数列通项小练(1)

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数列训练(1) 数列通项的归纳

1 数列训练（1）数列通项的归纳
数列通项的归纳：
1.图（1），（2），（3），（4）分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第50个图包含个互不重叠的单位正方形. 答案 4901
2.右图是一个有n 层()2n ≥的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,…,第n 层每边有n 个点,则这个点阵的点数共有个.【解析】2331n n -+。

3．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2010项2010a 满足（）
A ．20101010a <<
B ．20101110
a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ． 201010a > 解析：将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭设2010a 位于第n 组，由(1)(1)201022
n n n n -+<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757
a =，选B ．
{}______.a ......654,32,1.410321=++=+==则中，数列a a a a n 50555...4746a 10=+++=。

题型最全的递推数列求通项公式的习题[1]

高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1)(1n f a a nn解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn ，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列na 满足211a ，nna a nn211，求n a 。

变式:已知数列1}{1a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2nna n f a )(1解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列na 满足321a ，n na n na 11，求n a 。

例2:已知31a ，nna nna 23131)1(n，求n a 。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32nna na a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___na 12n n类型3q paa nn1（其中p ，q 均为常数，)0)1((ppq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p ta nn，其中pq t1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列na 中，11a ，321n na a ，求n a .变式:（2006，重庆,文,14）在数列na 中，若111,23(1)nna a a n，则该数列的通项n a _______________变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列na 满足*111,21().nna a a n N （I ）求数列na 的通项公式；（II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n nb bb bna nN 证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232n na a a n nn N a a a 类型4nnnq paa 1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((q ppq ）。

数列专题复习之典型例题(含答案)

数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。

答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________．答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。

数列(一)(练习题)

数列的基础练习题一、数列的概念与简单表示法1、下列说法正确的是（）A. 数列1，3，5，7可表示为{1,3,5,7}B. 数列1，0，-1，-2与数列-2，-1， 0， 1是相同的数列C. 数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第k 项是11k + D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集N *的函数3、已知数列的通项公式为2815n a n n =−+，则3（） A. 不是数列{}n a 中的项 B. 只是数列{}n a 中的第2项C. 只是数列{}n a 中的第6项D. 是数列{}n a 中的第2项或第6项 5、已知数列1,3,5,7,,21,,n −则35是它的（） A. 第22项 B. 第23项 C. 第24项 D. 第28项 6、已知130n n a a +−−=，则数列{}n a 是（） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列二、等差数列题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为（）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1−n n a a 在直03=−−y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=−=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=−，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（）A ．8B ．7C ．6D ．53、若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +−=−=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（）A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（）A ．1B ．－1C ．2D ．218、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝519、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（A ）13项（B ）12项（C ）11项（D ）10项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q −−+++=，则其前n 项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2−的前n 项和为（）A. ()4321−n nB. ()7321−n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则（）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++−−n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。

数列的通项公式练习题(通项式考试专题)

求数列通项公式专题练习1、设n S 就是等差数列}{n a 得前n 项与,已知331S 与441S 得等差中项就是1,而551S 就是331S 与441S 得等比中项,求数列}{n a 得通项公式2、已知数列{}n a 中,311=a ,前n 项与n S 与n a 得关系就是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a 。

3、已知数列{}n a 中,11=a ,前n 项与n S 与通项n a 满足)2,(,1222≥∈-=n N n S S a n n n ,求通项n a 得表达式、4、在数列｛n a ｝中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 得表达式。

5、已知数}{n a 得递推关系为4321+=+n n a a ,且11=a 求通项n a 。

6、已知数列{}a n 得前n 项与S n b n n =+()1,其中{}b n 就是首项为1,公差为2得等差数列,数列{}a n 得通项公式7、已知等差数列{a n }得首项a 1 = 1,公差d > 0,且第二项、第五项、第十四项分别就是等比数列{b n }得第二项、第三项、第四项. (Ⅰ)求数列{a n }与{b n }得通项公式;lTsK3。

8、已知数列}{n a 得前n 项与为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈.(Ⅰ)求数列}{n a 得通项公式;9、设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…,n ∈*N .(Ⅰ)求数列{}n a 得通项; 10、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，,求数列}a {n 得通项公式。

11、已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，,求数列}a {n 得通项公式。

数列求与公式练习1、设{}n a 就是等差数列,{}n b 就是各项都为正数得等比数列,且111a b ==,3521a b +=,5313a b +=(Ⅰ)求{}n a ,{}n b 得通项公式;(Ⅱ)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭得前n 项与n S .2、(){213}.nn n -⋅求数列前项和3、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=、{}n a 得前n 项与为n S 、(Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令211n n b a =-(n N +∈),求数列{}n b 得前n 项与n T 、4、已知等差数列{}n a 得前3项与为6,前8项与为-4。

数列练习题(小题+大题)(1-10)(1+2+3+8=250)

1．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =（） A ．21 B ．22C ．2D ．2 2．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（） A ．1- B ．1 C ．3 D ．73．等差数列{}n a 中，51130a a +=，47a =，则12a 的值为（） A ．15B ．23C ．25D ．374．两个正数a 、b 的等差中项是5，等比例中项是4，若a >b ，则双曲线122=-by a x 的离心率e 等于（） A ．23 B ．25 C ．5017D ．3 5．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（） A ．16（n --41） B ．6（n --21） C ．332（n --41） D ．332（n --21）6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++．1．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若4a 是37a a 与的等比中项，832S =，则10S 等于（）A ．18B ．24C ．60D ．90 2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．633．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．2-4．若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列2{log }n a 是（） A ．公差为2的等差数列 B ．公差为lg 2的等差数列 C ．公比为2的等比数列 D ．公比为lg 2的等比数列5．设等差数列}{n a 的前n 项和为=+++==1413121184,20,8,a a a a S S S n 则若（） A ．18B ．17C ．16D ．156．已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，n b =*n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比的等比数列（I ）证明：22n n a a q +=；（II ）若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列；（III ）求和：1234212111111n na a a a a a -++++++1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于（）A ．1B ．53C ．2-D ．32．已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1， 3a ＝0，则公差d ＝（）A ．－2B ．－12 C ．12D ．2 3．各项不为零．．．的等差数列}{n a 中，02211273=+-a a a ，则7a 的值为（） A ．0 B ．4C ．04或D ．24．在等差数列}{n a 中，39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列}{n a 的前9项之和9S 等于（） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 5．在等比数列==+=101810275,5,6,}{a a a a a a a n 则中（） A ．2332--或B ．32 C ．23 D ．2332或6．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，18）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值．1．等差数列{}n a 的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是（）A ． 90B ． 100C ． 145D ． 1902．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（）A ．2744n n + B ．2533n n + C ．2324n n + D ．2n n +3．各项均不为零的等差数列}{n a 中，若2110(,2)n n n a a a n n *-+--=∈≥N ，则2009S 等于（）A ．0B ．2C ．2009D ．40184．各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值为（）A ．251- B ．215+ C ．215- D ．215+或215- 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为n S ，若714S =，则35a a +的值为（） A ．2B ．4C ．7D ．86．已知：数列}{n a 满足+-∈=++++N a na a a a n n ,333313221 ．（1）求数列}{n a 的通项；（2）设,nn a nb =求数列}{n b 的前n 项和S n ．1．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．152．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S =（） A ．64 B ．100 C ．110 D ．1203．在等差数列{}n a 中，284a a +=，则其前9项的和S 9等于（） A ．18 B ． 27 C ．36 D ．94．等差数列{}n a 的前n 项和)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n 当首项1a 和公差d 变化时，若1185a a a ++是一个定值，则下列各数中为定值的是（） A 、16SB ．S 15C 、17SD 、18S5．在等比数列==+=101810275,5,6,}{a a a a a a a n 则中（） A ．2332--或B ．32 C ．23 D ．2332或6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数．（1）求证:{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果．1．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（） A ．16 B ．24C ．36D ．482．设{}n a 是公比为正数的等比数列，若a 1=1，a 5=16，则数列{}n a 前7项的和为( ) A ．63B ．64C ．127D ．1283．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =（）A ．38B ．20C ．10D ．94．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（） A ．63 B ．45 C ．36 D ．275．若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =（） A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－46．已知12a =，点(a n ，a n +1)在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n =1，2，3，…（1）证明数列{}lg(1)n a +是等比数列；（2）设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求数列{}n a 的通项及T n ；1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．82．等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若＝则432,3,1S a a ==（） A ．12 B ．10 C ．8 D ．63．已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) A ．(],1-∞- B ．()(),01,-∞+∞ C ．[)3,+∞ D ．(][),13,-∞-+∞4．正项等比数列{}n a 满足142=a a ，133=S ，n n a b 3log =，则数列{}n b 的前10项和是（） A ．65 B ．－65 C ．25 D ．－255．等差数列{a n }共有2n 项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为（）A ．3B ．－3C ．－2D ．－16．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列{}1n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．1．在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（） A ．4122- B ．2122- C ．9122- D ．11122-2．等差数列{a n }中，a 1=1，a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100，则n =（） A ．9 B ．10 C ．11 D ．123．已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+，且11=a ，那么=10a ( ) A ． 1 B ． 9 C ． 10 D ． 554．设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为（） A ．{}n a 是等比数列． B ．1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列．C ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列．D ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同．5．已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于(A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313-- (D)()1031+3-6．已知数列{}11,5331(2,3,)n n n n a a a a n -==+-=中且（I ）试求2a ，3a 的值；（II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值．1．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（） A ．15 B ．30C ．31D ．642．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) A ．33 B ． 72 C ． 84 D ．1893．设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3,n =，若11111,2b c b c a >+=，111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===，则( ) A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n -1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n -1}为递减数列，{S 2n }为递增数列4．函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（） (A){}3,4 (B){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D){}2,3 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()112,1n n a n a S n n +=⋅=++，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ；②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围．1．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和， *n N ∈，则10S 的值为（）A ．-110B ．-90C ．90D ．110 2．等比数列x ，3x +3，6x +6，．．的第四项等于（） A ．-24 B ．0 C ．12 D ．243．设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A ．3B ．4C ．5D ．64．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（） A ．7B ．5C ．-5D ．-75．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m q B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2m q C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q6．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且1a ，3a ，9a 成等比数列，255a S =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足211n n n n n b a a +++=⋅，求数列{}n b 的前n 项的和．。

数列及等差数列通项训练测试题(含答案)

数列及等差数列通项一、单选题（共29题；共58分）1.（2020高一下·元氏期中）数列，，，，…，是其第（）项A. 17B. 18C. 19D. 202.（2020高一下·昌吉期中）已知数列，则是这个数列的第（）项A. 20B. 21C. 22D. 233.（2020高一下·江西期中）数列，，，，的一个通项公式是（）A. B. C. D.4.（2020高二下·宁波期中）古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图中的, , , ,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数；类似的,称图2中的, , , ,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A. 25B. 36C. 81D. 915.（2020高一下·佳木斯期中）数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（）A. B. C. D.6.（2020·聊城模拟）数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（）A. 153B. 190C. 231D. 2767.（2020高二上·吉林期末）在数列2，9，23，44，72，…中，第6项是（）A. 82B. 107C. 100D. 838.（2019高一下·天长月考）已知数列1，，，… ．…则是这个数列的（）A. 第10项B. 第11项C. 第12项D. 第21项9.（2019高二上·榆林期中）数列3，6，12，21，x，48…中的x等于（）A. 29B. 33C. 34D. 2810.（2020高一下·吉林期中）2008是等差数列的4，6，8，…中的（）A. 第1000项B. 第1001项C. 第1002项D. 第1003项11.（2020高一下·哈尔滨期末）若数列的通项公式为，则此数列是（）A. 公差为-1的等差数列B. 公差为5的等差数列C. 首项为5的等差数列D. 公差为n的等差数列12.（2020高一下·江西期中）已知等差数列{a n}中，，则公差d的值为（）A. B. 1 C. D.13.（2020高一下·南昌期末）已知数列为等差数列，，，则（）A. 39B. 38C. 35D. 3314.（2020高一下·绍兴期末）已知等差数列中，，，则（）A. 5B. 6C. 8D. 1115.（2020高一下·嘉兴期中）已知等差数列中，，，则公差（）A. -2B. -1C. 1D. 216.（2020高一下·金华期中）已知等差数列的首项为1，公差为2，则的值等于（）A. 15B. 16C. 17D. 1817.（2017高一下·张家口期末）已知数列{a n}为等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=（）A. 21B. 22C. 23D. 2418.（2020高一下·鸡西期中）已知正项数列的首项为1，是公差为3的等差数列，则使得成立的的最小值为（）A. 11B. 12C. 13D. 1419.（2020高一下·宾县期中）等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )A. 第7项B. 第8项C. 第9项D. 第10项20.（2019高一下·三水月考）已知数列中，，，则（）A. B. C. D.21.（2019高一下·广德期中）已知数列中，，，若，则( )A. 1008B. 1009C. 1010D. 202022.（2019高一下·诸暨期中）在等差数列中，已知则等于（）A. 40B. 43C. 42D. 4523.（2019高一下·上海月考）等差数列中，，若存在正整数满足时有成立，则（）A. 4B. 1C. 由等差数列的公差决定D. 由等差数列的首项的值决定24.（2017高一下·保定期末）在等差数列{a n}中，若a1、a10是方程2x2+5x+1=0的两个根，则公差d（d＞0）为（）A. B. C. D.25.（2019高一下·重庆期中）已知数列满足：，，则（）A. B. C. D.26.（2019高一下·宁波期中）已知数列满足，那么等于（）A. B. C. D.27.（2019高一下·包头期中）已知数列满足要求，，则（）A. B. C. D.28.（2019高一下·慈利期中）若数列中, 则这个数列的第10项（）A. 28B. 29C.D.29.（2020高一下·大庆期中）已知数列是首项为，公差为d的等差数列，且满足，则下列结论正确的是（）A. ，B. ，C.D.二、填空题（共7题；共8分）30.（2020高一下·吉林期中）数列-1，7，-13，19，-25，31…的通项公式________．31.（2020高一下·七台河期中）已知数列中，，，则________.32.（2019高一下·台州期末）已知等差数列满足：，，则公差=________；=________.33.（2019高一下·上海月考）在数列中，，则数列的通项公式为________.34.（2019高一下·上海期中）已知数列中，，，，则________35.在数列中，，且满足，则＝________36.（2019高一下·马鞍山期中）正项数列满足，若，，则数列的通项公式为________.三、解答题（共1题；共10分）37.（2019高一下·天长月考）已知数列{an}为等案数列，且公差为d（1）若a15=8,a60=20．求a65的值：（2）若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52，求公差d．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：根据题意，数列，，，，…，，可写成，，，……，，对于，即，为该数列的第20项；故答案为：D.【分析】根据题意，分析归纳可得该数列可以写成，，，……，，可得该数列的通项公式，分析可得答案.2.【答案】D【解析】【解答】由，得即，解得，故答案为：D【分析】利用已知条件结合归纳推理的方法找出规律，从而求出数列通项公式，从而求出是这个数列的第23项。

【数列】数列综合练习题(1)--测试用

数列综合练习题一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分1、数列的一个通项公式是（）A. B ． C ． D ． 2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（） A 、010062=+-x x B 、0100122=++x x C 、0100122=--x x D 、0100122=+-x x3、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数，则b 2(a 2-a 1)=（）A.8 B.-8 C.±8 D.4、已知数列{}n a 是等比数列，若,a a a a 41813229=+则数列{}n a 的前30项的积=30T （） A 、154， B 、152， C 、1521⎪⎭⎫ ⎝⎛， D 、153，5、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( ) A ．15. B ．17. C ．19. D ．216、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则（）（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）727、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=（）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( ) A ．－1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－20 9、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( )A ．210.B ．215.C ．220.D ．216.10、某人从1999年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期a 元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率r 保持不变，到2003年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为 A 、()51r a + B 、()()[]r r r a++1-15 C 、 ()41r a + D 、()[]115-+r ra 12)1(3++-=n n n a n n 12)3()1(++-=n n n a n n 121)1()1(2--+-=n n a n n 12)2()1(++-=n n n a n n ⋯--,924,715,58,189二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。

yan 等比数列的概念及通项公式(1)

注：各项不能为零,即 1. 1，4，16，256，… 2. 公比不能为零,即
an 0 q0
(2)
(4) (5) (6)
-5， 5， -5， 5，… 1，0，1，0，… a，a，a，a，…
4. 数列 a, a , a , … a 0 时,既是等差数列又是等比数列; a 0 时,只是等差数列而不是等比数列.
n 2且n N
an an1 an1
2
n 2且n N
例3：已知{an }的通项公式an 3 , 求证： n }是 {a
n
等比数列.
变式 : 数列{an }是等比数列.
an q(q是一个与n无关的非零常数） an 1
定义法，只要看
n
已知数列{an }的前n项和为Sn 3 1, 求证：
数学式子表示
an+1-an=d an = a1 +（n-1）d
a n1 q an
通项公式
?
名称
等
差
数
列
等
比
数
列
an a1 (n 1)d
法1：不完全归纳法
an a1qn1
法1：不完全归纳法
a2 a1 d
通项公式
a 3 a1 2d
a4 a1 3d
a2 q a 2 a1q a1 a 3 a1q2
思考4 等比数列的通项公式与指数函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
an 8
·
1 n an 2 2
7
6
5 4

(完整版)数列求通项专题(总复习专题-方法全面-有答案)全

求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。

解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。

)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。

2023届高考数学一轮复习考点训练——求数列的通项公式

2023考点专题复习——数列的通项公式考法一：累加法——适用于)(1n f a a n n +=+（)(n f 可以求和）例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

例2、已知数列}{n a 中, 0>n a 且)(21nn n a na S +=,求数列}{n a 的通项公式.例3、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a ，，求数列{}n a 的通项公式。

练习1、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n nN 写出数列{}n a 的通项公式.练习2、已知数列}{n a 满足13a ，11(2)(1)n n a a n n n -=+≥-求此数列的通项公式.练习3、已知数列{}n a 满足11211nn a a n a ，，求数列{}n a 的通项公式。

练习4、已知在数列{}n a 中，13a =，112(2)n n n a a n --=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log (1)n n b a +=-，求11{}n n b b +的前n 项和n T ．练习5、在数列{}n a 中，12a =，122n n n a a +=++．（1）求数列{2}n n a -的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2(22)n n b a n =+-，求{}n b 的前n 项和n S ．练习6、已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

练习7、已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式练习8、在数列{}n a 中，12a =，11ln 11n n a a n n n +⎛⎫⎪⎝+++⎭=，则数列{}n a 的通项公式练习9、已知数列{a n }满足11a =-，111+1n n a a n n +=-+，n ∈N *，求数列的通项公式a n .练习10、设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式练习11、已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，则数列{}n a 的通项公式考法二：累乘法例1、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

6递归数列的通项(1)

2λ cos α , = b2 λ 2 = b1
an +1 = [c1 cos nα + c2 sin nα ]λ n
an = [c1 cos( n 1)α + c2 sin( n 1)α ]λ n 1
代入 an + 2 = b1an + b2 an +1 得
b2 an +1 + b1an = b2 [c1 cos nα + c2 sin nα ]λ n + b1[c1 cos( n 1)α + c2 sin( n 1)α ]λ = {c1[b2 λ cos nα + b1 cos( n 1)α ] + c2 [b2 λ sin nα + b1 sin( n 1)α ]}λ
∵ a n + 1 = 2 a n + 3 , ∴ a n + 2 = 2a n + 1 + 3
、，
a n + 2 a n + 1 = 2a n + 1 2a n a n + 1 = 3a n + 1 2a n
特征方程为所以特征根为1和2。再由
λ2 3λ + 2 = 0
初等数学专
a1 = 2 a n+1 = 2a n + 3 可得
a n = x + y 2 n 1
代入得
a2 = 7
题研究
于是设通项公式为将 a1 = 2 a 2 = 7 所以通项公式为
x + y = 2 x + 2 y = 7 x = 3, y = 5
a n = 5 × 2 n 1 3
三、k阶循环数列的通项公式对于阶数大于2的循环数列，我们有定理3：设 λ1 , λ 2 , , λ t 是循环数列的特征根它们的重数依次为 s1 , s2 , , st ( s1 + s2 + + st = k ) 那么循环数列的通项公式可以写成：

考点20 递推公式求通项(第1课时)——2021年高考数学专题复习真题练习

考点20 递推公式求通项（第一课时）【题组一公式法】1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________．2．设数列的前n 项乘积为，对任意正整数n 都有，则______． {}n a n T 1n n T a =-n T =3．数列的前项和为，，则它的通项公式为______.{}n a n 23n S n n =+n ∈+N4．若数列的前项和为，且，则______. {}n a n n S 21n n S a =+n a =5．数列的前n 项和，则其通项公式________.{}n a 23nn S =+n a =6．已知数列满足，，则_________________．{}n a ()12323213nn a a a na n ++++=-⋅ N n *∈n a =7．若数列，则_______．}{n a 2*3()n n n N +⋅⋅⋅+=+∈n a =8．已知数列满足：，数列的通项公式。

{}n a 2112313333n n n a a a a -+++⋯+=()*n N ∈{}n a9．设数列满足．数列的通项公式。

{}n a 123232n a a a na n ++++= {}n a10．设数列满足，的通项公式。

{}n a 12323...2(n N*)n na a a na ⋅⋅⋅⋅=∈{}n a11．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且{}n a n n S 11a =n a =*n N ∈2n ≥）数列的通项公式。

{}n a12．正项数列前项和为，且，.= 。

{}n a n n S ()214n na S +=()n N*∈na13．已知数列前项和为，若，则__________．{}n a n n S 22nn n S a =-n S =【题组二累加法】1．在数列中：已知，，则数列的通项公式为。

求数列通项公式提升练习题(附答案和方法归纳)

数列11、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

2、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3、已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4、已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

5、已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

6、已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

数列2 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a3、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项4、已知在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a5、已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

6、已知数列{}n a 中，11=a,22=a ,n n n a a a 313212+=++，求na7、已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .8、已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a9、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

高中数学必修五：第二章数列复习(一)通项公式(1)

．2 写出下面各数列一个通项公式．（1）);1(21,111≥+==+n a a a n n 练习1：111,23(1)n n a a a n +==+≥；（2）11=a ，)2(2211≥+=--n a a a n n n ；练习2：11=a ，)1(331≥+=+n a a a nn n ；（3）11=a ，)2(21≥+=-n n a a n n 练习3：*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（4）11=a ，)1(11≥+=+n a n n a n n ；练习4：11=a ，)1(21≥⋅=+n a a n n n 【解】（1）法一：∵11=a ，)1(211≥+=+n a a n n ∴232112112=+=+=a a ， 474312123=+=+=a a 8158712134=+=+=a a 故1212--=n n n a ．法二：∵)1(211≥+=+n a a n n ，∴)2(2121-=-+n n a a ∴｛2-n a ｝是一个首项为－1，公比为21的等比数列， ∴1)21)(1(2--=-n n a ，即1)21(2--=n n a ．练习： ∵111,23(1)n n a a a n +==+≥，∴ 132(3)(1)n n a a n ++=+≥，∴{3n a +}是以134a +=为首项，2为公比的等比数列，∴113422n n n a -++=⋅=，所以该数列的通项n a =123n +-．（备用）∵421+=+n n a a ， ∴)4(241+=++n n a a∴数列｛4+n a ｝是以2为首项，2为公比的等比数列，∴1224-⨯=+n n a ，即)(42*∈-=N n a n n ．［点评］若数列{a n }满足a 1 =a ，a n +1 = pa n +q (p ≠1)，通过变形可转化为)1(11p q a p p q a n n --=--+，即转化为}1{pq a n --是等比数列求解．解：（2）由)2(2211≥+=--n a a a n n n 得21111+=-n n a a ，即21111=--n n a a ，又111=a ，∴数列｛n a 1｝是以1为首项，21为公差的等差数列． ∴2121)1(111+=⨯-+=n n a a n ，∴)(12*∈+=N n n a n ．练习2：由n n n a a a +=+331得31111+=+n n a a ，即31111=-+n n a a ，又111=a ， ∴数列｛n a 1｝是以1为首项，31为公差的等差数列． ∴3231)1(111+=⨯-+=n n a a n ，∴)(23*∈+=N n n a n ．［点评］若数列｛n a ｝满足a a =1，)0,(1≠+=+c b c ba ca a n n n ，通过取倒可转化为c b a a n n =-+111，即转化为｛n a 1｝是等差数列求解．（3）∵11=a ，)2(21≥+=-n n a a n n ∴2212⨯=-a a 3223⨯=-a a 4234⨯=-a a … … n a a n n ⨯=--21将上述（n －1）个式子相加，得)432(21n a a n ++++⨯=-即2)1)(2(21-+⨯=-n n a a n ，)(12*∈-+=N n n n a n ．练习3： 2132,n n n a a a ++=-21112*2112(),1,3,2().n n n n n n n n a a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴=∈-{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列．∴*12(),n n n a a n N +-=∈ 112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+ 12*22 (21)21().n n n n N --=++++=-∈［点评］若数列｛n a ｝满足a a =1，)(1｝为可以求和的数列数列｛nn n n b b a a +=+，则用累加法求解，即)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ．（4）∵11=a ，)1(11≥+=+n a n n a n n ， ∴11+=+n n a a n n ， ∴2112=a a ，3223=a a ，4334=a a ，…， nn a a n n 11-=-，将上述（n －1）个式子相乘，得n a a n 11=，即)(1*∈=N n n a n ．练习4：∵ n n n a a ⋅=+21，∴n n n a a 21=+ ∴212=a a ，2232=a a ，3342=a a ，…，112--=n n n a a ，将上述（n －1）个式子相乘，得)1(32112-++++=n n a a ，即)(22)1(*-∈=N n a n n n ．［点评］若数列｛n a ｝满足a a =1，)(1｝为可以求积的数列数列｛nn n n b b a a ⋅=+，则用迭乘法求解，即123121-⋅⋅⋅⋅=n n n a a a a a a a a ．三、课堂小结：1．已知数列的前几项，求数列的通项公式的方法：观察法．2．已知递推公式，求特殊数列的通项公式的方法：转化为等差、等比数列求通项；累加法；迭乘法．四、课外作业：《习案》作业二十．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

数列综合练习18讲(求通项、求和、数列性质、数列和不等式综合一应俱全)

目录第1讲累加法、累乘法、差商法求通项 .................................................................................................................................. 1 第2讲已知n S 求n a .......................................................................................................................................................................... 4 第3讲构造辅助数列求通项 ......................................................................................................................................................... 6 第4讲分组求和 ................................................................................................................................................................................ 7 第5讲裂项求和 ................................................................................................................................................................................ 9 第6讲倒序相加 .............................................................................................................................................................................. 11 第7讲等差绝对值求和 ................................................................................................................................................................. 13 第8讲错位相减求和 ..................................................................................................................................................................... 13 第9讲数列的通项与求和综合 ................................................................................................................................................... 15 第10讲数列单调性问题 .............................................................................................................................................................. 18 第11讲数列的奇偶性问题 .......................................................................................................................................................... 21 第12讲数列周期性问题 .............................................................................................................................................................. 23 第13讲数列最值问题 ................................................................................................................................................................... 24 第14讲数阵问题（数列群问题） ............................................................................................................................................ 26 第15讲创新型数列问题 .............................................................................................................................................................. 31 第16讲存在性问题（整除问题） ............................................................................................................................................ 33 第17讲简单的数列与不等式证明 ............................................................................................................................................ 36 第18讲数列与其他知识点综合 . (38)第1讲累加法、累乘法、差商法求通项题型1 累加法1．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若1111(2)3(2,*)n n n n n a a a a a n n N -+-++=∈，则数列{}n a 的通项n a = ． 2．若数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则1220172018201911111a a a a a ++⋯+++= ． 3．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，且*111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N -+-++=∈．（1）证明：数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列1{2n n a a +}n 的前n 项和．题型2 累乘法1．已知数列{}n a 满足11a =，且1(1)n n na n a +=+，则(n a = )A ．1n +B ．nC ．1n -D ．2n -2．已知数列{}n a 满足1(2)(1)n n n a n a ++=+，且213a =，则(n a = )A ．11n + B ．121n - C ．121n n -- D ．11n n -+ 3．已知数列{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，若数列{}n b 满足12nn n b b +=+，且12b =，则式子312123n nb b b b a a a a +++⋯+的值是( ) A ．122n n +- B ．(1)22n n -+ C ．(1)22n n +- D ．1(1)22n n +-+4．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，2，3，)⋯，则4a = ，n a = ． 5．已知数列{}n a 满足123a =，12n n na a n +=+，求通项公式n a ．6．已知数列{}n a 满足13a =，131(1)32n n n a a n n +-=+，求n a 的通项公式．题型3差商法1．已知数列{}n a 中，11a =，对所有*n N ∈，都有212n a a a n ⋯=，则3(a = )A ．32B ．3C ．9D ．942．已知数列满足11222()2n n na a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求证221n S n n +-．3．已知数列n a 满足21*123222()2n n na a a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S ． 4．已知数列{}n a 满足112324296n n a a a a n -+++⋯+=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2||(3log )3n n a b n =-，探求使123111116nm b b b b -+++⋯+>恒成立的m 的最大整数值． 5．已知数列{}n a 满足1231(1)(41)23(1)6n n n n n a a a n a na -+-+++⋯+-+=．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）若111nn i i i T a a =+=∑，则求出2020T 的值；（Ⅲ）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，设1n n c b λ+=，若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围6．已知数列{}n a 满足12a =，1121222(*)n n n n a a a na n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求:an （Ⅱ）求证：1223111132(*)61112n n a a a n n n N a a a +----<++⋯+<∈--- 7．已知数列{}n a 满足11121(22)2(*)n n n a a a n N n-+++⋯+=∈．（1）求1a ，2a 和{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S 对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围． 8．（1）设数列{}n a 满足211233333n n na a a a -+++⋯+=，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =，求数列{}n a 的通项公式．第2讲已知nS 求na1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n n a =B ．3122n n n a n =⎧=⎨⎩C ．12n n a -=D ．12n n a +=2．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =-，1n n a S +=，那么5(a = ) A ．4-B ．8-C ．16-D ．32-3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N +=∈，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．*2()n a n n N =∈B ．*2()n n a n N =∈C ．*2()n a n n N =+∈D ．2*()n a n n N =∈4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式(n a = ) A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，2121(*)n n a S n n N +=++∈，若对任意的*n N ∈，123111120nn a n a n a n a λ+++⋯+-++++恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．(-∞，2] B ．(-∞，1]C ．1(,]4-∞D ．1(,]2-∞6．已知数列{}n a 满足：12a =，21(1)0(*)n n n a S S n N ++-=∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意的n 均有12(1)(1)(1)n S S S n ++⋯+恒成立，则的最大整数值为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22(*)n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a = ．设211(1)nn n n n a b a a ++=-，则数列{}n b 的前n 项和n T = ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n nS S S n ++⋯+=+，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231122n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式n a = ．11．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则n a = ．12．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2*1441,n n a S n n N +=++∈，且2a ，5a ，14a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，不等式3()362n T k n +-恒成立，则实数k 的取值范围是．13．已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2*42()n nn S a a n N =+∈，则n a = ． 14．数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，其前n 项和为n S ，则（1）13599a a a a +++⋯+= ；（2）4n S = ．15．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意*n N ∈，1(1)32n n n nS a n =-++-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是．16．设数列{}n a 前n 项和n S ，且11a =，2{}n n S n a -为常数列，则n a = ．17．已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意2n ，均有34n S -、n a 、13122n S ---成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 18．设a R ∈，函数()f x lnx ax =-．（1）若3a =，求曲线()y f x =在(1,3)P -处的切线方程；（2）求函数()f x 单调区间．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(*)n n S a n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log ()n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：121111nT T T ++⋯+<． 20．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足22()0nn S n n S -+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：1n T <．21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*1(,)n S n n a a R n N =+++∈∈．（1）若2a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 是等差数列，11n n n a b n S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在*n N ∈，使得13(1)n n n T S a +=+？若存在，求出所有满足条件的n 的值；若不存在，请说明理由． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ． 23．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，对任意的*n N ∈都有2232n n n S a a =+-．数列{}n b 各项都是正整数，11b =，24b =，且数列12,b b a a ，3,,n b b a a ⋯是等比数列．（1）证明：数列{}n a 是等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式n b ；（3）求满足124n n S b <+的最小正整数n ． 24．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，都有24(1)n n S a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n e tS 对任意的*n N ∈恒成立，求实数t 的最大值．25．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的n N +∈，有3322n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3311log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n s 是数列{}n a 的前n 项和，对任意的*n N ∈，有222()n n n s pa pa p p R =+-∈．（1）求常数p 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．第3讲构造辅助数列求通项1．已知数列{}n a 满112,413n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式为．2．已知数列{}n a 的首项12a =，1122n n n a a ++=+，则{}n a 的通项n a = ．3．数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为．变式：已知数列{}n a 中12a =，312n n a a +=，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为．4．已知数列{}n a 满足12a =，且*112(2,)1n n n na a n n N a n --=∈+-，则n a = ．5．已知数列{}n a 满足1a a =，*121()n n a a n N +=+∈．（1）若数列{}n a 是等差数列，求通项公式n a ；（2）已知2a =，求证数列{1}n a +是等比数列，并求通项公式n a ． 6．已知数列{}n a 满足：132a =，且*113(2,)21n n n na a n n N a n --=∈+-．（1）求1212nna a a ++⋯+的值；（2）求证：*2151()263n n a a a n n N n++⋯++-∈；（3）设*()nn a b n N n=∈，求证：122n b b b ⋯<．第4讲分组求和1．数列1，1，2，3，5，8，13，21，⋯最初是由意大利数学家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某校数学兴趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列{}:1n a ，2，1，6，9，10，17，⋯，设数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）请计算123a a a ++，234a a a ++，345a a a ++．并依此规律求数列{}n a 的第n 项n a = ．（2）31n S += ．（请用关于n 的多项式表示，其中2222(1)(21)123)6n n n n +++++⋯+=2．求数列的前n 项和：2111111,4,7,,32,n n a a a-+++⋯+-⋯．3．数列{}n a 中，*1112,,()22n n n a a a a n N n +-=-=∈+，n P 为抛物线24y x =与直线n y a =的交点，过n P 作抛物线的切线交直线1x =-于点n Q ，记n Q 的纵坐标为n b ．（Ⅰ）求n a ，n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．（附2222(1)(21):123)6n n n n +++++⋯+=4．已知数列{}n a 满足11a =，2*12(1)()n n na n a n n n N +-+=+∈．（1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列：（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．5．已知正项数列{}n a 的前三项分别为1，3，5，n S 为数列的前n 项和，满足：22321(1)(1)(3)(n n nS n S n n An Bn A +-+=+++，B R ∈，*)n N ∈．（1）求A ，B 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足122(1)()222n n nb b b n a n N ++=++⋯+∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（参考公式：222112(1)(21))6n n n n ++⋯+=++6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，45627a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b a =，求数列{}n b 前n 项和n T ．参考公式：222(1)(21)126n n n n ++++⋯⋯+=．7．已知数列{}n a 的前n 项和为3n n S =，数列{}n b 满足11b =-，*1(21)()n n b b n n N +=+-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n b 的通项公式n b ；（3）求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考公式：22221123(1)(21)6n n n n +++⋯+=++．8．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)32(32)n n a nn a b n n -=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)22n n a n nnb a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．已知数列{}n a 满足*1(1)(1)()n n nS n S n n n N +=+++∈，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(2)1(1)(1)(1)n n n n a b n n n ++=≠+-，记23n n T b b b =++⋯+，求n T ．11．在数列{}n a 中，13a =，12(2)(2n n a a n n -=+-，*)n N ∈．（1）求证：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的与前n 项和n S ．12．单调递增数列{}n a 满足21231()2n n a a a a a n +++⋯+=+．（1）求1a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设111,21,n n n a n a n c a n -+-⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．13．已知数列{}n a 和{}n b 满足122n b n n a a a -⋯=，若{}n a 为等比数列，且11a =，212b b =+．（1）求n a 与n b ；（2）设1*12()()2(1)n n c n N n n -=-∈+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．第5讲裂项求和1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912162a a =+，24a =，则数列1{}n S 的前20项的和为( )A ．1920B ．2021C ．2122D ．22232．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)2n n n S +=，则数列11{}n n a a +的前10项的和为．3．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11{}n na a -+的前n 项和为5，则n = ． 4．已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2n n n n a a n n a +-==-，3，4，)⋯．（1）求3a 、4a 的值；（2）设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式；（3）设*1sin 3()cos cos n n n c n N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n n a a =+，33S =，数列{}n b 为等比数列，13310b b a +=，24610b b a +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若11(1)(1)(1)n n n n n b c b b b -+=+++，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求使得2116n T λλ<-恒成立的实数λ的取值范围．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5125S S =，212n n a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b a =，且n b ，2n ，*n N ∈，求证：{}n b 的前n项和n T <．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ． 8．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足11a =，*11,n a n N +=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足214n n n n b a a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*n N ∀∈，不等式0n T na -<恒成立，求实数a 的取值范围．9．等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11(1)(1)n n n n a b a a ++=--，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．10．已知数列{}n a 满足21*123444()4n n na a a a n N -+++⋯+=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设421n nn a b n =+，求数列1{}n n b b +的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足113,144,2n n n S a a n -=⎧=⎨++⎩．（1）设12n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若2log n C =，数列11{}n n C C +的前n 项和为n T ，求证：423n T <．12．已知数列{}n a 满足123a =，*113()2n n n n a a a a n N ++-=∈．（1）求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列1{}n n a a +的前n 项和，证明：49n S <．13．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，并且11a =，对任意正整数n ，142n n S a +=+；设12(1n n n b a a n +=-=，2，3，)⋯．()I 证明数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式； ()II 设21221,3n n n n n b C T log C log C ++⎧⎫=⎨⎬⋅⎩⎭为数列的前n 项和，求n T ． 14．设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项；（2）若(2)(1)n n n n b c b b =--，数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：213n T <．15．设数列{}n a 为等差数列，{}n b 为单调递增的等比数列，且12327a a a ++=-，123512b b b =，112233||a a b b a a +=+=+（1）求22a b +的值及数列{}n a ，{}n b 的通项；（2）若(2)(1)nn n n b c b b =--，求数列{}n c 的前n 项和n S ．第6讲倒序相加1．已知函数21()1f x x =+，则111(2016)(2015)(2)()()()220152016f f f f f f ++⋯+++⋯++的值为( ) A ．2014B ．2015C ．2016D ．20172．已知函数3()(1)2f x x =-+，数列{}n a 为等比数列，0n a >，且1009a e =，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，则122017()()()(f lna f lna f lna ++⋯+= ) A ．20172B ．2017C ．4034D ．80683．已知函数1()log (0,1)21a x f x a a x=+>≠-，正项等比数列满足1009a =且13n a <<．则313232017(log )(log )(log )f a f a f a ++⋯+等于( )A ．1008B ．110082C ．110092D ．10094．已知函数()f x 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，且10090a >，则12320162017()()()()()f a f a f a f a f a +++⋯⋯++的值( )A ．恒为负数B ．恒为正数C ．恒为0D ．可正可负5．已知函数3()3(5)28f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，122017()()()4034f a f a f a ++⋯+=，则1009()f a 的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．56．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120190lga lga +=，若22()1f x x =+，则122019()()()(f a f a f a ++⋯+= )A ．2018B ．4036C ．2019D ．40387．如果函数221()1x f x x -=+，那么111(1)(2)(2015)()()()232015f f f f f f ++⋯++++⋯+的值为．8．已知函数22()1x f x x =+，那么1()()f x f x+= ，f （1）f +（2）f +（3）111(2015)()()()232015f f f f +⋯++++⋯+=． 9．已知函数()1xx e f x e =+，数列{}n a 为等比数列，0n a >，且10091a =，则122017()()()f lna f lna f lna ++⋯+= ．10．设函数21()212x x f x =-+，数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足122019()()()0f a f a f a ++⋯+=，则10091011a a = ．11．已如函数1()1x x e f x e -=+，()(1)1g x f x =-+，*12321()()()()()n n a g g g g n N n n n n-=+++⋯+∈，则数列{}n a 的通项公式为．12．任意实数a ，b ，定义,0,0ab ab a b a ab b⎧⎪=⎨<⎪⎩⊕，设函数()f x lnx x =⊕，正项数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且10101a =，12320192020()()()()()f a f a f a f a f a e +++⋯++=-，则2020a = ． 13．已知函数22()log (1)log (1)f x x x =--+ （1）求函数的定义域；（2）求1111()()()()2014201520142015f f f f ++-+-的值．14．已知：()1x f x x =+，求111()()()201520142f f f f ++⋯++（1）(0)f f ++（1）f +（2）(2015)f ⋯+ 15．已知函数22()1x f x x =+．（1）求f （2）与1()2f ，f （3）与1()3f ；（2）由（1）中求得的结果，你能发现()f x 与1()f x 的关系吗？并证明你的发现；（3）求f （1）f +（2）f +（3）111(2015)()()()232015f f f f +⋯++++⋯+的值．第7讲等差绝对值求和1．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且35a =，99S =，数列||n n b a = （1）求{}n a 的通项公式（2）求数列n b 的前n 项和n T ．2．已知等差数列{}n a 的公差不为零，111a =，且2a ，5a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设123||||||||n n S a a a a =+++⋯+，求n S ．3．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =且23125(22)a a a =+．（1）求d ，n a ．（2）若0d <，求123||||||||n a a a a +++⋯+．4．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列．（1）求d ，n a ；（2）若0d <，求12||||||n a a a ++⋯+．5．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，110a =．（1）求d ，n a ；（2）求1220||||||a a a ++⋯+．6．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且12a ，222a +，351a -成等比数列．（1）求d ，n a ；（2）若0d <，求123||||||||n a a a a +++⋯+第8讲错位相减求和1．已知{}n a 为等比数列，11a =，427a =；n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，13b =，535S =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n 满足(*)nn n a b n N =∈，求数列{}n 的前n 项和n T ．2．{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为*(),{}n n S n N b ∈是等差数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令22,,n n n n nn b b c a b n +⎧⎪⋅=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和为2n Q ；（3）若(32)n n C n a =-则数列{}n c 前n 项和n T ①求n T②若对2n ，*n N ∈任意，均有2(5)63135n T m n n --+恒成立，求实数m 的取值范围（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？（5）将数列{}n a ，{}n b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：1a ，1b ，2b ，2a ，3a ，3b ，4b ，4a ，5a ，5b ，6b ，⋯，求这个新数列的前n 项和n P（6）设2,2(log 1),2k n n kn n b n d b b n ⎧≠⎪=⎨+=⎪⎩，其中*k N ∈，求2*1()ni i d n N =∈∑ （7）是否存在新数列{}n c ，满足等式11122nn i n i i b c n ++-==--∑成立，若存在，求出数列{}n c 的通项公式；若不存在，请说明理由．（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？3．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且535S =，1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：122313131n n n b b ba =++⋯++++，求数列{}nb 的通项公式；（3）令(1)4n nn a b c -=，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且534a a -=，535S =，等比数列{}n b 满足231b a =+，371b a =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求21321n n a b a b a b +++⋯+的值．5．设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知13a =，23227a a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且534a a -=，535S =，等比数列{}n b 满足231b a =+，371b a =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求22221321n n a b a b a b +++⋯+的值．7．已知在等差数列{}n a 中，34a =前7项和等于35，数列{}n b 中，点(n b ，)n s 在直线220x y +-=上，其中n s 是数列{}n b 的前n 项和*()n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）设n n n c a b =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T 并证明；4532n T <． 8．已知各项都为整数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S =，且2a ，31a +，6a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设3n n n a b =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：54nT <． 9．已知等差数列{}n a 的公差0d >，且1611a a =，3412a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列112{}2n nn a a ++-的前n 项和n T ． 10．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，4a 是1a 与3a 的等比中项，55S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11nS nn n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410s b -= （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设nn n a b =，求数列{}n 的前n 项的和n T ．第9讲数列的通项与求和综合1．已知数列{}n a 的通项公式是12n n a -=，数列{}n b 的通项公式是3n b n =，令集合1{A a =，2a ，⋯，n a ，}⋯，1{B b =，2b ，⋯，n b ，}⋯，*n N ∈．将集合AB 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n c ．则数列{}n c 的前28项的和28S = ． 2．已知数列{}n a 满足1231232222n nn a a a a +++⋯+=----，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令11(2)(2)n n n b a a +=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．3．已知数列{}n a 满足1231(1)(41)23(1)6n n n n n a a a n a na -+-+++⋯+-+=．（1）求n a （2）求数列11{}n n a a +的前n 项和n T （3）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，设1n n c b λ+=，若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围4．（1）已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，求通项公式n a ；（2）在数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +-=+，求数列的通项n a ；（3）在数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=，求{}n a 的通项公式n a ．（4）已知在每项均大于零的数列{}n a 中，首项11a =，且前n 项和n S满足*n S S n N -∈，2)n ，求n a ．5．（1）在数列{}n a 中，12a =，132n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）已知数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）已知数列{}n a 满足2121233331n n a a a a n -+++⋯+=+，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式n a ；（4）已知数列{}n a 满足112,1,2n n n a n a a n ++-⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且11a =，求数列{}n a 的通项公式n a ．6．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，并且1(1)(3)4n n n S a a =-+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知数列{}n b 满足12(41)(41)na n n nb +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H 型数列”．（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，且其前n 项和n S 满足2*()n S n n n N <+∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”， 23n n b a =，5(1)2n n n a c n -=+，当数列{}n b 不是“H 型数列”时，试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由．8．已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c ，且1n n n b a a +=-，*1()n n n c b b n N +=-∈．若{}n b 是一个非零常数列，则称{}n a 是一阶等差数列，若{}n c 是一个非零常数列，则称{}n a 是二阶等差数列．（Ⅰ）已知11a =，11b =，1n c =，试写出二阶等差数列{}n a 的前五项；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：222n n n a -+=；（Ⅲ）若{}n a 的首项12a =，且满足1*132()n n n n c b a n N ++-+=-∈，判断{}n a 是否为二阶等差数列． 9．在等差数列{}n a 中，已知23a =，78a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n S ，若512n S =，求n 的值． 10．设数列{}n a 满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈均在直线21y x =+上．（1）证明数列{1}n a +等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）若2log (1)n n b a =+，求数列{(1)}n n a b +的前n 项和n T ．11．已知正项数列{}n b 满足2211111,2n n n n n nb b b b b b b +++=--=+．若数列{}n a 满足11211111,()(2n n n a a b n b b b -==++⋯+且*)n N ∈ （1）求数列{}n b 的通项公式n b ；（2）证明：1*322(4,)n n a n n N ->-∈；（3）求证：*1211110(1)(1)(1)()3n n N a a a ++⋯+<∈． 12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(21)(21)3nn n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．13．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令211441(1)n n n n n n b a a -++-=-，求数列{}n b 的前n 项和2n T ；（Ⅲ）若对于*n N ∀∈，2222n T λλ<--恒成立，求λ范围． 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163(*)n n S a n N +=+∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若(31)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163()n n S a a N ++=+∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设122233(1)(221)(2)(1)n n n n n n b log a log a --++=++，求{}n b 的前n 项和n T ． 16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1*63()n n S a n N +=+∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若32(31)log n n n b n a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n +，n S ，a 成等差数列*()n N ∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若21(21)log ()n n n b n a a +=+，求数列1{}nb 的前n 项和n T ．18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n +，n S ，a 成等差数列*()n N ∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若21(1)log ()n n n b an a a +=-，求数列1{}nb 的前n 项和n T ．第10讲数列单调性问题1．已知数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*n N ∈，在数列{}n a 中，2163n n a n =-，设数列{}n b 中的最小项是第k 项，则k 等于( )A ．30B ．28C ．26D ．242．在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103B ．8658C ．8258D ．1083．设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(2,3)C ．9(,3)4D ．(1,2)4．已知{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是．5．已知数列{}n a 是递增数列，且对于任意的n N +∈，223n a n n λ=++恒成立，则实数λ的取值范围是． 6．已知数列{}n b 满足113(1)2n n n n b λ-+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，则实数λ的取值范围．7．数列{}n a 满足1232()n n a a a a n a n N ++++⋯=-∈．数列{}n b 满足2(2)2n n nb a -=-，则{}n b 中的最大项的值是．8．已知数列{}n a ，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=，（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若24()n n a b n =，求数列{(1)}nn b -的前n 项和n T ；（Ⅲ）设2()n nnna λ=-，若数列{}n 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．9．已知数列{}n a 中，2(a a a =为非零常数），其前n 项和n S 满足：*1()()2n n n a a S n N -=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2a =，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +的最大项恰为第32p -项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． 10．设数列{}n a 满足：10a =，1(1)3n n n a a n +=++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设434n n na b +=，求数列{}n b 中的最大项的值．11．已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为0的函数，对任意实数x ，y 有()()()f x f y f x y =+，当0x >时，有0()1f x <<．（Ⅰ）求(0)f 的值，并证明()f x 恒正；（Ⅱ）判断()f x 在实数集R 上单调性；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，113a =，()(n a f n n =为正整数）．令()n nb f S =，问数列{}n b 中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由． 12．已知数列{}n a 满足：123n n a a a a n a +++⋯+=-，(1n =，2，3，)⋯．（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）令(2)(1)(1n n b n a n =--=，2，3)⋯，求数列{}n b 的最大项的值；（3）对第（2）问中的数列{}n b ，如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +，求实数t 的取值范围．13．已知无穷数列{}n a 满足：10a =，2*1(n na a c n N +=+∈，)c R ∈．对任意正整数2n ，记{|n M c =对任意{1i ∈，2，3，}n ⋯，||2}i a ，{|M c =对任意*i N ∈，||2}i a ．（Ⅰ）写出2M ，3M ；（Ⅱ）当14c >时，求证：数列{}n a 是递增数列，且存在正整数，使得c M ∉；（Ⅲ）求集合M ．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a a =+，*n N ∈，0a ≠．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T 满足3n n n T a =+． ①若1a =，求证：123111134n T T T T +++⋯+<； ②若数列{}n b 为递增数列，求a 的范围．15．若数列{}n a 的每一项都不等于零，且对于任意的*n N ∈，都有2(n na q q a +=为常数），则称数列{}n a 为“类等比数列”．已知数列{}n b 满足：1(,0)b b b R b =∈≠，对于任意的*n N ∈，都有112n n n b b ++⋅=．（1）求证：数列{}n b 是“类等比数列”；（2）求{}n b 通项公式；（3）若{}n b 是单调递增数列，求实数b 的取值范围．16．已知数列{}n a 的前n 项和为22n a S n =．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）试讨论数列{}n a 的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．17．已知函数22()1x f x x =+，()n a f n =．（1）求证：对任意*n N ∈，1n a <；（2）试判断数列{}n a 是否是递增数列，或是递减数列？18．已知数列{}n a 满足：11a =，1||n n n a a p +-=，*n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令1()n n n c n a a +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．第11讲数列的奇偶性问题1．已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，则2018(a = ) A ．20182019⨯B ．20172018⨯C ．20162017⨯D ．20182018⨯2．已知数列{}n a 满足1a l =，221(1)n n n a a -=+-，2123n n n a a +=+ *()n N ∈，则数列{}n a 的前2017项的和为()A ．100332005-B ．201632017-C ．100832017-D ．100932018-3．数列{}n a 满足1(1)(21)n n n a a n ++=--，则{}n a 的前60项和为( ) A ．1710-B ．1740-C ．1770-D ．1800-4．数列{}n a 满足*1(2|sin |1)2,2n n n a a n n N π+=-+∈，则数列{}n a 的前60项和为( ) A ．1860B ．5100C ．3720D ．9305．已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则2016(S = ) A ．201621-B ．1008323⨯-C ．1008321⨯-D ．2016322⨯-6．已知数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，若11a =，则3a = ，前60项的和为． 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，(1)21(1)n n n n a a n +++=-，20171008S =，则2a 的值为．8．已知数列{}n a 满足2(4)cos n a n n n π=+，则{}n a 的前50项的和为．9．已知函数2()cos()f n n n π=，数列{}n a 满足()(1)()n a f n f n n N +=++∈，则122n a a a ++⋯+= ． 10．已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n N ∈．（1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值；（2）设212n n na b -=，212333n n n S b b b =++⋯+，试求2020S ；（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系．11．已知数列{}n a 的通项公式为1,1,n n a n n ⎧=⎨-⎩为正奇数为正偶数．（1）写出这个数列的前6项，并画出图象；（2）判断7是该数列的第几项？12．已知数列{}n a 满足：1221,2222n n nn a n a n a n +⎧+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为正奇数为正偶数．（Ⅰ）问数列{}n a 是否为等差数列或等比数列？说明理由；（Ⅱ）求证：数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}2n a 的通项公式；（Ⅲ）设21n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．13．已知数列{}n a 满足：11a =，10.5,2,n n n a n n a a n n ++⎧=⎨-⎩为正奇数为正偶数，22n n b a =-；（1）求2a 、3a 、4a ；（2）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项公式；（3）求和242n n T a a a =++⋯+； 14．（1）设函数1()()2x g x x R -=∈，且数列{}n c 满足11c =，1()(n n c g c n N -=∈，1)n >；求数列{}n c 的通项公式．（2）设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且37462825a a b b b b +=++，127n n S An T n +=+，26S =；求常数A 的值及{}n a 的通项公式．（3）若()()n n na n d c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为正奇数为正偶数，其中n a 、n c 即为（1）、（2）中的数列{}n a 、{}n c 的第n 项，试求12n d d d ++⋯+．第12讲数列周期性问题1．已知数列{}n a 满足13a =，28a =，2n a +等于1n n a a +的个位数，则2020(a = ) A ．2B ．4C ．6D ．82．已知数列{}n a 满足：*11(2,)n n n a a a n n N +-=-∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019(S = )A ．3B ．4C ．1D ．03．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项的积为n T ，则2020(T = )A ．1B ．6-C ．2D ．34．已知数列{}n a 满足11(2)n n n a a a n +-=-，1a m =，2a n =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2017S 的值为()A ．2017n m -B ．2017n m -C ．mD ．n5．已知数列{}n a 满足11(n n n a a a n N +-+=-∈且2)n ，若11a =，23a =，12n n S a a a =++⋯+，则下列结论中正确的是( ) A ．20151a =，20152S = B ．20153a =-，20152S =C ．20151a =-，20152S =D ．20153a =，20152S =6．已知数列{}n a 满足11a =，23a =，11n n n a a a +-=，(2)n ，则2013a 的值等于( ) A ．3B ．1C ．13D ．201337．已知数列{}n a 满足11(2)n n n a a a n +-=-，11a =，23a =，记12n n S a a a =++⋯+，则下列结论正确的是()A ．1001a =-，1005S =B ．1003a =-，1005S =C ．1003a =-，1002S =D ．1001a =-，1002S =8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11(2)n n n a a a n +-=-，11a =，22a =，则2018S = ． 9．已知数列{}n a 满足条件：112a =，111n n a a +=-，则对任意正整数n ，132n n a a ++=的概率为．10．若数列{}n a 满足12a =，111n n a a -=-，(2n =，3，4，)⋯，且有一个形如1)2n a n ωϕ++的通项。

数列通项公式求法

数列通项公式求法
类型1：由sn求an.an=________________________
例1．（1）已知数列{an}的前n项和sn=n2-n+1，求an
（2）已知数列{an}的前n项和sn= ，求an
类型2： ,________________
例2．已知数列{an}中。a1=2，, (n>1), 求an
A．1B． C． D．
15．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
16.设数列满足，且2n ，则的值是（）
A B C D
17.已知数列满足：，且
（Ⅰ）求；（Ⅱ）求证数列为等比数列并求其通项公式；
例4.已知数列{an}满足a1=2。且an+1=2 an+2n+1，求an。
练1. 已知数列{an}满足a1=16. an+1=4an+3 4n+1. 求数列{an}的
通项公式。
类型5：型如：，_____________________
例5。已知数列{an}中，a1=1，an+1= 2an+3n求{an}通项
练1.在数列{an}中。已知求
练2.设数列的前项和为，对任意的正整数，都有
成立，记。求数列的通项公式。
练3.已知正项数列{an}其前n项和为
10 = +5 成等比数列，求通项an
11数列{an}中 { }是等比数列，且 , 求
12．在等差数列{an}中，公差d≠0。a2是a1与a4的等比中项。
练1.已知数列{an}满足a1=1， an ,求an