分式的混合运算和整数指数幂(基础)知识讲解

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【教案参考】《分式》分式的混合运算、整数指数幂

分式章
分式的混合运算和整数指数幂
知识要点：
一、分式的混合运算
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，算加、减；遇到括号，先算括号内的；按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.
二、零指数幂
任何不等于零的数的零次幂都等于1，即0a =1(a ≠0).
同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.
即m n m n a a a -÷=（a ≠0，m 、n 为整数）
当m=n 时，得到0a =1(a ≠0).
三、负整数指数幂
任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，
等于这个数的n 次幂的倒数，即（a ≠0，n 是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.
四、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成a ×10n
的形式，其中n 是正整数， 0≤|a|<10
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即a ×10n -的形式，其中n 是正整数，0≤|a|<10，用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
例题分析：
一、
例1. 计算：
2.先化简再求值：
（1）其中x满足x2+2x-1=0 （2）（选择一个恰当的x值代入并求值）
3.已知
求A、B的值
4.已知：求的值５.已知ａｂ＝１，求的值。

二、
1、计算：。

八年级数学上册 15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂说课稿 (新版)新人教版

八年级数学上册 15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂说课稿（新版）新人教版一. 教材分析新人教版八年级数学上册第15章“分式的运算”中的第15.2.3节“整数指数幂”是本节课的主要内容。

这部分内容是在学习了分式的概念、分式的乘除法、分式的加减法等基础知识后进行的，是分式运算的一个重要组成部分。

本节课主要让学生掌握整数指数幂的运算方法，理解整数指数幂与分数指数幂之间的关系，以及能够运用整数指数幂解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对分式的概念和运算规则有一定的了解。

但是，学生在学习过程中，可能会对整数指数幂的运算规则理解不深，难以将整数指数幂与分数指数幂之间的关系运用到实际问题中。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解整数指数幂的运算规则，并通过实际例子让学生体会整数指数幂的应用价值。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整数指数幂的运算方法，理解整数指数幂与分数指数幂之间的关系，能够运用整数指数幂解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。

四. 说教学重难点1.教学重点：整数指数幂的运算方法，整数指数幂与分数指数幂之间的关系。

2.教学难点：如何引导学生理解整数指数幂的运算规则，并将整数指数幂应用于实际问题中。

五. 说教学方法与手段本节课采用自主学习、合作交流、讲解演示等教学方法。

利用多媒体课件辅助教学，通过生动的动画和实例，帮助学生理解整数指数幂的运算规则，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何运用整数指数幂解决问题，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：让学生自主探究整数指数幂的运算方法，总结运算规则。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，互相解答疑惑。

2020八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.5整数指数幂备课资料教案

第十五章15.2.5整数指数幂
知识点1：负整数指数幂和零指数幂
1.负整数指数幂的意义:当n是正整数时,a-n= ( a≠0),即是说,a-n(a≠0)是an的倒数.
2.零指数幂的意义:任何不等于零的数 Nhomakorabea零次幂都等于1,即a0=1(a≠0).
知识点2：科学计数法
科学记数法的表达形式为:a×10n,其中a是整数位只有一位的数,即1≤|a|<10,而 n的确定分为两种情况: ①当原数的绝对值小于1时,n是负数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(包括小数点前的一个零);②当原数的绝对值大于10时,n等于原数的整数位数减1.
【例2】一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米,0.0000065用科学记数法表示为().
A. 6.5×10-5 B. 6.5×10-6C. 6.5×10-7 D. 65×10-6
解:B.
点拨:把0.0000065的小数点向右移动6位变成6.5×0.000001.
考点1：负整数指数幂的运算
【例1】(1) =; (2)已知x+x-1=3,则x2+x-2=.
点拨:(1)利用a-n= ,即可求解.
(2)已知(x+x-1)2 =32,应用完全平方公式展开可以解答.
解:(1) = =- .
(2)(x+x-1)2=32,
∴x2+ x-2+2=9.∴x2+x-2=7.
考点2：科学记数法的实际应用

数学八年级上册第1章分式1.3.3整数指数幂的运算法则课件湘教版

本节内容
1.3.3
1.3 整数指数幂
说一说
正整数指数幂的运算法则有哪些？
am·an=am+n(m，n都是正整数)； (am)n=amn(m，n都是正整数)； (ab)n=anbn(n是正整数).
am an
= a m-n
a b
n
=
am bn
(a≠0，m，n都是正整数，且 m＞n)；
(b≠0，n是正整数).
3.计算：xn+2·xn-2÷(xx22)+3xn+-13;
4.已知：10m=5,10n=4,求102m-3n.
5、若 a b c d , bcd a
求
abcd abcd
的值
1.(x-1)-2∙(2x+1)3
(1) 当x为何值时，有意义？(2) 当x为何值时，无意义？
(3) 当x为何值时，值为零？(4) 当X为何值时，值为1？
作业：P20练习 P21 A 6、B7、8
在前面我们已经把幂的指数从正整数推广到了整数.
可以说明：当a≠0，b≠0时，正整数指数幂的上述运算法则对于整数指数幂也成立.
由于对于a≠0，m，n都是整数，
有
am an
= am · a-n
= am+(-n) =am-n
因此同底数幂相除的运算法则可包含
在同底数幂相乘的运算法则中.
am ·an=am+n(a≠0，m，n都是整数)
2.如果3n=
1 27
,求22n+4的值。
3.探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字式9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9；……那么，37的个位数字是______，320 的个位数字是______。

湘教版八年级数学第1章《分式》知识清单

第1章分式1.1分式知识点1 分式的概念1.分式的定义:类似地，一个整式f 除以一个非零整式g（g 中含有字母），所得的商记作fg,把代数式f g叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0. 分式的三要素：（1）形如fg的式子；（2）f为整式，g为非0整式；（3）分母g中含有字母2.分式与分数、整式的关系：（1）分式中分母含有字母，由于字母表示不同的数，因此分式比分数更具有一般性。

分数是分式中字母取特定值时的特殊情况. （2）分式与整式的根本区别是分式的分母中含有字母.知识点2 分式的值存在、不存在的条件1.分式的值存在（分式有意义）的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，因此分式的分母不能为即当g≠0时，分式fg才有意义.分式的分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0.2.分式的值不存在（分式无意义）的条件：分式的分母为0，即g＝0时，分式fg无有意义.求法：当分式的值不存在时，根据分式中分母的值为0的条件转化为解方程问题.知识点3 分式的值为0的条件分式的值为0的条件：1.当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.即对于分式fg，当f＝0且g≠0时，fg=0.2.对于分式fg，常见的特殊分式值的情况讨论：（1）若fg的值为1，则f=g,且g≠0；反过来若f=g,且g≠0，则fg的值为1.（2）若fg的值为-1，则f=-g,且g≠0；反过来若f=-g,且g≠0，则fg的值为-1.知识点4 分式的基本性质1.分式的基本性质：（1）分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等，即对于分式fg，有fg=f·ℎg·ℎ(h≠0).（2）分式得分子与分母都除以他们的一个公因数，所得分式与原分式相等.3.分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.用字母表示如下：（1）fg = −f−g= −f−g=−−fg（2）−fg= −−f−g= −fg= f−g知识点5 分式的约分1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以他们的公因式），叫作分式的约分.2.找公因式的方法：（1）当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式.（2）当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再按（1）中的方法找公因式.3.约分的方法（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；（2）若分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.4.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.注意事项：①约分式针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积形式；②约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式；③注意发现分式的分子与分母的一些隐藏的公因式（如互为相反数的式子）④当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面.1.2分式的乘法和除法知识点1分式的乘法1.分式的乘法运算法则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.即fg·uv= fugv2.法则的运用方法：（1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再约分；（2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算；（3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式.3.分式乘法运算的基本步骤：第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面.第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号；第三步：约分，将结果化成最简分式或正式.知识点2 分式的除法1.分式的除法运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即f g÷ u v= f g× v u=fv gu（u ≠0）.2. 法则的运用方法：（1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算；（2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算.3.分式除法运算的基本步骤：第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分；第二步：将除法转化成乘法；第三步：利用分式的乘法运算法则计算。

分式——整数指数幂(1)

《分式》——§16.2.3 分式的運算（六）——整數指數冪（1）學習目標：1、掌握整數指數冪的運算性質，並能運用它進行整數指數冪的運算。

2、通過分式的約分與整數指數冪的運算方法對比經歷探索整數指數冪的運算性質的過程，理解性質的合理性。

學習過程一、溫故知新正整數指數冪的性質：（以下m 、n 均為正整數）（1）m n a a ⋅= （2）()m n a = （3） ()n ab =（4）m a ÷n a = （0,a m n ≠>）（5）()n ab= （6）0a = (0a ≠)二、預習導學1、計算：2555÷= ； 371010÷=_________ 一方面：252535555--÷== 371010÷＝()()1010=另一方面：22553515555÷== 371010÷＝()()()1010=則()35-= ()()10=歸納：一般的，規定：()(0)naa -=≠，n 是整數，即任何不等於零的數的-n （n 為正整數）次冪，等於_____________________.2、試一試：35-= 22-= 2(2)x -=3、思考：當指數引入負指數後，對於第1題中冪的這些運演算法則是否仍然適用？25a a -⋅= 251aa =25a a=1()=3-a )5(2-+=a ，即2a ·5a -=2()a +2a -·5a -=2511a a = 71a =)(a )5(2-+-=a ，即2a -·5a -=2()a -+0a ·5a -=1×51a =5-a )5(0-+=a ，即0a ·5a -=()()a +歸納：當m 、n 是任意整數時，都有m a ·n a = 三、精講點撥例題：計算（1）233(2)x y -- （2）231()3ab --·3256a b -四、基礎訓練1. 0(1)1x -=成立的條件是 .2. 2(1)________x --=；21()_________3--=；30.1________-=；3______a -=；23________a bc --=.3.2a ·2()a --3()a -= ,21()a --= ,1a --= , 21()a -⎡⎤-⎣⎦=4.計算（1）2313()x y x y --（2）23223(2)()ab c a b ---÷(3)033212013(2)()(3)2--+-+-+-（4） 2101(1)()5(2010)2π--+-÷- （5）31220128(1)()72---⎡⎤--⨯-⨯-⨯⎣⎦5.利用負指數冪將下列分式化為冪的乘法。

整数指数幂、分式方程及分式方程的应用

答案： 1 b 2b 2 y z 5x 2 b （1） 3 （2） 2 （3） ; ; （4） ; （5）（6） 2 2 3 2 a ac 25 ac2 a 1 c y z 3 x y
2
2.计算下列各式，并且把结果化成只含有正整数指数幂的形式：
a （2） bc ; 3 （3） x y z 5 xy

根据等量关系：提速前行驶s千米所用的时间=提速后行驶（s+50）千米所用的时间。列方程： s s 50 x xv sv 解得：x 50 sv 经检验：x 是原方程的解 50 sv 答：提速前列车的平均速度是。 50
知识点归纳

1.列方程解应用题的步骤：设、列、解、答。如果所列方程是分式方程，那么在步骤中又多了一步是检验，所以步骤就成了：设、列、解、验、答。 2.列方程解应用题，不论是行程问题、工程问题，还是其他问题，它们的关键都是分析题意找出等量关系。在确定等量关系时一是要理解一些常用的数量关系，如s=vt 等，另外要反复读题，弄清题意，抓住关键字做文章。
解分式方程的一般步骤

在分式方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。解这个整式方程。验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根，若结果为0，说明此根是原方程的增根，必须舍去。
增根产生的原因

在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），即使原分式方程无意义的解（或根），这种根通常称为增根。因此，在解分式方程时必须进行检验，即验根。
分母含有未知数的方程叫做分式方程即方程中含有分式，并且分式分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程。

分式混合运算的法则

分式混合运算的法则数学篇分式混合运算的法则在学习数学中，我们经常需要进行分式混合运算，即将有两个或以上的运算符和分数混合在一起运算。

处理这种复杂的运算需要掌握一些规则和技巧，下面我们就来了解一下分式混合运算的法则。

（一）化简与合并同类项进行分式混合运算时，我们首先需要将各项化简为最简形式，然后合并同类项。

例如，对于以下的分式混合运算：$ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} $我们可以化简后得到：$ \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{12} $然后再将同类项相加，得到最终的答案：$ \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $（二）乘法和除法的法则在分式混合运算中，乘法和除法的运算要优先于加法和减法，我们需要按照以下的法则进行运算：①分式与整数相乘或相除时，先将整数化为分数，然后通分，最后再进行相乘或相除。

例如，计算以下的分式混合运算：$ \frac{1}{2} \times 3 + \frac{2}{3} \div \frac{1}{4} $我们可以先将整数3化为分数，得到：$ \frac{3}{1} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \div \frac{1}{4} $然后通分，得到：$ \frac{6}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{4}{1} $最后进行相乘和相除得到答案：$ 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3} $②分式与分式相乘时，将分子和分母分别相乘，然后通分，化简后得到最简分数。

例如，计算以下的分式混合运算：$ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} $我们先将两个分式相乘，得到：$ \frac{1 \times 2}{2 \times 3} - \frac{1 \times 3}{4\times 5} = \frac{1}{3} - \frac{3}{20} $然后通分得到：$ \frac{20}{60} - \frac{9}{60} $最后化简后得到答案：$ \frac{11}{60} $（三）加法和减法的法则在分式混合运算中，加法和减法的运算要在乘法和除法之后进行，我们需要按照以下的法则进行运算：①将各项通分，然后将分子相加或相减，得到一个新的分式。

分式基础知识详解+基础典型例题解析

【基本典型例题】(1)
类型一、分式的概念
1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
2 ， x ， m 1 ，3 x2 ， 5 ， a2 ， 2 ．
a3 m
a 3
【思路点拨】 x ， 5 ， 2 虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中 5 的分母中表示
3 3

一个常数，因此这三个式子都不是分式．
当 x 2 时， x2 4 (2)2 4 0 ，
x2
∴ 在分式有意义的前提下，分式
的值永不为 0．
x2 4
类型三、分式的基本性质
3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．
0.2x y
（1）
；
0.02x 0.5 y
1x1 y （2） 3 4 ．
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做
A
分式的基本性质，用式子表示是：

AM
，A

AM
（其中
M 是不等于零的整式）.
B BM B BM
要点诠释：（1）基本性质中的 A、B、M 表示的是整式.其中 B≠0 是已知条件中隐含着
的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0 是在解题过程中另外附加
要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改
变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.

第十五章 15.2 15.2.3 整数指数幂

1. (2017·河北)把 0.0813 写成 a×10n(1≤a<10，n 为整
数)的形式，则 a 为( D )
A．1
B．－2
C．0.813
D．8.13
2. 设 a＝－21－1，b＝－13－1，c＝－14－1，则 a，
b，c 的大小关系为( D )
第十五章分式 15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂
1 1. (1)当 n 是正整数时，a－n＝ an (a≠0)，a0＝ 1
(a≠0)，即 a－n(a≠0)是 an 的倒数；
(2)整数指数幂的有关运算性质：
①am·an＝ am＋n (m，n 为整数)；
②(am)n＝ amn (m，n 为整数)；
继续将线段 ON1 分成 100 等份，其分点由左向右依次为 P1，P2，…，P99.
则点 P37 所表示的数用科学记数法表示为 3.7×10－6.
8. 计算： (1)计算：(π－1)0＋|2－ 2|－13－1＋ 8；解：原式＝ 2； (2)( 3－ 2)0＋－13－2－（－5）2＋(－1)－3.
③(ab)n＝ anbn (n 为整数)；
④am÷an＝ am－n (a≠0，m，n 为整数)；
⑤abn＝
an bn
(n 为整数)．
2. 利用 10 的负整数次幂，用科学记数法可以表示一些绝对值较小的数，即表示成 a×10－n 的形式，其中 n 是正整数(1≤|a|＜10)．
知识点整数指数幂的运算
阅读第(1)题的解题过程，再做第(2)题： (1)已知 x＋x－1＝3，求 x3＋x－3 的值．因为(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，所以 x2＋x－2＝7，所以 x3＋x－3＝(x2＋x－2)(x＋x－1)－(x＋x－1)＝7×3－3 ＝18.

分式的混合运算,整数指数幂提高

分式的混合运算，整数指数幂（提高）一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律． ●能正确进行分式的四则运算． ●掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． ● 掌握科学记数法．学习策略：●类比分数混合运算的四则运算法则、运算顺序、运算律； ●类比正整数指数幂的运算性质和方法来学习零指数幂和负整数指数幂. 二、学习与应用1. m n a a ⋅= (其中,m n 都是正整数). m n p a a a ⋅⋅= （,,m n p 都是正整数）2. ()m n a = (其中,m n 都是正整数) (())m n p a = (0≠a ，,,m n p 均为正整数) ()()________mn a a a ==， ()n ab =3.101012_____2⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭34[()]m -= 5323(3)(3)⋅-⋅-=要点一、分式的混合运算与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID ：#41000#403058 知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.要点二、零指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于1，即()0___0a a =≠.要点诠释：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即___m n aa ÷= （0a ≠，m 、n 为整数）当m n =时，得到()010a a =≠要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即 _____n a -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.要点诠释：()0n aa -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于 0的代数式.例如()12____xy -=（0xy ≠），()5_____a b -+=（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即_______的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<，用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.类型一、分式的混合运算例1、先化简，再求值． 222142442x x x x x x x x ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭，其中x 满足2210x x +-=．【思路点拨】带有括号的分式的混合运算，应先算括号里的，同时在化简后应把22x x +看成一个整体来处理．典型例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．更多精彩内容请学习网校资源ID ： #41005#403058【总结升华】例2、（1）22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭；（2）21122222a b a ab a a ba a ⎛⎫++-- ⎪+⎝⎭g ．【总结升华】举一反三：【变式】（2016秋•天津期末）化简：（1）32322222b b ab b a b a a b ab b a ++÷--+-；（2）352242x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭类型二、负指数次幂的运算例3、已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________．【思路点拨】先将127变形为底数为3的幂，122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、 n 的值，最后代值求n m ．【总结升华】举一反三：【变式】计算：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；．类型三、科学记数法例4、若5万粒芝麻的质量总共是200克，则一粒芝麻的质量是多少千克？（列式计算，结果用科学记数法表示）【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【总结升华】举一反三：【变式】计算：（1）73(310)(210)-⨯⨯⨯；（2）423(210)(510)--⨯⨯⨯；（3）62(610)(310)-⨯÷⨯；（4）2332(210)(410)---⨯÷⨯三、测评与总结要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．知识点：分式的混合运算，整数指数幂（提高）测评系统分数：模拟考试系统分数：如果你的分数在85分以下，请进入网校资源ID ：#40998#403033进行巩固练习，如果你的分数在85分以上，请进入网校资源ID ：#41015#403058 进行能力提升．我的收获成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试．自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录．○网○校○重○要○资○源知识导学：分式的混合运算，整数指数幂（提高）（#403058）高清课堂：分式的混合运算、整数指数幂（#402547）对本知识的学案导学的使用率：□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学．。

初三数学下册整式与分式的混合运算

初三数学下册整式与分式的混合运算初三数学下册：整式与分式的混合运算混合运算是指在一个算式中同时出现整式和分式的运算，涉及到整数、有理数、多项式等。

掌握整式与分式的混合运算对于初三数学学习至关重要。

本文将介绍整式与分式的混合运算的基本规则和解题方法。

一、整式与整式的混合运算整式是指仅包含常数、变量及它们之积的表达式，常见形式如下：1. 加减运算在整式与整式相加减时，按照同类项进行合并。

例如：3x + 2y + 5x - 7y = 8x - 5y2. 乘法运算在整式与整式相乘时，使用分配律将每一项相乘后再合并同类项。

例如：(2x + 3)(4x - 5) = 8x² - 10x + 12x - 15 = 8x² + 2x - 15二、整式与分式的混合运算混合运算中，整式与分式的运算方法略有不同。

我们需要先进行分母的通分，然后按照整式的加减乘除规则进行运算。

1. 加减运算在整式与分式相加减时，需要先将分母进行通分，再按照整式加减法进行合并。

例如：2x/(x + 1) + 3/(x + 2) = (2x(x + 2) + 3(x + 1))/(x + 1)(x + 2) = (2x² + 4x+ 3x + 3)/(x + 1)(x + 2) = (2x² + 7x + 3)/(x + 1)(x + 2)2. 乘法运算在整式与分式相乘时，首先将整式与分式的分母进行通分，然后按照整式与整式的乘法规则进行计算。

例如：(2x + 3)/(x + 1) * (x + 2)/(x - 3) = (2x + 3)(x + 2)/(x + 1)(x - 3)乘法运算常常需要化简，通过展开并合并同类项得到简化后的结果。

3. 除法运算在整式除以分式时，需要先将整式与分式的分母进行通分，然后按照整式的除法规则进行计算。

例如：(2x + 3)/(x + 1) ÷ (x + 2)/(x - 3) = (2x + 3)/(x + 1) * (x - 3)/(x + 2) = (2x + 3)(x - 3)/(x + 1)(x + 2)三、实例演练现在我们通过几个实例来演示整式与分式的混合运算的解题过程。

第3讲分式方程与整数指数幂(精品)

第十章第3讲分式方程与整数指数幂知识精要 (一)分式方程1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.方程的根：一元方程的解也叫做方程的根。

3.解分式方程的步骤：(1)去分母(一般需因式分解确定最简公分母)，化为整式方程． (2)解整式方程(去括号，移项，合并同类项，系数化为1……)．(3)验根：检验所得整式方程的根是否为增根．增根的定义：在分式方程变形时，有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根。

分式方程必须验根的原因：分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围(分式方程中分母不等于零，而整式方程无此限制)，所以解分式方程必须检验。

验根的方法：只需将整式方程的根代入原分式方程的分母，看是否使分母为零(或直接代入最简公分母).如为零，则为增根，需舍去；如不为零，则为原分式方程的根。

增根需要满足的两个条件：①是去分母后整式方程的解；②使原分式方程中的分母为零。

(二)整数指数幂 4.整数指数幂(1)同底数幂相除，底数不变，指数相减。

(2)为了使同底数幂相除的性质在n m ,是正整数，且n m <时仍成立，规定1p p a a-=(其中0a ≠，p 是自然数).则在0≠a 时，n a 中的指数可以是一切整数，也就是说n a 是整数指数幂。

(3)整数指数幂的性质：①n m n m a a a +=⋅(n m ,是整数，且0≠a )； ②mn n m a a =)((n m ,是整数，且0≠a )； ③n n n b a ab =)((n 是整数，且0≠a ). 5.零指数：)0(10≠=a a .6.科学记数法科学记数法表示为：n a 10⨯的形式，其中n 为正整数，101<≤a ，n 为小数中左边第一个不为零的数字前面所有零的个数，科学记数法也可以把一个绝对值较小(小于1)的数表示成：n a -⨯10. 经典题型精析 (一)分式方程例1.在下列方程中，哪些是分式方程?(1)2121=-+x x (2)321=x (3)4332x x x =-+ (4)4332xx x =-+ (5)3432-=--x x x x (6)61=-t t (7)52221=+++ππx (8)325322=+-x x x例2.解方程：(1)1412112-=-++x x x (2)1637222-=--+x x x x x (3)2133112133119x x x x x -++=+-- (4)65556711222+-+-=++-x x x x x x (5)22)221(44168222-=-+++-+-x x x x x x x (6)15315106752116104223223++-++=+++++x x x x x x x x x x试一试：解方程：(1)32651222-=+----x x x x x x x (2)1211422+=+--x x x x x (3)123111222-+=+--x x x x (4)86107125265222++-=---+-+x x x x x x x x x例3.解方程：(1)71618151+++=+++m m m m (2)896791056+++++=+++++x x x x x x x x试一试：解方程：(1)61327121+-++=+-++x x x x x x (2)45342312++-++=++-++x x x x x x x x例4.解关于x 的方程：(1)442241)1(2212122xa x x a x x a --=---++ (2))0(≠+=--d c d cx b a x例5.解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++452322393235232y x y x y x y x例6.若方程2212212--+=+-+--x x ax x x x x 的解为负数，求a 的取值范围．试一试：已知分式方程112=-+x ax 的解为非负数，则a 的取值范围是________．例7.(1)若关于x 的方程234222+=---x x mx x 会产生增根，求m 的值． (2)若解分式方程xx x x m x x 1112+=++-+产生增根，求m 的值.试一试：若关于x 的方程xx x k --=+-3423有增根，试求k 的值.例8.2016年初夏，南方多省洪涝对生活造成严重灾害，兰州某中学师生自愿捐款．已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少? 450人试一试：某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了5小时，问原计划每小时加工多少个零件?例9.轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。

中考备考知识点总结：分式混合运算法则

中考备考知识点总结：分式混合运算法则
1.分式混合运算法则：
分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；
乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；
加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；
变号必须两处，结果要求最简。

2.分式方程的解法步骤：
同乘最简公分母，化成整式写清楚，
求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍，别含糊。

3.最简根式的条件：
最简根式三条件，号内不把分母含，
幂指数（根指数）要互质、幂指比根指小一点。

4.特殊点的坐标特征：
坐标平面点（x，），横在前来纵在后；
（＋，＋），（－，＋），（－，－）和（＋，－），四个象限分前后；
x轴上为0，x为0在轴。

象限角的平分线：
象限角的平分线，坐标特征有特点，一、三横纵都相等，二、四横纵却相反。

平行某轴的直线：
平行某轴的直线，点的坐标有讲究，
直线平行x轴，纵坐标相等横不同；
直线平行于轴，点的横坐标仍照旧。

5.对称点的坐标：
对称点坐标要记牢，相反数位置莫混淆，
x轴对称相反，轴对称x相反；
原点对称最好记，横纵坐标全变号。

16.分式的运算及整数指数幂

分式的运算及整数指数幂一、知识点1、分式的乘法法则：2、分式的除法法则：3、分式的乘方法则：4、分式的加减法则：1、先约分、再计算：例1.计算：444242222++-+++x x x x x x x变式训练：2222a 93a 6a 3a 2a 3a 1--+----2、分步通分：例2.计算：4214121111x x x x ++++++-变式训练：1684211618141211x x x x x --+++++++.3、整体通分法：例3.计算：242++-a a变式训练：4a 2a 2-+-4、巧用裂“项”法：例4. 计算：()()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x x变式训练：()()()()()()()()()11111x x 1x 1x 2x 2x 3x 2014x 2015x 2015x 2016++++++++++++++5、利用分配律：例5.计算：1x 11x x 1x x 22-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--变式训练：① x2x 24x 4x 1x 2x 1222-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--- ②6、“因式分解”法：例6.计算：()()()()11221122---------÷-++÷-b a b a b a b a变式训练：2121212m m m m 2m 2m 1m 1------------+-7、乘方法、倒数法：例7.已知51=+x x ，求①、221xx +；②、44-+x x ；③、1242++x x x .例8. 先化简，再求值：，从－1，2，3中选择一个适当的数作为x 值代入.变式练习 1．先化简，再求值： 32221121x x x x x x x --⋅++-+，其中x 2+x-2017＝0.2．先化简，再求值：．其中m 为一元二次方程的根．3．已知0142=+-x x ，求xx x x 64)1(2+---的值.4．已知实数a 满足a 2＋4a －8＝0，求2221321·1169a a a a a a a +-+-+-++的值．5．先将21112x x x x-⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭化简，然后请自选一个你喜欢的x 值代入求值．6．先化筒，再求值： 222a 3a a 3a 1·a a a 1a 1--+÷+--，其中a=2017.7．先化简，再求值： 2344111a a a a a -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中4a =．8．已知a 2－6a ＋9与(b －1)2互为相反数，则式子a b b a ⎛⎫-⎪⎝⎭÷(a ＋b )的值是多少？9．先化简，再求值：（31a +﹣a +1）÷2441a a a -+++42a -﹣a ，并从﹣1，0，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．。

八年级数学上册 15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂课件

（4）同底数幂的除法：am÷an=am-n (a≠0 m、n为正整数且m>n)
（5）分式的乘方:(
a b
)n
an b n（ b≠0 ，n是正整数）
（6） 0指数(zhǐshù)幂的运算:当a≠0时，a0=1。
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分
析
am÷an=am-n (a≠0 m、n为正整数且m>n)
科学(kēxué)计数法
光速约为3×108米/秒太阳半径(bànjìng)约为6.96×105千米目前我国人口约为6.1×109
小于1的数也可以用科学(kēxué)计数法表示。
1 0.00001= 10 5 = 10-5
a×10-n
0.0000257=
2 . 57 10 5
= 2.57×10-5
(3) 2a-2 b2 ÷（2a-1 b-2）-3
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小结(xiǎojié)
规定
1. a0=1
2.
an
1 an
(a≠0)
运
am∙an=am+n
算 (am)n=am∙n
(yùn suàn)
(a∙b)n= an∙bn
法则
a
n
b
an bn
(b 0)
（m，n为整数
八年级上册
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复习(fùxí) 正整数指数(zhǐshù)幂有以下运算性质：
（1）同底数幂的乘法：am·an=am+n (a≠0 m、n为正整数)
（2）幂的乘方：(am)n=amn (a≠0 m、n为正整数)
（3）积的乘方：(ab)n=anbn (a，b≠0 m、n为正整数)

八年级数学整数指数幂和分式的加减法湘教版知识精讲

初二数学整数指数幂和分式的加减法湘教版【本讲教育信息】一. 教学内容：整数指数幂和分式的加减法教学目标：1. 知识与技能（1）知道零指数幂和负整数指数幂的意义，会用它们的运算性质进行计算，能用科学记数法表示绝对值小于1的数。

（2）能进行分式的加减运算，会根据运算顺序和法则，进行简单的四则混合运算。

2. 过程与方法（1）运用从特殊到一般的认识规律发现零指数幂和负整数指数幂的性质。

（2）类比分数的加减法，探索出分式加减运算的方法。

3. 情感、态度与价值观（1）在学习中感受转化的思想，体验发现规律的乐趣。

（2）在共同探究中养成周密的思维，体会数学的价值。

二. 重点、难点重点：（1）同底数幂的除法及其运算。

（2）分式的加减运算及其混合运算。

难点：（1）对整数指数幂运算法则的理解。

（2）确定各分式的最简公分母。

知识要点归纳：1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即a aa a m n m n mn m n =≠>-()其中，、为正整数，0 2. 零次幂和负整数指数幂（1）如果a ≠0，则a 0＝1即：任何不等于零的数的零次幂都等于1。

（）（，为正整数）2110a a aa n n n n -==≠() 即：任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数。

特别地：a aa -=≠110() （3）强调：到现在为止，我们学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，所以幂的运算已经扩充到全体整数。

3. 整数指数幂的运算法则（1）同底数幂相乘：a a a a m n m n m n ⋅=≠+()0，、为整数（2）幂的乘方：()()a a a m n m n mn =≠0，、都为整数（3）积的乘方：()()ab a b a b n n n n =≠≠00，，为整数（4）同底数幂相除：a a a a m n m n m n ÷=≠-()0，、为整数（5）商的乘方：()()a b a bb a n n nn =≠≠00，，为整数 4. 科学记数法（1）用科学记数可以把绝对值较小的数表示成：a ×10-n （1≤|a|<10，n 为正整数）的形式。

《高效速记：初中数学必考公式定律与知识梳理》第15章分式、整数指数幂、分式方程

第15章分式整数指数幂分式方程0 0/　高效速记︓初中数学必考公式定律与知识梳理　-@44TT/,+B/D-@>% )一分式及其基本性质1.从分数到分式分式:一般地,如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子AB叫作分式.其中,A 叫作分子,B 叫作分母.知识拓展①分式的分子中可以含有字母,也可以不含字母,但分母中必须含有字母,这是分式与整式的根本区别.②分式有无意义的条件:若B ʂ0,则分式AB有意义;若B =0,则分式AB无意义.③分式的值为0的条件:若A =0,B ʂ0,{则分式AB 的值为0,反之也成立.④整式和分式统称为有理式.例15.1如果分式3x 2-27x -3的值是0,则x 的值应为 .解析分式的值等于0,则分子3x 2-27=0,所以x =ʃ3,又x =3时分母x -3=0,分式无意义,故x =-3答案-3.2.分式的基本性质(1)分式的基本性质:分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.即A B =A ㊃C B ㊃C ,A B =A ːCB ːC(C ʂ0),其中A ㊁B ㊁C 是整式.关键提醒分式的基本性质表达式中的C 是不为0的整式,只有明确C 不为0时,分式的分子㊁分母才能同乘以或同除以整式C .(2)通分:利用分式的基本性质,使分子和分母同乘以适当的整式,不改变分式的值,把异分母的分式化成同分母的分式,这样的分式变形叫作分式的通分.(3)约分:利用分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫作分式的约分.(4)最简公分母:为了通分要先确定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫作最简公分母.(5)最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫作最简分式.例15.2化简:x 2-9x -3=.解析x 2-9x -3=x +3()x -3()x -3=x +3.答案x +3二分式的运算1.分式的乘除及乘方法则(1)乘法法则:分式与分式相乘,用分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母.即a b ㊃c d =a ㊃cb ㊃d.(2)除法法则:分式除以分式,把除式中的分子㊁分母颠倒位置后,与被除式相乘,再运用分式的乘法法则运算.即a b ːc d =a b ㊃d c =a db c.(3)乘方法则:一般地,当n 是正整数时,分式乘方要把分子㊁分母分别乘方,即ab()n=a nbn .关键提醒关于分式的乘方:可以把分式的乘方看作商的乘方,运算顺序是先乘方,再乘除,后加减.运算结果如能约分,应约分.分子㊁分母是多项式的,先分解因式便于约分.例15.3先化简,再求值:a 2-4a 2+6a +9ːa -22a +6,其中a =-5.解析将分式的分子㊁分母因式分解,除法化为乘法,约分,化为最简分式,再代入数值进行计算.解原式=(a +2)(a -2)(a +3)2ˑ2(a +3)a -2=2a +4a +3,当a =-5时,原式=2ˑ(-5)+4-5+3=-10+4-2=3.2.分式的加减法则(1)同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减.即a c ʃb c =a ʃbc.(2)异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.即a b ʃc d =a d b d ʃb c b d =a d ʃb cb d.关键提醒a c ʃbc =a ʃbc中a ㊁b 所代表的可以是单项式,也可以是多项式.加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式).例15.4计算:a a 2-b2-1a +b ːb b -a .解原式=a a 2-b 2-1a +b ㊃b -a b =a (a +b )(a -b )-b -ab (a +b )=a b b (a +b )(a -b )+(a -b )(a -b )b (a +b )(a -b )=a b+(a-b)2b(a+b)(a-b)=a2-a b+b2b(a+b)(a-b).三整数指数幂正整数指数幂的运算性质如下:(1)a m㊃a n=a m+n(m,n是正整数).(2)(a m)n=a m n(m,n是正整数).(3)(a b)n=a n b n(n是正整数).(4)a mːa n=a m-n(aʂ0,m,n是正整数,m>n).(5)a0=1(aʂ0).例15.5计算下列各题,并把结果化为只含有正整数指数幂的形式.(1)(3x3y2z-1)-2(5x y-2z3)2;(2)a-2b-3(-3a-1b2)6a-3b-2.解(1)原式=3-2x-6y-4z2㊃25x2y-4z6=259x-6+2y-4+(-4)z2+6=259x-4y-8z8=25z89x4y8.(2)原式=-36a-2+(-1)-(-3)b-3+2-(-2)=-12a0b=-b2.四分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫作分式方程.2.解分式方程的思路将分式方程化为整式方程,具体做法是去分母 ,即方程两边同乘以3.验根将去分母后所得的整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.关键提醒在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫作原方程的增根.分式方程的增根,它满足于去分母后所得的整式方程,不满足原分式方程.4.解分式方程的一般步骤①在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程.②解这个整式方程.③把解得的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.关键提醒解分式方程,不要漏掉验根这一步.例15.6解方程x x+1-1=3(x+1)(x-2).解析先求出最简公分母(x+1)(x-2),方程两边同乘以最简公分母,将分式方程转化为整式方程求解.解两边同时乘以(x+1)(x-2),得x(x-2)-(x+1)(x-2)=3.解这个方程,得x=-1.检验:x=-1时(x+1)(x-2)=0,x=-1不是原分式方程的解,所以原分式方程无解.5.利用分式方程解决实际问题的步骤(1)审清题意;(2)设出未知数;(3)找出等量关系;(4)列出分式方程;(5)解这个分式方程;(6)检验,看方程的解是否满足方程和符合题意;例15.7 母亲节前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购的花盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.第一批盒装花每盒的进价是多少元解设第一批盒装花的进价是x元/盒,则,2ˑ3000x=5000x-5解得x=30经检验,x=30是原方程的根.答:第一批盒装花每盒的进价是30元.。