计算方法_04

问题：选取什么函数P(x)作为近似函数，如何求得 具体表达式，误差如何？
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5.1 插值法多项式存在性与唯一性
5.1.1 插值法的一般提法
设y=f(x)是区间[a,b]上的一个实函数，xi (i=0,1,…,n) 是[a,b]上n+1个互异实数，已知y=f(x)在xi的函数值为 yi=f(xi) (i=0,1,…,n)，若存在一个简单函数P (x)，使其 满足： P(xi)=yi=f(xi) (i=0,1,…,n) (5.1) 则称P(x) 为f(x)的插值函数，点xi (i=0,1,…,n)为插值节点， [a,b]称为插值区间，条件式(5.1)称为插值条件。
x x0 x x1 y0 y1 x0 x1 x1 x0 y1 y0 y0 ( x x0 ) x1 x0
(5.7)
其中
x x1 l0 ( x ) x0 x1
x x0 l1 ( x) x1 x0
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5.2 拉格朗日插值法
已知函数 y f ( x)在x0,x1,x2处的函数值分别为y0， y1,y2在式（5.6）中当n=2时，Lagrange插值多项式为 L2 ( x) f ( x0 )l0 ( x) f ( x1 )l1 ( x) f ( x2 )l2 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x1 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 (5.8) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 其中
t=t(x-xj)/(xi-xj) y=y+tyi 输出x,y，结束
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5.2 拉格朗日插值法
5.2.2 线性插值与抛物插值
已知函数 y f ( x)在x0，x1处的函数值分别为y0，y1 在式（5.6）中当n=1时，Lagrange插值多项式为
L1 ( x) f ( x0 )l0 ( x) f ( x1 )l1 ( x)
0 li ( x j ) 1 ji j i ( j 0,1, , n) (5.4)
式(5.4)表明，除xi点外，其他所有节点都是n次多项式 li(x)的零点，故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn )
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5.1 插值法多项式存在性与唯一性
5.1.2 插值多项式的存在性和唯一性
定理5.1 满足插值条件(5.1)的次数不超过n的多项式 存在而且唯一。 证明 设所求的插值多项式为:
Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x
2
2 n a0 a1 x0 a2 x0 an x0 y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 2 n a a x a x a x 1 n 2 n n n yn 0
f [ x0 , x1 ,, x n ] n!
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5.3
牛顿插值公式
二、牛顿插值多项式
设x是[a,b]上的一点，则有一阶差商定义有
f ( x ) f ( x0 ) f [ x , x0 ] x x0
得 f(x)=f(x0)+f[x, x0](x-x0) 同理，由二阶差商定义 得 f[x, x0]=f[x0, x1]+f[x, x1, x0](x-x1) 如此继续下去，可得一系列等式：
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5.2 拉格朗日插值法
例5.1 用线性插值和抛物插值求 115 解： 一、线性插值
取x0=100, y0=10, x1=121, y1=11，由公式得：
于是：
x x0 x x1 L1 ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
115 121 115 100 115 10 11 100 121 121 100
由于插值节点xi互不相同，所以上述行列式不等于零， 故由克莱姆法则知，方程组(5.3)的解存在且是唯一的。 即满足插值条件(5.1)的次数不超过n的多项式(5.2)存在 而且唯一。
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5.2 拉格朗日插值法
5.2.1 Lagrange插值多项式
先考虑下面最简单、最基本的插值问题。即求n次 多项式li(x) (i=0,1,…,n)，使其满足条件
牛顿插值公式
性质1 差商可以表示为函数值的线性组合，即 n (5.13) f [ x0 , x1 ,, x n ] a k f ( x k ) k 0 其中 n 1
ak
j 0 jk
( xk x j )
(5.14)
差商的这一性质称之为差商的对称性。 f [ x1 ,, xn ] f [ x0 ,, xn1 ] 性质2 f [ x0 , x1 ,, xn ] x n x0 性质3 若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点x0、x1、 …、xn[a,b]，则至少存在一点[a,b]，使 f ( n ) ( )
10.7228
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5.2 拉格朗日插值法
115 的精确值是10.723805，线性插值是10.7143，有3
位有效数字，抛物插值是10.7228，有4位有效数字。
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5.2 拉格朗日插值法
5.2.4 插值余项与误差估计
⒈ Lagrange插值余项
称Rn(x)=f(x)-Pn(x)为Lagrange插值余项或截断误差。 定理5.2 设f(x)在[a,b]上存在n阶连续导数，f (n+1)(x)在开 区间(a,b)内存在，xi[a,b](i=0,1,…,n)为n+1个 互异节点，则对任何x[a,b]有 f ( n 1) ( ) n Rn ( x) f ( x) Pn ( x) ( x xi ) (5.9)
(5.6)
这里Pn(x)称为Lagrange插值多项式。
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5.2 拉格朗日插值法
拉格朗日插值公式(5.6)形式对称，结构紧凑，容 易编写计算机程序。下图为其流程图。 输入n，(xi,yi) (i=0,1,…,n)和x
y=0
对i=0,1, …,n 执行 t=1 对j=0,1, …,n 执行
T
j=i ? F
n
则由(5.1)可得关于系数a0,a1,…,an的线性方程组： (5.3)
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5.1 插值法多项式存在性与唯一性
其系数行列式为范德蒙(Vandermonde)行列式
1 1 1 x0 x1 xn
2 x0 2 x1 2 xn

n x0 n x1 ( x j xi ) j i n xn
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5.3
牛顿插值公式
一、差商及其基本性质
f ( x1 ) f ( x0 ) 定义1 称 f [ x0 , x1 ] 为函数 f ( x ) 在 x 、 x 0 1 x1 x0
点的一阶差商。一阶差商的差商：
称为函数f(x)在x0、x1、x2点的二阶差商。一般地， n-1阶差商的差商： 称为f(x)在x0、x1、…、xn点的n阶差商。
数值计算科学
第五章 插值法
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第5章 插值法
在现代机械工业中用计算机程序控制机械零件加工， 根据设计可给出零件外形曲线的某些形值点的数据，加 工为控制每步走刀方向及步骤，需要算出零件外形曲线 其他点的坐标数据，才能加工出外表光滑的零件。该问 题相当于，函数 y f ( x) 在某个区间[a,b]上存在且连续， 但不知道解析表达式，只给出[a,b]上离散点xi的函数值 如何计算 y f ( x) 在[a,b]上其它点的函数值？ yi f ( xi )，
(115 121)(115 144) (115 100)(115 144) 115 10 11 (100 121)(100 144) (121 100)(121 144)
(115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121)
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x1 )
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
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5.1 插值法多项式存在性与唯一性
定义5.1 多项式插值法
若P(x)是次数不超过n的多项式，即
Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x
2
n
(5.2)
其中ai是实数，则称Pn(x)为插值多项式，相应的插值方 法称为多项式插值。
若P(x)是分段多项式，则称为分段插值。 若P(x)是三角多项式，则称为三角插值。
式中(a,b)且与x有关。
(n )!
i 0
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5.2 拉格朗日插值法
⒈ Lagrange插值误差估计
定理5.3 如果f (n+1)(x)在区间(a,b)上有界，即存在常数 Mn+10，使得 | f ( n1) ( x) | M n1， x (a，b) 则有截断误差估计
M n 1 | Rn ( x) | | n 1 ( x) | (n 1)!
f [ x0 ,, xn 2 , xn ] f [ x0 ,, xn 2 , xn1 ] f [ x0 , x1 ,, xn ] x n x n 1
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f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1
5.3

j 0 j i n
(x x j ) ( xi x j )
(5.5)
称之为拉格朗日插值基函数。