30绝对值不等式解法指导
绝对值不等式的解法步骤
绝对值不等式的解法步骤一、绝对值的定义在开始讨论绝对值不等式的解法步骤之前，首先要了解绝对值的定义。
绝对值是指一个数与零之间的距离，表示为|a|，其中a为实数。
绝对值的定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
二、绝对值不等式的基本形式绝对值不等式是指包含绝对值符号的不等式，常见的形式有以下两种：1. |x|<a，表示x与0的距离小于a；2. |x|>a，表示x与0的距离大于a。
三、解绝对值小于形式的不等式1. 当|a|<b时，有两种情况：a) a>0时，解为-b<a<b；b) a<0时，解为空集。
2. 当|a|≤b时，有两种情况：a) a>0时，解为-a≤x≤a；b) a<0时，解为x=0。
四、解绝对值大于形式的不等式1. 当|a|>b时，有两种情况：a) a>0时，解为x<-b或x>b；b) a<0时，解为解为x<-b或x>b。
2. 当|a|≥b时，有两种情况：a) a>0时，解为x≤-b或x≥b；b) a<0时，解为解为x≤-b或x≥b。
五、解绝对值不等式的注意事项在解绝对值不等式时，需要注意以下几点：1. 对于绝对值不等式中的常数a和b，要根据实际情况判断其正负性，以正确确定解的范围。
2. 在解绝对值不等式时，需要根据绝对值的定义，将不等式分解为两个简单的不等式，并分别求解。
3. 在进行不等式的运算过程中，要根据不等式的性质进行合理的变形，确保解的正确性。
4. 在解绝对值不等式时，可以通过画数轴的方式来辅助理解和确定解的范围。
六、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在求解含有变量的不等式时，往往需要通过绝对值不等式的知识来确定变量的取值范围。
另外，在求解数列极限、证明不等式等数学问题中，也常常需要运用绝对值不等式的知识。
解绝对值不等式的步骤包括了绝对值的定义、绝对值不等式的基本形式、解绝对值小于形式的不等式、解绝对值大于形式的不等式以及解绝对值不等式的注意事项。
绝对值不等式的解法有哪些
绝对值不等式的解法有哪些绝对值不等式是数学知识，那么绝对值不等式的解法有哪些呢?为了更好的帮助大家。
下面是由小编为大家整理的“绝对值不等式的解法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
绝对值不等式的解法有哪些通解一般是数轴标根法，也是一般情况下最快的方法。
在数轴上把使绝对值为零的点都标出来，根据绝对值的几何意义，绝对值表示的是两点间的距离(当然就为正了)，以此解题。
比如|x-3|+|x-6|>5,如果x在3和6之间，那么x到3的距离加上x到6的距离就只能是6-3=3，而5-3=2，2/2=1，故答案应为x<3-1=2或者x>6+1=7，即(x<2)||(x>7)。
也可以用零点分段法，也是在数轴上将使式中绝对值为零的点都标出，然后不用几何意义，而是分段讨论。
把每个绝对值项展开，然后化为普通不等式，将求得的解集与你所分的这一段取交集，得到x在此段的解集(比如在-1还有就是平方法了。
不过这种方法在式中存在多个不等式项时不好使，一般情况下不推荐使用。
比如，你的不等式原来有3项，平方后就成了3*3=9项，使计算复杂化了。
拓展阅读：绝对值有哪些性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性.(2)绝对值等于0的数只有一个,就是0.(3)绝对值等于同一个正数的数有两个,这两个数互为相反数.(4)互为相反数的两个数的绝对值相等.绝对值七个性质(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。
(2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。
(3)绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数。
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值等式、不等式：(6)|a|*|b|=|ab|(7)|a|/|b|=|a/b|(b≠0)(8)a^2=|a|^2(9)|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y|。
绝对值不等式的解法及应用
绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。
本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。
一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。
例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。
2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。
Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。
Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。
例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。
二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。
1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。
通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。
下面通过一个例子来说明。
例题：求解不等式 |2x-1|<5 。
解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。
然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。
最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。
2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。
在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。
一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。
例1：解不等式 |x - 2| > 3。
首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。
通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。
二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。
例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。
根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。
三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。
例3：解不等式 |3x + 2| > 5。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。
四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。
例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。
综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。
绝对值不等式解法指导
题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到 。
例2.解不等式
两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。
解：原不等式
解得
故原不等式的解集为
三.注意分类讨论，用零点分段法
不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。
例3.解不等式
绝对值不等式解法指导
黄庆义
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。
一.注意绝对值的定义，用公式法
即若 ，则 ；若 ，则 或 。
例1.解不等式
解：由题意知 ，原不等式转化为
再由定义去绝对值号，有：
（1） ；
（2） 。
综上知
故当 时，解为 ；当 时，解为
练一练
1.已知 ，且 ，解不等式 。
2.解不等式
3用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令 和 得分界点
于是，可分区间 讨论原不等式
解得
综上不等式的解为
四.平方法+定义法
有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。
例4.解关于x的不等式
解：化为 后，通常分 ， 三种情况去绝对值符号，再分 进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得 。
绝对值不等式解法
典例讲解
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2） （1） | 2 x 1 | 1
解:（2）原不等式两边平方得： (2x 1) ( x 1)
2
2
平 方 法
整理得： x 2 x 0
2
x 0或x 2
10 5 2 答案：（1） [ 3 , 3 ) (1, 3 ] 1 （2） ( , ) 2
（3） (,7] (2,)
不等式的解集为： (,0) (2,)
分段解不等式问题要点： 段内求交，段与段求并
典例讲解
| x 1 | | x 3 | 5 | 2 x 1 || x 1 | （3） （2） | 2 x 1 | 1 （1）
( x 1) ( x 3) 5 解:（3）当 x 1 ，原不等式可化为： 3 3 x x ，此时解为： 2 2 分 当 1 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5 段 4 5 ，此时解为：x无解 法 当 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5
典例讲解பைடு நூலகம்
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2） （1） | 2 x 1 | 1
解:（1）原不等式可化为： 公 式 法
2 x 1 1或2 x 1 1
x 0或x 1
不等式的解集为： (,0) (1,)
7 7 x ，此时解为：x 2 2
例1解下列不等式
综上所述，不等式的解集为
3 7 ( , ) ( , ) 2 2
绝对值不等式的解法和步骤
绝对值不等式的解法和步骤嘿，咱今儿就来唠唠绝对值不等式这玩意儿的解法和步骤哈！你说这绝对值不等式啊，就像是个调皮的小精灵，有时候藏得深，有时候又蹦跶得欢。
那怎么对付它呢？咱先说说简单点的情况。
就好比一个数的绝对值小于另一个数，那这时候就相当于这个数在以另一个数为中心的一个小范围内蹦跶呢。
比如说，|x|＜5，那这 x 不就是在-5 和 5 之间嘛，简单不？这就好像你找东西，知道它就在那一块儿，范围缩小了，就好找多啦！再说说复杂点的，要是一个绝对值大于另一个数呢？那就像是这个数得跑到离中心更远的地方去啦。
比如说，|x|＞3，那 x 要么比 3 大很多，要么比-3 小很多呀，是不是挺形象的？那要是遇到多个绝对值凑一块儿的呢？这就有点像打小怪兽啦，得一个一个来解决。
先把每个绝对值里的情况分析清楚，再综合起来看。
比如说，|x-1|+|x+2|＜5，咱就得分情况讨论咯。
当 x＜-2 时，那这两个绝对值里的式子都得变号，然后再解不等式；当-2≤x＜1 时，只有一个绝对值变号，另一个不变，再接着解；当x≥1 时，两个都不变号啦，继续解。
是不是感觉像在走迷宫，得找对路才行呀！解绝对值不等式啊，就像是在解题的海洋里航行，有时候风平浪静，有时候波涛汹涌。
但只要咱掌握了方法，那就能稳稳地向前开。
咱再举个例子哈，|2x-3|≤7，这时候咱就可以把它分成-7≤2x-3≤7 来解呀，先加 3，再除以 2，答案不就出来啦！哎呀，这绝对值不等式啊，其实没那么可怕。
只要咱多练练，多琢磨琢磨，就一定能把它拿下！就像爬山一样，虽然过程有点累，但等爬到山顶，看到那美丽的风景，就觉得一切都值啦！所以啊，大家别害怕绝对值不等式，勇敢地去解它，你会发现其中的乐趣和成就感的！加油吧，朋友们！相信自己，绝对能行！。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。
绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。
绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。
绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。
下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。
1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。
我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。
但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。
2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。
上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。
我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。
绝对值不等式的几何解法
绝对值不等式的几何解法绝对值不等式是初等代数中的重要概念，它可以用来解决各种实际问题。
除了代数解法外，我们还可以用几何的方法来解决绝对值不等式问题。
本文将介绍绝对值不等式的几何解法，并通过几个例子来说明其应用。
我们来回顾一下绝对值的几何意义。
对于一个实数a，其绝对值|a|表示a到原点的距离。
因此，当我们遇到一个绝对值不等式时，可以将其转化为距离的关系，从而用几何的方法来解决。
考虑一个简单的例子：|x| < 2。
我们可以将其转化为距离的关系：x到原点的距离小于2。
根据几何直观，我们可以得到一个解集：-2 < x < 2，即x的取值范围在-2和2之间。
类似地，我们可以考虑一个稍复杂的例子：|x - 3| > 4。
我们可以将其转化为距离的关系：x到3的距离大于4。
根据几何直观，我们可以得到两个解集：x < -1或x > 7，即x的取值范围在负无穷到-1以及7到正无穷之间。
通过上述例子，我们可以发现绝对值不等式的几何解法的基本思路：将不等式转化为距离的关系，然后通过对距离进行适当的判断来得到解集。
接下来，我们通过一些实际问题来说明绝对值不等式的几何解法的应用。
问题一：某学校一次考试的平均分为80分，已知不及格分数线为60分。
求及格学生的分数范围。
解法：设及格学生的分数为x，根据平均分的定义，我们可以得到一个绝对值不等式：|x - 80| < 20。
将其转化为距离的关系：x到80的距离小于20。
根据几何直观，我们可以得到一个解集：60 < x < 100，即及格学生的分数范围在60到100之间。
问题二：某车间生产的零件长度在10cm和12cm之间，要求零件的长度误差不超过0.5cm。
求符合要求的零件长度范围。
解法：设零件的长度为x，根据要求，我们可以得到一个绝对值不等式：|x - 11| < 0.5。
将其转化为距离的关系：x到11的距离小于0.5。
总结解绝对值不等式的方法与技巧
总结解绝对值不等式的方法与技巧绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，涉及到绝对值的性质和运算。
解绝对值不等式要灵活运用各种技巧和方法，下面将总结解绝对值不等式的一些常用技巧和方法。
一、基本性质与运算法则1. 绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值|x|的值分两种情况讨论，当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
2. 绝对值的非负性：对于任意实数x，有|x|≥0。
3. 绝对值的等价关系：对于任意实数x和y，若|x|=|y|，则x=y或x=-y。
4. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|和|x-y|≥|x|-|y|。
5. 绝对值的运算法则：对于任意实数x和y，有以下运算法则：(a) |x·y|=|x|·|y|(b) |x/y|=|x|/|y|（其中y≠0）(c) |x^n|=|x|^n（n为正整数）二、绝对值不等式的解法1. 以不等式符号为界限：(a) 若|x|<a，则-a<x<a；(b) 若|x|>a，则x<-a或x>a；(c) 若|x|≤a，则-a≤x≤a；(d) 若|x|≥a，则x≤-a或x≥a。
2. 分情况讨论法：(a) 当x≥0时，将不等式去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解；(b) 当x<0时，反号后去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解。
3. 使用绝对值性质：(a) 应用绝对值的非负性和等价关系来转化不等式，例如将|x-a|<b 转化为-a<x-a<b+a；(b) 应用绝对值的三角不等式来转化不等式，例如将|2x-3|≥5转化为2x-3≥5或2x-3≤-5。
4. 求解多个绝对值不等式的交集或并集：(a) 对于交集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B 的交集；(b) 对于并集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B的并集。
三、绝对值不等式的应用技巧1. 与多项式结合：对于包含绝对值的多项式不等式，可以将其拆分成多个简化的不等式，再求解。
绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式公式有哪些该如何解
绝对值不等式是数学中一个重要的知识点，同时也是考试中时常出现的考点。
下面是由编辑为大家整理的“绝对值不等式公式有哪些该如何解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
绝对值不等式公式
||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;
|ab|=|a||b|，|a/b|=|a|/|b|(b≠0);
|a|<|b| 可推出|b|>|a|;
3、∥a|−Ib∥≤la+b|≤la|+lb|当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立;
4、|a−b|≤|a|+|−b|=|a|+|−1|∗|b|=|a|+|b|
怎样解绝对值不等式
解绝对值不等式的基本方法是去掉绝对值符号
1、平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了;
2、讨论，即x≥0时，|x|=x;x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了，令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。
高三复习-带绝对值的不等式怎么解
带绝对值的不等式怎么解
绝对值不等式解法的基本思路是去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有绝对值定义法、平方法、零点区域法。
在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。
它们都是通过非负数来度量的。
解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。
而去掉绝对值符号的基本方法有二。
其一为平方，所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了；其二为讨论，所谓讨论，即x≥0时，|x|=x；x
0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了。
说到讨论，就是令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。
在运用上述方法求绝对值不等式的解集时，如能根据已知条件灵活地运用绝对值不等式的常见形式，不仅可以简化运算、简便地求出它的解集，而且有利于培养学生思维灵活性。
初中数学教案：绝对值不等式的解法
初中数学教案：绝对值不等式的解法绝对值不等式是初中阶段数学中非常重要的概念之一，不仅在初中数学中，也会涉及到高中数学、甚至是大学数学中的一些想法。
在初中数学教案中，绝对值不等式的解法也是一个非常重要的部分，涉及到了不等式的基本应用和数学知识点的理解。
下面我们将详细探讨初中数学教案中的绝对值不等式的解法。
一、绝对值不等式的定义在初中数学教案中，我们常常说到绝对值不等式，那么什么是绝对值不等式呢？通俗来讲，绝对值不等式就是用来描述数值大小关系的不等式表达式。
其基本形式如下：|f(x)|≤a 或者|f(x)|≥a其中，f(x)是一元函数，a是正数。
二、绝对值不等式的解法1.范围首先在解绝对值不等式时，需要求得变量x的取值范围，然后根据取值范围得出相应的解法。
在求取变量x的取值范围时，需要根据不等式中绝对值符号的正负性情况以及a的取值情况来进行不同情况的讨论。
① |f(x)|≤a如果a>0，则有- a≤f(x)≤a。
因此需要分两种情况来考虑：当f(x)≥0时，有0≤f(x)≤a，所以x ∈[b,c]，其中0≤b≤c≤a。
当f(x)＜0时，有-a＜f(x)＜0，所以x∈(d,e)，其中-a<d<e<0。
综合起来，得到x∈[b,c]∪(d,e)。
② |f(x)|≥a如果a≥ 0，则有f(x)≥a或f(x)≤- a。
因此需要分两种情况来考虑：当f(x)≥0时，有f(x)≥a，所以x∈[f,g]，其中g≥f≥a。
当f(x)＜0时，有f(x)≤- a，所以x∈(-h,-i]∪[i,h)，其中-i≤h＜i≤-a。
综合起来，得到x∈(-h,-i]∪[f,g]∪[i,h)。
2.常规解法另一种常规的解法是将绝对值符号去掉。
当然，在去掉绝对值符号后需要分别考虑函数f(x)≥0和f(x)＜0两种情况。
如果函数f(x)≥0，则有：f(x)≤a 或f(x)≥-a如果函数f(x)＜0，则有：-f(x)≤a 或-f(x)≥-a通过两种情况的判断，最终得到的解法可以修正前面所得到的结论。
解答绝对值不等式问题的四个“妙招”
一、分类讨论
一般地，若 x 为非负数，则 |x| = x；若 x 为负数，则
|x| = -x. 由于绝对值内部式子的符号决定去掉绝对值
符号后式子的表示形式，所以在解绝对值不等式时，
往往要采用分类讨论法，对绝对值内部式子的符号进
行讨论.可令每个绝对值内部的式子为零，然后将其零
点标在数轴上，于是这些零点把数轴分成若干个区
方法集锦
解答绝对值不等式问题的四个“妙招”
吴笋
绝对值不等式问题的常见命题形式有:(1)解绝对
值不等式；（2）求含有绝对值代数式的取值范围.其中
解绝对值不等式问题比较常见，解这类题目的关键是
去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为不含绝对值
的常规不等式去求解.本文介绍解绝对值不等式问题
的四个“妙招”，以供大家参考.
4
的点，只要将点向右移
1 2
个单位，那么它们的距离之
和就增加了
1
个单位，也就是把点
B(1)
移到点
B1(
3 2
)
的
位置；或者将点
A(-2)
向左移
1 2
个单位，也就是把点
A(-2)
移到点
A1(-
5 2
)
的位置，
由图可以看出，在数轴上位于
B1(
3 2
)
和
A1(-
5 2
)
之
间的点 P(x) 都满足 | x + 2 | + | x - 1| < 4 ，
解（1）得 -2 < x < -1 ，或 3 < x < 4 ，
解（2）得解集为空集， 所以原不等式的解集为{x| - 2 < x < - 1或3 < x < 4}.
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
绝对值不等式的常见形式及解法
绝对值不等式旳常见形式及解法
绝对值不等式解法旳基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般旳不等式求解，转化旳措施一般有：（1)绝对值定义法；(2)平措施；（3）零点区域法。
常见旳形式有如下几种。
１. 形如不等式:
运用绝对值旳定义得不等式旳解集为：。
在数轴上旳表达如图１。
2. 形如不等式:
它旳解集为:。
在数轴上旳表达如图2。
3. 形如不等式
它旳解法是：先化为不等式组:,再运用不等式旳性质来得解集。
４. 形如
它旳解法是：先化为不等式组:，再运用不等式旳性质求出原不等式旳解集。
例如:解不等式：
(1)
(2）
（3)
解:(１）由绝对值旳定义得:或解得
(2)两边同步平方得：
（３)令
得。
因此和3把实数分为三个区间，
即:；。
在这三个区间内来讨论原不等式旳解集。
以上所举例子,阐明在运用上述措施求绝对值不等式旳解集时,如能根据已知条件灵活地运用绝对值不等式旳常见形式，不仅可以简化运算、简便地求出它旳解集,并且有助于培养学生思维灵活性。
由于题是活旳，用既得措施去解决具体旳问题，还得有灵活多变旳大脑,让学生自己去体会数学措施旳有效和巧妙，这样才干行万里船、走万里路时，轻松如意。
(初二）。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。
下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。
利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。
例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。
二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。
这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。
例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。
三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。
具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。
例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。
然后解这个不等式得到x<1或x>7。
四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。
例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。
在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。
在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式规律方法指导1、解绝对值不等式的基本思路解绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，因此如何去掉绝对值符号是解决这类问题的关键。
常利用绝对值的代数意义和几何意义。
2、解绝对值不等式常用的同解变形①|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x)②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)③|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解；也可以用函数图像法来解决。
3、绝对值三角不等式等号成立的条件：①取等号②取等号③取等号④取等号经典例题透析类型一：含有一个绝对值符号的绝对值不等式的解法1、解下列不等式（1）；（2）；（3）解析：（1）由原不等式可得,得,∴原不等式的解集是；（2）原不等式可化为,得或整理得,或∴原不等式的解集是；（3）由原不等式可得或整理得或∴原不等式的解集是总结升华：不等式的解集为；不等式的解集为.举一反三：【变式】（2011山东，4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A）[-5,7] (B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D）(-∞，-4]∪[6,+∞)【答案】D2、解不等式|x2+4x-1|<4解析：原不等式-4<x2+4x-1<4-5<x<-3或-1<x<1.即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）.举一反三：【变式】解不等式|x2+4x-1|>4.【答案】原不等式的解集是（-∞,-5）∪(-3,-1)∪(1, +∞）3、解不等式1|2x-1|<5.解析：法一：原不等式等价于①或②解①得：1x<3 ；解②得：-2< x 0.∴原不等式的解集为{x | -2< x 0或1x<3}法二：原不等式等价于12x-1<5或–5<2x-1-1即22x<6或–4<2x0.解得1x<3或–2<x0.∴原不等式的解集为{x|-2<x0或1x<3}总结升华：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a|x|b a x b或-b x-a(a0).举一反三：【变式1】解不等式:【答案】原不等式的解集是【变式2】解不等式4＜|x2-5x|≤6.【答案】原不等式等价于不等式组不等式(1)等价于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(2)等价于-6≤x2-5x≤6利用数轴取不等式(1)，(2)的解的交集：∴原不等式的解集为：4、解不等式：|4x-3|>2x+1.思路点拨：关键是去掉绝对值符号。
绝对值不等式求解方法
绝对值不等式求解方法宝子们，今天咱们来唠唠绝对值不等式的求解方法呀。
那啥是绝对值不等式呢？简单说就是不等式里有绝对值符号的式子。
比如说x - 3>5这种。
对于绝对值不等式x>a（a>0）这种类型的，它的解就是x>a或者x< - a。
就像刚刚说的x - 3>5，那咱就把x - 3看成一个整体，就得到x - 3>5或者x - 3< - 5。
解这俩小不等式，第一个得到x>8，第二个得到x< - 2，这就是答案啦。
再说说x<a（a>0）这种类型的，它的解就是 - a<x<a。
比如说2x + 1<3，那就是- 3<2x + 1<3。
咱先解左边的 - 3<2x + 1，移项得到 - 4<2x，也就是x> - 2；再解右边的2x + 1<3，移项得到2x<2，也就是x<1。
所以这个绝对值不等式的解就是 - 2<x<1。
要是遇到那种绝对值里有式子，外面还有系数的，像2x - 1>4。
咱先把系数除掉，两边同时除以2，就变成x - 1>2，然后就按照前面的方法解就好啦，得到x>3或者x< - 1。
还有那种两边都有绝对值的，比如x - 2 = 3x + 1。
这时候呢，就有两种情况，一种是x - 2 = 3x + 1，还有一种是x - 2 = - (3x + 1)。
解第一个方程，移项得到- 2x = 3，x = - 3/2；解第二个方程，x - 2 = - 3x - 1，移项得到4x = 1，x = 1/4。
这两个值就是这个等式的解啦。
宝子们，绝对值不等式其实没那么可怕，只要把这些基本的类型和方法搞清楚，多做几道题练练手，就肯定能掌握的。
加油哦，数学小天才们！。
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绝对值不等式解法指导
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。
解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。
去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。
一. 注意绝对值的定义，用公式法
即若a x a ><0，||，则-<<a x a ；若a x a >>0，||，则x a >或x a <-。
例1. 解不等式||2331x x -<+
解：由题意知310x +>，原不等式转化为-+<-<+()312331x x x
⇔->---<++>⎧⎨⎪⎩⎪⇔>>-⇔>>-⎧⎨⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪233123313102542513x x x x x x x x x ,,,,
二. 注意绝对值的非负性，用平方法
题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到||x x 22=。
例2. 解不等式||||x x +<+123
两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。
解：原不等式⇔+<+⇔+<+⇔+-+>||||()()()()x x x x x x 1231232310222222 解得x x <->-243
或 故原不等式的解集为{|}x x x <->-243
或
三. 注意分类讨论，用零点分段法
不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。
例3. 解不等式||||x x ++->213
解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x -=10和x +=20得分界点x x ==-12、
于是，可分区间(),[][,)-∞--+∞，，，2211讨论原不等式⇒
x x x x x x x x x <--++-->⎧⎨⎩-≤<+-->⎧⎨⎩≥++->⎧⎨⎩
2213212131213,()[()],(),()或或 解得x x ><-12或
综上不等式的解为x ∈-∞-⋃+∞()()，，21
四. 平方法+定义法
有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。
例4. 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+
解：化为|log ||log |122+<+a a x x 后，通常分log log a a x x <--≤<1212
0，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。
改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++。
再由定义去绝对值号，有：
（1）log ,
(log )log a a a x x x ≥<⎧⎨⎩⇒≤<01012；
（2）log ,log log log a a a a x x x x <+-<⎧⎨⎩⇒-<<03830
302。
综上知-<<31log a x
故当a >1时，解为a
x a -<<3；当01<<a 时，解为a x a <<-3
练一练
1. 已知a >0，且a ≠1，解不等式|log ()||log ()|a a x x 11->+。
2. 解不等式||||||x x x +--<
+1121 3. 解不等式||||31932x x -+->
答案：1. 01<<x
2. 解集为(,)(,)-⋃+∞2523
2 3. 解集为{|log }x x x <>023或。