面直线指的是________(填序号)．①空间中不相交的两条直线；②分别位于两个不同平面内的两条直线；③某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线．解析：根据异面直线定义来判定．选项①中两条直线可以平行，选项②③可以借助正方体(如下图)，A′B′与AB这两条直线平行．答案：④6．已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB与CD 所成的角的大小．解析：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N.连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN(或其补角)就是异面直线AB和CD所成的角，如右图所示．连接MN、AN、DN，设AB＝2，∴PM＝PN＝1.而AN＝DN＝3，则MN⊥AD，AM ＝1，得MN＝2，∴MN2＝MP2＋NP2.∴∠MPN＝90°，即异面直线AB、CD所成的角是90°.能力升级综合点一两直线位置关系的判断与证明7．正方体的12条棱中，所在直线为异面直线的共有______对．解析：正方体的每条棱与其他四条棱所在直线异面，故共有4×12 2＝24(对)．答案：24综合点二平行公理的应用8．如下图，木工师傅沿长方体木块ABCDA1B1C1D1中棱BC 和上底面的中心E将长方体木块锯开，问怎样画线？解析：在面A1B1C1D1内过点E作B1C1的平行线，与A1B1、C1D1分别相交于F、G，连接BF、CG即可．综合点三异面直线所成角的判断与求解9．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AD、AA1的中点．(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；(2)求直线AB1和EF所成的角的大小．解析：(1)如下图，连接DC1，∴DC1∥AB1.∴∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．∵∠CC1D＝45°，∴AB1和CC1所成的角是45°.(2)如上图，连接DA1，∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．∵△A1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1＝60°.即直线AB1和EF所成的角是60°.10．如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2 ，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是________．解析：∵BC∥AD，∴∠CBD1为异面直线BD1与AD所成角，连CD1.则由正四棱柱性质可知∠BCD1＝90°.又∵BC＝CD＝2，DD1＝4，∴CD1＝2 5.∴tan∠CBD1＝CD1BC＝5，即BD1与AD所成角的正切值是 5.答案：5。

空间两直线的位置关系2

2020
1.2.2 空间两条直线的位置关系（2）
苏教版必修2 数学
授课教师：江苏省太湖高级中学指导教师：无锡滨湖区教研中心
殷玲王华民
复习回顾空间两条直线的三种位置关系：
位置关系
相交直线平行直线异面直线
共面情况在同一平面内不同在任何一个平面内
公共点个数
有且只有一个没有没有
直观感知
A1 D
B1 C
所以直线 AB 与l 都应在平面内，于是 A ，这与点 A 矛盾.
因此，直线 AB 与l 是异面直线.
A
B
2020年锡慧在线
定理应用： A是BCD 所在平面外的一点， E、F 分别是 BC、AD的中点，求证：直线 EF 与 BD 是异面直线.
A
证明：因为 BD 面 BCD，E 面 BCD，
则 AB 与CD 所成的角就是 FG 与 EG 所成的锐角或直角.
2020年锡慧在线
变式
A
60
E G
D B
F
在EGF 中， EG 1, FG 2, EF 7, 利用余弦定理得，
cos EGF EG2 FG2 EF 2 2EG FG
12 22 ( 7 )2 1
21 2
2
因为0 EGF 180, 所以EGF 120 ，
答：应该也可以通过角来刻画.
问题 3：两条相交直线是通过什么几何量来刻画它们相对位置（错开程度）的？
答：通过两条相交直线所成的锐角或直角.
o
问题４：如何用角来刻画异面直线的相对位置呢？平移！
2020年锡慧在线
问题５：以异面直线a 和b为例，如果将b平移，相对倾斜程度变不变？
平移变为相交直线后，相对倾斜程度变不变？答：都不变.

第2课时两条直线的位置关系

要点·疑点·考点
2.两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角， l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
k 2 - k1 于直角的角，简称夹角.到角的公式是 tanθ ，夹 1 - k1 k 2 k 2 - k1 角公式是tanθ ，以上公式适用于两直线斜率都 1 - k1k 2
2.若直线l1：mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不重合，则m的值是______. -1
3．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4的交点在第一象限，则k的取值范围是______________. -2/3＜k＜2
基础题例题
4.(2004年高考· 湖北）已知点M1(6,2)和M2(1,7)，直线 y=mx-7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为 3:2，则m的值为 ( D)
以上结论是针对l2的系数不为零时适用.
要点·疑点·考点
4.点到直线的距离公式为：d
Ax0 By0 C A2 B 2
5.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离为：d C1 C 2 A2 B 2
基础题例题
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则过点P且与直线l平行 2x+y-4=0 ，过点 P 且与直线 l 垂直的直线方的直线方程为 __________ x-2y+3=0 ；过点P且直线l夹角为45°的直线方程为程为___________ 3 5 3 x-y1=0 或 x+ 3 y7=0 ____________________；点P到直线L的距离为____ 5 ，直线 5 l与直线4x+2y-3=0的距离为_________ 10

第九章第2节两条直线的位置关系

(2)点到直线的距离公式
|Ax0＋By0＋C|
平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝_____A_2_＋__B_2____.
(3)两条平行线间的距离公式
|C1－C2|
一般地，两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝__A_2_＋__B_2.
3
知识衍化体验
考点聚集突破
核心素养提升
3.距离公式
(1)两点间的距离公式平面上任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式为|AB|＝_____(x_2_－__x_1)_2_＋__(y_2_－__y_1)_2__.
特别地，原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝___x_2＋__y_2__.
答案 D
7
知识衍化体验
考点聚集突破
核心素养提升
3.(必修2P79A3改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则 m＝________. 解析由题意知－m2－－4m＝1，所以 m－4＝－2－m，所以 m＝1.
答案 1
8
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考点聚集突破
核心素养提升
4.(2019·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝( )
由 l1∥l2 可得－a2＝1－1 a，
解得 a＝－1.
－3≠－（a＋1），
综上可知，a＝－1.
15
知识衍化体验
考点聚集突破
核心素养提升
法二由 l1∥l2 知AA11BC22－－AA22BC11＝≠00，，即aa（（aa－ 2－11））－－11××26＝≠00，⇒aa2（－aa2－－21＝）0≠，6⇒a＝－1. (2)法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；当 a≠1 时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝1－1 ax－(a＋1)，由 l1⊥l2，得－a2·1－1 a＝－1⇒a＝23. 法二 ∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，即 a＋2(a－1)＝0，得 a＝23.

名师辅导立体几何第2课空间两条直线(含答案解析)

名师辅导立体几何第2课空间两条直线（含答案解析）●考试目标主词填空1.空间两条直线有三种位置关系相交直线——有且仅有一个公共点.平行直线——同在一个平面内，没有公共点.异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点. 2.平行直线定义：同一平面内两条不相交的直线称为平行直线. 公理4：平行同一条直线的两条直线互相平行. 3.异面直线)定义：“不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线”. 异面直线的判定定理：“过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线”.这是判定空间两直线是异面直线的理论依据. ●题型示例点津归纳【例1】如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1C 1与A 1B 上的点，且A 1E =A 1F .求证：EF ∥AD 1.【解前点津】判定两条直线平行，首先考虑把两直线放在同一平面内，利用平面图形的性质实施证明，若图形中这样的平面不好找，可以考虑实施转化，利用平行公理(或后继将要学习的直线与平面平行的性质定理、向量知识等)实施证明.—【规范解答】证明：连结BC 1、AD 1，因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，所以A 1C 1=A 1B .在△A 1BC 1中， ∵A 1C 1=A 1B ,A 1E =A 1F ,∴BA FA C A E A 11111 ,∴EF ∥BC 1. 又∵D 1C 1平行且等于AB ，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴BC 1∥AD 1,∴EF ∥AD 1.【例2】如图所示，长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°,求异面直线A 1B 与AD 1所成的角的度数.【解前点津】求两条异面直线所成的角的步骤如下： ①用平移法作出异面直线所成的角；）②说明作出的角就是要求的角； ③计算(解三角形)； ④结论.【规范解答】如图所示，连结BC 1、A 1C 1， ∵A 1B 1C 1D 1-ABCD 是长方体，∴AB 平行且等于D 1C 1，即ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1平行且等于BC 1，∴∠A 1BC 1(或它的补角)是异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 设AA 1=a ,∵∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°例1题图例2题图∴在△AA 1D 1与△A 1AB 中，AB =AA 1=a ,A 1B =2a ,AD 1=BC 1=2a ,A 1D 1=3a ,\∴A 1C 1=211211B A D A +=2a ,在△A 1BC 1中，由余弦定理知，cos ∠A 1BC 1=1121121212BC B A C A BC B A ⋅-+=42.∴∠A 1BC 1=arcos42,所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角是arccos 42. 【解后归纳】学完空间向量之后，我们还可以利用向量的夹角公式求异面直线所成的角.【例3】如图所示，求证分别与两条异面直线都相交，且交点为不同的四个点的两条直线是异面直线.已知：a 、b 异面，AB 交a 、b 于A 、B ，CD 交a 、b 于 C 、D ，A 、B 、C 、D 四点不同.求证：AB 与CD 是异面直线.^【解前点津】此题条件不具备异面直线的判定定理所需条件，而当结论的反面即AB 、CD 共面时，易得AC 、BD共面.即a 、b 共面，与已知矛盾.故用反证法证明较易.【规范解答】假设AB 与CD 不是异面直线，则AB 与CD 共面，设此平面为α, 所以，A 、B 、C 、D 都在α内，所以直线AC ⊂平面α,BD ⊂平面α,所以AC 与BD 共面，即a 与b 共面，这与a 、b 为异面直线相矛盾. 所以AB 与CD 是异面直线.【解后归纳】证明两条直线是异面直线除利用定义、定理外，还常常使用反证法，要掌握好.【例4】直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中AB =AC =AA 1=d ,D 是AB 的中点,若C 1D =211d ,求异面直线AB 与A 1C 1所成的角.《【规范解答】如图，连结CD ,∵AC ∥A 1C 1,∴∠BAC 或其补角就是异面直线AB 与A 1C 1所成的角, 在Rt △C 1CD 中,∠C 1CD =90°,∴CD 2=C 1D 2-CC 12=247d 在△ADC 中,AD =21AB =2d,AC =dcos ∠CAD =21224742222222-=⋅⨯-+=⋅-+dd d d d AC AD CD AC AD .∴∠CAD =120°,∴异面直线AB 与A 1C 1所成的角为60°.例3题图例4题图【解后归纳】此题也可运用异面直线上两点间的距离公式θcos 2222mn n m d EF ±++=,求出cos θ,其中EF ,d ,m ,n 就是题中的C 1D ,AA 1,A 1C 1,AD ,而θ就是∠CAD .,●对应训练分阶提升一、基础夯实1.“a 、b 为异面直线”是指①a ∩b =,且a ∥＼ b ;②a ⊂面α,b ⊂面β且a ∩b =;③a ⊂面α,b ⊂面β,且a ∩β=;④a ⊂平面α,b ⊂平面α;⑤不存在面α,使a ⊂面α且b ⊂面α成立,上述结论中，正确的是 ( )A.①④⑤都正确B.①③④都正确C.仅②④正确D.仅①⑤正确 2.无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影不可能是 ( ) A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.一条直线和直线外一点 D.两个点 3.相交直线a 、b 的夹角为50°，则过交点与a 、b 都成60°角的直线的条数为 ( ).2 C4.正方体的对角线与正方体的棱组成的异面直线共有 ( ) 对对对对\5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所有各面的对角线中与AB 1成60°角且与AB 1异面的直线的条数为( ).2 C6.空间四边形两条对角线互相垂直，则顺次连结各边中点的四边形是 ( ) A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形7.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则异面直线CM 与D 1N 所成的角的正弦值为 ( )A.91B.32C.594D. 592.8.如图所示，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1、E 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AE 1所成角的余弦值是 ( )A.1015 B.1530 C.21 D.10309.在四面体ABCD 中，AB ＝８，CD ＝６，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，且MN ＝５，则AB!第7题图第8题图与CD 所成角是 ( )° ° ° °10.空间四点A 、B 、C 、D ，每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则点P 与Q 的最小距离为 ( )B.a 23 C.a 22D. a 21 二、思维激活11.正方体六个面内的所有对角线互成60°角的共有对．12.在三棱锥S —ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，∠BAC =60°，M 、N 分别是△SAB 和△SAC 的重心，则MN ＝ .13.在正四面体ABCD 中,E 、F 分别是AB ,CD 的中点,则EF 与AC 所成角的大小为 .14.在四面体ABCD 中，棱长均相等，E 是AD 的中点，则AB 和CE 所成角的余弦值为 . 三、能力提高（15.如图所示，在三棱锥D —ABC 中,DA ⊥平面ABC ,∠ACB =90°,∠ABD =30°,AC =BC ,求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值.16.已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a 且AB =m ，C ∈b .》(1)当线段AB 在直线a 上移动时，C 为定点，证明△ABC 面积不变.(2)当C 点在直线b 上移动，问点C 在何位置时，△ABC 的面积最小.17.如图所示，已知P 为△ABC 所在平面外的一点，E 为PA 的中点，F 为PC 的中点，BE ⊥AC ，PC ⊥AC .。

课件1：1.4.1　第2课时　空间中直线、平面的平行

法二：M→N＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C＝12(D→1A1－D→1D)＝12D→A1， ∴M→N∥D→A1，∴MN∥平面 A1BD. 法三：M→N＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C ＝12D→A－21A→1A＝21D→B＋B→A－21A→1B＋B→A＝21D→B－12A→1B. 即M→N可用A→1B与D→B线性表示，故M→N与A→1B，D→B是共面向量，故 MN∥平面 A1BD.
3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？ [提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意一条直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．
【例 3】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是 CC1，B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD. [证明] 法一：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M0，1，21，N12，1，1，
2．已知向量 a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1，l2 的
方向向量，若 l1∥l2 则( )
A．x＝29，y＝15
B．x＝3，y＝125
C．x＝3，y＝15
D．x＝92，y＝125
D [由 l1∥l2，得 a∥b，即23＝3x＝5y.
解得 x＝92，y＝125，故选 D.]
3．若直线 l 的方向向量 a＝(2,2，－1)，平面 α 的法向量 μ＝(－6,8,4)，则直线 l 与平面 α 的位置关系是________． l⊂α 或 l∥α [∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α 或 l∥α.] 4．设平面 α 的法向量为(1,2，－2)，平面 β 的法向量为 (－2，－4，k)，若 α∥β，则 k＝________. 4 [由 α∥β 得－12＝－24＝－k2，解得 k＝4.]

空间两条直线的位置关系平行

第2课时空间两条直线的位置关系【学习目标】1．了解空间直线与直线的位置关系。

2．理解空间平行直线的性质。

3. 进一步培养学生的空间思维能力。

【学习过程】任务一：空间的异面直线。

在平面内两直线可相交和平行，在空间两直线有哪些位置关系呢？异面直线的概念：例题：两条异面直线是指（） A 、空间两条没有公共点的直线B 、平面内一条直线与该平面外的一条直线C 、分别在两个平面内的两条直线D 、不同在任何一个平面内的两条直线空间两条直线的位置关系：练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中，直线AB 与BC 是；直线AB 与11B A 是；AB C DA 1B 1C 1D 1直线AB 与1CC 是；在所有棱中与AB 棱异面的棱是；在所有棱中与面对角线A 1B 异面的棱是；指出图中相互平行的直线是；直线AB 、CD 、11B A 、11D C 可以确定个平面；直线AB 、AD 、1AA 可以确定个平面。

任务二：空间的平行直线在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

问：在空间的三条直线中是否也有这样的规律呢？请观察上图。

平行传递性法则：表示方法为：c a b c b a //////⇒⎭⎬⎫；图示：等角互补定理：例1 如图，已知E 、F 、G 、H 分别是任意空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证四边形EFGH 是平行四边形．a图2. 如图，在长方体中，AE=A1E1, AF=A1F1，求证：EF=E1F1且 EF//E1F1．任务三:异面直线常用的找两异面直线所成角的方法：异面直线所成角的范围是：_____________1、两条异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线，公垂线夹在两条异面直线间的一段叫这两条异面直线的公垂线段2、两条异面直线的距离：公垂线的长度思考：和两条异面直线都垂直的直线有几条？都垂直且相交的直线有几条？习题：1、正方体的棱长为a ，（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA ′成异面直线？（2）求直线BA ′和CC ′所成的角的大小（3）求异面直线BC 和AA ′的距离思考：正方体各个面上的对角线，每两条之间的夹角可能的取值为哪些？A E FF 1A 1E 12、求正四面体ABCD的棱AB和CD所成的角例题1、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1ED交A1D1于F。

【教《两条直线的位置关系》第2课时示范公开课教案【北师大数学七年级下册】

《两条直线的位置关系》教学设计第2课时一、教学目标1.通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握两条直线互相垂直的符号表示.2.能通过具体情境说出并掌握垂直和垂线的概念.3.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，积累操作活动经验.4.通过操作活动，探索并了解有关两条直线互相垂直的一些性质，理解“垂线的性质”、“垂线段最短”的性质以及点到直线的距离.二、教学重难点重点：理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离.难点：能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.问题1：①在同一平面内，两条直线的位置关系有和两种.②若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为.③在同一平面内，不相交的两条直线叫做.预设：①相交；平行②相交线；③平行线对顶角的性质：对顶角相等.∠1=∠2 （或∠3=∠4）问题2：下列说法正确的有()①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A．1个B．2个C．3个D．4个预设：B.余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.教师补充：同角：是一个角；等角：是两个角.问题3：如图，已知：直线AB与CD交于点O，∠EOD=90°，回答下列问题：(1)∠AOE的余角是；补角是；(2)∠AOC的余角是；补角是；对顶角是.预设：(1)∠AOC；∠BOE；(2)∠AOE；∠BOC；∠BOD．理的进行思考和表达思考的过程，获得分析问题和解决问题的能力.观察图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？预设：追问：你还能举出哪些例子呢？垂直的定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.垂直的表示方法：通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如图，直线AB与直线CD垂直.记作：AB⊥CD读作：AB垂直于CD，垂足为O.直线l与直线m垂直，记作：l⊥m，垂足为O．【注意】“⊥”是“垂直”的记号，而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.垂直的性质、定义判定的应用格式:∵AB⊥CD∴∠1=90 °线垂直直角(90°)∵∠1=90°(已知)∴AB⊥CD(垂直的定义)直角(90°) 线垂直【做一做】教师活动：鼓励学生探索画垂线的方法，积累数学活动经验.方法不唯一，只要正确、可操作即可.问题1：你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？问题2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？教师提示：方格纸是由小正方形构成！问题3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！1.折叠长方形纸片的一个角；2.沿①中的折痕对折，使它与①中的折痕互相重合；3.展开长方形纸片，则两次折叠所形成的折痕互相垂直.【想一想】教师活动：指导学生独立完成，然后请学生上台展示自己所做的题目.教师鼓励学生运用自己的语言描述所得到的结论.如图，已知直线l，用三角尺或量角器画直线l的垂线，你能画出多少条？总结：这样画l的垂线可以画无数条.如图，点 A 在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？总结：这样画l 的垂线可以画一条.如果点A在直线l外呢？过点A你能画多少条直线l 的垂线？总结：这样画l 的垂线可以画一条.垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.注意：1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.教师活动：引导学生归纳“想一想”的结论，在学习垂线性质的基础上引出点到直线的距离的概念.点P是直线l 外一点，PO⊥l，点O是垂足，线段PO叫做点P到直线l 的垂线段.垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离.过直线外一点向已知直线作垂线时，这一点与垂足之间的线段叫做垂线段.点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足，点A，B，C在直线l上，比较线段PO、P A、PB、PC的长短，你发现了什么？总结：直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.【议一议】问题：体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说其中的道理吗？教师活动：学生先独立思考，然后小组展开交流，最后派两位同学上台讲解，并及时对学生肯定和鼓励.然后课件展示答案.答案：线段PO的长度即为所求.根据：直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.∠AOM和∠NOC的度数．解：∵∠BOE＝∠NOE(已知)，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，又∵∠MOC＝∠BON＝40°(对顶角相等).∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.例2 如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE 与AB的位置关系是.解：∵∠1＝35°，∠2＝55°(已知)∴∠AOE＝180°－∠1－∠2＝180°－35°－55°＝90°∴OE⊥AB(垂直的定义)教师总结:由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相教师给出练习，随时观察学生完成情况并进行相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.【随堂练习】1.画一条直线l，在直线l上取一点A，在直线外取一点B，分别经过点A，B 用三角尺或量角器画直线l的垂线.答案：直线AP就是所求垂线.直线BC就是所求垂线.2.分别找出下列图中互相垂直的线段.答案：(1)AO⊥OC，OB⊥OD.(2)DC⊥BC，DC⊥CE，DC⊥BE；AC⊥BC，AC⊥CE，AC⊥BE；DA⊥BC，DA⊥CE，DA⊥BE.3.两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是( )A. 两对对顶角分别相等B. 有一对对顶角互补C. 有一对邻补角相等D. 有三个角相等答案：A.4.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线的距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条答案：D5. 如图，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流.(1)从火车站到码头怎样走最近?画图并说明理由.(2)从码头到铁路怎样走最近?画图并说明理由.(3)从火车站到河流怎样走最近?画图并说明理由.答案：(1)如图所示，沿BA走最近，理由:两点之间线段最短.(2)沿AC走最近，理由:垂线段最短.(3)沿BD走最近，理由:垂线段最短.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。

高考数学一轮总复习课件：两直线的位置关系

例1 (1)(2021·江西八校联考)已知直线l1：kx＋y＋3＝0， l2：x＋ky＋3＝0，且l1∥l2，则k的值为__－__1____．
【思路】根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足l1∥l2，即可得出实数k的值．
【解析】 ∵直线l1：kx＋y＋3＝0，l2：x＋ky＋3＝0，且l1 ∥l2，
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
＝0.若2．l1∥(课l2本，习则题a的改值编为)已_－_知_12_直__线__l，1：若axl1＋⊥yl＋2，5则＝a0的，值l2：为x－2y＋7 _____2___．
3．直线y＝kx－k－2恒过定点__(_1，__－__2)_．
解析 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.当x＝1，y＝－2时恒成立， ∴直线恒过定点(1，－2)．
【解析】要使点P到直线x－y－4＝0有最小距离，只需点P为曲线与直线x－y－4＝0平行的切线的切点，即点P为曲线上斜率为1的切线的切点，设P(x0，y0)，x0>0， y＝x2－lnx，y′|x＝x0＝2x0－x10＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)，点P(1，1)到直线x－y－4＝0的距离为|1－12－4|＝2 2，所以曲线y＝x2－lnx上任一点到直线x－y－4＝0的距离的最小值为2 2.
【思路】结合图形，根据点到直线的距离公式求解．
【解析】 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0. 由已知得|－k22k＋－11|＝2，解得k＝34. 此时l的方程为3x－4y－10＝0.

两条直线的位置关系

两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.选择题：设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行；必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1；所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1解析依题意得|a －2＋3|1＋1＝1，解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2，∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7 D.133解析 l 1的斜率为－3＋m 4，在y 轴上的截距为5－3m 4，l 2的斜率为－25＋m ，在y 轴上的截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2解析若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2，选D.已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0，若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0，以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点A (m ＋1，0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4，3)，D (0，5)的直线平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1 解析由题意得：k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m－6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m－6－m＝12，所以m ＝－2当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0 解析由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．填空题：已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为_____解析由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b ＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25(当且仅当b a ＝ab ，即a＝b ＝5时取等号)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________ 解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 解析 ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________解析由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)，∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1，又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为______ 解析当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (a －1)＝0，4a 2＋(－b )2＝|b |(a －1)2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为_______解析若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan45°＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.解答题：已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sinα≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sinα，要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±22.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0，解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程解点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝|－3＋n|1＋9＝3105，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程解在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l 的方程．解依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)，又因为直线过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0，2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤P A (当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝P A ＝(5－2)2＋(0－1)2＝10.专项能力提升若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3 解析因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值，而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.已知直线l ：y ＝12x －1，(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ； (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．解 (1)设Q (x 0，y 0)，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l 上，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－4x 0－3＝－2，y 0＋42＝12·x 0＋32－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝295，y 0＝－85，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295，－85.(2)在l 上任取一点，如M (0，－1)，则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与l 平行， ∴所求方程为y －7＝12(x －4)，即为x －2y ＋10＝0.。

必修二数学空间两直线的位置关系知识点

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空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的`两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

用空间向量研究空间中直线、平面的平行(第2课时)(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)

n
应用新知
例 1：如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E, F 分别为 DD1 和 BB1 的中点.
求证:四边形 AEC1 F 是平行四边形.
分析：要证明四边形 AEC1F 是平行四边形，只需证明对边
平行要证明四边形 AEC1F 的对边平行，只需证明其
对边的方向向量共线即可.
【详解】如下图，以点 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
(2)在建立空间直角坐标系后,主要问题是求出空间两直线的方向向量的
坐标.
应用新知
规律小结
利用空间向量证明线线平行的方法步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标.
(2)求出直线的方向向量.
(3)证明两向量共线.
(4)证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,
即表示方向向量的有向线段不共线,从而得证.
1
1

不妨设正方体的棱长为 1，则 A 1, 0, 0 , E 0, 0, , C1 0,1,1 , F 1,1, ,
2
2

1
1
1
1

所以 AE 1, 0, , FC1 1, 0, , EC1 0,1, , AF 0,1, ,
个法向量平行.
(2)转化的思路:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转化
为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.
应用新知
变式训练：
2. 如图 , 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 , 底面 ABCD为等腰梯形 , AB / /CD ，

北师大版七年级数学下册课件：总第18课时1 两条直线的位置关系(第2课时)

图4
6．如图 5 所示，OA⊥OB，OC⊥OD，OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE＝17°. 求∠AOC 的度数．
图5
解：∵OA⊥OB，OC⊥OD， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∵OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE＝17°， ∴∠BOD＝2∠BOE＝34°， ∴∠AOC＝360°－90°－90°－34°＝146°.
图3
5．如图 4 所示，计划把池中的水引到 C 处，可过点 C 引 CD⊥AB 于点 D，然后沿 CD 开渠，可使所开的渠道最短．这种设计的依据是__直__线___外__一___点__与___直__线_ 上 _各___点__连___接__的___所__有___线__段___中___，__垂___线__段_．最短
A．线段 PA 的长度
B．线段 PB 的长度
C．线段 PC 的长度
D．线段 PD 的长度
图1
3．如图 2 所示，AD⊥MN，垂足为 D，点 A 到 MN 的垂线段是__A__D___，斜线段有__A__B__，__A__C__，__A__E_.
图2
4．如图 3 所示，在△ABC 中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，则点 B 到 AC 的距离是__3__，点 A 到 BC 的距离是__4__，A，B 两点间的距离是_5___.
∴∠3＝90°－∠2＝90°－35°＝55°.
5．如图 18-9，过点 A 作 CB 的垂线，并指出哪条线段的长度表示点 A 到 CB 的距离．
图 18-9
解：过点 A 作 CB 的垂线，交 CB 的延长线于点 E，如答图．根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，可得 AE 的长度表示点 A 到 CB 的距离．

高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系

第二讲两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1∥l 2⇔k 1＝k 2,且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0, l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0,且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．知识点二两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．知识点三三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22．特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2＋y 2． (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2． (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2．重要结论1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P(a,b)关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m,－a －m),点P(a,b)关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m,a ＋m)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等,则两直线平行,反之,亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P(x 0,y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b|1＋k2．( × ) (5)若点A,B 关于直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0)对称,则直线AB 的斜率等于－1k ,且线段AB 的中点在直线l上．( √ )题组二走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0,∴a ＝－1＋2．题组三走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k(x ＋1)可知直线过定点P(－1,0),设A(0,－1),当直线y ＝k(x ＋1)与AP 垂直时,点A 到直线y ＝k(x ＋1)距离最大,即为|AP|＝2,故选B ．解法二：因为点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离d ＝|1＋k|k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2kk 2＋1；∵要求距离的最大值,故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2,当且仅当k ＝1时取等号,故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6,－6)__． [解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧b a ×1＝－1a 2－b2－6＝0,解得a ＝6,b ＝－6,∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6,－6)．考点突破·互动探究考点一两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行,则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2),一条直角边所在直线的方程为y ＝2x,则另外两边所在直线的方程为( CD )A ．3x ＋y －14＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋2y －14＝0[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,化为一般式,得6x －4y －3＝0．(2)由l 1⊥l 2,得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0,∴m ＝3或m ＝－2,∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋1＝6，4m≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k,由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1,∴k ＝13,∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4),即x －3y ＋2＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45,∴A 关于M 的对称点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫385，165,∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －385,即x ＋2y －14＝0,故选C 、D ．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直,则a ＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f′(x)＝2cos x,∴k ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1．所以1×(－a)＝－1,∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2,∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ．考点二两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P(2,－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在,求出方程；若不存在,请说明理由． (3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1,若l 1∥l 2,则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2,kl 2＝－a 4,由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1,∴a ＝－2,∴l 2：x －2y ＋3＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A(－1,1),∴|AO|＝2．(2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,－1),显然,过点P(2,－1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x ＝2．若斜率存在,设l 的方程为y ＋1＝k(x －2), 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2,解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上,可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图．由l ⊥OP,得k l k OP ＝－1, 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式,得y ＋1＝2(x －2),即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|－5|5＝5．③由②可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1, 当l 1∥l 2时,a 2－1＝0,解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合,不满足题意；当a ＝－1时l 1∥l 2,此时l 1：x －y －1＝0,l 2：x －y ＋1＝0；则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋－12＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A,则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等,则m 的值可以为( AC ) A ．－6 B ．－12C ．12D ．1(3)(2021·绵阳模拟)若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A(1,2),又直线l 过点B(－2,－1),∴所求最大距离为|AB|＝32,故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A(1,2),则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b|1＋b2＝31＋b 2＋2b1＋b2＝31＋2b 1＋b2≤32(当且仅当b ＝1时取等号),故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点,∴－m ＝4－2－1－3＝－12,即m ＝12；AB 中点(1,3),∴m＋3＋3＝0即m ＝－6,故选A 、C ．(3)因为36＝48≠－125,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋82＝2910,所以|PQ|的最小值为2910．考点三对称问题——多维探究角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M,则直线2x ＋3y －6＝0关于M点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0,可得y －1＝－a(x ＋3),所以M(－3,1),M 不在直线2x ＋3y －6＝0上,设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c≠－6),则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9,解得c ＝12或c ＝－6(舍去),所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0,故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A(0,2)、B(3,0),则A 、B 关于M 的对称点分别为A′(－6,0),B′(－9,2),又k A′B′＝2－0－9－－6＝－23,故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6),即2x ＋3y ＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0．又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时,由x －y ＋3＝0得y ＝0, 当y ＝4时,由x －y ＋3＝0得x ＝1．∴M(－3,4)关于直线l 的对称点为M′(1,0)．又k NM′＝6－02－1＝6,∴所求直线方程为y ＝6(x －1),即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N(2,6)关于直线l 的对称点N′(3,5),又k MN′＝5－43－－3＝16,∴所求直线方程为y －4＝16(x＋3),即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0,l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称,所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0,－2)为l 1上一点,设它关于l 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0),(－1,－1)为l 2上两点,可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A(0,－2),B(1,0),则A 、B 关于l 的对称点分别为A′(－1,－1),B′(1,0),∴k A′B′＝0－－11－－1＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1),即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P(x,y)是直线l 2上任一点,则P 关于直线l 的对称点为P′(y＋1,x －1),又P′∈l 1,∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0,即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于对称问题,一般常见的有： (1)中心对称①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n),则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×－AB＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法,如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1,1＋1),即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A(－1,－2)对称的直线l′的方程． [解析] (1)设A′(x ,y),由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a ,b),则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0． (3)设P(x,y)在l′上任意一点,则P(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为P′(－2－x,－4－y), ∵点P′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R)恒过定点,并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0,则直线方程为 3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时,直线方程为6x ＋y ＋4＝0．①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中,(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0, 故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理,得m 2(x －y ＋3)＋m(2x ＋y)＋3x ＋y ＋1＝0,① 不论m 为何实数,①式恒为零, ∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A(－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P(0,2)．因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0,将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m ＝－6, 故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0,解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”,则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f(λ)(x－x 0),从而确定定点(x 0,y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程,由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值,再解直线方程构成的方程组,从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0,其中A 1B 2－A 2B 1≠0,待定系数λ∈R ．在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0,y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m 为参数且m≠b)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ,λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时,直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9,－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5,得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9,－4),故选D ．解法二：令m ＝1,则y ＝－4；令m ＝12,则－12x ＝－92,即x ＝9,∴直线过定点(9,－4),故选D ．解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a)＝(1－m)(x ＋b),则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－9,∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9),故直线过点(9,－4),故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0,则|c－6|52＋122＝2,解得c＝32或－20,故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。

空间直线与直线的位置关系说课稿

空间直线与直线的位置关系说课稿今天我要给大家讲人教社A版高中数学必修2第二章第一节第二课时的内容：《空间中直线与直线之间的位置关系》。

我将按照教学背景分析、教学目标分析、教学重点和难点分析、教学过程、学生活动说明、教学设计说明六个部分向大家介绍。

一、教学背景分析一）教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系。

它是在平面中两直线的位置关系及平面基本性质的基础上提出来的。

同时，通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角及判定空间平行关系时经常要使用的方法。

因此本节课的内容对知识起到了承上启下的作用。

二）学情分析学生在初中已经研究过相交直线和平行直线的概念，对它们已经很熟悉。

但是，从具体实例抽象出异面直线的概念是非常困难的。

三）教学准备学生需要准备两支铅笔、白纸板，教师需要准备长方体模型、多媒体课件、三角板。

二、教学目标的确定1.通过观察实物，并借助长方体模型，理解异面直线的概念，了解异面直线所成的角。

2.经历异面直线的概念的形成过程，进一步发展空间想象能力，体会将空间问题平面化的思想方法。

3.学生在探究过程中体会数学是有用的，体验数学探究的乐趣。

三、教学重点和难点分析教学重点：异面直线的概念。

教学难点：异面直线的概念及异面直线所成角。

四、教学过程一）概念形成问题1：同一平面内直线与直线的位置关系有几种？请问：空间中直线与直线的位置关系有几种？板书：空间中直线与直线的位置关系1）实例引入：教师展示图片，引导学生观察：运河大桥和运河所在直线的位置关系，齿轮的两轴所在直线的位置关系。

让学生发现，直线与直线存在既不平行又不相交的位置关系。

学生可以举出实例或动手操作来直观感知。

2）观察思考：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段CC1所在直线的位置关系如何？（是相交吗？还是平行？）老师：异面直线是指不在同一平面内或在两个平面内但不在同一平面内的两条直线。

《解析几何》：两直线的位置关系--两直线平行--教学课件

法二直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行的等价条件是：A1B2 －A2B1 ＝ 0 且 B1C2 －B2C1≠0 或 A1C2 － A2C1≠0. 由所给直线方程可得： 1·3m－m2·(m－2)＝0 且 1·2m－6·(m－2)≠0 ⇒m(m2－2m－3)＝0 且 m≠3⇒m＝0 或－1. 故所求实数 m 的值为 0 或－1.
l1
l2
x
特别地，两直线的倾斜角都为90°，互相平行或重合.
判断两条直线平行的程序
两
两条直线斜率都不存在
平行或重合
条
直
线方程
化为斜截式方程
两条直线斜率截距
k1= k2 b1≠b2
k1= k2 b1= b2
k1 ≠ k2
平行重合相交
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1, k2, l1 l2时，k1与k2满足什么关系？
两直线的位置关系
提问: 若两直线平行它们的倾斜角如何?
相等
两直线在Y轴上的截距又如何?
不等
y
l1
l2
那他们的斜率呢?
相等
o
x
一、两条直线平行的判定
设两条直线 l1与l2的斜率分别为 k1, k2，y
l1 / /l2 k1 k 2 , b1 b2
公式成立的条件：
o
①两直线不重合；
②两直线的斜率均存在.
(2)当 B1B2≠0 时，由(1)可知，l1⊥l2⇔k1·k2 ＝－AB11·－AB22＝－1，即 A1A2＋B1B2＝0. 当 B1＝0 时，要使 l1⊥l2，则 A2＝0；同理当 B2＝0 时，要使 l1⊥l2，则 A1＝0. 综上可知，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

高中数学1-4-1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线平面的平行新人教A版选择性必修

－2，2)，则直线l与平面α的位置关系是(
)
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．以上选项都不对
答案：D
解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，
则a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，
故直线l与平面α的位置关系是l∥α或l⊂α.
5．已知两个不同的平面α，β的法向量分别是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，
(2)直线l的一个方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为n
＝(－1，－1，1)，则l∥α.( × )
(3)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量
垂直，则这两个平面垂直．( √ )
2．(多选)下列命题中正确的是(
)
A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β
种，应进一步考查．
u1∥u2
u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔________⇔
(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
______________________
设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
u·n＝0
c2)，则l∥α⇔________⇔__________________
方法归纳
利用向量法证明线线平行的2种方法
巩固训练1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E，F分别为
DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
题型 2 利用空间向量证明线面平行
例2 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于
底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.