高二数学排列与排列数公式1

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高二数学排列和组合知识点

高二数学排列和组合知识点排列与组合是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题时具有广泛的应用。

本文将详细介绍排列和组合的基本概念、公式以及解题方法，帮助学生掌握这一知识点。

基本概念排列和组合都是从一组元素中选择一定数量的元素进行分析的数学方法。

排列强调元素的顺序，而组合则不考虑元素的顺序。

排列1. 排列数公式：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，记作A_{n}^{m}，计算公式为：\[ A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!} \]其中n!表示n的阶乘，即从1乘到n。

2. 举例说明：假设有5本不同的书，我们要选出2本来阅读。

如果考虑阅读的顺序，那么第一天读哪本书，第二天读哪本书是有区别的。

这里就有A_{5}^{2}种不同的排列方式。

组合1. 组合数公式：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，记作C_{n}^{m}，计算公式为：\[ C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]同样，这里的n!表示n的阶乘。

2. 举例说明：继续上述的例子，如果我们只关心选出哪2本书来阅读，而不关心阅读的顺序，那么这就是一个组合问题。

计算方法为C_{5}^{2}。

解题方法1. 区分排列与组合：首先要明确问题是要求排列还是组合。

如果问题中涉及到元素的顺序，那么就是排列问题；如果不涉及顺序，则是组合问题。

2. 公式运用：根据问题的具体要求，选择合适的排列或组合公式进行计算。

3. 实际应用：排列和组合的知识可以应用于许多实际问题，如概率计算、统计分析等。

在解题时，要结合实际情况，灵活运用所学知识。

练习题1. 有7个人排队，其中甲必须排在乙的前面，问有多少种排队的排列方式？2. 一个班级有10个男生和5个女生，从中选出3个代表，其中至少有1个女生的组合有多少种？通过以上介绍和练习题，相信学生可以更好地理解和掌握排列与组合的概念、公式及解题方法。

在实际解题过程中，要注意区分排列和组合的不同，并正确运用公式，这样才能有效地解决问题。

(新)高中数学排列组合公式排列组合计算公式(供参考)

排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

高二排列组合知识点总结

高二排列组合知识点总结排列组合是高中数学中的重要内容，涉及到许多基本概念和重要定理。

本文将对高二阶段学习的排列组合知识点进行总结，以帮助学生复习和加深对该知识领域的理解。

一、排列与组合的基本概念1. 排列：从给定的元素集合中，选取若干个元素按照一定的顺序排列组成不同的序列。

2. 组合：从给定的元素集合中，选取若干个元素组成一个集合，不考虑元素的排列顺序。

3. 排列数：表示从n个不同元素中，按一定顺序选取k个元素进行排列的方法数，用符号A(n,k)表示，计算公式为A(n,k) =n!/(n-k)!。

4. 组合数：表示从n个不同元素中，选取k个元素组成一个集合的方法数，用符号C(n,k)表示，计算公式为C(n,k) = n!/[(n-k)!k!]。

二、排列与组合的性质与应用1. 乘法原理：若某事件发生的方式有m种，每种方式发生的次数有n1、n2、...、nm次，则该事件发生的总次数为n1 * n2 * ... * nm。

2. 加法原理：若某件事情的发生可以分成两个互斥事件A和B，则事件A发生的次数与事件B发生的次数之和等于该事情发生的总次数。

3. 逆排列：将n个元素的排列倒序排列，得到的新排列称为逆排列，用符号A(n)*表示。

4. 重复排列：当选取元素中存在相同元素时，不同元素之间的排列方式是不同的，需要考虑重复排列的问题。

5. 标志多项式：指数为n的标志多项式的系数表示从n个元素中选取k个元素排列的方法数，用符号P(n,k)表示。

三、排列组合的常见问题类型1. 从给定元素中选取特定元素进行排列与组合的问题。

例：从10个人中选取3个人进行排队的方式有多少种？解：根据排列数的计算公式，A(10,3) = 10!/(10-3)! = 10*9*8 = 720种方式。

2. 简化条件下的排列与组合问题。

例：3个不同的小球放入2个不同的盒子，每个盒子至少放1个小球，共有多少种放法？解：根据组合数的计算公式，C(3,1) = 3!/(3-1)!1! = 3种方式。

高二数学排列、排列数公式人教版知识精讲

高二数学排列、排列数公式人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：排列、排列数公式二. 重点、难点：重点：1. 排列的概念、排列数公式2. 排列的应用难点：有附加条件的排列数的计算，排列应用问题等是这部分内容的难点。

【典型例题】例1. 一排有8个座位3个人去坐，若每个人左右均有空位，有多少种坐法？分析：转化为3个人插5个空的模型：每个人都拿着一把椅子，先排其余的5个椅子（一种排法），它们之间产生4个空档，再把手拿椅子的3个人排到这4个空档中，共有A 43＝24种。

例2. 把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按从小到大的顺序排列，构成一个数列。

（1）43251是这个数列的第几项？（2）这个数列的第96项是多少？（3）求这个数列的各项和。

解：（1）本题实际上是求不大于43251的五位数有多少个的问题，逆向考虑，将大于它的数分成如下三种情况。

答：43251是此数列的第88项。

（2）用排除法逆向分析，此数列共有120项，第96项以后还有120－96＝24项，即比第96项所表示的五位数大的五位数有24个，而以5打头的五位数恰好有A 44＝24（个），所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项，即为45321.答：这个数列的第96项是45321.（2）实际上是求所组成的五位数的和，因为1、2、3、4、5各在万位上时都有44P 个五位数，所以在万位上的和为10000)54321(44⋅++++P 。

同理，它们在千位、百位、十位、个位上也都有44P 个五位数，所以其和为)1000100101()54321(44+++⋅++++P 。

∴综上可知，这个数列的和为：答：这个数列的各项和为3999960。

说明：本题中的逆向思维的分析方法是解决问题的重要方法，当从正面解决问题比较困难时，可以考虑从它的反面入手，问题往往就可以迎刃而解。

例3. 一场晚会有5个唱歌和3个舞蹈共8个节目，问按下列要求各可排出多少种不同的节目单？（1）前4个节目中即要有唱歌又要有舞蹈；（4）3个舞蹈节目的先后顺序一定。

数字的排列组合

数字的排列组合数字的排列组合是数学中非常重要的一个概念。

在许多领域中，排列组合都扮演着重要的角色，例如概率论、统计学、密码学等。

通过对数字的排列和组合，我们可以得到更多的可能性和变化。

一、排列排列是指对给定的元素按照一定的顺序进行组合。

在排列中，元素之间的顺序是重要的。

对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行排列的方式有P(n, k)种，其中P表示排列数。

排列数的计算公式如下：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。

而k!表示k的阶乘。

二、组合组合是指对给定的元素进行选择但无需考虑元素之间的顺序。

在组合中，元素之间的顺序是无关紧要的。

对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行组合的方式有C(n, k)种，其中C表示组合数。

组合数的计算公式如下：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)三、应用案例1. 抽奖活动假设有10个人参加抽奖活动，其中只有3个奖品可供选择。

那么计算中奖的可能性就是一个排列问题。

根据排列数的计算公式，可以得知这个活动中中奖的可能性为P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 720种。

2. 密码破解在密码学中，如果一个密码由n个字符组成，每个字符有k种选择，则密码的可能性为k的n次方。

例如，一个有6位数字组成的密码，而每一位数字有10种选择（0-9），那么密码的可能性就是10的6次方，即1000000种。

这个例子中，我们考虑的是排列问题。

3. 组合投资假设你有1000元的资金可以用于投资，那么你可以选择将资金分配到不同的投资项目上。

假设有5个投资项目可供选择，而你最多只能选择3个项目进行投资。

这个例子中，我们考虑的是组合问题。

根据组合数的计算公式，可以得知你有C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种不同的组合方式。

总结：数字的排列组合在数学中具有重要的意义，它们在实际生活中有着广泛的应用。

高中数学排列组合问题的几种基本方法

2015/10/4 20
• 练习：有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数．（1）分为两组，一组7人，一组5人；（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；（3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；（4）分为甲、乙两组，每组6人；（5）分为两组，每组6人；（6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；（8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；（9）分为甲、乙、丙三组，每组4人；（10）分为三组，每组4人．
2015/10/4
解: 如图所示
4 7 A4 A7
→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7
8
4. 隔板法： n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例4. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种. 解：问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 将16个小球串成一串，截为4段有 C15 455 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有455种 .
例6. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条. 解：所有这样的直线共有
A 210 条， 1 2 其中不过原点的直线有 A6 A6 180 条，
3 7
15
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.

高二数学知识点详解：排列组合公式

高二数学知识点详解：排列组合公式这篇高二数学知识点详解：排列组合公式是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助!排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.排列把5本书分给3个人，有几种分法组合1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m-07-0813：30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

排列组合和排列组合计算公式

排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

排列组合和排列组合计算公式

排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

高中数学-排列组合13种方法精讲

排列组合1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

3、排列及排列数：（1）排列：排列数：从n个不同元素中取出m个（m≤n）个元素的所有排列的个数，（2）排列数公式()()1.nnA mn=m-⋅⋅⋅-1+n全排列：4、组合及组合数：（1）组合：组合数：（2）\计算公式：.5、组合数的性质：1、捆绑与插空法：例1．8位同学排成一队，问：⑴甲乙必须相邻，有多少种排法？⑵甲乙不相邻，有多少种排法？⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种排法？⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，有多少种排法？⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，有多少种排法？例2．某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?例3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）2、定序问题缩倍法：例1．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。

现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）例2．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A,B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种例3．从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?3、标号排位问题分步法：例1．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种例2．将标有1, 2,… 10的10个小球投入同样标有1, 2,… 10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?4、有序分配问题逐分法：例1．有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）种A. 1260B. 2025C. 2520D. 5040例2．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）种A 、4448412C C C B 、44484123C C C C 、3348412A C C D 、334448412A C C C例3．有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？（1）平均分给甲、乙、丙三人；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本.5、隔板法：例1．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？例2．求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数例3．将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于盒子的编号数,则不同的装法共有多少种?6、多元问题分类法：例1．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A. 210个B. 300个C. 464个D. 600个例2．（1）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（2）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）共有多少种？7、至少问题间接法：例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种A. 140B. 80C. 70D. 35例2．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。

排列与排列数公式

排列与排列数公式1排列(1) 一般地，从n个不同元素中取出叫作n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”.因此，排列要完成的“一件事”是“取出m个元素，再按顺序排列”，“一定的顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排列.2 •排列数及排列数公式排列数是指“从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数”，即排列共有多少种形式，它是一个数•因此，A只代表排列数，而不表示具体的排列.Q判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) a, b, c与b, a, c是同一个排列.()(2) 同一个排列中，同一个元素不能重复出现. ()(3) 在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.⑷从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列. ()答案：⑴X (2) V (3) X (4) X@下面问题中，是排列问题的是()A. 由1 , 2, 3, 4四个数字组成无重复数字的四位数B. 从60人中选11人组成足球队C. 从100人中选2人抽样调查D. 从1 , 2, 3, 4, 5中选2个数组成集合答案：A翔A2=_________, A= ___________ .答案：12 60 若A1'O= 10X 9X …X 5,贝V m= _______ .答案：6探究点1排列的概念冽I判断下列问题是否是排列问题，并说明理由.(1) 从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A,另名同学参加活动B;⑵从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；(3) 从所有互质的三位数中选出两个数求其和；(4) 从所有互质的三位数中选出两个数求其商；(5) 高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上.【解】(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中.(2) 不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分.(3) 不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求.(4) 是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列.(5) 是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生.判断一个具体问题是否为排列问题的方法〔礎换元平的位町眾辟恥誹1.从1 , 2, 3, 4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题 ()A. 1 C. 3解析：选B.因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题•而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题. 2.判断下列问题是否是排列问题：(1) 从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2) 从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？⑶ 某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题.⑶ 因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题.综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题. 探究点2排列的列举问题蹈-四个人A , B , C, D 坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来.【解】先安排A 有4种坐法，安排B 有3种坐法，安排C 有2种坐法，安排D 有1种坐法, 由分步乘法计数原理，有 4X 3X 2X 1= 24种. 画出树形图：B. 2 D. 4./JRD-4BH £|由“树形图”可知，所有坐法为 ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACp BAD© BCADBCDA BDAC BDC A CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DACB DABC DBAC DBC , DCAB DCBA1. ［变条件］若本例条件再增加一条“ A 不坐排头”，则结论如何? 解：画出树形图:由“树形图”可知，所有坐法为 BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDC A CABD CADB CBADCBDA CDAB CDBA DACB DABC DBAC DBCA DCAB DCB ，共 18 种坐法.2. ［变条件］若在本例条件中再增加一条“ A, B 不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：A ■ a严-AR yA-C-fi-€ {8-C-A由“树形图”可知，所有坐法为 ACBD ACDB ADBC ADCB BCAD BCD , BDAC BDCA CADBCBDA DACB DBCA 共 12 种.利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1) 适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.(2) 策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列.毁睐调悚某药品研究所研制了 5种消炎药a 1, a 2, a 3, a 4, a s , 4种退热药b, H, k, b 4,现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a 1, a 2两种药或同时用或同时不用，a 3, b 4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法. 解：如图,H-1) D-B &-C 叭 C aa i a2b , a i a 2b 2, a i a a b 3, aa 2b 4, a 3a 4b i , a 3a 4b 2, a 3a 4b 3.a 3a 5b i , a 3a s b 2, a s a s th , a 4a 5b i , a 4a s b 2, a 4a 5b , a 4a s b 4, 共 14 种.探究点3排列数的计算或证明 ⑵ 求证：i -A m = nAT 1.2X 8X 7X 6X 5X 4+ 7X 8X 7X 6X5 8X 7X 6X 5X 4X 3X 2X 1- 9X 8X 7X 6X5 8X 7X 6X 5X( 8+ 7) =8X 7X 6X 5X( 24- 9)⑵法一：因为A +1-A 1(n + 1)! n ! =(n + 1 — m !(n — m !n ! m (n - m ) ! n + 1 — mm m m-1所以 A +1 一 A = m A n .法二：A +1表示从n + 1个元素中取出 m 个元素的排列个数，其中不含元素a 1的有A 个.含有a 1的可这样进行排列: 先排a 1，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出 m-1个元素排在剩下的 m- 1个位置上，有故 A m +1 = me 1+A m ,m-1mm所以 m A n = A n +1 一 A n .排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有由树形图可写出所有不同试验方法如下:侧巨(1)计算2A 5 + 7A 4 A 8^A 5【解】2A 5 + 7A 4⑴-AT A Tn ! (n- n ) ! n +1 n +7-n -1)n !(n+ 1 - m ! m- 1=m\n,3.5!关的论证时，一般用阶乘式.1.A 倉=9X 10X 11X 12,贝U mt=()A. 3解析：选D.因为A = J n !，川 An —!= n ，[n - 1—( n — 1) ] !所以 A n = A • A n — 1.1. 4X 5X 6X-X (n — 1) X n 等于() A. A - B. AT 4 C. n !— 4!D. AT 3解析：选D.4 X 5 X 6X — X (n — 1) X n 中共有n — 4+ 1 = n — 3个因式，最大数为 n ,最小数为4,故 4X 5X 6X -X ( n — 1) X n = A -— 3.2•从1, 2, 3, 4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有 ()A. 9 个B. 12 个D. 18 个解析：选B.用树形图表示为:由此可知共有12个.B. 4C. 5D. 6解析：选B.等式A 2= 9X 10X 11 X 12的右边是4个连续自然数的乘积，且最大数为12, 故n = 4.2.下列各式中与排列数 A 相等的是()n ! A ，( n —C. - AT 1 n — nr^ 1B. n ( n — 1)( n — 2) •••( n — n )D. A 1 • AZ 1(n — 1)! =n ・(n— 1)!n !(n — n ) !(n — n ) !'C. 15 个1答案：54.从0, 1 , 2, 3这四个数字中，每次取出 3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于 200的所有三位数.解：大于200的三位数的首位是 2或3,于是大于200的三位数有：201 , 203, 210, 213, 230, 231, 301, 302, 310, 312, 320, 321.深化拓展1.判断一个冋题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关•这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题.2•排列数两个公式的选取技巧(1) 排列数的第一个公式 A m = n (n — 1)( n —2)…(n —耐1)适用m 已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式•在运用时要注意它的特点，从 n 起连续写出 m 个数的乘积即可.(2) 排列数的第二个公式 A m =——n ［——用于与排列数有关的(n — m ! 证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件" n 、m€N*, n ”的运用.［易错提醒］公式中的n, m 应该满足n , N*, n ,当m >n时不成立.［A 基础达标］1•已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②4X 3X2 5X 4X 3X 2X11 5.知识结构1[ •HF 列霰I1H[ _JT解析:从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a, b, c, d中选出3个字母；④从1, 2, 3, 4, 5这五个数字中取出 2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有（）A. 1个 C. 3个解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题.故不等式A ；—1— n v 7的解集为{3 , 4}. 2A 12+ A 126・ *5 *5.A13 — A 12 2X 12X 11 X 10X 9+ 12X 11 X 10X 9X8 13X 12X 11 X 10X 9— 12X 11 X 10X 9X8B. D.2. 计算 A7-乞()A 4A. 12B. 24C. 30D. 36解析：选 A 6— A 7X 6X 5X 4X 3X 2 — 6X 5X 4X3X2 D.A I 5X 4X 3X2 7X 6- 6= 36.3.若a €N ，且 a <27，则(27 — a )(28 — a )…(34 — a )等于()A. A 27— a B . A 34—aC. A 34— aD. A?4— a解析：选 D.从 27 — a 至U 34 — a 共有 34 — a — (27 — a ) + 1= 8 个数.所以(27 — a )(28 —a )…(34 — a ) = A 34— «.4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为 A. 6 C. 8解析：选B.列树形图如下：丙甲一乙乙一甲乙甲一丙丙一甲，共 5. 不等式A -1 — n v 7的解集为（） A. { n | — 1v n v 5} C. {3 , 4}2解析：选C.由不等式A n — 1 — n v 7, 得（n — 1）（ n — 2） — n v 7, 整理得 n 2— 4n — 5 v 0, 解得—1 v n v 5.又因为n — 1 >2且n €N , 即 n >3 且 n €N *,B. 4 D. 104种.B. {1 , 2, 3, 4} D {4}解析：原式=2+ 813 - 8答案：27•从a, b, c, d, e五个元素中每次取出三个元素，可组成个以b为首的不同的排列, 它们分别是__________________________________________________________________解析：画出树形图如下:可知共12 个，它们分另U是bac，bad, bae，bca, bed，bee，bda，bdc，bde，bea，bee，bed.答案：12 bac, bad, bae, bca, bcd, bce, bda, bdc, bde, bea, bec, bed&若集合P= {x|x= A41, m€ N}，则集合P中共有 ____________ 个元素.解析：因为x = A T,所以有m€N*且me4,所以P中的元素为A4 = 4, A4= 12, A4=A4= 24,即集合P中有3个元素.答案：39. 判断下列问题是否是排列问题：(1) 某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2) 从2, 3, 5, 7 9中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少个不同对数值？⑶从集合M {1 , 2,…，9}中，任取相异的两个元素作为a, b,可以得到多少个焦点在x2 2轴上的椭圆方程％+書=1?a b解：(1)是.选出的2人担任正、副班长，与顺序有关，所以该问题是排列问题.(2)是.显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关.⑶不是.焦点在x轴上的椭圆，方程中的a、b必有a> b,即取出的两个数谁是a,谁是b 是确定的.10. 甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙.若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图,同样甲第一次发球给丙，也有 5种情况.由分类加法计数原理，共有 5 + 5 = 10种不同传球方法.[B 能力提升]11. 若S = A 1 + A + A + A 4 +…+ Aw°，贝y S 的个位数字是() A. 8 B. 5 C. 3D. 0解析：选C.因为当n 》5时，A ：的个位数字是0,故S 的个位数取决于前四个排列数. 又A 1 +A 2 + A 3+ A 4= 33，故选 C.2312. A+1与A 的大小关系是() A. A n +1 > A n B. A n +1< A nC. A 2+1 = A ：D.大小关系不定解析：选 D.由题意知 n 》3, A ：+1-A ：= ( n + 1)n — n (n — 1)( n — 2) =- n (n 2—4n +1)，当 n = 3 时，1 — A n = 6> 0，得 1> A：,当n 》4 时，A +1 — A < 0,得 A +1 < A n ，即A^+1 与A：的大小关系不定.故选D. 13. 解下列方程或不等式. (1)3A X = 2A X +1+ 6A X ;⑵ A 9> 6A 9—2.解：(1)由排列数公式，得：3x (x — 1)( x — 2) = 2 (x + 1) x + 6x (x — 1)，①x > 3, x € N*.②由①，得 3x — 17x + 10= 0, 2 解得x = 5或x = 3,结合②可知x =5是所求方程的根. (2)原不等式可化为：9! 6X 9! ① (9 — x )! > (9 — x + 2)!'①----- 丙乙乙丙丙二\匕丙甲乙2< x w9, x € N.②①式等价于(11 —x)(10 —x) > 6,2即x —21x+ 104> 0,即(X —8)( x —13) >0,所以X V 8或x > 13. 结合②得2V x v 8, x € N ,所以所求不等式的解集为 {3， 4， 5， 6， 7}． 14.（选做题）一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知 m > 1,客运车票增加了 62 种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解：由题意可知，原有车票的种数是 A 种，现有车票的种数是 A 2+ m #,所以盘+ m - A ^= 62, 即(n + m ( n + m- 1) — n (n — 1) = 62, 所以 rr(2 n + m- 1) = 62 = 2X 31, 因为 m v 2n + m- 1,且 n 》2, m n € N ,解得 m = 2, n = 15,故原有 15个车站,现有 17 个车站.所以m = 2,2n +m - 1= 31,。

高中排列与组合知识点整理

高中排列与组合知识点整理亲爱的朋友：进入高二，相信你已接触排列与组合了，作为高中的重点，一直也是个难点！近几年来，高考一直未涉及这方面的题，尤其09高考山东一个没考，但几乎所有的老师都预测10年高考一定考，而百科中又很少啊！下面我就细讲一下，希望觉得好就顶一下啊！嘻嘻！1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).[编辑本段]原理及应用两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同如果你还有点疑惑！我就讲点例题（很经典的）[例题分析]排列组合思维方法选讲1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。

高二数学公式总结5篇

高二数学公式总结5篇第一篇：高中数学公式总结数学是一门高科技的学科，数学公式是数学运用最为基础的部分。

在高中阶段，每位学生都会接触到各种各样的数学公式，下面就为大家总结一下高中数学公式的分类及其应用。

1.代数公式：代表式计算相关的公式。

如：（1）平方差公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$应用：用于求解两个数之和的平方。

（2）因式分解公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$应用：用于解决二次差、立方和等问题。

（3）二次根式公式：$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a -\sqrt{a}}{2}}$应用：用于解决开方问题。

2.几何公式：与几何相关的公式。

如：（1）勾股定理：$a^2+b^2=c^2$应用：用于解决直角三角形及其他与直角三角形有关的问题。

（2）海伦公式：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$应用：用于解决三角形面积的问题。

（3）圆周长公式：$C=2\pi r$应用：用于解决圆相关的问题。

3.微积分公式：与微积分相关的公式。

如：（1）导数公式：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$应用：用于求解函数的导数。

（2）积分公式：$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$应用：用于求解函数的积分。

（3）牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$应用：用于求解函数的积分。

以上就是高中数学常用公式的分类及其应用，公式看似干燥，但实际上很重要，是数学研究和应用的基础。

第二篇：高中数学几何公式总结几何学是高中数学的一部分，其核心在于分析和描绘物体的形状、大小和位置。

因此，在几何学中会出现许多公式用以计算三角形、四边形和圆形等图形的面积、体积等相关参数。

沪教版高二排列组合知识点

沪教版高二排列组合知识点第一章排列组合基础知识排列组合是数学中重要的基础概念，它们在不同领域的问题中都有广泛的应用。

在本章中，我们将介绍排列和组合的概念以及相关的性质和应用。

一、排列的概念排列是从若干个不同的元素中按照一定的顺序选出若干个元素构成一种序列。

给定n个元素集合，当从中任选k个元素按照顺序排列时，我们称之为从n个元素中取k个元素进行排列，记作A(n,k)或P(n,k)。

二、排列的计算公式1. 不重复元素的全排列若从n个不同元素中取出n个元素进行排列，共有n!种不同的排列方式。

2. 不重复元素的k排列若从n个不同元素中取出k个元素进行排列，共有A(n,k) =n!/(n-k)!种不同的排列方式。

三、组合的概念组合是从n个不同的元素中任选k个元素无序地构成一种组合。

给定n个元素集合，当从中任选k个元素进行组合时，我们称之为从n个元素中取k个元素进行组合，记作C(n,k)。

四、组合的计算公式1. 不重复元素的k组合若从n个不同元素中取出k个元素进行组合，共有C(n,k) =n!/[(n-k)!k!]种不同的组合方式。

2. 组合数性质组合数C(n,k)具有对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。

第二章应用题解析排列组合作为数学中的重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。

在这一章中，我们将结合实例，对排列组合的应用进行解析。

一、排队问题排队问题是排列组合中的经典应用之一。

在排队问题中，我们需要考虑不同元素的排列顺序以及不同元素的组合方式。

例如，有5位学生参加比赛，他们的成绩按照从高到低的顺序排列。

现在要选出3位获奖学生，问有多少种不同的选法？解：根据排列的计算公式，可以得出获奖学生的选法有A(5,3) = 5!/(5-3)! = 60种不同的方式。

二、分组问题分组问题是组合的经典应用之一。

在分组问题中，我们需要考虑不同元素的组合方式，而不用考虑其排列顺序。

例如，某班有8位学生，要从中选出4位参加数学竞赛，问有多少种不同的选法？解：根据组合的计算公式，可以得出参加数学竞赛的学生选法有C(8,4) = 8!/[(8-4)!4!] = 70种不同的方式。

高二数学知识点总结：排列组合公式

高二数学知识点总结：排列组合公式排列组合公式/排列组合计算公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r举例：Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数?A1：123和213是两个不同的排列数。

排列组合和排列组合计算公式

排列组合公式/排列组合计算公式排列P-—---—和顺序有关组合C -——-—-—不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法。

”排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m）表示.p(n，m)=n(n—1)(n-2）……（n—m+1）= n!/（n—m)！（规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示。

c(n，m）=p（n,m)/m!=n!/((n—m)！＊m！）;c（n，m)=c（n,n-m); 3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n，r)/r=n！/r(n—r)!。

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,。

..nk这n个元素的全排列数为n！/(n1！*n2!＊.。

＊nk！).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c（m+k-1，m)。

排列（Pnm（n为下标，m为上标））Pnm=n×(n-1）..。

.（n—m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：!是阶乘符号)；Pnn（两个n分别为上标和下标) =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标)=n组合（Cnm(n为下标,m为上标））Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n！/m！（n-m）！;Cnn（两个n分别为上标和下标) =1 ；Cn1（n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn—m 2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。