第16讲导数在函数中的综合应用

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高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件

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题型二讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.

大学数学微积分第16讲《求导法则》课件

高等院校非数学类本科数学课程
大学数学（一）
—— 一元微积分学
第十六讲求导法则
第四章一元函数的导数与微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
例6 设 y a0 xn a1xn1 an1x2 an1x an，
求 y。
解由和的求导公式
y (a0 xn ) (a1xn1) (an2 x2 ) (an1x) (an )
a0n xn1 a1(n 1)xn2 an2 2x an1
通常说, 多项式的导数仍是多项式, 其次数降低一次, 系数相应改变.
1 x2
y arctanx, ( x ), 求y。
例17
解它是 x tan y , y ( , )的反函数,
22
且 x tan y 满足定理的条件,
又 (tan y) 1 tan2 y 0
故
y
(arctan
x)
1 (tan
y)
1
1 tan 2
y
1 1 x2
x ( , )
(arctan
又 x cos y 在 (0, ) 内单调、连续、可导, 且
d x (cos y) sin y 0 dy
故 y (arccos x) d y 1 1
d x d x (cos y) dy
1 1
1
sin y
1 cos2 y
1 x2
(1 x 1)
(arccos x) 1
(1 x 1)
x 等价无穷小替代
lim
ln 1

高考数学导数专题专讲专题16 导数中有关x与ex,lnx的组合函数问题(含答案)

专题16导数中有关x与e x，ln x的组合函数问题在函数的综合问题中，常以x与e x，ln x组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．六大经典超越函数的图象函数f(x)＝x e x f(x)＝e xxf(x)＝xe x图象函数f(x)＝x ln x f(x)＝ln xxf(x)＝xln x图象考点一x与ln x的组合函数问题(1)熟悉函数f(x)＝h(x)ln x(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f(x)＝ln xh(x)(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)，h(x)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．【例题选讲】[例1]设函数f (x )＝x ln x －ax 22＋a －x (a ∈R )．(1)若函数f (x )有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，k ∈N ，g (x )＝2－2x －x 2，且当x ＞2时不等式k (x －2)＋g (x )＜f (x )恒成立，试求k 的最大值．分析(1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解．解析(1)由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－ax －1＝ln x －ax ，令f ′(x )＝0，可得a ＝ln x x，令h (x )＝ln xx(x ＞0)，则由题可知直线y ＝a 与函数h (x )的图象有两个不同的交点，h ′(x )＝1－ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝e ，可知h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，h (x )max ＝h (e)＝1e ，当x →0时，h (x )→－∞，当x →＋∞时，h (x )→0，故实数a (2)当a ＝2时，f (x )＝x ln x －x 2＋2－x ，k (x －2)＋g (x )＜f (x )，即k (x －2)＋2－2x －x 2＜x ln x －x 2＋2－x ，整理得k (x －2)＜x ln x ＋x ，因为x ＞2，所以k ＜x ln x ＋xx －2．设F (x )＝x ln x ＋x x －2(x ＞2)，则F ′(x )＝x －4－2ln x (x －2)2．令m (x )＝x －4－2ln x (x ＞2)，则m ′(x )＝1－2x ＞0，所以m (x )在(2，＋∞)上单调递增，m (8)＝4－2ln 8＜4－2ln e 2＝4－4＝0，m (10)＝6－2ln10＞6－2ln e 3＝6－6＝0，所以函数m (x )在(8，10)上有唯一的零点x 0，即x 0－4－2ln x 0＝0，故当2＜x ＜x 0时，m (x )＜0，即F ′(x )＜0，当x ＞x 0时，F ′(x )＞0，所以F (x )min ＝F (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－2＝0＝x02，所以k ＜x 02，因为x 0∈(8，10)，所以x02∈(4，5)，故k 的最大值为4．点评1．极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证．解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题进行求解．2．对于有关x 与ln x 的组合函数为背景的试题，要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．【对点训练】1．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 66，则()A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c1．答案C解析设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，所以f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，即有f (6)<f (4)<f (3)，所以ln 66<ln 44＝ln 22<ln 33，故c <a <b ．2．已知a >b >0，a b ＝b a ，有如下四个结论：(1)b <e ；(2)b >e ；(3)存在a ，b 满足a ·b <e 2；(4)存在a ，b 满足a ·b >e 2，则正确结论的序号是()A ．(1)(3)B ．(2)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)2．答案C解析由a b ＝b a 两边取对数得b ln a ＝a ln b ⇒ln a a ＝ln b b ．对于y ＝ln xx，由图象易知当b <e<a 时，才可能满足题意．故(1)正确，(2)错误；另外，由a b ＝b a ，令a ＝4，b ＝2，则a >e ，b <e ，ab ＝8>e 2，故(4)正确，(3)错误．因此，选C ．3．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则()A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z3．答案D解析令2x ＝3y ＝5z ＝t (t >1)，两边取对数得x ＝log 2t ＝ln t ln 2，y ＝log 3t ＝ln t ln 3，z ＝log 5t ＝ln tln 5，从而2x ＝2ln 2ln t ，3y ＝3ln 3ln t ，5z ＝5ln 5ln t ．由t >1知，要比较三者大小，只需比较2ln 2，3ln 3，5ln 5的大小．又2ln 2＝4ln 4，e<3<4<5，由y ＝ln x x 在(e ，＋∞)上单调递减可知，ln 33>ln 44>ln 55，从而3ln 3<4ln 4<5ln 5，3y <2x <5z ，故选D ．4．下列四个命题：①ln 5<5ln 2；②ln π>πe；③<11；④3eln 2>42．其中真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．44．答案B解析构造函数f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．①ln 5<5ln 2⇒2ln 5<5ln 2⇒ln 55<ln 22，又2<5<e ，故错误．②ln π>πe ⇒2ln π>πe ⇒ln ππ>12e＝ln e e ，又e>π>e ，故正确．③<11⇒11ln 2<ln 11＝2ln 11⇒ln 22＝ln 44<ln 1111，又4>11>e ，故正确．④3eln 2>42⇒322eln 2>2×322⇒3232ln 22>ln e e ，显然错误．因此选B ．5．已知函数f (x )＝kx 2－ln x ，若f (x )>0在函数定义域内恒成立，则k 的取值范围是()ABC∞D5．答案D解析由题意得f (x )>0在函数定义域内恒成立，即kx 2－ln x >0在函数定义域内恒成立，即k >ln x x 2在函数定义域内恒成立，设g (x )＝ln xx 2，则g ′(x )＝x －2x ln x x 4＝x (1－2ln x )x 4，当x ∈(0，e)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，所以当x ＝e 时，函数g (x )取得最大值，此时最大值为g (e)＝12e ，所以实数kD ．6．已知0<x 1<x 2<1，则()A ．ln x 1x 2>ln x 2x 1B ．ln x 1x 2<ln x 2x 1C ．x 2ln x 1>x 1ln x 2D ．x 2ln x 1<x 1ln x 26．答案D解析设f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，所以函数f (x )调递增；由f ′(x )<0，得0<x <1e ，函数f (x )f (x )在(0，1)上不单调，所以f (x 1)与f (x 2)的大小无法确定，从而排除A ，B ；设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，由g ′(x )>0，得0<x <e ，即函数g (x )在(0，e)上单调递增，故函数g (x )在(0，1)上单调递增，所以g (x 1)<g (x 2)，即ln x 1x 1<ln x 2x 2，所以x 2ln x 1<x 1ln x 2．故选D ．7．已知函数f (x )＝ax －ln xx，a ∈R ．(1)若f (x )≥0，求a 的取值范围；(2)若y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 相切，求a 的值．7．解析(1)由题易知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f (x )≥0，得ax －ln xx ≥0，所以ax ≥ln x x ，又x >0，所以a ≥ln x x 2．令g (x )＝ln xx 2，则g ′(x )＝1－2ln x x 3．令g ′(x )>0，得0<x <e ，令g′(x )<0，得x >e ．所以当0<x <e 时，g (x )单调递增，当x >e 时，g (x )单调递减．所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值g (e)＝12e ，所以a ≥12e，即a 的取值范围是12e ，＋(2)设y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 相切于点(t ，a )t )＝a ，t )＝0.因为f ′(x )＝a －1－ln xx 2，所以－ln tt＝a ，－1－ln t t 2＝0，消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0．(*)令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，则h ′(t )＝1t －2ln t －1，易知h ′(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h ′(1)＝0，所以当0<t <1时，h ′(t )>0，h (t )单调递增，当t >1时，h ′(t )<0，h (t )单调递减．所以当且仅当t ＝1时，h (t )＝0，即(*)式成立，所以a ＝1－ln 112＝1．点评1．求解有关x 与e x ，x 与ln x 的组合函数问题，要把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；若函数最值不易求解时，可重新分拆、组合、构建新函数，然后借助导数研究函数的性质来求解．2．本例中(1)先将不等式f (x )≥0转化为a ≥ln xx 2，再构造函数g (x )＝ln x x 2，求其最大值即可求得a 的取值范围；(2)先由y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 相切，得到方程组，再构造新函数，通过研究新函数的单调性，求出a 的值．8．已知函数f (x )＝x 3－a ln x (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数y ＝f (x )在区间(1，e]上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围．8．解析(1)∵f ′(x )＝3x 2－a x＝3x 3－a x(x >0)．①当a ≤0时，f ′(x )>0，此时函数在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )＝3x 3－ax＝0，得x ＝3a 3，当xf′(x )<0，此时函数f (x )当xf ′(x )>0，此时函数f (x)(2)由题意知：a ＝x 3ln x在区间(1，e]上有两个不同实数解，即直线y ＝a 与函数g (x )＝x 3ln x的图象在区间(1，e]上有两个不同的交点，因为g ′(x )＝x 2(3ln x －1)(ln x )2，令g ′(x )＝0，得x ＝3e ，所以当x ∈(1，3e)时，g ′(x )<0，函数在(1，3e)上单调递减；当x ∈(3e ，e]时，g ′(x )>0，函数在(3e ，e]上单调递增；则g (x )min ＝g (3e)＝3e ，而g (e 127)＝e19ln e 127＝27e 19>27，且g (e)＝e 3<27．所以要使直线y ＝a 与函数g (x )＝x 3ln x 的图象在区间(1，e]上有两个不同的交点，则3e<a ≤e 3，所以a 的取值范围为(3e ，e 3]．考点二x 与e x 的组合函数问题(1)熟悉函数f (x )＝h (x )e g (x )(g (x )为一次函数，h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f (x )＝e xh (x )(h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不能同时为0)，h (x )≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．【例题选讲】[例1]已知函数f (x )＝a (x －1)，g (x )＝(ax －1)·e x ，a ∈R ．(1)求证：存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切；(2)若不等式f (x )＞g (x )有且只有两个整数解，求a 的取值范围．分析(1)设切点的坐标为(x 0，y 0)，然后由切点既在直线上又在曲线上得到关于x 0的方程，再构造函数，从而通过求导研究新函数的单调性使问题得证；(2)首先将问题转化为＜1，然后令m (x )＝x －x －1ex ，再通过求导研究函数m (x )的单调性，求得最小值，从而分a ≤0，0＜a ＜1，a ≥1三种情况来讨论，进而求得a 的取值范围．解析(1)f ′(x )＝a ，g ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ．设直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )的切点的坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝a (x 0－1)＝(ax 0－1)e x 0，得a (x 0e x 0－x 0＋1)＝e x 0，①又因为直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切，所以a ＝g ′(x 0)＝(ax 0＋a －1)e x 0，整理得a (x 0e x 0＋e x 0－1)＝e x 0，②结合①②得x 0e x 0－x 0＋1＝x 0e x 0＋e x 0－1，即e x 0＋x 0－2＝0，令h (x )＝e x ＋x －2，则h ′(x )＝e x ＋1＞0，所以h (x )在R 上单调递增．又因为h (0)＝－1＜0，h (1)＝e －1＞0，所以存在唯一实数x 0，使得e x 0＋x 0－2＝0，且x 0∈(0，1)，所以存在唯一实数a ，使①②两式成立，故存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相切．(2)令f (x )＞g (x )，即a (x －1)＞(ax －1)e x ，所以ax e x －ax ＋a ＜e x ，所以1，令m (x )＝x －x －1e x ，则m ′(x )＝e x ＋x －2ex，由(1)可得m (x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，且x 0∈(0，1)，故当x ≤0时，m (x )≥m (0)＝1，当x ≥1时，m (x )≥m (1)＝1，所以当x ∈Z 时，m (x )≥1恒成立．①当a ≤0时，am (x )＜1恒成立，此时有无数个整数解，舍去；②当0＜a ＜1时，m (x )＜1a ，因为1a＞1，m (0)＝m (1)＝1，所以两个整数解分别为0，1(2)≥1a，(－1)≥1a，解得a ≥e 22e 2－1，即a ∈e22e 2－1，＋③当a ≥1时，m (x )＜1a ，因为1a ≤1，m (x )在x ∈Z 时大于或等于1，所以m (x )＜1a 无整数解，舍去．综上所述，a 的取值范围为e22e 2－1，＋点评1．涉及函数的零点的个数问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题时，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值等，再借助函数的大致图象判断零点、方程的根、函数图象的交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值等．2．在求解有关x 与e x 的组合函数综合题时要把握三点：(1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；(2)把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；(3)函数最值不易求解时，可重新组合、分拆，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值．3．以形助数、数形沟通，实现数形结合，形象直观地得出结论，体现了直观想象等数学核心素养．考点三x 与e x ，ln x 的组合函数问题(1)熟悉函数f (x )＝h (x )ln x ±e x (h (x )＝ax 2＋bx＋c (a ，b 不能同时为0))的图形特征，做到对图(1)(2)(3)(4)所示的特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f (x )＝e xh (x )±ln x (其中h (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b 不同时为0))的图形特征，做到对图(5)(6)所示的两个特殊函数的图象“有形可寻”．命题点1分离参数，设而不求【例题选讲】[例1]已知函数f (x )＝ln x ＋m x ，g (x )＝e xx(e ＝2．71828……为自然对数的底数)，是否存在整数m ，使得对任意的x y ＝f (x )的图象在y ＝g (x )的图象下方？若存在，请求出整数m 的最大值；若不存在，请说明理由．解析假设存在整数m 满足题意，则不等式ln x ＋m x ＜e xx，对任意的x即m ＜e x －x ln x 对任意的x v (x )＝e x －x ln x ，则v ′(x )＝e x －ln x －1，令φ(x )＝e x －ln x －1，则φ′(x )＝e x －1x ，易知φ′(x )因为φe 12－2＜0，φ′(1)＝e －1＞0且φ′(x )所以存在唯一的x 0φ′(x 0)＝0，即e x 0－1x 0＝0，则x 0＝－ln x 0．当x x φ(x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，φ(x )单调递增．则φ(x )在x ＝x 0处取得最小值，且最小值为φ(x 0)＝e x0－ln x 0－1＝1x 0＋x 0－1＞2x 0·1x 0－1＝1＞0，所以v ′(x )＞0，即v (x )m ≤e 12－12ln 12＝e 12＋12ln 2≈1．99529，故存在整数m 满足题意，且m 的最大值为1．点评1．对于恒成立或有解问题分离参数后，导函数的零点不可求，且不能借助图象或观察得到，常采用设而不求，整体代入的方法．2．本例通过虚设零点x 0得到x 0＝－ln x 0，将e x 0－ln x 0－1转化为普通代数式1x 0＋x 0－1，然后使用基本不等式求出最值，同时消掉x 0，即借助φ′(x 0)＝0作整体代换，采取设而不求，达到化简求解的目的．命题点2分离ln x 与e x[例2]已知函数f (x )＝ax 2－x ln x ．(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝e ，证明：当x >0时，f (x )<x e x ＋1e ．解析(1)由题意知，f ′(x )＝2ax －ln x －1．因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x >0时，f ′(x )≥0，即2a ≥ln x ＋1x在x >0时恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x(x >0)，则g ′(x )＝－ln xx 2，易知g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g (x )max ＝g (1)＝1，所以2a ≥1，即a ≥12．故实数a 的取值范围是12，＋(2)证明若a ＝e ，要证f (x )<x e x ＋1e ，只需证e x －ln x <e x ＋1e x ，即e x －e x <ln x ＋1e x．令h (x )＝ln x ＋1e x (x >0)，则h ′(x )＝e x －1e x 2，易知h (x )h (x )min ＝0，所以ln x ＋1e x≥0．再令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0．因为h (x )与φ(x )不同时为0，所以e x －e x <ln x ＋1e x ，故原不等式成立．点评1．若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．2．本题第(2)小题中变形后再隔离分析构造函数，原不等式化为ln x ＋1e x>e x －e x (x >0)(分离ln x 与e x )，便于探求构造的函数h (x )＝ln x ＋1e x 和φ(x )＝e x －e x 的单调性，分别求出h (x )的最小值与φ(x )的最大值，借助“中间媒介”证明不等式．【对点训练】1．已知函数f (x )＝ln x ＋ax(a >0)．(1)若函数f (x )有零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：当a ≥2e 时，ln x ＋a x －e －x >0．1．解析(1)由题意可知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝ln x ＋ax＝0有解，得a ＝－x ln x 有解，令g (x )＝－x ln x ，则g ′(x )＝－(ln x ＋1)．∵当x g ′(x )>0，当x g ′(x )<0，∴函数g (x )g (x )max ＝＝－1e ln 1e ＝1e ．∵a ＝－x ln x 有解，且x >0，a >0，∴0<a ≤1e ，∴实数a ，1e ．(2)要证当a ≥2e 时，ln x ＋a x －e －x >0，即证ln x ＋a x >e －x ，∵x >0，∴即证x ln x ＋a >x e －x ，即证(x ln x ＋a )min >(x e －x )max ．令h (x )＝x ln x ＋a ，则h ′(x )＝ln x ＋1．当0<x <1e 时，f ′(x )<0；当x >1e 时，f ′(x )>0．∴函数h (x )∴h (x )min ＝＝－1e ＋a ，故当a ≥2e 时，h (x )≥－1e ＋a ≥1e．①令φ(x )＝x e －x ，则φ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )．当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0．∴函数φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(1)＝1e ．故当x >0时，φ(x )≤1e．②显然，不等式①②中的等号不能同时成立，故当a ≥2e 时，ln x ＋ax－e －x >0．。

第16讲：第三章一元函数的导数及其应用(测)(中档卷)(教师版)

第三章一元函数的导数及其应用（中档卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））函数()ln f x x x =+在1x =处的切线的斜率为（） A ．2 B ．-2 C ．0 D ．1【答案】A ()11f x x'=+，故()12f '=，故曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，故选：A.2．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知()()221f x x x f =+⋅'，则()3f '等于（）A ．-4B ．2C ．1D ．-2【答案】B()()221f x x f +'='，令1x =得：()()1221f f =+''，解得：()12f '=-，所以24fx x ，()3642f ='-=故选：B3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）若函数()2()e x f x x ax a =--在区间(2,0)-内单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞【答案】C∵()()2e x f x x ax a =-+，∴()()()2e 2e 2x x f x x a x x x a '⎡⎤=+-=+-⎣⎦，∵x ∈(2,0)-时，e 0x x <，∴若()f x 在(2,0)-内单调递减，则20x a +-≥在(2,0)-上恒成立，即得2a x ≤+在(2,0)-恒成立，∴0a ≤. 故选：C.4．（2022·四川·成都七中高二期中（理））各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制.通常我们用函数()ln ln M xf x M x=⋅表示在x 进制下表达()1M M >个数字的效率，则下列选项中表达M 个数字的效率最高的是（） A ．四进制B ．三进制C ．八进制D ．七进制设ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x -'=， 0e x <<时，()0g x '>，()g x 递增，e x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以max 1()(e)eg x g ==，由于()f x 中*x N ∈，下面比较ln 22和ln 33的大小即得． ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366---==<，所以ln 2ln 323<，所以(3)f 最大．故选：B ．5．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））若函数f x （）=e e x x ax -+-有大于零的极值点，则a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()e,+∞D ．()e -∞，【答案】A 原命题等价于'e ex xf xa 有大于零的零点，显然()'f x 在()0,x ∈+∞上单调递增，又因为x →+∞时，()'f x →+∞，所以'00f a ，所以0a >故选：A.6．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知实数a ，b ，()0,1c ∈，e 为自然对数的底数，且2e 2e a a =，3e 3e b b =，2e ln 2c c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A解：由2e 2e aa =，3e 3e bb =，2e ln 2cc =得2e e 2a a =，3e e 3b b =，ln 4e 24e ln 2ln 4ln 4c c ===，构造函数()()e 0xf x x x >=，求导得()()2e 1x xf x x -'=，令()0f x '=，得1x =．当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．因为1ln 423<<<，所以()()()ln 423f f f <<，所以()()()f c f a f b <<，又因为(),,0,1a b c ∈，()f x 在()0,1上单调递减，所以b a c <<. 故选：A ．7．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知函数()x f x e =，函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，若()()h x g x kx =-无零点，则实数k 的取值范围是（） A ．21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(e,)+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭由题知()ln g x x =，ln ()()0x h x g x kx k x =-=⇒=，设2ln 1ln ()()x xF x F x x x-'=⇒=，当()0F x '<时，()e,x ∈+∞，此时()F x 单调递减，当()0F x '>时，()0,e x ∈，此时()F x 单调递增，所以max 1()(e)eF x F ==，()F x 的图象如下，由图可知，当1ek >时，()y F x =与y k =无交点，即()()h x g x kx =-无零点.故选：D.8．（2022·湖北恩施·高二期中）已知1a >，1x ，2x ，3x 均为2x a x =的解，且123x x x <<，则下列说法正确的是（）A ．1(2,1)x ∈--B ．2e (1,e )a ∈ C ．120x x +< D ．232e x x +<【答案】B对于A ，令2()x f x a x =-，因为1a >，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，与x 轴有唯一交点，由零点存在性定理，得1(1)10f a --=-<，0(0)00f a =->，则1(1,0)x ∈-，故A 错误.对于B ，C ，D ，当0x >时，两边同时取对数，并分离参数得到ln ln 2a xx=，令ln ()x g x x =，()21ln xg x x -'∴=，当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；如图所示，∴当0x >时，ln 2a y =与ln ()xg x x=的图象有两个交点，ln 1(0,)2ea ∈，解得2e (1,e )a ∈，故B 正确； ∴2(1,e)x ∈，由A 选项知1(1,0)x ∈-，120x x ∴+>，故C 错误；由极值点偏移知识，此时函数()g x 的极值点左移，则有23e 2x x +>，故D 错误. 故选：B.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·黑龙江·高二期中）若函数()()22ln 12x axf x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（） A ．-1 B ．3 C ．1 D ．2【答案】AC解：因为函数()()()22ln 112-=++>-x axf x x x ，所以()11111111'=+-=++--≥-=-++f x x a x a a a x x ，当且仅当111x x +=+，即0x =时，等号成立，因为函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线，所以()min 0f x '≥，即10a -≥，解得1a ≤，故选：AC10．（2022·江苏·高二期末）【多选题】已知函数()ln xe f x x=，则（）A ．()0,1x ∈时，()f x 的图象位于x 轴下方B ．()f x 有且仅有一个极值点C ．()f x 有且仅有两个极值点 D ．()f x 在区间()1,2上有最大值【答案】AB由题，函数 ()ln xe f x x= 满足 0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，故函数的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞ 由()ln xe f x x= 当(0,1)x ∈ 时 , ln 0,0x x e <> ，所以()0f x <则()f x 的图象都在轴的下方，所以A 正确；又21ln ()(ln )x e x x f x x '⎛⎫- ⎪⎝⎭=，再令1()ln g x x x =-则 211()g x x x'=+，故()0g x '> 故()g x 单调递增，当1x >时，由()()1110,3303g g ln =-=-，故()g x 存在唯一的00(1)x x >，使得()00g x '=，此时当()01,x x ∈,()0f x '<，()f x 单调递减，当()()0,,0x x f x ∈+∞>'，()f x 单调递增. 又当()0,1x ∈时，()()110g x g <=-<，故此时()0f x '<恒成立，即()f x 单调递减，综上函数只有极值点且为极小值点，所以B 正确，C 不正确；又1(1)10,(2)ln 202g g =-<=-> 所以函数在(1,2)先减后增，没有最大值，所以D 不正确. 故选：AB .11．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：e x y =在点()0,1处的切线为1y x =+，如图所示，易知除切点()0,1外，e x y =图象上其余所有的点均在1y x =+的上方，故有e 1x x ≥+．该结论可构造函数()e 1xf x x =--并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，判断下列命题中正确的命题是（）A ．0x ∀>，1e ln 1x x -≥+B ．a ∀∈R ，x ∀∈R ，()e e 1x ax a ≥-+C ．x ∀∈R ，11e 02x x ---> D ．0x ∀>，e ln 1x x x x ≥++【答案】ABD对于A ，当1x >-时，由e 1x x ≥+得：()lne ln 1xx ≥+，即()ln 1x x ≥+；()()1e 11ln 111ln 1x x x x x -∴≥=-+≥-++=+，A 正确；对于B ，由e 1xx ≥+得：e1x ax a -≥-+，即e 1ex a x a ≥-+，()e e 1x ax a ∴≥-+，B 正确；对于C ，由e 1x x ≥+得：1e x x -≥；当1x =时，1e 1x x -==，此时1322x +=，则11e2x x -<+，即11e 02x x --->不成立，C 错误；对于D ，令()e ln 1xf x x x x =---，则()()()111e 11e x x f x x x x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭，令()()g x f x '=，则()()212e 0xg x x x '=++>，()g x ∴在()0,+∞上单调递增，又)132022f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()()12e 10f '=->，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，∴当()00,x x ∈时，0fx；当()0,x x ∈+∞时，0fx ；f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()00000e ln 1x f x f x x x x ∴≥=---；由()00f x '=得：001e x x =，00ln x x =-，()000110f x x x ∴=-+-=， ()0f x ∴≥，即0x ∀>，e ln 1x x x x ≥++，D 正确.故选：ABD.12．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数()e ,1e ,1x x x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，下列选项正确的是（）A ．点()0,0是函数()f x 的零点B ．()()120,1,1,3x x ∃∈∃∈，使()()12f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程()()220f x af x -=⎡⎤⎣⎦有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是()10,2e ⎧⎫+∞⋃-⎨⎬⎩⎭【答案】CD解：对于A ，因为()00f =，所以0x =是函数()f x 的零点，故A 错误；对于C ，当1x ≤时，()e x f x x =，则()()1e xf x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，所以函数()f x 在(),1-∞-上递减，在()1,1-上递增，所以()()1min 1e f x f -=-=-，又当x →-∞时，()0f x -→，()e e f =，故当1x ≤时，()1e ,ef x -⎡⎤∈-⎣⎦，当1x >时，()e xf x x =，则()()2e 10x xf x x -=>，所以函数()f x 在()1,+∞上递增，故()()1e f x f >=，故当1x >时，()()e,f x ∈+∞，综上所述，函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣，故C 正确；对于B ，由C 可知，函数()f x 在()0,1上递增，在()1,3上递增，则()()12e,e f x f x <>，所以不存在()()120,1,1,3x x ∈∃∈，使()()12f x f x >，故B 错误；对于D ，关于x 的方程()()220f x af x -=⎡⎤⎣⎦有两个不相等的实数根，即关于x 的方程()()20f x f x a -=⎡⎤⎣⎦有两个不相等的实数根，所以()0f x =或()20f x a -=，由C 知，方程()0f x =只有一个实数根，所以方程()20f x a -=也只有一个实数根，即函数()y f x =与函数2y a =的图象只有一个交点，如图，画出函数()y f x =的简图，则12ea =-或20a >，所以12ea =-或0a >，所以实数a 的取值范围是()10,2e ⎧⎫+∞⋃-⎨⎬⎩⎭，故D 正确.故选：CD.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知直线2y x a =+与曲线()ln y x b =+相切，则2-=b a ______．【答案】1ln2+设切点为()00,P x y ，则002y x a =+，且()00ln y x b =+，因为函数()ln y x b =+的导函数为1y x b '=+，所以012x b =+，则012x b +=，所以()000ln ln 2212y x b x a b a =+=-=+=-+，得21ln 2b a -=+，故答案为：1ln2+.14．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线. 【答案】32()f x x x （答案不唯一）若()f x 同时满足所给的两个条件，则2()320f x x ax '=-+≤对[1,)x ∈+∞恒成立，解得：min32a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即32a ≤，且2()321f x x ax '=-+=-在[)1,+∞上有解，即3122x a x =-在[)1,+∞上有解，由函数的单调性可解得：31122x a x=-≥. 所以312a ≤≤.则32()f x x x （答案不唯一，只要()f x 满足32()f x x ax =-+（312a ≤≤即可）故答案为：32()f x x x15．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知()e xf x k =对任意不相等的两个数1x 、2x 都有()()121212f x f x x x x x ->+-恒成立，则实数k 的取值范围为______．【答案】2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭不妨设12x x >，可得()()221212f x f x x x ->-，则()()221122f x x f x x ->-，令()()22e x g xf x x k x =-=-，则()()12g x g x >，所以，函数()g x 在R 上为增函数，即对任意的x ∈R ，()e 20xg x k x '=-≥恒成立，所以，2e x x k ≥，令()2e x xh x =，其中x ∈R ，()()21e xx h x -'=. 当1x <时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，所以，()()max 21eh x h ==，所以，2ek ≥，因此，实数k 的取值范围是2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.16．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）若函数()()e xf x a x a =-∈R 有两个不同的零点1x 和2x ，则a 的取值范围为________；若2123≤<x x x ，则a 的最小值为__________．【答案】 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭()0e 0e x xx f x a x a =⇒-=⇒=，令()ex x g x =，则()()2e e 1e e x x x x x x g x --=='，当1x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减；故()max 1()1eg x g ==，当x →－∞时，g (x )→－∞，当x →+∞时，g (x )→0，则g (x )如图：故函数()()e xf x a x a =-∈R 有两个不同的零点1x 和2x ，则y =g (x )与y =a 图像有两个交点，则10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；若2123≤<x x x ，则212031xx x <≤<<，则()()22222122333ln3.3e 2e x x x x x g g xg x x ⎛⎫≤=⇒≤⇒ ⎪⎝⎭故()23ln323ln332ln32e a g x g ⎛⎫===⎪⎝⎭．故答案为：10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知函数()xx f x e =，()21x g x e x x =-+-． (1)求证：函数()y g x =有唯一的零点，并求出此零点； (2)求曲线()y f x =过点()1,1A 的切线方程．【答案】(1)证明见解析，零点为0(2)y x =(1)函数()g x 的定义域为R ，()21xg x e x '=-+，令()21x h x e x =-+，而()2xh x e '=-，故()h x 在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞单调递增．所以，()()min ln 232ln 20h x h ==->，即()0g x '>．故()g x 在R 上是单调递增的．又因为()00g =，因此，函数()y g x =有唯一的零点，零点为0．(2)（2）显然，点()1,1A 不在函数()f x 图像上，不妨设切点坐标为()00,x y ．又()1x x f x e -'=，即0000000111x x x y e x x y e --⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩，消去0y 得，02001x e x x =-+由（1）知00x =，则00y =，()01001k f e -'===，故所求的切线方程为：y x =．18．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）已知函数3()f x ax bx =+在1x =处有极值2． (1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 在区间[]22-，上的最大值．【答案】(1)13a b =-⎧⎨=⎩(2)2 (1)因为函数3()f x ax bx =+在1x =处有极值2，且2()3f x ax b '=+，所以(1)2(1)30f a b f a b =+=⎧⎨=+='⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩. (2)由（1）得：3()3f x x x =-+， 2()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+- ，令()0f x '>，得11x -<<，令()0f x '<，得1x <-或1x >，故()f x 在[2,1)--上单调递减，在(1,1)-上单调递增，在(1,2]上单调递减，故()f x 的最大值是(2)f -或(1)f ，而(2)862f -=-=(1)2f ==，故函数()f x 的最大值是2．19．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知函数()ln f x x mx =+，其中m ∈R ． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x x ≤-，求m 的最大值．【答案】(1)当0m ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m <时，()f x 在10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．(2)1-(1)1()(0)mxf x x x+'=>，当0m ≥时，()0f x '>当0x >恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增；当0m <时，令()0f x '>，得10x m <<-，令()0f x '<，得1x m>-， ()f x ∴在10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，综上所述：当0m ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m <时，()f x 在10,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． (2)依题意得2ln 2x mx x x +≤-对任意,()0x ∈+∞恒成立，即22ln x x x m x--≤对任意,()0x ∈+∞恒成立，令22ln ()(0)--=>x x x g x x x ，则22ln 1()x x g x x'+-=，令2()ln 1h x x x =+-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，(1)0h =，∴当(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，min ()(1)1g x g ∴==-，1m ∴≤-，故m 的最大值为1-．20．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））已知函数()()2e e R x f x x ax a =-+∈.(1)若()f x 在()11ln2-+，单调，求a 的取值范围. (2)若()e ln y f x x x =+的图像恒在x 轴上方，求a 的取值范围.【答案】(1)[)12e 22,n ,e l e ⎛⎤-∞--∞+ ⎥⎝⎦；(2)()0,∞+.(1)由题意得R x ∈，()()e 2e R x f x x a a '=-+∈.()f x 在()11ln2-+，上单调，即()()e 2e R x f x x a a '=-+∈在()11ln2-+，上大于等于0或者小于等于0恒成立.令()()e 2e R x g x x a a =-+∈，则()e 2e x g x '=-，当()0g x '=时，ln 2e 1ln 2x ==+.当11ln 2x -<<+时，()0g x '<，∴()g x 在()11ln2-+，上单调递减， ∴由题意得()1ln 20g +≥，或()10g -≤，解得2eln 2a ≥或12e ea ≤--， ∴a 的取值范围是[)12e 22,n ,e l e ⎛⎤-∞--∞+ ⎥⎝⎦.(2)2e e e ln x y x ax x x =-++的图象恒在x 轴上方，也即当()0,x ∈+∞时，0y >恒成立. 也即e e e ln xa x x x>--在()0,x ∈+∞上恒成立. 令()e e eln x h x x x x =--，()()()()222e e e e e 11x x x x x x x x h x x-----=='，令()e e x m x x =-，则()e e x m x '=-，由()0m x '=得1x =，当1x <时()0m x '>，当1x >时，()0m x '<，即1x =时，()m x 有极大值，也是最大值，所以()(1)0m x m ≤=，所以e e x x ≤（当1x =时取等号），再由()0h x '=可得：1x =，列表如下：由上表知10h =为极大值，所以()(1)0h x h ≤=.∴a 的取值范围是()0,∞+.21．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()()21R 2f x x a a =-∈. (1)设()()e xg x f x =，讨论函数()()e x g x f x =的单调性；(2)当0x ≤时，()()211g x x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()g x 在(),2a -∞-，(),a +∞上单调递增，在(),2a a -上单调递减(2)⎡-⎣(1)()()21e 2x g x x a =-，则()()()12e 2x g x x a x a '=--+令()0g x '>，则x a >或2x a <-()g x 在(),2a -∞-，(),a +∞上单调递增，在(),2a a -上单调递减 (2)()()221e 112x x a x a x -≤--+⇔()()221112e x x a x x a --+-≤构建()()()22111e ,20x x a x a x F x x --+=-≤-，则()()()e 1e x x x a x F x +--'=∵()e 1=x h x x +-在(],0-∞单调递增，则()()00h x h ≤=即e 10x x +-≤当0x ≤时恒成立当0a ≥时，()0F x '≤当0x ≤时恒成立，则()F x 在(],0-∞单调递减∴()()210102F x F a ≥=-≥，则a ≤∴0a ≤当0a <时，令()0F x '>，则x a >()F x 在(),a -∞单调递减，在(],0a 单调递增∴()()10e a a F x F a +≥=≥，则1a ≥-∴10a -≤<综上所述：1a -≤≤22．（2022·云南临沧·高二期中）已知函数()()242ln f x ax x x a =-+∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若2a =，证明：()()()22ln 2e 2x f x x x x +-⋅≤-．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析(1)解：由题可知，,()0x ∈+∞，()2224224ax x f x ax x x-+'=-+=．若0a =，()42x f x x -+'=，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；若0a <，令()0f x '=，解得10x >或20x =<（舍），所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减；若0a >，当16160a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当01a <<时，令()0f x '=，解得1x =2x ，所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增； (2)证明：若2a =，要证()()()22ln 2e 2x f x x x x +-⋅≤-，即证2ln e x x x x +<，即证2ln e 1xx x x+<．令函数()ln 1x g x x =+，则()21ln x g x x -'=．令()0g x '>，得()0,e x ∈；令()0g x '<，得()e,x ∈+∞．所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max 1e 1eg x g ==+，令函数()2e xh x x=，则()()3e 2x x h x x -'=．当()0,2x ∈时，()0h x '<；当()2,x ∈+∞时，()0h x '>．所以()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()2mine 24h x h ==．因为2e 1104e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以()()min max h x g x >，即2ln e 1xx x x +<，从而()()()22ln 2e 2x f x x x x +-⋅≤-得证．。

高考数学复习考点知识专题讲解课件16---导数与函数的单调性

综上所述，当 a＝0 时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当 a>0 时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增；当 a<0 时，f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．
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新高考大一轮复习 · 数学题型三函数单调性的应用命题点 1 比较大小或解不等式例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x) ＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
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②当 a＞2 时，令 f′(x)＝0，
得 x＝a－
2a2－4或 x＝a＋
a2－4 2.
当 x∈0，a－ 2a2－4∪a＋ 2a2－4，＋∞时，f′(x)＜0；
当 x∈a－
2a2－4，a＋
2a2－4时，f′(x)＞0.
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所以
f(x)
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新高考大一轮复习 · 数学 2．函数的极值与导数
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3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b) 为函数的最小值．
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导数与函数的单调性-2021届高三数学一轮高考总复习课件

2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0) 是极大值； ②如果在x0附近的左侧___f_′__(x_)_＜__0__，右侧__f_′__(_x_)＞__0__，那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤： ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左、右值的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得__极__小__值____；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.
图 2-16-2
A
B
C
D
解析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点的横坐标大于 0.故选 D.
答案：D
(2)函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是( ) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，3)和(1，＋∞) D.(－3,1) 解析：f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(3－2x－x2)ex，∴f′(x)>0，即x2＋2x－3<0.解得－3<x<1.∴f(x)的单调递增区间为(－3,1).故选 D. 答案：D
小值的可能值为端点值，故只需保证gg－ 1＝113＝＋13－ a≥a≥ 0，0，
解
得－13≤a≤13.故选 C.
答案：C
思想与方法 ⊙运用分类讨论思想讨论函数的单调性例题：(2016 年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围. 解：(1) f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a). ①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.

导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)

导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一求函数的单调区间【例1】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0，解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0，即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三函数单调性的简单应用角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1，所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )，由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a （1－x ）x，当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)；当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数，即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立，由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0，即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

例高考中导数在函数里的综合应用

例谈高考中导数在函数里的综合应用【摘要】导数是研究函数性质的重要工具，它为研究函数的图象与性质开辟了新的捷径。

导数在函数里的应用是历年高考必考的热点之一，试题往往作为“压轴题”，分值在15分左右。

高考关注了导数在函数中应用的考查，主要涉及：导数的概念、函数与导数的图象、导数的几何意义、用导数求函数的单调区间、极值和最值，以及导数在不等式中的应用等。

【关键词】高考导数函数综合应用
导数的出现开辟了数学研究的崭新天地，中学数学引入导数内容，使相应的数学方法、数学工具和数学语言更加丰富，应用形式更加灵活多样，同时也有效地促进了课程改革和考试改革。

应用导数研究相关的数学问题，是目前新课程高考命题的热点之一，纵观近几年的高考，全都有导数这部分的内容，既有考查导数基础知识的客观题，又有考查导数综合应用的解答题，在客观试题中，主要涉及导数的计算、求曲线的切线、函数的单调区间、函数的极值与最值、导函数与原函数的图象等知识点的简单应用；在解答题中，导数的考查主要体现在：导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、极值与最值；导数在不等式中的应用等，试题更体现了对导数综合应用较高的能力要求，下面选取2010年高考部分导数应用的综合题，谈谈高考中导数在函数里的应用考查的几类主要题型。

一、考查函数图象与性质
【例题1】(2010全国卷1文科21)已知函数f(x)=x3－
3ax2+3x+1.
(1)设a=2,求f(x)的单调区间；
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围。

解：(1)当a=2时 f(x)=x3－6x2+3x+1 f’(x)=3(x－2+。

第16讲导数在函数中的应用

D.C.B.A.第16讲导数在函数中的应用【考纲解读】1.掌握利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和最值的方法。

2.掌握导数应用的题型，总结归纳解题方法【重点与难点】重点：导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行分类总结.难点：导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题. 熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式，举一反三.掌握典型例题的典型方法.第一，二课时【考点盘清】见《导航》P47【课前演练】见《导航》P47【典例分析】题型一：原函数与导函数的图象【例1】函数()f x的导函数图象如下图所示，则函数()f x在图示区间上（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【例2】函数()f x的定义域为开区间()a b，，导函数()f x'在()a b，内的图象如图所示，则函数()f x在开区间()a b，内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个例1图例2图例3图【例3】若函数2()f x x bx c=++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x'的图象可能为（）【例4】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）D.C.B.A.【例5】设()f x'是函数()f x的导函数，()y f x'=的图象如下图所示，则()y f x=的图象可能是（）D.C.B.A.【例6】已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（）【例7】已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（）【例8】设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【例9】如图所示是函数()y f x =的导函数()y f x '=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（）A ．在区间(20)-，内()y f x =为增函数 B ．在区间(03)，内()y f x =为减函数 C ．在区间(4)+∞，内()y f x =为增函数 D ．当2x =时()y f x =有极小值【例10】已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞题型二：函数的单调性【例11】函数214y x x=+的单调增区间为__________;函数()l n (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ;函数2()(1)f x x x =-的单调递减区间是________．函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为________________【例12】下列函数中，在区间(1)+∞，上为增函数的是（） A ．21x y =-+ B ．1xy x =- C ．2(1)y x =-- D ．12log (1)y x =- 【例13】三次函数3()1y f x ax ==-在()-∞+∞，内是减函数，则（） A ．1a = B ．2a = C ．0a ≤ D ．0a <【例14】函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（）A ．π3π22⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．(π2π)，C ．3π5π22⎛⎫⎪⎝⎭， D ．(2π3π)，【例15】若y ax =与by x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是（）A ．在()-∞+∞，上是增函数B ．在()0+∞，上是增函数C ．在()-∞+∞，上是减函数D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数【例16】若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是_______ 【例17】已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 的单调递减区间是(31)-，，则a 的值是．【例18】已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是．【例19】已知321(2)33y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（）A ．1b <-或2b >B ．1b -≤或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤【例20】若函数32()1f x x ax =-+在(02)，内单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．3a ≥ B ．3a = C ．3a ≤ D ．03a <<【例21】若函数32()1f x x ax =-+的单调递区间为(02)，，则实数a 的取值范围是（） A ．3a ≥ B ．3a = C ．3a ≤ D ．03a <<【例22】已知函数232()43f x x ax x =+-在区间[]11-，上是增函数，则实数a 的取值范围为______．【例23】若函数232()43f x x ax x =+-在区间(2)-∞-，与(2)+∞，上都是减函数，则实数a 的取值范围为______．【例24】对于R 上可导的函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（）A ．(0)(2)2(1)f f f +<B ．(0)(2)2(1)f f f +≤C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +>【例25】已知函数()f x 是偶函数，在()0,+∞上导数()f x '0>恒成立，则下列不等式成立的是（）Ａ．()()()312f f f -<-< B ．()()()123f f f -<<-C ．()()()231f f f <-<-D ．()()()213f f f <-<-【例26】 )(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（）A ．()()af a bf b ≤B ．()()bf b af a ≤C ．()()af b bf a ≤D ．()()bf a af b ≤ 【例27】设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别是()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x''+<，则当a x b <<时，有（） A ．()()()()f x g x f b g b > B ．()()()()f x g a f a g x > C ．()()()()f x g b f b g x > D ．()()()()f x g x f a g a >【例28】已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=．⑴当3a =时，求函数()f x 的单调递增区间； ⑵若)(x f 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，求实数a 的取值范围．【例29】已知函数()ln xf x x=．⑴判断函数()f x 的单调性；⑵若()1y xf x x=+的图像总在直线y a =的上方，求实数a 的取值范围； ⑶若函数()f x 与()1263m g x x x =-+的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值．【例30】已知函数2()ln(1)2k f x x x x =+-+（0k ≥）． ⑴当2k =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；⑵求()f x 的单调区间．【例31】设函数32()91(0)f x x ax x a =+--<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求：⑴a 的值；⑵函数()f x 的单调区间．【例32】设函数()()e 0kx f x x k =≠．⑴ 求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； ⑵ 求函数()f x 的单调区间；⑶ 若函数()f x 在区间()11-，内单调递增，求k 的取值范围．。

数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用

数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。

2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。

3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。

(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。

(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。

二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。

2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。

3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。

(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。

(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。

三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。

2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。

3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。

(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。

(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。

四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。

2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。

3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。

(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。

高三数学一轮复习备考导数在研究函数中的应用说课稿

《导数在研究函数中的应用》一轮复习说课稿尊敬的各位老师、专家，大家好！我今天说课的内容是高三的一节复习课《导数在研究函数中的应用》。

下面，我从以下几个方面来说课。

一、教学理念：新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。

因此，教师的责任关键在于教学过程中创设一个“数学活动”环境，让学生通过这个环境的相互作用，利用自身的知识和经验构建自己的理解，获得知识，从而培养自己的数学素养，培养自己的能力。

二、教材分析1、本节教材的地位、作用分析导数在研究函数中的应用是人教A版高中数学新教材选修2-2第一章第三节的内容。

其中函数单调性是刻画函数变化的一个最基本的性质，虽然学生已经能够使用定义判定在所给区间上函数的单调性,但在判断较为复杂的函数单调性时,使用定义法局限性较大。

而通过本节课的学习，能很好的解决这一难题，能够使学生充分体验到导数作为研究函数单调性的工具，其有效性和优越性。

另一方面，在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、利用导数解决生活中的优化问题，同时对研究不等式等问题起着重要作用。

所以，学习本节课既加深了学生对前面所学知识之间的联系，也为后继学习做好了铺垫，学好本节内容，能加深学生对函数性质的理解，进一步体会数形结合、分类讨论、函数与方程的数学思想，能在高考中起到四两拨千斤的作用。

在高考中，常将导数与向量、不等式、集合一样作为工具与其他知识相综合考查。

2、教学目标（一）知识与技能目标：（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. （二）过程与方法目标：（1）通过本节的复习，掌握用导数在研究函数单调性、极值和最值中的方法；（2）培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合、转化思想、分类讨论的数学思想（三）情感态度与价值观目标：（1）在教学过程中让学生养成多动手、多观察、勤思考、善总结的习惯；（2）培养学生的探索精神，感受成功的乐趣。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第16讲变化率与导数、导数的计算

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第16讲变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝错误!未指定书签。

lim Δx →0ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝错误!未指定书签。

limΔx →0ΔyΔx ＝错误!未指定书签。

lim Δx →f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ． (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝错误!未指定书签。

limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin xf ′(x )＝cos__xf (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．➢考点1 导数的运算[名师点睛]对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值． 1．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．（1）sin x y e =；（2）32x y x +=+；（3）()ln 23y x =+；（4）()()2221y x x =+-；（5）cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【解】（1）因为sin x y e =，则()sin sin sin cos x x y e x e x ''=⋅=；（2）因为32x y x +=+，则()()()()()()223223122x x x x y x x ''++-++'==-++；（3）因为()ln 23y x =+，则()22213233y x x x ''=⋅+=++；（4）因为()()2221y x x =+-，则()()()()''22221221y x x x x =+++-'-()()2222122624x x x x x =-++=-+；（5）因为cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故2sin 22sin 2333y x x x πππ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导数为()f x '，且()2(e)ln f x xf x +'=，则()e f =（）A ．1e-B ．1-C ．1D ．e 【答案】B 【解析】由()2(e)ln f x xf x +'=得1()2(e)f x f x ''=+，当e x =时，1(e)2(e)e f f ''=+，解得()1e ef '=-，所以2()ln e x f x x -=+，2e(e)ln e 1ef -=+=-. 故选：B [举一反三]1．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）下列求导运算不正确的是（） A ．()22x x '=B ．()sin cos x x '= C ．()33ln 3x x '=D ．()1e ln 3e 3x x '+=+【答案】D 【解析】对于A ：()22x x '=，故选项A 正确；对于B ：()sin cos x x '=，故选项B 正确；对于C ：()33ln 3x x '=，故选项C 正确；对于D ：()()()e ln 3e l 0n 3e e x x x x '''=++=+=，故选项D 不正确；所以求导运算不正确的是选项D ，故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x ，()g x 满足()()21,f x xg x x +=-且()11f =，则()()11f g ''+=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】取1x =，则有()()110f g +=，即(1)(1)1g f =-=-，又因为()()21,f x xg x x +=-所以()()()2f x g x xg x x ''++=，所以()()1(1)12f g g ''++=，所以()()112(1)213f g g ''+=-=+=.故选：C3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x 满足()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++，0x >，π52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()πf 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．π 【答案】C【解析】由()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++两边同时乘x 可得： ()()()22222cos 22sin 22xf x x f x x x x x x x f x ''⎡⎤+=++=⎣⎦，又()222sin 22cos 22sin 22x x x x x x x x +++'=，因此()222sin 2x f x x x x c =++．由π52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即222πππ5sin π444c ⨯=++，可得2πc =， ∴()22πsin 21f x x x =++，∴()22sin 21π2πππf =++=．故选：C ﹒4．（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（）A ．(sin )cos x x '=B ．211()x x '=C ．31(log )3ln x x'=D ．1(ln )x x '=【答案】AD【解析】A ：(sin )cos x x '=，故正确； B ：211()x x'=-，故错误；C ：31(log )ln 3x x '=，故错误； D ：1(ln )x x'=，故正确. 故选：AD5．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：（1）y =x （x 2311x x ++）；（2）y =1）1）；（3）y =x tan x ；（4）y =x ﹣sin 2x cos 2x；（5）y =3ln x +ax （a >0，且a ≠1）.【解】解：（1）y =x （x 2311x x++）=x 3+121x +；则函数的导数y ′=3x 232x -.（2）y =1）1）=11=y ′= （3）y =x tan x sin cos x xx =，则y ′()()()222sin 'cos sin cos 'sin cos cos sin cos cos x x x x x x x x x x x x xx-++==2222sin sin cos cos xcosx xcos x xsin x x x xx cos x+++==；（4）y =x ﹣sin 1cos 222x x x =-sinx ；则y ′=112-cosx.（5）y ′3x=+ax ln a .➢考点2 导数的几何意义1．（2022·广东茂名·模拟预测）曲线()sin 2cos 1f x x x =--在点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为______．【答案】2π0x y --=【解析】()cos 2sin f x x x '=+，则曲线()y f x =在π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率ππcos 2sin 222k =+=，∴切线方程为π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2π0x y --=．故答案为：2π0x y --=．2．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为__________【答案】0y =或440x y ++=【解析】点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，20x )，由f (x )＝x 2可得()'2f x x =，∴切线的斜率()'002k f x x ==.切线方程为()021y x x =+.∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝2001x x +＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0. 故答案为：0y =或440x y ++=3．（2022·河南·三模）曲线()30y x m x =+<在点A 处的切线方程为322y x m =+-，则切点A 的坐标为______．【答案】()1,3-【解析】由233y x '==，得1x =±，因为0x <，所以1x =-，则切点A 的横坐标为－1，所以()31322m m -+=-+-，解得4m =，所以A 的坐标为()1,3-．故答案为：()1,3-.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知直线l 是曲线e 1x y =-与ln 1y x =+的公共切线，则l 的方程为___________.【答案】e 1y x =-或y x =【解析】设l 与曲线e 1x y =-相切于点(),e 1aP a -，与曲线ln 1y x =+相切于点(,ln Q b b +1），则1ln e 2e a ab b b a-+==-，整理得()()1e 10aa --=，解得1a =或0a =，当1a =时，l 的方程为e 1y x =-；当0a =时，l 的方程为y x =. 故答案为：e 1y x =-或y x =. [举一反三]1．（2022·山东枣庄·三模）曲线32y x bx c =++在点()1,0M 处的切线与直线20x y --=垂直，则c 的值为（） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】设()32f x x bx c =++，则()232f x x bx '=+，直线20x y --=的斜率为1，由题意可得()()1321110f b f b c ⎧=+=-⎪⎨=++='⎪⎩，解得21b c =-⎧⎨=⎩. 故选：C.2．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（） A ．3-B ．3C ．5-D ．5 【答案】A【解析】当0x >时，()()21f x x f ''=-，()()121f f ''∴=-，解得：()11f '=，∴当0x >时，()22f x x x =-+；当0x <时，0x ->，()22f x x x ∴-=++，又()f x 为偶函数，()()22f x f x x x ∴=-=++，即0x <时，()22f x x x =++，则()21f x x '=+，()2413f '∴-=-+=-. 故选：A.3．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，则（） A ．0b a >>B ．10a b a a-<<< C ．10a b a a <-<<D ．1a b a a>>-且0a > 【答案】D 【解析】作出()10y x x x=->的图象，由图可知，若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，点(),a b 应在曲线外，设切点为()()000,0>x y x ，所以0001y x x =-，21-'=+y x ，所以切线斜率为0002000111---=+==--x b y b x k x x ax a，整理得()20020--+=a b x x a ，即方程在00x >上有两个不同的解，所以()()4402020a a b a b a ⎧-->⎪-⎪->⎨-⎪⎪>⎩，100⎧-<⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩a ba ab a ，所以1a b a a>>-且0a >. 故选：D ．4．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()ln f x x x t =-+，直线1:ln 222l y x =-++，点()()00,P x f x 在函数()y f x =图像上，则以下说法正确的是( )A ．若直线l 是曲线()y f x =的切线，则3t =-B ．若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则3t >-C ．若2t =-，则点P 到直线l 5D ．若2t =-，当点P 到直线l 的距离最短时，02x ＝【答案】D【解析】f (x )定义域为(0，＋∞)，()11f x x'=-，若直线l 是曲线()y f x =的切线，则()1111222f x x x =-⇒-=-⇒='，代入1ln222y x =-++得1ln2y =+，()21ln2ln221ln23f t t ∴=+⇒-+=+⇒=，故A 错误；当t ＝－2时，当在点P 处的切线平行于直线l 时，P 到切线直线l 的最短距离，则()0001111222f x x x =-⇒'-=-⇒=，故D 正确；此时()2ln24f =-，故P 为()2,ln24-，P 到l ：22ln240x y +--=的距离为=C 错误；设1ln ln 22ln ln 2222xx x t x t x -+=-++⇒=-++，令()ln ln 222x g x x =-++，则()11222x g x x x-'=-=，当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()min 23g x g ==，又0x →时，()g x ∞→+；x →+∞时，()g x ∞→+， ∴若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则t ＜3，故B 错误．故选：D ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20(0)l x ty t --=≠与函数()(0)xe f x x x=>的图象相切，则切点的横坐标为A．2．2+C ．2D ．1【答案】A【解析】由()(0)xe x x x =>可得()()21x e x f'x x -=，设切点坐标为()(),0m n m >，则()22011m m m tn en m e m m t ⎧⎪--=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2m = A.6．（2022·福建泉州·模拟预测）若直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（） A ．12B ．1C ．eD ．2e 【答案】B【解析】设直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ，则11e x k =，且111e 11x k x +=+，所以11e 1xx =，221k x =，且222ln 11x k x +=+，所以22ln 1x x =，令()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，且()10f =，()0lim 0x f x →=，所以当()0,1x ∈时，()0f x <，因为()222ln 1f x x x ==，()111e e 1x x f x ==，即()()12e 10xf x f ==>，所以()()121,,e 1,xx ∞∞∈+∈+，所以12=e xx ，故11221e 1x k k x =⋅= 故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（）A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞【答案】B【解析】设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2xy x x =+-，对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->，令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令0g x，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫⎪⎝∈+⎭∞时，0g x，()g x 单调递减，所以()332max 1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.故选：B.8．（多选）（2022·河北保定·二模）若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（） A ．2m =-B ．1m =-C ．6n =D ．7n = 【答案】AD【解析】解：设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，对于函数()30y x x =>，23y x '=，则()2330a a =>，解得1a =，所以313m =+，即2m =-.对于函数()260y x nx x =-+->，2'=-+y x n ，则()230b n b -+=>，又2632b nb b -+-=-，所以()232632b b b b -++-=-，又0b >，所以2b =，7n =. 故选：AD9．（2022·重庆·三模）曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为___________. 【答案】22y x =-+【解析】由()1ln 225y x x =+++，2111y x x '=-++，则切线的斜率为12422x y =-=-+=-'．所以曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为： 1322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即22y x =-+．因此所求切线的方程为22y x =-+．故答案为：22y x =-+．10．（2022·浙江·高三专题练习）已如函数()e ,()ln x f x g x x ==.若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y f x =在点()()22,x g x 处的切线平行，则()12x g x +=___________；若(2)()2()1f x h x x g x x=--+，则()h x 的最大值为___________. 【答案】 0 2n 2e l 2-+ 【解析】由已知()e x f x '=，1()g x x'=，所以121e x x =，即12e xx -=，所以112111()ln e0x x x x g x x -=-+==+．2()2ln e 1xh x x x x=--+，定义域为()0,∞+，2222222e (21)e (12(21)(()221)e )x x x x x x x h x x x x x x x ----'=--=--=，令2e ()x p x x =-，则2()12e x p x '=-，0x >时，()0p x '<，所以()p x 在(0,)+∞上递减，所以0x >时，()(0)1p x p <=-，所以102x <<时，()0h x '>，()h x 递增，12x >时，()0h x '<，()h x 递减，所以max 11()()1ln 1221222ee ln 2h x h =-=-+=-+．故答案为：0；2n 2e l 2-+．11．（2022·河北廊坊·模拟预测）设直线12y x b =+是曲线sin (0,)y x x π=∈，的一条切线，则实数b 的值是_________．6π- 【解析】设切点坐标为00(,)x y ，因为cos y x '=，所以有00000sin 121cos 2y x y x b x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩因为(0,)x π∈，所以00,3x y π==00126b y x π=-=.6π- 12．（2022·全国·高三专题练习）曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________. 【答案】()0,1【解析】由函数sin 21y x x =++，则cos 2y x '=+，设切点P 的坐标为()00,x y ，则斜率00cos 23x x k y x ==+'==，所以0cos 1x =，解得02()x k k Z π=∈，当0k =时，切点为()0,1，此时切线方程为310x y -+=；当0k ≠，切点为(2,41)()k k k Z ππ+∈，不满足题意，综上可得，切点为()0,1. 故答案为：()0,1.13．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设三次函数()32f x ax bx cx d =+++，若曲线()y f x =在点()0,0处的切线与曲线()()g x xf x =在点1,2处的切线重合，则()2g '=______．【答案】32-【解析】由题知：(0)0f =，∴0d =，2()32f x ax bx c '=++()f x 在(0,0)处的切线为0(0)(0)y f x '-=-，即(0)y f x ='，∵()()()g x f x xf x +''=，(1)(1)(1)g f f =+''， ∴()g x 在1,2处的切线方程为：(1)(1)2y g x g =-'+' 又因为两条切线重合，∴(0)(1){(1)20f g g ='-+'='，∴(0)(1)2f g ''==，又∵(1)(1)2g f ==，(1)(1)(1)g f f =+''∴(1)0f '=，∴(0)2{(1)320(1)2f c f a b c f a b c ===++==++'='解得2{22a b c =-==∴()32222f x x x x =-++，2()642f x x x '=-++，∴(2)(2)2(2)32g f f =+=-''. 故答案为：32-.14．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______．【答案】2【解析】根据题意，设直线l 与()e 1x f x =-相切于点(,e 1)m m -，与()g x 相切于点(,ln 1)n n +，对于()e 1x f x =-，其导数为()e x f x '=，则有()e m k f m ='=，则直线l 的方程为1e e ()m m y x m +-=-，即e e (1)1m m y x m =+--，对于()ln 2g x x =+，其导数为1()g x x'=，则有1()k g n n='=，则直线l 的方程为1(ln 1)()y n x n n-+=-，即1ln y x n n=+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则1e (1)e 1ln m m n m n⎧=⎪⎨⎪--=⎩，可得(1)(e 1)0m m --=，则0m =或1m =，故直线l 的方程为y x =或e 1y x =-；则()f x 与()g x 的公切线条数是2条．故答案为：2。

“导数在研究函数单调性中的应用”的教学设计与反思

“导数在研究函数单调性中的应用”的教学设计与反思导数在研究函数单调性中的应用是高中数学中一个重要的知识点，也是学生学习微积分的必备内容之一、在教学设计中，我们可以结合具体的例子和实际问题，引导学生深入理解导数在研究函数单调性中的应用，并通过实际练习来加深他们的理解和掌握能力。

一、教学设计1.引入导入：通过一个简单的例子引入导数在研究函数单调性中的应用，让学生了解本节课的主题和学习目标。

2.理论讲解：介绍导数与函数单调性的关系，包括导数的定义、函数单调性的概念和判别方法等内容，让学生理解导数在研究函数单调性中的作用。

3.例题演练：选择一些形式简单、观念清晰的例题，让学生通过计算导数和分析函数的增减性来解决相关问题，掌握导数在研究函数单调性中的应用。

4.拓展练习：设计一些拓展性的综合题目，让学生灵活运用所学知识解决具体问题，培养他们的综合分析和解决问题的能力。

5.评价反思：及时对学生的学习情况进行评价和反馈，引导他们总结经验、查漏补缺，提高学习效果。

二、教学反思1.教学内容选择：在设计教学内容时，要根据学生的实际情况选择恰当的例题和练习题，既要符合课程要求，又要考虑学生自身的学习水平和能力，避免过于复杂或简单，确保教学效果。

2.教学方法运用：导数在研究函数单调性中的应用是一个相对抽象的概念，需要通过具体的例子和实践操作来引导学生理解和掌握。

因此，在教学过程中要采用灵活多样的教学方法，如教师讲解、学生自主探究、示范演练等，以提高学生的学习积极性和主动性。

4.课堂互动与反馈：在教学过程中要注重课堂互动和学生反馈，鼓励学生积极参与讨论和思考，及时纠正他们的错误和不完整理解，帮助他们建立正确的学习观念和方法，提高学习效果。

总之，导数在研究函数单调性中的应用是高中数学中一个重要的知识点，通过科学合理的教学设计和实施，可以有效提高学生的学习兴趣和掌握能力，促进他们对微积分知识的深入理解和应用。

希望我们的教学设计和反思能够对相关教师有所启发和帮助。

导数的综合应用的教案

导数的综合应用的教案【篇一：《导数的综合应用》说课稿及教学设计】《导数的综合应用》说课稿一、教材分析“导数的综合应用”是高中数学人教b版教材选修2-2第一章的内容，是中学数学新增内容，是高等数学的基础内容，它在中学数学教材中的出现,使中学数学与大学数学之间又多了一个无可争辩的衔接点。

导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识．二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标1、知识与技能：(3)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值； (4)解决根分布及恒成立问题2、过程与方法：（1）能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。

(2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。

3、情感、态度与价值观：这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。

四、教学重点、难点重点是应用导数求单调性，极值，最值难点是方程根及恒成立问题五、学法与教法学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（如问题3的处理）。

（2）自主学习：引导学生从简单问题出发，发散到已学过的知识中去。

（如问题1、2的处理）。

（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如问题1、2的发散和直击高考的处理）。

教学用具：多媒体。

教法：变式教学———这样可以让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律；【篇二：导数的应用教学设计】导数的应用一、教学目标1、知识与技能：（1）利用导数的几何意义。

（2）利用导数求函数的单调区间，进一步结合函数图像求函数的极值以及函数在闭区间上的最值；（4）解决函数零点个数问题及恒成立问题。

专题16 函数与导数的综合问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编(新高考卷)(原卷版)

《专题16 函数与导数的综合问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）》1．【利用导数研究极值问题】（2022·河南焦作·二模）已知函数()(2)e x f x x =-. (1)求()f x 的极值；(2)若函数()()(ln )g x f x k x x =--在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值，求实数k 的取值范围.2．【利用导数研究极值问题】（2022·四川泸州·三模）已知函数()313f x x ax =-+，R a ∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()()xg x f x e =⋅有且只有一个极值点，求a 的取值范围．3．【利用导数研究最值问题】（2022·甘肃兰州·模拟预测）已知函数()2e sin xf x ax x =--，e为自然对数的底数．(1)求()f x 在0x =处的切线方程；(2)当0x ≥时，()1sin f x x x ≥--，求实数a 的最大值． 4．【利用导数研究最值问题】（2022·北京·一模）已知函数()21x af x x -=-． (1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，求a 的值； (2)若()f x 在()1,+∞上有最大值，求a 的取值范围.5．【利用导数证明不等式】（2022·湖北·二模）已知函数()e 1,()(ln )x f x x g x a x x =-=+． (1)若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值； (2)证明：2e (2)ln 2sin x x x x x >++．6．【利用导数证明不等式】（2022·四川省泸县第四中学模拟预测）设函数()ln f x ax x =，其中R a ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2. (1)求函数()f x 的极值； (2)证明：()2e ex x f x >-. 7．【利用导数解决恒成立问题】（2022·吉林·延边州教育学院一模）已知函数()()e R x f x ax a =+∈．(1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若()1ln(1)≥-+f x x 对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．8．【利用导数解决恒成立问题】（2022·云南·二模）己知e 是自然对数的底数，()e 1x f x ax =-+，常数a 是实数.(1)设e a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)1x ∀≥，都有(1)ln f x x -≤，求a 的取值范围.9．【利用导数解决能成立问题】（2022·辽宁·一模）已知函数()321sin 1,,462f x x x x ππαα⎡⎤=-++∈-⎢⎥⎣⎦， (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：存在,62ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得不等式()e xf x > 有解（e 是自然对数的底）.10．【利用导数解决能成立问题】（2022·广西广西·模拟预测）已知函数()()()221ln f x x a x a x a R =-++∈.(1)若()f x 在区间[]1,2上是单调函数，求实数a 的取值范围；(2)函数()()1g x a x =-，若[]01,e x ∃∈使得()()00f x g x ≥成立.求实数a 的取值范围. 11．【利用导数解决零点问题】（2022·广西南宁·二模）设函数()()212ln x f x a x x x -=-+，a ∈R ．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．12．【利用导数解决零点问题】（2022·山东枣庄·一模）已知函数()()e sin xf x x a x a =-∈R ．(1)若[]0,πx ∀∈，()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)当59a ≥-时，试讨论()f x 在()0,2π内零点的个数，并说明理由．13．【利用导数解决方程的根问题】（2022·宁夏·固原一中一模）设函数()2ln 25f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的极小值；（2）若关于x 的方程()()226f x x m x =+-在区间2[1,e ]上有唯一实数解，求实数m 的取值范围.14．【利用导数解决方程的根问题】（2022湖北襄阳五中高三模拟）已知函数()1e 2ln 46x f x x x -=-+-，e 是自然对数的底数．（1）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0,x ∈+∞，证明：曲线()y f x =不落在()32y x =-图像的下方．15．【利用导数解决双变量问题】（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数()()2ln f x a x a R x=+∈. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()()2g x x f x =-有两个极值点12,x x ，且(]11,x e ∈（e 为自然对数底数，且2.71828e =⋯），求()()12g x g x -的取值范围.16．【利用导数解决双变量问题】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测）已知函数()()1ln f x x ax a R x=--∈.(1)当3a =时，证明：()sin 3f x x <--；(2)若()f x 的两个零点分别为()1212,x x x x <，证明：2122e x x ⋅>.。

江苏省高考数学二轮复习第16讲利用导数研究函数的单调性极值与最值课件 (1)

题型一
导数与函数的单调性
例1 (2018盐城高三模拟)若对任意实数k,b都有函数y=f(x)+kx+b的图象与直线y=kx+b相切,则称函数f(x)为“恒切函数”.设函数g(x)=aex-x-pa,a,p∈R.
(1)讨论函数g(x)的单调性;
(2)已知函数g(x)为“恒切函数”. ①求实数p的取值范围;
因为h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
1 所以当x∈(0,+∞)时, -ax-2<0有解, x 1 2 即存在x∈(0,+∞),使得a> . 2 - x x 1 2 设G(x)= - (x∈(0,+∞)),所以只要a>G(x)min即可. x2 x
1 -1,所以当x∈(0,+∞)时,G(x) =-1, 而G(x)= min 1 x
x g'(x) g(x) (-∞,1) + ↗ 1 0 极大值 (1,+∞) ↘
1 1 故g(x)max=g(1)= ,所以b> . e e
( x 1)(ae x x) 1 (2)f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数为f '(x)= ,当a= 时, f '(x)= 2 x e ( x 1)(e x1 x) 2 , x 1 x x-1 由(1)知 ≤ , 即 e -x≥0,当且仅当x=1时取等号, x e e
1 1 2 1 ( x0 1) + =- x0(x0+2)=- , 4 4 4 1 3 3 3 3 2 1 2, 上递增,r(-2)=0,r = 函数r(x)=- (x+1) + 在 ,故0<m< .综上所 4 4 16 2 2 16 3 述,0≤m< . 16

高考数学中的函数与导数与指数对数的综合运用方法

高考数学中的函数与导数与指数对数的综合运用方法高考数学是中学生最重要的考试之一，涉及到各种数学概念和运算方法。

其中，函数与导数、指数与对数是高考数学中常见且重要的知识点。

本文将介绍函数与导数、指数与对数在高考数学中的综合运用方法。

一、函数与导数的综合运用在高考数学中，函数与导数经常被用来解决实际问题。

下面以一个例子来说明函数与导数的综合运用。

例题：某物体的运动方程为S(t) = 0.5t^2 + 2t + 1，其中S(t)表示物体的位移，t表示时间。

求物体在t = 3时的瞬时速度。

解析：给定物体的运动方程S(t)，我们需要求出物体在t = 3时的瞬时速度。

根据导数的定义，瞬时速度即位移函数S(t)的导数S'(t)。

首先计算位移函数S(t)的导数S'(t)。

对S(t)进行求导，得到S'(t) = t+ 2。

然后将t = 3代入导数S'(t)，得到S'(3) = 3 + 2 = 5。

因此，物体在t= 3时的瞬时速度为5。

通过这个例题，我们可以看到函数与导数在求解实际问题中的应用。

在高考数学中，类似的题目还有很多，学生可以通过理解函数的概念和导数的计算方法，灵活运用解决各种问题。

二、指数与对数的综合运用指数与对数也是高考数学中的重要知识点，常常用于解决与增长和衰减相关的问题。

下面以一个例子来说明指数与对数的综合运用。

例题：某家庭每年生活费增长10%，现在的生活费为10000元。

问经过多少年后，生活费会达到20000元？解析：假设经过x年后，生活费会达到20000元。

根据题目中的信息，我们可以列出方程10%的增长公式：10000 * (1 + 0.1)^x = 20000。

接下来，我们需要解这个方程来求解x的值。

为了简化计算，我们可以利用对数的性质将指数转化为对数形式。

对两边同时取对数，得到 log(10000 * (1 + 0.1)^x) = log 20000。