安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第五章--定积分及其应用第五节

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《定积分的应》课件

区间可加性：定积分具有区间可加性，即对于函数在区间[a,b]上的定积分，可以将该区间分成若干个子区间，并对每个子区间上的函数进行定积分，然后将这些定积分的和作为整个区间[a,b]上的定积分的值。
积分常数倍性质：定积分具有积分常数倍性质，即对于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，有∫k f(x) dx = k ∫ f(x) dx，其中k为常数。
定义：直接计算法是指通过直接计算定积分来求解的方法适用范围：适用于被积函数简单、积分区间已知的情况计算步骤：首先确定积分区间，然后根据定积分的定义进行计算注意事项：在计算过程中需要注意积分的上下限和被积函数的取值范围
适用范围：当被积函数较复杂或难以直接计算时
定义：将定积分中的被积函数进行适当的变量替换，以便简化计算
定义：特殊函数是指具有特殊性质的函数，如三角函数、指数函数等。
注意事项：在计算特殊函数的定积分时，需要注意函数的性质和计算公式的适用范围。
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计算方法：对于特殊函数的定积分，我们可以利用已知的定积分的计算公式进行计算。
应用：特殊函数的定积分在数学、物理等领域有着广泛的应用。
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01.
02.
03.
04.
05.
06.
定义：定积分是函数在区间[a,b]上与直线x=a,x=b及x轴围成的曲边梯形的面积几何意义：定积分表示曲边梯形的面积性质：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可积性、积分区间上的可加性计算方法：利用微积分基本原理计算定积分的值
线性性质：定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的定积分，可以分别对每个函数进行定积分后再相加或相减。

大学高等数学第五章定积分及其应用答案

第五章定积分及其应用习题 5-11. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A AA A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.( 2 )( 1 )( 3 )(4)解：=s ⎰+t t d )12(053. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.4. 利用定积分定义计算120d x x ⎰.解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆ni i i ni i i ni i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n n i 1232111)(=311(1)(21)6n n n n ⋅++ =)12)(11(61nn ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 120d x x ⎰=31．5. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 35093(1)11,(0)5,(),(1)781024f f f f -====的大小，知min max 5093,111024f f ==，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即14315093(425)d 22512x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明⎰1d xe x与⎰1d 2x e x ，哪个积分值较大？解：在[]0,1区间内：22xx x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道：⎰1d xe x≥⎰1d 2x e x7. 证明：⎰---<<2121212d 22x e ex 。

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第七章--二重积分第四节

D
n Dn
存在,且Biblioteka f ( x, y )d lim f ( x, y )d .
D n Dn
根据这个定理,对于一些特殊的无穷区域,计算非负函数的反常积分时 ,可先计算有界区域上的正常积分 ,再取极限.
例1 解
求
x y e dxdy ，其中 D {( x, y) | y x 0} ． D
第四节
无界区域上的反常二重积分基本概念典型例题
定义设函数 f ( x, y) 在无界区域 D 上有定义，用任意曲线 C 将 D 划出有界区域 DC，如果存在，且当曲线 C 连续变动时，使区域 DC 而趋于无穷区域 D 时，不论 C 变化过程如何，极限
DC D
f ( x , y )d
dxdy ，其中 D 为整个 xOy 坐标平面，

0
e
x2
dx ．
解在极坐标系下,积分区域 D 表示为 D : 0 2,0 r .
e
D
x2 y2
dxdy
2

2 0
d

0
2
e
r 2
rdr 2
2
0
e
r 2
rdr
由于被积函数是正的,积分区域 D 如图所示,
DR : 0 x R, x y R
e
D
x y
dxdy lim e
R DR R R x y 0 x
x y
dxdy
lim dx e
R
dy
1 1 2 R 2 R R l i m (1 e ) e e . R 2 2

第五章积分 5-2 原函数与微积分基本定理

f (x) d x.
如果 F (x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数, 则不定积分积分变量
积分号 f (x) d x F (x) C
积分常数
被积函数被积表达式 f (x) 的一个原函数
《高等数学》课件 (第五章第二节)
例 5 求 x d x ( 1).
解由 1 x 1 是 x 的一个原函数,
《高等数学》课件 (第五章第二节)
若 F (x) 是 f (x) 在 I 上的一个原函数, 则对任意常数 C, F (x) + C 也是 f (x) 在 I 上的一个原函数.
若 G (x) 是 f (x) 在 I 上的另一原函数, 则在 I 上 (F (x) G (x))' 0,
从而 G (x) F (x) C (C 为常数), 即 f (x) 在 I 上的任何一个原函数都可以表示成 F (x) C 的形式.
y =F (x) + C
x
《高等数学》课件 (第五章第二节)
性质 1 若 f (x) 在区间 I 上存在原函数, 则
( f ( x) d x) f ( x)
或
d ( f (x) d x) f (x) d x.
性质 2 若 f (x) 的导函数在区间 I 上可积, 则
f ( x) d x f ( x) C
得到积分中值定理.
又当积分中值定理成立时, 存在 [a, b] 使得
b
F (b) F (a) a f ( x) d x
f ( ) (b a) F ( ) (b a).
得到微分中值定理.
《高等数学》课件 (第五章第二节)
例 cos x 是 sin x 的一个原函数, 所以
0 sin x d x cos cos 0 2.

《定积分及其应用》课件

在经济学中，供需关系决定了市场的价格。供需曲线的面积表示市场上供应和需求的关系。通过计算这个面积，我们可以了解市场的均衡点，也就是市场上的价格。同时，通过观察供需曲线面积的变化，我们可以了解市场的价格变动趋势。
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问题中起到关键作用，特别是对于旋转体和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS

定积分及其应用概要精品PPT课件

若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B

高数定积分ppt课件

1
1
解：在区间[0， 1]内，x x x (1 x) 0，即x x
x dx x dx
2 3 0 0
1
1
2)

4
3
ln xdx 与（lnx) dx
2 3
2
4
解：在区间[3， 4]内， 1 ln x 0，则 ln x (ln x) ln x(1 ln x) 0 ln x dx (ln x) dx
a x0
xi 1
i xi
xn b
x
(1)、分割
在 [a，b] 中任意取 n 1 个分点
a x0 x1 xn 1 xn b，把区间 [a，b] 分成 n 个小区间[ xi 1，xi ]，每个小区间的长度记为x xi xi 1 (i 1， 2，，n).
0
f ( )x
i 1 i
n
i
6
定义设函数 y f ( x)在[a，b]上有定义，在 [a，b] 得到 n 个小区间 [ xi 1，xi ]，其长度记为 xi xi xi 1
1i n
中任意取n 1个分点，a x0 x1 x2 xn 1 xn b， (i 1， 2，，n)，记 maxxi ，任取 i [ xi 1，xi ]，
2 3 3 4 4
16
例题2
1)

π 5 π 2 解：在区间 [ ， ]上，函数 f ( x) 1 sin x 4 4 之最大值和最小值分别为 π 2 M f( ） 1 1 2， m f ( π) 1 2 5 π π 积分区间 b a π 4 4 π (1 sin x)dx 2 π

定积分及其应用

第5章定积分及其应用学习目标理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质. 掌握变上限定积分的导数的计算方法.熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法. 了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积.定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理,最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用.5.1 定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1实例分析1.曲边梯形的面积在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线0,,===y b x a x 及曲线)(x f y =所围成的图形，如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.现在求0)(≥x f 时，在连续区间],[b a 上围成的曲边梯形的面积A （如图5.1(a),(b)所示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点：b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210，把区间(a)],[b a 分成n 个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110n n i i x x x x x x x x -- ，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅=-=∆-，过每个分点作垂直于x 轴的直线段，它们把曲边梯形分成n 个小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为),2,1(n i A i ⋅⋅⋅=∆.(2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ，作以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则),,2,1()(n i x f A i i i ⋅⋅⋅=∆≈∆ξ.(3)求和——求n 个小矩形面积之和n 个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A ，即n A A A A ∆+⋅⋅⋅+∆+∆=21n n x f x f x f ∆+⋅⋅⋅+∆+∆≈)()()(2211ξξξi ni i x f ∆=∑=)(1ξ.(4)取极限令{}i ni x ∆=≤≤1max λ，当分点n 无限增多且0→λ时，和式i ni i x f ∆∑=)(1ξ的极限便是曲边梯形的面积A ，即i ni i x f A ∆=∑=→)(lim1ξλ.2．变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间t 的连续函数)(t v v =，求物体在时刻1T t =到2T t =间所经过的路程S .我们知道，匀速直线运动的路程公式是：vt S =，现设物体运动的速度v 是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：(1)分割——把整个运动时间分成n 个时间段图5.2在时间间隔],[21T T 内任意插入1-n 个分点：21101T t t t t T n n =<<⋅⋅⋅<<=-，把],[21T T 分成n 个小区间：],[,],[],,[],,[1,12110n n i i t t t t t t t t --⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第i 个小区间的长度为),,2,1(1n i t t t i i i ⋅⋅⋅=-=∆-第i 个时间段内对应的路程记作),2,1(n i S i ⋅⋅⋅=∆.(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程在小区间],[1i i t t -上任取一点),2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ,用速度)(i v ξ近似代替物体在时间],[1i i t t -上各个时刻的速度，则有),,2,1()(n i t v S i i i ⋅⋅⋅=∆≈∆ξ.(3)求和——求n 个小时间段路程之和将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即n S S S S ∆+⋅⋅⋅+∆+∆=21n i t v t v t v ∆+⋅⋅⋅+∆+∆≈)()()(2211ξξξi ni it v ∆=∑=)(1ξ.(4)取极限令{}i ni t ∆=≤≤1max λ，当分点的个数n 无限增多且0→λ时，和式i ni i t v ∆∑=)(1ξ的极限便是所求的路程S .即i ni it v S ∆=∑=→)(lim1ξλ从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.5.1.2定积分的概念定义5.1 设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任取分点b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210 把区间],[b a 任意分割成n 个小区间],[1i i x x -，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅=-=∆-，记{}i ni x ∆=≤≤1max λ.在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ作和式i ni i x f ∆∑=)(1ξ，当0→λ时，若极限i ni i x f ∆∑=→)(lim1ξλ存在（这个极限值与区间],[b a 的分法及点i ξ的取法无关），则称函数)(x f 在],[b a 上可积，并称这个极限为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即⎰badx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim1ξλ .其中，“)(x f ”称为被积函数，“dx x f )(”称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间.根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为： ①曲边梯形的面积A 是曲线)(x f y =在区间],[b a 上的定积分.⎰=b adx x f A )((0)(≥x f ).②变速直线运动的物体所走过的路程S 等于速度函数)(t v v =在时间间隔],[21T T 上的定积分.⎰=21)(T T dt t v S .关于定积分的定义作以下几点说明：⑴闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的. ⑵定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数)(x f 和积分区间],[b a ，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有⎰⎰=b abadt t f dx x f )()(.⑶在定积分的定义中，有b a <，为了今后计算方便，我们规定：⎰⎰-=baa b dx x f dx x f )()(.容易得到 0)(=⎰aa dx x f .5.1.3定积分的几何意义设)(x f 是[]b a ,上的连续函数，由曲线)(x f y =及直线0,,===y b x a x 所围成的曲边梯形的面积记为A .由定积分的定义及5.1.1实例1，容易知道定积分有如下几何意义：（1）当0)(≥x f 时，A dx x f ba =⎰)(（2）当0)(≤x f 时，A dx x f ba-=⎰)(（3）如果)(x f 在[]b a ,上有时取正值，有时取负值时，那么以[]b a ,为底边，以曲线 )(x f y =为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于x 轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有321)(A A A dx x f b a+-=⎰其中321,,A A A 分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.例5.1.1 利用定积分的几何意义，证明21112π=-⎰-dx x .证令]1,1[,12-∈-=x x y ，显然0≥y ，则由21x y -=和直线1,1=-=x x ，0=y所围成的曲边梯形是单位圆位于x 轴上方的半圆. 如图5.4所示.因为单位圆的面积π=A ，所以半圆的面积为2π.由定积分的几何意义知：21112π=-⎰-dx x .5.1.4定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.性质5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()(.性质5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即[]⎰⎰⎰±=±b ab abadx x g dx x f dxx g x f )()()()(.这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形. 性质5.1.3（积分的可加性）对任意的点c ，有⎰⎰⎰+=b cc ab adx x f dx x f dx x f )()()(.注意 c 的任意性意味着不论c 是在],[b a 之内，还是c 在],[b a 之外，这一性质均成立.性质5.1.4如果被积函数c c x f (,)(=为常数),则⎰-=b aa b c cdx )(.特别地,当1=c 时,有⎰-=baa b dx .性质5.1.5（积分的保序性）如果在区间],[b a 上,恒有)()(x g x f ≥，则⎰⎰≥b ab adx x g dx x f )()(.性质5.1.6（积分估值定理）如果函数)(x f 在区间],[b a 上有最大值M 和最小值m ,则).()()(a b M dx x f a b m b a-≤≤-⎰性质 5.1.7 (积分中值定理) 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则在),(b a 内至少有一点ξ,使得⎰-=b aa b f dx x f ))(()(ξ ),(b a ∈ξ.证因)(x f 在],[b a 内连续，所以)(x f 在],[b a 内有最大值M 和最小值m ，由性质5.1.6知： ).()()(a b M dx x f a b m b a-≤≤-⎰从而有 .)(1M dx x f ab m b a≤-≤⎰这就说：⎰-b adx x f ab )(1是介于m 与M 之间的一个实数.由连续函数的介值定理1.10知：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()(1ξf dx x f ab b a=-⎰.即⎰-=b aa b f dx x f ))(()(ξ ),(b a ∈ξ.注性质5.1.7的几何意义是:由曲线)(x f y =,直线b x a x ==,和x 轴所围成曲边梯形的面积等于区间],[b a 上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间],[b a ,矩形的高为区间],[b a 内某一点ξ处的函数值)(ξf ，如图5.5所示.显然，由性质5.1.7可得⎰-=b adx x f ab f )(1)(ξ，)(ξf 称为函数)(x f 在区间],[b a 上的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.性质5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设)(x f 在对称区间],[a a -上连续,则有 ①如果)(x f 为奇函数,则⎰-=a a dx x f 0)(； ②如果)(x f 为偶函数,则⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.例5.1.2 估计定积分dx e x ⎰--112的值.解设2)(x e x f -=,22)('x xe x f --=，令0)('=x f ,得驻点0=x ，比较0=x 及区间端点1±=x 的函数值,有1)0(0==e f ,eef 1)1(1==±-.显然2)(x e x f -=在区间]1,1[-上连续,则)(x f 在]1,1[-上的最小值为em 1=,最大值为1=M ，由定积分的估值性质,得22112≤≤⎰--dx ee x.例5.1.3 比较定积分dx x ⎰12与dx x ⎰13的大小.解因为在区间]1,0[上,有32x x ≥,由定积分保序性质,得dx x ⎰102dx x ⎰≥103.习题5.11.用定积分表示由曲线322+-=x x y 与直线4,1==x x 及x 轴所围成的曲边梯形的面积.2.利用定积分的几何意义,作图证明：(1)⎰=1012xdx (2)2224R xRR π=-⎰3.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小.(1)dx x ⎰10,dx x ⎰102 (2)dx e x ⎰10,dx e x ⎰-12(3)⎰43ln xdx ,xdx ⎰432ln (4)⎰40cos πxdx , ⎰40sin πxdx4.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的范围. (1)dx e x ⎰1(2)⎰-2)2(dx x x(3)dx x x ⎰+2121(4)dx xx ⎰--202955.试用积分中值定理证明0sin lim1=⎰++∞→dx xx n nn .5.2 定积分的基本公式定积分就是一种特定形式的极限，直接利用定义计算定积分是十分繁杂的，有时甚至无法计算.本节将介绍定积分计算的有力工具——牛顿—莱布尼兹公式.5.2.1变上限定积分定义5.2 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分⎰xadt t f )(和x 对应，因此⎰xadt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记为⎰=Φx adt t f x )()(，],[b a x ∈.称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.变上限积分函数的几何意义是：如果0)(>x f ，对][b a ,上任意x ，都对应唯一一个曲边梯形的面积)(x Φ，如图5.6中的阴影部分.因此变上限积分函数有时又称为面积函数.函数)(x Φ具有如下重要性质.定理 5.1 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则⎰=Φx adt t f x )()(在],[b a 上可导，且)()()()(b x a x f dt t f dxd x x a≤≤==Φ'⎰.证给定函数)(x Φ的自变量x 的改变量x ∆，函数)(x Φ有相应的改变量∆Φ.则⎰⎰⎰∆+∆+=-=Φ-∆+Φ=∆Φx x xx ax x adt t f dt t f dt t f x x x )()()()()(.由定积分的中值定理，存在),(),(x x x x x x ∆+∆+∈或ξ，使x f dt t f x x x∆=⎰∆+)()(ξ成立.所以)()(lim )(lim )(limlim)()(0x f f f xx f xx x f xx x x 连续ξξξξ→→∆→∆→∆==∆∆=∆∆Φ=Φ'.由定理5.1可知，如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则函数⎰=Φx adt t f x )()(就是)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数.由定理5.1我们有下面的结论.定理5.2（原函数存在定理）如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为⎰=Φx adt t f x )()(.注这个定理一方面肯定了闭区间],[b a 上连续函数)(x f 的一定有原函数（解决了第四章第一节留下的原函数存在问题），另一方面初步地揭示积分学中的定积分与原函数之间的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础.例5.2.1 计算tdt edxd x tsin 0⎰-.解tdt edxd x tsin 0⎰-=]sin [0'⎰-tdt e xt =x exsin -.例5.2.2 求⎰+→x x dt t x2)1ln(1lim.解当0→x 时，此极限为00型不定式，两次利用洛必塔法则有⎰+→x x dt t x2)1ln(1lim=2)1ln(limxdt t x x ⎰+→ =xx x 2)1ln(lim+→=211lim 0x x +→=21例5.2.3 求dt t dxd x )1(212+⎰.解注意，此处的变上限积分的上限是2x ，若记2x u =，则函数dt t x )1(212+⎰可以看成是由dt t y u )1(12+=⎰与2x u =复合而成，根据复合函数的求导法则得dt t dxd x )1(212+⎰=dxdu dt t dud u ])1([12+⎰=x u 2)1(2+=x x 2)1(4+=x x 225+.一般地有，如果)(x g 可导，则)()]([])([])([)()(x g x g f dt t f dt t f dx d x x g ax g a'='=⎰⎰.上式可作为公式直接使用.例5.2.4 求极限402sin limxtdt x x ⎰→. 解因为0lim 4=→x x ，⎰⎰==→2000sin sin limx x tdt tdt ，所以这个极限是00型的未定式，利用洛必塔法则得42sin limxtdt x x ⎰→=3242sin lim x x x x ⋅→=222sin limxx x →=22sin lim 21xx x → =21.5.2.2微积分基本公式定理5.3 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么⎰-=b aa Fb F dx x f )()()(.证由定理5.2知，⎰=Φx adt t f x )()(是)(x f 在区间],[b a 的一个原函数，则)(x Φ与)(x F 相差一个常数C ，即C x F dt t f x a+=⎰)()(.又因为C a F dt t f a a+==⎰)()(0，所以)(a F C -=.于是有)()()(a F x F dt t f x a -=⎰.所以 ⎰-=baa Fb F dx x f )()()(成立.为方便起见，通常把)()(a F b F -简记为ba x F )(或ba x F )]([，所以公式可改写为)()()()(a F b F x F dx x f bab a-==⎰上述公式称为牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式，又称为微积分基本公式. 定理5.3揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题.确切地说，要求连续函数)(x f 在],[b a 上的定积分，只需要求出)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数)(x F ，然后计算)()(a F b F -就可以了.例5.2.5 计算dx x ⎰102.解因为C x dx x +=⎰3231，所以dx x ⎰102=10331x=33031131⨯-⨯=31.例5.2.6 求dx eexx ⎰-+111.解 dx eexx ⎰-+111=⎰-++111)1(xxee d =11)1ln(-+xe=)1ln()1ln(1-+-+e e =1.例5.2.7 求dx x ⎰--312.解根据定积分性质5.1.3，得dx x ⎰--312=⎰⎰⎰⎰---+-=-+-21322132)2()2(|2||2|dx x dx x dx x dx x=322212)221()212(x x x x -+--=2129+=5.例5.2.8 求极限.)321(lim4333nn n ++++∞→解根据定积分定义,得.4141)(1lim)321(lim14110334333====++++∑⎰=∞→∞→xdx x ni n nn ni n n习题5.21.求下列函数的导数： (1)dt t x F x ⎰+=21)( (2)dt tt x F x a⎰=2sin )((3) dt e t x F xt⎰-=12)( (4)tdt x F xx⎰-=22cos )(2.求下列函数的极限： (1)xtdt x x ⎰→02cos lim(2)211)1()1(lim--⎰→x dtt t x x(3)2arctan limxtdt x x ⎰→ (4)2)11(limxdtt t x x ⎰--+→3.求函数⎰-=x dt t t x F 0)2()(在区间]3,1[-上的最大值和最小值.4.求由曲线x x y 22+-=与直线2,0==x x 及x 轴所围成的曲边梯形的面积.5.求下列定积分的值：(1)dx x x )1(212-+⎰ (2)dx x x )2(21+⎰(3)dx xx ⎰+2021 (4)dx x⎰211(5)dx x ⎰πcos (6)dx e x⎰225.3 定积分的积分法在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它们稍微改动就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式.5.3.1定积分的换元积分法定理5.4 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，并且满足下列条件：（1）)(t x ϕ=，且)(αϕ=a ，)(βϕ=b ；（2）)(t ϕ在区间],[βα上单调且有连续的导数)(t ϕ'；（3）当t 从α变到β时，)(t ϕ从a 单调地变到b . 则有⎰⎰'=b adt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)(上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点： ①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用)(t x ϕ=把原积分变量x 换成新变量)(t ϕ，积分限也必须由原来的积分限a 和b 相应地换为新变量t 的积分限α和β，而不必代回原来的变量x ，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值.例5.3.1 求dx xx ⎰+301.解令t x =+1，则12-=t x ，tdt dx 2=，当0=x 时，1=t ，当3=x 时，2=t ，于是dx xx ⎰+301=tdt tt 21212⋅-⎰=dt t ⎰-212)1(2=213]31[2t t -=38例5.3.2 求xdx x sin cos 203⎰π.解法一设x t cos =，则xdx dt sin -=，当0=x 时，1=t ；当2π=x 时，0=t ，于是xdx x sin cos 203⎰π=)(013dt t -⋅⎰=dt t ⎰103=104]41[t =41.解法二xdx x sin cos 203⎰π=x xd cos cos 203⎰-π=204]cos41[πx -=41.解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变. 例5.3.3 求dx e x⎰-2ln 01.解令t e x=-1，则)1l n (2t x +=，dt tt dx 212+=，当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t ，于是dx e x⎰-2ln 01=dt tt t ⎰+⋅1212=dt tt⎰+102212=dt t)111(212⎰+-=10]arctan [2t t -=22π-.例5.3.4 设)(x f 在区间],[a a -上连续，证明：（1）如果)(x f 为奇函数，则⎰-=a a dx x f 0)(；（2）如果)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.这结论是定积分的性质5.1.8，下面我们给出严格的证明. 证由定积分的可加性知x d x f x d x f x d x f a aa a⎰⎰⎰+=--00)()()(，对于定积分⎰-0)(adx x f ，作代换t x -=，得⎰-0)(a dx x f =⎰--0)(adt t f =⎰-a dt t f 0)(=⎰-adx x f 0)(，所以 ⎰⎰⎰-+-=a aa a dx x f dx x f dx x f 0)()()(=⎰-+a dx x f x f 0)]()([（1）如果)(x f 为奇函数，即)()(x f x f -=-，则0)()()()(=-=-+x f x f x f x f ，于是 ⎰-=a adx x f 0)(.（2）如果)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，则)(2)()()()(x f x f x f x f x f =+=-+，于是 ⎰⎰-=a aadx x f dx x f 0)(2)(.例5.3.5 求下列定积分：（1）dx xx x ⎰-+33421sin （2）dx x x 22224-⎰-解（1）因为被积函数421sin )(xx x x f +=是奇函数，且积分区间]3,3[-是对称区间，所以dx xx x ⎰-+33421sin =0.（2）被积函数224)(x x x f -=是偶函数，积分区间]2,2[-是对称区间，所以dx x x22224-⎰-=dx x x22242-⎰，令t x sin 2=，则tdt dx cos 2=，t x cos 242=-，当0=x 时，0=t ；当2=x 时，2π=t ，于是dx x x22224-⎰-=tdt t ⎰2022cos sin 162π=tdt 2sin 8202⎰π=dt t ⎰-20)4cos 1(4π=20)4sin 4(πt t -=π2.2.分部积分法定理5.5 设函数)(x u u =和)(x v v =在区间],[b a 上有连续的导数，则有)()()]()([)()(x du x v x v x u x dv x u b ab ab a⎰⎰-=.上述公式称为定积分的分部积分公式.选取)(x u 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.例5.3.6 求⎰21ln xdx x .解 ⎰21ln xdx x =⎰212)(ln 21x xd =)(ln 21ln 21212212x d x xx ⎰-=⎰-21212ln 2xdx =212412ln 2x -=432ln 2-.例5.3.7 求⎰πsin xdx x .解 ⎰πsin xdx x =⎰-πcos x xd =⎰+-ππcos cos xdx xx=ππ0sin x +=π.例5.3.8 求dx ex⎰10.解令t x =，则2t x =，tdt dx 2=,当0=x 时，0=t ；当1=x 时，1=t .于是dx ex⎰10=dt te t⎰12=⎰12t tde =dt e tett⎰-11022=1022tee -=222+-e e =2.此题先利用换元积分法，然后应用分部积分法.习题 5.31.求下列定积分的值： (1)dx xxe ⎰+1ln 1 (2)dx x x ⎰-121(3)dx e xx12121⎰(4)⎰++3011x dx(5)⎰+6413xx dx (6)dx xx ⎰-1011(7)dx e x x 2202⎰ (8)⎰1arctan xdx(9)⎰-+10)1ln(e dx x (10)xdx excos 202⎰π2.求下列定积分：(1)dx x x x x )cos sin 3(2112++⎰- (2)dx x x xx ⎰-++11242312sin(3)dx ax xa a⎰-+222(4)dx xx ⎰--+1121sin 15.4 定积分的应用由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.问题1 在机械制造中，某凸轮横截面的轮廓线是由极坐标方程)cos 1(θ+=a r)0(>a 确定的，要计算该凸轮的面积和体积.问题2 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m 和4m ，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.为了解决这些问题，下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法——微元法，然后讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习，不仅要掌握一些具体应用的计算公式，而且还要学会用定积分解决实际问题的思想方法.5.4.1定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A 的方法和步骤：(1)将区间],[b a 分成n 个小区间，相应得到n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为i A ∆),2,1(n i =；(2)计算i A ∆的近似值，即i i i x f A ∆≈∆)(ξ（其中],[,11i i i i i i x x x x x --∈-=∆ξ）；(3)求和得A 的近似值，即i ni i x f A ∆≈∑=1)(ξ；(4)对和取极限得⎰∑=∆==→b ai ni i dx x f x f A )()(lim1ξλ.下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积A ）具有的特性：即A 在区间],[b a 上具有可分割性和可加性.第(2)步是关键，这一步确定的i i i x f A ∆≈∆)(ξ是被积表达式dx x f )(的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对i i i x f A ∆≈∆)(ξ省略下标，得x f A ∆≈∆)(ξ，用],[dx x x +表示],[b a 内的任一小区间，并取小区间的左端点x 为ξ，则A ∆的近似值就是以dx 为底，)(x f 为高的小矩形的面积（如图5.7阴影部分），即dx x f A )(≈∆.通常称dx x f )(为面积元素，记为dx x f dA )(=.将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在],[b a 上“无限累加”，就得到面积A .即⎰=b adx x f A )(.一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：（1）确定积分变量x ，并求出相应的积分区间],[b a ；（2）在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，并在小区间上找出所求量F 的微元dx x f dF )(=；（3）写出所求量F 的积分表达式⎰=b adx x f F )(，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法. 注能够用微元法求出结果的量F 一般应满足以下两个条件： ①F 是与变量x 的变化范围],[b a 有关的量；②F 对于],[b a 具有可加性，即如果把区间],[b a 分成若干个部分区间，则F 相应地分成若干个分量.5.4.2定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算(1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==，))()((x g x f ≥及直线b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）.下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈.②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高)()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素图5.7 图5.8dx x g x f dA )]()([-=.③写出积分表达式，即⎰-=b adx x g x f A )]()([.⑶求由两条曲线)(),(y x y x ϕψ==，))()((y y ϕψ≤及直线d y c y ==,所围成平面图形（如图5.9）的面积.这里取y 为积分变量，],[d c y ∈，用类似 (2)的方法可以推出：⎰-=d cdy y y A )]()([ψϕ.例5.4.1 求由曲线2x y =与22x x y -= 所围图形的面积.解先画出所围的图形（如图5.10）由方程组⎩⎨⎧-==222xx y x y ，得两条曲线的交点为 )1,1(),0,0(A O ，取x 为积分变量，]1,0[∈x .由公式得dx x x x A )2(1022⎰--=1032]32[x x -=31=.例5.4.2 求曲线x y 22=与4-=x y 所围图形的面积. 解画出所围的图形（如图5.11）.由方程组⎩⎨⎧-==422x y xy 得两条曲线的交点坐标为)4,8(),2,2(B A -，取y 为积分变量，]4,2[-∈y .将两曲线方程分别改写为4212+==y x y x 及得所求面积为dy y y A ⎰--+=422)214(图5.92x x -图5.104-=x4232)61421(--+=y y y 18=.注本题若以x 为积分变量，由于图形在]8,2[]2,0[和两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为：⎰⎰--+=8220)]4(2[22dx x x dx x A822232023]421322[324x x x x +-+=18=.显然，对于例5.4.2选取x 作为积分变量，不如选取y 作为积分变量计算简便.可见适当选取积分变量，可使计算简化.例5.4.3 求曲线x y x y sin cos ==与在区间],0[π上所围平面图形的面积.解如图5.12所示，曲线x y x y sin cos ==与的交点坐标为)22,4(π，选取x 作为积分变量，][π,0∈x ，于是，所求面积为dx x x dx x x A ⎰⎰-+-=πππ440)cos (sin)sin (cosπππ440)sin cos ()cos (sin x x x x --++=22=.2.极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程)(θρρ=与射线)(,βαβθαθ<==所围成（如图5.13所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角θ为积分变量，它的变化区间是],[βα，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为)(θρ，中心角为θd 的圆扇形的面积，从而得面积微元为θθρd dA 2)]([21=x图5.12于是，所求曲边扇形的面积为 ⎰=βαθθρd A 2)]([21.例5.4.4 计算心形线)0)(cos 1(>+=a a θρ所围图形的面积（如图5.14）. 解此图形对称于极轴，因此所求图形的面积A 是极轴上方部分图形面积1A 的两倍.对于极轴上方部分图形，取θ为积分变量， ],0[πθ∈，由上述公式得：θθπd a A A 221)cos 1(2122+⨯==⎰θθθπd a ⎰++=022)cos cos 21(θθθπd a⎰++=02)2cos 21cos 223(πθθθ02]2sin 41sin 223[++=a 223a π=.这个结果就是本节前面问题1提到的凸轮横截面的面积，如果知道凸轮的厚度，可进一步求出它的体积，这里不再赘述.3．定积分求体积(1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴. 设旋转体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成（如图5.15）.取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ，在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，相应薄片的体积近似于以)(x f 为底面圆半径，dx 为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为dx x f dV 2)]([π=，于是，所求旋转体体积为dx x f V b ax ⎰=2)]([π.)θ图5.14)图5.13类似地，由曲线)(y x ϕ=和直线d y c y ==,及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为dy y V d cy ⎰=2)]([ϕπ.例5.4.5 求由椭圆12222=+by ax 绕x 轴及y 轴旋转而成的椭球体的体积.解 (1)绕x 轴旋转的椭球体如图5.17所示,它可看作上半椭圆22x a ab y -=与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转而成.取x 为积分变量,],[a a x -∈,由公式所求椭球体的体积为dx x a abV aax 222⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-=πdx x a ab a ⎰-=2222)(2πax x a a b 0322232⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=π 234ab π=.(2)绕y 轴旋转的椭球体,可看作右半椭圆22yb ba x -=与y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转而成（如图5.18所示）,取y 为积分变量, ],[b b y -∈,由公式所求椭球体体积为dy y b baV b by ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-=222πdy y b ba b)(202222⎰-=πby y b b a 0322232⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πb a 234π=.图5.18当R b a ==时,上述结果为334R V π=,这就是大家所熟悉的球体的体积公式..4.定积分在物理上的应用举例 (1)变力作功由物理学知道,物体在常力F 的作用下,沿力的方向作直线运动,当物体发生了位移S 时,力F 对物体所作的功是FS W =.但在实际问题中,物体在发生位移的过程中所受到的力常常是变化的,这就需要考虑变力作功的问题.由于所求的功是一个整体量,且对于区间具有可加性,所以可以用微元法来求这个量. 设物体在变力)(x f F =的作用下,沿x 轴由点a 移动到点b ,如图5.21所示,且变力方向与x 轴方向一致.取x 为积分变量,],[b a x ∈.在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +,该区间上各点处的力可以用点x 处的力)(x F 近似代替.因此功的微元为dx x F dW )(=，因此,从a 到b 这一段位移上变力)(x F 所作的功为⎰=b adx x F W )(.例5.4.7 弹簧在拉伸过程中,所需要的力与弹簧的伸长量成正比,即,kx F =(k 为比例系数).已知弹簧拉长m 01.0时,需力N 10,要使弹簧伸长m 05.0,计算外力所做的功.解由题设,m x 01.0=时,N F 10=.代入kx F =,得m N k 1000=.从而变力为x F 1000=,由上述公式所求的功为⎰=05.001000xdx W 05.002500x=)(25.1J =.例5.4.9 已知某产品边际成本函数)(Q MC 24+=Q 且固定成本为1000元，求总成本函数C(Q).解 QQ Q x x dx x C dx x MC Q C 0202421)24()0()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+=⎰⎰Q Q24212+=.例5.4.10 某工厂生产某产品Q （百台）的边际成本为)(Q MC =2（万元/百台）设固定成本为0，边际收益为Q Q MR 27)(-=(万元/百台).求：图5.21（1）生产量为多少时，总利润L 最大？最大总利润是多少？（2）在利润最大的生产量的基础上又生产了50台，总利润减少多少？解（1）因Q dx C dx x MC Q C Q Q 22)0()()(0==+=⎰⎰，27)27()()(Q Q dx x dx x MR Q R Q Q -=-==⎰⎰所以利润函数25)()()(Q Q Q C Q R Q L -=-=，则Q Q L 25)(-='，令0)(='Q L ，得唯一驻点5.2=Q ，且有05)(<-=''Q L . 故5.2=Q ，即产量为2.5百台时，有最大利润，最大利润为25.6)5.2(5.25)5.2(2=-⨯=L 万元.（2）在2.5百台的基础上又生产了50台，即生产3百台，此时利润为6335)3(2=-⨯=L 万元.即利润减少了0.25万元.习题5.41.求下列曲线围成平面图形的面积. (1)x y x y ==,2 (2)2,,1===y x y xy(3)2,0,cos ,sin π====x x x y x y (4)0,42=-=y x y(5)42,42=++=y x x y （6）0,)2(,22=-==y x y x y 2.求由直线0=y 与曲线2x y =及它在点)1,1(处的法线所围成图形的面积. 3.求下列平面图形分别绕x 轴,y 轴旋转所产生的立体的体积. (1)0,12==+x x y 及0=y (2)2,1,2===x x x y 及0=y4.有一弹簧,用N 10的力可以把它拉长m 005.0,求把弹簧拉长m 03.0时力所做的功. 5.有一圆柱形贮水桶,高m 2,底圆半径为m 8.0,桶内装m 1深的水,试问要将桶内的水全部吸出要作多少功?6.求曲线θcos 2a r =所围成图形的面积.7.已知物体作变速直线运动的速度为)/(2)(2s m t t t v +=,求该物体在前5秒内经过的路程.8.设一沿x 轴运动的物体所受的外力是x 3cos π(牛顿),试问当此物体从1=x (米)处移到2=x (米)处时外力所做的功.10.已知某产品的的固定成本为1万元，边际收益和边际成本分别为（单位：万元/百台） 44)(,8)(Q Q MC QQ MR +=-=.(1)求产量由1百台增加到5百台时，总收益增加了多少？ (2)求产量由2百台增加到5百台时，总成本增加了多少？ (3)求产量为多少时，总利润最大；(4)求总利润最大时的总收益、总成本和总利润.本章小结1.定积分的概念函数)(x f y =在区间],[b a 上的定积分是通过部分和的极限定义的：i ni i x b ax f dx x f ∆=∑⎰=→∆1)(lim)(ξ这与不定积分的概念是完全不同的。

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第十章--差分方程第三节

最后一式就是齐次差分方程（2）的通解.
特别，yt 1 yt 0的通解为 yt C，t 0,1,2,
下面用特征根的方法讨论一阶齐次差分方程(2)的通解
设方程（2）有形如下式的特解
其中是非零待定常数. 将其代入方程（2）中，有
yt t ，
t 1 at 0 ，即 t ( a) 0 .
(2)
方程(1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程, 相应地，方程(2)称为一阶常系数线性齐次差分方程.
一、一阶常系数齐次线性差分方程
把方程（2）写作 yt 1 (a) yt ，假设在初始时刻，即 t 0 时，函数 yt 取任意常数 C .分别以 t 0,1,2, 代入上式，得
y1 ( a ) y0 C ( a ), y 2 ( a ) 2 y0 C ( a ) 2 ， yt ( a ) t y0 C ( a ) t ， t 0,1,2, 。
2. f ( t ) b 1 c o s t b 2 s in t 型
当 m （m 为整数），则一阶常系数非齐次线性差分方程(1)具有形如
y* B1 cost B2 sint
的特解,其中 B1 , B2 是待定的常数.
(6)
例 4 求差分方程 yt 1 2 yt 2 sin t 的通解. 2 解因特征根 2 ，齐次差分方程的通解 yC (t ) C 2t .
于是，所求通解为（ C 为任意常数）. yt yC (t ) y * (t ) C t 2 2t ，
例 2 求差分方程 3 yt 3 yt 1 t 3t 的通解.
解：已知方程改写为 3 yt 1 3 yt (t 1)3 ，即 (4) yt 1 yt 3t (t 1) t t 方程的特征根 1 ， f (t ) 3 (t 1) d P1 (t ) ，知 d 3 不是特征根，设特解为 y (t ) 3 (b0t b1 ) ，将其代入方程（4）

安徽农业大学理学院-汪宏喜-《微积分》课件第五章--定积分及其应用第一节

2
1
n
i x i
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3
例 2 设函数 f ( x ) 在区间[0,1]上连续，且取正值.
试证 lim n
n
1 f n
2 n f f n n
即 f ( x )dx f ( x )dx .
a b
b b
b
a
说明： | f ( x ) |在区间[a , b] 上的可积性是显然的.
性质6
设 M 及m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
0
1
i 解将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n 取 i x i ，(i 1,2,, n )

i 1
n
f ( i )xi i xi xi2 xi ,
并作和 S f ( i )x i ，
n
记 max{x1 , x 2 , , x n }，如果不论对[a , b ]
i 1
怎样的分法，也不论在小区间[ xi 1 , xi ]上
点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和 S 总趋于
I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 确定的极限在区间[a , b] 上的定积分，记为
积分上限
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
被积函数
被积表达式

《高等数学微积分》课件

实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一种重要方法，它将两个函数的乘积的导数转化为两个函数的导数的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种重要方法，它通过引入新的变量来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法总结词：细心谨慎总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。

定积分及其应用(高数) PPT课件

定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
则
aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”
（3）重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 （区间可加性）
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求

定积分与微积分基本定理ppt课件

1
2
(4x +3x -x)dx
2
0
2
(3x )dx-
=x |20 +x |20 - x |20
4
3
2
2
4
3
1
2
=(2 -0)+(2 -0)- (2 -0)
2
=16+8-2
=22.
2
0
xdx
1 1
2
(2)∵(ln x)'= , e2 '=e ,
2
∴1
2
e
1
1
+

2x
2
1
dx=
2x
e dx+
2
2
3
2
0
x|20 =1-cos 2.
因为 1<1-cos 2<2,所以 c<a<b.
1
4
x dx= x |20 =4,c=
3
4
2
0
sin xdx=-cos
3.(2012·湖北卷,3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x轴所围图
形的面积为(
)
2π
5
4
3
A.
3
2
B.
C.
π
2
D.
【答案】B
2
1
f(-x)dx=
2
1
2
(x -x)dx=
1 3 1 2
-
3
2
5
6
|21 = .
1
4.(2012·江西卷,11)计算定积分 -1
2
[f1(x)±
f2 (x)]dx=

高等数学课件教学课件 ppt 作者盛光进 5定积分及其应用.ppt

高等数学课件教学课件 ppt 作者盛光进 5定积分及其应用.ppt1、定积分的概念与性质5.1微积分基本公式5.2定积分的计算5.3应用与实践5.5名目第五章定积分及其应用广义积分5.4定积分的概念与性质5.1微积分基本公式5.2定积分的计算5.3应用与实践5.5名目第五章定积分及其应用广义积分5.45.1定积分的概念与性质复习导入不定积分定积分概念性质计算应用 5.1定积分的概念与性质?我们以前学过图形的面积计算，请大家回想一下，有哪些计算公式？正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等。

规则图形5.1定积分的概念与性质?不规则图形〔如图〕的面积如何求？?一、两个引例 5.1定积分的概念与性质●曲边梯形的面积上述图形的面积可归结为以下两个图形的面积之差，即．我们把这类几何图形定义为曲边梯形．5.1定积分的概念与性2、质曲边梯形是由连续曲线所围成的平面图形。

与三条直线曲边梯形面积如何求？●曲边梯形的面积 5.1定积分的概念与性质abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积明显，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．〔四个小矩形〕〔九个小矩形〕5.1定积分的概念与性质解决步骤：把区间[a,b]分成n个小区间第i个小区间的宽度记为,即(1)分割用分点●曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质在第i个小区间上任取一点矩形的面积相应小曲边梯形的面积,即用以为宽，为高的小近似代替(2)近似代替●曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质(4)取极限令,则(3)求和分割越细，近似程度越高，当无限分割时，矩形面积和无限靠近曲边梯形面积。

●曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质?且3、设某物体作变速直线运动,已知速度如何计算物体从时刻到时刻所经过的路程？●变速直线运动的路程一、两个引例5.1定积分的概念与性质解决步骤：第i个小区间的长度记为把时间区间[a,b]分成n个小区间(1)分割用分点●变速直线运动的路程5.1定积分的概念与性质(3)求和(2)近似代替(4)取极限,则令●变速直线运动的路程5.1定积分的概念与性质2.变速直线运动的路程1.曲边梯形的面积一、两个引例两个实例尽管实际意义差异很大，但他们的数学本质怎样呢？5.1定积分的概念与性质定义1设函数在区间上有定义，在中插入个分点，把区间分成个小区间每个小区间的长度依次为，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式假如和式的极限存在，则称这个极限值为函数在4、上的定积分，记作，即定义15.1定积分的概念与性质积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和二、定积分的概念积分分区间____5.1定积分的概念与性质3.规定2.定积分只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关，即有 1.定积分是一个和式的极限，它的结果是一个常数。