非齐次线性微分方程通解的证明

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常系数非齐次线性微分方程组的特解定理

x c1 c2 e t c3e t 于是齐次线性微分方程组的解是 y c1 c3e t . z c c e t 2c e t 1 2 3
2 2x y z 0 z 0 ，其特征方程为 1 先解相应的齐次线性方程组 x 3 x y 2 z 0 3
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
dX ＝AX-B 中，若 A、B 为常数阵，且 A≠O，[AB]与 A 同秩， dt
定理在常系数非齐次线性微分方程组
则线性方程组 AX＝B 的解就是该微分方程组的一个特解 X；并且当 A 满秩时，常数解 X 唯一. 证明当 A、X、B 为一阶方阵时，
dx b ＝ax-b，a≠0，显然有解 x＝ . a dt
dx dt 2 x y z 2 dy 求常系数非齐次线性微分方程组（*） x z 1 的通解 dt dz 3x y 2 z 3 dt
例
解
解得特征根为＝0， 1， -1. 求得对应的特征向量为 1 ＝c1(1,1,-1)， 2 ＝c2(1,0,-1)， 3 ＝c3(1,1,-2)，
1 1
2
1 1
＝0，
积分得 c1(t)＝ c1 ，c2(t)＝- e t + c2 ， c3(t)＝ et + c3 ，
t x c1 (t ) c2 (t )et c3 (t )e t c1 (t ) c (t )e t 2 2 (t )e c3 (t ) (t )e t 1 ；令 y c1 (t ) c3 (t )e t ，代入原方程组得： c1 c3 z c (t ) c (t )e t 2c (t )e t c (t ) c (t )et 2c (t )e t 3 1 2 3 2 3 1 t t (t ) ＝0， c (t ) ＝ e ，求得 c1 2 (t ) ＝ e ， c3

非齐次线性微分方程的几种解法

摘要

我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。

关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，

摘要 (1)

引言 (3)

1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)

2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)

2.1常数变易法 (6)

2.2待定系数法: (9)

2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (9)

2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (11)

2.3拉普拉斯变换法 (13)

总结 (15)

参考文选 (16)

致谢 (17)

引言

非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。下面我们主要介绍求特解的方法。

1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:

()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= （1） ()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= （2）

定理1：设方程（2）有n 个线性无关的解，这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。

定理2：方程（2）的基本解组一定存在。方程（2）的基本解组的个数不能超过n 个。

定理3：n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。

定理4：齐次方程（2）的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ，使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。

二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。
多项式法：
设常系数线性微分方程
y''+py'+qy =pm (x)pm ex
y=Y+y*.
两种特殊类型
e 1.f(x)= x Pm （x）型 e 2. f(x)= x[ P(lx) cos ωx+ (xP) )nsin ωx]型
例题
解法通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式
ay''+by'+cy=p(x) ex

二阶非齐次线性微分方程的解法.

待定系数法常数变异法幂级数法特征根法升阶法降阶法

关键词：微分方程，特解，通解，

二阶齐次线性微分方程

常系数微分方程待定系数法

解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1)

d x dx

L x a a x dt dt

≡++=

12,.

a a 这里是常数

特征方程212()0F a a λλλ=++= (1.1)

(1)特征根是单根的情形

设

12,,,n λλλ 是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如

下2个解：

12,t t e e λλ (1.2)

如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程

(1)的通解可表示为

1212t t x c e c e λλ=+

如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设

λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解

(i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+

(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=-

它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根

i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解

cos ,sin .t t e t e t ααββ （2）特征根有重跟的情形

若10λ=特征方程的

k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解21

1,t,t ,k t - 。若这个

k 重零根10,

λ≠设特征根为12,,,,m λλλ 其重数为

非齐次线性微分方程通解的证明

问题重述

如果

是区间上的连续函数，

是

区间上齐次线性微分方程

（5.21）

的基本解组，那么，非齐次线性微分方程

(5.28)

的满足初值条件

的解由下面公式给出

（5.29）

这里

是的朗斯基行列式，

是在

中的第k 行代以

后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式，（5.30）

这里

是适当选取的常数。

公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。

我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为

证明

考虑n 阶线性微分方程的初值问题

12(),(),...,(),()

n a t a t a t f t a t b ≤≤12x (),x (),...,x (),

n t t t a t b ≤≤()(n-11()+...+()x=0

n n x a t x a t +）()(n-11()+...+()x=()

n n x a t x a t f t +）(1)0000()0()=0()=0,[,]

n a b t t t t ϕϕϕ-'=∈，，...,0

12k 1

12[x (),x (),...,x ()]

()=x (){

}()[x (),x (),...,x ()]t

k n k t n W s s s t t f s ds

W s s s ϕ=∑⎰12[x (),x (),...,x ()]

k n W s s s 12x (),x (),...,x ()

n s s s 12[x (),x (),...,x ()]

k n W s s s 12[x (),x (),...,x ()]

一阶线性非齐次微分方程

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程

方程

dy dx

P x y Q x

()()

叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果

Q x()≡0，则方程称为齐次的；

如果

Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程

dy dx

P x y

()0

的通解问题。

分离变量得dy

P x dx =-()

两边积分得ln()ln y P x dx c

=-+

⎰

或

y c e P x dx

=⋅-⎰()

其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换

y u e P x dx

=⋅-⎰()

两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()

⋅=-⎰

两边求导得dy

u e uP x e

P x dx P x dx ='-

-⎰-⎰

()()

()

代入方程1得

'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()

u c Q x e dx

P x dx =+⎰⎰()()

于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dx

P x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()

将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()

【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21

132()

的通解。解：]23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ⎰⎰++⋅⎰=+-+--

高等数学12常系数非齐次线性微分方程

20
小结: 对非齐次方程
ypyqy e x P l( x ) c o sx P n ( x ) s inx
(p, q为常数)
i为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y * x k e x R m cx o R ~ m s si x n
例如：
a b i a b ia b i a b i2 a实数 (a b i a b i)i (a b i a b i)i2 b ii 2 b实数
18
二、f( x ) e x P l( x ) c o sx P n ( x ) s i n x 型
y* x2(aco xb ssix)n
(2) 特征方程 r4r20,即 r2(r21)0有根 r1,20, r3,4i
利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
y*x2(axb)cex x (d cx o k sx i)n
24
内容小结
1 .y p y q y P m ( x )e x
形式e为xPy m*( x)exQ m(x).
3
Q(x) (2 p )Q (x )(2pq)Q (x)Pm(x)
(2) 若是特征方程的单根 , 即
2pq0, 2p0,
则Q(x)为m 次多项式, 故特解形式为 y*xQ m (x)ex

第七节二阶常系数非齐次线性微分方程

c 0，
d

1，

y* 2

1 8
x sin 2x;
8
故原方程的通解为
y

C1
cos
2
x

C2
sin
2x

1 8
x

1 8
x
sin
2
x.
小结
(待定系数法)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y xkexQm ( x);
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
解特征方程 r 2 4r 4 0,
特征根 r1 r2 2，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e2x ,
2 是重根，设 y x2 (Ax B)e2x Q( x)e2x , 代入方程, 得 Q( x) Pm ( x), 6Ax 2B x 1
2. 写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) y(4) y x ex 3sin x
解: (1) 特征方程
有二重根
所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程
有根
利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
x ( d cos x k sin x )

常系数非齐次线性微分方程

一、f ( x ) = e Pm ( x ) 型
λx
推测解的形式
*
′′ + py′ + qy = e λ x Pm ( x ) 代入微分方程 y
≠0
假设 y = Q ( x ) e
λx
( 其中Q ( x ) 是某个多项式 )
确定Q( x ). 代入方程，整理得代入方程， Q′′ ( x) + ( 2λ + p) Q′ ( x) + ( λ 2 + pλ + q) Q ( x) = Pm ( x)
特解的形式为 y = x Qm ( x ) e
* k
λx
( 2 ) y′′ + 5 y′ + 6 y = 3 xe
2 x
解特征方程为 2 r + 5r + 6 = 0, 即(r + 2)(r + 3 ) = 0，
特征根为 r1 = 2, r2 = 3.
因Pm ( x ) = 3 x , λ = 2 是特征根，
的情况确定 . 对应的齐次方程 y′′ 2 y ′ 3 y = 0 2 特征方程 r 2r 3 = 0， ( r + 1) ( r 3 ) = 0 即特征根 r1 = 1, r2 = 3 Q λ = 0不是特征根， k = 0 ∴
续例1求 y′′ 2 y′ 3 y = 3 x + 1 的一个特解.

求二阶线性非其次微分方程通解的方法

求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的方法

摘要：二阶线性常系数非齐次微分方程在常微分方程的理论和应用中占有重要地位，本文提出了三种解法。一种是课本介绍的常数变易法，先求得对应的齐次微分方程的基本解组，然后求非齐次方程的通解；第二种是对某些特殊类型的非齐次方程，可以运用比较系数法方便求解；第三种是在先求得对应的齐次微分方程一个特解的情况下，将二阶线性常系数非齐次微分方程转化为可降阶的微分方程，得出了一种运算量较小的二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一般公式，并用实例证明该方法是可行的。

关键词：二阶常系数非齐次微分方程;通解；特解；基本解组

1.引言

微分方程和日常生活联系是比较紧密的，在一些天文学、力学、人口发展模型、交通流模型等的求解过程中，经常会导出微分方程。而二阶常系数线性微分方程作为一类最基础最重要的微分方程，探讨求出它通解的方法就显得至关重要。本文给出的三种求解二阶线性常系数非齐次微分方程的方法中，常数变易法和降阶法可方便地求出一般方程通解，但要求被积函数可积，当被积函数不可积时可采用数值解法，本文不作详述。 2. 二阶线性常系数非齐次微分方程

设二阶线性常系数非齐次微分方程：

)(x f qy y p y =+'+'' (1)

其中q p ,为实常数, )(x f 为其定义域内连续函数。则方程(1)对应的齐次线性方程为：

y ''0=+'+qy p (2)

本文给出了三种求解二阶线性常系数非齐次微分方程的方法： 2.1常数变易法

由线性微分方程的相关知识可知，如果已知(1)对应的齐次线性微分方程(2)的基本解组，那么非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到。因此，求非齐次线性微分方程(1)的通解，关键是求出齐次线性微分方程的基本解组。下面介绍的常数变易法对于高阶线性常系数非齐次微分方程也适用。

非齐次线性微分方程

本章涉及知识点

1、微分方程的定义

2、一阶线性微分方程的定义

3、求齐次线性方程通解的算法

4、求非齐次线性方程通解的算法

5、伯努利方程的变化算法

6、案例微分方程的分析

7、纯数学算法推导案例的微分方程

8、Euler算法的推导

9、编程实战案例微分方程在不同算法下的计算结果和误差

一、微分方程的定义

在许多实际问题，尤其是金融问题，往往不能直接列出所需要研究的函数的具体表达式，但是根据使用场景，却可以列出待研究的函数与其导数的关系式，而关于函数和其导数的方程就称之为微分方程，那么从这个方程中找出未知函数，就是求解微分方程的解。

一般的，在满足初始条件下，微分方程包含未知函数的一阶导数

一阶微分方程

上述微分方程就叫做一阶微分方程

二、一阶线性微分方程的定义

方程是齐次的定义为

齐次

而方程是非齐次的定义为

非齐次

求解非齐次微分方程的解，我们需要

(1)、写出对应于非齐次线性方程的齐次线性方程，求出齐次线性方程的通解

(2)、通过常数易变法，求出非齐次线性方程的通解

三、求齐次线性方程通解的算法

对于齐次方程，我们用分离变量法，得到

求解齐次方程

提出常数C1化简得

齐次方程的通解

四、求非齐次线性方程通解的算法

得到齐次方程的通解后，我们使用常数易变法，将齐次方程通解中的常数C换做未知函数u(x)，变化得

常数易变法

我们对y进行求导，得到

y的导数

将导数带入非齐次线性方程中，得

两端积分得

将求解到的u带入y，就得到了非齐次方程的通解

非齐次方程的通解

我们将通解写成两项之和，得到

非齐次方程的通解意义

观察分析上式可以看到，一阶非齐次线性微分方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题

一fx?pmxe?x型二fx?e?xplxcoswxpnxsinwx型129二阶常系数非齐次线性微分方程上页下页铃结束返回首页方程y??py?qy?fx称为二阶常系数非齐次线性微分方程?其中pq是常数?二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y?yx与非齐次方程本身的一个特解y?yx之和?y?yxyx?上页下页铃结束返回首页提示??q??x2?pq?x?2p?qqxe?x??q??x2?q?x?2qxe?xpq?x?qxe?xqqxe?x一fx?pmxe?x型y?qxe?x?设方程y??py?qy?pmxe?x特解形式为下页q??x2?pq?x?2p?qqx?pmx?则得?qxe?x??qxe?x?qqxe?xy??py?qy上页下页铃结束返回首页提示?此时?2p?q?0?要使式成立?qx应设为m次多项式?qmx?b0xmb1xm?1???bm?1xbm?1如果?不是特征方程r2prq?0的根?则y?qmxe?x?下页一fx?pmxe?x型y?qxe?x?设方程y??py?qy?pmxe?x特解形式为q??x2?pq?x?2p?qqx?pmx?则得上页下页铃结束返回首页提示?此时?2p?q?0?但2?p?0?要使式成立?qx应设为m1次多项式?qx?xqmx?其中qmx?b0xmb1xm?1???bm?1xbm?2如果?是特征方程r2prq?0的单根?则y?xqmxe?x?下页1如果?不是特征方程r2prq?0的根?则y?qmxe?x?一fx?pmxe?x型y?qxe?x?设方程y??py?qy?pmxe?x特解形式为q??x2?pq?x?2p?qqx?pmx?则得上页下页铃结束返回首页提示?此时?2p?q?0?2?p?0?要使式成立?qx应设为m2次多项式?qx?x2qmx?其中qmx?b0xmb1xm?1???bm?1xbm?3如果?是特征方程r2prq?0的重根?则y?x2qmxe?x?下页2如果?是特征方程r2prq?0的单根?则y?xqmxe?x?1如果?不是特征方程r2prq?0的根?则y?qmxe?x?一fx?pmxe?x型y?qxe?x?设方程y??py?qy?pmxe?x特解形式为q??x2?pq?x?2p?qqx?pmx?则得上页下页铃结束返回首页?结论二阶常系数非齐次线性微分方程y??py?qy?pmxe?x有形如y?xkqmxe?x的特解?其中qmx是与pmx同次的多项式?

微分方程中的通解和特解

微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、经济、生物等领域的建模和分析中。在微分方程中，我们常常需要求解通解和特解，以得到方程的所有解或特定解。本文将围绕微分方程的通解和特解展开讨论。

一、什么是微分方程的通解？

微分方程的通解指的是该方程的所有解的集合。具体来说，对于一个n阶微分方程，它的通解是包含n个独立常数的一般解。这些常数的取值可以任意选取，从而得到该方程所有的解。通解可以用公式表达，也可以用一般形式描述。通解的求解方法通常基于微分方程的性质和特点，包括分离变量法、齐次线性微分方程法、常系数线性齐次微分方程法等。

二、微分方程的特解是什么意思？

与通解相对应，特解是微分方程的一个特定解。特解是通过给定的初始条件或边界条件来确定的，它与通解的区别在于特解是具体的解，而通解是方程的所有解的集合。特解的求解方法通常基于给定的条件和方程的特点，可以使用变量分离法、常系数非齐次线性微分方程法等。

三、如何求解微分方程的通解和特解？

求解微分方程的通解和特解的方法有很多，下面介绍常用的几种方法：

1. 分离变量法：对于可分离变量的微分方程，可以将方程中的变量分离，然后进行积分求解。这种方法适用于一阶微分方程。

2. 齐次线性微分方程法：对于形如dy/dx=f(x,y)的一阶线性微分方程，如果f(x,y)是关于x和y的齐次函数，则可使用变换y=vx，将其转化为可分离变量的方程。

3. 常系数线性齐次微分方程法：对于形如dy/dx+ay=0的一阶线性齐次微分方程，可以通过特征方程的求解得到通解。

非齐次偏微分方程

一般来说，非齐次偏微分方程可以写成以下形式：

$$L[u]=f(x_1,x_2,...,x_n,u,\frac{\partial u}{\partial

x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},...,\frac{\partial

u}{\partial x_n})$$

其中$L$是一个线性微分算子，$u$是未知函数，$f$是已知的函数。$L[u]$表示$L$对$u$的作用，通常是通过求取$u$的各阶偏导数和代入给

定条件来得到。

为了求齐次方程的通解，我们可以采用分离变量法、变量代换法或者

特征方程法等不同的方法来求解。这些方法的选择取决于方程的形式和特点。分离变量法常用于求解一阶线性偏微分方程，变量代换法适用于具有

特殊形式的方程，而特征方程法则可用于求解包含二阶及以上导数的方程。

一旦求得了齐次方程的通解，我们就需要找到非齐次方程的一个特解。常见的特解形式包括常数、多项式、指数函数、三角函数等。根据非齐次

方程的具体形式，我们可以选择适当的特解形式进行尝试，并通过代入方

程求解得到特解。特解得到后，将其与齐次方程的通解相加，即可得到非

齐次方程的通解。

需要注意的是，非齐次偏微分方程的解并不唯一，因为特解的选择是

灵活的，可以选择不同的特解形式来得到不同的解。

非齐次偏微分方程的应用非常广泛，涉及到很多领域，如物理学、工

程学、经济学等。在物理学中，非齐次偏微分方程常用于描述热传导、波动、扩散等过程。在工程学中，非齐次偏微分方程常用于解决热传导问题、

电磁场分布问题等。在经济学中，非齐次偏微分方程常用于分析经济增长模型、资产定价模型等。

二阶常系数非齐次线性微分方程解法与例题

Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根则 y*xQm(x)ex
提示
此时2+p+q0 但2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x)
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程得 >>>
2b0x+2b0b1x
比较系数
得
b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b01
齐2b次0方b1程0y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]
的特解其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1 >>>
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非齐次

(t0 ) 0的特解. TH4.12 若 (t ) 是(4.3.2)的基解矩阵,则
（1）向量函数是(4.3.1)的解,并满足 0 (t ) 0 (2) (4.3.1)的通解是
t
(t ) (t ) ( s) F ( s)ds
1 t0
t
x(t ) (t )c (t ) 1 ( s) F ( s)ds
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1 3t t t 3t c1e c2e (e e ) 2 1 3t t 3t 2t t c e c e ( e 2 e e ) 1 2 2
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性质2 如果 1 (t ) 和 2 (t ) 是 (4.3.1) 的两个解,
则 1 (t ) 2 (t ) 是 (4.3.2) 的解. 性质3 设 F (t ) F1 (t ) F2 (t ) Fm (t ), 且 x j (t ) 是方程组 x A(t ) x F j (t ) 的解, 则 x 是 (4.3.1) 的解.
二、非齐次线性微分方程组解的结构
x A(t ) x F (t )
'
（4.3.1）（4.3.2）
x A(t ) x
'
解的一些简单性质: 性质1 如果 (t ) 是 (4.3.1) 的解, (t ) 是 (4.3.1) 对应的齐次线性方程组 (4.3.2) 的解, 则 (t ) (t ) 是 (4.3.1) 的解.