江苏省如皋中学2015届高三上学期12月阶段练习数学(文)试题
2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三(上)期初数学试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）期初数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U =R ，集合A ={x|−3<x <1}，B ={x|0≤x ≤2}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. (−3,0)B. (−1,0)C. (0,1)D. (2,3)2.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )A. 63π B. 2 63π C. 4 63π D. 8 63π3.顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )A. x 2=±3yB. y 2=±6xC. x 2=±12yD. x 2=±6y4.方程log 3x =log 6x ⋅log 9x 的实数解有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.已知直线x−4y +9=0与椭圆x 216+y 2b 2=1(0<b <4)相交于A ，B 两点，椭圆的两个焦点是F 1，F 2，线段AB 的中点为C(−1,2)，则△CF 1F 2的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2 3D. 4 36.已知圆C 的方程为x 2+(y−2)2=a ，则“a >2”是“函数y =|x|的图象与圆C 有四个公共点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是双曲线C 右支上一点，直线F 1M 交双曲线C 的左支于N 点.若|F 1N|=2，|F 2M|=3，|MN|=4，且△MF 1F 2的外接圆交双曲线C 的一条渐近线于点P(x 0,y 0)，则|y 0|的值为( )A. 3B. 3 22C. 3 52D. 38.F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2作直线交椭圆于A ，B 两点，已知AF 1⊥BF 1，∠ABF 1=30°，则椭圆的离心率为( )A. 6− 22 B. 6− 32 C. 6− 2 D. 6− 3二、多选题：本题共3小题，共18分。
江苏省如皋市高三数学上学期教学质量调研试题(四)(扫描版)
江苏省如皋市2015届高三数学上学期教学质量调研试题（四）（扫描版）2014—2015学年度如皋市高三教学质量调研（四）参考答案(理科)20150108π5.必要不充分 6. 24ππ- 7. 0 8.49.()2f π-10. ① ③④12. 7 13. 394 14. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15解(1)(1tan ,1tan ),AB x x =+-(sin(x ),sin())44AC x ππ=-+, (1tan )sin()(1tan )sin()44AB AC x x x x ππ∴⋅=+⋅-+-⋅+=sin sin (1cos )(1cos )cos cos x x x x x x x x +-+-+ =0 (4)∴AB AC ⊥∴BAC ∠为直角 (6)(2)]4,4[ππ-∈x ,∴[]tan 1,1x ∈- (8)22222(1tan )(1tan )sin ()sin (x )44BC x x x ππ=++-+-++232tan x =+ (12)BC ∈ (14)16解：（1）AB ⊥平面BCD ，AB ⊂面ABC ,∴面ABC ⊥面BCD ,…………………………2 △BCD 是正三角形，E 为BC 的中点，DE BC ⊥, DE ⊂面BDC ,面BDC ⋂面ABC BC =DE ∴⊥面ABC ,……………………………………………………………………………………… (4)AC ⊂面ABCAC DE ∴⊥………………………………………………………………………………………… (5)在Rt ABC 中，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上， 且AF ＝3FC ，计算得AC EF ⊥ 由DE EF E ⋂= AC ⊥平面DEF (7)(2)取BE 中点G ,21CF FN =, 则在BDE 中，,MG DE MG ⊄面DEF ,DE ⊂面DEF MG ∴面DEF , (9)同理在G C中，可证得GN 面DEF ,MG GN G ⋂=, (11)∴面MGN 面DEF ,MN ⊂面MGNMN ∥平面DEF…………………………………………………………………………………………………………………………14 17解：（1）由题意以线段AB 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立直角坐标系，则椭圆方程为2214y x +=， (2)设(,)D x y ，则2,DE x OH y ==，由于(,)D x y 在椭圆上，代入椭圆方程得224DE OH +=……………………………………………………………………………………… (4)(2)由（1）问可知梯形ABDE 的面积(1)S x y =+⋅，已知2214y x +=，令cos ,(0,)2sin 2x y απαα=⎧∈⎨=⎩，则2(1cos )sin S αα=+⋅， (7)令()sin cos sin f αααα=⋅+2'()2cos cos 1f ααα=+-=0，1cos 2α=，则πα=， (9) (12)由表格可知，梯形ABDE 的面积的最大值为18解：（1）设动圆C 的半径为r ，动圆在圆1C 内部且与圆1C 相内切，13,CC r =-与圆2C 相外切，21C C r=+，…………………………………………………………………………………………………………2 则124CC CC +=,…………………………………………………………………………………………………………………..4 由椭圆的定义可知，动圆C的轨迹方程为221,(2)43x y x +=≠-………………………………………6 （2）设直线:DE y kx b =+，由22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2234k x ++， (9)122k k ⋅=，12122(2)(2)y y x x ⋅=++，122212283441234kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，()2212122(4)()80kx x kb x x b -+-⋅++-=，22544320b k kb +-=， (12)则(2)(522)0b k b k -⋅-=,2(b k ∴=舍）225b k =，……………………………………………………….14 此时直线DE 过定点（22,0)5- (16)19解：（1）首先定义域为(0,)+∞,当2a =-时，2()24ln f x x x x =-++，'42(1)(2)()22x x f x x x x-+-=-++= 故(0,2)x ∈递增，故(2,)x ∈+∞递减，所以max ()4ln 2f x = (4)（2）2'22(2)()2a ax x a f x ax x x-++-=++=…………………………………………………… (6)○1 当0a =时，2'()20f x x=+>……………………………………………………7 ○22'22(2)(1)(2)()2a ax x a x ax a f x ax x x x-++-++-=++==令'()0,f x =1221,a x x a-=-=，只要20a a -≤即可………………………………9 综上：[]0,2a ∈ (10)（3）首先求出切线方程：422ay x =+-，………………………………………………………………………11 与()y f x =联立，消去y 得出：212(2)ln 2022aax x a x -+-+-=记：21()22ag x ax x a x =-+-+-………………………………………………………….122'222(1)(2)()2a ax x a x ax a g x ax x x x--+---+=-+==首先，(1)0g =，定义域为(0,)+∞,当2a ≥时，(0,1)x ∈递减，(1,)x ∈+∞递增，故也成立, 当01a <<时，(0,1)x ∈递增，2(1,)a x a-∈递减，2(,)ax a -∈+∞递增， 而4()0g a>故有两个交点，所以不成立当1a =时，(0,)x ∈+∞递增，故成立,当12a <<时，2(0,)a x a -∈递增，2(,1)ax a-∈递减，(1,)x ∈+∞递增， 而当22ax e-<时()0g x <，故有两个交点，所以不成立,综上：{}[)12,a ∈⋃+∞.……………………………………………………………………………………………16 20解：（1）,2nn nS T n N S =∈*-，令1n =，求得11a =，……………………………2 21n nT b =-，1121n n T b ++=-，11111n n n n n T T a b b +++∴-==-，………………………………………..4 22112520n n n n b b b b ++∴-⋅+=，又因为2n n b S =-，{}n a 是各项均为正数的数列，数列{}n S 单调递增，则数列{}n b 单调递减，112n n b b +∴=，…………………………………………6 又1111,2n n b b -⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭ (8)（2）数列{}n c 满足()1212nn n n nc c b ++-⋅==，当2122121,2k K K n k C C --=--=，当22122,2kK K n k C C+=+=，当21222121,2k K k n k C C +++=+-=，…………………………10 由此可得22121212212222222k k k k k k k k C C C C --+++⎧+=-⎨+=+⎩，………………………………………………………14 4123456784342414()()()n n n n n M C C C C C C C C C C C C ---∴=++++++++++++414(21)15n -=………………………………………………………………………………… (16)附加题答案1. 解：（1）X=0，8(0)27P X ==，X=1，12(1)27P X ==，X=2，6(2)27P X == X=3，1(3)27P X ==，…………………………………………………3分 X 的数学期望为1…………………………………………………6分（2）密码被译出的概率是1927………………………………………………10分 2.（1）515(2)r r r r T C x -+=-，…………………………………………………2分令4r =，求得()f x 展开式中含x 的系数为80，…………………………4分（2）令00,32x a ==-；……………………………7分012345243a a a a a a +++++=.……………………………10分3.解：(1) 由条件易得：圆心M 的轨迹方程为x y 82=……………………………3分(2) 由条件可设直线方程为m y x +-=，则由⎩⎨⎧+-==my x x y 82消去x 得：0882=-+m y y 所以若设),8(),,8(222121y y B y y A ，则有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+->⇒>+=∆m y y y y m m 882032642121……………6分 ∴4816)4(82841211211+=--=--=y y y y y K PA ，同理482+=y K PB ………………………8分 ∴0)4)(4()8(84848212121=++++=+++=+y y y y y y K K PB PA (128y y +=-)∴直线PB PA ,的倾斜角互补，即直线PB PA ,与x 轴总围成等腰三角形．……………10分4.解：(1) 过点B 作AC BE ⊥交AC 于点E ，ABCD AC D 平面平面⊥1，AC ABCD AC D =⋂平面平面1，ABCD BE 平面⊂，AC D BE 1平面⊥∴，AC D H D 11平面⊂ ，H D BH 1⊥∴，又B BO BH BO H D =⋂⊥,1 ，ABCD H D 平面⊥∴1，ABCD AC 平面⊂ ，AC H D ⊥∴1，……………………2分 点H 满足CH HA λ=，∴点H 在AC 上．……………………………………………3分 ∴在直角AC D 1∆中，若设a C D a AD 2,11==，则a AC 5=，∴由等面积法知AC C D AD H D 111⋅=55252a aa a =⋅=，∴55454422a a a CH =-=，∴55a CH AC AH =-=，∴4=λ．………………………………………………5分(2)10分。
江苏省如皋市高三数学上学期教学质量调研试题(四)(扫描版)
江苏省如皋市2015届高三数学上学期教学质量调研试题（四）（扫描版）2014—2015学年度如皋市高三教学质量调研（四）参考答案(理科)20150108π5.必要不充分 6. 24ππ- 7. 0 8.49.()2f π-10. ① ③④12. 7 13. 394 14. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15解(1)(1tan ,1tan ),AB x x =+-(sin(x ),sin())44AC x ππ=-+, (1tan )sin()(1tan )sin()44AB AC x x x x ππ∴⋅=+⋅-+-⋅+=sin sin (1cos )(1cos )cos cos x x x x x x x x +-+-+ =0 (4)∴AB AC ⊥∴BAC ∠为直角 (6)(2)]4,4[ππ-∈x ,∴[]tan 1,1x ∈- (8)22222(1tan )(1tan )sin ()sin (x )44BC x x x ππ=++-+-++232tan x =+ (12)BC ∈ (14)16解：（1）AB ⊥平面BCD ，AB ⊂面ABC ,∴面ABC ⊥面BCD ,…………………………2 △BCD 是正三角形，E 为BC 的中点，DE BC ⊥, DE ⊂面BDC ,面BDC ⋂面ABC BC =DE ∴⊥面ABC ,……………………………………………………………………………………… (4)AC ⊂面ABCAC DE ∴⊥………………………………………………………………………………………… (5)在Rt ABC 中，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上， 且AF ＝3FC ，计算得AC EF ⊥ 由DE EF E ⋂= AC ⊥平面DEF (7)(2)取BE 中点G ,21CF FN =, 则在BDE 中，,MG DE MG ⊄面DEF ,DE ⊂面DEF MG ∴面DEF , (9)同理在G C中，可证得GN 面DEF ,MG GN G ⋂=, (11)∴面MGN 面DEF ,MN ⊂面MGNMN ∥平面DEF…………………………………………………………………………………………………………………………14 17解：（1）由题意以线段AB 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立直角坐标系，则椭圆方程为2214y x +=， (2)设(,)D x y ，则2,DE x OH y ==，由于(,)D x y 在椭圆上，代入椭圆方程得224DE OH +=……………………………………………………………………………………… (4)(2)由（1）问可知梯形ABDE 的面积(1)S x y =+⋅，已知2214y x +=，令cos ,(0,)2sin 2x y απαα=⎧∈⎨=⎩，则2(1cos )sin S αα=+⋅， (7)令()sin cos sin f αααα=⋅+2'()2cos cos 1f ααα=+-=0，1cos 2α=，则πα=， (9) (12)由表格可知，梯形ABDE 的面积的最大值为18解：（1）设动圆C 的半径为r ，动圆在圆1C 内部且与圆1C 相内切，13,CC r =-与圆2C 相外切，21C C r=+，…………………………………………………………………………………………………………2 则124CC CC +=,…………………………………………………………………………………………………………………..4 由椭圆的定义可知，动圆C的轨迹方程为221,(2)43x y x +=≠-………………………………………6 （2）设直线:DE y kx b =+，由22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2234k x ++， (9)122k k ⋅=，12122(2)(2)y y x x ⋅=++，122212283441234kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，()2212122(4)()80kx x kb x x b -+-⋅++-=，22544320b k kb +-=， (12)则(2)(522)0b k b k -⋅-=,2(b k ∴=舍）225b k =，……………………………………………………….14 此时直线DE 过定点（22,0)5- (16)19解：（1）首先定义域为(0,)+∞,当2a =-时，2()24ln f x x x x =-++，'42(1)(2)()22x x f x x x x-+-=-++= 故(0,2)x ∈递增，故(2,)x ∈+∞递减，所以max ()4ln 2f x = (4)（2）2'22(2)()2a ax x a f x ax x x-++-=++=…………………………………………………… (6)○1 当0a =时，2'()20f x x=+>……………………………………………………7 ○22'22(2)(1)(2)()2a ax x a x ax a f x ax x x x-++-++-=++==令'()0,f x =1221,a x x a-=-=，只要20a a -≤即可………………………………9 综上：[]0,2a ∈ (10)（3）首先求出切线方程：422ay x =+-，………………………………………………………………………11 与()y f x =联立，消去y 得出：212(2)ln 2022aax x a x -+-+-=记：21()22ag x ax x a x =-+-+-………………………………………………………….122'222(1)(2)()2a ax x a x ax a g x ax x x x--+---+=-+==首先，(1)0g =，定义域为(0,)+∞,当2a ≥时，(0,1)x ∈递减，(1,)x ∈+∞递增，故也成立, 当01a <<时，(0,1)x ∈递增，2(1,)a x a-∈递减，2(,)ax a -∈+∞递增， 而4()0g a>故有两个交点，所以不成立当1a =时，(0,)x ∈+∞递增，故成立,当12a <<时，2(0,)a x a -∈递增，2(,1)ax a-∈递减，(1,)x ∈+∞递增， 而当22ax e-<时()0g x <，故有两个交点，所以不成立,综上：{}[)12,a ∈⋃+∞.……………………………………………………………………………………………16 20解：（1）,2nn nS T n N S =∈*-，令1n =，求得11a =，……………………………2 21n nT b =-，1121n n T b ++=-，11111n n n n n T T a b b +++∴-==-，………………………………………..4 22112520n n n n b b b b ++∴-⋅+=，又因为2n n b S =-，{}n a 是各项均为正数的数列，数列{}n S 单调递增，则数列{}n b 单调递减，112n n b b +∴=，…………………………………………6 又1111,2n n b b -⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭ (8)（2）数列{}n c 满足()1212nn n n nc c b ++-⋅==，当2122121,2k K K n k C C --=--=，当22122,2kK K n k C C+=+=，当21222121,2k K k n k C C +++=+-=，…………………………10 由此可得22121212212222222k k k k k k k k C C C C --+++⎧+=-⎨+=+⎩，………………………………………………………14 4123456784342414()()()n n n n n M C C C C C C C C C C C C ---∴=++++++++++++414(21)15n -=………………………………………………………………………………… (16)附加题答案1. 解：（1）X=0，8(0)27P X ==，X=1，12(1)27P X ==，X=2，6(2)27P X == X=3，1(3)27P X ==，…………………………………………………3分 X 的数学期望为1…………………………………………………6分（2）密码被译出的概率是1927………………………………………………10分 2.（1）515(2)r r r r T C x -+=-，…………………………………………………2分令4r =，求得()f x 展开式中含x 的系数为80，…………………………4分（2）令00,32x a ==-；……………………………7分012345243a a a a a a +++++=.……………………………10分3.解：(1) 由条件易得：圆心M 的轨迹方程为x y 82=……………………………3分(2) 由条件可设直线方程为m y x +-=，则由⎩⎨⎧+-==my x x y 82消去x 得：0882=-+m y y 所以若设),8(),,8(222121y y B y y A ，则有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+->⇒>+=∆m y y y y m m 882032642121……………6分 ∴4816)4(82841211211+=--=--=y y y y y K PA ，同理482+=y K PB ………………………8分 ∴0)4)(4()8(84848212121=++++=+++=+y y y y y y K K PB PA (128y y +=-)∴直线PB PA ,的倾斜角互补，即直线PB PA ,与x 轴总围成等腰三角形．……………10分4.解：(1) 过点B 作AC BE ⊥交AC 于点E ，ABCD AC D 平面平面⊥1，AC ABCD AC D =⋂平面平面1，ABCD BE 平面⊂，AC D BE 1平面⊥∴，AC D H D 11平面⊂ ，H D BH 1⊥∴，又B BO BH BO H D =⋂⊥,1 ，ABCD H D 平面⊥∴1，ABCD AC 平面⊂ ，AC H D ⊥∴1，……………………2分 点H 满足CH HA λ=，∴点H 在AC 上．……………………………………………3分 ∴在直角AC D 1∆中，若设a C D a AD 2,11==，则a AC 5=，∴由等面积法知AC C D AD H D 111⋅=55252a aa a =⋅=，∴55454422a a a CH =-=，∴55a CH AC AH =-=，∴4=λ．………………………………………………5分(2)10分。
江苏省如皋中学2015届高三上学期教学质量调研(一)数学文试题 Word版含答案
如皋中学数学文科1、已知集合===+=m A B A m B m A 则,},,1{},1,3,1{ ___________2、已知)()(),1,1(),3,3(-⊥+-==λ若，则实数λ=___________3、已知圆锥母线长为3，侧面展开图的中心角为π32，则它的表面积是___________ 4、已知幂函数322--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞上是减函数，则整数a 的值是__________5、若命题“04,2<++∈∃m x x R x 使得”是假命题，则实数m 的取值范围为__________6、已知数列}{n a 为等差数列，且12741=++a a a ，则=7S __________7、若实数y x z x y x y x y y x +=⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-≥-≥2,1,1,22,则满足的最大值是__________8、已知函数)(),0)(6sin(2)(x f w wx x f 函数>+=π的图像与x 轴两个相邻交点的距离为π，则)(x f 的单调递增区间是__________9、曲线c mx x y ++=3在点P(1，n)处的切线方程为y=2x+1，其中m,n,c ∈R ，则m+n+c 的值为__________10、将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，则折起后形成的三棱锥D-ABC 的体积是__________11、已知)2(log )(4-=x x f ，若实数m,n 满足1)2()(=+n f m f ，则m+n 的最小值是__________12、已知OB OA OB OA 与,2||,4||==的夹角为120°，点P 为线段AB 上得一点，且=⋅=AB OP PA BP 则,3__________13、已知数列==∈+=++20141*1,3),(12}{a a N n n a a a n n n 则且满足：__________ 14、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当2224|3|||)(0a a x a x x f x --+-=>时，。
2015—2016学年第一学期如皋市高三年级期中联考 -数学试卷
2015—2016学年第一学期如皋市高三年级期中联考学科： 数学满分： 150分 考试时间： 120分钟一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知全集{}5,4,3,2,1,0=U ，集合{}5,3,1=A ，{}2,1=B ，则()Cu A B = （ ▲ ） A ．{}4 B ．{}0 C ．{}4,0 D ．{}5,3,2,12.已知55cos -=α，且α为第三象限角，则αtan 为 （ ▲ ） A ．2 B ．－2 C ．21D ．21- 3.已知函数x x f x -+-=4)93lg()(，则该函数的定义域为 （ ▲ ） A ． ()4,2 B ． [)4,2 C ．[]4,2 D ．(]4,24.三数5.02、2log 5、2log 5.0大小关系为 （ ▲ ） A.2log 5＜2log 5.0＜5.02 B.2log 5.0＜2log 5＜5.02 C.2log 5.0＜5.02＜2log 5 D.2log 5.0＜5.02＜2log 55.已知等比数列{}n a 的首项为1，若321,2,4a a a 成等差数列，则数列{}n a 的前5项和为 （ ▲ ） A ．321 B ．16 C ．31 D ．1616.若直线024=-+y mx 与直线052=+-n y x 垂直，且两直线的交点为),1(k ， 则=+-k n m （ ▲ ） A ．-4 B ．20 C ．30 D ．247.已知函数2)2(log )(-+=x x f a (0,1a a >≠)的图象恒过定点A ，且点A 在直线10mx ny ++=上，若0m >，0n >，则12m n+的最小值为 （ ▲ ） A.8 B.4 C.9 D.168.已知函数1)32()20)(6sin()(=<<+=πωπωf x x f ，若，则函数)(x f 的最小正周期为 （ ▲ ）A.π2B. π4C. 2πD. 4π9.若抛物线22y px =的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则p 的值为( ▲ ) A.4B.-4C.8D.-810.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=2,2,2)(2x a x x a x f x在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是 （ ▲ ） A.)2,1(- B. ),2()1,(+∞⋃--∞ C. )1,2(- D. ),1()2,(+∞⋃--∞ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.将十进制数53换算成二进制数，即=10)53( ▲ ． 12．题12图是一个程序框图，运行输出的结果y = ▲ ．13.某项工程的流程图如下(单位：天)：完成该工程的最短总工期的天数为 ▲ ．14.数组a ),4,0,3(-=b ),1,2,3(=c )0,1,2(=计算：c b a ⋅+)( ▲ ． 15.若圆016222=+-++y y x x 上相异两点P Q 关于直线042=-+y kx 对称，则k 的值为 ▲ ．三、解答题（本大题共8题，共90分）16.(8分)已知复数,6)(,2=--=+-i z z z z 其中为i 为虚数单位, （1）求复数z ；（2）若复数z 是实系数一元二次方程02=++c bx x 的根，求c b ,的值．17.（10分）已知)1,3(),sin ,(cos -==θθ， （1）若⊥，求θθ2sin cos 22-的值；（2-的最大值．18.（10分）已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a 的值.19.（12分）已知函数21cos sin 3sin )(2-+=x x x x f（1）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值；（2）已知c b a ,,分别为ABC ∆的内角C B A 、、的对边，其中A 为锐角，1)(4,32===A f c a 且,求的面积及ABC b ∆.20.（12分）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列．(1)求等差数列{}n a 的通项n a ；(2)设12n a n n b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21.（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；22.（12分）铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为多少？(百万元)．23.（14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为36，短轴长为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点),(y x M 为椭圆上的动点，求y x 2+的最大值和最小值；（3）斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，若6=PQ ，求直线l 的方程．2015—2016学年第一学期如皋市高三年级期中联考数学答案一、选择题1.C2. A3.D4.B5.C6.B7.C8.B9. C 10.A 二、填空题11.2)110101( 12.4 13.23 14. 2 15.2 三、解答题16.（8分）解：（1）设),(R b a bi a z ∈+=，则据题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=-++6)(2i bi a bi a bi a bi a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2622b a -------------4分 ∴i z 2622--=----------------------5分 （2）由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+cz z bz z 得 ⎩⎨⎧==22c b ------------8分17.（10分）解：（1）因为b a ⊥， ∴0sin cos 3=-θθ即3cos sin tan ==θθθ------2分 ∴231tan 1tan 22sin cos 2sin cos 22sin cos 222222-=+-=+-=-θθθθθθθθ-----4分（221==（3）=⋅b a )6cos(2sin cos 3πθθθ+=-------------6分)6cos(45πθ+-==---------8分∴当1)6cos(-=+πθ有最大值3-----------10分18.（10分）解 (1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3.-------------------4分 (2)设直线方程为x ＋y ＝b ，-------5分 由于直线过点A ，∴1＋a ＝b ， ∴直线方程为x ＋y ＝1＋a ， 即x ＋y －a －1＝0.又直线与圆相切，∴d ＝|a ＋1|2＝2，-----------8分∴a ＝±22－1.------------------10分19.（12分）解：（1）)62sin(212sin 2322cos 121cos sin 3sin )(2π-=-+-=-+=x x x x x x x f ----4分 ∴当Z k k x ∈+=-,2262πππ时，)(x f 取最大值1此时Z k k x ∈+=,3ππ-----------6分（2）1)62sin()(=-=πA A f∴Z k k A ∈+=-,2262πππ∴Z k k A ∈+=,3ππ∵为锐角A∴3π=A -----------------8分又由C C c A a sin 43sin32,sin sin ==π得解得2π=C -----------------10分∴△ABC 为直角三角形∴222=-=a c b -----------11分 ∴3221==∆ab S ABC -----------12分20.（12分）解：（1）因为125,,a a a 成等比数列所以22215111,()(4)a a a a d a a d =+=+ --------------------2分∴212d a d =∵10,1d a >= ∴2d = --------------------4分 ∴1(1)21n a a n d n =+-=- -------------------6分 （2） ∵122212(21)4n a n n n n b a n n +=+=-+=-+ -------7分∴123...n n S b b b b =++++=23(14)(34)(54)...(21)4nn ⎡⎤+++++++-+⎣⎦23(135...21)(444...4)n n =++++-+++++ ----------9分12(121)4(14)4421433n n n n n ++--+=+-- =----------------12分21.（12分）解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. --------------------6分(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6， 即a ≤－6或a ≥4. ------------------------6分22.（12分）解 设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则 目标函数z ＝3x ＋6y ，⎩⎨⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.-----------------------4分由⎩⎨⎧ 0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，-------------8分 画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15.-----------12分 23（14分）.解：（1）∵椭圆C 的离心率为36，短轴长为2 ∴22,36==b e -----------------------------2分 ∴3=a 又焦点在x 轴上∴椭圆方程为1322=+y x -----------------------------4分（2）∵点),(y x M 为椭圆上的动点∴ ⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x --------------------6分∴ )sin(7sin 2cos 32ϕθθθ+=+=+y x∴y x 2+的最大值为7，最小值为7---------------------8分 （3）设直线方程为m x y +=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m x y 消去y 得： 0336422=-++m mx x所以2321m x x -=+，433221-=m x x -------------------------------10分又6=PQ ，所以6=2122124)(1x x x x k -++=433449222-⨯-m m ----------------------12分 解得0=m ------------------------------------------------13分所以直线方程为x y = --------------------------------14分。
江苏省南通市如皋中学2015届高三数学上学期调研试卷(一)理(含解析)
2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（理科）（一）一、填空题1．已知复数z=，则该复数的虚部为．2．已知集合A={1，3，m+1}，B={1，m}，A∪B=A，则m= ．3．已知=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣），则实数λ= ．4．已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα=﹣，则x= ．5．函数函数y=是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为．6．若命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是．7．若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是．9．已知奇函数f（x）=，则g（﹣3）的值为．10．曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，c∈R，则m+n+c的值为．11．已知f（x）=log4（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是．12．若点P是△ABC的外心，且，∠C=60°，则实数λ= ．13．已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为．14．已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为．二、解答题15．若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A﹣）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值．16．在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3．（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知||=4，||=2，且•=﹣9，求与的夹角．17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．18．设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．（2）设函数在区间[﹣4，4]上的最大值为g（a）的表达式．19．某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a．（1）当a=0时，求函数y=f（x）•g（x）的单调区间；（2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=的极值点个数．2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、填空题1．已知复数z=，则该复数的虚部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i+1，其虚部为：1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．已知集合A={1，3，m+1}，B={1，m}，A∪B=A，则m= 3 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由两集合的并集为A，得到B为A的子集，可得出m=3或m=m+1，即可求出m的值．解答：解：∵A∪B=A，∴B⊆A，∴m=3或m=m+1，解得：m=3．故答案为：3．点评：此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型．3．已知=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣），则实数λ= 9 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由于向量的模的公式和数量积的坐标表示，求出向量a，b的模和数量积，再由由（+λ）⊥（﹣），则（+λ）•（﹣）=0，即有2﹣2+（λ﹣1）=0，代入即可得到答案．解答：解：由于=（3，3），=（1，﹣1），则||=3，||=，=3﹣3=0，由（+λ）⊥（﹣），则（+λ）•（﹣）=0，即有2﹣2+（λ﹣1）=0，即有18﹣2λ=0，解得λ=9．故答案为：9．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查两向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．4．已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα=﹣，则x= ﹣8 ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得x的值．解答：解：由题意可得cosα=﹣=，求得x=﹣8，故答案为：﹣8．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．函数函数y=是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为 1 ．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由题设条件知a2﹣2a﹣3＜0，且为偶数，由（a+1）（a﹣3）＜0，得﹣1＜a＜3，所以，a的值为1．解答：解：根据题意，则a2﹣2a﹣3＜0，且为偶数，由（a+1）（a﹣3）＜0，得﹣1＜a＜3，所以，a的值为1．故答案为：1．点评：本题考查函数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意偶函数的灵活运用．6．若命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是[4，+∞）．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：本题先利用原命题是假命题，则命题的否定是真命题，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论．解答：解：∵命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”，∴命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”的否定是“∀x∈R，使得x2+4x+m≥0”．∵命题“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2+4x+m≥0”是真命题．∴方程x2+4x+m=0根的判别式：△=42﹣4m≤0．∴m≥4．故答案为：[4，+∞）．点评：本题考查了命题的否定、二次函数的图象，本题难度不大，属于基础题．7．若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义求最值．解答：解：设z=x2+y2，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方．作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知点A（3，4）到原点的距离最大，最大值为：5．原点到直线X+y=1的距离最小，最小值所以z=x2+y2的最大值为z=25．最小值为．x2+y2的取值范围是．故答案为：点评：本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z ．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π等于半个周期，从而可求ω，确定函数的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递增区间解答：解：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π=故函数的最小正周期T=2π，又∵ω＞0∴ω=1故f（x）=2sin（x+），由2k⇒﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z故答案为：[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，属于中档题．9．已知奇函数f（x）=，则g（﹣3）的值为﹣7 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件利用奇函数的性质得f（0）=1+a=0，解得a=﹣1，从而g（﹣3）=﹣f（3）=﹣23+1=﹣7．解答：解：∵奇函数f（x）=，∴f（0）=1+a=0，解得a=﹣1，∴g（﹣3）=﹣f（3）=﹣23+1=﹣7．故答案为：7．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，c∈R，则m+n+c的值为 5 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．解答：解：∵曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，∴n=2+1=3，函数的f（x）的导数f′（x）=3x2+m，且f′（1）=3+m=2，解得m=﹣1，切点P（1，3）在曲线上，则1﹣1+c=3，解得c=3，故m+n+c=﹣1+3+3=5，故答案为：5点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．11．已知f（x）=log4（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是3+2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质可得：＞2，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵f（m）+f（2n）=1，∴log4（m﹣2）+log4（2n﹣2）=1，且m＞2，n＞1．化为（m﹣2）（2n﹣2）=4，即mn=2n+m．∴＞2，∴m+n=n+=n﹣1++3≥+3=2+3，当且仅当n=1+，m=2+时取等号．∴m+n的最小值是3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．12．若点P是△ABC的外心，且，∠C=60°，则实数λ= 1 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，利用点P是△ABC的外心，∠C=60°得出|+||+2||•||COS ∠APB=λ2||，从而求出λ的值．解答：解：如图示：，∵，∴+=﹣λ，∴=λ2，∴||+||+2||•||COS∠APB=λ2||，又∵点P是△ABC的外心，∠C=60°，∴||=||=||=R，∠APB=120°，∴R2+R2+2•R•R•（﹣）=λ2R2，∴λ2=1，∵，∴λ=1，故答案为：1．点评：本题考查了向量的运算和三角形外心的性质等基础知识与基本方法，属于基础题．13．（3分）（2014秋•如皋市校级月考）已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则不等式f（x）＜2f （）sinx的解集为（，）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：根据条件，构造函数g（x）=，求函数的导数，利用导数即可求出不等式的解集．解答：解：由f′（x）sinx＜f（x）cosx，则f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，构造函数g（x）=，则g′（x）=，当x∈（0，）时，g′（x）=＜0，即函数g（x）在（0，）上单调递减，则不等式式f（x）＜2f（）sinx等价为式＜=，即g（x）＜g（），则＜x＜，故不等式的解集为（，），故答案为：（，）点评：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．14．已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过对x与a的关系分类讨论，画出图象，路其周期性即可得出．解答：解：∵当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．∴当0＜x≤a2时，f（x）=a2﹣x+3a2﹣x﹣4a2=﹣2x；当a2＜x≤3a2时，f（x）=x﹣a2+3a2﹣x﹣4a2=﹣2a2；当x＞3a2时，f（x）=x﹣a2+x﹣3a2﹣4a2=2x﹣8a2．画出其图象如下：由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．∵∀x∈R，f（x+2）≥f（x），∴8a2≤2，解得a∈[﹣12，12]．点评：本题考查了函数的奇偶性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题15．若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A﹣）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（1）由sin（A+）的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos（2A+）的值，再利用诱导公式即可求出所求式子的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把cosA，b=3c代入表示出a，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可．解答：解：（1）∵sin（A+）=，∴cos（2A+）=1﹣2sin2（A+）=，则sin（2A﹣）=sin（2A+﹣）=﹣cos（2A+）=﹣；（2）∵cosA=，b=3c，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，∴a2+c2=b2，即B为直角，则sinC==．点评：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3．（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知||=4，||=2，且•=﹣9，求与的夹角．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：（1）据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，结合已知条件以及平面向量基本定理求出x，y的值．（2）由条件利用向量数量积的定义求得cosθ的值，可得与的夹角θ的值．解答：解：（1）∵=3，由题意可得=+=+=+（﹣）=+，再根据=x+y，∴x=，y=．（2）∵已知||=4，||=2，且•=﹣9=4×2×cosθ（θ为与的夹角），∴cos θ=，可得θ=60°，即求与的夹角为60°．点评：本题考查向量的加法、减法的运算法则，两个向量的数量积的定义及其运算律，根据三角函数的值求角，属于基础题．17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．考点：一元二次不等式的解法．专题：分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（1）根据不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集与对应方程之间的关系，求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集来．解答：解：（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为，∴方程（ax﹣1）（x+1）=0的两根是﹣1，﹣；∴﹣a﹣1=0，∴a=﹣2；（2）∵（ax﹣1）（x+1）＞0，∴a＜0时，不等式可化为（x﹣）（x+1）＜0；若a＜﹣1，则＞﹣1，解得﹣1＜x＜；若a=﹣1，则=﹣1，解得不等式为∅；若﹣1＜a＜0，则＜﹣1，解得＜x＜﹣1；a=0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；当a＞0时，不等式为（x﹣）（x+1）＞0，∵＞﹣1，∴解不等式得x＜﹣1或x＞；综上，a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}；a=﹣1时，不等式的解集为∅；﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜﹣1}；a=0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞}．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论思想，是中档题．18．设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．（2）设函数在区间[﹣4，4]上的最大值为g（a）的表达式．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设﹣3≤x＜0、x＜﹣3，利用已知函数的解析式，即可求得结论；（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；解答：解：（1）令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）=，（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，而函数f（x）恒过点（2，0），当a≤2时，f（x）在[0，1]和[2，4]上单调递增，在[1，2]上单调递减，如图所示故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a，当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得a≤，函数的最大值为f（4），当a＞2时，f（x）在[0，1]和[，4]上单调递增，在[1，]上单调递减，如图所示故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a，当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得2＜a≤，函数的最大值为f（4），当f（4）＜f（1）时，即8﹣2a＜1时，解得a＞，函数的最大值为f（1），综上所述g（a）=点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中和△CME中，分别用θ表示出CF和CE，即可列出l与θ的关系式，利用导数求出函数的最值，即可求得答案；（2）求出灯带长L，求导数，即可求得答案．解答：解：（1））设∠EFD=θ，EF=l，过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中，CF=，在△CME中，CE=，∴l=+，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8．∴l′=﹣+=0，可得tanθ=2此时BE=10米时，钢丝绳最短；（2）在△CFD中，CF=，FD=，在△CME中，CE=，EM=8tanθ∴灯带长L=+++8tanθ+16，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8．∴L′=0，可得tanθ=1此时BE=16米时，钢丝绳最短．点评：本题考查了函数在生产生活中应用，关键是寻找到合适的变量建立数学模型，利用数学的相关知识求解函数的最值．本题主要是应用函数的导数求解函数的最值，导数是求函数最值的通法．属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a．（1）当a=0时，求函数y=f（x）•g（x）的单调区间；（2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=的极值点个数．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），求导y'=lnx+x=lnx+1，由导数的正负确定函数的单调区间；（2）化简F（x）==（x＞0且x≠1），求导并令导数为0，化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）可得|a|＜1，故不成立，故当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．解答：解：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），y'=lnx+x=lnx+1，又∵当x=时，y'=0，则函数y=f（x）•g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）F（x）==（x＞0且x≠1），则令F'（x）==0，即，即（x+a）ln（x+a）﹣xlnx=0，若方程有解，可化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）知，y=xlnx在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；故在（0，）上，y＜0，在（，1）上，y＜0，在（1，+∞）上，y＞0，故|x+a﹣x|=|a|＜1，则方程也解，即不存在x，使F'（x）=0成立；即，当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．点评：本题考查了导数的综合应用，导数的正负可判断函数的单调性，可导时，存在零点的必要条件是导数为0；从而判断零点的个数，属于难题．。
江苏省如皋中学2015-2016学年高二下学期第二次阶段练习数学文试题 含答案
江苏省如皋中学2015—2016学年度第二学期第二次阶段检测高二数学（文)试题试卷满分160分，考试时间120分钟命题、审核：陈高峰一. 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1。
已知幂函数()f x的图像过点12⎛⎝⎭，则()4f = ▲ 。
2。
已知集合{1,2,3,4,5}A =,{1,3,5,7,9}B =，C A B =，则集合C的子集的个数为 ▲ 。
3.函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ 。
4.由命题“2,20x R xx m ∃∈++≤”是假命题，求得实数m 的取值范围是(),a +∞, 则实数a = ▲ 。
5. 函数()3log ,09,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则()()1f f -的值为▲ 。
6.已知实数,x y满足约束条件203501x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则2z x y =+-的最小值为▲ .7。
函数()logaf x x=在()0,+∞上单调递减,则()2f - ▲ ()1f a +（填“＜”，“＝”，“＞”之一)8. “1a >”是“函数()cos f x a x x=⋅+在R 上单调递增"的 ▲条件（选填“充分不必要"，“必要不充分”，“充要"，“既不充分也不必要”)。
9。
设奇函数()()y f x x R =∈，满足对任意t R ∈都有()()1f t f t =-，且10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值等于▲ .10.已知正数,,a b c满足42250a b c -+=，则lg lg 2lg a c b+-的最大值为▲ .11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()112x f x m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有5个零点,则实数m 的取值范围是 ▲ .12。
江苏省南通中学2015届高三12月月考(数学)试卷及答案
南通中学2015届高三12月月考数学参考公式：锥体的体积公式 13V S h =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式 V S h =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．）1．设复数1z 、2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅=▲ .5-2．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被 选中的概率是 ▲ .123．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为 ▲ .134．为了调查城市 2.5PM 的值，按地域把长三角地区36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6、12、18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ▲ .45．设集合{}1,2M =、{}2N a =，则“1a =”是“N M ⊆”的 ▲ 条件．充分不必要条件（从“充分不必要”、 “必要不充分”、“充分且必要”、“既不充分也不必要”中择一填写）6．有一段演绎推理：大前提：整数是自然数；小前提：3-是整数；结论：3-是自然数.这个推理显然错误，则错误的原因是 ▲ 错误.（从“大前提”、“小前提”、“结论”中择一填写）. 大前提7．关于x 的不等式22230(0)x ax a a --<<的解集为12(,)x x ，且2112x x -=，则实数a 的值等于 ▲ . 3-8．已知抛物线28y x =的焦点是双曲线22213x y a -=（0a >）的右焦点，则双曲线的右准线方程为 ▲ .第3题12x =9．设x 、y 满足约束条件010x y a x y ++≥⎧⎨-+≤⎩，且ay x z -=的最小值为7，则实数=a ▲ .3-10．在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，角120A ︒=，2AB AC ⋅=-，则||AM 的最小值为▲ .设AB c =、AC b =，由1AB AC ⋅=-，120A ︒=得4bc =，倍长AM 至D ，则60ABD ︒∠=，由余弦定理得22224AD b c bc bc bc bc =+-≥-==，即22AM AD =≥，1AM ≥即||AM 最小值为1.11．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -、(,0)B m （0m >），若圆上存在一点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的最小值为 ▲ .显然2AB m =，因为90APB ︒∠=，所以12OP AB m ==，所以要求m 的最小值即求圆C 上点P 到原点O 的最小距离，因为5OC =，所以min ()4OP OC r =-=，即m 的最小值为4.12．如图为函数2()1xf x x =+的部分图像，ABCD 是矩形，A 、B 在图像上，将此矩形（AB 边在第一象限）绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为▲ ./22(1)(1)()0(1)x x f x x -+-==+得1x =为极大值点，且1(1)2f =，设A 、B 的纵坐标为1(0)2k k <<，则由21x k x =+得 20kx x k -+=，1A B x x k+=，1A B x x ⋅=，所以||A B AB x x =-==2V k π===24π≤，当且仅当4k =时取“=”，此时0∆>，故旋转体体积的最大值为4π.13．设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列．若12a a >，12b b >，且2i i b a =（1i =，2，3），则数列{}n b 的公比为 ▲ .方法1：设1a ，2a ，3a 依次为a d -，a ，a d +，因为12a a >，所以0d <，因为12b b >，所以01q <<， 又2213b b b =，所以422222()()()a a d a d a d =-+=-，则222a d a =-或222a a d =-（舍），所以d =.若d =，则222222222111())b a a aq b a aa d=======+>-（舍）；若d =，则222222222111()()1)1b a a a q b a a a d ======<-，所以3q =-方法2:易知422213a a a =，则2213a a a =±，若2213a a a =，则123a a a ==（舍），若2213a a a =-，则21313()2a a a a +=-且10a <，所以22113360a a a a ++=，所以23311()610a aa a +⋅+=，则313a a =-又2223332111()b a aq b a a ===且01q <<，所以3q =-14．已知函数()af x x x=-，且对任意的(0,1)x ∈，都有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .因为2(1)(1)(1)11a a x f x x x x ---=--=--，所以对任意(0,1)x ∈，都有22(1)11a x a x x x---⋅≥-即 22()[(1)](1)a x a x x x -⋅--≥-恒成立，整理得222(1)(21)(1)()0x x a x x a a -+--+-≥，令(1)x x t -=，则104t <≤，问题等价于22(21)()0t a t a a +-+-≥对104t <≤恒成立，令22()(21)()g t t a t a a =+-+-，因为22(21)4()10a a a ∆=---=>，所以211241()04a g -⎧-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或 2102(0)0a g -⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩，即21416830a a a ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩或2120a a a ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩，所以141344a a ora ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或1201a a ora ⎧≥⎪⎨⎪≤≥⎩，所以14a ≤-或1a ≥.另解1：由22(21)()0t a t a a +-+-≥得()[(1)]0t a t a +⋅++≥，所以1t a ≥-+或t a ≤-，由题意得10a -+≤或14a -≥即14a ≤-或1a ≥. 另解2：由22(21)()0t a t a a +-+-≥得()[(1)]0a t a t +⋅++≥，所以1a t ≥-+或a t ≤-， 因为104t <≤，所以3(1)14t ≤--<或104t -≤-<，由题意得14a ≤-或1a ≥. 另解3：()[(1)]11a a x x x x ---≥-，设1x m x n =⎧⎨-=⎩，则01011m n m n <<⎧⎪<<⎨⎪+=⎩，又2212m n mn +=-，所以()()1a a m n m n --≥即2()10a n m a mn mn m n-++-≥，即2(21)(1)0a mn a mn mn +-+-≥，即 ()(1)0a mn a mn ++-≥，所以a mn ≤-或1a mn ≥-+，因为104mn <≤，所以由题意得14a ≤- 或1a ≥.二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）如图所示，A 、B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，AOP θ∠= （0θπ<<），点C 坐标为(2,0)-，平行四边形OAQP 的面积为S ．（Ⅰ）求t OA OQ S =⋅+的最大值；y（Ⅱ）若CB ∥OP ，求sin(2)3πθ-．【解析】（Ⅰ）∵(1,0)OA =，(cos ,sin )P θθ，∴(1cos ,sin )OQ θθ=+，∴1cos OA OQ θ⋅=+，而12||||sin sin 2S OA OP θθ=⋅⋅⋅⋅=， 所以1cos sin 12sin()4t OA OQ S πθθθ=⋅+=++=++，………………………………4分∵0θπ<<，∴当4πθ=时，t OA OQ S =⋅+取得最大值为1+7分（Ⅱ）(2,1)CB =，(cos ,sin )OP θθ=，由CB ∥OP 得cos 2sin θθ=，又0θπ<<，结合22sin cos 1θθ+=得sin θ=，cos θ=4sin 25θ=，3cos 25θ=， (11)分所以sin(2)3πθ-sin 2coscos 2sin33ππθθ=⋅-⋅=．……………………………………14分 16．（本题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，E 、F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起，记折起后的矩形为MNEF ，且平面MNEF ⊥平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）求四面体CDFN 体积的最大值．（翻折前） （翻折后）【解析】（Ⅰ）∵四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，∴MN ∥EF ∥CD ，MNEF CD ==，∴四ABCDEF边形MNCD 是平行四边形，∴NC ∥MD ，又∵NC ⊄平面MFD ，MD ⊂平面MFD ，∴NC ∥平面MFD ；………………………………………………………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）易证NE ⊥平面FEC ，设NE x =，则4E C x =-，其中04x <<．∴四面体CDFN的体积为11(4)32CDFN NCDF NFEC EFC V V V S NE x x ∆===⋅=-21(4)[]222x x +-≤⋅=，当且仅当4x x =-，即2x =时取“=”，故四面体CDFN 体积最大值为2．…………………………………………14分17．（本题满分14分）如图，P 为某湖中观光岛屿，AB 是沿湖岸南北方向道路，Q 为停车场，103PQ =km ，某旅游团浏览完岛屿后，乘游船回停车场Q ，已知游船以10/km h 的速度沿方位角θ的方向行驶，3sin 5θ=．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲，为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小艇先到达湖岸南北大道M 处，然后乘景区电动出租车到停车场Q 处（假设游客甲到达湖滨大道后幸运地一点未耽搁便乘上了电动出租车）．游客甲乘小艇行驶的方位角是α，电动出租车的速度为70/3km h ．（Ⅰ）设4sin 5α=，问小艇的速度为多少/km h 时，游客甲才能与游船同时到达点Q ；（Ⅱ）设小艇速度为10/km h ，请你替该游客设计小艇行驶的方位角α，当角α的余弦值是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q ．【解析】（Ⅰ）方法一：如图，作PNAB ⊥，N 为垂足，3sin 5θ=，4sin 5α=， 在Rt PNQ ∆中，103sin 235PN PQ θ=⋅=⋅=（km ）， cos QN PQ θ=⋅=1048353⋅=（km ）．在Rt PNM ∆中， BAMN QM BA234tan 23PN MN α===（km ）．76Q M Q N M N =-=， 5cos 2NM PM α==，………………………………………4分设游船从P 到Q 所用时间为1t h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为2t h ，则1101310103PQ t ===（h ）， 设小艇的速度为1/v km h ，则2111755162707022033PM MQ t v v v =+=+=+（h ），由已知得21120t t +=，即15111220203v ++=，∴1757v =，∴小艇的速度为75/7km h 时，游客甲才能与游船同时到达Q ； ………………………………………………8分（Ⅰ）方法二：如图，∵3s i n 5θ=，4sin 5α=，∴4c o s 5θ=，3cos 5α=，sin sin()QPM αθ∠=-= sin cos cos sin αθαθ⋅-⋅725=，由正弦定理得sin()sin()QM QPαθπα=--，所以76QM =，sin sin()PM PQθπα=-，所以52PM =．下同方法一；（Ⅱ）在Rt PNM ∆中，∵2sin sin PN PM αα==（km ），2c o s t a n s i n PN MN ααα==（km ）． ∴82cos 3sin QM QN MN αα=-=-（km ），所以143cos 70105sin 3535sin 3PM QM t ααα=+=+-173cos 435sin 35αα-=⨯+． ………………………………………………………………………11分 ∵2/2213sin (73cos )cos 37cos 35sin 35sin t αααααα---=⨯=⋅，∴令/0t =得3cos 7α=．当3cos 7α<时， /0t >；当3cos 7α>时，/0t <．∵cos y α=在)2,0(πα∈上是减函数，∴当方位角α满足 3cos 7α=时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q ． ………………………………14分18．（本题满分16分）已知函数21()ln 2f x x a x =-⋅（a R ∈），2()24g x x mx =-+（m R ∈）． （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求实数a 与b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调减区间；（Ⅲ）当1a =时，若对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）/()a f x x x =-，由/(2)212a f =-=得2a =，∴21()2ln 2f x x x =-，(2)22ln 2f =-，即切点为(2,22ln 2)-，代入方程y x b =+得2ln 2b =-；……………………………………5分（Ⅱ）()f x 的定义域为(0,)+∞，2/()a x af x x x x-=-=，①当0a ≤时，/()0f x >在(0,)+∞上恒成立，∴()f x 无减区间；②当0a >时，由/()0f x <得0x <<()f x 减区间为；…………………………………………………………10分（Ⅲ）由题意可得[1,2]x ∈时，min min ()()f x g x ≥． ……………………………………………12分∵1a =时，/1(1)(1)()0x x f x x x x+-=-=>，()f x 在[1,2]x ∈为增函数，∴m i n1()(1)2f x f ==，222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-．①当1m <时，()g x 在区间[1,2]上递增，所以min 1()(1)522g x g m ==-≤，由1522m -≤解得94m ≥，舍去；②当12m ≤≤时，2min 1()()42g x g m m ==-≤，解得m ≤m ≥2m ≤≤；③当2m >时，()g x 在区间[1,2]上递减，所以min 1()(2)842g x g m ==-≤，由1842m -≤解得158m ≥，∴2m >.综上，2m ≥…………………………………………………………………………16分 19．（本题满分16分）已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ，点E 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AE 、BE 与直线:l103x =分别交于M 、N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求线段MN 长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TBE ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）令0x=得1y =，所以(0,1)D ，所以1b =，令0y =得2x =-，所以(2,0)A -，所以2a =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；……………………………………………………………5分（Ⅱ）显然直线AE 的斜率存在且为正数，设直线AE 的方程为(2)y k x =+（0k >），联立得(2)103y k x x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1016(,)33k M ，由22(2)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(14)161640k x k x k +++-=， 显然16∆=，由求根公式得222814k x k -==+或222814k x k--==+（舍），所以222284(,)1414k k E k k -++，从而直线BE 的方程为1(2)4y x k =--，联立得1(2)4103y x kx ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得 101(,)33N k -，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当14k =时取“=”，因此，线段MN 长度的最小值为83；………………………………………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，14k =时线段MN 的长度最小，此时64(,)55E，5BE =，因为TBE ∆的面积 为S =15，所以点T 到直线BE的距离为24S d BE ==，因为直线BE 的方程为20x y +-=，设 过点T 且与直线BE 平行的直线m 的方程为0x y t ++=(2)t ≠-=32t =-或52t =-，当32t =-时，直线m 的方程为302x y +-=，联立得 2230244x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得251250x x -+=，显然判别式0∆>，故点T 有2个；当52t =-时，直线m 的方程为502x y +-=，联立得2250244x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得2520210x x -+=，显然判别式0∆<，故点T 不存在．所以，椭圆C 上存在两个点T ，使得TBE ∆的面积为15．…………………………………………16分 20．（本题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，221n n a a =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意的m N *∈，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m内的项的个数记为{}m b ．①求数列{}m b 的通项公式； ②记2122m m m c b -=-，数列{}mc 前m 项的和为m T ，求出所有使得等式111m m t T t T t c +-=-+成立的 正整数m ，t ．【解析】（Ⅰ）设公差为d ，首项为1a ，则由423S S =得114(41)2(21)43[2]22a d a d ⋅-⋅-+⋅=+⋅， 即123d a =；由221n n a a =-得21n n a nd a +=-，∴1n a nd =+，将123d a =代入1n a nd =+得1213n n a a =+，令1n =得13a =，从而2d =，故21n a n =+；…………4分 （Ⅱ）①令22212m m n <+<，则121112222m m n ---<<-，即121221m m n --≤≤-， ∴21122m m m b --=-；………………………………………………………………………………8分 ②2211221()222m m m m m c b ---===-，显然数列{}m c 是首项为2，公比为12的等比数列，前m 项 的和为m T 14(1)2m =⋅-，由111m m t T t T t c +-=-+取倒数得11m m t m T c t c T t ++-=+-，即111m t m c c T t++=+-，即 1221()12()12(4)()2m t m t ---=--化简得221(4)242m t t -=-⋅-即1(4)242m t t --⋅-=，即1(4)242m t t --⋅=+， ∵1240t -+>，∴(4)20m t -⋅>，∴4t <，又t N *∈，∴1t =或2t =或3t =．……………12分当1t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得325m ⋅=，显然无正整数解；当2t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得226m ⋅=，即23m =，显然无正整数解；当3t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得28m =，显然3m =为正整数解．综上，存在符合条件的正整数3t =，3m =．…………………………………………………………………………………………………16分Ⅱ 附加题部分21．【选做题】B ．（选修4—2：矩阵与变换）（本题满分10分）已知1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，设曲线sin y x =在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 方程．【解析】由题设得11100022020102MN ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设所求曲线F 上任意一点的坐标为(,)x y ，x y sin =上任意一点的坐标为),(y x ''，则MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021，解得⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212，把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入 x y '='sin ，化简得x y 2sin 2=，所以，曲线F 的方程为x y 2sin 2=.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）（本题满分10分）已知直线l的参数方程为122x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M -，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点． （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求线段MA 、MB 长度之积MA MB ⋅的值．【解析】（Ⅰ）直线lcos()14πθ+=-，曲线C 的普通方程为2y x =；（Ⅱ）将1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2y x =得220t -+=，12||2MA MB t t ⋅==．另解：显然直线:10l x y -+=，联立得210x y y x-+=⎧⎨=⎩，消去y 得210x x --=，所以1122x =+、2122x =-13(2222A --，13(2222B ++，则32(22MA =-、32(2MB =，所以332(2(222MA MB ⋅=-=． 【选做题】22．（本题满分10分）如图，在空间直角坐标系O xyz -中，正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都为点M 、N 分别在线段PA 、BD 上，且13PM BN PA BD ==． （Ⅰ）求证：MN AD ⊥；（Ⅱ）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）∵正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底边长都为 ∴3OA =，3OP =，则(3,0,0)A ，(0,3,0)B 、(0,3,0)D -，(0,0,3)P ，所以(1,0,2)M ，(0,1,0)N ，(1,1,2)0MN =--≠，(3,3,0)0AD =--≠，∴(1)(3)1(3)(2)00MN AD ⋅=-⋅-+⋅-+-⋅=，所以MN AD ⊥；（Ⅱ）设平面PAD 的一个法向量为(,,)n x y z =，(3,0,3)AP =-，由00n A D n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得330330x y x z --=⎧⎨-+=⎩， 取1z =，则1x =，1y =-，即(1,,1)n =-，则111c o s ,||||n MN n MN n MN ⋅-⨯+<>==⋅3=-MN 与平面PAD 所成角为θ，22sin |cos ,|3n MN θ=<>=，MN 与平面PAD 所成 角的正弦值为3．23．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)M ，P 是动点，且POM ∆的三边所在直线的斜率满足OM OP PM k k k +=．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）点N 在直线41y x =-上，过N 作（Ⅰ）中轨迹C 的两切线，切点分别为A 、B ，若ABN ∆ 是直角三角形，求点N 的坐标．【解析】（Ⅰ）设(,)P x y ，由OM OP PM k k k +=得212y y x x -+=-，即22x y =，所以P 点的轨迹C 的方程是22x y =(0x ≠且2)x ≠；（Ⅱ）因为212y x =，所以'y x =，设2111(,)2A x x ，2221(,)2B x x （12x x ≠），(,)Nab ，则1AN k x =， 2BN k x =，由于AN 是曲线的切线，所以211112x b x x a-=-，即211220x ax b -+=，同理222220x ax b -+=，两式相减得121212()()2()0x x x x a x x +---=，又12x x ≠，故122x x a +=．1︒ 若AN BN ⊥，则1AN BNk k =-，所以121x x =-，由⎧⎪⎨⎪⎩211222122202201x ax b x ax b x x -+=-+==-得 221212()2()40x x a x x b +-++=即2121212[()2]2()40x x x x a x x b +--++=即2(2)22240a a a b +-⋅+=，所以12b =-，又41b a =-，所以18a =，此时11(,)82N -； 2︒ 若AN AB ⊥，则1AN AB k k =-，即222112111221x x x x x -⋅=--，化简得121()20x x x ++=，即。
江苏省南通市如皋市歌风中学高三数学上学期12月月考试
2014-2015学年江苏省南通市如皋市歌风中学高三（上）12月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．已知复数z=i（1﹣i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于第象限．2．某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为．3．函数f（x）=的定义域是．4．执行如图所示的程序框图，若输出s的值为11，则输入自然数n的值是．5．若函数f（x）=﹣x2+6x﹣1在区间（a，1+2a）上不是单调函数，则实数a的取值范围是．6．函数f（x）=+a （x≠0），则“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）7．若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为．8．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x ∥y”为真命题的是．（填所正确条件的代号）①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x为直线，y，z为平面．9．在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为．10．已知R上的可导函数f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）+f（x）＞0，且f（1）=1则不等式f（x）＞的解是．11．设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S27+273S9=（39+1）S18，则数列{a n}的公比为．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（﹣A＜b＜0）的三个相邻交点的横坐标分别是1，3，9，则f（m）=A的最小正数m为．13．在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，点P在边BC上，则的最大值为．（x∈[0，2π））图象在点P处的切线与函数14．已知函数f（x）=1+sinx，图象在点Q处的切线平行，则直线PQ与两坐标轴所围成的三角形的面积为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠C=90°，BC=，BB1=2，O是AB1的中点，D是AC的中点，M是CC1的中点，（1）证明：OD∥平面BB1C1C；（2）试证：BM⊥AB1．16．在△ABC中，三边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，若a=4，E为边BC的中点．（1）若=1，求BC边上的中线AE的长；（2）若△ABC面积为，求的最小值．17．某森林失火了，火势正以平均每分钟200m2的速度顺风蔓延，消防队员在失火后10分钟到达现场开始救火，已知每个队员平均每分钟可灭火50m2，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，另外车辆、器械装备等损耗费用平均每人800元，而每烧毁1m2的森林的损失费为60元，消防队共派x名队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n分钟．（1）求出x与n的关系．（2）问消防队派多少名队员前去救火，才能使得总损失最小？18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明：为定值，并求出这个定值．19．（16分）（2015•海南模拟）已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k=7，a1=2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．20．己知函数f（x）=（mx+n）e﹣x（m，n∈R，e是自然对数的底）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey﹣3=0，试确定函数f（x）单调区间；（2）①当n=﹣1，m∈R时，若对于任意x∈[，2]，都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值；②当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x（t∈R），是否存在实数a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市如皋市歌风中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．已知复数z=i（1﹣i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于第一象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：复数z=i（1﹣i）=i+1，∴复数z在复平面上对应的点（1，1）位于第一象限．故答案为：一．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．2．某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为60% ．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设出男女生的人数，找出他们各自选1名学生做代表的概率然后求解即可．解答：解：设女生的人数是x，男生的人数是y，∵“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，∴，解得：y=x，∴这个班的女生人数占全班人数的百分比是：=60%．故答案为：60%点评：本题考查概率的运用，关键是根据题意用x表示出“选出代表是女生”与“选出代表是男生”的概率．3．函数f（x）=的定义域是（0，5] ．考点：函数的定义域及其求法．分析：直接由根式内部的代数式大于等于0求解x的取值集合得答案．解答：解：由1﹣log5x≥0，得0＜x≤5．∴函数f（x）=的定义域是（0，5]．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题．4．执行如图所示的程序框图，若输出s的值为11，则输入自然数n的值是 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的s，i的值，当i=5时由题意，此时应该不满足条件i≤n，输出s的值为11，故应该n的值为4．解答：解：执行程序框图，有输入ni=0，s=1满足条件i≤n，有s=1，i=1满足条件i≤n，有s=2，i=2满足条件i≤n，有s=4，i=3满足条件i≤n，有s=7，i=4满足条件i≤n，有s=11，i=5由题意，此时应该不满足条件i≤n，输出s的值为11．故答案为：4．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5．若函数f（x）=﹣x2+6x﹣1在区间（a，1+2a）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（1，3）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数的对称轴，结合函数的单调性，得到不等式，解出即可．解答：解：∵对称轴x=3，若函数在（a，1+2a）不单调，∴a＜3＜1+2a，解得：1＜a＜3，点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题．6．函数f（x）=+a （x≠0），则“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据函数奇偶性的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：若f（x）=+a 是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴，即，∴2a﹣1=0，即a=．若f（1）=1，即f（1）=，解得a=．∴“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件．故答案为：充要．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握相应的定义和运算性质．7．若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为24 ．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据题意和等差数列的定义，设设一直角三角形的三边长分别为：a、a+2、a+4，再由勾股定理列出方程求出a，进而求出三角形的周长．解答：解：由题意设一直角三角形的三边长分别为：a、a+2、a+4，所以（a+4）2=a2+（a+2）2，即a2﹣4a﹣12=0，解得，a=6或a=﹣2（舍去），所以直角三角形的三边长分别为：6、8、10，所以该直角三角形的周长为24，故答案为：24．点评：本题考查等差数列的定义，以及勾股定理的应用，属于基础题．8．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x ∥y”为真命题的是③．（填所正确条件的代号）①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x为直线，y，z为平面．考点：复合命题的真假；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题．分析：空间点线面的位置关系考查，借助于正方体考虑平行和垂直．解答：解：①x，y，z为正方体从一个顶点出发的三条直线，结论错误；②x，y，z为正方体中交于一点的三个平面，结论错误；③由垂直于同一平面的两条直线平行可知③正确；④中有可能x⊂y，结论错误；故答案为③点评：本题借助命题真假的判断考查空间点线面的位置关系，在空间中要多借助于比较熟悉的几何体，如正方体，三棱锥等．9．在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出边AC的长，在利用双曲线的定义，求出离心率．解答：解：由题意知，AB=2c，又△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，∴AC=2c，∵双曲线以A，B为焦点且过点C，由双曲线的定义知，AC﹣BC=2a，即：2c﹣2c=2a，∴=，即：双曲线的离心率为．故答案为．点评：本题考查双曲线的定义及性质．10．已知R上的可导函数f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）+f（x）＞0，且f（1）=1则不等式f（x）＞的解是（1，+∞）．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由f（x）＞可知e x f（x）＞e，构造函数g（x）=e x f（x）﹣e，然后利用导数研究函数的单调性即可．解答：解：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e，则g'（x）=e x f（x）+e x f'（x）=e x（f'（x）+f（x）），∵f′（x）+f（x）＞0，e x＞0，∴g'（x）=e x f（x）+e x f'（x）=e x（f'（x）+f（x））＞0，即函数g（x）在R上单调递增，是增函数．∵f（1）=1，∴g（1）=ef（1）﹣e=e﹣e=0，∴当x＞1时，g（x）＞g（1），即g（x）＞0，∴g（x）=e x f（x）﹣e＞0，即不等式f（x）＞成立，此时x＞1，故不等式的解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．点评：本题主要考查不等式的解法，根据不等式的性质，构造函数g（x）=e x f（x）﹣e，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强．11．设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S27+273S9=（39+1）S18，则数列{a n}的公比为 3 ．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：分别设出等比数列的首项和公比，分类写出等比数列的前n项和，分析q=1时不成立，当q≠1时由S27+273S9=（39+1）S18求解q的值．解答：解：设正项等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，当q=1时，有27，此式只有a1=0时成立，不合题意；当q≠1时，则，代入S27+273S9=（39+1）S18，得，整理得：q18﹣（39+1）q9+39=0．解得：q=3．故答案为：3．点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的计算能力，是中档题．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（﹣A＜b＜0）的三个相邻交点的横坐标分别是1，3，9，则f（m）=A的最小正数m为 6 ．考点：三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：由题意确定出函数的最小正周期，进而求出ω的值，得到f（x）取得最大值A时x 的值，即为最小正数m．解答：解：根据题意得到f（x）最小正周期为9﹣1=8，即ω=，且x=6时，f（x）取得最大值A，则f（m）=A的最小正数m为6．故答案为：6点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，弄清题意是解本题的关键．13．在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，点P在边BC上，则的最大值为．考点：平面向量数量积的性质及其运算律；向量的模．专题：计算题．分析：先找到的关系，再把平方，转化成二次函数求最值问题即可解答：解：∵∠A=90°，AB=AC=1，且点P在BC上∴∴，又==∴当时取最大值，最大值为8∴的最大值为故答案为：点评：本题考查向量模的运算和求解，求模可先平方．属简单题14．已知函数f（x）=1+sinx，（x∈[0，2π））图象在点P处的切线与函数图象在点Q处的切线平行，则直线PQ与两坐标轴所围成的三角形的面积为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题．分析：先求导函数，利用函数f（x）=1+sinx，（x∈[0，2π））图象在点P处的切线与函数图象在点Q处的切线平行，求得P，Q的坐标，进而可求PQ的方程，由此可计算直线PQ与两坐标轴所围成的三角形的面积．解答：解：设P（a，b），Q（m，n）求导函数，f′（x）=cosx，∴，﹣1≤f′（x）≤1∵函数f（x）=1+sinx，（x∈[0，2π））图象在点P处的切线与函数图象在点Q处的切线平行∴f′（a）=g′（m）∴∵a∈[0，2π），x＞0∴a=0，m=1∴∴∴直线PQ的方程为：即∴x=0时，y=1，y=0时，x=﹣3，∴直线PQ与两坐标轴所围成的三角形的面积为故答案为：点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是正确运用导数的几何意义求出P，Q的坐标．二、解答题：本大题共6小题，计90分.15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠C=90°，BC=，BB1=2，O是AB1的中点，D是AC的中点，M是CC1的中点，（1）证明：OD∥平面BB1C1C；（2）试证：BM⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连B1C利用中位线的性质推断出OD∥B1C，进而根据线面平行的判定定理证明出OD∥平面BB1C1C．（2）先利用线面垂直的性质判断出CC1⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面BB1C1C，进而可知AC⊥MB．利用证明△BCD∽△B1BC，推断出∠CBM=∠BB1C，推断出BM⊥B1C，最后利用线面垂直的判定定理证明出BM⊥平面AB1C，进而可知BM⊥AB1．解答：证明：（1）连B1C，∵O为AB1中点，D为AC中点，∴OD∥B1C，又B1C⊂平面BB1C1C，OD⊄平面BB1C1C，∴OD∥平面BB1C1C．（2）连接B1C，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴CC1⊥平面ABCAC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，CC1，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，BM⊂平面BB1C1C，∴AC⊥MB．在Rt△BCM与Rt△B1BC中，==，∴△BMC∽△B1BC，∴∠CBM=∠BB1C，∴∠BB1C+∠B1BM=∠CBM+∠B1BM=90°，∴BM⊥B1C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴BM⊥AB1C，∵AB1⊂平面AB1C，∴BM⊥AB1．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．证明线线平行和线线垂直是解题的关键．16．在△ABC中，三边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，若a=4，E为边BC的中点．（1）若=1，求BC边上的中线AE的长；（2）若△ABC面积为，求的最小值．考点：余弦定理的应用；基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用=1，以及余弦定理列出方程组，通过cos∠AEB+cos∠AEC=0，即可求BC边上的中线AE的长；（2）利用△ABC面积为，以及余弦定理求出bc的最值，然后利用基本不等式求的最小值．解答：解：（1）由题意知可得b2+c2=18，…（2分）又，且cos∠AEB+cos∠AEC=0，相加得．…（6分）（2）由条件得即平方相加得，…（10分），即当b=c时，的最小值为．…（14分）点评：本题考查余弦定理的应用，向量的数量积以及基本不等式的应用，考查计算能力．17．某森林失火了，火势正以平均每分钟200m2的速度顺风蔓延，消防队员在失火后10分钟到达现场开始救火，已知每个队员平均每分钟可灭火50m2，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，另外车辆、器械装备等损耗费用平均每人800元，而每烧毁1m2的森林的损失费为60元，消防队共派x名队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n分钟．（1）求出x与n的关系．（2）问消防队派多少名队员前去救火，才能使得总损失最小？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可知，消防队员到达现场时失火面积为10×200=2000m2，列出x•50•n=2000+200n即可得到结果．（2）设总损失为y，则y=125nx+800x+50nx•60，代入（1），利用基本不等式求出最小值即可．解答：解：（1）由题意可知，消防队员到达现场时失火面积为10×200=2000m2又依题意可知，x•50•n=2000+200n，∴（x≥5，且x∈N*）…（6分）（2）设总损失为y，则y=125nx+800x+50nx•60=3125nx+800x=…（10分）=≥…（14分）当且仅当．答：消防队派29名队员前去救火，才使得总损失最小．…（16分）点评：本题考查函数与方程的实际应用，基本不等式的应用，考查计算能力．18．椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明：为定值，并求出这个定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出=1，=，由此能求出椭圆C的方程．（2）设P（x0，y0）（y0≠0），则直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0）．联立，得（1+4k2）x2+8（ky0﹣k2x0）x+4（y02﹣2kx0y0+k2x02﹣1）=0．由此利用根的判别式结合题设条件能证明为定值﹣8．解答：（1）解：∵c2=a2﹣b2，∴将x=﹣c代入椭圆方程=1，得y=±．∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l，∴=1，即a=2b2．…（2分）∵离心率e==，…（4分）∴a=2，b=1．…（5分）∴椭圆C的方程为+y2=1．…（6分）（2）证明：设P（x0，y0）（y0≠0），则直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0）．联立，…（8分）整理得（1+4k2）x2+8（ky0﹣k2x0）x+4（y02﹣2kx0y0+k2x02﹣1）=0．由题意知△=0，即（4﹣x02）k2+2x0y0k+1﹣y02=0．…（10分）又+y02=1，∴16y02k2+8x0y0k+x02=0，∴k=﹣．…（12分）由（2）知=+=，…（15分）∴=（）•=﹣8，∴为定值，这个定值为﹣8．…（16分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．19．（16分）（2015•海南模拟）已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k=7，a1=2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：（1）因为k=7，所以a1，a3，a7成等比数列，又a n是公差d≠0的等差数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的定义可以得到a n=a1+（n﹣1）d=n+1，b n=b1×q n﹣1=2n，（i）用错位相减法可求得a n b n的前n项和为T n=n×2n+1；（ii）因为新的数列{c n }的前2n﹣n﹣1项和为数列a n的前2n﹣1项的和减去数列b n前n项的和，所以计算可得答案；（2）由题意由于（a1+2d）2=a1（a1+（k﹣1））d，整理得4d2=a1d（k﹣5），解方程得，，又因为存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，及在正项等差数列{a n}中，得到2[4+（m﹣1）（k﹣5）]=（k﹣3）3，分析数特点即可．解答：解：（1）因为k=7，所以a1，a3，a7成等比数列，又a n是公差d≠0的等差数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+6d），整理得a1=2d，又a1=2，所以d=1，b1=a1=2，，所以a n=a1+（n﹣1）d=n+1，b n=b1×q n﹣1=2n，（i）用错位相减法或其它方法可求得a n b n的前n项和为T n=n×2n+1；（ii）因为新的数列{c n }的前2n﹣n﹣1项和为数列a n的前2n﹣1项的和减去数列b n前n项的和，所以．所以（2）由（a1+2d）2=a1（a1+（k﹣1））d，整理得4d2=a1d（k﹣5），因为d≠0，所以，所以．因为存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，所以，又在正项等差数列{a n}中，，所以，又因为a1＞0，所以有2[4+（m﹣1）（k﹣5）]=（k﹣3）3，因为2[4+（m﹣1）（k﹣5）]是偶数，所以（k﹣3）3也是偶数，即k﹣3为偶数，所以k为奇数．点评：此题考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，还考查了解方程的能力，数列求和的错位相减法，及学生的计算能力．20．己知函数f（x）=（mx+n）e﹣x（m，n∈R，e是自然对数的底）．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey﹣3=0，试确定函数f（x）单调区间；（2）①当n=﹣1，m∈R时，若对于任意x∈[，2]，都有f（x）≥x恒成立，求实数m的最小值；②当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x（t∈R），是否存在实数a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题．分析：（1）求导函数，利用函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey﹣3=0，可得f（1）=，f′（1）=﹣，从而可得函数的解析式，利用导数的正负可得函数的单调区间；（2）①对于任意，都有f（x）≥x恒成立，等价于m≥，对于任意恒成立，构造函数可得φ（x）的最大值是φ（）和φ（2）中的较大的一个，由此可求m的最小值；②假设存在a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），则问题等价于2g（x）min＜g （x）max，1求导函数，分类讨论求出函数的最值，即可求得结论．解答：解：（1）由题意，f′（x）=∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey﹣3=0∴f（1）=，f′（1）=﹣∴，∴m=1，n=1∴f（x）=（x+1）e﹣x，f′（x）=令f′（x）＞0，可得x＜0，令f′（x）＜0，可得x＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增；（2）①当n=﹣1，m∈R时，，即m≥对于任意，都有f（x）≥x恒成立，等价于m≥，对于任意恒成立记φ（x）=，则φ′（x）=记h（x）=，则h′（x）=＞0对于任意恒成立，∴h（x）=在上单调递增∵∴φ′（x）=在上有唯一的零点x0，∴x∈（，x0），φ′（x）＜0，x∈（x0，2），φ′（x）＞0∴φ（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，2）上单调递增∴φ（x）的最大值是φ（）和φ（2）中的较大的一个∴m≥φ（）且m≥φ（2）∴m≥+2且m≥∴m的最小值为；②假设存在a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c），则问题等价于2g（x）min＜g （x）max，∵g（x）=xf（x）+tf'（x）+e﹣x=，∴g′（x）=当t≥1时，在[0，1]上g′（x）≤0，∴g（x）在[0，1]上单调递减，∴2g（1）＜g（0），∴2×＜1，∴；当t≤0时，在[0，1]上g′（x）≥0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，∴2g（0）＜g（1），∴2＜，∴t＜3﹣2e＜0；当0＜t＜1时，在[0，t）上，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，t）上单调递减，在（t，1]上，g′（x）＞0，∴g（x）在（t，1]上单调递增，∴2g（t）＜max{g（0），g（1）}∴2×由（1）知f（t）=在[0，1]上单调递减，故，∵∴2×无解综上所述，存在t∈（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞），使得命题成立．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键．。
江苏省如皋中学高三数学10月阶段练习试题 文
江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习高三数学 (文科)一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置．．．．．．．．上．． 1．复数z 1=3+i ，z 2=1-i ,则复数21z z 的虚部为___▲____． 2．“x >1”是“1x<1”的__▲__条件．(如：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)3．已知集合A ＝{1,2a}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝ ___▲____．4．函数()f x =___▲___．5．已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则y x z +=2的最大值为___▲____．6．已知2)tan(-=-απ,则221sin 2cos αα=- ___▲__．7．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于___▲____．8．在等差数列{}n a 中,28149a a a ++=，则15S =__▲__．9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 ▲ ．10. 已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝ ▲ ．11．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为___▲____．12．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝2，则三棱锥D －ABC 的体积为___▲____．13．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是____▲____．14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式a 2n ＋S 2nn 2≥ma 21对任意等差数列{a n }及任意正整数n都成立，则实数m 的最大值为___▲____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤．15．已知集合{}]3,2[,2∈-==x y y A x ，{}03322>--+=a a x x x B （1）当4a =时，求A B I ； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．16．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，,//,2,4AD CD AB CD AB AD CD ⊥===,M 为CE 的中点．（1）求证：BM ∥平面ADEF ； （2）求证：平面BDE ⊥平面BEC .17． 已知函数()()2cos 3cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()31f θ=+，求θ的值； （2）若⎪⎭⎫⎝⎛∈22ππθ，－，求函数)(x f 值域；（3）在△ABC 中，AB =1，()31f C =+，且△ABC 的面积为3，求sin A +sin B 的值．18． 某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8米，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5米，3BCD π∠=，若建筑支架各部分的材料每米的价格已确定，且AB部分的价格是CD 部分价格的两倍.设BC x =米,CD y =米. (1)求y 关于x 的函数；(2)问怎样设计AB 的长，可使建造这个支架的成本最低？19．已知函数2()ln (0,1)xf x a x x a a a =+->≠.（1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；（3）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.BACD 地面20．已知()x f x m =（m 为常数，0>m 且1≠m ）．设))((,),(),(*21N n a f a f a f n ∈Λ是首项为4，公比为2的等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若)(n n n a f a b ⋅=，且数列{}n b 的前n 项和n S ，当2=m 时，求n S ；（3）若()n n c a f n =⋅，问是否存在实数m ，使得数列{}n c 中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．高三数学质量检测(文科)试题命题人:钱如美1． 2; 2．充分不必要; 3． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，12; 4．; 5． 12; 6． 52; 7． π4;8． 45; 9． 0或－14; 10. 6; 11． 17250; 12．13． [－2，－1]; 14． 1515．解：（1） [8,7A B =--I ） （2）{}()(3)0B x x a x a =-++> ①当32a =-时，3,2B x x R x ⎧⎫=∈≠-⎨⎬⎩⎭A B ∴⊆恒成立； ②当32a <-时，{}3--><=a x a x x B 或 ,A B ⊆Q ∴4->a 或83-<--a 解得4a >-或5>a （舍去） 所以-<<-a 423 ③当32a >-时，{}a x a x x B >--<=或3 ,34A B a ⊆∴-->-Q 或8-<a （舍去）解得312a -<<综上，当A B ⊆，实数a 的取值范围是(4,1)-．16． 证明：（1）取DE 中点N ，连结,MN AN ．在EDC ∆中，,M N分别为,EC ED 的中点，所以//MN CD ，且12MN CD =．由已知1//,2AB CD AB CD =，所以//MN AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形，所以//BM AN ． 又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF ． ------------------------- 6分 （2）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF I 平面ABCD AD =， 所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ------------------------------------------ 8分在直角梯形ABCD 中，2,4AB AD CD ===，可得BC =．在BCD∆中，4BD BC CD ===，所以BC BD ⊥． ----------------------- 10分又,,,ED BD D ED BDE BD BDE =⊂⊂I 面面所以BC ⊥平面BDE ． --------------------------------- 12又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC .---------------------------- 14分17． （1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x + 3分FCA由()π2cos 3316x +，得()π1cos 62x +=，于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． 5分 （2）3263πππ≤+≤-x ，所以值域为(]32,31++- 9分 （3）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． 因为△ABC 331πsin 26ab =，于是23ab =① 10分在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 11分 由①②可得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，32.a b ⎧⎪⎨=⎪⎩，于是23a b +=由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===， 所以()31sin sin 12A B a b +=+=+．14分18． 解：(1)由题 BC x =,CD y =.连结BD ，则在CDB ∆中，2221()2cos23y y x xy π-=+-，整理得：214.1x y x -=-( 1.4)x ≥ ----------6分 （注：不注明定义域扣2分）(2)设金属支架CD 每米价格为a 元，金属支架AB 每米价格为2a 元， 则总成本为()()224y a x a a y x ⋅+⋅=+214441x y x x x -+=+- ----------8分 设 2.81,10.4,2t x t =-≥-= ---------10分则34564y x t t+=++ ----------12分 令()3564g t t t=++，在[)+∞,4.0上单调增, 所以当4.0=t 时,即 1.4x =时,取得最小值.------14分答：当m AB 8.2=时，建造这个支架的成本最低.-------16分19．解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln xxf x a a x a x a a '=+-=+-…………………3分由于10<<a 或1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10xa a >->，所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ………………………………………5分 （Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增， 故()0f x '=有唯一解0x =…………………………………………7分 所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t = ……………11分（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…12分 由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=+--++=--， 记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥（当1t =时取等号），所以1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =，所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <，也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-………14分 ①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥，②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e--≥-⇒+≥-⇒<≤，综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦U ……………………………16分20． 解：（1）由题意11()422n n n f a -+=⨯=，即12na n m+=，∴1log 2n n m a += ……………………3分（2）由题意()()111()log 2212log 2n n n n n n m m b a f a n +++==⨯=+，当m =()()()11212log 212212n n n n m b n n n +++=+=+=+． ∴25432)1(242322+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n S Λ ① …………5分 ①式两端同乘以2，得326542)1(22423222++⋅++⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ ② ②－①并整理，得3265432)1(222222++⋅++-----⋅-=n n n n S Λ 3254332)1(]2222[2++⋅++++++--=n n n Λ=3332)1(21]21[22+⋅++----n n n 3332)1()21(22+⋅++-+-=n n n 32n n +=⋅ …………9分（3）由题意()()()1log 21log 2n n n n n m m c a f n m n m +==⨯=+， 要使1n n c c +<对一切1n ≥成立，即()()11log 22log 2n n m m n m n m ++<+对一切1n ≥ 成立，①当1m >时，()()12n n m +<+对一切1n ≥ 成立； …………12分 ②当01m <<时，()()12n n m +>+，∴12n m n +<+一切1n ≥ 成立， 即23m <，考虑到01m <<，∴203m <<． ………15分 综上，当203m <<或1m >时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项． ………16分。
江苏省如皋中学高三第二次阶段测试12月数学试题
江苏省如皋中学第一学期第二次阶段测试高三数学一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3,4}，N ＝{4,5}，则∁U (M ∪N )＝ ▲ ．2．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中具有初级职称的职工为10人，则样本容量为 ▲ ． 3．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝ ▲ ． 4．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则四棱锥M -ABCD的体积小于16的概率为 ▲ ．5．已知a ∈R ，若1＋a i2－i为实数，则a ＝ ▲ ． 6．设向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12”的 ▲ 条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)． 7．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x －1，x ＋3y －5≤0，那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为 ▲ ．8．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于MF 2，则椭圆的离心率为 ▲ ． 9．若实数0>a ，1>b ，且2=+b a ，则1221-+b ba 的最小值为 ▲ ．10．如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在弧AB 上，且∠COB ＝30°．若OC ＝λOA ＋2μOB ，则μλ+＝ ▲ ． 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n的值为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”，这个常数称为数列{a n } 的“吉祥数”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则它的“吉祥数”是 ▲ ．＝433，则cos ∠C ＝ ▲ ．13．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ＋OB |≥33|AB |，那么k 的取值范围是 ▲ ．14．若不等式0152>+-nx e x 在实数集R 上恒成立，则正整数的最大值是 ▲ ．[参考数据：21572e <<]二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， AB ⊥BC ， E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1 ； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ．n . . . . . . . .(1)求角C 的大小；(2)设函数f (x )＝cos(2x ＋C )，将f (x )的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值．17．（本小题14分）．为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m ，渠深为2m ．（第17题图）18．（本小题16分）．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1C 2222>>=+b a by a x ：的左、右焦点分别为)0,1(1-F 、)0,1(2F ，定点A (－2,0)，B (2,0)．(1) 若椭圆C 上存在点T ，使得TATF 1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围；(2) 已知点)22,1-（在椭圆C 上． ①求椭圆C 的方程；②记M 为椭圆C 上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ，若AP AM λ=，μ=．求λ＋μ的值．19．（本小题16分）．已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1为等比数列；(2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n，若S n <100，求最大正整数n ；(3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．20．（本小题16分）．已知a ，b 为实数，函数b ax x f ++=1)(，函数x x g ln )(=． (1) 当0=a 时，令g(x)f(x))(+=x F ，若0)(≥x F 恒成立，求实数b 的取值范围； (2) 当1-=a 时，令g(x)f(x))(⋅=x G ，是否存在实数b ，使得对于函数)(x G y =定义域中的任意实数1x ，均存在实数[)+∞∈,12x ，有0)(21=-x x G 成立？若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．江苏省如皋中学2017-2018学年度第一学期阶段练习高三数学（理科附加题）21．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－13将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′．(1)求直线l ′的方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1；若不可逆，请说明理由．22．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．23．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11．(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．24．已知动圆Q过定点M(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4．(1)求动圆圆心Q的轨迹C的方程；(2)已知点P(－2,1)，动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案 1． {1,6}； 2． 40； 3． 8； 4． 12； 5．－12； 6．必要不充分； 7． 2；8． 3－1； 9.213；10．332；11． 41；12． 79；13． [2，22)；14．14n ．15．（本小题14分）．(1)证明：在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC 且AB ⊂平面ABC . 所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.又AB ⊂平面ABE . 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1. -------------6分 (2)证明：取AB 中点G ，连结EG ，FG .因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE . ------------------------14分16．（本小题14分）．解：(1)∵a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的三边，且2a －b c ＝cos Bcos C， ∴由正弦定理得2sin A －sin B sin C ＝cos Bcos C ，即(2sin A －sin B )cos C ＝cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )． ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0， ∴2cos C ＝1，即cos C ＝22.∵C 是△ABC 的内角，∴C ＝π4. --------------------------------8分(2)由(1)可知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， g (x )＝f ⎝⎛⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝cos （2x －π4）. ∵0≤x ≤π3，∴－π4≤2x －π4≤5π12，∴g (x )在8π=x 时，（不写扣2分） 最大值为1-----------------------------14分 17．（本小题14分）．解 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为()220xpy p =>，由已知点()2 2P ，在抛物线上，得1p =，所以抛物线的方程为212y x =.（1）为了使填入的土最少，如图1，设点()21, 022A t t t ⎫⎛<< ⎪⎝⎭，则此时梯形APQB ()()23211124224222S t t t t t t ⎛⎫=+⋅-=--++ ⎪⎝⎭，∴()23'222S t t t =--+,令()23'22=02S t t t =--+23t =， 当20, 3t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t >，()S t 单调递增，当2, 23t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t <，()S t 单调递减，所以当23t =时，()St 有最大值12827，改挖后的水渠的底宽为43m 时，可使填土的土方量最少.-----------7分（2）为了使挖掉的土最少，切，如图2，设切点()21, 02M t t t ⎫⎛>⎪⎝⎭， 则函数在点M 处的切线方程为()212y t t x t -=-，分别令0,2y y ==得2, 0,, 222t t A B t⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，所以此时梯形OABC 的面()12222S t t t t t⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≥当且仅当t 此时OA =.所以设计改挖后的水渠的底宽为m 时，可使挖土的土方量最少.-------------------14分 18．（本小题16分）．(1)设点T (x ，y )，由TATF 1＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]，即x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2，x 2m ＋1＋y2m ＝1得y 2＝m 2－m ，（其中：m=2b ）因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2. 所以椭圆的离心率e ＝1m ＋1∈⎣⎡⎦⎤33，22.-----------------6分(2) ①椭圆C 的方程为11222=+y x ．-----------------10分②法一：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝λ(x 1＋2)，y 0＝λy 1， 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝λx 1＋2(λ－1)，y 0＝λy 1.因为x 202＋y 20＝1，所以[λx 1＋2(λ－1)]22＋(λy 1)2＝1，即λ2⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋2λ(λ－1)x 1＋2(λ－1)2－1＝0. 因为x 212＋y 21＝1，代入得2λ(λ－1)x 1＋3λ2－4λ＋1＝0.由题意知，λ≠1，故x 1＝－3λ－12λ，所以x 0＝λ－32.同理可得x 0＝－μ＋32.因此λ－32＝－μ＋32，所以λ＋μ＝6为定值．--------------16分法二：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，将y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得12(x 0＋2)2＋y 20x 2＋4y 20x ＋4y 20－(x 0＋2)2＝0(*)．。
江苏省如皋中学高三上学期阶段练习数学试题 无答案
如皋中学2013届高三上学期阶段练习数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 复数(2)i i +在复平面上对应的点在第 象限．2.函数2()f x =的定义域为 ．3. 直线l 经过点(3,1)-，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为 _________.4. 在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）． 5. 函数sin()sin()32y x x ππ=++的最小正周期=T _________.6. 已知双曲线C经过点(1,，它的一条渐近线方程为x y 3=，则双曲线C 的标准方程是_______________． 7. 程序如下：1←t 2←i While 4≤i i t t ⨯← 1+←i i End While int Pr t以上程序输出的结果是 ．8. 设集合22222{(,)|1},{(,)|(3)(4)(0)}M x y x y N x y x y r r =+≤=-+-≤>，当M N φ≠I 时，则实数r 的取值范围是________.9. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；③若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是 .(写出所有真命题的序号)10.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,过点2F 的直线交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，若1AF B ∆内切圆的面积为π，且124y y -=，则椭圆的离心率为 ．11. 在ABC ∆中，若7,||6AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为 ．12.若关于x 的不等式组241,1210,x x ax ⎧<-⎪-⎨⎪--≤⎩的整数解有且只有一个，则实数a 的取值范围是_______．13.已知等差数列{}n a 的首项及其公差均为正数，令,2012)n b n N n *∈<．当k b 是数列{}n b 的最大项时，k =______.14. 已知0,0x y >>，且满足222cos ()2sin()1,sin()sin()0,12,x y x y x y ππππ⎧+=⎪+=⎨⎪-=⎩则x y +的值是_________.二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知向量(,cos 2),(1sin 2,3),m a x n x x R ==+∈u r r，记()f x m n =⋅u r r．若()y f x =的图象经过点(,2)4π．（1）求实数a 的值； （2）设(,)44x ππ∈-，求函数()f x 的取值范围； （3）将()y f x =的图象向右平移12π，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，求()y g x =的单调递减区间．16. 如图，已知三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形． （1）求证：//DM APC 平面； （2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若4,10BC AB ==，求三棱锥D BCM -的体积．17. 某民营企业从事M 国某品牌运动鞋的加工业务，按照国际惯例以美元结算．依据以往的加工生产数据统计分析，若加工订单的金额为x 万美元，可获得的加工费的近似值为)12ln(21+x 万美元．2011年以来，受美联储货币政策的影响，美元持续贬值．由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx 美元（其中m 是该时段的美元贬值指数，且0<m <1），从而实际所得的加工费为1()ln(21)2f x x mx =+-万美元．（1）若某时段的美元贬值指数2001=m ，为了确保企业实际所得加工费随x 的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x 应该控制在什么范围内？（2）若该企业加工产品订单的金额为x 万美元时共需要的生产成本为x 201万美元．已知该企业的生产能力为]20,10[∈x ，试问美元贬值指数m 在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损？18.平面直角坐标系xoy 中，已知以M 为圆心的⊙M 经过点1(0,),(0,),,0)F c F c A -三点，其中0c >．（1）求⊙M 的标准方程（用含c 的式子表示）；（2）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>（其中222a b c -=）的左、右顶点分别为D 、B ，⊙M 与x 轴的两个交点分别为A 、C ，且A 点在B 点右侧，C 点在D 点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．19. 已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ，使得对于其定义域内的任意两个自变量12x x 、均有1212|()()|||f x f x x x -≤-成立． （1）已知函数2()()g x ax bx c x R =++∈是M 中的元素，写出a b c 、、需满足的条件；（2）对于函数1()2p x x =+，使()P x 在定义域{|}A x x a =≥上属于M ，试求a 的最小值；（3）函数()0)h x x =≥是集合M 中的元素，求满足条件的常数k 的取值范围．20. 已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ,都有212()n a a a ++=…+33312n a a a ++…+．(1) 当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123a a a 、、；(2) 是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012a =-?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在,说明理由．21. 若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．22. 已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：cos()4ρθπ+=C 2：24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ．23. 已知正项数列{}n a 中，对于一切的*n N ∈均有21n n n a a a +≤-成立．（1）证明：数列{}n a 中的任意一项都小于1； （2）探究n a 与1n的大小，并证明你的结论.24. 已知斜三棱柱111,90,ABC A B C BCA AC BC -∠==o ，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（II ）求二面角1A A B C --余弦值的大小．。
江苏省如皋中学高三12月阶段练习高三数学(理)试题
江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习高三数学时间:120分钟 总分160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{－1,0,1}，则A∪B＝ ▲ .2．如果复数的实部与虚部互为相反数,则= ▲ .3．已知直线与平行，则实数的值为 ▲ ．4．函数在（0，2）内的单调增区间为 ▲ ．5．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为 ▲ ．6．圆心在抛物线上，并且和抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．7．已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为 ▲ ．8．设双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线上一点，且，则此双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．9．已知p ：1＜＜8；q ：不等式恒成立，若p 是q 的必要条件，求实数的取值范围 ▲ . 10．已知偶函数满足：，且当时，，其图象与直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为，则等于 ▲ ．11． △ABC 中，AB 边上的中线CD 等于2，动点P 满足AP →＝12t ·AB →＋(1－t)·AC →（0≤t ≤1），则(PA →＋PB →)·PC →的取值范围为 ▲ ．12．从直线上一点P 向圆C ：012222=+--+y x y x 引切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB的周长最小值为 ▲ ．13．已知函数),,()(23R c b a c bx ax x x f ∈+++=，若函数在区间[－1,0]上是单调减函数，则的最小值为 ▲ ．14．已知实数满足:3210(12,0)x xy x x +-=-≤≤≠，这个方程确定的函数为，若函数有且只有一个零点,则实数的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 的面积为S ，且AB →·AC →＝S ． (1) 求tan2A 的值；(2) 若B ＝π4，|CB →－CA →|＝3，求△ABC 的面积S ．16．如图，在三棱柱中，已知，︒=∠=∠6011CAA BAA ，点，分别为，的中点．求证：(1)∥平面； (2)⊥平面．17．如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t. (1) 用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长是否为定值；(2) 问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少为多少(平方百米)?18．已知椭圆O 的中心在原点，长轴在轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为32．不过A 点的动直线交椭圆O 于P 、Q 两点．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 证明P 、Q 两点的横坐标的平方和为定值；(3) 过点A 、P 、Q 的动圆记为圆C ，动圆C 过不同于A 的定点，请求出该定点坐标．19．设数列的前项和为，已知，，数列是公差为的等差数列，n∈N *.(1) 求的值；(2) 求数列的通项公式；(3) 请判断)2)(1(2)()(122121++⋅⋅⋅+n n S S S a a a n n n 和 的大小关系,并证明你的结论．20．已知函数， (为常数)．(1) 函数的图象在点(1，)处的切线与函数的图象相切，求实数的值； (2) 设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围； (3) 若，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数，都有)()()()(2121x g x g x f x f ->-成立，求实数的取值范围．附加题（时间30分钟，总分40分）1．设是逆时针旋转的旋转变换，是以直线：为轴的反射变换，求先进行变换，后进行变换的复合变换矩阵.2．在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆 的极坐标方程．3．一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个．(1) 从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；(2) 每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．4．已知定点和直线,过定点与直线相切的动圆的圆心为点.动点的轨迹记为曲线.(1)求曲线的标准方程;(2)点是曲线上的一个动点, 曲线在点处的切线为,过点且与直线垂直的直线与曲线的另一个交点为,求线段的取值范围.高三阶段考试(数学试题)一卷1． {－1,0,1,2}; 2． 1; 3． 1; 4．; 5． 233; 6． (x ±1)2＋(y-12)2=17． 10; 8．; 9． m ≤4; 10． 4; 11． [－2,0]; 12． 42＋2 13． 95; 14．15． 解：(1) 设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c.∵ AB →·AC →＝S ，∴ bccosA ＝12bcsinA ，∴ cosA ＝12sinA ，∴ tanA ＝2.∴ tan2A ＝2tanA 1－tan 2A＝－43.(5分) (2) |CB →－CA →|＝3，即|AB →|＝c ＝3，∵ tanA ＝2，0＜A ＜π2，(7分) ∴ sinA ＝255，cosA ＝55.(9分)∴ sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝255·22＋55·22＝31010.(11分)由正弦定理知：c sinC ＝b sinB b ＝c sinC ·sinB ＝5，S ＝12bcsinA ＝125×3×255＝3.(14分)16． 证明：(1) 取AC 中点M ，连DM ，EM ，∵D 为AB 的中点，∴ DM ∥BC ，∵ 平面BB 1C 1C ，平面BB 1C 1C ， ∴ DM ∥平面BB 1C 1C.同理可证EM ∥平面BB 1C 1C.又DM ∩EM ＝M ，∴ 平面DEM ∥平面BB 1C 1C. ∵ 平面DEM ，∴ DE ∥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 在△AA 1B 中，因为AB ＝2AA 1，∠BAA 1＝60°， 设AA 1＝1，则AB ＝2，由余弦定理得A 1B ＝ 3.故AA 21＋A 1B 2＝AB 2，∴ AA 1⊥A 1B, 所以BB 1 ⊥A 1B (10分)同理可得BB 1⊥A 1C. 又A 1B ∩A 1C ＝A 1，∴BB 1⊥平面A 1BC. (14分) 17． 解：(1) BP ＝t ，CP ＝1－t,0≤t ≤1.∠DAQ ＝45°－θ，DQ ＝tan(45°－θ)＝1－t 1＋t ，CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t .(3分)∴ PQ ＝CP 2＋CQ 2＝(1－t )2＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 2＝1＋t21＋t .(6分)∴ l ＝CP ＋CQ ＋PQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t21＋t＝1－t ＋1＋t ＝2.(9分)(2) S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－12(1－t)－122t 1＋t ＝12(1＋t)＋11＋t －1(12分)∵ 1＋t ＞0，∴ S ≥212(1＋t )11＋t－1＝2－1.当t ＝2－1时取等号． 探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少为(2－1)平方百米．(14分)18． (1) 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得a ＝2，e ＝32.(2分)∴ c ＝3，b ＝1，(2分)∴ 椭圆的标准方程为x24＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝12x ＋m 带入椭圆，化简得x 2＋2mx ＋2(m 2－1)＝0，①∴ x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2(m 2－1)，(6分)∴ x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，∴ P 、Q 两点的横坐标的平方和为定值4.(7分)(3) 解：解法1：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2PQ 中点M ⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －32m ，(8分) 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2满足y ＝－2x －32m ，所以－E 2＝D －32m ，②(9分) 圆过定点(2，0)，所以4＋2D ＋F ＝0，③(10分)圆过P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＋Dx 1＋Ey 1＋F ＝0，x 22＋y 22＋Dx 2＋Ey 2＋F ＝0，两式相加得x 21＋x 22＋y 21＋y 22＋Dx 1＋Dx 2＋Ey 1＋Ey 2＋2F ＝0，x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫1－x 214＋⎝⎛⎭⎫1－x 224＋D(x 1＋x 2)＋E(y 1＋y 2)＋2F ＝0，(11分)∵ y 1＋y 2＝m ，∴ 5－2mD ＋mE ＋2F ＝0. ④(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1.由②③④解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52，(13分)代入圆的方程为x 2＋y 2＋3（m －1）4x ＋⎝⎛⎭⎫32m ＋32y －32m －52＝0， 整理得⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2－34x ＋32y －52＋m ⎝⎛⎭⎫34x ＋32y －32＝0，(14分) ∴ ⎩⎨⎧x 2＋y 2－34x ＋32y －52＝0，34x ＋32y －32＝0，(15分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.(舍)∴ 圆过定点(0，1)．(16分)解法2：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将y ＝12x ＋m 代入的圆的方程：54x 2＋⎝⎛⎭⎫m ＋D ＋E 2x ＋m 2＋mE ＋F ＝0. ⑤(8分) 方程①与方程⑤为同解方程.154＝2mm ＋D ＋E 2＝2（m 2－1）m 2＋mE ＋F，(11分)圆过定点(2，0)，∴ 4＋2D ＋F ＝0.(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1.解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52.(13分)(以下相同)19． (1) 解：∵ a 1＝a 2＝1，∴ b 1＝S 1＋3a 1＝4，b 2＝2S 2＋4a 2＝8，∴ d ＝b 2－b 1＝4.(3分)(2) 解：∵ 数列{b n }是等差数列，∴ b n ＝4n ，∴ nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，即S n ＋n ＋2n a n ＝4. ① 当n ≥2时，S n －1＋n ＋1n －1a n －1＝4. ②①－②，得(S n －S n －1)＋n ＋2n a n －n ＋1n －1a n －1＝0.∴ a n ＋n ＋2n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝12·nn －1.(7分) 则a 2a 1＝12·21，a 3a 2＝12·32，…，a n a n －1＝12·n n －1. 将各式相乘得a n a 1＝12n －1·n.∵ a 1＝1，∴ a n ＝n2n －1.(9分) (3)判断:小于.(10分)证明：∵ S n ＋n ＋2n a n＝4，a n ＞0，S n ＞0，∴ S n ·n ＋2n a n ≤S n ＋n ＋2n an 2＝2.则0＜a n S n ≤4·nn ＋2.(13分)∴ (a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )≤4n ·1×2(n ＋1)(n ＋2). ③(15分)∵ n ＝1时，S n ≠n ＋2n a n ， ∴ ③式等号不成立．则(a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )＜22n ＋1(n ＋1)(n ＋2).(16分)20． (1) 因为f(x)＝lnx ，所以f ′(x)＝1x，因此f ′(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝x －1，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2－bx ，得x 2－2(b ＋1)x ＋2＝0.由Δ＝4(b ＋1)2－8＝0，得b ＝－1±2.(4分) (2) 因为h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx(x ＞0)，所以h ′(x)＝1x ＋x －b ＝x 2－bx ＋1x ，由题意知h ′(x)＜0在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，设u(x)＝x 2－bx ＋1，因为u(0)＝1＞0， 则只要⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞0，(－b )2－4＞0，解得b ＞2，所以b 的取值范围是(2，＋∞)．(8分)(3) 不妨设x 1＞x 2，因为函数f(x)＝lnx 在区间[1,2]上是增函数，所以f(x 1)＞f(x 2)，函数g(x)图象的对称轴为x ＝b ，且b ＞1.(ⅰ) 当b ≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x 1)＜g(x 2)， 所以|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)－f(x 2)＞g(x 2)－g(x 1)， 即f(x 1)＋g(x 1)＞f(x 2)＋g(x 2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx 在区间[1,2]上是增函数，等价于h ′(x)＝1x＋x －b ≥0在区间[1,2]上恒成立，等价于b ≤x ＋1x 在区间[1,2]上恒成立，所以b ≤2. 又b ≥2，所以b ＝2；(10分)(ⅱ) 当1＜b ＜2时，函数g(x)在区间[1，b]上是减函数，在[b,2]上为增函数．① 当1≤x 2＜x 1≤b 时，|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)＋g(x 1)＞f(x 2)＋g(x 2)， 等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx 在区间[1，b]上是增函数，等价于h ′(x)＝1x＋x －b ≥0在区间[1，b]上恒成立，等价于b ≤x ＋1x 在区间[1，b]上恒成立，所以b ≤2.又1＜b ＜2，所以1＜b ＜2；(12分)② 当b ≤x 2＜x 1≤2时，|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)－g(x 1)＞f(x 2)－g(x 2)， 等价于H(x)＝f(x)－g(x)＝lnx －12x 2＋bx 在区间[b,2]上是增函数，等价于H ′(x)＝1x－x ＋b ≥0在区间[b,2]上恒成立，等价于b ≥x －1x 在区间[b,2]上恒成立，所以b ≥32. 故32≤b ＜2.(14分)③ 当1≤x 2＜b ＜x 1≤2时，由g(x)图象的对称性可知，只要|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|对于①②同时成立，那么对于③，则存在t 1∈[1，b]，使|f(x 1)－f(x 2)|＞|f(t 1)－f(x 2)|＞|g(t 1)－g(x 2)|＝|g(x 1)－g(x 2)|恒成立； 或存在t 2∈[b,2]，使|f(x 1)－f(x 2)|＞|f(x 1)－f(t 2)|＞|g(x 1)－g(t 2)|＝|g(x 1)－g(x 2)|恒成立． 因此，32≤b ＜2.综上，b 的取值范围是32≤b ≤2.(16分)附加题（时间30分钟，总分40分）1．解：对应的变换矩阵为：122122A ⎤-⎥⎢=⎢⎢⎣⎦， …………………3分 对应的变换矩阵为：， ………………………6分 先进行变换，后进行变换的复合变换矩阵是：122122BA ⎡⎢⎥=⎥-⎥⎣⎦． ……………………………10分2．解：因为圆心为直线与极轴的交点，所以令，得，即圆心是， ………………………………2分又圆C经过点，所以圆的半径1r ==，……7分 从而圆过原点，所以圆C 的极坐标方程是．…………………10分3． 解：(1) 随机变量X---------(3分)X 的数学期望E(X)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32.(5分)(2) 记3次摸球中，摸到黑球次数大于摸到白球次数为事件A ， 则P(A)＝C 33⎝⎛⎭⎫4103＋C 23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4102·510＋⎝⎛⎭⎫4102·110＋C 13⎝⎛⎭⎫4101·⎝⎛⎭⎫1102＝91250. 所以3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率为91250.(10分)4．解:(1)由抛物线定义知曲线的标准方程: -------------4分(2)设, , ,所以的斜率为直线:与联立得:04822=--+a a x ax 由两根之和得:,所以---------------------6分22222)2)818(2()818(a aa a a a PQ -++-+-== 令, 则 令, 0)1()3()(2222/=--=t t t t f 得列表判断知:-----------------------------10。
江苏省如皋中学高一数学12月阶段练习试题(无答案)
江苏省如皋中学2014—2015学年度第一学期阶段练习高一数学一、填空题：（本大题共14题，每小题5分，共70分）1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，且{}2,3,4A =，{}1,2B =，则()U A C B 等于 ▲ .2.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则点sin(),cos()22P ππαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭在第 ▲ 象限. 3.已知4cos 5θ=-，且2πθπ<<，则θtan = ▲ . 4.已知幂函数()y f x =的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为 ▲ . 5.255log (21)log (2),x x x +=-=则 ▲ .6.已知1sin cos ,,842ππααα⋅=<<且则=-ααsin cos ▲ . 7.已知sin x x 的取值集合为 ▲ . 8.已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=，若2a b -与c 共线，则k = ▲ .9.把函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位得到图像1C ，再将1C 上的所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到的图象2C ，则2C 的解析式为 ▲ . 10.在ABC ∆中，1,32BD DC AE ED ==，若b AC a AB ==,，则BE = ▲ .（用b a ,来表示） 11.若关于x 的方程22(2)20x t x +-+=的两个实根,αβ满足012αβ<<<<，则实数t 的取值范围是 ▲ .12.已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <，且()()f m f n =，若函数()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则m n += ▲ .13.若()y f x =是定义在R 上周期为2的周期函数, 且()f x 是偶函数, 当[0,1]x ∈时， ()21x f x =-，则函数5()()log ||g x f x x =-的零点个数为 ▲ .14.已知函数3()f x x x =+，对任意的[2,2],(2)()0m f mx f x ∈--+<恒成立，则x 的取值范围为 ▲ .二、解答题：（本大题共6题，共90分） 15. (本小题14分)已知tan 2θ=，其中32ππθ<<. ⑴求sin 2cos 2sin cos θθθθ++值； ⑵求2223cos(4)cos ()cos ()2sin(4)sin()sin()22πθπθπθππθπθθ+++-+-值.16. （本小题14分）已知角α的终边上一点()P m ，且sin α=，求cos ,tan αα.17. （本小题15分）函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中， 相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (1)求函数()f x 的解析式及单调增区间；(2)当[,]122x ππ∈时，()f x 的值域.18. （本小题15分）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台（*x N ∈）的收入函数为2()300020R x x x =-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差. ⑴求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；⑵利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值？19.（本小题16分）设二次函数2()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合{}|()A x f x x ==．（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求M 和m 的值；（2）若{1}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值．20. （本小题16分） 已知函数1()22x x f x =-. (1)若()2f x =，求x 的值；(2)若2(2)()0t f t m f t ⋅+⋅≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．。
江苏省如皋中学届高三十二月份月考数学试卷
江苏省如皋中学2009届高三十二月份月考试卷数学命题人：沙志峰 审核人：王小红本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 一、填空题1．函数)1x (log 1|2x |)x (f 2---=的定义域为 ▲2．设R a ∈，且i i a 2)(+为正实数，则a= ▲3. 运行如右图所示的程序，则输出结果为 ▲4.已知等差数列{}n a 满足,10,45342=+=+a a a a 则它的前5.已知向量),2,3(-=m 向量),12,2(-+=m 且与的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是▲6. 若命题“01)1(,2<+-+∈∃x a x R x 使得”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲7．在?ABC 中，AB=BC ，187cos -=B ，若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ▲8. 正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为 ▲9. 函数cos x x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 ▲ 10. 已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ▲ .11. 已知(,)P x y 满足约束条件301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，O 为坐标原点，(3,4)A ，则c o s O P A O P ⋅∠ 的最大值是 ▲ .12. 已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++=▲13. 已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx=--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ▲ 14.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意,a b R ∈满足下列关系式：()()(),f a b af b bf a ⋅=+(2)2,f =*(2)(),2n n n f a n N =∈*(2)()n n f b n N n =∈.考察下列结论：①(0)(1)f f =； ②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等差数列；④数列{}n b 为等比数列.其中正确的结论有 ▲ .(请将所有正确结论的序号都填上) 二、解答题15. 若公比为c 的等比数列{}n a 的首项11=a 且满足4,3(221=+=--n a a a n n n ……).{}nn S n na 项和的前）求数列（2.16. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，M ，N 分别为A1B ，B1C1的中点．（1）求证BC ∥平面MNB1；（2）求证平面A1CB ⊥平面ACC1A1．17. 如图，ABCD 是块边长为100m 的正方形地皮，其中AST 是一半径为90m 的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在弧ST 上，相邻两边CQ 、CR 落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值。
高三数学月考试题及答案-南通中学2015届高三12月月考
江苏省南通中学2015届高三12月月考I 必做题部分参考公式：锥体的体积公式 13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式 V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．） 1．设复数1z 、2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅= ▲ .【答案】5-2．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ . 【答案】123．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为 ▲ . 【答案】134．为了调查城市 2.5PM 的值，按地域把长三角地区36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6、12、18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ▲ .【答案】45．设集合{}1,2M =、{}2N a=，则“1a =”是“N M ⊆”的 ▲ 条件．（从“充分不必要”、 “必要不充分”、“充分且必要”、“既不充分也不必要”中择一填写） 【答案】充分不必要条件 6．有一段演绎推理：大前提：整数是自然数； 小前提：3-是整数；结论：3-是自然数.这个推理显然错误，则错误的原因是 ▲ 错误.（从“大前提”、“小前提”、“结论”中择一填写）. 【答案】大前提 7．关于x 的不等式22230(0)x ax a a --<<的解集为12(,)x x ，且2112x x -=，则实数a 的值等于 ▲ . 【答案】3-8．已知抛物线28y x =的焦点是双曲线22213x y a -=（0a >）的右焦点，则双曲线的右准线方程为 ▲ . 【答案】12x =9．设x 、y 满足约束条件010x y a x y ++≥⎧⎨-+≤⎩，且ay x z -=的最小值为7，则实数=a ▲ .【答案】3-10．在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，角120A ︒=，2AB AC ⋅=-，则||AM 的最小值为 ▲ . 【解析】设AB c =、AC b =，由1A B A C ⋅=-，120A ︒=得4bc =，倍长AM 至D ，则60ABD ︒∠=，由余弦定理得22224AD b c bc bc bc bc =+-≥-==，即22AM AD =≥，1AM ≥即||AM 最小值为1.【答案】1.11．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -、(,0)B m （0m >），若圆上存在一点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的最小值为 ▲ .【解析】显然2AB m =，因为90APB ︒∠=，所以12OP AB m ==，所以要求m 的最小值即求圆C 上点P 到原点O 的最小距离，因为5OC =，所以min ()4OP OC r =-=，即m 的最小值为4. 【答案】4. 12．如图为函数2()1xf x x =+的部分图像，ABCD 是矩形，A 、B 在图像上，将此矩形（AB 边在第一象限）绕x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 ▲ .【解析】/22(1)(1)()0(1)x x f x x -+-==+得1x =为极大值点，且1(1)2f =，设A 、B 的纵坐标为1(0)2k k <<，则由21x k x =+得 20kx x k -+=，1A B x x k+=，1A B x x ⋅=，所以||A B AB x x =-==2V k π===24π≤，当且仅当k =时取“=”，此时0∆>，故旋转体体积的最大值为4π.【答案】4π.13．设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列．若12a a >，12b b >，且2i i b a =（1i =，2，3），则数列{}n b 的公比为 ▲ .【解析】方法1：设1a ，2a ，3a 依次为a d -，a ，a d +，因为12a a >，所以0d <，因为12b b >，所以01q <<，又2213b b b =，所以422222()()()a a d a d a d =-+=-，则222a d a =-或222a a d =-（舍），所以d =.若d =，则222222222111()()1)31b a a a q b a a a d =======+>-（舍）；若d =，则22222222111()()(2)b a a a q b a aa d ======<-，所以3q =-方法2:易知422213a a a =，则2213a a a =±，若2213a a a =，则123a a a ==（舍），若2213a a a =-，则21313()2a a a a +=-且10a <，所以22113360a a a a ++=，所以23311()610a a a a +⋅+=，则3132a a =-±又2223332111()b a a q b a a ===且01q <<，所以3q =-【答案】3q =-14．已知函数()af x x x=-，且对任意的(0,1)x ∈，都有()(1)1f x f x ⋅-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .【解析】因为2(1)(1)(1)11a a x f x x x x ---=--=--，所以对任意(0,1)x ∈，都有 22(1)11a x a x x x---⋅≥-即 22()[(1)](1)a x a x x x -⋅--≥-恒成立，整理得222(1)(21)(1)()0x x a x x a a -+--+-≥，令(1)x x t -=，则104t <≤，问题等价于22(21)()0t a t a a +-+-≥对104t <≤恒成立，令 22()(21)()g t t a t a a =+-+-，因为22(21)4()10a a a ∆=---=>，所以211241()04a g -⎧-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或 2102(0)0a g -⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩，即21416830a a a ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩或2120a a a ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩，所以141344a a ora ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或1201a a ora ⎧≥⎪⎨⎪≤≥⎩，所以 14a ≤-或1a ≥.另解1：由22(21)()0t a t a a +-+-≥得()[(1)]0t a t a +⋅++≥，所以1t a ≥-+或t a ≤-，由题意得10a -+≤或14a -≥即14a ≤-或1a ≥. 另解2：由22(21)()0t a t a a +-+-≥得()[(1)]0a t a t +⋅++≥，所以1a t ≥-+或a t ≤-， 因为104t <≤，所以3(1)14t ≤--<或104t -≤-<，由题意得14a ≤-或1a ≥. 另解3：()[(1)]11a a x x x x ---≥-，设1x m x n =⎧⎨-=⎩，则01011m n m n <<⎧⎪<<⎨⎪+=⎩，又2212m n mn +=-，所以()()1a a m n m n --≥即2()10a n m a mn mn m n-++-≥，即2(21)(1)0a mn a mn mn +-+-≥，即 ()(1)0a mn a mn ++-≥，所以a mn ≤-或1a mn ≥-+，因为104mn <≤，所以由题意得14a ≤-或1a ≥. 【答案】14a ≤-或1a ≥.二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）如图所示，A 、B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，AOP θ∠= （0θπ<<），点C 坐标为(2,0)-，平行四边形OAQP 的面积为S ．（Ⅰ）求t OA OQ S =⋅+的最大值； （Ⅱ）若CB ∥OP ，求sin(2)3πθ-． 【解析】（Ⅰ）∵(1,0)OA =，(cos ,sin )P θθ，∴(1cos ,sin )OQ θθ=+， ∴1cos OA OQ θ⋅=+，而12||||sin sin 2S OA OP θθ=⋅⋅⋅⋅=，所以1cos sin 1)4t OA OQ S πθθθ=⋅+=++=++，………………………………4分∵0θπ<<，∴当4πθ=时，t OA OQ S =⋅+取得最大值为17分 （Ⅱ）(2,1)CB =，(cos ,sin )OP θθ=，由CB ∥OP 得cos 2sin θθ=，又0θπ<<，结合22sin cos 1θθ+=得sin 5θ=，cos 5θ=4sin 25θ=，3cos 25θ=，……………………11分所以sin(2)3πθ-sin 2cos cos 2sin 33ππθθ=⋅-⋅=14分 16．（本题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，E 、F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起，记折起后的矩形为MNEF ，且平面MNEF ⊥平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）求四面体CDFN 体积的最大值．（翻折前） （翻折后）【解析】（Ⅰ）∵四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，∴MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==，∴四边形MNCD 是平行四边形，∴NC ∥MD ，又∵NC ⊄平面MFD ，MD ⊂平面MFD ，∴NC ∥平面MFD ；………………………………………………………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）易证NE ⊥平面FEC ，设NE x =，则4EC x =-，其中04x <<．∴四面体CDFN 的体积为11(4)32CDFN NCDF NFEC EFC V V V S NE x x ∆===⋅=-21(4)[]222x x +-≤⋅=，当且仅当4x x =-， 即2x =时取“=”，故四面体CDFN 体积最大值为2．…………………………………………14分17．（本题满分14分）如图，P 为某湖中观光岛屿，AB 是沿湖岸南北方向道路，Q 为停车场，103PQ =km ，某旅游团浏览完岛屿后，乘游船回停车场Q ，已知游船以10/km h 的速度沿方位角θ的方向行驶，3sin 5θ=．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲，为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小艇先到达湖岸南北大道M 处，然后乘景区电动出租车到停车场Q 处（假设游客甲到达湖滨大道后幸运地一点未耽搁便乘上了电动出租车）．游客甲乘小艇行驶的方位角是α，电动出租车的速度为70/3km h ．（Ⅰ）设4sin 5α=，问小艇的速度为多少/km h 时，游客甲才能与游船同时到达点Q ； （Ⅱ）设小艇速度为10/km h ，请你替该游客设计小艇行驶的方位角α，当角α的余弦值是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q ．【解析】（Ⅰ）方法一：如图，作PN AB ⊥，N 为垂足，3sin 5θ=，4sin 5α=， 在Rt PNQ ∆中，103sin 235PN PQ θ=⋅=⋅=（km ）， cos QN PQ θ=⋅=1048353⋅=（km ）．在Rt PNM ∆中， 23tan 23PN MN α===（km ）．76QM Q N M N =-=， 5cos 2NM PM α==，………………………………………4分 设游船从P 到Q 所用时间为1t h ，游客甲从P 经M到Q 所用时间为2t h ，则1101310103PQ t ===（h ）， 设小艇的速度为1/v km h ，则2111755162707022033PM MQ t v v v =+=+=+（h ），由已知得21120t t +=，即 15111220203v ++=，∴1757v =，∴小艇的速度为75/7km h 时，游客甲才能与游船同时到达Q ；………………………………………………8分（Ⅰ）方法二：如图，∵3sin 5θ=，4sin 5α=，∴4c o s 5θ=，3cos 5α=，sin sin()QPM αθ∠=-=sin cos cos sin αθαθ⋅-⋅725=，由正弦定理得sin()sin()QM QP αθπα=--，所以76QM =， sin sin()PM PQθπα=-，所以52PM =．下同方法一； （Ⅱ）在Rt PNM ∆中，∵2sin sin PN PM αα==（km ），2c o s t a n s i n PN MN ααα==（km ）． ∴82cos 3sin QM QN MN αα=-=-（km ），所以143cos 70105sin 3535sin 3PM QM t ααα=+=+-173cos 435sin 35αα-=⨯+． ………………………………………………………………………11分 ∵2/2213sin (73cos )cos 37cos 35sin 35sin t αααααα---=⨯=⋅，∴令/0t =得3cos 7α=．当3cos 7α<时，/0t >；当3cos 7α>时，/0t <．∵cos y α=在)2,0(πα∈上是减函数，∴当方位角α满足3cos 7α=时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q ． ………………………………14分18．（本题满分16分）已知函数21()ln 2f x x a x =-⋅（a R ∈），2()24g x x mx =-+（m R ∈）． （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求实数a 与b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调减区间；（Ⅲ）当1a =时，若对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）/()a f x x x =-，由/(2)212a f =-=得2a =，∴21()2ln 2f x x x =-，(2)22ln 2f =-，即切点为(2,22ln 2)-，代入方程y x b =+得2ln 2b =-；……………………………………5分（Ⅱ）()f x 的定义域为(0,)+∞，2/()a x af x x x x-=-=，①当0a ≤时，/()0f x >在(0,)+∞上恒成立，∴()f x 无减区间；②当0a >时，由/()0f x <得0x <<()f x 减区间为；…………………………………………………………10分（Ⅲ）由题意可得[1,2]x ∈时，min min ()()f x g x ≥． ……………………………………………12分 ∵1a =时，/1(1)(1)()0x x f x x x x +-=-=>，()f x 在[1,2]x ∈为增函数，∴min 1()(1)2f x f ==， 222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-．①当1m <时，()g x 在区间[1,2]上递增，所以min 1()(1)522g x g m ==-≤，由1522m -≤解得94m ≥，舍去；②当12m ≤≤时，2min 1()()42g x g m m ==-≤，解得m ≤m ≥2m ≤≤； ③当2m >时，()g x 在区间[1,2]上递减，所以min 1()(2)842g x g m ==-≤，由1842m -≤解得158m ≥，∴2m >.综上，m ≥…………………………………………………………………………16分 19．（本题满分16分）已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ，点E 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AE 、BE 与直线:l103x =分别交于M 、N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求线段MN 长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TBE ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）令0x =得1y =，所以(0,1)D ，所以1b =，令0y =得2x =-，所以(2,0)A -，所以2a =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；……………………………………………………………5分 （Ⅱ）显然直线AE 的斜率存在且为正数，设直线AE 的方程为(2)y k x =+（0k >），联立得(2)103y k x x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1016(,)33k M ，由22(2)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(14)161640k x k x k +++-=， 显然16∆=，由求根公式得222216282(14)14k k x k k --==++或222216282(14)14k k x k k---==++（舍），所以 222284(,)1414k k E k k -++，从而直线BE 的方程为1(2)4y x k =--，联立得1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得 101(,)33N k -，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当14k =时取“=”，因此，线段 MN 长度的最小值为83；………………………………………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，14k =时线段MN 的长度最小，此时64(,)55E，5BE =，因为TBE ∆的面积为S =15，所以点T 到直线BE的距离为24S d BE ==，因为直线BE 的方程为20x y +-=，设过点T 且与直线BE 平行的直线m 的方程为0x y t ++=(2)t ≠-，由两平行线之间距离为44=，解得32t =-或52t =-，当32t =-时，直线m 的方程为302x y +-=，联立得 2230244x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得251250x x -+=，显然判别式0∆>，故点T 有2个；当52t =-时，直线m 的方程为502x y +-=，联立得2250244x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得2520210x x -+=，显然判别式0∆<，故点T 不存在．所以，椭圆C 上存在两个点T ，使得TBE ∆的面积为15．…………………………………………16分 20．（本题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，221n n a a =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意的m N *∈，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m 内的项的个数记为{}m b ．①求数列{}m b 的通项公式； ②记2122m m m c b -=-，数列{}mc 前m 项的和为m T ，求出所有使得等式111m m t T t T t c +-=-+成立的 正整数m ，t ．【解析】（Ⅰ）设公差为d ，首项为1a ，则由423S S =得114(41)2(21)43[2]22a d a d ⋅-⋅-+⋅=+⋅， 即123d a =；由221n n a a =-得21n n a nd a +=-，∴1n a nd =+，将123d a =代入 1n a nd =+得1213n na a =+，令1n =得13a =，从而2d =，故21n a n =+；…………4分 （Ⅱ）①令22212mmn <+<，则121112222m m n ---<<-，即121221m m n --≤≤-， ∴21122m m m b --=-；………………………………………………………………………………8分②2211221()222m m m m m c b ---===-，显然数列{}m c 是首项为2，公比为12的等比数列，前m 项 的和为m T 14(1)2m =⋅-，由111m m t T t T t c +-=-+取倒数得11m m t m T c t c T t ++-=+-，即111m t m c c T t++=+-，即 1221()12()2(4)()2m t m t ---=--化简得221(4)242m t t -=-⋅-即1(4)242m t t --⋅-=，即1(4)242mt t --⋅=+，∵1240t -+>，∴(4)20m t -⋅>，∴4t <，又t N *∈，∴1t =或2t =或3t =．……………12分当1t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得325m⋅=，显然无正整数解；当2t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得226m⋅=，即23m=，显然无正整数解； 当3t =时，由1(4)242m t t --⋅=+得28m=，显然3m =为正整数解．综上，存在符合条件的正整数3t =，3m =．…………………………………………………………………………………………………16分Ⅱ 附加题部分21．【选做题】 B ．（选修4—2：矩阵与变换）（本题满分10分）已知1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，设曲线sin y x =在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 方程． 【解析】由题设得11100022020102MN ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设所求曲线F 上任意一点的坐标为(,)x y ，x y sin = 上任意一点的坐标为),(y x ''，则MN ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 20021，解得⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212，把⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 212代入x y '='sin ，化简得x y 2sin 2=，所以，曲线F 的方程为x y 2sin 2=.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）（本题满分10分）已知直线l 的参数方程为2122x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-，以极点 为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点(1,0)M -，直线与曲线C 交于A 、B 两点． （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求线段MA 、MB 长度之积MA MB ⋅的值． 【解析】（Ⅰ）直线l cos()14πθ+=-，曲线C 的普通方程为2y x =；（Ⅱ）将122x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2y x =得220t -+=，12||2MA MB t t ⋅==．另解：显然直线:10l x y -+=，联立得210x y y x-+=⎧⎨=⎩，消去y 得210x x --=，所以1122x =+、212x =13(22A，13(22B ++，则32MA =、32(2MB =，所以332(2(222MA MB ⋅=-+=．【选做题】22．（本题满分10分）如图，在空间直角坐标系O xyz -中，正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都为M 、N 分别在线段PA 、BD 上，且13PM BN PA BD ==．（Ⅰ）求证：MN AD ⊥；（Ⅱ）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）∵正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底边长都为∴3OA =，3OP =，则(3,0,0)A ，(0,3,0)B 、(0,3,0)D -，(0,0,3)P ，所以(1,0,2)M ，(0,1,0)N ，(1,1,2)0MN =--≠，(3,3,0)0AD =--≠，∴(1)(3)1(3)(2)00MN AD ⋅=-⋅-+⋅-+-⋅=，所以MN AD ⊥；（Ⅱ）设平面PAD 的一个法向量为(,,)n x y z =，(3,0,3)AP =-，由00n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得330330x y x z --=⎧⎨-+=⎩，取1z =，则1x =，1y =-，即(1,1,1)n =-，则11cos ,||||n MN n MN n MN ⋅-⨯<>==⋅ 3=-MN 与平面PAD 所成角为θ，22sin |cos ,|3n MN θ=<>=，MN 与平面PAD 所成 23．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)M ，P 是动点，且POM ∆的三边所在直线的斜率满足OM OP PM k k k +=． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）点N 在直线41y x =-上，过N 作（Ⅰ）中轨迹C 的两切线，切点分别为A 、B ，若ABN ∆ 是直角三角形，求点N 的坐标．【解析】（Ⅰ）设(,)P x y ，由OM OP PM k k k +=得212y y x x -+=-，即22x y =，所以P 点的轨迹C 的方程 是22x y =(0x ≠且2)x ≠；（Ⅱ）因为212y x =，所以'y x =，设2111(,)2A x x ，2221(,)2B x x （12x x ≠），(,)Nab，则1AN k x =，2BNk x =，由于AN 是曲线的切线，所以211112x bx x a-=-，即211220x ax b -+=，同理222220x ax b -+=，两式相减得121212()()2()0x x x x a x x +---=，又12x x ≠，故122x x a +=．1︒ 若AN BN ⊥，则1AN BNk k =-，所以121x x =-，由⎧⎪⎨⎪⎩211222122202201x ax b x ax b x x -+=-+==-得 221212()2()40x x a x x b +-++=即2121212[()2]2()40x x x x a x x b +--++=即2(2)22240a a a b +-⋅+=，所以12b =-，又41b a =-，所以18a =，此时11(,)82N -；2︒ 若AN AB ⊥，则1AN ABk k =-，即222112111221x x x x x -⋅=--，化简得121()20x x x ++=，即。
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江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习
高三数学（文科)
时间:120分钟 总分160分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．
． 1．已知集合A ＝{1, 2}，B ＝{－1,0,1}，则A∪B＝ ▲ .
2．已知直线22+=+a ay x 与1+=+a y ax 平行，则实数a 的值为 ▲ ．
3．如果复数
2()3bi b R i
-∈+的实部与虚部互为相反数,则b = ▲ .
4．函数2sin y x x =-在（0，2π）内的单调增区间为 ▲ ．
5．一只口袋中装有形状大小都相同的5只小球,其中2只白球,3只红球,从中一次随机摸出2只球,则2只球不同色的概率是 ▲ ．
6．圆心在抛物线y x 22=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．
7．已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为 ▲ ．
8．设双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上一点，且214PF PF =，则此双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．
9．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433
，则它的体积为 ▲ ． 10．下列伪代码输出的结果是 ▲ ；
11．已知偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，其图象与直线12
y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为1234,,,,P P P P ⋅⋅⋅，则1324PP P P ⋅ 等于 ▲ ．
12．从直线0843=++y x 上一点P 向圆C ：012222=+--+y x y x 引切线PA 、PB ，A 、
B 为切点，则四边形PACB 的周长最小值为 ▲ ．
13．已知函数),,()(23R c b a c bx ax x x f ∈+++=，若函数)(x f 在区
间[－1,0]上是单调减函数，则22b a +的最小值为 ▲ ．
14．已知实数,x y 满足:3210(12,0)x xy x x +-=-≤≤≠，这个方程确定的函数为()y f x =，若函数()k x f x x g -+=)(23有且只有一个零点,则实数k 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知△ABC 的面积为S ，且AB →·AC →＝S ．
(1) 求tan2A 的值；
(2) 若B ＝π4
，|CB →－CA →|＝3，求△ABC 的面积S ．
16．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，已知12AA AC AB ==，︒
=∠=∠6011CAA BAA ，
点D ，E 分别为AB ，C A 1的中点．求证：
(1) DE ∥平面C C BB 11；
(2) 1BB ⊥平面BC A 1．
17．如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A 处有一个可转动的探照灯，其照
射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t.
(1) 用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长是否为定值；
(2) 问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少为多少(平方百米)?
18．已知椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为32．不过A 点的动直线m x y +=2
1交椭圆O 于P 、Q 两点． (1) 求椭圆的标准方程；
(2) 证明P 、Q 两点的横坐标的平方和为定值；
(3) 过点A 、P 、Q 的动圆记为圆C ，动圆C 过不同于A 的定点，请求出该定点坐标．
19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121==a a ，n n n a n nS b )2(++=，
数列{}n b 是公差为d 的等差数列，*
∈N n .
(1) 求d 的值；
(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明:)
2)(1(2)()(1
22121++<⋅⋅⋅+n n S S S a a a n n n ．
20．已知函数x x f ln )(=，bx x x g -=22
1)( (b 为常数)． (1) 函数)(x f 的图象在点(1，)1(f )处的切线与函数)(x g 的图象相切，求实数b 的值；
(2) 设)()()(x g x f x h +=，若函数)(x h 在定义域上为增函数，求实数b 的取值范围；
(3) 若1>b ，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数21,x x ， 都有)()()()(2121x g x g x f x f ->-成立，求实数b 的取值范围．。