高中数学2-1第四课时：充分条件必要条件

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高一数学充分条件与必要条件

高一数学充分条件与必要条件从生活到数学，我们会发现许多数学问题都离不开充分条件与必要条件这一知识点。

那么你有真正掌握了这一知识点吗？下面就让我们来解答这些问题吧！对于充分条件和必要条件这一知识点，很多同学可能已经麻木了，因为他们觉得老师在课堂上提出这两个词语，不过是把自己做的不好的地方拿出来讲一遍而已。

但我们可不能这样想，如果没有这两个词语的存在，我们就无法进行后面的证明过程，所以充分条件和必要条件还是非常重要的。

首先我们需要知道的是什么是充分条件和必要条件？充分条件指：只要结论中有其中一个成立，那么其它所有成立的条件都是充分条件。

必要条件则指：只要结论中有其中一个成立，那么其它所有成立的条件都是必要条件。

由此可见，充分条件与必要条件是证明题当中非常重要的环节，是逻辑性非常强的一个知识点。

那么怎么样才算是掌握了充分条件和必要条件呢？1。

如何确定充分条件？①有些题目当中，并没有说明只要充分条件成立，则结论成立，也就是说并没有给出结论成立的条件，这时就要用排除法，将不符合充分条件的选项排除。

②有些题目给出的信息不足以使用排除法，或者说排除了一部分选项之后仍然无法确定正确选项，这时就需要我们根据题目当中的隐含条件来判断，看看哪些选项符合隐含条件。

2。

如何确定必要条件？①由于证明题都是由一个个命题组成的，所以任何命题都可以作为证明的一部分，所以我们要善于利用证明过程来证明必要条件。

②注意，证明过程必须是连续的，且是从前往后证明的。

4。

充分条件与必要条件如何用题目当中的条件来表示？①确定了充分条件和必要条件之后，直接用括号中的内容来表示即可。

②一般来说，充分条件都是已知信息，只要将已知信息填入括号中即可；必要条件都是隐含信息，我们只需要找出隐含条件的关键词或者是关键句，将它们代入证明过程即可。

5。

在运用充分条件与必要条件的过程中有什么需要注意的事情吗？①运用充分条件和必要条件时，我们要按照从已知条件推导未知条件的步骤来，要做到步骤明确、条理清晰，同时要保证书写规范，尽量不要涂改。

高中数学选修2-1-充分条件与必要条件

充分条件与必要条件知识集结知识元充分条件、必要条件、充要条件知识讲解1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．例题精讲充分条件、必要条件、充要条件例1.若a>0，b>0，则“a+b<4”是“ab<4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件例2.不等式成立的一个充分不必要条件是（）B．x>1A．C．0<x<1 D．x<0例3.若a>0，b>0，则“a+b≤8”是“ab≤16”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件当堂练习单选题练习1.已知平面α，β，直线m满足m⊄β，α⊥β，则“m⊥α”是“m∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习2.已知p：|x-m|<1，q：x2-8x+12<0，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．（3，5）B．[3，5]C．（-∞，3）∪（5，+∞）D．（-∞，3]∪（5，+∞）练习3.“a3>b3”是“log7a>log7b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习4.已知函数f（x）=（x2+a2x+1）e x，则“函数f（x）在x=-1处取得极小值”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习5.“a<-1”是“∃x0∈R，a sin x0+1<0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件填空题练习1.已知集合A={x|<2x<8，x∈R}，B={x|-1<x<m+1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解答题练习1.'已知p：x2-7x+10<0，q：x2-4mx+3m2<0，其中m>0．（1）若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．'练习2.'设p：实数x满足x2-（3a+1）x+2a2+a<0，q：实数x满足|x-3|<1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a>0，且¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．'练习3.'已知命题p：关于x的方程4x2-2ax+2a+5=0的解集至多有两个子集，命题q：1-m≤x≤1+m，m>0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．'。

【红对勾】人教A版高中数学选修2-1课件：1-2-1 充分条件与必要条件

2．若p是q的充分条件，这样的条件p是惟一的吗？提示：不惟一．如1<x<3是x>0的充分条件，又如，
x>5,2<x<7等都是x>0的充分条件．
尝试应用 1．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是
(
)
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件答案：B
即q：－1<x<1或x<－2或x>2. 显然p是q的充分不必要条件．
故选A.
数 p，使 4x ＋ p<0是 x2 － x－ 2>0
的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说
明理由．设A＝{x|x2－x－2>0}， B＝{x|4x＋p<0 化简A、B
第一章
常用逻辑用语
1． 2
1．2.1
充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.理解充分条件、必要条件的意义． 2．掌握判断命题的充要条件的方法． 3．能进行有关充分条件、必要条件的判断.
新知视界 1．充分条件：如果p⇒q，则p叫q的充分条件，原
命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也
迁移体验1
(1)(2010· 陕西高考)“a>0”是 )
“|a|>0”的(
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2) 若 a ， b ∈ R ，则“ a > b >0 ”是“ a 2 > b 2 ”成立的 ( )

2020秋高中数学人教版2-11.2.1充分条件与必要条件含解析

2020秋高中数学人教A版选修2-1课时作业：1.2.1充分条件与必要条件含解析第一章1。

2 1.2.1请同学们认真完成练案[4］A级基础巩固一、选择题1．使0〈x<2成立的一个必要条件是(C)A．0<x〈1B．0≤x<1C．0<x≤2D．x≥22．已知p：x2－x〈0，那么命题p的一个充分条件是(D）A．1〈x〈3B．－1<x<1C．错误!〈x〈5D．错误!<x〈错误!［解析］x2－x〈0，∴0〈x<1，∵13<x<错误!⇒0〈x<1，∴p的一个充分条件为错误!<x〈错误!。

3．已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真,则p是q的（B) A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断［解析］若p则q的逆命题为“若q,则p”即q⇒p，∴p是q 的必要条件．4．下列各小题中,p是q的充分条件的是（C）①p：m<－2,q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点;②p：错误!＝1,q:y＝f(x）是偶函数;③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ.A．①B．③C．①②D．②③［解析]①中，p⇒q，②中p⇒q，③中p错误!q。

5．已知α、β是两个不同的平面,则“平面α∥平面β"成立的一个充分条件是(C）A．存在一条直线l,l⊂α，l∥βB．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βC．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βD．存在一个平面γ，γ∥α，γ⊥β6．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（A)A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件D．无法判断［解析］∵乙⇒甲,丙⇒乙,乙错误!丙，∴丙⇒甲，甲错误!丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．二、填空题7．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列"的__必要__条件．(填“充分"或“必要”）[解析］a，b，c成等比数列⇒b2＝ac.8．设p:实数x满足x2－4ax＋3a2〈0（其中a〉0），q：2〈x≤3。

2充分条件与必要条件

3. 通过探究充分条件和必要条件与集合间的联系，让学生建立概念间的多元联系，从“形”上帮助其进一步理解充分条件与必要条件的内涵，培养学生数学抽象的能力。三、教学重点：充分条件与必要条件的概念的形成及判定方法。四、教学难点：必要条件的概念的理解。五、学情分析：学生在初中阶段已经接触过命题、真假命题，高中教材在本节课教学之前安排了命题、
命题的形式（若 p 则 q ）和四种命题的学习，以及学生日常生活中已有大量逻辑经验
的积累都为本节课“充分条件与必要条件”概念的学习奠定了良好的基础.由于概念较抽象, 与学生的原有思维习惯又有差异，导致学生不易理解，容易停留在形式上. 特别是对“必要条件”概念的理解较为困难. 此外，充分条件与必要条件是一个开放性的知识交汇点，往往涉及其它数学知识或者其它学科知识，对学生其它知识的掌握也有一定要求。
活动过程：A 组提出问题 1：已知 a=0，请问 p 是 q 的什么条件？
B 组提出问题 1：已知 p 是 q 的充分条件，请问 a 的范围？
A 组提出问题 2：已知 a>0，请问 p 是 q 的什么条件？
B 组提出问题 2: 以 A 组方式反问 A 组：a=1 时，p 是 q 的什么条件？
标
活动形式：相互讨论、自主探究、小组发言、演板讲解
（1） “若 p，则 q”真，记 p ⇒ q ，则称 p 是 q 的充分条件；（2） “若 p，则 q”真，记 p ⇒ q ，则称 q 是 p 的必要条件.
二、如何判定三、与集合的联系：
p : x ∈ A, q : x ∈ B 且 p ⇒ q ，则 A ⊆ B.
十二、教学反思：根据新课程标准的理念,在教学中重视学生的主体地位，把学习的主动权还给学生,使学生亲自参

充分条件与必要条件知识点

充分条件与必要条件知识点充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象而成为学生难于理解的内容,下面是高一数学充分条件与必要条件的知识点.（一）充分条件、必要条件和充要条件1.充分条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,则条件A是B成立的充分条件；2.必要条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件；3.充要条件：如果有事物情况A,则必然有事物情况B；如果没有事物情况A,则必然没有事物情况B,A就是B的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足A,必然B；不满足A,必然不B,则A 是B的充分必要条件；反之，如果有事物情况B,则必然有事物情况A；如果没有事物情况B,则必然没有事物情况A,B就是A的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足B,必然A；不满足B,必然不A,则B是A的充分必要条件.即A可以推导出B,且B也可以推导出A.或者说，如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，即AoB,则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件.（二）充分条件、必要条件与充要条件的判断命题“若…，则…”，其条件与结论之间的逻辑关系如下，其中符号“n”叫做推出，符号“会”叫做推不出或叫做不能推出，符号“o”叫做互相推出.1.若AnB且B弃A成立，则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件；2.若AnB且B=^>Λ成立，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件;3.若A=母B且BnA成立，则B是A成立的充分条件，A是B成立的必要条件；4.若A=B且B=A成立，即A=B成立，则A、B互为充要条件.证明A是B的充要条件，分两步：①充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；②必要性：把B当作己知条件，结合命题的前提条件推出A.5.若A弃B且B=M>A成立，则A是B的既不充分也不必要条件.6.若B=e>A且A=e>B成立，则B是A的既不充分也不必要条件.即：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件；能由结论推出条件，但由条件推不出结论；此条件为必要条件；既能由结论推出条件，又能有条件推出结论，此条件为充要条件；由条件推不出结论，由结论推不出这个条件，这个条件就是即不充分也不必要条件;充分条件、必要条件的常用判断法L定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断BnA或者AnB是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可.2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断.3集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:若AGB,则P是q的充分条件,q是P的必要条件；若A3B,则P是q的必要条件，q是P的充分条件；i A=B,则P是q的充要条件；若A不包含于B,且B不包含于A,则P是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看，若p：χ∈Λ,q：x∈B.①若AqB,则P是q的充分条件，q是P的必要条件；②若A是B的真子集，则P是q的充分不必要条件；③若A=B,则p、q互为充要条件；④若A 不是B的子集且B不是A的子集，则P是q的既不充分也不必要条件.4.充分必要条件的常见集合表示：设A、B是两个集合.①如果A是B的充分条件，那么满足A的必然满足B,表示为AqB；②如果A是B的必要条件，那么满足B的必然满足A,表示为B G A,或A33；③如果A是B的充分不必要条件，那么A是B的真子集；④如果A是B的必要不充分条件，那么B是A的真子集；⑤如果A是B的充分必要条件，那么A、B等价，表示为A=B.5.充分条件与必要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.充分条件与必要条件的内涵.1.充分条件:指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果.充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的内涵.如母亲与女儿的关系属于亲情关系吗？答案是必然属于.2.必要性条件:事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行.如亲情关系与母女关系，亲情关系符合母女关系的一种现象表达，但不能推出亲情关系属于母女关系.题型解释充分条件与必要条件相关知识例1：（I）A"三角形三条边相等”；B二“三角形三个角相等”；（2）A“某人触犯了刑律”；B二”应当依照刑法对他处以刑罚”；（3）A“付了足够的钱"；B二“能买到商店里的东西”.解：A都是B的充分必要条件：其一，A必然导致B；其二，A是B发生必需的.例2：（I）A.天下雨了，B.地面一定湿；（2）A.地面一定湿,B.天下雨了解：天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B且B=e>A成立，所以A是B充分条件；（2）天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B>B且BnA成立，以B是A必要条件；例3：已知P:xi,X2是方程x>5χ-6=O的两根，Q:X I+X2=-5,则P是Q的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：∙.∙χι,X2是方程X2+5X-6=0的两根，,Xi,X2的值分别为1,-6,1∙X I+X2=1-6=-5,故选A.例4：P是Q的充要条件的是（）A.P:3x+2>5,Q：-2x-3>-5B.P:a>2,b<2,Q:a>bC.P:四边形的两条对角线互相垂直平分，Q:四边形是正方形D.Pra≠O,Q:关于X的方程ax=l有唯――解解：对于A,P:3x+2>5=>x>l,Q L2X-3>-5=>X V1,,P推不出Q,Q推不出P,P是Q既不充分也不必要条件；对于B,P:a>2,b<2zz>Q:a>b；但Q推不出P,故P是Q的充分不必要条件；对于C,若“两条对角线互相垂直平分”成立今“四边形是正方形"；反之，若“四边形是正方形”成立n“两条对角线互相垂直平分”成立，故P是Q的必要条件；对于D,P:a¥0QQ:关于X的方程ax=l有唯一解，故P是Q的充分必要条件；故选D.例5：若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A 成立的（）A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：TA是B的充分条件，,A=B①，YD是C成立的必要条件，,CnD②，C<z>B③，由①③得AnC④，由②④得A=D,,D是A成立的必要条件，故选B.例6：设命题甲为：0<x<5,命题乙为：∣χ-2∣V3,那么甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：解不等式|x-2V3,得TVxV5,「0VxV5,-l<x<5,但TVxV5,0VxV5,二•甲是乙的充分不必要条件，故选A.说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A,条件乙为x∈B.当且仅当A=B时•，甲为乙的充要条件.例7：给出下列各组条件：（l）P：ab=O,Q:a2+b2=0；⑵P:xy2O,Q:∣x∣+∣y∣=∣x+y|；（3）P:m>0,Q：方程χ2-x-iTFO有实根；（4）P:IXTl>2,Q:x<-1.其中P是Q的充要条件的有（）A.1组B.2组C.3组D.4组解：（DP是Q的必要条件；（2）P是Q充要条件；（3）P是Q的充分条件；（4）P是Q的必要条件，故选A.。

人教A版高中数学选修2-1课件【4】充分条件与必要条件

答案：C
1 4．若 a，b 为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜a”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
)
1 解析：当 0＜ab＜1，a＜0，b＜0 时，有 b＞a；反过来，b 1 ＜，当 a＜0 时，有 ab＞1. a 1 ∴“0＜ab＜1”是“b＜a”的既不充分也不必要条件．故选 D.
故 C 正确； D 选项中，两直线的距离为 2时，可得 a＝－1 或 a＝3， ∴D 应为必要不充分条件．
答案：C
6．设 a∈R，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋2y＋4＝0 平行”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 )
第一章
常用逻辑用语
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1． 2
充分条件与必要条件
课时作业(04)
充分条件与必要条件
作业目标作业设计
①通过具体的实例理解充分条件、必要条件的概念；②会判断充分条件、必要条件．限时：40 分钟满分：90 分
一、选择题：每小题 5 分，共 30 分． 1．“x＝3”是“x2＝9”的( A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 )
答案：必要不充分
9．已知 a，b 为两个非零向量，有以下命题： ①a2＝b2；②a· b＝b2；③|a|＝|b|且 a∥b. 其中可以作为 a＝b 的必要但不充分条件的命题是 __________．(将所有正确命题的序号填在题中横线上)
解析：显然 a＝b 时，①②③均成立，即必要性成立．当 a2＝b2 时，(a＋b)· (a－b)＝0，不一定有 a＝b；当 a· b＝b2 时，b· (a－b)＝0，不一定有 a＝b；当|a|＝|b|且 a∥b 时，a＝b 或 a＝－b，即①②③都不能推出 a＝b.

人教版数学高中2-1课件《充分条件与必要条件》

必要性是指必要条件的真假与结论的真假并不完全一致。必要条件真，则结论可能为真，也可能为假。
充分必要条件的概念
1 什么是充分必要条件？
充分必要条件指一个条件既是充分条件，又是必要条件。
2 如何判断充分必要条件？
通过推理和验证，确定一个条件既是充分条件，又是必要条件。
3 举例说明
以数学方程的解为例，解是方程充分必要条件，方程是解的充分必要条件。
运用充分必要条件解决问题
1
例题解析
通过分析和推理，运用充分必要条件解决数学问题的例题。
2
解题方法

介绍运用充分必要条件解题的一般方法和步骤。
3
练习题讲解
通过练习题的讲解，进一步巩固充分必要条件解题的能力。
归纳、总结、拓展
总结定义
归纳充分条件、必要条件和充分必要条件的严格定义和区别。
拓展
探索充分条件、必要条件和充分必要条件在其他学科和现实生活中的应用。
人教版数学高中2-1课件《充分条件与必要条件》
本课件介绍了充分条件与必要条件的概念，并讲解了判断充分条件和必要条件的方法。掌握了充分必要条件的运用，能够更好地解决数学问题。
充分条件的概念
1 什么是充分条件？ 2 如何判断充分条件？ 3 充分条件与充分性
充分条件是指一个条件，
通过逻辑推理和理论证
的关系
当它满足时，可以推出
明，确定充分条件的真
充分性是指充分条件的
某个结论。
假。
真假与结论的真假完全
一致。充分条件真，则
结论一定真。
必要条件的概念
1 什么是必要条件？
必要条件是指一个条件，当它不满足时，可以推出某个结论的假设。
2 如何判断必要条件？

初升高数学衔接教材第01章第04节充分条件与必要条件(讲义版)

第一章第四节充分条件与必要条件一、电子版教材二、教材解读知识点一充分条件、必要条件的判断1、若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

2、若p ⇒q ，但qp ，则称p 是q 的充分不必要条件．3、若q ⇒p ，但pq ，则称p 是q 的必要不充分条件．4、若p q ，且q p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件．【例题1】（2020·广东省增城中学高二期中）已知:2p x >，:1q x >，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例题2】（2020·全国高一）“3m ≤”是“2m ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例题3】（2020·天津一中高二期末）设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例题4】（2020·全国高一）“1x >且2y >”是“3x y +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件知识点二充分条件、必要条件、充要条件的应用1.记集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，若p 是q 的必要不充分条件，则B A .2.记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}，若M ⊆N ，则p 是q 的充分条件，若N ⊆M ，则p 是q 的必要条件，若M ＝N ，则p 是q 的充要条件．【例题5】（2019·辛集市第二中学高二期中）若“满足：20x p +<”是“满足：220x x -->”的充分条件，求实数p 的取值范围.【例题6】（2020·四川省雅安中学高二月考（文））若关于x 的不等式()22210x a x a a -+++≤的解集为A ，不等式322x-≥的解集为B ．（1）求集合A ；（2）已知B 是A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三充要条件的证明1.一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q .此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．【例题7】（2020·全国高一）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．【例题8】（2020·上海高一课时练习）求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【例题9】（2020·全国高一课时练习）证明：如图，梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.三、素养聚焦1．“220a b +>”是“0ab ≠”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件2．设,a b ∈R ,则“2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“1x >-”是“20x +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．3x >是3x >的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．下列各组命题中，满足α是β的充要条件的是()A ．:||ab ab α=，:0ab β≥0B ．:α数a 能被6整除，:β数a 能被3整除C ．:a b α<，:1a bβ<D ．若a ，b R ∈，22:0a b α+≠，:,a b β都不为06．“3x y +≠”是“1x ≠或2y ≠”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件7．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件8．设R x ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．0x y ⋅≠是指（）A ．0x ≠且0y ≠B ．0x ≠或0y ≠C ．x ，y 中至少有一个不为零D ．0x y ≠≠10．对于集合A ，B ，“A B ≠”是“A B A B ≠⋂⊂⋃”的()A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分又非必要条件11．若:p “01b <<”，:q “21b <”，则p 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．“1x >”是“21x >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．设x ∈R ，则“3x >”是“21x ≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要15．若“01x <<”是“()()20x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,0-B ．()1,0-C ．(][),01,-∞⋃+∞D ．(][),10,-∞-⋃+∞16．()():220p x x -+>；:01q x ≤≤.则p 成立是q 成立的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件18．设a R ∈，则“2a >”是“24a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的值恒为正值的充要条件是()A ．240b ac ->B ．04-b 2≥acC ．20,40a b ac >-<D ．04-b 0a 2＜，ac ≤20．若集合{}23,A a=，{}2,4B =，则“2a =”是“{}4A B ⋂=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件21．若p 是r 的充分非必要条件，q 是s 的必要非充分条件，且r 是s 的充分非必要条件，则p 是q 的()条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要22．设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件23．“,x y 中至少有一个小于零”是“0x y +<”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件24．“2320x x -+>”是“1x <或4x >”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件25．设:p “函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减”，:q “0x ∀>，33823x m x+≥-”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件26．设x ∈R ，则“x ＞1”是“2x ＞1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件27．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件28．命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．1a ≤B ．2a ≤C ．3a ≤D ．4a ≤29．（多选题）对任意实数a ,b ,c ,下列命题中正确的是（）A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a b >”是“22a b >”的充分条件D ．“5a <”是“3a <”的必要条件E.“a b >”是“22ac bc >”的必要条件30．（多选题）下列说法中正确的是（）A ．“AB B = ”是“B =∅”的必要不充分条件B ．“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”C ．“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”D ．“1x =”是“1x =”的充分条件31．（多选题）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”.C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件32．（多选题）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“4a <”是“3a <”的必要条件；④“a b >”是“22a b >”的充分条件.其中真命题是（）.A ．①B ．②C ．③D ．④。

高中数学《充分条件与必要条件》教学设计

充分条件与必要条件一、教学内容解析：1. 教学内容：“充分条件与必要条件”是在p q⇒时，对p与q之间关系的一种描述，是一个数学概念.“p q⇒”与“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”之间是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示.通过对命题真假的判断，研究命题中p与q之间的关系，所以判断充分条件与必要条件的关键是分清条件与结论，再判断命题的真假.考虑到充分条件与必要条件的相对性，在判断上还需关注方向性.另外，充分条件与必要条件和集合知识的联系在丰富知识外延拓展的同时，从“形”上（韦恩图表示集合关系）帮助我们进一步理解充分条件与必要条件的内涵.2. 知识地位：“充分条件与必要条件”是高中人教A版《数学》选修2-1第一章《简单逻辑用语》第二节的内容.逻辑是研究思维规律的学科，逻辑用语在数学中具有重要的作用.学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用.而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，在数学学科中大量的命题用它们来叙述.“充分条件与必要条件”是在前一节“命题及其关系”的基础产生的新知，也为后续“充要条件”的学习提供了保障.另外，本节课的学习可以对我们已经学习过的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习.3. 思想方法：充分条件与必要条件的知识学习过程中蕴含着数学发现中的观察、归纳、总结等方法，在知识的形成与运用中还体现了数学思维的合理性与严密性，以及数形结合的数学思想，这些都是数学的精髓.4. 教学重点：充分条件与必要条件.5. 教学难点：必要条件概念的理解.二、教学目标设置：1. 理解充分条件、必要条件的意义；能正确判断是否是充分条件或必要条件.2. 通过对充分条件与必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性.3. 通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，体验获取知识的感受；4. 通过对充分条件和必要条件与集合间的联系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯.三、学生学情分析：1．教学有利因素：学生在初中阶段已经接触过命题、真假命题，高中教材在本节课教学之前安排了命题、命题的形式（若p则q）和四种命题的学习，以及学生日常生活中已有大量逻辑经验的积累都为本节课“充分条件与必要条件”概念的学习奠定了良好的基础.淮南三中高二实验班学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2.教学不利因素：“充分条件与必要条件”是密不可分的、相对的两个概念，以学生已有的知识基础对“充分条件”的理解较为容易，但对“必要条件”概念的理解较为困难.另外，充分条件与必要条件的是一个开放性的知识交汇点，往往涉及其它数学知识或者其它学科知识，对学生其它知识的掌握也有一定要求.3.难点突破策略：通过较为简单易懂的例题、练习、学生活动举例，积累足够的充分条件、必要条件的逻辑体验；循序渐进，再从充分条件、必要条件与集合间的联系上，结合集合的韦恩图表示，直观、形象的理解“必要条件”；最后再从逆否命题与原命题同真假的角度理性认识“必要条件”的概念，帮助学生准确而深刻的理解充分条件与必要条件的概念.四、教学策略分析：鉴于以上分析，为达成课堂教学目标，突出重点、突破难点，课堂教学主要贯彻与执行以下思路：1. 坚持“师为主导，生为主体”的教学理念本节课的教学，教师更多的要站在一个引路人的角度，告诉学生该向哪里走，怎么走，让他们自己去走，让学生更多的亲身体验数学的发现之美.通过独立思考、主动探究、合作交流，使学生切实学好数学知识，提高数学能力.2. 问题引领、启发诱导，注重对学生的思维训练教师通过问题引领、启发诱导，引导学生多角度的审视问题，让学生从不同角度去看待问题，分析问题，思考问题，从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更深刻.在充分条件与必要条件的概念教学中，为了更好的理解概念，可以通过具体问题引导学生从表达形式（符号表示与文字表示）、通俗语言的描述（有它就行和缺它不行）、不同概念间的联系（充分条件与必要条件和集合间的联系）来辅助概念教学.3. 课堂教学层次鲜明、衔接自然，逐步培养学生数学学习能力整个教学过程划分为七个环节：问题引入、铺垫过渡、新知建构、巩固新知、能力提升、牛刀小试、课堂小结.以问题为主线，为了解决问题，学习新知识，掌握了新知识再来解决问题.这样就把几个环节很自然地联系在一起，也为学生对新事物的普遍认识提供了一般性的指导.五、教学过程：1. 问题引入：问题1：同学们，前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，其中有的命题是真命题，有的命题是假命题，你能分别举出一些这样的命题的例子吗？【设计意图】从学生已有知识体系出发提出问题，在学生的最近发展区构建新知，符合学生普遍认知规律.另外，对于充要条件和必要条件的学习涉及命题的真假，通过具体的例子有助于学生对这两个概念的理解.2. 铺垫过渡：“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q，数学讲究简洁美，用符号语言，记作p q⇒.例如：“若1x>”为真命题, 即：“10x>，则0x x>⇒>”；【设计意图】通过对命题的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程.3. 新知建构下面我们探究命题中条件与结论之间的关系.“若p ，则q ”为真命题，由于p 的成立可以使得q 成立，我们就称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件.定义：一般地，如果有p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.结合学生之前举例，直观感知概念.从定义可见，“充分条件”、“必要条件”是在“若p ，则q ”为真命题时，对命题中的p 与q 之间关系的一种描述，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.例1、下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？(1)若3x > ，则2x >；(2)若1x = ，则2430x x -+=；(3)若()f x x =，则()f x 在()-∞+∞，上为增函数;追问问题：对于命题(1)、(2)、(3)，我们可不可以称q 是p 的必要条件呢？【设计意图】通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程.4. 巩固新知练习1、判断下列问题中，p 是q 的充分条件吗？(1)p : 两圆面积相等； q : 两圆半径相等；(2)p : 22x a b >+ q : 2x ab >;(3)p : a b > q : ac bc >；(4)p : x 为无理数 q : 2x 为无理数;问题：像在(3)(4)两个问题中p 与q 的关系应如何描述？【设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面，让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念.练习2、判断下列各组问题中，q 是p 的必要条件吗？（1）p :3x > q :5x > ;（2）p :a b ⊥ q :0a b = ;（3）p :同位角相等 q :两直线平行 ;（4）p :四边形对角线相等 q :四边形是平行四边形 ;【设计意图】提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”.总结例1、练习1、练习2:（1）判断p 是不是q 的充分条件，q 是不是p 的必要条件，都是在判断“若p ，则q ”是否为真命题；（2）“p q ⇒”与“p 是q 的充分条件”，“q 是p 的必要条件”之间是“三种表述，一个意思”.问题2：在什么条件下，我们能说q 是p 的充分条件?p 是q 的必要条件？例2、用“充分条件”或“必要条件”填空：（1）5a >是0a >的______________；（2）四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的________.【设计意图】本例的设计和应用主要目的有：（1）强调“推出”符号的方向性；（2）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（3）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备.课堂活动：请同学们自己举例给出p 、q 并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系.【设计意图】让学生自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的认识. 教师补充：:,:p x Z q x R ∈∈,p q ⇒（p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件）【设计意图】为讨论充分条件、必要条件与集合的联系做铺垫.思考：充分条件和必要条件与集合之间的联系A B A 、B已知:,:p x A q x B ∈∈，且p q ⇒，集合A 与B 间之间有怎样的关系？（1）在A 中，一定在B 中：p 成立，q 一定成立；有它即可.（2）不在B 中，一定不在A 中：q 不成立，p 一定不成立；缺它不行.【设计意图】从集合关系的角度帮助同学进一步理解“充分条件”和“必要条件”，并建立两者之间的联系，在提升学生对新知识的理解的同时，还可以使得学生对数学知识的掌握达到融会贯通的效果.历史文化：我国战国时期墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述：充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”必要条件：“无之则必不然，有之则未必然 ”【设计意图】通过历史文化的学习，增强学生学习数学的兴趣和激发对民族文化的热爱的同时，进一步加深对新知的全面认识.理性认识：追根溯源，其实对必要条件的理解，还可以从逆否命题的角度看待：原命题“若p 则q ”为真命题，其逆否命题“若q ⌝则p ⌝” 也为真命题.即“q 不成立，则p 一定不成立”.例如： “小明是淮南人，则小明是安徽人”；“小明是淮南人”是“小明是安徽人”的充分条件.“小明不是安徽人，则小明不是淮南人”.“小明是安徽人”是“小明是淮南人”的必要条件.【设计意图】通过原命题与逆否命题的真假联系，从理性上认识必要条件这一难懂的概念认识，加深学生对“必要”二个字的理解，实现难点的有效突破.5. 能力提升例3、填空（写出一个满足题意的即可）（1）“0ab =”的一个充分条件是；（2）“3x <”的一个必要条件是 .练习1、（1）“x a >”是“2x >”的充分条件，求实数a 的取值范围；（2）“x a >”的一个充分条件是“2x >”，求实数a 的取值范围.变式思考：将上述练习中“充分条件”改为“必要条件”，结果又会如何？【设计意图】（1）引导学生观察问题的问法和之前例题有无不同，培养学生的观察能力；（2）从条件判断填空到开放的填写条件有助于彰显学生对问题的理解程度，通过这组练习，可以了解学生“会了什么？”、“还存在什么问题？”，使后面的教学更有针对性！6. 牛刀小试练习：判断下列各组问题中，p 是不是q 的充分条件以及p 是不是q 的必要条件？(1) p : x x = q :20x ≥ ；(2) p :tan 1α= q :4πα=；(3) p : 直线l 与平面α内的两条相交线垂直 q : 直线l 与平面α垂直；(4) p :函数()f x 满足(0)0f = q : 函数()f x 是奇函数. 结合练习，引导学生归纳如下：从练习中我们发现在p 与q 之间存在以下几种关系：（1）p q ⇒且q p ⇒/；（2）p q ⇒/且q p ⇒；（3）p q ⇒且q p ⇒；（4）p q ⇒/且q p ⇒/.对于这几种关系我们应如何描述呢？下节课，我们将解决这一问题.【设计意图】反馈练习的设计，既帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识和方法，也在前面例3的基础上明确了充要条件涉及的四种类型，为顺利进入下节课的学习打下坚实的基础.7. 课堂小结师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：（1）知识内容：①充分条件与必要条件的概念；②充分条件与必要条件的判断；③充分条件和必要条件与集合的联系.（2）思想方法：学会观察、归纳、总结，进行探索发现，注意逻辑推理的合理性和严密性.【设计意图】再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点.8. 作业布置（1）（必做题）课本第12页A 组1、2 ，B 组1；（2）（选做题）判断下列命题的真假：①“0a b >>”是“22a b >”的充分条件；②“a b >”是“22ac bc >”的必要条件；③“A B ⊆”是“A B =” 的必要条件；（其中,A B 是集合）④“函数()f x 是奇函数”是“()f x 为幂函数”的充分条件.六、板书设计：七、教学设计说明：“充分条件与必要条件”作为高中数学的重点内容、难点内容.我希望通过本节课的教学，让学生准确地理解这一概念，能简单的运用这一知识，并希望能够通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣，不要产生畏难情绪.课后，我将根据本节课实际教学过程中出现的问题，在下一课时的教学中作出调整和弥补，并在下一课时中，加强对学生运用知识解决问题环节的训练.。

第四课时选修2-1 1.2 充分条件与必要条件

第四课时选修2-1 1.2 充分条件与必要条件☆ 题型一充分条件、必要条件的概念☆例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.拓展练习1 下列“若p ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；（2）若5x >，则10x >例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b >，则ac bc >拓展练习2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若5a +是无理数，则a 是无理数；（2）若()()0x a x b --=，则x a =.拓展练习3 判断下列命题的真假.（1）2x =是2440x x -+=的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；（3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件；（4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.☆ 题型二充分条件、必要条件的判断☆例3下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：1x =，q ：1x - （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤；（3）p ：2x =，q ：3x -= （4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形. 拓展练习4 p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的条件.拓展练习5 p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的条件.拓展练习6设,A B 为两个集合,集合A B ⊆，那么x A ∈是x B ∈的条件，x B ∈是x A ∈的条件拓展练习7 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q .(1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件? (2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?☆ 题型三充分条件、必要条件的应用☆例4 已知2:8200p x x --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围拓展练习8 已知:40p x m +<，2:20q x x -->，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围.☆ 题型四充要条件的证明☆例5求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边.课堂检测二1．“x 2>2 012”是“x 2>2 011”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．在下列3个结论中，正确的有 ( )．①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在△ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是△ABC 为直角三角形的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③3．p ：|x －2|≤5是q ：x ≥－1或x ≤5的条件4．平面//α平面β的一个充分条件是（）.A.存在一条直线,//,//a a a αβB.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂5．直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件为6．已知p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；实数x 满足260x x --≤或2280x x +->且p ⌝ 是q ⌝是的必要不充分条件，求a 的取值范围.家庭作业二1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．给定空间中直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的______条件．3．设集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件4．22530x x --<的一个必要不充分条件是（）. A.132x -<< B.102x -<< C.132x -<< D.16x -<< 5．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝________．6．证明：“0≤a ≤16”是“函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．。

人教A版高二数学选修2-1 121 充分条件与必要条件教学课件(实用资料)ppt

1.2 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
新课引入成语“水滴石穿”的故事：
宋朝时，张乖崖在崇阳当县令.当时，常有军卒侮辱将帅、小吏侵犯长官的事.张乘崖认为这是一种反常的事，下决心要整治这种现象.
一天，他在衙门周围巡行.突然，他看见一个小吏从府库中慌慌张张地走出来.张乘崖喝住小吏，发现他头巾下藏着一文钱.那个小吏支吾了半天，才承认是从府军中偷来的.张乘崖把那个小吏带回大堂，下令拷打.那小吏不服气：一文钱算得了什么！你也只能打我，不能杀我！张乘崖大怒，判道：一日一钱，千日千钱，绳锯木断，水滴石穿.为了惩罚这种行为，张乘崖当堂斩了这个小吏.
X<6
X<8
B
A
x<3
X<10
在A中的元素就一定在B中，但在B中的元素不一定在A中。
理解提升概念
例3 开关A闭合是灯泡亮的什么条件？
C
A
[图1]
提示：“开关A关闭” “灯泡亮 ” 但，“灯泡亮” \ “开关A关闭”
例4.使x(y-2)=0存在的一个充分条件是（ A ）
A.x2 (y 2)2 0 B.(x 2)2 y2 0 C.(x 1)2 y2 0 D.x(y-2)(z+2)=0
求a的取值范围。 (2)由图２可知p是q的充分条件
? x>5
A x>1 A x>1 B x>8 C x<5 D x≤5
即：只要有p就能充分地保证q的成立，
B x>8
C x<5
D x≤5
当时，常有军卒侮辱将帅、小吏侵犯长官的事.
B 是指由p经过推理能推出q，
张你乘也崖只把能那打个我小，（吏不带能2回杀）大我堂！下，下列令拷哪打.个条件是x>5成立的充分条件（

高中数学知识点：充分条件和必要条件

高中数学知识点：充分条件和必要条件
一、充分条件和必要条件
当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A 的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判断法
1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=A或者A=B 是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可
2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。

3.集合法
在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：
若AB，则p是q的充分条件。

若AB，则p是q的必要条件。

若A=B，则p是q的充要条件。

若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。

三、知识扩展
1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：
（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题
的逆命题；
（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；
（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。

一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

经典：人教版数学高中2-1课件《充分条件与必要条件》

∴B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}.
∵p 是 q 的充分不必要条件，
B.
22
解析： (1)∵a＝1⇒直线 x＋y＝0 和直线 x－ay＝0 互相垂直．
直线 x＋y＝0 和直线 x－ay＝0 垂直⇒a＝1， ∴p 是 q 的充要条件．
(2)∵四边形的对角线相等四边形是矩形，
四边形是矩形⇒四边形的对角线相等， ∴p 是 q 的必要不充分条件．
23
(3)∵l⊥α，m⊂α，n⊂α⇒l⊥m 且 l⊥n， l⊥m 且 l⊥n⇒/ l⊥α，m⊂α，n⊂α. ∴p 是 q 的充分不必要条件． (4)∵在△ABC 中，若 A＝23π，B＝π6， sin A>sin B⇒/ tan A>tan B. 若 A＝π6，B＝23π；tan A>tan B⇒/ sin A>sin B. ∴p 是 q 的既不充分也不必要条件．
函数”的充要条件．
12
(2)由正弦函数的图象可知 sin α>sin β⇒/ α>β，α>β⇒/ sin α>sin β. ∴sin α>sin β是α>β的既不充分又不必要条件． (3) 由函数 y ＝ log2x 的单调性知
log2M>log2N⇒M>N；但是M>N⇒/ log2M>log2N. ∴M>N是log2M>log2N的必要不充分条件． (4)x∈M∩N⇒x∈M∪N，x∈M∪N⇒/ x∈M∩N. ∴x∈M∩N是x∈M∪N的充分不必要条件．
11
解析： (1)当a＝0时，函数f(x)＝x2＋ax(x∈R) 即为f(x)＝x2，为偶函数，若f(x)＝x2＋ax(x∈R)
为偶函数，则f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，则2ax＝0(x∈R)，解得a＝0，综上知“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶

高一数学知识点充分条件

高一数学知识点充分条件数学是一门严密而深刻的学科，数学知识点千变万化，每一个知识点都有其特定的定义、性质和充分条件。

而充分条件是指一个命题能够得到满足的必要条件，当满足这些条件时，命题成立。

在高一数学中，了解数学知识点的充分条件是非常重要的，因为它们能够帮助我们解决问题和推导结论。

一、四边形相似的充分条件四边形相似是指两个四边形的对应角相等且对应边成比例。

那么，四边形相似的充分条件是什么呢？充分条件一：两个四边形的对应角相等。

充分条件二：两个四边形的对应边成比例。

这两个充分条件都需要同时满足，才能够得到四边形相似的结论。

我们可以通过观察两个四边形的对应角和对应边是否相等来判断它们是否相似。

二、角平分线的充分条件角平分线是指将一个角平分为两个相等的角的直线。

那么，角平分线的充分条件是什么呢？充分条件：一个角的两条平分线交于该角的内部。

当一个角的两条平分线交于该角的内部时，我们可以得到这两个角的大小相等。

这是因为一个角的两条平分线将该角分成了两个相等的角，所以这两个角的大小相等。

三、圆相似的充分条件圆相似是指两个圆的对应弧度相等。

那么，圆相似的充分条件是什么呢？充分条件一：两个圆的对应弧度相等。

充分条件二：两个圆的半径成比例。

这两个充分条件都需要同时满足，才能够得到圆相似的结论。

我们可以通过观察两个圆的对应弧度和半径是否成比例来判断它们是否相似。

四、线段比例的充分条件线段比例是指两个线段的长度之比相等。

那么，线段比例的充分条件是什么呢？充分条件：两个线段的对应部分之比相等。

当两个线段的对应部分之比相等时，我们可以得到这两个线段的长度之比相等。

这是因为两个线段的对应部分之比相等，说明它们的长度之比相等。

通过了解数学知识点的充分条件，我们能够更加深入地理解这些知识点的本质和性质。

在解题和推导过程中，我们可以根据充分条件来判断命题是否成立，从而更加准确地得出结论。

总之，充分条件在高一数学中扮演着非常重要的角色。

充分条件与必要条件教学案例

充分条件与必要条件一、教学内容分析“充分条件与必要条件”是高中人教A版《数学》选修2-1第一章常用逻辑用语第二节的内容．本节内容的教学至少需要两个课时，而本节课是这一节内容的第一课时．逻辑是研究思维规律的学科，而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用，学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用．进一步，在日常生活中，为了使我们的语言表达和信息的传递更加准确、清楚，常常需要一些逻辑用语．基本的逻辑知识、常用的逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具．在选修中学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习．这使得逻辑用语的教学起到了承上启下的作用．二、学生学习情况分析我校是省示范性高级中学，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好，有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察、推理、类比等能力．并且通过对必修部分的学习，学生已经有了一定的知识储备，所以在本节课中出现的大量的数学问题，学生是易于理解和掌握的．而“充分条件与必要条件”的概念是学生不易理解的，容易停留在形式上，需通过丰富的简单例子帮助学生更好地理解概念的实质．三、设计思想1．体现了“教师为主导，学生为主体”的教学理念本节课的教学设计和实际教学中，教师本人更多的是站在一个引路人的角度，告诉学生该向哪里走，怎么走，让他们自己去走．如：在例题的教学中，我大多是先带领学生分析问题，探求解决问题的方法，在学生通过自己的努力尝试解答之后，我再进行总结，避免了“满堂灌”．2．注重对学生的思维训练引导学生多角度的审视问题，从不同角度去看问题，分析问题，思考问题，从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更深刻．例如：在概念教学中，为了更好的理解概念，我通过具体问题引导学生从表达形式（符号表示与文字表示）、通俗语言的描述（有它就行和缺它不行）来辅助概念教学．3．创设生活化情境，激发学习兴趣本节课创设丰富的生活化情境，引导学生从已有的生活经验出发，亲自经历将生活原形抽象为数学模型．让学生体验数学源于生活，又广泛应用于生活．这种生活形成的数学，缩短了数学与生活的距离，培养了学生学习数学的兴趣，这样的教学，学生就会学得主动、积极，善于发现、探索和创新．四、教学目标1．知识与技能（1）使学生理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）初步掌握充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，既不充分也不必要条件的判断方法．2．过程与方法（1）通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；（2）通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力．3．情感态度与价值观（1）通过日常生活情境的创设，让学生感受“生活中的逻辑”，增加学生对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲；（2）通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，体验获取知识的感受．五、教学重点与难点教学重点：充分条件、必要条件和充要条件的概念及判断方法．教学难点：必要条件的概念的理解．六、教学过程设计1．复习引入把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断它们的真假：（1）全等三角形的面积相等；（2）素数一定是奇数．p ；“若p，则q”为真，可以将它表示为qp≠>．“若p，则q”为假，可以将它表示为q如：“若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等”为真命题，即：两个三角形全等⇒这两个三角形的面积相等；又如：“若整数a是素数，则a一定是奇数”为假命题，即：整数a是素数≠>a一定是奇数．【设计意图】通过命题概念的复习，重点强调条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫和自然的过渡．2．新知构建p⇒，称p是q的充分条件，称q是p的必要条件．定义：一般地，如果有q强调说明：p⇒”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种（1）“q不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示．（2）充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行”，即“有之必然”；必要条件的含义用通俗的语言来说是指“缺它不行”，即“无之必不然”．如：①全班都准时到校⇒班长没有迟到“全班都准时到校”是“班长没有迟到”的充分条件；“班长没有迟到”是“全班都准时到校”的必要条件．②同学甲是K二15班的学生⇒同学甲是高二学生“同学甲是K二15班的学生”是“同学甲是高二学生”的充分条件；“同学甲是高二学生”是“同学甲是K二15班的学生”的必要条件．③能够买一台电脑⇒有钱“能够买一台电脑”是“有钱”的充分条件；“有钱”是“能够买一台电脑”的必要条件．④无风不起浪；⑤不入虎穴，焉得虎子．【设计意图】创设丰富的生活情境，提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”．例1．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若5+a 是无理数，则a 是无理数；（2）若012=-x ，则1=x ；（3）若y x =，则22y x =．（教师引导学生体验：问题的实质是判断命题是否为真）解：命题（1）、（3）都是真命题．所以，命题（1）、（3）中的p 是q 的充分条件．问：以上哪些命题中的p 是q 的必要条件？解：命题（1）、（2）的逆命题都是真命题．所以，命题（1）、（2）中的p 是q 的必要条件．【设计意图】通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程.3．巩固新知例2．用“充分条件”或“必要条件”填空：（1）四边形的对角线相等是四边形为矩形的___________；（2） 5a >的__________是a 为正数．答案：（1）必要条件；（2）必要条件．课堂练习1．判断下列问题中，（1）p 是q 的充分条件吗？（2）p 是q 的必要条件吗？① b a p >: bc ac q >:；② 2:>x p 3:>x q ；③ 22:b a x p +> ab x q 2:>；④ p : 圆心到直线l 的距离等于半径 q : 直线l 是圆的切线．解：（1）因为在问题③、④中都有q p ⇒．所以，在问题③、④中，p 是q 的充分条件．在①、②两个问题中q p ≠>，p 与q 的关系可称p 不是q 的充分条件，或称p 是q 的不充分条件．（2）因为在问题②、④中都有p q ⇒．所以，在问题②、④中，p 是q 的必要条件．在①、③两个问题中p q ≠>，p 与q 的关系可称p 不是q 的必要条件，或称p 是q 的不必要条件．【设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念．并让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下一环节的学习做必要的准备和铺垫．4．新知完善从课堂练习1中我们可以发现在p 与q 之间存在以下几种关系：（1） q p ⇒且p q ⇒ → ④（2） q p ⇒且p q ≠> → ③（3） q p ≠>且p q ⇒ → ②（4） q p ≠>且p q ≠> → ①对于这几种关系我们应如何描述呢？充分条件、必要条件的可能情况有：若有q p ⇒且p q ⇒，称p 是q 的充要条件；若有q p ⇒且p q ≠>，称p 是q 的充分不必要条件；若有q p ≠>且p q ⇒，称p 是q 的必要不充分条件；若有q p ≠>且p q ≠>，称p 是q 的既不充分也不必要条件．课堂练习2．请用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、 “既不充分也不必要”填空：（1）“0)3)(2(=--x x ”是“2=x ”的条件；（2）“同位角相等”是“两直线平行”的条件；（3） “92=x ”的条件是“3=x ”；（4）“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的条件．【设计意图】通过课堂练习1的自然过渡，将新知（充要关系）完善，使学生明白，充要关系的四种类型就是同时判断p 是否为q 充分条件及p 是否为q 必要条件，并通过课堂练习2的训练转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程．5．能力提升例3．填空（写出一个满足题意的即可）“3<x ”的一个必要条件是．答案：可填：4<x （形如a x <，其中3≥a 都可以）．例3变式．（1）“3<x ”的一个充分条件是；（2）“3<x ”的一个充分不必要条件是；（3）“92<x ” 是的一个充分不必要条件；（4）已知“3<x ”是“a x <”一个必要不充分条件，求a 的取值范围．【设计意图】从条件判断填空到开放的填写条件及含参问题的思考有助于彰显学生对问题的理解程度，通过这组练习，可以了解学生“会了什么？”、“还存在什么问题？”，使后面的教学更有针对性！6．课堂小结师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：（1）充分条件与必要条件的概念；（2）充分条件与必要条件的四种类型；（3）充分条件与充分不必要条件的区别，必要条件与必要不充分条件的区别；（4）充分条件与必要条件判断的关键．【设计意图】再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点．7．作业布置（1）选修2-1同步作业（2）．（2）探讨下列生活俗语的充要关系：① 多行不义必自毙；② 成人不自在，自在不成人；③ 只要功夫深，铁杵磨成绣花针；④ 人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人．七、教学反思“充分条件与必要条件”作为高中数学传统的重点内容，难点内容．我通过本节课的教学，创设丰富的生活情境让学生准确地理解这一概念，能简单的运用这一知识．并通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣，不产生畏难情绪．课后，我根据本节课实际教学过程中出现的问题，在第二课时的教学中作出调整和弥补，并在第二课时中，加强对学生运用知识解决问题环节的训练．通过对必修部分的学习，学生已经有了一定的知识储备，所以在本节课中出现的大量的数学问题，学生是易于理解和掌握的．在教学中，我利用学生熟悉的知识来辅助“充分条件与必要条件”的概念的教学．如在教学过程中我通过复习命题的概念和命题的常见形式引入新课的概念，这样一种自然引入可以减少学生对新知的陌生感；又如例１、例2教学中，我所选用的命题都是是在前一小节的学习中已经接触过，这样的例子可以让学生把思维的重点放在充分条件与必要条件的概念的理解和应用，避免了在思维中因判断命题真假本身的失误而造成对概念理解的偏差．利用“充分条件与必要条件”解决问题是学生难于掌握的，这也不是本节课可以彻底解决的问题．所以，我引导学生通过解决简单问题（例1），提炼出解决问题的方法，再尝试运用方法解决新问题(例2、课堂练习1、课堂练习2)．首先让学生掌握解决问题的方法，再加以运用，这样我也可以搞清学生“会了什么”、“还有什么不会”，使后面的教学更有针对性．例3的教学是存在困难的，问题的难度主要在于问题本身是一个开放式的填空题．所以，我先让学生通过观察对比几个例题的问法，找出问题问法的变化，然后使用已经总结出的方法，尝试解决这一问题．并通过例3变式使一些数学水平较高的学生对知识的理解得到了升华．但仍有一些值得再探讨的问题，如例3及其变式的编排本身值得商讨．因为逻辑用语的教学本身就具有一定的难度，故而不可使用过于复杂的数学例题，否则会使得教学难上加难，不利于本节新概念的教学．而例3及例３变式由于问题本身存在的难度，使得对于一些中下的学生由于新知识还没有完全吸收，问题难度的上升导致思维有点混乱，因此未能很好的理解．在以后的教学中可以考虑把例3及例３变式的教学放到第二课时．季节中的花开花落，都有自己的命运与节奏，岁月如歌的谱曲与纳词，一定是你。

高中数学人教A版选修21充分条件与必要条件PPT课件

(4) p : x 3, q : x 0
/ （1）条件p 结论q p是q充分不必要条件
（2）条件p 结论q
p是q充要条件
（3）必要不充分条件
（4）既不充分也不必要条件
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练习
1.设p : x 3,q : 1 x 3,则p是q成立的必要不充分条件
四种条件
条件p 结论q p是q的充分必要（充要）条件 / 条件p 结论q p是q的充分不必要条件 / 条件p 结论q p是q的必要不充分条件 // 条件p 结论q p是q的既不充分也不必要条件
记忆方法：上充分下必要小范围大范围
高中数学人教A版选修21充分条件与必要条件 PPT课件
高中数学人教A版选修21充分条件与必要条件 PPT课件
充分条件与必要条件
问题导入
判断下列命题是真命题还是假命题：（1）若ab 0，则 a 0 ；假
p / q
（2）若x>5,则x>3. 真
p q
探究新知
一般地，“若p，则q”是真命题，我们就说由p可推出q，
记作 p q ，并且说p是q的充分条件, q是p的必要条件。
若x>5,则x>3为真命题， x>5
一般地，如果既有p q，又有q p，就记作 p q
此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。
如果p q，那么p与q互为充要条件。
练习：p：三角形的三条边相等； q：三角形的三个角
相等．
高中数学人教A版选修21充分条件与必要条件 PPT课件
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pq
（1）若x y，则x2 y2; （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等; (3) 若a b, 则ac bc.