2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业53 含答案
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第八章 平面解析几何 8.1 精品
.
64 3
【解析】当α∈[ , ) 时,k=tanα∈[ 3 ,1)；
64
3
当α∈ [2 , )时,k=tanα∈[ 3，0).
3
综上k∈［ 3，0) [ 3 ,1).
3
答案:［ 3，0) [ 3 ,1)
3
【加固训练】
1.直线xsin2-ycos2=0的倾斜角的大小是 ( )
A. 1
B. 2
且斜率为 3 .则直线l的方程为 ( )
4
A.3x+4y-14=0
B.3x-4y+14=0
C.4x+3y-14=0
D.4x-3y+14=0
【解析】选A.由点斜式得y-5=- 3 (x+2),即3x+4y-14=0.
4
感悟考题 试一试 3.(2016·淄博模拟)已知ab>0,bc>0,则直线ax+by=c通 过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
4
4
4
【解析】选C.当a=0时,两直线的斜率都不存在,
它们的方程分别是x=1,x=-1,显然两直线是平行的.
当a≠0时,两直线的斜率都存在,故它们的斜率相等,
由 2a 1 a解得1a, =
1 2a 1
1, 4
综上,a=0或 1 .
4
考向一 直线的倾斜角与斜率
【典例1】(1)(2016·菏泽模拟)直线2xcosα-y-3=0
名 称 已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点 (x1,y1)
_y_-_y_1_=_k_(_x_-_x_1)_ 不含直线x=x1
斜率k与直线 斜截式 在y轴上的截
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业50 Word版含答案
课时作业50 圆的方程一、选择题1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋2)2＝5 D ．(x －1)2＋y 2＝5解析：因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.答案：B2．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定解析：将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即＋a2＋＋2>2a ，所以原点在圆外．答案：B3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案：A4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案：A5．已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4 D ．x 2＋(y ＋1)2＝4解析：由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a >－2，半径为r ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＋32＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.答案：B6．圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25解析：由圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，设圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a ，2a ，a >0.又圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d ＝2a ＋2a ＋15≥4＋15＝5，当且仅当2a ＝2a，即a ＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.答案：A 二、填空题7．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为______________．解析：将圆的方程配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，∵r 2＝1－34k 2≤1，∴r max ＝1，此时k ＝0.故圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.答案：x 2＋(y ＋1)2＝18．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为12，则圆C的方程为______________．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝439．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PO →·PA →的最小值为__________．解析：圆心O 到直线x －2y ＋5＝0的距离为55＝5，则|PO →|min ＝ 5.∵PA 与圆O 相切，∴PA ⊥OA ，即PA →·AO →＝0，∴PO →·PA →＝(PA →＋AO →)·PA →＝PA →2＝|PO →|2－|AO →|2≥5－1＝4.答案：4 三、解答题10．一圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以x 1＋x 2＝－D . 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以y 1＋y 2＝－E . 由题意知－D －E ＝2，即D ＋E ＋2＝0.①又因为圆过点A 、B ，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0.② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.③解①②③组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 2－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 2－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.1．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A ．150° B．135° C ．120° D．不存在解析：由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．设过点P (2,0)的直线为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k2×22－2k21＋k2≤k2＋2－2k 2＋k 2＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立．由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去，故直线l 的倾斜角为150°.答案：A2．(2017·邯郸模拟)若△PAB 是圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝4的内接三角形，且PA ＝PB ，∠APB ＝120°，则线段AB 的中点的轨迹方程为( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y －2)2＝3 D ．x 2＋y 2＝1解析：设线段AB 的中点为D ，则由题意，PA ＝PB ，∠APB ＝120°，所以∠ACB ＝120°，因为CB ＝2，所以CD ＝1，所以线段AB 的中点的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，所以线段AB 的中点的轨迹方程是：(x －2)2＋(y －2)2＝1.答案：A3．(2017·安徽合肥第一次质检)存在实数φ，使得圆面x 2＋y 2≤4恰好覆盖函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πkx ＋φ图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是__________． 解析：由题意，知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πkx ＋φ图象的最高点或最低点一定在直线y ＝±1上，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±1，x 2＋y 2≤4，得－3≤x ≤ 3.又由题意，得T ＝2ππk＝2k ，T ≤23<2T ，解得正数k的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤32，3. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤32，3 4．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且y 轴被圆C 截得的弦长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解：(1)易得直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r .由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，且圆心C 在该条直线上，所以b ＝a －1.①又因为y 轴被圆C 所截得的弦长为43，所以r 2＝(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2.② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意； 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， 所以x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 整理得m 2－m (x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0. 将y ＝－x ＋m 代入(x －1)2＋y 2＝13， 可得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝1＋m ，x 1x 2＝m 2－122，Δ＝－4(m 2－2m －25)，所以m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0，解得m ＝4或m ＝－3，经验证均满足Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.。
2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时作业53双曲线(含解析)文
点，若PF 1 • PF 2= 0，则P 到x 轴的距离为（ ）课时作业53双曲线A ( —1,3) C. (0,3)22解析：由题意得(m + n)(3m — n)>0 ,222答案：A2 24.已知I 是双曲线C: 2 — 丁 = 1的一条渐近线，P 是I 上的一点，F 1, F 2是C 的两个焦基础达标演练、选择题1. 2y 2双曲线令—x = 1的渐近线方程为（）y =± 3xC. y =± 2x解析：由3—x 2=1,得a =¥，渐近线方程为 y =± ;'3x.D y =± 竽B. y =±^x答案：A2•椭圆2 2 2 2x+a 2 =1与双曲线扌-4 =1有相同的焦点, 则实数 a 的值是（）1A2B. 1 或一2D. 1a>0,解析：由已知得 2? a = 1.J 6— a = a + 4.J1Y12| 点间的距答案：D3 . （2016 •新课标全国卷I ）已知方程 4，则n 的取值范围是（2x m + n4= 1表示双曲线，且该双曲线两焦D （0 , .3）解得一m<n<3m ,又由该双曲线两焦点间的距离为4,得 m + n + 3m — n = 4,艮卩 m = 1,所以一1<n<3.C. 2解析：F i ( — 6, 0) , F 2( 6, 0)，不妨设I 的方程为y =•. 2x ，则可设P(x o , 2x 。
),由 PF 1 • PF a = ( — 6 — X 。
，一 2x 0) •( 6—X 。
，一 2x 0) = 3x 0 — 6= 0，得 x °=± 2，故 P 到x 轴的距离为 2|x o | = 2,故选C答案：C25.过双曲线才一b 2= 1(a>0 , b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于 a(1•••1<e 2— 1<3,「.，2<e<2.故选 B. 答案: 二、填空题2 21B. 2若厶OAB 的面积为罟，则双曲线的离心率为() Af D 313解析：由题意可求得 2bc 「 1 2bc |AB| = ，所以 S AOAB =^X X c =a 2 a=，故选 D. 号，整理得字 ~T ，即 e答案：D 6. 右焦点. A.C. 2笃一活=1 a b若60 ° <Z AFB<90 ，则该双曲线的离心率的取值范围是(1 , 2)设双曲线 、)(1,2)2a的两条渐近线与直线 x =分别交于 c A ，B 两点，F 为该双曲线的B. ( 2, 2)D ( 2,+ ^)by = ± a x ,y =±号，不妨设a 2 ab Ac, 7 acb , ••• 60° <Z AFB<90 ,辿33 c <k FB <1 , <2<1 , • 3， 3，c — _c••士<1, J 3 b '3A, B 两点,2a < <1, c — a25b 、、 y =±；x ,由已知可得两条渐近线方程互相垂直,a由双曲线的对称性可得 b = 1.又正方形 OABC 勺边长为2,所以c = 2 2，所以a 2 + b 2= c 2 = a (2匸)2,解得a = 2.答案：2 三、解答题2 2x y10.已知双曲线——2 = 1(a>0 , b>0) , A 1, A 分别是双曲线的左、右顶点，M(x o , y o )是a b2 2x y解析：双曲线孑一2= 1的渐近线方程为a b7 .若双曲线的渐近线方程为x ± 2y = 0 ,焦距为10,则该双曲线的方程为解析：设双曲线的方程为2 2 2x - 4y =入（入工0），焦距 2c = 10, c = 25,2 2rr xy 入当入 >0 时，1,入 + - = 25, 入入 44入=20;2 2rr y x当入<0时，一 =1, 入 一人 —4入+ 入=—20.故该双曲线的方程为答案: 2 2 2 2x y x20 5 或 5 202& (2016 •浙江卷)设双曲线x 2— £ = 1的左、右焦点分别为 3 F 1, F 2.若点P 在双曲线上, 且AF 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1| + |PF£的取值范围是 ____________ . 解析：由题意不妨设点 P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当 PR 丄x 轴时， |PF 1| + |PF 2|有最大值8;当/P 为直角时，|PF 1| + |PF 2|有最小值2 7.因为△ F 1PF 2为锐角 三角形，所以|PF 1| + |PF 2|的取值范围为(2 7, 8). 答案：(2 7, 8)2 2x y9. (2016 •北京卷)双曲线孑一話=1(a>0, b>0)的渐近线为正方形 OABC 勺边OA OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 勺边长为2，则a = _____________25(1)求双曲线的离心率;双曲线上除两顶点外的一点，直线MA 与直线MA 的斜率之积是144A2 B.5(2)若该双曲线的焦点到渐近线的距离是 12,求双曲线的方程.yj 3. .-b 2= 3,.••双曲线的方程为巧2 —7 X o 4 羽y o = 3 ， 2 2xo—yo = 1, .12 3T T T由 OM + ON= tOD ,得(16 .3, 12) = (4 , 3t , 3t) ,• t = 4,点 D 的坐标为(4 ,3, 3).解：(1)易知 A i ( - a,0) ,A 2(a,0)，: M(x o , y o )在双曲线上，二 2 22x o y o y o 才―F=1变形得x —22- y or. T kMA • kMA =— a X o + a2 2y oy o- 144 =~2 2 = ~2 =亠 _ a 25 x o — a x --e 222_ c _ a + b =—2= ---- 2- a a2 2 b 169■=1 +a =13⑵双曲线的一条渐近线为y = -x ,即abx — ay = 0, 右焦点(c,0)到渐近线的距离 d =芈「= - = 12,由(1)得a + -a2 212 144~T = a 25 • a 2 = 25,-双曲线的方程为 2 2兰—丄=1.25 14411 •设A , B 分别为双曲线 2 2x y—2—— 2 a b=1(a>0 , b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 . 3,焦点到渐近线的距离为 ，3.(1)求双曲线的方程；⑵已知直线y =#x — 2与双曲线的右支交于M N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D,使OW ON ^ tOD,求 t的值及点D 的坐标.解：(1)由题意知a = 2 3 ,•••一条渐近线为 y =，即 bx — 2 3y = 0,-—3 b + 122 2=1.(2)设 Mg y 1) , N(X 2, y 2),贝U X 1+ X 2 = tx 0, y 1 + y 2 = ty 1 将直线方程代入双曲线方程得0. D(x o , y o ),x 2— 16 3x + 84= 0，则 X 1+ X 2= 16 3, y 1+ y 2= 12. X o = 4 寸3,■yo= 3.••>«生冲击名綾1. (2017 •河北石家庄模拟)已知直线l与双曲线C: x2—y2= 2的两条渐近线分别交于A, B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△ AOB的面积为()A2 B.7C. 2解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y =± x ,设A(x i , x i ), B (X 2, - X 2)，则X i — X 22 ，又因为AB 的中点在双曲线上，所以1 12= 2,化简得 X i X 2= 2，所以 S ^AOB = ^|OA| • |OB| = 2h./2x i | •I 2x 2| = |x 1X 2I = 2,故选 C答案：C2 2 2 2x y x y2. (2017 •福建漳州八校联考 )已知椭圆 C i ： a 2+ b 2= 1(a i >b i >0)与双曲线 G: g —話=1(a 2>0, b 2>0)有相同的焦点F i , F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e i , e 2又分别是两曲线的离心率，若PF i L PF 2,贝U 4e 2+ e 2的最小值为( )B. 4小9 C 2D. 9解析：由题意设焦距为2c ,令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义知 |PF i |-|PF 2| =2a 2，①由椭圆定义知|PF i | + |PF 2| = 2a i ，② 又••• PF i L PF 2, •••|PF i | + |PF 2| = 4c ,③2 2 2 2 2 2① +②，得 |PF i | + |PF 2| = 2a i + 2a 2，④ 将④代入③，得a 1+ a 2= 2c 2,22 4c2c 2 4 附 + a ； a 1+ a ； 5 2a ； a 2 5 f2a 2a i 9• 4ei + e2= £ + a!= 荷 + 右=2 + £ + 議+ 2 . a i 2a 2 = 2，当且仅2 2当竽=m ，即a 2= 2a 2时，取等号•故选C a i 2a 2答案：C2 2x y3. _________________________________ 设双曲线 C:孑一孑=1(a>0 , b>0)的右焦点为F ,左、右顶点分别为 A i 、A,过点F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线 I 与另一条渐近线相交于点 P,若点P 恰好在以AiA 为直径的圆上，则双曲线的离心率为 .解析：由题意知，双曲线的渐近线的斜率为-或一b ,点F 的坐标为(c,0)，不妨设直线a aD. 45 A2OAL OB AB 的中点为C : x — y = 1 及直线 I : y = kx — 1.(1)若I 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围;⑵ 若I 与C 交于A , B 两点，0是坐标原点，且△ AOB 的面积为 2，求实数k 的值. x 2— y 2= 1,有两个不同的 y =kx —III1— k 2z 0, 实数根，整理得(1 — k 2)x 2 + 2kx — 2=0.解得—2<k< 2且k 工土 1.双曲线C 与直线I 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(一2,— 1) U ( — 1,1) U (1 , 2).(2)设交点 A(X !, yj , B(X 2, yj ,直线l 与y 轴交于点D(0, — 1),III=2lx 1 — X 2| ；I 的方程为y = -(x — c)，联立方程丿 ay =a —c x = 2 by=—a x，解得｛ bcy =—2|.因为点P恰好在以 氏A 为直径的圆上，所以(C)2+ (— b |)2= a 2,化简得c 2(a 2+ b 2) = 4a 4,-^,2 2 又 c = a +b 2,故(C )4= 4,即ae =2答案：•. 24.已知双曲线 解：(1)双曲线C 与直线I 有两个不同的交点，则方程组△ = 4k 2+8 I — k 2 :勺,由⑴知，C联立的方程为(1 — k 2)x 2+ 2kx — 2 = 0. •••—2kX1+ X2= k2,—2 x i X 2= 1— k 2.A2 B.9当A , B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时, € //jL Tk1S ^OAB = S ^OAD — S ^OBD = 2(|x 1| — |x 2|)△ OAB = ?|X 1 — X 2| =』2,— X 2)2= (2 ,2)2,当A , B 在双曲线的两支上且 X 1>X 2时，S ^OAI1 1SA ODA ^S ^OBD = 2(|x 1| + |x 2|) = fx 1 — X 2|.又•••—2<k< 2，且 2土1,•••当k= 0或k=± -2时，△ AOB的面积为• 2.。
【高三数学试题精选】2018高考数学一轮复习平面解析几何训练(北师大含答案)
2018高考数学一轮复习平面解析几何训练(北师大含答案)
c 第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线3x－＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )
A．30° B．60°
c．150° D．120°
解析选B直线的斜率为＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°
2．(2018 河北省衡水中学一模)已知直线l的斜率为3，在轴上的截距为另一条直线x－2－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．＝3x＋2 B．＝3x－2
c．＝3x＋12 D．＝－3x＋2
解析选A因为直线x－2－4＝0的斜率为12，所以直线l在轴上的截距为2，所以直线l的方程为＝3x＋2，故选A
3．(2018 太原质检)若直线l与直线＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( ) A13 B．－13
c．－32 D23
解析选B依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2，b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13
4．直线l经过A(2，1)，B(1，2)(∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0≤α＜π B．0≤α≤π4或π2＜α＜π
c．0≤α≤π4 Dπ4≤α＜π2或π2＜α＜π
解析选B直线l的斜率为＝2－11－2＝1－2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4故选B
5．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理
⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。
2018届高考数学(文)大一轮复习课时分层训练第8章平面解析几何第5节课时分层训练49Word版含答案
课时分层训练(四十九) 椭 圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) 【导学号：31222312】A ．4B ．3C ．2D ．5A2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( )【导学号：31222313】A.13B.33C.22D.12B3．(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )【导学号：31222314】A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 D4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8C5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 A 二、填空题6．已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为__________．4417．(2017·湖南长沙一中月考)如图853，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图853x 28＋y 22＝1 8．(2016·江苏高考)如图854，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.图85463三、解答题9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．【导学号：31222315】(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.3分∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.5分(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.8分 ∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3.10分∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.12分10．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，2分 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.5分(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.8分又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2).10分由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2 D ．4C2．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是__________.【导学号：31222316】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 3．(2017·西安调研)如图855，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. 图855(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.(1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.3分 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.7分由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2，x 1x 2＝2kk －1＋2k2.9分从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2.12分。
2018届高考数学(文)大一轮复习讲义课件：第八章+平面解析几何+8-3
热点二 【例 2】
与圆有关的轨迹问题 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一
点，P，Q 为圆上的动点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90° ，求线段 PQ 中点的轨迹方程．
【解】 (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，
4x0－2 (2)方法 1：如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得 ＝1， 3－x0 ∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4) ，半径 r＝2 2，故圆的方程为(x －1)2＋(y＋4)2＝8.
方法 2：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得 y0＝－4x0， 2 x0＝1， 解得y0＝－4， r＝2 2.
答案 1．定点 定长 集合 2.(a，b) 3．D ＋E －4F>0 1 2 2 D ＋ E －4F 2
2 2
r
D E (－ 2 ，－ 2 )
1．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是________．
解析： 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13， 所以圆心坐标是 (2，－3)． 答案：(2，－3)
P 点坐标为(2x－2,2y)． 因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
答案：(－1,1)
热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能
热点一 【例 1】
求圆的方程 根据下列条件，求圆的方程．
(1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长 等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于点 P(3，－2)．
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业56 含答案
课时作业56 定点、定值、探索性问题1、过抛物线y 2＝2px (p >0)上一定点P (x 0,y 0)(y 0≠0)分别作斜率为k 和－k 的直线l 1,l 2,设l 1,l 2分别与抛物线y 2＝2px 交于A ,B 两点,证明：直线AB 的斜率为定值、证明：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题易知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y －y 0＝k x －x 0 ，消去x ,得y 2－2p ky ＋2py 0k －2px 0＝0,由韦达定理得y 0＋y 1＝2p k ,所以y 1＝2pk－y 0.①同理y 0＋y 2＝－2p k ,得y 2＝－2pk－y 0.②由①②得y 1＋y 2＝－2y 0, 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 222p －y 212p＝2p y 1＋y 2＝－py 0,故直线AB 的斜率为定值、 2、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (6,1),离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点P (6,0),若A ,B 为已知椭圆上两动点,且满足PA →·PB →＝－2,试问直线AB 是否恒过定点？若恒过定点,求出该定点的坐标；若不过定点,请说明理由、解：(1)由题意得c a ＝22,① 因为椭圆经过点M (6,1),所以6a 2＋1b2＝1.②又a 2＝b 2＋c 2,③由①②③解得a 2＝8,b 2＝c 2＝4, 所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)①当直线AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ,代入x 28＋y 24＝1,消去y ,整理得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.由Δ>0,得8k 2＋4－m 2>0.① 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1,x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1,所以PA →·PB →＝(x 1－6)(x 2－6)＋y 1y 2＝(x 1－6)(x 2－6)＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1x 2＋(km －6)·(x 1＋x 2)＋6＋m 2＝－2,得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －6)(x 1＋x 2)＋8＋m 2＝0,即(k 2＋1)2m 2－82k 2＋1＋(km －6)－4km 2k 2＋1＋8＋m 2＝0,整理得(3m ＋22k )2＝0, 从而m ＝－263k ,满足①,所以直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －263,故直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫263，0. ②当直线AB 与x 轴垂直时,若直线为x ＝263,此时点A ,B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，263,⎝ ⎛⎭⎪⎫263，－263,满足PA →·PB →＝－2, 此时直线x ＝263也过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0.综上,直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫263，0. 3、(2017·河北质量监测)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为F (c,0)且a >b >c >0,设短轴的一个端点为D ,原点O 到直线DF 的距离为32,过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ,G 两点,且|GF →|＋|CF →|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ,B 且使得OP →2＝4PA →·PB →成立？若存在,试求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由、解：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4,∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32,∴bca ＝32,∴bc ＝3,又a 2＝b 2＋c 2＝4,a >b >c >0,∴b ＝3,c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件、故可设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1,代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0,∴x 1＋x 2＝8k 2k －1 3＋4k 2,x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2,Δ＝32(6k ＋3)>0,∴k >－12.∵OP →2＝4PA →·PB →,即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5,∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5,即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5,∴4[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k 2k －1 3＋4k 2＋4](1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5,解得k ＝±12,k ＝－12不符合题意,舍去、∴存在满足条件的直线l ,其方程为y ＝12x.1、(2017·江西联考)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为22,它的一个焦点恰好与抛物线y 2＝4x 的焦点重合、(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ,过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ,AC ,若直线AB ,AC 斜率之积为14,直线BC 是否一定经过一定点？若经过,求出该定点坐标；若不经过,请说明理由、解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),则e ＝c a ＝22,c ＝1,故a 2＝2,b 2＝1,椭圆C的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知A (0,1),当直线BC 的斜率不存在时,设BC ：x ＝x 0,设B (x 0,y 0),则C (x 0,－y 0),k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 2x 20＝12x 20x 20＝12≠14,不合题意、故直线BC 的斜率存在、设直线BC 的方程为：y ＝kx ＋m (m ≠1),并代入椭圆方程,得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0,①由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0得2k 2－m 2＋1>0.②设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程①的两根,由根与系数的关系得, x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2,x 1·x 2＝2 m 2－11＋2k 2, 由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得： 4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2,即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0,整理得(m －1)(m －3)＝0,又因为m ≠1,所以m ＝3,此时直线BC 的方程为y ＝kx ＋3.所以直线BC 恒过一定点(0,3)、2、(2017·西安质检)如图所示,已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率等于32,它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上、(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2,3),Q (2,－3)在椭圆上,A ,B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点,当A ,B 运动时,满足∠APQ ＝∠BPQ ,试问直线AB 的斜率是否为定值,请说明理由、解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)、∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上,∴－b ＝－2,解得b ＝2. 又c a ＝32,a 2＝b 2＋c 2, ∴a ＝4,c ＝2 3.可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵∠APQ ＝∠BPQ ,则PA ,PB 的斜率互为相反数,可设直线PA 的斜率为k ,则PB 的斜率为－k ,直线PA 的方程为：y －3＝k (x －2),联立⎩⎨⎧y －3＝k x －2 ，x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0,∴x 1＋2＝8k 2k －31＋4k2.同理可得： x 2＋2＝－8k －2k －3 1＋4k ＝8k 2k ＋31＋4k, ∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2,x 1－x 2＝－163k1＋4k2,k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1＋x 2 －4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36.。
2018届高考数学文大一轮复习教师用书：第8章 平面解析
第二节 两条直线的位置关系———————————————————————————————— 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．距离d ＝x 2－x 12＋y 2－y 121．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)若点P ，Q 分别是两条平行线l 1，l 2上的任意一点，则P ，Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离．( )(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1C3．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． (2，－2)4．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 25．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 2(1)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·青岛模拟)过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0(1)A (2)A1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A 2B 2C 2≠0时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8Al的方程为________．(2)过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程. 【导学号：31222289】(1)x ＋3y －5＝0或x ＝－1(2)设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，则直线l 与l 2的交点B (6－x 0，－y 0)，2分由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－2＝0，6－x 0－y 0＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝113，y 0＝163，6分即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163，从而直线l 的斜率k ＝163－0113－3＝8，10分 直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.12分1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．2．利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．①过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即直线l 的方程为x ＝1.4分②设过点A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －，得x ＝k ＋7k ＋2且y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则l 与l 1平行)． 则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.8分又A (1，－1)，且|AB |＝5， 所以⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34.10分因此y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.12分________． (2)光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程是________．(1)y ＝2x －3 (2)10x －3y ＋8＝0在题(1)中“将结论”改为“求点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点”，则结果如何？设点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为A ′(a ，b )，2分 则AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 2，1＋b 2，4分所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b 2＝2×1＋a2＋1，b －1a －1×2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－35，b ＝95，10分故点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，95.12分 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x －y ＝0对称”，则结果如何？ 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于直线x －y ＝0的对称点为M (1,0)，点B 关于直线x －y ＝0的对称点为N (3,1)，6分∴根据两点式，得所求直线的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0.12分1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．(2017·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＋y－2＝0对称的直线方程是( ) A．x＋2y－1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0B1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法．1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．课时分层训练(四十六)两条直线的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点A(1，－2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )A．－2 B．－7C．3 D．1C2．(2016·北京高考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )A．1 B．2C. 2 D．2 2C3．若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于( ) A．－1 B．0C．1 D．2C4．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )A．(－2,1) B．(2,1)C．(1，－2) D．(1,2)A5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点( )【导学号：31222290】A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)B二、填空题6．(2017·深圳模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为________．【导学号：31222291】(0,3)7．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为________．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0三、解答题9．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x －5y＋6＝0的直线l的方程．【导学号：31222292】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2).5分∵l 3的斜率为35，∴l 的斜率为－53，8分则直线l 的方程为y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.12分10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，2分∴直线l 恒过定点(－2,3).5分(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大.7分又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.10分故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·广东高考)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 D2．(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为________．103．若m ＞0，n ＞0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，求1m ＋1n的最小值．易知点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为M (1－n,1＋m ).3分又点M (1－n,1＋m )在直线x －y ＋2＝0上， ∴1－n －(1＋m )＋2＝0，即m ＋n ＝2.6分 于是1m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥1＋12·2n m ·mn＝2，10分 当且仅当m ＝n ＝1时，上式等号成立． 因此1m ＋1n的最小值为2.12分。
2018届高考数学文大一轮复习教师用书：第8章 平面解析
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系————————————————————————————————1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．(1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离B3．(2017·合肥调研)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12D4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________．25555．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．4π的位置关系是( )【导学号：31222298】A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________．(1)A(2)x＋2y－5＝01.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．(1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝__________.(1)B(2)4(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离B1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．4心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．图841圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.4分因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.5分(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.8分 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.12分1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 则r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.5分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.7分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.10分所以直线MN 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.12分1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十八)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．不确定B2．(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11C3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )A．－2 B．－4C．－6 D．－8B4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB外接圆的方程是( )【导学号：31222299】A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20A5．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )【导学号：31222300】A．1013 B．921C．1023 D．911C．二、填空题6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________. 【导学号：31222301】x＋y－3＝07．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.28．(2017·安徽十校联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx －y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________．－33三、解答题9．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值． (1)由于过点A 的圆的切线只有一条， 则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3.2分当a ＝3时，A (1，3)，易知所求切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，易知所求切线方程为x －3y －4＝0.5分 (2)设过点A 的直线方程为x ＋y ＝b ， 则1＋a ＝b ，即a ＝b －1，8分又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝± 2. 因此a ＝b －1＝±2－1.12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1).3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知直线l ：kx ＋y －2＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0的对称轴，过点A (0，k )作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为( )A ．2B ．2 2C ．3D ．2 3D2．(2017·济南质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________.323．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．【导学号：3122302】(1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4. 得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分 ∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*) ∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).5分 (2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2.8分 在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2， 故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)，10分 故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±7x.12分。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业55 含答案
课时作业55 最值、范围、证明问题1．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E 上,且|AF|＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G(－1,0),延长AF 交抛物线E 于点B,证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋p 2.因为|AF|＝3,即2＋p 2＝3,解得p ＝2,所以抛物线E 的方程为y 2＝4x.(2)证明：因为点A(2,m)在抛物线E ：y 2＝4x 上,所以m ＝±2 2. 由抛物线的对称性,不妨设A(2,22)．由A(2,22),F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22－，y 2＝4x ，得2x2－5x ＋2＝0,解得x ＝2或x ＝12,从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G(－1,0), 所以k GA ＝22－02－－＝223,k GB ＝－2－012－－＝－223,所以k GA ＋k GB ＝0,从而∠AGF＝∠BGF ,这表明点F 到直线GA,GB 的距离相等,故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2017·湖北黄冈一模)如图,已知点F 1,F 2是椭圆C 1：x 22＋y 2＝1的两个焦点,椭圆C 2：x 22＋y 2＝λ经过点F 1,F 2,点P 是椭圆C 2上异于F 1,F 2的任意一点,直线PF 1和PF 2与椭圆C 1的交点分别是A,B 和C,D.设AB,CD 的斜率分别为k,k′.(1)求证：k·k′为定值； (2)求|AB|·|CD|的最大值．解：(1)证明：因为点F 1,F 2是椭圆C 1的两个焦点,故F 1,F 2的坐标是F 1(－1,0),F 2(1,0)．而点F 1,F 2是椭圆C 2上的点,将F 1,F 2的坐标代入C 2的方程得,λ＝12.设点P 的坐标是(x 0,y 0),∵直线PF 1和PF 2的斜率分别是k,k′(k≠0,k′≠0),∴kk′＝y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝y 2x 20－1①又点P 是椭圆C 2上的点,故x 202＋y 20＝12,②联立①②两式可得kk′＝－12,即k·k′为定值．(2)直线PF 1的方程可表示为y ＝k(x ＋1)(k≠0),与椭圆C 1的方程联立,得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝＋，x 22＋y 2＝1，由方程组得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2,x 1x 2＝2k 2－21＋2k2.|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·1＋x 22－4x 1x 2＝22＋k 21＋2k2.同理可求得|CD|＝2＋4k 21＋2k2,则|AB|·|CD|＝4＋5k 2＋＋2k22＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋11k 2＋4k 2＋4≤92, 当且仅当k ＝±22时等号成立． 故|AB|·|CD|的最大值等于92.3．已知以A 为圆心的圆(x －2)2＋y 2＝64上有一个动点M,B(－2,0),线段BM 的垂直平分线交AM 于点P,点P 的轨迹为E.(1)求轨迹E 的方程；(2)过A 点作两条相互垂直的直线l 1,l 2分别交曲线E 于D,E,F,G 四个点,求|DE|＋|FG|的取值范围．解：(1)连接PB,依题意得|PB|＝|PM|,所以|PB|＋|PA|＝|AM|＝8,所以点P 的轨迹E 是以A,B 为焦点,4为长半轴长的椭圆,所以a ＝4,c ＝2,则b ＝2 3.所以轨迹E 的方程是x 216＋y212＝1.(2)当直线l 1,l 2中有一条直线的斜率不存在时,|DE|＋|FG|＝6＋8＝14；当直线l 1的斜率存在且不为0时,设直线l 1的方程为y ＝k(x －2),D(x 1,y 1),E(x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，x 216＋y 212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0,∴x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2,x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2,∴|DE|＝＋k21－x 22＝1＋k 2·1＋x 22－4x 1x 2＝＋k 23＋4k2,同理可得|FG|＝＋k 24＋3k 2,∴|DE|＋|FG|＝2＋2＋3k2＋4k2,设t ＝k 2＋1,则t>1, 所以|DE|＋|FG|＝16812＋t －1t2,当t>1时,易证y ＝t －1t 2在(1,2)上递增,在(2,＋∞)上递减,所以0<y≤14,所以|DE|＋|FG|的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14.综上,|DE|＋|FG|的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)与抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)有一个公共焦点,抛物线C 2的准线l 与椭圆C 1有一坐标是(2,－2)的交点．(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)若点P 是直线l 上的动点,过点P 作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,直线AB 与椭圆C 1分别交于点E,F,求OE →·OF →的取值范围．解：(1)抛物线C 2的准线方程是y ＝－2,所以p 2＝2,p ＝4,所以抛物线C 2的方程是x 2＝8y.由题意知椭圆C 1：y 2a 2＋x2b 2＝1(a>b>0)的焦点是(0,－2),(0,2),所以c ＝2,2a ＝2＋0＋2＋16＝42,所以a ＝22,所以b ＝2,所以椭圆C 1的方程是y 28＋x24＝1.(2)设点P(t,－2),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),E(x 3,y 3),F(x 4,y 4),抛物线方程可以化为y ＝18x 2,得y′＝14x,所以直线AP 的方程为y －y 1＝14x 1(x －x 1),所以－2－y 1＝14x 1t －2y 1,即y 1＝14tx 1＋2,同理,直线BP 的方程为y 2＝14tx 2＋2,所以直线AB 的方程为y ＝14tx ＋2,将直线AB 的方程代入椭圆C 1的方程得,(t 2＋32)x 2＋16tx －64＝0,则Δ＝256t 2＋256(t 2＋32)>0,且x 3＋x 4＝－16t t 2＋32,x 3x 4＝－64t 2＋32,所以OE →·OF →＝x 3x 4＋y 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 216x 3x 4＋t 2(x 3＋x 4)＋4＝－8t 2＋64t 2＋32＝320t 2＋32－8.因为0<320t 2＋32≤10,所以OE →·OF →的取值范围是(－8,2]．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2 2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x 轴于点N,交C 于点A,P(P 在第一象限),且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q,延长QM 交C 于点B.(ⅰ)设直线PM,QM 的斜率分别为k,k′,证明k′k 为定值；(ⅱ)求直线AB 的斜率的最小值． 解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c, 由题意知2a ＝4,2c ＝22, 所以a ＝2,b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y22＝1.(Ⅱ)(ⅰ)设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)． 由M(0,m),可得P(x 0,2m),Q(x 0,－2m), 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k′k ＝－3.所以k′k 为定值－3.(ⅱ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． 直线PA 的方程为y ＝kx ＋m, 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0. 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1,可得x 1＝2－2＋,所以y 1＝kx 1＋m ＝2－2＋＋m.同理x 2＝2－2＋,y 2＝－2－2＋＋m.所以x2－x 1＝2－2＋0－2－2＋＝－32k 22－＋＋,y 2－y 1＝－2－2＋0＋m －2－2＋－m＝－2＋2－2＋2＋,所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14(6k ＋1k )．由m>0,x 0>0,可知k>0,所以6k ＋1k ≥26,等号当且仅当k ＝66时取得．此时m 4－8m 2＝66, 即m ＝147,符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62.。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业52 含答案
课时作业52 椭圆一、选择题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F 是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a ＝4 3.答案：C2．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D .1925或21解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ， 由c a ＝45，即5－k 3＝45，解得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， 若c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 答案：C3．(2017·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A .514B .513C .49D .59解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM∥PF 2，∵OM⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B . 答案：B4．(2016·新课标全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A .13B .12C .23D .34解析：解法1：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋c 2＝14×2b，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12(e ＝－12舍去)，故选B .解法2：不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bcb 2＋c 2＝14×2b，所以bc a ＝14×2b，所以e ＝c a ＝12，故选B . 答案：B5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线，与椭圆的一个交点为P ，则使得PF 1→·PF 2→<0的点M 的概率为( )A .22 B .223 C .63D .12解析：设P(x ，y)，PF 1→＝(－c －x ，－y)，PF 2→＝(c －x ，－y)，∵PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y)·(c －x ，－y)＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24－3＝3x 24－2<0，∴－263<x<263.∴使得PF 1→·PF 2→<0的点M的概率为2×2632×2＝63.答案：C6．(2017·湖北武昌调研)已知椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a>b>0)的左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离心率是( )A .24B .34C .33D .22解析：设左焦点F(－c,0)关于直线bx ＋cy ＝0的对称点为P(m ，n)，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，b·m －c 2＋c·n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ＝c b ，bm －bc ＋nc ＝0，所以m ＝b 2c －c3b 2＋c2＝2－2c 2a2＝(1－2e 2)c ，n ＝c 2b ＋bc 2b 2＋c 2＝2bc2a2＝2be 2.因为点P(m ，n)在椭圆上，所以－2e 22c2a2＋4b 2e 4b2＝1，即(1－2e 2)2e 2＋4e 4＝1，即4e 6＋e 2－1＝0，将各选项代入知e ＝22符合，故选D . 答案：D 二、填空题7．直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的左焦点F 1和一个顶点B ，则椭圆的方程为________．解析：直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2. 直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)， 即为椭圆的顶点，故b ＝1.故a 2＝b 2＋c 2＝5，椭圆方程为x 25＋y 2＝1.答案：x 25＋y 2＝18．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为________．解析：如图，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA＝π4，BC＝2，∴点C 的坐标为C(－1,1)．又∵点C 在椭圆上，∴14＋1b 2＝1，∴b 2＝43，∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为463.。
2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章 平面解析几何 课时作业49 Word版含答案
课时作业49 直线的交点与距离公式一、选择题1．已知过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行，则m 的值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．1解析：由题意得：k AB ＝m －0－5－m ＋＝m－6－m ，k CD ＝5－30－－＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m－6－m ＝12，所以m ＝－2. 答案：B2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12 B.32 C.322D.22解析：由点到直线的距离公式， 得d ＝|1－－＋1|12＋－2＝322. 答案：C3．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，且0<k <12，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1.因为0<k <12，所以k k －1<0，2k －1k －1>0，故两直线的交点在第二象限．答案：B4．直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A (1,1)对称的直线的方程为( ) A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0D ．4x －3y －12＝0解析：在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于点A 对称的点P ′(x ′，y ′)必在直线l 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋x ＝2，y ′＋y ＝2，得P ′(2－x,2－y )，所以4(2－x )＋3(2－y )－2＝0，即4x＋3y －12＝0.答案：B5．不论m 为何值时，直线l ：(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9，－4)解析：直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，化为(mx ＋2my －m )＋(－x －y ＋5)＝0，即直线l 过x ＋2y －1＝0与－x －y ＋5＝0的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.答案：D6．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4，2)，∴|AB |＝＋2＋－2＝10.答案：B 二、填空题7．若直线(m －1)x ＋3y ＋m ＝0与直线x ＋(m ＋1)y ＋2＝0平行，则实数m ＝________. 解析：易知当m ＝－1时，两直线不平行． 当m ≠－1时，由m －11＝3m ＋1≠m2，解得m ＝－2. 答案：－28．已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2表示点(x ，y )到原点的距离．根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5.答案： 59．过两直线7x ＋5y －24＝0与x －y ＝0的交点，且与点P (5,1)的距离为10的直线的方程为________．解析：设所求的直线方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y )＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0.∴＋λ＋－λ－24|＋λ2＋－λ2＝10， 解得λ＝11.故所求直线方程为3x －y －4＝0. 答案：3x －y －4＝010．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x－1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0 三、解答题11．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)， 即5x ＋y ＋7＝0.12．(1)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．(2)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：(1)设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，∴a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.(2)法1：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32x 0－－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法2：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02 在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y2＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x2－y ＋y＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.1．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2解析：依题意知，AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得中点M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.答案：A2．(2017·长治模拟)已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1的解的情况是( )A ．无论k ，P 1，P 2如何，总是无解B ．无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C ．存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解D ．存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解解析：因为P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝ka 1＋1，b 2＝ka 2＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1k ＋b 1－＝－1，a 2k ＋b 2－＝－1，因此关于x 和y的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1有一组解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k ，y ＝1.答案：B3．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：如图，设平面直角坐标系中任一点P ，P 到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和为PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝PB ＋PD ＋PA ＋PC ≥BD ＋AC ＝QA ＋QB ＋QC ＋QD ，故四边形ABCD 对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点．∵A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝x －，y －5＝－x －，得Q (2,4)．答案：(2,4)4．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.。
2018年大一轮数学(文)高考复习课时规范训练：《第八章 平面解析几何》8-3含解析
课时规范训练A 组 基础演练1．圆x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0的圆心与半径分别为( ) A ．(－2,4)，5 B ．(2，－4)，5 C ．(－2,4)，15D ．(2，－4)，15解析：选B.圆心坐标为(2，－4)， 半径r ＝12(－4)2＋82－4×(－5)＝5.2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜－2或a ＞23 B ．－23＜a ＜0 C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜23解析：选D.由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得－2＜a ＜23.3．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0＜a ＜1，则原点与圆的位置关系是( ) A ．原点在圆上 B ．原点在圆外 C ．原点在圆内D ．不确定解析：选B.将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ， 因为0＜a ＜1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2＞0， 即(0＋a )2＋(0＋1)2＞2a ，所以原点在圆外．4．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B.直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A.设圆心坐标为(0，b )，则由题意知 (0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2， 故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．解析：由题意可得圆心(－1,0)，圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离即为圆的半径，故r ＝22＝2， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝27．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为________．解析：因为点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆上，∴该直线过圆心，即圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1满足方程x ＋y －1＝0，因此－a 2＋1－1＝0，解得a ＝0，所以圆心坐标为(0,1)． 答案：(0,1)8．如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为________．解析：由题意，知直线l 过圆心C (2，－3)， 当直线OC ⊥l 时，坐标原点到直线l 的距离最大， |OC |＝22＋(－3)2＝13. 答案：139．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程． 解：法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )， 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1. 解得m ＝2，即点P 坐标为(0,2)，圆的半径r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2， 依题意，所求圆与直线l ：y ＝x ＋m 相切于点P (0，m )，则⎩⎨⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.10．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)由C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得 (x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2. ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 所以设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由题意知直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.B 组 能力突破1．直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的取值范围为( )A ．k <－35或k >35 B ．－35<k <35 C ．－34<k <34D ．k <－34或k >34解析：选A.解方程组⎩⎨⎧x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0得交点坐标为(－4k ，－3k )．由题意知(－4k )2＋(－3k )2>9，解得k >35或k <－35，故选A. 2．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A.设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8πD ．9π解析：选B.设P (x ，y )，由题意知有(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π.4．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为________． 解析：∵圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，∴圆心C (1,1)，半径r 为1. 根据题意得，当圆心与点P 的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长|P A |，|PB |最小，则此时四边形面积最小．又圆心到直线的距离为d ＝3，∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝2 2. ∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2. 答案：2 25．已知定点M (－3,4)，设动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，点O 是坐标原点，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解：∵四边形MONP 为平行四边形， ∴OP →＝OM →＋ON →，设点P (x ，y )，点N (x 0，y 0)，则ON→＝OP →－OM →＝(x ，y )－(－3,4)＝(x ＋3，y －4)． 又点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动， ∴(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.又当OM 与ON 共线时，O 、M 、N 、P 构不成平行四边形．故动点P 的轨迹是圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4且除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.。
2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第八章 立体几何 单元测试卷 Word版含答案
一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．已知互相垂直的平面α，β交于直线.若直线，满足∥α，⊥β，则( )．∥ ．∥ ．⊥．⊥解：因为⊥β，⊂β，所以⊥.故选.．()某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积是()．．解：该几何体为一个正方体和一个正四棱锥的组合体，其体积＝＋×××＝()．故选.．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( )．球．三棱锥 ．正方体．圆柱解：球的三视图是三个相同的圆，三棱锥的三视图可以是三个全等的三角形，正方体的三视图可能是三个相同的正方形，而当圆柱的底面放置在水平面上时，其俯视图是圆，正视图是矩形．故选.．()如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列直线中与直线相交的是( )．直线．直线 ．直线．直线解：在同一个平面内不平行的两条直线或有公共交点的两条直线为相交直线，可判断选项正确．故选. ．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，则与平面的位置关系是( )．∥平面．与平面相交 ．在平面内．与平面的位置关系无法判断解：正方体中，，分别是棱，的中点，取的中点，连接，，则∥，∥，所以∥平面，∥平面，又因为∩＝，所以平面∥平面，从而可得∥平面.故选.．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为( )解：如图所示，点(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，此四点恰为正方体上四个点，且构成一个棱长为的正四面体，该正四面体在投影面上的正视图为正方形.故选.．已知正四棱柱中，＝，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )解：取的中点，连接，则∠为所求的角，设＝，∠＝＋×)＝＝＝.故选.．()已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的四个侧面中面积最大的是( )．．．．解：由三视图知，该几何体是四棱锥，其直观图如图，四个侧面中面积最大的是△，由题设知＝，＝，＝＝，所以＝，取中点，连接，，则⊥，所以⊥，＝＝，所以△＝·＝.故选.．()已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )．π．π解：将等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，可得到两个同底的圆锥，因此＝π·()·＝π.故选.．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )π∶π∶．π∶．π∶解：将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为，球的半径为，则()＝＋＋()，即＝.所以半球＝×π＝π＝π，正方体＝.所以半球∶正方体＝π∶＝π∶.故选.．已知正四棱柱中，＝，＝，为的中点，则直线与平面的距离为( )．．解：如图，连接，交于，连接，在△中，易证∥.从而∥平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离，设为.由等体积法，得＝△×＝＝△×＝××××＝.又因为在△中，＝，＝＝，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业53 双曲线一、选择题1．双曲线y 23－x 2＝1渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±2xD ．y ＝±233x 解析：由y 23－x 2＝1，得a b ＝31，渐近线方程为y ＝±3x.答案：A2．椭圆x 26＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y24＝1有相同焦点，则实数a 值是( )A .12B ．1或－2C ．1或12D ．1解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，6－a 2＝a ＋4⇒a ＝1.答案：D3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间距离为4，则n 取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：由题意得(m 2＋n)(3m 2－n)>0，解得－m 2<n<3m 2，又由该双曲线两焦点间距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n<3.答案：A4．已知l 是双曲线C ：x 22－y24＝1一条渐近线，P 是l 上一点，F 1，F 2是C 两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴距离为( )A .233B . 2C ．2D .263解析：F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 方程为y ＝2x ，则可设P(x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴距离为2|x 0|＝2，故选C .答案：C5．过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)右焦点与对称轴垂直直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB面积为13bc3，则双曲线离心率为( ) A .52 B .53 C .132D .133解析：由题意可求得|AB|＝2bc a ，所以S △OAB ＝12×2bc a ×c＝13bc 3，整理得c a ＝133，即e ＝133，故选D .答案：D6．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1两条渐近线与直线x ＝a2c 分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线右焦点．若60°<∠AFB<90°，则该双曲线离心率取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±ab c ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，－ab c ，∵60°<∠AFB<90°，∴33<k FB <1，∴33<abc c －a 2c<1，∴33<a b <1，∴13<a 2c 2－a 2<1，∴1<e 2－1<3，∴2<e<2.故选B .答案：B 二、填空题7．若双曲线渐近线方程为x±2y ＝0，焦距为10，则该双曲线方程为__________________________．解析：设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，焦距2c ＝10，c 2＝25， 当λ>0时，x 2λ－y 2λ4＝1，λ＋λ4＝25，∴λ＝20；当λ<0时，y 2－λ4－x 2－λ＝1，－λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ4＝25，∴λ＝－20. 故该双曲线方程为 x 220－y 25＝1或y 25－x220＝1. 答案：x 220－y 25＝1或y 25－x220＝18．(2016·浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|取值范围是________．解析：由题意不妨设点P 在双曲线右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|取值范围为(27，8)．答案：(27，8)9．(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)渐近线为正方形OABC 边OA ，OC 所在直线，点B 为该双曲线焦点．若正方形OABC 边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线对称性可得b a ＝1.又正方形OABC 边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a＝2.答案：2 三、解答题10．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，A 1，A 2分别是双曲线左、右顶点，M(x 0，y 0)是双曲线上除两顶点外一点，直线MA 1与直线MA 2斜率之积是14425.(1)求双曲线离心率；(2)若该双曲线焦点到渐近线距离是12，求双曲线方程．解：(1)易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，∵M(x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20a 2－y 20b 2＝1，变形得y 2x 20－a2＝b 2a 2.∵kMA 1·kMA 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2a 2＝14425，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝16925，∴e＝135. (2)双曲线一条渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，右焦点(c,0)到渐近线距离d ＝|bc|a 2＋b 2＝b＝12，由(1)得b 2a 2＝122a 2＝14425，∴a 2＝25，∴双曲线方程为x 225－y 2144＝1.11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)左、右顶点，双曲线实轴长为43，焦点到渐近线距离为 3.(1)求双曲线方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线右支交于M 、N 两点，且在双曲线右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 值及点D 坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc|b 2＋12＝3.∴b2＝3，∴双曲线方程为x 212－y23＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.由OM →＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t ，3t)，∴t＝4，点D 坐标为(43，3)．1．(2017·河北石家庄模拟)已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 面积为( )A .12B ．1C ．2D ．4解析：由题意得，双曲线两条渐近线方程为y ＝±x，设A(x 1，x 1)，B(x 2，－x 2)，则OA⊥OB，AB 中点为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，又因为AB 中点在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2，化简得x 1x2＝2，所以S △AOB ＝12|OA|·|OB|＝12|2x 1|·|2x 2|＝|x 1x 2|＝2，故选C .答案：C2．(2017·福建漳州八校联考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22－y2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有相同焦点F 1，F 2，点P 是两曲线一个公共点，e 1，e 2又分别是两曲线离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22最小值为( )A .52B ．4C .92D ．9解析：由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线右支上，由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，① 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④ 将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2， ∴4e 21＋e 22＝4c 2a 21＋c2a 22＝21＋a 222a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92，当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号．故选C . 答案：C3．设双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)右焦点为F ，左、右顶点分别为A 1、A 2，过点F 且与双曲线C 一条渐近线平行直线l 与另一条渐近线相交于点P ，若点P 恰好在以A 1A 2为直径圆上，则双曲线离心率为________．解析：由题意知，双曲线渐近线斜率为b a 或－ba，点F 坐标为(c,0)，不妨设直线l 方程为y＝ba(x －c)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a－y ＝－b a x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c 2y ＝－bc2a.因为点P 恰好在以A 1A 2为直径圆上，所以(c 2)2＋(－bc 2a )2＝a 2，化简得c 2(a 2＋b 2)＝4a 4，又c 2＝a 2＋b 2，故(c a )4＝4，即e ＝c a＝ 2.答案： 24．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同交点，求实数k 取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 面积为2，求实数k 值．解：(1)双曲线C 与直线l 有两个不同交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k<2且k≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同交点时，k 取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C 与l 联立方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k<2，且k≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 面积为 2.。