复变函数第7讲

2. 柯西积分定理及其推论 实际上， 实际上，我们有下列更一般的结论
柯西积分定理：如果函数f (z)在单连通区域D内 解析，则对于D内任意一条封闭曲线C，皆有
∫
c
f (z)dz = 0.
定理中的曲线可以不是简单曲线。 注 1. 定理中的曲线可以不是简单曲线。 2. 该定理主要内容是柯西在研究水波传播问题时通过计 算一些复积分而发现的（ 算一些复积分而发现的（1825年），后古萨对其进行了 年），后古萨对其进行了 改进并给出了严格证明(1900年）， 所以此定理又称为 年 改进并给出了严格证明 柯西——古萨基本定理。人们对此定理有着极高的评价。 古萨基本定理。人们对此定理有着极高的评价。 柯西 古萨基本定理
类似于牛顿-莱布尼兹公式，我们有以下结论： 类似于牛顿-莱布尼兹公式，我们有以下结论： 莱布尼兹公式
定理：若f (z)在单连通区域D内解析，G(z)为f (z) 的一个原函数，则
∫
z2
z1
f (z)dz = G(z2 ) − G(z1)， 这里z1 ∈ D, z2 ∈ D 。
证明：因为 ∫ f ( z ) dz也是 f ( z )的原函数，所以
由上述定理，我们可以立即得到如下有用的结论： 由上述定理，我们可以立即得到如下有用的结论：
L 若函数f (z)在闭曲线c内有n个奇点z1, z2， ，zn , 则f (z) 沿c的积分等于c内围绕每一奇点的小闭曲线上的积分值 之和，即
∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz +L+ ∫ f (z)dz
由于积分与路径无关，可取从 到 路径为直线段L，于是 由于积分与路径无关，可取从Z到Z+△Z路径为直线段 路径为直线段 于是
z +∆z F ( z + ∆z ) − F ( z ) 1 − f ( z) = ∫z [ f (ξ ) − f ( z )]dξ ∆z | ∆z | 1 ≤ ∫L | f (ξ ) − f ( z) | ds | ∆z | 1 ≤ ε | ∆z |= ε | ∆z |
§2 柯西积分定理 1. 柯西积分定理讨论的问题
复变函数的积分在计算中实际上等同于对坐标的曲线积 这就很很自然地的引出积分与路径无关的问题。 分，这就很很自然地的引出积分与路径无关的问题。 那么我们的问题就是：在什么条件下复变函数的积分与 那么我们的问题就是： 积分路径无关？此问题等价于在什么条件下沿任意的闭曲线 积分路径无关？ 的积分等于零， 的积分等于零，即
1 例如： ∫ e dz = ∫ 3 dz z +1 c z = r <1
z
=
∫
z= 1 2
1 dz = z −1
1 ∫=1 cos z dz = 0 z
3.原函数 3.原函数
假设函数f(z)在单连通区域 内解析，则对 内 在单连通区域D内解析 则对D内 假设函数 在单连通区域 内解析， 为终点的任意曲线上的积分都相等， 以z0为起点，z为终点的任意曲线上的积分都相等， 为终点的任意曲线上的积分都相等 即积分只与起点、终点有关， 即积分只与起点、终点有关，因而可记为
这不就是柯西-黎曼方程吗？ 这不就是柯西-黎曼方程吗？ 黎曼方程吗
根据上述，我们可以得到如下的结论： 根据上述，我们可以得到如下的结论：
如果函数u(x, y)和v(x, y)在单连通域D内具有一阶连续 偏导数且满足柯西- 黎曼方程，那么函数f (z) = u(x, y) +iv(x, y)沿D内的任何一条封闭曲线C的积分为零。
f ( z )dz + ∫
A' A
f ( z )dz
+∫
f ( z )dz + ∫
f ( z )dz = 0
即 或
∫
c
f ( z )dz +
c
∫
c1−
f ( z )dz = 0
c1
∫
f ( z )dz =
∫
f ( z )dz
这说明一个解析函数沿闭曲线的积分， 这说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲 线在区域内作连续变形而改变它的值， 线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形 过程中不经过函数f(z)的不解析的点 的不解析的点。 过程中不经过函数 的不解析的点。——闭路变形 闭路变形 原理
∫
AA ' F ' B ' BFA
f ( z )dz = 0,
∫
AEBB ' E ' A ' A
f ( z )dz = 0.
将上面两等式相加，并先展开后再重新组合， 将上面两等式相加，并先展开后再重新组合， 可以得到
∫
c
f ( z )dz +
B'B
∫
c1−
f ( z )dz + ∫
BB '
AA '
如果把如上两条简单闭曲线C及 如果把如上两条简单闭曲线 及C1-看成 是一条复合闭路г，且规定它的正向为： 是一条复合闭路 ，且规定它的正向为：外面 的闭曲线C按逆时针进行 里面的闭曲线C 按逆时针进行， 的闭曲线 按逆时针进行，里面的闭曲线 1 按顺时针进行， 按顺时针进行，那么有
∫
Γ
f ( z )dz = 0
i2
−1
ln( z + 1) 1 2 i dz = ln ( z + 1) 1 ∫1 z + 1 2 对数计算公式 1 2 = [ln (1 + i ) − ln 2 2] = (略L) 2
i
§3 复合闭路定理
研究的问题：将单连通区域上的柯西基本定理推广到 研究的问题： 多连通区域中。 多连通区域中。
∫
c
f (z)dz = 0
?
下面我们从曲线积分的角度来考察这个问题。 下面我们从曲线积分的角度来考察这个问题。
记 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), 则
∫
c
f ( z )dz =
∫ udx − vdy + i ∫ udy + vdx = 0
c c
u ( x, y )dx − v( x, y )dy = 0, ∫c ∫ c u ( x, y )dy + v( x, y )dx = 0.
这就是说
F ( z + ∆z ) − F ( z ) lim = F ′( z )=f ( z ). ∆z → 0 ∆z
定义：若在区域D内G′(z) = f (z), 则称G(z)是f (z) 在区域D内的一个原函数。
注：1）容易证明，f(z)的任何两个原函数相差一常数
2 ）在上述条件下，f (z)的原函数一定存在，变 上限积分函数F(z)便是其中一个。
1 z +∆z 1 z+∆z = ∫z f (ξ )dξ − ∆z ∫z f (z)dξ ∆z 1 z +∆z = ∫z [ f (ξ ) − f ( z )]dξ ∆z
因f (z)在D内解析，因而连续，于是对于任意 给定的ε > 0，存在δ > 0,使得当 | ξ - z |≤| ∆z |< δ 时， 总有 | f (ξ ) − f ( z ) |< ε。
dz 记住这一结论：只要z0在c内，则 ∫ z − z0 = 2πi c
例2 计算积分I =
∫
c
dz ， 其中c为不经过 ( z − 1)( z − 2)
z1 = 1和z 2 =2两点的闭曲线.
c c1 c2 cn
其中c1, c2 ,L, cn为分别围绕z1, z2 ,L, zn的小闭曲线。
例1：计算 I =
∫
c
1 dz，其中 c为任意一条不过来自z0 z − z0的正向闭曲线。
解：根据前面的一些结论，首先首先确定被积函数 根据前面的一些结论， 情况，为此，需分两种情况讨论： 在c 内的解析 情况，为此，需分两种情况讨论：
回忆一下高等数学中关于曲线积分与路径无关的条件： 回忆一下高等数学中关于曲线积分与路径无关的条件：
∫
c
Pdx + Qdy与路径无关
i）曲线C在单连通域D内； ∂Q ∂P ii）P, Q在D内一阶偏导数连续，且有 = . ∂x ∂y
应用上述结论， 应用上述结论，得到积分与路径无关的条件为
−vx = uy , ux = vy
∫
c
f ( z )dz = ∫ f ( z )dz
z0
z
当终点z变化时，上式可视为变量 的函数 的函数， 当终点 变化时，上式可视为变量z的函数，因而可得到 变化时
F ( z ) = ∫ f ( z )dz = ∫ f (ξ )d ξ
z0 z0
z
z
上式从形式上看类似于高等数学中的变上限积分， 上式从形式上看类似于高等数学中的变上限积分，事实上 不仅如此，而且性质也一样： 不仅如此，而且性质也一样：
1) z 0 位于 c外，则被积函数在 c内处处解析，因而由 柯西基本定理 I = 0
2) z0 位于 c内，则函数在 c内有唯一 奇点 z0，在 c内以 z0为圆心任做一 半径为 r的小圆周，则有
c
。z0
I=
∫
c
1 dz = z − z0
z − z0 = r
∫
1 dz z − z0
前面例题
==== 2π i.
z0
z
∫ ∫
z
z0
f ( z )dz = G ( z ) + c. 令 z = z0 , 得c = −G ( z0 ). 因此
z
z1
f ( z )dz = G ( z ) − G ( z0 )，或
∫
z2
z1
f ( z )dz = G ( z2 ) − G ( z1 )。