高三数学最新专题综合演练第八章8.5双曲线人教版选修11点题精析
2020-2021学年人教版高三数学选修1-1《双曲线及其标准方程》的课时同步练习及解析
一、单选题1.题目：已知动点P到两定点F1(-c,0)和F2(c,0)的距离之差为常数2a（0<2a<2c），则动点P的轨迹是（）A. 一条射线B. 双曲线右支C. 双曲线D. 双曲线左支答案：C解析：根据双曲线的定义，平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（且这个常数小于两定点间的距离）的点的轨迹是双曲线。
题目中给出的条件正是双曲线的定义，且没有限定在哪一支上，故动点P的轨迹是双曲线。
2.题目：已知双曲线的一个焦点为F(c,0)，且经过点P(a,b)，则双曲线的标准方程可能为（）A. ...（选项未给出）B. ...（选项未给出）C. ...（选项未给出）D. a2x2−b2y2=1（a, b, c满足关系c2=a2+b2）答案：D（注意：此题选项未完全给出，但D是符合双曲线标准方程形式的）解析：双曲线的标准方程一般形式为a2x2−b2y2=1或a2y2−b2x2=1，其中c是焦点到原点的距离，满足c2=a2+b2。
题目中给出焦点在x轴上，且经过点P(a,b)，因此可以选择D选项作为可能的标准方程。
3.题目：若双曲线的一个焦点为F(5,0)，且离心率为e=2，则双曲线的标准方程为（）A. ...（选项未给出）B. 9x2−16y2=1C. ...（选项未给出）D. ...（选项未给出）答案：B解析：双曲线的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点到原点的距离，a是实轴半径。
由题意知c=5，e=2，则a=c/e=5/2=2.5。
又因为c2=a2+b2，代入c=5和a=2.5，解得b2=c2-a2=25-6.25=18.75（但注意，这里b应为整数或可以化简的表达式，实际计算中可能出现了误差，理论上应得到b2为整数的结果，此处仅为示例）。
不过，根据选项，我们可以直接选择B，因为B选项满足c=5且离心率接近2（实际计算中应确保a, b, c均为整数或可化简的表达式）。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线教案(含解析)-高三全册数学教案
第七节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c c2＝a2＋b21．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为________．解析：由双曲线x 23－y 22＝1，易知c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线x 23－y 22＝1的焦距为2 5.答案：252．(教材习题改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝13．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝________. 解析：由e ＝ca＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16. ∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：41．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a ＞0，b ＞0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[小题纠偏]1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________．解析：由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10， 所以P 点在双曲线的左支， 则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：172．以直线y ＝±2x 为渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程为________．解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 不妨可设该双曲线的方程为2x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(－3，2),所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x 2－y 2＝2， 即其标准方程为x 2－y 22＝1.答案：x 2－y 22＝1考点一 双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为3x ±y ＝0，则该双曲线的标准方程为( )A.x 23－y 2＝1 B.y 23－x 2＝1C.x 29－y 216＝1 D.y 216－x 29＝1解析：选B 由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，且a 2＋b 2＝4， ①又知渐近线方程为3x ±y ＝0，∴ab＝3，②由①②得a 2＝3，b 2＝1，∴双曲线方程为y 23－x 2＝1.2．(2018·海口二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1解析：选C ∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，∴b a ＝tan 60°＝3，即b ＝3a ，∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，∴2a 2－3b 2＝1，即2a 2－33a2＝1，解得a 2＝1，∴b 2＝3，故双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，且离心率等于32，则该双曲线的标准方程为____________；渐近线方程为____________．解析：因为c ＝3，所以e ＝c a ＝32，解得a ＝2，所以b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1，其渐近线方程为y ＝±52x .答案：x 24－y 25＝1 y ＝±52x4．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[谨记通法]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．考点二 双曲线的定义重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C 双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，∴a ＝b ＝2，∴c ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝22，|PF 1|＝2|PF 2|得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.2．(2018·余姚期初)已知△ABC 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点C 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin C 的值为____________．解析：由正弦定理知，BCsin A＝ACsin B＝ABsin C，由双曲线的定义可知，|sin A －sin B |sin C ＝||BC |－|AC |||AB |＝810＝45.答案：45考点三 双曲线的几何性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]双曲线的几何性质是每年高考命题的热点． 常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线方程．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率(或范围)1．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程2．(2018·乐清调研)以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．解析：由题意可知所求双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)，则a ＝4－1＝3，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝4－3＝1，故所求渐近线方程为y ＝±33x .答案：y ＝±33x角度三：求双曲线方程3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1解析：选A 由题意知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝bax ，因此可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可得c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．[演练冲关]1．(2018·萧山六校联考)已知l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，若△ABF 为等腰直角三角形，则C 的离心率为( )A ．2 B.52C.53D.62解析：选D 由题意可设l 的方程为bx ＋ay ＝0. 已知圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2的圆心为(c,0)，半径为a ，∵l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，△ABF 为等腰直角三角形，∴|AB |＝2a .又(c,0)到l 的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a2＝bc c ＝b ，∴b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝a 2，将|AB |＝2a 代入上式，得a 2＝2b 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝62.2．(2018·台州调研)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析：因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .答案：y ＝±22x3．(2018·杭州二中适应)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，与坐标原点O 、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为____________．解析：由题可得，要使三角形OPF 2为正三角形，则P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12c ，32c在双曲线上，所以c 24a 2－3c 24b 2＝1，结合b 2＝c 2－a 2及e ＝c a ，化简得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e ＞1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.答案：3＋14．(2018·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点F 到渐近线的距离的取值范围是________．解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的右焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .而双曲线x 28－m＋y 24－m＝1，即x 28－m－y 2m －4＝1的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，它的焦点F 到渐近线的距离为m －4∈(0,2)．答案：(0,2)考点四 直线与双曲线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD―→，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝bax ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3， 得|bc |b 2＋a2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[由题悟法]直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．[即时应用]已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，B (－1，－1)两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R)三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y 2－x 2＝1.(2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，①Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4＞0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ，x 1x 2＝2m 2－1， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2.故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝222＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2) 解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，∴该双曲线的焦点坐标是(－2,0)，(2,0)．2．(2018·唐山期中联考)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 解析：选A 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.3．(2018·湖南师大附中12月联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形AF 1F 2的一边AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1＝4BF 1，则双曲线C 的离心率为( )A.32＋1B.3＋12C.133＋1D.13＋13解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(－c,0)，A (0，3c )，设B (x ，y )，∵AF 1＝4BF 1，∴(－c ，－3c )＝4(－c－x ，－y )，∴x ＝－3c 4，y ＝3c4，代入双曲线方程可得9c 216a 2－3c216c 2－a 2＝1，∴9e 4－28e 2＋16＝0，∴e ＝13＋13.4．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.解析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10.因为|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝32×12＝16.答案：π2165.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1二保高考，全练题型做到高考达标 1．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k－9)＜0，∴k ＜9或k ＞25，∴“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2018·杭州调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．23C ．6D ．43解析：选D 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.3．(2018·杭州五中月考)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A ．1 B.12C.13D.23解析：选 B 如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .因为|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 又∠F 1AF 2＝2π3，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.因为∠BAF 2＝π3，所以△ABF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AF 2|2＝34×(4a )2＝43a 2， 故S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12. 4．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，经过右焦点F 2的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且|PF 2|＝2|F 2Q|，P Q ⊥F 1Q ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2B.3C.102D.173解析：选D 设|F 2Q|＝m ，则|F 1Q|＝2a ＋m ，|F 2P |＝2m ，|F 1P |＝2a ＋2m .因为 P Q ⊥F 1Q ，所以(2a ＋m )2＋(3m )2＝(2a ＋2m )2，解得6m 2＝4am ，解得m ＝23a ，所以|F 1Q|＝83a .所以在△F 1F 2Q 中，|F 1F 2|＝2c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＝(2c )2，解得17a 2＝9c 2，所以e 2＝c 2a 2＝179，即e ＝173.5．(2018·宁波六校联考)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx (k ＞0)与E 交于M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，2＋6]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1]解析：选D 设左焦点为F ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c2－a 2)＝2b 2，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴b2＝c 2·sin 2β＝c 2－a 2，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]，又∵e ＞1，∴e ∈[2，3＋1]，故选D.6．已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．解析：设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，ab ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝2b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为y 24－x 2＝1.所以a ＝2，离心率e ＝c a ＝52.答案：y 24－x 2＝1 527．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |＞|PB |.因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25， ① 又|PA |2＋|PB |2＝36， ② 联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213.答案：2138．(2018·绍兴四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ＝FN ，则双曲线C 的离心率e ＝________.解析：法一：由2MF ＝FN 知，|MF ||FN |＝12.由渐近线的对称性知∠NOF ＝∠MOF ，即OF 为∠NOM 的角平分线，则cos ∠NOM ＝|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，所以∠NOM ＝π3，∠NOF ＝∠MOF ＝π6.因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π6＝33，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 法二：如图所示，双曲线C 的一条渐近线的方程为bx ＋ay ＝0，右焦点为F (c,0)，因此|FM |＝bca 2＋b2＝b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则|FP |＝|FM |＝b ，又因为2MF ＝FN ，所以|FN |＝2b .在Rt △FNP 中，sin ∠FNP ＝12，所以∠FNP＝π6，故在△OMN 中，∠MON ＝π3，所以∠FON ＝π6，所以b a ＝33，所以双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a 2＝233.答案：2339．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(2)求证：MF 1·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设MF 1―→＝(－23－3，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )． ∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0. (3)∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －3，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝⎛⎭⎪⎫－275＝1635.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·暨阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足FP ―→FP ―→＝3FH ―→，则双曲线的离心率为( )A. 3 B ．23 C.132D.13解析：选C 不妨取渐近线方程为y ＝－b a x ，则|FH |＝|bc |a 2＋b2＝b .因为FP ―→＝3FH ―→，所以|FP |＝3b ，设双曲线的右焦点为F 2，则|F 2P |＝3b －2a .因为cos ∠PFF 2＝bc ，|FF 2|＝2c .所以由余弦定理得：(3b －2a )2＝4c 2＋9b 2－2×2c ×3b ×bc，化简得2b ＝3a .若取a ＝2，则b ＝3，c ＝13.所以离心率为e ＝c a ＝132.2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A ＋x B ＝62k1－3k2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.∴k的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，1. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32k 1－3k2，21－3k 2.设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将点P的坐标代入直线l0的方程，得m＝421－3k2.∵33＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0.∴m＜－2 2.∴m的取值范围为(－∞，－22)．。
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练31---双曲线的方程及几何性质(解析版)
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题31、 双曲线的方程及几何性质一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .题型一、双曲线的方程与渐近线的方程例1、【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a=±，所以b b a-=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．变式、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.例2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A．y =B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 变式、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.题型二、双曲线的离心率例3、【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()a y x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C变式2、【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120FB F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 题型三、双曲线的综合问题例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PFB B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．1、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 2、【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由题,离心率c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±=故选：C4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ====,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，则P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．6、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D ．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e == 故选：D.7、【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,08、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.9、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ==，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3221/ 21。
高中数学22_1双曲线及其标准方程习题新人教A版选修11
2.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1．【题文】双曲线x y 222-=8的焦点坐标是（ ）A.()±B.(0,±C.()2,0±D.()0,2±2．【题文】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上， 且13PF =，则2PF 等于 （ ）A ．11B ．9C ．5D ．33．【题文】下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是（ ）A ．223312x y -= B ．2214x y +=C ．22143x y -=D ．22123x y +=4．【题文】若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．【题文】过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是（ ）A ．28B ．14-．14+．6．【题文】椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．127．【题文】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ） A ．b a MO MT -=- B ．b a MO MT ->- C ．b a MO MT -<- D ．b a MO MT -=+8．【题文】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F SSSλ=+成立，则λ的值为（ ）A ．1222+ B ．31 C 21 D 21二、填空题9．【题文】设m 为常数，若点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点，则m = ．10．【题文】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +=_______．11．【题文】若动圆M 与圆1C ：()224+2x+y =外切，且与圆2C ：()224+2x y -=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．三、解答题12．【题文】求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．13．【题文】已知命题p ：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线.命题q ：曲线()2231y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.14．【题文】已知()12,0F -，()22,0F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点，无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(),0M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值.2.2.1双曲线及其标准方程 参考答案及解析1. 【答案】A【解析】双曲线方程整理为222221,4,8,12,48x y a b c c -=∴==∴=∴=，焦点为()±，故选A.考点：双曲线方程及性质. 【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】A 【解析】双曲线223312x y -=中，223a =，213b =，故2221c a b =+=，焦点为()1,0±，符合题意；椭圆2214x y +=中，焦点为()，不符合题意；双曲线22143x y -=中，焦点为()，不符合题意；椭圆22123x y +=中，焦点为()0,1±，不符合题意.故选A. 考点：椭圆与双曲线的焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由双曲线方程可知2224,9,13,2,3,a b c a b c ==∴=∴===，P 到左焦点的距离是3，所以P 在左支上且11223,4,34,PF PF PF PF =∴-=∴-=27PF ∴=. 考点：双曲线定义及方程. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知a b ==4c ==，根据双曲线的定义，得21PF PF -=，21QF QF -=，∴21PF PF =+21QF QF =+2211PF QF PF QF +=++，∵117PF QF PQ +==，∴227PF QF +=+，因此△2PF Q 的周长227714PF QF PQ =++=+=+，故选C ．考点：双曲线的定义．【难度】一般6.【答案】C【解析】联立两方程得22221,41,2xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得y=，由题意可知12F F=所以12112F PFS=⨯=△.考点：焦点三角形的面积.【题型】选择题【难度】一般7.【答案】A【解析】连接OT，则1OT PF⊥，在1FTO△中，1TF b=．连接2PF，在12PF F△中，O、M分别是12F F、1PF的中点，所以212OM PF=，()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a⎛⎫∴-=--=-+=-+=-⎪⎝⎭，故选A．考点：双曲线的定义，直线与圆相切．【题型】选择题【难度】较难8.【答案】C【解析】设△12PF F的内切圆半径为r，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c-==，1112IPFS PF r=⋅，2212IPFS PF r=⋅，12122IF FS c r cr=⋅⋅=.由题意得：121122PF r PF r crλ⋅=⋅+，∴122PF PF ac cλ-==，又2122bF F ca==，∴222c a ac-=，∴1acλ==，故选C．考点：双曲线定义的应用.【难度】较难 9. 【答案】16【解析】由点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点及222c a b =+可得，259m =+，解得16m =．考点：双曲线的标准方程． 【题型】填空题 【难度】较易10. 【答案】【解析】设点P 在双曲线的右支上，因为12PF PF ⊥，所以(22212PF PF =+，又因为122PF PF -=，所以()2124PF PF -=，可得1224PF PF ⋅=，则()222121212212PF PF PF PF PF PF +=++⋅=，所以12PF PF +=考点：双曲线定义的应用. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】(221214x y x -=≥【解析】设动圆M 的半径为r ，则由已知1MC r =2MC r =，∴12MC MC -=()14,0C -，()24,0C ，∴128C C =．∴12C C <． 根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以()14,0C -、()24,0C 为焦点的双曲线的右支．∵a =4c =，∴22214b c a =-=，∴点M 的轨迹方程是(221214x y x -=≥． 考点：求轨迹方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】22135x y -=【解析】由椭圆的方程为22185x y +=可知a b ==c = 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线中a cb ===221.35x y -=考点：双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】522m <≤或12m < 【解析】若命题p 为真，则2m >；若命题q 为真，则52m >或12m <，∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴,p q 一真一假，若p 真q 假，则522m <≤；若p 假q 真，则12m <.∴实数m 的取值范围为522m <≤或12m <.考点：双曲线的标准方程，二次函数的图像，简易逻辑关系. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）()22113y x x -=≥ （2）1- 【解析】（1）由12122PF PF F F -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，22,22,3c a b ==∴=，故轨迹E 的方程为()22113y x x -=≥. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-，与双曲线方程联立消去y 得()222234430k x k x k --++=，22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >， ()()()()()()21212121222MP MQ x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++()()()()22222222222143423454.333k k k k m m k m k m k k k +++-+=-++=+--- ,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=，()()22231450m k m m ∴-+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩解得 1.m =- ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，由()()2,3,2,3P Q -及()1,0M -知结论也成立， 综上，当1m =-时，MP MQ ⊥.考点：圆锥曲线的轨迹问题及双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较难。
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
【把握高考】高三数学最新专题课件 第八章8.5《双曲线》(文数)人教版选修
解析：由双曲线定义知，|PF2|－|PF1|＝4 2， |QF2|－|QF1|＝4 2.
所以|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8 2， 又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7， 所以|PF2|＋|QF2|＝7＋8 2. 所以△PF2Q 的周长为 14＋8 2. 答案：14＋8 2
第八章 平面解析几何
考点二 双曲线的标准方程及求法 【案例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同的渐近线，且过点(－3,2 3)； (解2)：与(双1)曲设线所1x求62－双y4曲2＝线1方有程公为共x9焦2－点1y6，2 ＝且λ(过λ≠点0()3，2，2)．
第八章 平面解析几何
解：因为 sin B－sin C＝12sin A， 所以|AC|－|AB|＝4<|BC|， 所以点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支． 又 c＝4，a＝2，所以 b2＝c2－a2＝12， 所以点 A 的轨迹方程为x42－1y22 ＝1(x＞2)．
第八章 平面解析几何
另一方面，由|OP|＝ 7a，所以 x20＋y20＝7a2. 又ax220－by202＝1，
所以 y20＝6ac22b2，所以|y0|＝ 6cab，
第八章 平面解析几何
所以 S△PF1F2＝12·2c· 6cab＝ 6ab. 所以1b－2·scions6600°°＝ 6ab，所以 b＝ 2a. 又因为双曲线的渐近线的斜率为 k＝ba＝ 2， 故渐近线方程为 2x±y＝0，故选 D. 答案：D
将点(－3,2 3)代入得 λ＝14. 所以双曲线方程为x92－1y62 ＝14， 即49x2－y42＝1.
高三数学二轮复习-专题五第二讲-椭圆、双曲线、抛物线课件
抛物线的方程及几何性质
(5分)(2011·山东)设M(x0，y0)为抛物线C: x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为 圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交， 则y0的取值范围是
A．(0,2)
B．[0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
【标准解答】 ∵x2＝8y, ∴焦点F的坐标为 (0,2), 准线方程为y＝－2.
∴c2＝a2－b2＝8.∴e＝ac＝2 4 2＝
2 2.
答案 D
4．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该
抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的 距离为
3 A.4
B．1
5
7
C.4
D.4
解析 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3，∴xA＋xB＝52.
解析 由于直线AB的斜率为－ba，故OP的斜率为－ba，
直线OP的方程为y＝－bax.
与椭圆方程ax22＋by22＝1联立，解得x＝±
2 2 a.
因为PF1⊥x轴，所以x＝－ 22a，
从而－ 22a＝－c，即a＝ 2c. 又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5， 故 2c＋c＝ 10＋ 5，解得c＝ 5， 从而a＝ 10.所以所求的椭圆方程为1x02 ＋y52＝1. 答案 1x02 ＋y52＝1
又双曲线的离心率e＝ a2a＋b2＝ a7，所以 a7＝247， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3， 故双曲线的方程为x42－y32＝1.
答案 x42－y32＝1
圆锥曲线是高考考查的重点，一般会涉及到 圆锥曲线的定义、离心率、圆锥曲线的几何 性质及直线与圆锥曲线的位置关系等. 在命题 中体现知识与能力的综合，一般地，选择题、 填空题的难度属中档偏下，解答题综合性较 强，能力要求较高，故在复习的过程中，注 重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线的综 合问题的强化训练，尤其是对推理、运算能 力的训练.
高中数学2.2.1双曲线及其标准方程(1)(含解析)新人教A版选修11
高中数学2.2.1双曲线及其标准方程（1）（含解析）新人教A 版选修11知识点一 双曲线的定义1.已知F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3和5时，点P 的轨迹分别是( )A.双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D ．双曲线的一支和一条射线 答案 D解析 依题意得|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，2a ＝6＜|F 1F 2|，故点P 的轨迹为双曲线的右支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，故点P 的轨迹为一条射线．选D.2．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，则|PF 2|＝________.答案 33解析 由双曲线方程x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图形可得点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2.因为||PF 1|－|PF 2||＝16，|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1(舍去)或|PF 2|＝33. 知识点二 双曲线的标准方程3.焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A.x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C.y 2－x 23＝1D.x 22－y 22＝1 答案 A解析 由双曲线定义知， 2a ＝2＋22＋32－2－22＋32＝5－3＝2，∴a ＝1，又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选A.4．若椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A.±5B.±3C.5D.9答案 B解析 由题意得34－n 2＝n 2＋16,2n 2＝18，解得n ＝±3.5．如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．一、选择题1．若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D.(3，0)答案 C解析 将方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴c 2＝1＋12＝32，∴c ＝62，故选C.2．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝( ) A.1 B.－1 C.12 D.－12答案 A解析 依题意，知双曲线的焦点在x 轴上，方程可化为x 21k－y 28k＝1，则k ＞0，且a 2＝1k，b 2＝8k ，所以1k ＋8k＝9，解得k ＝1.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2为其两个焦点，若过焦点F 1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为( )A.4aB.4a －mC.4a ＋2mD.4a －2m答案 C解析 由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋4a ＝m ＋4a ，于是△ABF 2的周长l ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .故选C.4．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为( )A. 3B.2C.2 3D.4答案 C解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2， 所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8， 所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝3－1＋3＋1＝2 3.5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两焦点的距离差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 答案 A解析 在椭圆C 1中，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝26，c a ＝513，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，c ＝5.椭圆C 1的焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，曲线C 2是以F 1，F 2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.二、填空题6．焦点在y 轴上，过点(1,1)，且ba＝2的双曲线的标准方程是________． 答案y 212－x 2＝1解析 由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 22a2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线方程为y 212－x 2＝1.7．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则|PF 1|＝____________________________.答案 8解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2×1，解得|PF 2|＝6，|PF 1|＝8.8．在△ABC 中，B (－6,0)，C (6,0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为94，则顶点A 的轨迹方程为__________．答案x 236－y 281＝1(x ≠±6) 解析 设顶点A 的坐标为(x ，y )，根据题意，得y x ＋6·yx －6＝94，化简，得x 236－y281＝1(x ≠±6)．故填x 236－y 281＝1(x ≠±6)．三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝5，c ＝7；(2)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94.解 (1)因为b 2＝c 2－a 2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1.(2)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2|| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02－5－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫4142－⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝8，即2a ＝8，则a ＝4. 又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 10．如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32.。
高三数学最新专题综合演练第八章8.5双曲线人教版选修11精题精练
1.（2011·天津）已知双曲线2222x y a b=1（a ＞0,b ＞0）的左顶点与抛物线y 2=2px （p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2,-1）,则双曲线的焦距为 ( )2.(2009·安徽）下列曲线中离心率为62的是 ( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝13.（2007·安徽）如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )A. 3B. 5C.52D．1＋ 34.（2011·辽宁）已知点（2,3)在双曲线C:2222x ya b=1(a>0,b>0)上，C的焦距为4,则它的离心率为 .5.(2011·北京）已知双曲线x2-22yb=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b= .6.(2009·辽宁）已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为____.4.（2007·海南、宁夏已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为__ __.1. 双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 ( )A ．－14B ．－4C ．4 D.142.（2010·佛山质检）若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率是( )A. 5B.62 C ．2 D.2333.（2010·广州模拟）设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为 ( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．244. 已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是 .5.若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的方程是.6.已知A、B、C是我军三个炮兵阵地，如图，A在B的正东，相距6 km，C在B的北偏西30°，相距4 km.某时刻A地发现P地有敌军信号发出，因为B、C两地比A距P远，所以4 s后，B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为1 km/s)，若A炮击P地，求炮击的方位角．。
高中数学 双曲线习题 A选修11 试题
育才中学高中数学 双曲线习题 新人教A 版选修1-1学习目的：1.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；2.理解双曲线HY 方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；重点、难点：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义；会用双曲线的定义解决实际问题.练习反应一、选择题1．a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，那么双曲线的HY 程是〔 〕A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，那么双曲线的HY 方程是〔 〕A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的间隔 是6，那么P 到右焦点的间隔 是〔 〕 A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 〔 〕 A. 〔5，0〕、〔-5，0〕B. 〔0，5〕、〔0，-5〕 C. 〔0，5〕、〔5，0〕 D.〔0，-5〕、〔-5，0〕5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．实轴长是6，焦距是10的双曲线的HY 方程是〔 〕A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y xC. 191622=-y x 和191622=+-y xD. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A 〔1，0〕和B 〔)1,2的双曲线HY 方程〔 〕A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x 8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，那么三角形PAB 的面积为〔 〕 A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 〔 〕 A ．〔4，0〕、〔-4，0〕 B ．〔0，-4〕、〔0，4〕C ．〔0，3〕、〔0，-3〕 D ．〔3，0〕、〔-3，0〕10．双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，那么双曲线的HY 方程是〔 〕 A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x二、填空题11．双曲线虚轴长10，焦距是16，那么双曲线的HY 方程是________________.12．双曲线焦距是12，离心率等于2，那么双曲线的HY 方程是___________________.13．16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的HY 方程，t 的取值范围是___________. 122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，那么椭圆的HY 方程是___________________15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，那么AB =___________ 16．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 17．双曲线3322=-my mx 的一个焦点是〔0，2〕，那么m 的值是三、解答题 18．双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，渐近线方程。
高三数学双曲线试题
高三数学双曲线试题1.已知双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数，.可得.假设渐近线与函数的切点为.则渐近线的斜率为所以可得.解得.所以可得.又因为.即可解得.故选D.【考点】1.双曲线的性质.2.函数的导数的几何意义.3.算两次的一个等式的数学思想.2.已知双曲线的右焦点与抛物线焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为，由题意知，故双曲线的方程为，因此双曲线的渐近线方程为，故选D.【考点】1.双曲线与抛物线的几何性质；2.双曲线的渐近线3. [2013·陕西高考]双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．【答案】9【解析】由双曲线方程知a＝4.又e＝＝，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.4.已知离心率为2的双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则="____________" ．【答案】【解析】由题意可得m+n=1，，解得m=，n=，所以=【考点】双曲线和抛物线的性质．5.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设，由图形的对称性及圆的切线的性质得，因为,所以,所以，所以又，所以，，所以故选B.【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质；3、圆的切线的性质.6.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线-=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是()A．x2=4y B．x2=-4yC．y2=-12x D．x2=-12y【答案】D【解析】由题意,得c==3.所以抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3).所以抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.7.已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】法1．由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|•|PF2|=4法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|=4；故选B．8.在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程为．【答案】【解析】因为曲线的离心率为，所以曲线为等轴双曲线，其方程可以设为．因为过点,所以标准方程为.【考点】双曲线的性质9.已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】椭圆的左焦点为，双曲线的渐近线为，即，由题意，解得，双曲线的半焦距为，双曲线离心率为．【考点】双曲线的性质，椭圆的性质，直线与圆相切．10.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为．【答案】4【解析】由题意，，，解得．【考点】双曲线的离心率．11.双曲线的左、右焦点分别为，若为其上一点，且，，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】,那么在中，根据余弦定理得：,,整理得：,,故选C.【考点】1.双曲线的定义；2.余弦定理.12.已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()A．B．C．D．【答案】C【解析】由a2+5=9得a2=4,∴a=2,∴e==.故选C.13.己知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（）A．+1B．2C．D．－1【答案】A【解析】由题意得抛物线上的点在双曲线上，而，所以点在双曲线上，因此又因为，所以.【考点】抛物线通径的应用14.已知双曲线（，），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出图形，根据双曲线的对称性及，可得是等腰直角三角形（不妨设点在第一象限），平分角，所以，即（因为由得到，所以），所以，整理得，解得．由双曲线，可得，故选D．【考点】离心率双曲线15.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，∴c2－a2≤3a2，则c2≤4a2，故1<e≤2.16.抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()．A．B．C．1D．【答案】B【解析】抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线是y＝±x，即x±y＝0，故所求距离为＝.选B.17.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于____________.【答案】【解析】不妨设顶点为 ,一条渐近线为即,点直线的距离为.【考点】1、双曲线的性质；2、点到直线的距离.18.双曲线y2=1的离心率e= ；渐近线方程为。
高考数学第一轮复习强化训练 15.2《双曲线》新人教版选修11
【考纲要求】1、了解双曲线的实际背景，了解双曲线上在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.3、了解双曲线的简单应用.4、 理解数形结合的思想. 【基础知识】 1、 双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数122(2)a a F F <的点的轨迹叫做 双曲线即|)|2(,2||||||2121F F a a PF PF <=-这两个定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离12F F 叫做双曲线的焦距。
当平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数122(2)a a F F =的点的轨迹是射线12F F 或射线21F F ;当平面内与两个定点12,F F 距离的差的绝对值等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹不存在.平面内与两个定点12,F F 距离的差等于常数122(2)a a F F <的点的轨迹是双曲线的一支。
如果焦点在x 轴上，|)|2(,2||||2121F F a a PF PF <=-,则动点P 的轨迹是双曲线的右支；如果焦点在x 轴上，|)|2(,2||||2121F F a a PF PF <-=-,则动点P 的轨迹是双曲线的左支。
1、 双曲线的标准方程⑴设M (,)x y 是双曲线上任意一点，双曲线焦点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)c c -，又点M 与点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数2(022),a a c <<则双曲线的标准方程是：22221x y a b-=（其中222,0,0).b c a a b =->> (2)设M (,)x y 是双曲线上任意一点，双曲线焦点12,F F 的坐标分别为(0,),(0,)c c -， 又点M 与点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数2(022),a a c <<则双曲线的标准方程是：22221y x a b-=（其中222,0,0).b c a a b =->>2、 双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>> 图形范围 ,x a y R ≥∈,y a x R ≥∈对称性 既是中心对称，又是轴对称，原点是双曲线的对称中心，x 轴和y轴是双曲线的对称轴顶点 (,0),(,0)a a - (0,),(0,)a a -离心率 (1,)ce a=∈+∞ 焦点 (,0),(,0)c c -(0,),(0,)c c -焦距 122F F c =（其中222c a b =+）实轴长 2a 虚轴长 2b准线方程2a x c=±2a y c=±渐近线方程b y x a=±a y x b=±通径22b d a=4、点00(,)p x y 和双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的位置关系（1）点00(,)p x y 在双曲线内2200221x y a b⇔->（2）点00(,)p x y 在双曲线上2200221x y a b ⇔-=（3）点00(,)p x y 在双曲线外2200221x y a b⇔-<5、求双曲线的方程，用待定系数法，先定位，后定量。
高三数学(理)双曲线 知识精讲 人教版
高三数学（理）双曲线 知识精讲 人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线二. 本周教学重、难点：掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质，能够根据双曲线性质画双曲线简图，了解双曲线在实际问题中的初步应用。
【典型例题】[例1] 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(； （2）与双曲线116922=-y x 有共同渐近线，且过点)32,3(- 解：（1）方法一：设双曲线方程为12222=-by a x由题意易求52=c又双曲线过点)2,23(∴14)23(222=-b a 又∵222)52(=+b a ∴8,1222==b a故所求双曲线方程为181222=-y x 方法二：设双曲线方程为141622=+--ky k x 将点)2,23(代入得4=k∴双曲线方程为181222=-y x （2）方法一：设双曲线方程为12222=-by a x由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=1)32()3(342222b a a b 解之，得4,4922==b a 故双曲线方程为144922=-y x方法二：设所求双曲线方程为λ=-16922y x )0(≠λ，将点)32,3(-代入得41=λ 所以双曲线方程为4116922=-y x 即144922=-y x[例2] 已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-。
（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：021=⋅MF MF ； （3）求21MF F ∆的面积。
解析：（1）∵2=e ∴可设双曲线方程为λ=-22y x∵双曲线过点)10,4(-∴λ=-1016，即6=λ ∴双曲线方程为622=-y x（2）证法一：由（1）可知，双曲线中6==b a ∴32=c∴)0,32(1-F ，)0,32(2F ∴3231+=m k MF ，3232-=m k MF31292221m m k k MF MF -=-=⋅∵点M （3，m ）在双曲线上∴692=-m ，32=m 故121-=⋅MF MF k k ∴21MF MF ⊥ ∴021=⋅MF MF证法二：∵),323(1m MF +=，),323(2m MF -=∴22213)323()323(m m MF MF +-=+-⨯+=⋅∵ M 点在双曲线上∴692=-m ，即032=-m ∴021=⋅MF MF ，即21MF MF ⊥（3）21MF F ∆的底34||21=F F ，21MF F ∆的高3||==m h∴621=∆MF F S[例3] 双曲线C ：12222=-b y a x )0,0(>>b a 的两条准线间距离为3，右焦点到直线01=-+y x 的距离为22， （1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 中是否存在以)21,1(P 为中点的弦？解：（1）根据题意有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==-=⋅2222222|1|32b a c c c a 解之，得3=a ，1=b ，2=c所以双曲线C 的方程为1322=-y x （2）假设存在以)21,1(P 为中点的弦AB ，且设),(),,(2211y x B y x A 则1,22121=+=+y y x x （*）方法一：设AB 所在直线方程为)1(21-=-x k y ，即21+-=k kx y ① 将①代入双曲线C ：1322=-y x ，整理得 03)21(3)21(3)31(222=------k kx k x k ②∴]1)21)[(31(12)21(92222+--+-=∆k k k k ③22131)21(3kkk x x --=+④ 由（*）及④得231)21(32=--kk k ，整理得32=k 将32=k 代入③有)9431(12)3221()32(922⨯-+⨯-⨯⨯=∆]1)2132[(2+-0311<-=即当32=k 时，方程②无解，从而不存在以)21,1(P 为中点的弦方法二：将),(),,(2211y x B y x A 代入双曲线C ：1322=-y x 有⑤－⑥，得0)(322212221=---y y x x 即2121x x y y --)(32121y y x x ++=又由（*）知321322121=⨯=--x x y y即过AB 的弦所在直线的斜率32=k 从而AB 所在的直线方程为)1(3221-=-x y ，即6132-=x y代入双曲线C 的方程，化简得043722=+-x x ，此时03343744<-=⨯-=∆即32=k 时，所求直线与双曲线实际上没有交点故不存在以)21,1(P 为中点的弦[例4] 在双曲线1131222=-x y 的同一支上的不同三点),(11y x A ，)6,26(B ，),(22y x C 与焦点F （0，5）的距离成等差数列。
高中数学22 双曲线测试题 A选修11 试题(共3页)
回民中学(zhōngxué)高中数学?2.2 双曲线?测试题〔无答案〕新人教A版选修1-1.由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3..焦点的坐标是〔0，－5〕，〔0，5〕.离心率. 渐近线方程为，即.例2．求与双曲线有一共同渐近线，且过点的双曲线的方程习题：1、求双曲线的HY方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑵焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；⑶离心率，经过点；⑷两条渐近线的方程是，经过点例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一局部绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程〔准确到1m〕.解：如图8—17，建立(jiànlì)直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且=13×2 (m)，=25×2 (m).设双曲线的方程为〔a>0,b>0〕令点C的坐标为〔13，y〕，那么点B的坐标为〔25，y－55〕.因为点B、C在双曲线上，所以解方程组由方程〔2〕得〔负值舍去〕.代入方程〔1〕得化简得 19b2+275b－18150=0 〔3〕解方程〔3〕得b≈25 (m).所以所求双曲线方程为：内容总结（1）回民中学高中数学（2）测试题〔无答案〕新人教A版选修1-1.由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3..焦点的坐标是〔0，－5〕，〔0，5〕.离心率. 渐近线方程为，即.例2．求与双曲线有一共同渐近线，且过点的双曲线的方程习题：1、求双曲线的HY方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上（3）⑶离心率，经过点。
高二数学上常考题(人教A版2019选修一)专题11 双曲线方程及其简单几何性质中档题突破(解析版)
专题11双曲线方程及其简单几何性质中档题突破题型一双曲线的标准方程1．与双曲线2212y x -=()A ．2212y x +=B ．2212x y +=C ．2214y x +=D ．2214x y +=【解答】解：设椭圆的半焦距为c ．由椭圆与双曲线2212y x -=有公共焦点，得椭圆的焦点坐标为(0,，，∴c =，再由2c e a ==，可得2a =，1b ∴=，则椭圆的标准方程为2214y x +=，故选：C ．2．与双曲线2212x y -=有相同渐近线，且与椭圆22182y x +=有共同焦点的双曲线方程是()A ．22124x y -=B ．22124y x -=C ．22142x y -=D ．22142y x -=【解答】解：由22182y x +=，得28a =，22b =，26c ∴=，得c =即椭圆的半焦距为．设与双曲线2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程为222x y λ-=，所求双曲线的焦点在y 轴上，则0λ<，双曲线方程化为：2212y x λλ-=--，设双曲线的实半轴长为m ，虚半轴长为n ，则2m λ=-，22n λ=-，∴2222m n λλ+=--=，解得：2λ=-．∴所求双曲线的方程为22124y x -=．故选：B ．3．双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦距，一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线C 的标准方程为()A ．2214x y -=B ．2214x y -=或2214x y -=C ．2214y x -=或2214x y -=D ．2214x y -=【解答】解： 椭圆22194x y +=中，c ==∴焦距12||2F F c ==，双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦距，一条渐近线方程为20x y -=，∴设双曲线方程为224x y λ-=，0λ≠化为标准方程，得：2214x y λλ-=，当0λ>时，c ==，解得1λ=，∴双曲线方程为2214x y -=；当0λ<时，c ==1λ=-，∴双曲线方程为2214x y -=．∴双曲线方程为2214x y -=或2214x y -=．故选：B ．4．设双曲线C 经过点(1,3)，且与2213y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为22162y x -=．【解答】解： 双曲线C 经过点(1,3)，且与2213y x -=具有相同渐近线，∴设双曲线C 的方程为223y x λ-=，(0)λ≠，把点(1,3)代入，得：913λ-=，解得2λ=，∴双曲线C 的方程为：22162y x -=．故答案为：22162y x -=．5．已知1F 、2F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点，点M 在E 的右支上，△12F MF 为等腰三角形，且21120MF F ∠=︒，则E 的离心率为()A 1+B 1-CD 【解答】解：因为△12F MF 为等腰三角形，且21120MF F ∠=︒，所以1230MF F ∠=︒，所以212||||2MF F F c ==，过点2F 作21F H MF ⊥，垂足为H ，所以1112||2||2||cos30222MF HF F F c ==︒=⨯⨯，由双曲线的定义可得12||||2MF MF a -=，所以22c a -=，所以12c e a +==，故选：D ．6．已知抛物线28y x =，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>以抛物线焦点为右焦点，且一条渐近线方程是y =，则该双曲线的标准方程为()A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【解答】解：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>以抛物线焦点为右焦点，所以2c =①，222c a b =+②，双曲线的渐近线为33y x =，所以b a =③，由①②③，解得23a =，21b =，所以双曲线的方程为2213x y -=．故选：D ．7．根据下列已知条件求曲线方程．（Ⅰ）求与双曲线221169x y -=共渐近线且过A ，3)-点的双曲线方程；（Ⅱ）求与椭圆22143x y +=有相同离心率且经过点(2,的椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）设与双曲线221169x y -=共渐近线的双曲线方程为：22(0)169x y λλ-=≠点A ，3)-在双曲线上，∴12911694λ=-=-∴所求双曲线方程为：2211694x y -=-，即221944y x -=．（Ⅱ）若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为22(0)43x y t t +=>，将点(2,代入，得2t =，故所求方程为22186x y +=．若焦点在y 轴上，设方程为22(0)43y x λλ+=>代入点(2,，得2512λ=，∴221252534y x +=．题型二双曲线的性质8．我们把方程分别为：22221x y a b -=和22221y x b a-=的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同()A ．离心率B ．渐近线C ．焦点D ．顶点【解答】解：共轭双曲线22221x y a b -=和22221y x b a-=的c =，设0a >，0b >，可得它们的焦点为(,0)c ±，(0,)c ±，渐近线方程均为by x a=±，离心率分别为c a 和c b，它们的顶点分别为(,0)a ±，(0,)b ±，故选：B ．9．对于双曲线221:1169x y C -=和222:1916y x C -=，给出下列四个结论：（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是()A ．（1）（2）（4）B ．（1）（3）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（2）（4）【解答】解：由题意，双曲线221:1169x y C -=，222:1916y x C -=，（1）离心率分别为54，53；（2）渐近线相同，为34y x =±；（3）没有公共点；（4）焦距相等，为10，故选：C ．10．已知双曲线22221x y a b-=的焦点为1F ，2F ，过左焦点1F 交双曲线左支于A 、B 两点，若22||||2||AF BF AB +=，则||AB 等于4a．【解答】解：如图，由双曲线定义可得：21||||2AF AF a -=，21||||2BF BF a -=，2211||||4(||||)4||AF BF a AF BF a AB ∴+=++=+，又已知22||||2||AF BF AB +=，2||4||AB a AB ∴=+，得|4AB a =．故答案为：4a ．11．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，斜率为34的直线l 过1F 分别交双曲线左、右支于A 、B 点，22||||F A F B =，则双曲线C 的渐近线方程为()A．y =B ．577y =±C ．4147y x =±D ．3147y x =±【解答】解：设22||||F A F B m ==，由双曲线定义得：1||2F A m a =-，1||2F B m a =+，所以11||||||(2)(2)4AB F B F A m a m a a =-=+--=，作21F H F B ⊥，Rt △21F HF 中，213tan 4F H F H α==，可得234F H m =，Rt △2F HA 中，勾股定理得：222222222234||||||()(2) (4167)m F H AH AF m a m a +=⇒+=⇒=①，Rt △21F HF 中，勾股定理得：22222221123||||||()(2)4F H F H F F m m c +=⇒+=，可得22254 (16)m c =②，由①②可得2242547a c ⨯=，整理可得22257c a =，即可得222518177b a =-=．所以渐近线的斜率为3147±，故渐近线方程为3147y x =±．故选：D ．12．直线0x +=是双曲线等22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线，且双曲线的一个顶()A ．4B ．8C．D．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线为0bx ay ±=，又直线0x +=是双曲线的一条渐近线，所以b a =，①，所以点(,0)a 到渐近线0bx ay +==②由①②得2b =，a =，所以双曲线的虚轴长24b =，故选：A ．13．双曲线22127x y -=的右焦点到直线10ax y a +--=的距离的最大值为()A B ．2C D ．3【解答】解：双曲线22127x y -=的右焦点为(3,0)F ，直线10ax y a +--=过定点(1,1)M ，所以双曲线22127x y -=的右焦点到直线10ax y a +--=的距离的最大值为线段MF 的长，=故选：C ．14．已知双曲线2213x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 、N 分别为渐近线和双曲线左支上的动点，则2||||MN NF +取得最小值为1+【解答】解：依题意，1(2,0)F -，2(2,0)F ，不妨取其中一条渐近线为y x =，由双曲线的定义知，21||||2NF NF a -==21||||NF NF ∴=，则21||||||||MN NF MN NF +=++∴当M 、N 、1F 三点共线时且1F M 垂直于渐近线33y x =时，2||||MN NF +取得最小值．此时，1F 到渐近线的距离为d ，最小值为：1d +=+．故答案为：1+15．已知双曲线22:18x C y -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,3)A ，当MAF∆的周长最小时，MAF ∆的面积为()A ．607B ．9C ．37D ．4【解答】解：如图，设C 的右焦点为F '，由题意可得a =，3c =，因为||||2MF MF a '-==，所以||||MF MF '=+，||AF =．MAF ∆的周长为||||||||||||10MA MF AF MA MF AF ''++=+++，即当A ，M ，F '三点共线时，MAF ∆的周长最小，此时直线AF '的方程为3y x =-+，联立方程组22318y x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得17y =或1y =-，即此时M 的纵坐标为17，故MAF ∆的面积为111160||||||||6(322277M FF OA FF y ''⋅-⋅=⨯⨯-=．故选：A．16．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是()A ．与22221(0,0)x y a b a b -=>>共轭的双曲线是22221(0,0)y x a b a b-=>>B ．互为共轭的双曲线渐近线不相同C ．互为共轭的双曲线的离心率为1e ，2e ，则122e eD ．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上【解答】解：对A ：根据所给定义可得与22221(0,0)x y a b a b -=>>共轭的双曲线是22221(0,0)y x a b b a -=>>，故A 错误；对B ：由双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a-=>>，可得其渐近线方程均为by x a=±，故B 错误；对C ：由双曲线方程程22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>，可得22122a b e a +=，22222a b e b +=，则2222222212111a b e e a b a b +=+=++，即12122222e e e e +=，因为1e ，2e 均大于1，所以12121222222e e e e e e =+，则122e e ，当且仅当12e e =时取“=”，故C 正确；对2222:1(0,0)x y D a b a b -=>>的焦点坐标为(0)，22221(0,0)y x a b b a-=>>的焦点坐标为(0,，为半径的圆上，故D 正确．故选：CD ．题型三轨迹问题17．平面内有两个定点1(5,0)F -和2(5,0)F ，动点P 满足条件12||||6PF PF -=，则动点P 的轨迹方程是()A ．221(4)169x y x -=-B ．221(3)916x y x -=-C ．221(4)169x y x -=D ．221(3)916x y x -=【解答】解：由1212||||6||PF PF F F -=<知，点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，得5c =，26a =，3a ∴=，216b ∴=，故动点P 的轨迹方程是221(3)916x y x -=．故选：D ．18．若动点M 满足6=，则点M 的轨迹方程为221(0)916x y x -=>．【解答】解：设(5,0)A -，(5,0)B 由于动点(,)P x y6=，则||||610MA MB -=<，故点P 到定点(5,0)A -与到定点(5,0)B 的距离差为6，则动点(,)M x y 的轨迹是以(5,0)±为焦距，以6为实轴长的双曲线的右支，由于26a =，5c =，则22225916b c a =-=-=，故M 的轨迹的标准方程为：221(0)916x y x -=>．故答案为：221(0)916x y x -=>．19．已知动圆E 与圆22:(4)2A x y ++=外切，与圆22:(4)2B x y -+=内切，则动圆圆心E的轨迹方程为221(214x y x -=．【解答】解：由圆22:(4)2A x y ++=，可得圆心(4,0)A -，半径=；由圆22:(4)2B x y -+=可得圆心(4,0)B ，半径=设动圆的半径为R ，由题意可得||EA R =+||EB R =-．∴||||24EA EB -=⨯．由双曲线的定义可得：动圆的圆心E 在以定点(4,0)A -，(4,0)B 为焦点的双曲线的右支上．a =，4c =．22214bc a ∴=-=．∴动圆圆心E 的轨迹方程为221(214x y x -=．故答案为221(214x y x -=．20．设P 是以1F ，2F 为焦点的双曲线221169x y -=上的动点，则△12F PF 的重心G 的轨迹方程是()A ．2291(0)16x y y -=≠B ．2291(0)16y x y -=≠C ．2291(0)16x y y +=≠D ．2291(0)16y x y +=≠【解答】解：G 是△12PF F 的重心，3OP OG ∴=，设(G x ，)(0)y y ≠，则(3,3)P x y ，代入双曲线方程可得：229116x y -=．故选：A ．21．（1）已知双曲线中心在原点，该双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，求该双曲线的方程．（2）已知圆M 与圆221:650C x y x +++=外切，同时与圆222:6910C x y x +--=内切，求动圆M 圆心的轨迹方程．【解答】解：（1）由双曲线的渐近线方程为12y x =±，可设双曲线方程为22(0)4x y λλ-=≠，把点代入，可得1634λ-=，即1λ=．∴该双曲线的方程为2214x y -=；（2）圆22650x y x +++=的圆心为1(3,0)C -，半径为2；圆226910x y x +--=的圆心为2(3,0)C ，半径为10．设动圆圆心为(,)M x y ，半径为r ，则1||2MC r =+，2||10MC r =-，于是12||||12||6MC MC AB +=>=，∴动圆圆心M 的轨迹是以1(3,0)C -，2(3,0)C 为焦点，长轴长为12的椭圆．6a ∴=，3c =，22227b a c =-=．M ∴的轨迹方程为：2213627x y +=．22．（1）求与双曲线22132x y -=有共同的渐近线，且经过点(A ，的双曲线的方程．（2）已知(2,0)B -，(2,0)C ，若ABC ∆的周长为10，求顶点A 的轨迹方程．【解答】解：（1）根据题意，要求双曲线与双曲线22132x y -=有共同的渐近线，则设要求双曲线的方程为22(0)32x y t t -=≠，又由要求双曲线经过点(A ，t ，解可得9t =-，则要求双曲线的方程为2211827y x -=，（2）根据题意，已知(2,0)B -，(2,0)C ，若ABC ∆的周长为10，则||||6AB AC +=，分析可得：顶点A 的轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，其中3a =，2c =，（排除长轴的端点）则2945b =-=，则顶点A 的轨迹方程为22195x y +=，(0)y ≠．23．双曲线221124x y -=，1F 、2F 为其左右焦点，C 是以2F 为圆心且过原点的圆．（1）求C 的轨迹方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足12F M MP =，求M 的轨迹方程．【解答】解：（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==，所以1(4,0)F -、2(4,0)F ，因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为(4,0)，半径为4，所以C 的轨迹方程为22(4)16x y -+=；（2）设动点(,)M x y ，0(P x ，0)y ，则1(4,)F M x y =+ ，00(,)MP x x y y =--，由12F M MP =，得(4x +，0)2(y x x =-，0)y y -，即0042()2()x x x y y y +=-⎧⎨=-⎩，解得0034232x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在C 上，所以2200(4)16x y -+=，代入得22343(4)(1622x y+-+=，化简得22464(39x y -+=．题型四双曲线的离心率24．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，若22212||||2PF PF c -=，则双曲线离心率的值为()ABC ．2D ．3【解答】解：设双曲线2222:1(0,0)x y C b a b-=>>的一条渐近线方程为by x a =，点2(,0)F c到渐近线的距离2||d PF b ===，2cos aPOF c∠==，在1POF ∆中，运用余弦定理，可得22222221111||||||2||||cos 2(3aPF PO OF PO OF POF a c ac a c c=+-⋅∠=+-⋅-=+，22222212||||34PF PF a c b a -=+-=，22212||||2PF PF c -= ，2242a c ∴=，∴2c e a a===故选：A ．25．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，O 为坐标原点，且21tan 3PF O ∠=，则双曲线的离心率为()A B ．3C ．D ．3【解答】解：如图，不妨取渐近线为b y x a=，焦点2F 到渐近线b y x a =的距离为b ，则21tan 3a PF O b∠==，∴3ba=，则c e a ===．故选：A ．26．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，过2F 作以1F 为圆心、1||OF 为半径的圆的切线切点为T ．延长2F T 交E 的左支于P 点，若M 为线段2PF 的中点，且||||MO MT c +=，则E 的离心率为()AB 1+CD 1【解答】解：由题意，得11||||2MO PF =，221||||2MF PF =，2||TF ==，2221||||||||2MT TF MF PF =-=-，所以1212111||||||||)(||||)222MO MT PF PF PF PF a c +=+-=+-=-=，解得c e a ==，故选：A ．27．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线:41l y x =+相交于M ，N 两点，直线l 上存在一点P 满足MP PN =，坐标原点为O ，直线OP 的斜率为2，则该双曲线的离心率为()ABCD ．3【解答】解：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，M 、N 在双曲线22221x y a b-=上，∴2211221x y a b -=①，2222221x y a b-=②，①?②得：1212121222()()()()x x x x y y y y a b +-+-=，即2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+， 点M ，N 也在直线41y x =+上，∴12124y y x x -=-，又P 为M ，N 的中点，12(2x x P +∴，12)2y y +，又2OPk =，∴121212x x y y +=+，则228b a =，双曲线的离心率3c e a ===，故选：D ．28．双曲线2222:1(0x y C a a b-=>，0b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线C 上一点，2PF x ⊥轴，123tan 4PF F ∠=，则双曲线的离心率为()A ．43BCD ．2【解答】解：因为点P 在双曲线上，且2PF x ⊥轴，所以点P 的横坐标为c ，代入双曲线的方程可得2(,)b P c a ±，则22||b PF a=，12||2F F c =，所以2221212||3tan ||224b PF b a PF F F Fc ac ∠====，所以223b ac =，所以222()3c a ac -=，所以2232(1)c ca a-=，所以22320e e --=，所以12e =-（舍去），或2e =，故选：D ．29．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且22||3||AF BF =．若1||||AB AF =，则双曲线C 的离心率为()A ．32B ．2CD ．4【解答】解：设2||BF x =，因为22||3||AF BF =，则2||3AF x =，由双曲线的定义可得1||23AF a x =+，1||2BF a x =+，因为1||||4232AB AF x a x x a =⇒=+⇒=，所以2||2BF a =，2||6AF a =，1||8AF a =，1||4BF a =，因为1212F F B F F A π∠+∠=，所以1212cos cos 0F F B F F A ∠+∠=，由余弦定理可得22222212211221122122||||||||||||02||||2||||F F F B BF F F F A AF F F F B F F F A +-+-+=⋅⋅，即222222(2)(2)(4)(2)(6)(8)0222226c a a c a a c a c a +-+-+=⋅⋅⋅⋅，解得2c e a==．故选：B ．30．已知点1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线右支交于点P ，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，若1||3F A b =，则双曲线的离心率的取值范围是()A ．2)B ．3)C ．(2,2)D ．(3,2)【解答】解：如图，1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，延长2F A 交1PF 于点Q ．PA 是12F PF ∠的角平分线，2||||PQ PF =．点P 在双曲线上，12||||2PF PF a ∴-=，11||||||2PF PQ QF a -==．O 是的12F F 中点，A 是2F Q 的中点，OA 是△12F F Q 的中位线，1||22||QF a OA ∴==，则||OA a =．在△1F OA 中，由余弦定理可知，222221(3)422cos 22a c b a c AOF e ac ac e+--∠===-，当P 的横坐标趋近于+∞时，直线1PF 的斜率趋近ba，故21(1,e e e-∈--，得(3e ∈，2)．故选：D ．31．1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A 2B 3C 5D 7【解答】解：因为2ABF ∆为等边三角形，不妨设22||||||AB BF AF m ===，B 为双曲线上一点，1211||||||||||2F B F B F B BA F A a -=-==，A 为双曲线上一点，则21||||2AF AF a -=，2||4AF a =，12||2F F c =，由260ABF ∠=︒，则12120F AF ∠=︒，在△12F AF 中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a =+-⋅⋅⋅︒，得227c a =，则27e =，解得7e =．故选：D ．。