TDGéométrie1corrigé

1 R´ eponse : Il s’agit de r´ esoudre p − m + q − m = 0 ou encore m = 2 (p + q ). Ceci montre bien que m existe et est unique.
− → − − → − 5. Soient P, Q, P , Q quatre points distincts tels que P Q = P Q . Prouver : - les droites (P Q) et (P Q ) sont parall` eles - les droites (P P ) et (QQ ) sont parall` eles - le milieu de (P, Q ) est ´ egal au milieu de (P , Q). En d´ eduire que (P Q ) ∩ (P Q) = ∅. R´ eponse. L’hypoth` ese est q − p = q − p . Dire que les droites (P Q) et (P Q ) sont parall` eles ´ equivaut a dire que leurs directions (sous-espaces vectoriels associ´ ` es de dimension 1) sont ´ egales. Or la direction de (P Q) est engendr´ ee par q − p, celle de (P Q ) est engendr´ ee par q − p , et comme q − p = q − p ,
´ Ecole Centrale de P´ ekin – Troisi` eme semestre du cycle pr´ eparatoire
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c’est fini. Pour le parall´ elisme de (P P ) et (QQ ), c’est la mˆ eme chose, il suffit de remarquer que p − p = q − q. q p +q Enfin on peut aussi dire que p + q = p + q , et donc p+ egalit´ e des milieux. 2 = 2 . C’est l’´ Comme le milieu de (P, Q ) est sur la droite P Q , on voit alors que ce milieu appartient aux deux droites mentionn´ ees. 6. Soit D une droite de R2 et P un point n’appartenant pas ` a D. Trouver toutes les droites D de R2 telles que D ∩ D = ∅, P ∈D. R´ eponse. Soit v un vecteur g´ en´ erateur de la droite D. La droite D = p + Rv passe par P , mais ne coupe pas D, car sinon, D, D auraient un point commun et la mˆ eme direction (` a savoir Rv ). Mais alors on aurait D, D et comme P ∈ D , il en d´ ecoulerait P ∈ D, contradiction. Prouvons maintenant qu’il n’y a pas d’autre droite avec cette propri´ et´ e. Soit W la direction de D . Alors D = p + W . On suppose par l’absurde que W = Rv . Comme ces deux espaces sont de dimension 1, on peut dire que v ∈ W . Donc Rv ∩ W = {0} et comme la somme des dimensions de ces sous-espaces est 2 = dim R2 , il vient R2 = W ⊕ Rv . Fixons un point quelconque d ∈ D. Alors d − p ∈ R2 , et on peut trouver w ∈ W et λ ∈ R avec d − p = w + λv ou encore p + w = d − λv. Le membre de gauche est dans D = p + W , le membre de droite dans D. Mais alors l’intersection des deux droites est non vide, ce qui est contraire ` a l’hypoth` ese. 7. Soit Π un plan de R3 et P un point n’appartenant par ` a Π . Trouver tous les plans Π de R3 tels que Π ∩ Π = ∅, P ∈Π. R´ eponse. C’est la mˆ eme chose que sous 6. On prend une base (v1 , v2 ) de la direction du plan Π. On montre d’abord que P + V ect(v1 , v2 ) est un plan passant par P , qui ne coupe pas Π. Ensuite on montre que c’est le seul : Soit Π = P + W . On suppose que W = V ect(v1 , v2 ). Donc leur intersection est au plus de dimension 1. Cela impose que dim(W + V ect(v1 , v2 )) = 3, et donc R3 = W + V ect(v1 , v2 ) (attention, ce n’est plus une somme directe !). On montre alors comme dans Q6 qu’il existe un point dans l’intersection des deux plans, contradiction. 8. Soit m 1. On consid` ere m points P1 , . . . , Pm de Rn et m r´ eels λ1 , . . . , λm de somme ´ egale ` a 1. On appelle barycentre de la famille (Pi , λi )i∈[[1,n]] le point G tel que
´ Ecole Centrale de P´ ekin – Troisi` eme semestre du cycle ie 1
Travaux dirig´ es n°1 `me : Vecteurs et points The
On rappelle que les points de Rn sont les sous-espaces affines de dimension 0. Tout point est donc de la forme P = {p}, o` u p est un vecteur de Rn . R´ eciproquement, pour tout vecteur p de Rn , {P } est un n point de R . On peut donc identifier les points P et les vecteurs p. − − → − − → D´ efintion. Si P, Q sont deux points de Rn , on d´ efinit le vecteur P Q par la formule P Q = q − p. 1. Montrer la relation de Chasles. − − → − − → − → R´ eponse : P Q + QR = P R devient (q − p) + (r − q ) = r − p, ´ evidemment vrai. 2. Si A, B, C, D, E sont 5 points, montrer qu’il existe un unique point F tel que − − → − − → − − → AB + CD = EF . R´ eponse : Il s’agit de trouver f tel que (b − a) + (d − c) = f − e ou encore f = b − a + d − c + e. Ce vecteur existe et est unique. 3. Soient P, Q deux points. On note X l’ensemble de tous les points R tels que − → − − → ∃λ ∈ R, P R = λP Q. Montrer que X est un sous-espace affine de dimension 0 ou 1. A quelle condition ce sous-espace affine est-il une droite ? Lorsqu’on est dans ce cas, on note (P Q) cette droite. R´ eponse : Si P = Q alors n´ ecessairement R = P , d’o` u X = {P }. C’est un sous-espace affine de dimension 0. Si P = Q, alors {r} = {p + λ(q − p)|λ ∈ R}. Comme D = {λ(q − p)|λ ∈ R} est un sous-espace vectoriel de dimension 1 (engendr´ e par le vecteur non nul q − p), on trouve X = p + D. C’est un sous-espace affine de dimension 1. La condition pour que le sous-espace affine soit une droite est alors P = Q. − − → − − → 4. Soient P, Q deux points. Montrer qu’il existe un seul point M tel que M P + M Q = 0. On appelle ce point le milieu de (P, Q).
m i=1
− − → λi GPi = 0.
a) Montrer que G existe et qu’il est unique. On le note G(λ1 , . . . , λm ). (Au passage, red´ emontrer l’exercice 4.) b) Montrer que l’ensemble des points B = {G(λ1 , . . . , λm )|(λ1 , . . . , λm ) ∈ Rm et λ1 + · · · + λm = 1} est un sous-espace affine de Rn . Trouver une in´ egalit´ e reliant sa dimension ` a l’entier m. c) Montrer que tout sous-espace affine contenant {P1 , . . . , Pm } contient aussi B . R´ eponse. a) Il s’agit de r´ esoudre λi (pi − g ) = 0 ou encore b) Il est clair que P1 est dans B . Mais alors B = p1 + {(λ1 − 1)p1 +