乘积形式的抛物型k-Hessian方程

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一类抛物型k-Hessian方程

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｔｈｅｆｉｒｓｔｉｎｉｔｉａｌｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆ一ｆ４－ｌｏｇＳ（（Ｄ））一
１＜。２＜ … ＜ｆ
ｆ（４（Ｄ））．文献［５］讨论了如下更一般形式的抛物型Ｈｅｓｓｉａｎ方程：一Ｄ＋厂（（Ｄｚ４－））一
（，）．文献［６ — ７］借助如下抛物型肛Ｈｅｓｓｉａｎ方程第一初边值问题解的存在唯一性研究了退化椭圆型
肛Ｈｅｓｓｉａｎ方程：
，￡）∈ ＱＴ，ｆＦ（Ｄ）一一（，ｔ，），（ｊ一ｏ，（，）∈ ａＸＥｏ，Ｔ］，
（１）
［ “ 一。，
收稿日期：２０１２ — ０９ — ２４．
第Ｓ１卷
第３期
吉林大学学报（理学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏ１．５ｌＮＯ．３
Ｍａｙ２０１３
ｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｓｕｂｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｐｒｉｏｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｗａｓｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ．Ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｕｎｉｑｕｅｉｆ２０１３年５月

K-Hessian方程的一个Liouville型结果

K-Hessian方程的一个Liouville型结果1. 引言1.1 K-Hessian方程的背景介绍K-Hessian方程是一个重要的偏微分方程，在几何分析和非线性偏微分方程研究中起着重要的作用。

它最早由美国数学家D.C.中提出，在几何分析中有广泛的应用。

K-Hessian方程是一个高阶非线性椭圆型偏微分方程，它的解与曲率和Hessian矩阵之间的关系密切相关。

K-Hessian方程在几何学、概率论、最优控制理论等领域都有着重要的应用。

研究K-Hessian方程的Liouville型结果对于理解非线性偏微分方程的性质和解的结构具有重要意义。

Liouville型结果是指：满足一定约束条件下的非负解的结构和分类。

通过研究K-Hessian方程的Liouville型结果，可以揭示解的性质、特征和分布规律，进一步推动相关领域的理论研究和应用发展。

探讨K-Hessian方程的Liouville型结果对于推动数学领域的发展具有重要意义。

1.2 Liouville型问题的研究意义1.在微分几何中，Liouville型问题可以帮助我们更深入地理解曲率的性质和几何结构。

通过研究Liouville型问题，可以揭示曲率与几何流形的关系，从而推动微分几何理论的发展。

Liouville型问题在数学领域中扮演着重要的角色，其研究意义不仅限于理论层面，还涉及到实际问题的建模和解决。

深入研究Liouville型问题将有助于推动数学领域的发展并解决实际问题。

2. 正文2.1 K-Hessian方程的定义与性质K-Hessian方程是一类非线性椭圆型偏微分方程，具有重要的数学和物理背景。

它的定义与性质包括以下几个重要方面：1. K-Hessian方程的定义：K-Hessian方程是指具有如下形式的二阶非线性椭圆型偏微分方程：\[ F(D^2u)=f(x,u,Du) \]$ F(D^2u) $表示Hessian矩阵的K-拉普拉斯算子，由方程中的K 决定，通常表达为对Hessian矩阵的第K大本征值的求和，而$ f(x,u,Du) $为给定的非线性项。

K-Hessian方程的一个Liouville型结果

K-Hessian方程的一个Liouville型结果K-Hessian方程是一个非常重要的偏微分方程，它在几何分析和非线性偏微分方程理论中具有重要的应用。

在研究K-Hessian方程的解的性质时，Liouville型结果是非常关键的一个内容。

本文将介绍K-Hessian方程的基本概念和一些相关的Liouville型结果，并对其在数学和几何分析领域的重要性进行讨论。

1. K-Hessian方程的简介K-Hessian方程是指具有如下形式的二阶非线性椭圆型偏微分方程：\[ F(D^2 u) = f(x, u, Du) \]$ D^2 u $表示Hessian矩阵，$ f(x, u, Du) $是一个给定的函数，$ F(D^2 u) $是一个由Hessian矩阵的特征值和特征向量构成的函数。

当$ F $具有特定的形式时，即可得到K-Hessian方程的特定形式。

K-Hessian方程广泛应用于几何分析、微分几何、非线性偏微分方程等领域，是一个非常活跃的研究方向。

2. Liouville型结果的概念Liouville型结果是指对于某类特定的偏微分方程，如果其解满足一定的条件，那么这些解必然具有特定的形式。

一般来说，Liouville型结果是指对于椭圆型或拟线性椭圆型方程，在满足一定的增长条件或者衰减条件下，解的形式受到严格的限制，不能自由地增长或衰减。

Liouville型结果通常表明了方程解的全局性质，对于研究方程解的性质具有非常重要的意义。

目前，对于K-Hessian方程的Liouville型结果的研究已经取得了一些进展，但仍然有许多问题有待深入研究。

在K-Hessian方程的Liouville型结果的研究中，涉及到许多重要的数学工具和技术，包括凸几何、凸分析、局部和全局椭圆估计、梯度估计、Harnack不等式等。

通过这些数学工具和技术的运用，人们希望可以得到K-Hessian方程解的严格性质，这对于理解方程解的性质具有非常重要的意义。

抛物型方程

前言抛物型方程解的估计及其应用1前言数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系．连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围．它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象．它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用．微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究．早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法．随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性．有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用．在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支——偏微分方程理论．它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法．它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具．因此，数学物理方程又是纯粹数学的抛物型方程解的估计及其应用许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重要的桥梁．2 选题背景2.1 题目类型及来源题目类型：研究论文题目来源：专题研究2.2研究目的和意义数学物理方程将数学与物理紧密地结合在一起，用精微的数学思想和方法应用于实际的物理研究中，通过物理过程建立数学模型（偏微分方程），通过求解和分析模型，对实际物理过程进一步深入理解，提出解决实际问题的途径和方法．而抛物型方程是偏微分方程中的一类，且在研究热传导、扩散等物理现象时都会遇到，具有巨大的理论价值，同时，抛物型方程的概念和性质也决定了它在工程数学，物理等方向的巨大实用价值．研究抛物型方程解的估计及其应用，有助于我们更好的理解和掌握偏微分方程理论，并在认识和了解抛物型方程广泛的使用价值的基础上，能够探索抛物型方程更广泛的应用．随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛．从数学自身的角度看，抛物型方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展．2.3国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向自18世纪以来，偏微分方程理论在得到广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展，如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等，并从它们之中引进许多有力的解决问题的方法．关于抛物型方程的解，有经典解、广义解、数值解等方面的研究．经典解在求解区域中具有方程中所出现的连续偏导数，并按通常意义满足方程与定解条件，也就是热传导方程的一些知识说，将解代入方程及定解条件后即可使其化为恒等式．求经典解的方法有分离变量法、Fourier变换法．经典解容易理解，且应用方便，但实际求解抛物型方程的定解问题时，往往不一定能得到经典解．于是就提出了广义解[1]的理论，即先寻求一个正则性较低的函数（广义解），它按较弱的意义满足方程与定解条件，然后再进一步证明这个函数实际上就是原来问题的经典解．广义解可按逼近过程来定义，也可按分部积分的方法来定义．由于抛物型方程的广义解是在“较差”的函数类中寻求相应定解问题按拓广意义下的解，因而又提出了广义函数的概念、性质、应用等方面的研究．在实际求解抛物型方程的定解条件时，除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外，在一般的情况下，当方程或定解条件具有比较复杂的形式，或求解区域具有比较复杂的形状时，往往求不到或不易求到其精确解，我们就只得去寻求抛物型方程定解问题的近似解，特别是数值近似解，于是就有了抛物型方程数值解的理论研究．求抛物型数值解的方法主要有：有限差分法、有限元素法．随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，偏微分方程的研究方向基本上也是一致的．在微分方程定性理论中有着重要应用的时滞积分不等式以及在差分方程定性理论中有重要应用的时滞离散不等式和关于时间尺度的动力方程理论，在研究了抛物型方程及抛物型方程系统、双曲型方程及双曲型方程系统的强迫振动性理论以及某些时滞脉冲偏微分方程在特定边值条件下解的振动的若干充要条件和多时滞脉冲抛物型微分方程系统解的强迫振动性，推广了已有的结果，建立了若干新定理，促进了偏泛函微分方程理论的发展，并主要创新提出并建立了偏泛函微分方程系统的强迫振动性理论以及具有连续分布变元的双曲型偏泛函微分方程系统和抛物型偏泛函微分方程系统的振动性理论；获得了变系数抛物型偏泛函微分方程解的振动的若干充分必要条件和时滞脉冲抛物型微分方程解的振动的若干充分必要条件和多时滞脉冲抛物型微分系统解的强迫振动性；研究了时滞积分不等式理论和关于时间尺度的动力不等式理论．这些理论的建立，为偏泛函微分方程理论和积分不等式理论的进一步发展起到了非常大的促进作用．3热传导方程的一些知识3.1 热传导方程的导出若物体内各点的温度不相同，则其热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方抛物型方程解的估计及其应用传递，这就是常说的热传导现象．由于热量的传递，所以物体内温度随时间和点的位置不同而不同，因此热传导问题可归结为研究物体内部的温度分布情况．下面我们考察一个均匀的、各向同性的物体G 在Ω内部的温度变化规律．设以(),,u x y z 表示物体G 在Ω内任一点(),,M x y z 处在时刻t 的温度．在Ω内任取一小块区域V ，使V -⊂Ω，并且其边界Γ是光滑的闭曲面，Γ上面积元素的单位外法向量记作n ．根据传热学中的傅里叶实验定律[2]，物体在无穷小时段dt 内，从V 内经过dS 流出的热量dQ 与时间dt ，流经面积dS 以及温度沿dS 的外法向量的方向导数un∂∂成正比，即udQ k dSdt k u ndSdt n∂=-=-∇⋅∂其中0k >是物体的热传导系数，,,x y z ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭．上式中的负号表示热流的方向与温度梯度的方向相反（因为热量总是由温度高处流向温度低处），因此从时刻1t 到时刻2t 经过Γ流入V 内的全部热量 211t t Q dt k u ndsdt Γ=∇⋅⎰⎰⎰若物体Ω内有热源，且热源强度为(),,,F x y z t （即在时刻t 点(),,x y z 处的单位面积在单位时间内发出的热量），则在[]12,t t 内，V 从热源上吸收的热量为 ()212,,,t t VQ F x y z t dxdydzdt =⎰⎰⎰⎰另一方面，在[]12,t t 内，V 内温度从()1,,,u x y z t 升高到()1,,,u x y z t 所需吸收的热量为 ()()321,,,,,,VQ c u x y z t u x y z t dxdydz ρ=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰其中为c 物体的比热，ρ为物体的密度．根据能量守恒，有热传导方程的一些知识123Q Q Q +=若(),,,u x y z t 关于,,x y z 具有二阶连续偏导数，则由高斯公式得 22111t t t t VQ dt k u ndsdt k udxdydzdt Γ=∇⋅=∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰这里 ∆ 是laplace 算子，222222x y z∂∂∂∆=++∂∂∂若(),,,u x y z t 关于t 具有一阶连续偏导数，则由Newton-Leibniz 公式有 213t t t VQ dt c u dxdydz ρ=⎰⎰⎰⎰因此有()2211t t t t t VVdt c u dxdydz dt k u F dxdydz ρ=∇+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于时间段[]12,t t 及区域V 是任意取定的，并且被积函数是连续的，则 2t u a u f -∆= 其中2k a c ρ=，Ff c ρ=，并且当0f ≥时，表示Ω内有热源；当0f ≤时，表示Ω内有冷源（即热汇）．在适当情况下，方程中描述空间坐标的独立变量的数目还可以减少．例如当物体是均匀细杆时，假如它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假定温度的分布在同一截面是相同的，则温度函数u 仅与坐标x 及时间t 有关，我们就得到一维热传导方程222u u a t x∂∂=∂∂ 同样，如考虑薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程22222u u u a t x y ⎛⎫∂∂∂=+ ⎪∂∂∂⎝⎭抛物型方程解的估计及其应用3.2 定解问题的提法方程描述的是同类物理现象的共性，但是每一具体的物理现象都是处在各自特定条件之下的，这就需要我们把它所处的特定条件也用数学形式表达出来，我们称这些特定条件为定解条件．定解条件分为初始条件和边界条件．初始条件是说明初始状态的条件，边界条件是描述边界状态的条件，边界条件可分为三类，第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）是直接给出未知函数在研究区域Ω的边界∂Ω上的值；第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）是在∂Ω上给出未知函数u 沿∂Ω沿外法方向n 的方向导数；第三类边界条件（又称为Robin 条件）是在边界∂Ω上给出未知函数u 及其沿∂Ω的外法方向导数的某种线性组合的值．从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况（或热交换状况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度．因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在已给的初始条件与边界条件下求解问题的解．初始条件的提法显然为()(),,,0,,u x y z x y z ϕ=其中(),,x y z ϕ为已知函数，表示物体在0t =时的温度分布第一边界条件：在3R 中的有界区域Ω的导热问题中，若Ω的边界∂Ω处于恒温0u 的环境下，则边界条件为0u u ∂Ω|=若边界温度按已知规律(),,,g x y z t 变化，则(),,,u g x y z t ∂Ω|=第二边界条件：若热量在边界曲面∂Ω各点的流速为(),,,G x y z t ，则由Fourier 定律，边界条件可写成(),,,ug x y z t n ∂=∂ 其中Gg k =-，若0G =，则0u n ∂Ω∂=∂，此时称之为绝热边界条件．定解问题的求解第三边界条件：如果物体内部与周围的介质通过边界∂Ω有热量交换，物体外介质的温度为2u ，物体表面的温度为1u ，内外两种介质间的热交换系数为()110k k >，根据Newton 定律，从物体内部流到外部的热量与两介质间的温度差成正比，即有()112dQ k u u dsdt =-另一方面，由Fourier 定律[3]，在时间间隔内从边界曲面上面积元流出的热量为udQ k dsdt n∂=-∂从而有()112uk u u dsdt k dsdt n∂-=-∂即(),,,u u g x y z t n σ∂Ω∂⎛⎫+=⎪∂⎝⎭ 其中1k kσ=， ()1,,,u g x y z t σ= 4 定解问题的求解4.1 初值问题的求解我们可以利用傅里叶变换来求解热传导问题的初值问题．其思想是把原函数变换到另一类函数中去，经过变换，使热传导方程变为常微分方程，从而可以找出一个解，再经过Fourier 的逆变换，得到原热传导方程的解．()()()()2,,,,0,t xx yy u a u u f x y t u x y x y ϕ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ （1）视t 为参数，先求解齐次热传导方程的初值问题()()()2,,0,txx yy u a u u u x y x y ϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ （2）对,x y 进行Fourier 变换，记()()12,,,,F u x y t U t λλ=⎡⎤⎣⎦，抛物型方程解的估计及其应用()()12,,F x y ϕλλ=Φ⎡⎤⎣⎦在（1）式两边关于,x y 进行Fourier 变换，原问题变为()()()()()()()222121122121212,,,,,,,,0,d U t a i U t i U t dtU λλλλλλλλλλλλ⎧⎡⎤=+⎪⎣⎦⎨⎪=Φ⎩（3）（2）式是带参数12,λλ的常微分方程的柯西问题，它的解为()()()2121212,,,a tU t e λλλλλλ-+=Φ （4）函数()212a teλλ-+的Fourier 逆变换[4]为()()()()()()()2222221212122222112211221221F 21=2a a i x y a t i xa t i xe t ete d d ed ed λλλλλλλλλλλλπλλπ+∞-+-++-∞----+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰－()222222111122111111+11cos sin =2cos a t i xa ta ta ted exd i exd exd λλλλλλλλλλλλ----+∞+∞+∞-∞-∞-∞∞-=+⎰⎰⎰⎰令()221+110cos a tI x exd λλλ∞-=⎰()()221222211+/111111202sin 1 =sin cos 2 =2a t a t a t I x e xd e x x xe d a t xI x a tλλλλλλλλλ∞-+∞--+∞0=-⎡⎤∣-⎢⎥⎣⎦-⎰⎰ 解得()224x a tI x ce-=又()2212+1+00 a t y I e d e dy λλ∞-∞-===⎰定解问题的求解则有()222222121421F 4x y aa tet e a tλλπ+--+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦－由（4）可得初值问题（2）的解为()()()()222421,,,4x y a tu x y t e d d a tξηϕξηξηπ-+--+∞+∞-∞-∞=⎰⎰ （5）再求解非齐次热传导方程具有齐次初始条件的柯西问题()()()2,,,.00t xx yy u a u u f x y t u x y ⎧=++⎪⎨=⎪⎩ （6）由齐次化原理[5]，此柯西问题的解可写为()()0,,,,;tu x y t x y t d ωττ=⎰而(),,;x y t ωωτ=为下述柯西问题的解：()()()2,,,,,t xx yy a t x y f x y ωωωτωττ⎧=+>⎪⎨=⎪⎩于是，利用（5）式，易知柯西问题（6）的解为()()()()()222420,,1,,4x y ta t u x y t ed d d a t ξητϕξητξητπτ-+--+∞+∞--∞-∞=-⎰⎰⎰ （7）由叠加原理[6]，由（5）及（7）就得到柯西问题（1）的解为()()()()()()()()222222424201,,,4,,1 4x y a tx y ta t u x y t ed d a t ed d d a t ξηξητϕξηξηπϕξητξητπτ-+--+∞+∞-∞-∞-+--+∞+∞--∞-∞=+-⎰⎰⎰⎰⎰在上面的推导中，由于预先不知道是否满足进行傅里叶变换及有关计算的条件，所得的解还只是形式解．为证明上式确实是柯西问题（1）的解，还得进行验证．抛物型方程解的估计及其应用4.2 初边值问题的求解热传导方程的初边值问题20 t xx u a u -= （8）00x x l u u ==∣=∣= （9） ()0 t u x ϕ=∣= （10）令()()() ,u x t X x T t = （11）并要求它满足齐次边界条件（9），这里()X x 及()T t 分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的特定函数．将（11）代入方程（8）中，得到()()()()///0 X x T t X x T t -= （12）将上式分离变量，有()()()()///2T t X x a T t X x λ==- （13）由于在（13）式中，左边仅是t 的函数，右边仅是x 的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能．记次常数为λ-（其值待定），就得到()()/2T aT 0t t λ+= （14）()()//0Xx X x λ+= （15）这样方程（13）就被分离为两个常微分方程，其中一个含有自变量t ，另一个仅含有自变量x ，我们可以通过求解这两个方程来决定()T t 及()X x ，从而得到方程（8）的特解（11）为了使此解是满足齐次边界条件（9）的非平凡解，就必须找到方程（8）满足边界条件定解问题的求解()()00,0X X l == （16）的非平凡解．方程（15）的通解随0λ>，0λ=以及0λ<而不同，下面分三种情况讨论：情形1 当0λ<时，方程（15）的通解可写成 ()12X x C C e =+要使它满足边界条件（16），就必须1200C C e +=⎧⎪⎨+=⎪⎩由于110e≠只能120C C ==．故在0λ<的情况得不到非平凡解．情形2 当0λ=时，方程（15）的通解可以写成 ()12X x C C X =+ 要满足边界条件（16），()X x 也只能恒等于零．情形3 当0λ>时，方程（15）的通解具有如下形式： ()12X x C C =+ 由边界条件()00X =知10C =，再由()20X l C ==可知，为了使20C ≠，就必须sin 0=．于是222(1,2,)k k k lπλλ===⋯这样就找到了一族非零解()sin(1,2,)k k k X x A x k lπ==⋯ 将固有值代入方程（14）中，可得到其通解为()2222(1,2,)a k tl k k T t B ek π-==⋯这样就得到方程（8）的满足齐次边界（9）的下列分离变量形式的特解：()()()2222k ,sin(1,2,)a k tl k k k k u x t X x T t a ex k lππ-===⋯ 现在我们设法作这种特解的适当的线性组合，以得出初边值问题的解，也就是说，要决定常数k a 使()22221,sina k tl k k k u x t a ex lππ∞-==∑ （17）满足初始条件（10）．故由初始条件（10）应有()1sink k k x a x lπϕ∞==∑ 由于 1,sink x l π⎧⎫⎨⎬⎩⎭在[]0,l 上正交，因此，k a 是在[]0,l 区间中正弦展开的傅里叶级数的系数，即()02sin l k k a d l lπϕξξξ=⎰ （18）故()()222201,sin sina k tll k k k u x t d ex l lπππϕξξξ∞-==⋅∑⎰ （19）是用级数形式表示的初边值问题的形式解．为了考察由分离变量法得到的形式解是否是混合问题的经典解，还得进行验证．当1C ϕ∈，且()()00l ϕϕ==，()x ϕ是有界函数，（18）式确定的函数(),u x t 是混合问题的解．分析：在求解过程中，级数（17）中的每一项都满足方程（8），因此只要证明级数（17）可以逐项求导两次就好了．也就是说，如果证明了级数（17）求导两次后仍是一致收敛的，那么它一定满足方程（8），此时边界条件（9）和初始条件（10）的满足也是显然的推论了．证明：由于式（19）中含有因子2222a k tl eπ-，因此对于任意0δ>，当0t >时，对任意的0p >，级数22221p a k tl k k el ππ∞-=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑均是一致收敛的，而由ϕ是有界函数的假设（()x M ϕ<），可得()0sinlk d Ml lπϕξξξ≤⎰故（19）式中列举的所有级数是一致收敛的，因而，由式（19）表示的级数，当0t >时，关于x 及t 是无穷次可导的，并且求导与求和可以交换．由于级数的每一项都满足方程（8）及边界条件(9)、(10)，从而式（19）式表示的级数在0t >时确实满足方程及边界条件．当加上条件()()00l ϕϕ==时，当0t →时，对任意[]0,x l ∈，由式（19）给出的级数趋于初值()x ϕ，即得到式（19）给出的级数确实是初边值问题（8）~（10）的经典解．5 抛物型方程解的估计及其应用先验估计是偏微分方程理论研究中的一个常用的方法．其特点是在假设定解问题解存在的前提下导出解所应当满足的估计，而常用的估计有最大模估计[7]，能量估计[8]等等．一般地，我们可以根据先验估计得到定解问题解的唯一性和稳定性，并且可结合其他一些分析方法推导出解的存在性，此外，作为对解的一种估计，先验估计还可能提供关于解的某种性态（如有界性等）方面的信息．5.1 极值原理考虑热传导方程()()2,,,t xx Lu u a u f x t x t Q ≡-=∈其中(){},0,0Q x t x l t T =<<<≤，Q 的侧边和底边统称为Q 的抛物边界，记作Γ，即(){}(){}(){},0,0,,0,0,0x t x t T x t x l t T x t t x l Γ==<≤⋃=<≤⋃=≤≤在热传导过程中，如果物体内部无热源，则热量总是由温度高处向其它地方扩散，而温度最低处的温度会逐渐上升．因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到．这就是热传导方程的“极值原理”．定理 1（弱极值原理）设函数()()()2,1,C u x t Q C Q ∈⋂满足Lu f =．（1）若0f ≤，则u 在Q 上的最大值必在抛物边界Γ上达到，即 ()()max ,max ,Qu x t u x t Γ=（2）若0f ≥，则()()min ,min ,Qu x t u x t Γ=（3）若0f =，则()()max ,max ,Qu x t u x t Γ=， ()()min ,min ,Qu x t u x t Γ=同时成立，这里()2,1C Q 表示在Q 内关于x 二次连续可微，且关于t 一次连续可微的函数全体．证明：（1）不妨先考虑0f <情形．反设存在点()00,x t Q ∈，使得()()00,max ,Qu x t u x t =则在该点处0x u =，0xx u ≤，0t u ≥（如果0t T <，则0t u =；如果0t T =，则0t u ≥）．因此()()()00200,,0t xx x t f x t u a u =-≥，这与0f <的假设相矛盾．故(),u x t 不能在Q 内达到最大值，从而有 ()()max ,max ,Qu x t u x t Γ=当 (),0f x t ≤时，设法将其转化为前面的情形．为此构造辅助函数 ()(),,v x t u x t t ε=- 其中ε是任意小的正数．因为0Lv Lu f εε=-=-< 所以()()max ,max ,Qv x t v x t Γ=于是()()()()max ,max ,max ,max ,QQu x t v x t t v x t T u x t T εεεΓΓ=+≤+≤+⎡⎤⎣⎦令0ε→，得()()max ,max ,Qu x t u x t Γ=（2）若0f ≥，则对u -应用情形（1）的结论即可．（3）结合前面两种情况，若0Lu =，则u 在Q 的上的最大值与最小值都在抛物边界Γ上达到．下面我们将弱极值原理推广到稍一般的热传导方程()()()21,,,t xx x Lu u a u b x t u c x t u f x t ≡-++=定理 2 函数()()2,1u C Q C Q ∈⋂满足10L u f =≤，则u 在Q 上的正最大值必在抛物边界Γ上达到，即()()max ,max ,Qu x t u x t +Γ≤由于其证明与定理1的证明方式类似，这里不再赘述．定理3 设()0,c x t c ≥-，其中0c 为正常数．若函数()()()2,1,u x t C Q C Q ∈⋂满足10L u f =≤，且()max ,0u x t Γ≤，则必有()max ,0Qu x t ≤证明令()()0,,c t v x t e u x t -=，则(),v x t 满足方程 ()0200c t t xx x v a v bv c c v fe --+++=≤ 由于00c c +≥，根据定理2，得()()()0max ,max ,max ,0c t Qv x t v x t e u x t -++ΓΓ≤≤≤因此结论得证．利用定理3，不难得到下列推论：推论1（比较原理）设()()00,0c x t c c ≥-≥，又设()()2,1,u v C Q C Q ∈⋂，且11L u L v ≤，u v ΓΓ≤，则对任意的(),x t Q ∈，有()(),,u x t v x t ≤5.2 初边值问题解的最大模估计设Ω是n R 中的有界开集，0T >．记(0,]T Q T =Ω⨯，(){}()[0,)0T T Γ=∂Ω⨯⋃Ω⨯这里的T Γ称为T Q 的抛物边界．我们先在T Q 中研究抛物型方程记 []()()1,,int i x i A u u u b x t uf x t ==-∆+=∑[]()()()1,,,int ix i B u u u b x t uc x t u f x t ==-∆++=∑考察第一初边值问题[]()()()()()()()()[]1,, ,,0 ,, ,0,i nt i x Ti A u u u b x t u f x t x t Q u x x x u x t g x t x t T ϕ=⎧=-∆+=∈⎪⎪⎪=∈Ω⎨⎪=∈∂Ω⨯⎪⎪⎩∑ （20）定理4 设()()2,1T T u C Q C Q ∈⋂是问题（20）的解，则TQ max u FT B ≤+其中sup TQ F f =，()[]{}0,max max ,max T B x g ϕ∂Ω⨯Ω=证明令v tF B =+，与u ±作比较．因为 [][]A u F f A u =≥±=± ，(),T x t Q ∈ ()()(),0,0v x B x u x ϕ=≥±=± ， x ∈Ω v B g u ∂Ω∂Ω∂Ω≥≥±=± ， 0t T ≤≤ 由比较原理知，u v FT B ±≤≤+，即 ()TQ max ,u x t FT B ≤+推论 2 第一初边值问题（20）的解在函数类()()2,1T T C Q C Q ⋂中是唯一的，且连续地依赖于f ，ϕ和g ．证明当0f g ϕ==≡时，对应的解u 满足TQ max 0u =，故0u ≡，从而解是唯一的．假设i u 是对应于{},,i i i f g ϕ的解，1,2i =，则12u u -是对应于{}121212,,f f g g ϕϕ---的解．于是[]{}TT121212120,Q Q max max ax max ,max T u u T f f g g ϕϕ∂Ω⨯Ω-≤-+--所以当{}111,,f g ϕ与{}222,,f g ϕ充分接近时，1u 与2u 也充分接近，这说明问题（20）的解连续地依赖于f ，ϕ和g ．现在考察第一初边值问题[]()()()()()()()[], ,,0 ,, ,0,TB u f x t x t Q u x x x u x t g x t x t T ϕ⎧=∈⎪⎪=∈Ω⎨⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩ （21）定理5 设()0,c x t c ≥-，()()2,1T T u C Q C Q ∈⋂是问题（21）的解，则 ()0TQ max c T u e FT B ≤+其中sup TQ F f =，()[]{}0,max max ,max T B x g ϕ∂Ω⨯Ω=．证明不妨认为00c ≥，令()0c t v e FT B =+，与u ±作比较．因为[]()()()()()()[]()00000000, =, ,c t c t c t c t c t c t T B u Fe c e Ft B c x t e Ft B Fe e c c x t Ft B Fe F f B u x t Q =+++++++≥≥≥±=±∈()()(),0,0v x B x u x ϕ=≥±=± ， x ∈Ω v B g u ∂Ω∂Ω∂Ω≥≥±=± ， 0t T ≤≤由比较原理知，()0c T u v e FT B ±≤≤+，即()()0TQ max , c T u x t e FT B ≤+5.3 初值问题解的最大模估计记[]T D 0,n R T =⨯，[](),t C u u u c x t u =-∆+ 考察初值问题[]()()()(), ,,0 TnC u f x t x tD u x x x Rϕ⎧=∈⎪⎨=∈⎪⎩ (22) 设(),c x t 连续，()()00,0c x t c c ≥->，(),f x t 和()x ϕ有界，记 sup TD F f =， sup nR ϕΦ=如果()()2,1T T u C D C D ∈⋂是初值问题（22）的解，则 ()0sup Tc T D u e FT ≤+Φ证明令()()0,,c t v x t u x t e -=，则v 满足[]()()()(),,,0 t nD v v v c x t v f x t v x x x R ϕ⎧=-∆+=⎪⎨=∈⎪⎩ （23）其中()()0,,0c x t c x t c =+≥，()()0,,c t f x t e f x t -=由于解得先验估计方法不能直接用于初值问题，我们希望借助于一个有界区域上的初边值问题进行讨论，任意取定较大的常数L ，记{}](,0,L T D x L T =≤⨯．因为解u 有界，所以存在正常数K 使得u K ≤在D T 上成立，在有界区域,L T D 上考虑辅助函数()()22,2K w x t Ft x nt v L =+Φ++± 直接计算知，在,L T D 上w 满足[]()()()()()()002,22220 ,,0 ,,0c t L T c tx L x L K D w F c Ft x nt e f x t D L K w x x x x LL w x t K u x t e ϕ--==⎧⎧⎫=++Φ++±≥∈⎨⎬⎪⎩⎭⎪⎪=Φ+±≤⎨⎪⎪≥Φ+±>⎪⎩利用比较原理知，(),0w x t ≥在,L T D 上成立对于D T 内的任一点()00,x t ，取L 充分大使得()00,,L T x t D ∈，于是()00,0w x t ≥ 即()()2000002,2K v x t Ft x nt L≤+Φ++ 令L →∞得()000,v x t Ft Ft ≤+Φ≤+Φ从而()()()000000,,c t c T u x t v x t e e Ft =≤+Φ由()00,T x t D ∈的任意性知，估计式（23）成立．推论3 初值问题（23）的解在函数类()()2,1T T C D C D ⋂中是唯一的，且连续地依赖于f ，ϕ．由于其证明与推论3的证明方式类似，这里不再赘述.5.4 初边值问题的能量估计设Ω是n R 中的一个光滑区域，在](0,T Q T =Ω⨯上考察第一初边值问题()()()()()[], ,,0 0 ,0,t T u u f x t x t Q u x x x u x t T ϕ-∆=∈⎧⎪⎪=∈Ω⎨⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩ （24）定理6 设()()1,02,1T T u C Q C Q ∈⋂是问题（23）的解，则存在正常数()C C T =使得()222200max ,2TT t Tux t dx u dxdt C dx f dxdt ϕΩΩΩΩ≤≤⎛⎫+∇≤+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （25）证明问题（24的方程两边乘以u 并在T Q 上积分，得000tttt uu dxdt u udxdt f udxdt ΩΩΩ-∆=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（26）对（26）式左端第一项中关于t 的积分利用分部积分以及初值条件，可知()()22011,22t t uu dt u x t x ϕ=-⎰ （27）对（26）式左端第二项关于x 的积分利用散度定理以及边界条件，推出22u u udx u dS u dx u dx n Ω∂ΩΩΩ∂∆=-∇=-∇∂⎰⎰⎰⎰ （28）将（27）式和（28）式代入（26）式，得2220022ttu dx u dxdt f udxdt dx ϕΩΩΩΩ+∇=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （29）利用不等式222ab a b ≤+可知 220002t ttf udxdt f dxdt u dxdt ΩΩΩ≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰将上式代入（29）式，得222220002tttu dx u dxdt f dxd u dxdt dx ϕΩΩΩΩΩ+∇≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （30）记 ()20tY t u dxdt Ω=⎰⎰，()220t F t f dxd dx ϕΩΩ=+⎰⎰⎰那么不等式蕴含()()()Y t Y t F t '≤+ 利用Gronwall 不等式[9]推出()()()()()()2022001 tt t t ttu dxdtF t Y t Y e e F t e F t e f dxd dx ϕΩΩΩ=≤+-⎛⎫≤=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰将上式代入（30）式知()22220021tt tu dx u dxdt e f dxd dx ϕΩΩΩΩ⎛⎫+∇≤++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 此式两边关于t 在[]0,T 上取上确界，就得到估计式（25）.下面我们将讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题．设Ω为n R 中的有界区域，且有光滑边界()0,T Q T =Ω⨯，在区域中讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题()()()(),11,,,,i j i nnij x x i x i j i u a x t u u b x t u c x t u f x t t ==∂-++=∂∑∑ （31） ()0 t u x x ϕ==∈Ω （32）0T u ∑= （33）解的性质．式中，()0,T T ∑=Γ⨯为区域的侧边界；()12,,n x x x x =∈Ω为方便讨论，作如下假设：（1）系数ij a 、i b 、c 及右端项f 都是T Q 上的连续函数，并且ij a 在T Q 上还具有一阶连续偏导数．（2）对一切,1,2,i j n =；ij ji a a =且存在正常数0α>，使得对一切(),T x t Q ∈及任意给定的实向量()12,,,n ξξξ，有：()2,11,nnijiji i j i a x t ξξαξ==≥∑∑成立．对于初边值问题的解，定义能量函数：()212E t u dx Ω=⎰ （34）定理7 若(),u x t 为初边值问题（31）~（33）的解，能量函数()E t 按式（34）定义，则能量估计式：()()200 0t Ct Ct E t E e Ce f dxdt t T Ω≤+≤≤⎰⎰（35）成立．其中，C 为一个不依赖于u 的正常数．证明用u 乘以式(31)，并在Ω上关于x 积分，就得到：()(),11,,i j i n n t ij x x i x i j i u udx a x t u u dx b x t u u cu dx fudx ΩΩΩΩ==⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰⎰⎰ []0,t T ∈ (36) 式左端的第一项可以写成212d u dx dt Ω⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰；当3n ≥时，记12,,,n ααα为侧边界T ∑法向量的方向角，dS 为广义面积微元．令(),1,2,,i ij ij x p a uu i j n ==，固定i ，让1,2,,j n =，利用高维高斯公式[10]，并注意边界条件（它隐含着0Tu ∑=），边界积分项为零，可得()()()()()()12121122121212120cos cos cos = = =Ti i i n i ni i in n i i in n i x x i x x in x x i i in x x x x p p p dSp p p dx xx x a u a u a u udx a u a u a u u dxααα∑ΩΩΩ=++⎛⎫∂∂∂+++ ⎪∂∂∂⎝⎭+++++⎰⎰⎰⎰故对固定的i ，有：()()()()()12121212=i i i n i ni x x i x x in x x i i in x x x x a u a u a u udx a u a u a u u dx ΩΩ-+++++⎰⎰(37)成立，对式(37)关于i 从1到n 求和．式（36）左端的第二项可以写成：(),1,1,1i j i j i i n n n ij x x ij x x ij x x i j i j i j a u u dx a u u dx a u u dx ΩΩΩ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰ （38）将上式的第二项，连同式右端的第三、四项移至等式右边，并将其和记为(),t Q u u dx Ω⎰则有()()()1,1,,i i i n n ti x ij x x i i j Q u u dx fudx b x t u u cu a u u dx ΩΩΩ==⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰则由于系数的可微性假设（1）可得，对一切0t T ≤≤成立()21,i n t T x i Q u u dx C u u u dx ΩΩ=⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭∑⎰⎰ （39）其中T C 为一个不依赖于T 的正常数，但与u 无关．对任意给定的0ε>，有2211122i innnx x i i i nuu dx udx u dx εεΩΩΩ===≤+∑∑∑⎰⎰⎰ （40）取TC αε=，由式（40）就得到()22111,2inntx i i Q u u dx udx C u dx αΩΩΩ==≤+∑∑⎰⎰⎰（41）其中212TT nC C C α=+，将式（41）代入式（36），容易得到2221,11111222i j i n n n ij x x x i j i i dE a u u dx u dx C u dx f dx dt αΩΩΩΩ===⎛⎫⎛⎫+≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰⎰ （42）再注意到由假设（2）有2,11i j i n n ij x x x i j i a u u dx u dx αΩΩ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰ 就可得到()22dEC E t f dx dtΩ≤+⎰ （43）其中2121C C =+．在式（43）两边乘以2C t e -再对t 积分，，并放大被积函数，即可得 ()()200t Ct Ct E t E e Ce f dxdt Ω≤+⎰⎰定理证毕．5.5 能量不等式的应用5.5.1 初边值问题解的唯一性热传导方程是抛物型方程的典型代表．下面考虑二维热传导方程的初边值问题()2t xx yy u a u u f =++ （44）()0,t u x y ϕ== （45） (),,u x y t μΓ= （46）这里，Γ表示Ω的边界，应用能量不等式可得如下定理．定理8 若热传导方程的初边值问题的解存在，则其解唯一．证明设1u ，2u 是该定解问题的两个解，则其差12u u u =-满足相应的齐次方程及齐次初始条件和齐次边界条件．此时的齐次方程满足假设（1）、（2），有（34）式定义的能量函数知，在初始时刻有()00E =，故由能量不等式（35）得：()()22220x y E t u a u u dxdy Ω⎡⎤=++=⎣⎦⎰⎰ 即0x y u u u ===，从而可推出(),,u x y t const =．又由于在初始时刻0u =，故得(),,0u x y t ≡．即12u u =．这样就证明了初边值问题（44）~（46）解的唯一性． 5.5.2 初边值问题解的稳定性为了记号简单起见,对于定义在区域Ω上的函数ϕ和定义在区域上()0,T ⨯Ω的函数f ,常以()2L ϕΩ和()()20,L T f ⨯Ω分别表示()122dxdy ϕΩ⎰⎰和()1220Tf dxdydt Ω⎰⎰⎰．定理9 热传导方程的初边值问题：()2t xx yy u a u u f =++()0,t u x y ϕ== 0u Γ=的解(),,u x y t ，在下述意义下关于初始值ϕ与方程右端项f 是稳定的：对任何给定的0ε>，一定可以找到仅依赖于ε和T 的0η>，只要 ()212L ϕϕηΩ-≤ ()212x xL ϕϕηΩ-≤()212y yL ϕϕηΩ-≤ ()()2120,L T f f η⨯Ω-≤ (47)那么以1ϕ为初值、1f 为右端项的解1u 与以2ϕ为初值、2f 为右端项的解2u 之差在上满足()212L u u εΩ-≤ ()212x xL u u εΩ-≤ ()212y yL u u εΩ-≤ （48）证明记12u u u =-，12ϕϕϕ=-，1f f f =-，则u 满足()2t xx yy u a u u f =++ （49）()0,t u x y ϕ== （50） 0u Γ= （51）方程（49）满足假设（1）、（2），从而利用能量不等式（35），可得：()()()()222000tTCt Ct E t E e Ce f dxdydt C E f dxdydt ΩΩ≤+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰[]0,t T ∈ （52）式中，2C 为一个仅依赖于T 的正常数．记。

抛物型方程讲义No.5

§5 算子半群方法及其应用一、基本思想以热传导方程的初边值问题为例介绍算子半群方法，它亦运用于双曲型方程、Schrodinger 方程等. 考虑用分离变量法求解0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(),0t xx u u x u t u t t u x u x x πππ=<<⎧⎪==>⎨⎪=<<⎩（1）可得201(,)sin n n tn u x t u e nx ∞-==∑，（2）其中002()sin nu u x nx dx ππ=⎰. 解的分析：（A ）若20()[0,]u x L π∈，则级数（2）在0t >时绝对收敛，且对0δ∀>，t δ≥时级数（2）及其关于x 或t 逐项求导所得的级数均一致收敛.（B ）由（A ）可知（2）中给出的(,)u x t 满足（1）中方程和边界条件；又由()22222000110sin ()()12n n t n n tn n u enx u x dx u eππ∞∞--==-=-∑∑⎰可知，当0t →时，(,)u x t 在2L 中收敛于0()u x ，即满足（1）中的初始条件. 故按上述意义，（2）中给出的(,)u x t 满足（1），成为该初边值问题的解.（C ）在（2）中将t 固定，把（2）视为从0()u x 到(,)u x t 的一个映射，记为()S t ，即有0(,)()()u x t S t u x = （3）对t R +∀∈，()S t 是22[0,](0,)L L ππ→的一个线性映射. 若12,t t R +∈，对20()[0,]u x L π∀∈，211001()()sin n t n n S t u x u enx ∞-==∑，且()221221221001()01201()()()sin sin ()()n t n t n n nt t n n S t S t u x u e e nxu e nx S t t u x ∞--=∞-+====+∑∑故2112()()()S t S t S t t =+，12,0t t ≥ （4）注意到对20()[0,]u x L π∀∈，00(0)()()S u x u x =，故(0)S I =（恒同算子）综上，算子族{}()|S t t R +∈构成单参数半群.（D ）()S t 是一个单参数线性连续压缩算子半群. 因为对20()[0,]u x L π∀∈，由于0t +→时，00()S t u u →，因此0()S t u 当t R +∈时关于t 为强连续的. 又由于在2[0,]L π中，12221222001122001(,)sin ()2()()2n n t n n t n n t n t n u x t u e nx u e e u e u x ππ∞∞--==∞--=⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑∑∑ （6）从而()1tS t e -≤≤，即()S t 是压缩算子.推广：以上方法具有普适性，可用来求解随时间演化的PDE 初边值问题，如00t duAu dtu u =⎧+=⎪⎨⎪=⎩ （7）其中A 为定义在某个特定函数空间上的偏微分算子（或算子矩阵），当然该初边值问题的边界条件给定，以适当的方式出现在A 的定义域中.问题：如何利用算子半群()S t 表示（7）中的解？即如何利用A 诱导一个单参数算子族{}()|S t t R +∈？二、无穷小生成元定义1 设H 为一给定的Hilbert 空间，{}()|S t t R +∈是H 上的一族线性算子，且满足以下条件：（1）(0)S I =；（2）2112()()()S t S t S t t =+，12,0t t ≥；（3）()()[0,),S t x C H ∈+∞，x H ∀∈；（4）()1S t ≤，则称()S t 是单参数线性连续压缩算子半群，简称压缩算子半群.定义2 {}()|S t t R +∈是Hilbert 空间H 上的压缩算子半群，记集合0()lim h S h x x D x H h +→-⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭存在（8）则可定义D H →的算子B 为0()()(0)lim lim h h S h x x S h S Bx x h h++→→--==，称B 为算子半群()S t 的无穷小生成元.注：定义2中，D 是算子B 的定义域，它是H 中使()S t x 在0t =处关于t 可求导的元素x 的全体；B 表示()S t 在0点关于t 的导算子.问题：若给定()S t ，则必有无穷小生成元B ，但给定无穷小生成元B ，问B 是否能作为某个压缩算子半群的无穷小生成元？下面的引理与定理试图回答这个问题.引理1 无穷小生成元B 的定义域D 是H 上的稠密集，且对0,t x H ∀≥∈，有()()tS xd D B ττ∈⎰，和()()tS t x x B S xd ττ-=⎰ （9）Proof ：记0()tt x S xd ττ=⎰，则对0h >，()0011()()()t tt t S h x x S h x d S x d h h ττττ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 01()()t hth S x d S x d h ττττ+⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰⎰01()()t hhtS x d S x d h ττττ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰令0t +→，右端以()S t x x -为极限，故t x D ∈，且()t Bx S t x x =-. 又0t →时，1t x x t→，所以D 在H 中稠密.引理2 对x D ∀∈，有()1()[0,),,0S t x C H t ∈+∞≥()()(),0ttS t x x BS xd S Bxd t ττττ-==≥⎰⎰ （10）由此可知B 为闭算子.Proof ：若x D ∈，0t ≥，则有()()()111()()()()()()S t h x S t x S h I S t x S t S h x x h h h+-=-=-，0h > 令0t +→，得()()(),,0D S t x BS t x S t Bx x D t +==∈>，（11）其中D +表示右导数. 同理当0h t <<时，有()()11()()()()S t x S t h x S t h S h x x h h--=-- 令0t +→，得()(),,0D S t x S t Bx x D t -=∈> （12）其中D -表示左导数.（11）与（12）表明()1()[0,),S t x C H ∈+∞，且将（11）从0到t 积分，并注意到(0)S I =，则得（10）式.再证B 为闭算子. 事实上，若n x D ∈，且n x x →，n Bx y →在H 中成立，则()011()()hn n n S h x x S Bx d h h ττ-=⎰ 令n →∞，得()011()()hS h x x S yd h h ττ-=⎰ 再令0t +→，得()1()(0)S h xx S y y h-→= 所以x D ∈，且Bx y →，即B 为闭算子.定理1（存在性定理）设:B D H →是Hilbert 空间中给定的线性算子，则B 是某个压缩算子半群的无穷小生成元⇔1(1)(2)0,) 1.B H B D H B λλλλ-⎧⎪⎨∀>-→-≤⎪⎩是中的稠密闭算子;对是的单映射与满映射，且（ Proof ：先证必要性. 若B 是压缩算子半群{}()|S t t R +∈的无穷小生成元，则由上述引理1和2可知，B 为稠密闭算子.又对于0λ>，易证{}()|te S t t R λ-+∈也是一个压缩算子半群，它的无穷小生成元是B λ-，以D 为其定义域，由（9）和（10），得()()(),,0tt e S t x x e S B xd x D t λλττλτ---=-∈≥⎰ （13）()()(),,0tte S t y y B e S yd y H t λλτλττ---=-∈≥⎰ （14）因为()t te S t y e y λλ--≤，所以（13）、（14）中的积分收敛.又由()S t 的有界性可知，当t →∞时，()0te S t x λ-→，()0t e S t y λ-→. 故在（13）、（14）式中，当t →∞时，()(),x e S B xd x D λττλτ∞-=-∈⎰ （15）()(),y B e S yd y H λτλττ∞-=-∈⎰ （16）由（15）式可知，B λ-为单映射，又由于()0B x λ-=，因此0x =.由（16）式可知，B λ-为满映射，因为H 中任一元素均在B λ-的值域中. 由（16）可得，110(),t B y e dt y y y H λλλ∞----≤=∈⎰ （17）故1()1B λλ--≤再证充分性：利用B 构造一个压缩算子半群()S t ，分三步进行. Step1 用有界算子B λ来逼近B .对一切0λ>，B λ-是D H →的单映射与满映射，且1()1B λλ--≤故可取1()B B B λλλ-=-从而22()()()()B B B B B B B λλλλλλλλλλλ+-=-+-=+-=因此21()B B λλλλ-=-+- （18）且2B λλ≤，故B λ是定义在H 上的线性连续算子.由（18）式，当,0x D λ∈>时，1111()B x x B x B x Bx λλλλλλλ------=≤≤从而对一切x D ∈，当λ→∞时，1()B x x λλ--→.由于D 是H 中的稠密集，又由1()1B λλ--≤知，{}1()B λλ--关于λ是一致有界的，故对一切x H ∈，有1()B x x λλ--→. 于是当x D ∈时，1()B x B Bx Bx λλλ-=-→Step2 利用B λ给算子半群{}()|0t B S t e t λλ=≥当0t ≥时，定义()!nB n B e n λλ∞==∑（19）显然B eλ为一个线性有界算子，当0t ≥时，又定义(),0,0t B S t e t λλλ=>≥ （20）易证{}()|0S t t λ≥构成一个压缩算子半群. 事实上，定义1中的条件（1）、（2）显然满足；又从2121(())()()1t B t B tt t S t e e e e e λλλλλλλλλ---+----==≤=可知()S t λ是压缩的. 而当12t t >时，()()1212()()()S t S t xS t t I x λλλ-≤--()()1212121()()()!(1)!nnn n t t B t t B x t t B x n n λλλ∞∞==--=≤-+∑∑从而()S t x λ关于t 连续.显然{}()|0S t t λ≥的无穷小生成元就是B λ，即()(),t D S t x B S t x x H λλλ=∀∈Step3 证明lim ()()S t S t λλ→+∞=存在，且为所要求的半群.对x D ∀∈，有()0()()()()tdS t x S t x S t S x d d λμμλττττ-=-⎰()0()()tS t S B x B x x d μλλμτττ=--⎰从而当x D ∈时，{}()S t x λ构成一个关于有限区间中的t 是一致的Cauchy 序列. 于是()S t x λ在D 中关于t 一致收敛.再利用()1S t λ≤可得，对x H ∀∈，()S t x λ在H 中收敛，且当t 属于有限区间时，这种收敛是一致的. 据此可定义()S t ：()lim (),S t x S t x x H λλ→+∞=∀∈ （21）易见()S t 是H 中的线性算子，(0)S I =，1221()()()S t t S t S t +=.由于（21）式中的收敛在有限区间上一致的，且()()[0,),S t x C H λ∈+∞，因此()()[0,),S t x C H ∈+∞.最后()S t 的压缩性可由()S t λ的压缩性导出，从而()S t 满足定义1中的全部条件，故{}()|0S t t ≥构成压缩算子半群.下面证明算子半群()S t 以B 为无穷小生成元. 事实上，若,0x D h ∈>，则()()S t B x S t Bx λλ→在0t h ≤<上一致成立. 由于B λ是算子半群()S t λ的无穷小生成元，故()()hS h x x S B x d λλλττ-=⎰令λ→+∞，得()()hS h x x S Bx d ττ-=⎰所以当x D ∈时，()(0)DS x Bx +=.记C 为算子半群{}()|0S t t ≥的无穷小生成元，则()()D B D D C =⊂，且当x D ∈时Bx Cx =，于是C 是B 的扩张. 从而I C -是I B -的扩张. 由假设知，I B -是满映射，则由前述必要性推导知I C -为单映射，故I C -不能再在()D B 以外定义，否则与I C -为单映射矛盾. 从而有()()D B D C =，B C =，即B 为算子半群{}()|0S t t ≥的无穷小生成元.定理2（唯一性定理）设(),()T t S t 是H 上给定的两个压缩算子半群，它们有相同的无穷小生成元B ，即0()()lim lim ,()h h T h x x S h x xBx x D B h h++→→--==∀∈ 则对0t ∀≥，有()()T t S t =.Proof ：由（16）式知，对y H ∀∈，1()()(),0tte S t ydt B y e T t ydt λλλλ∞∞---=-=∀>⎰⎰ 取z H ∀∈与上式两端作内积，得()()0(),(),,0tt eS t y z dt e T t y z dt λλλ∞∞--=∀>⎰⎰所以对,y z H ∀∈，有()()(),(),S t y z T t y z =故()()S t T t =.三、一般线性算子半群的情形定义3 对H 上的算子族{}()|0S t t ≥，若满足定义1中的条件（1）、（2）、（3），则称()S t 是单参数线性连续算子半群，或简称0C 算子半群.又若()S t 对t R ∀∈有定义，且定义1中的条件（2）对12,t t R ∀∈成立，则称()S t 为0C 算子群.定理3 若{}()|0S t t ≥是Hilbert 空间H 上的0C 算子半群，则必有与t 无关的常数M 与β，使得()t S t Me β≤证明略去.注：对一般的0C 算子半群，可定义其无穷小生成元，其定义域及算子本身仍可表示成定义2中的D 和B .一般0C 算子半群与其无穷小生成元的关系可由如下Hill-Yoshida 定理给出.定理 4 设{}()|0S t t ≥是Hilbert 空间H 上的0C 算子半群，()tS t Me β≤. 算子:B D H →为()S t 的无穷小生成元，则（1）B 是H 中的稠密闭算子；（2）对任意复数λ，若Re λβ>，则B λ-是D H →的单映射与满映射，且对n ∀，()()Re nn B M λλβ---≤-.反之，若B 为定义在D H ⊂上的一个线性算子，满足条件（1）、（2），则B 必为一个0C 算子半群()S t 的无穷小生成元，且()t S t Me β≤证明略去.四、算子半群方法在抛物线方程的初边值问题中的应用定义4 设A 为Hilbert 空间H 上的线性算子，若它满足Re(,)0Ax x ≥，则称算子A 为增生的（accretive ）.定理 5 线性算子A -可作为H 上某个压缩算子半群的无穷小生成元的充分必要条件是：（1）A 是H 中的稠密闭算子；（2）A 是增生算子；（3）对某个0λ>，A λ+是满映射. 证明略去.利用算子半群方法求解抛物型方程的初边值问题的步骤： Step1 将其化成抽象问题00t duAu dtu u =⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 其中A 是一个微分算子，A 的定义域应将边界条件包括在内.Step2 当A 满足一定条件时，作出一个算子半群{}()|0S t t ≥，它以A -为无穷小生成元. Step3 求得抽象问题的解0()S t u . Step4 回到定解问题，得所需之解.例：考虑,1100(0,)()()()(,),,0(22)()(23)0(24)n n n ij i i j i i j i t T u u ua xb xc x u f x t x R t T t x x x u u x u ===⨯∂Ω⎧⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎪-++=∈Ω⊂<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎨=⎪⎪⎪=⎩∑∑其中系数()ij a x 对称，()(),(),()ij i a x b x c x C∞∈Ω，ija满足一致椭圆条件：2,11(),0nnijiji i j i a x ξξαξξ==≥∀≠∑∑记0,11()()()n n ij i i j i ij i u uL u a x b x c x u x x x ==⎛⎫⎛⎫∂∂∂=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭∑∑， 2()H L =Ω，{}10(),D u u H L u H =∈Ω∈ 于是有如下定理：定理6 在上述假设下，又设0()u x D ∈，0f =，则存在唯一解()()10(,)[0,),[0,),u x t C T H C T D ∈它满足（22）、（23），且对0t ∀≥，10()u D H ∈⊂Ω，并按迹的意义满足（24）.证明略去.对0f ≠，有下面定理：定理7 在上述假设和定理5的假设下，设()1[0,),f C T H ∈，则存在唯一解()()10[0,),[0,),u C T H C T D ∈.证明略去.。

k-Hessian方程径向解的存在性与多解性

2021,41A (1):63-68数学物理学报http: // act a k -Hessian 方程径向解的存在性与多解性梁载涛单雪梦(安徽理工大学数学与大数据学院安徽淮南232001)摘要：该文主要研究了 k -Hessian 方程的Dirichlet 问题.利用Leggett-Williams 不动点定理，得到了一些关于非平凡径向解的存在性与多解性结论.关键词：径向解；Dirichlet 问题；k -Hessian 方程；Leggett-Williams 不动点定理.MR(2010)主题分类：34B15; 35A20; 35J93 中图分类号：O175.8 文献标识码：A文章编号：1003-3998(2021)01-63-061引言与主要结论考虑下列关于k -Hessian 方程的Dirichlet 问题S k (D 2u ) = /(l x l , -u ), x e B (l),(1.1)u = 0, x e d B (1),其中 k e {1, 2 …,n }, B (1) = {x e R n : |x < 1}, f e C ([0,1] x R +, R +), R + = [0, +x ), S k (D 2u )为k -Hessian 算子，它是关于D 2u 的特征值的k 次初等对称函数.具体表达式如下S k (D 2u ) = P k (A )= 卩入讥入力…入冰,1<i i <n 其中A =(入i ，入2，…,A n )为Hessian 矩阵D 2u 的特征值.k -Hessian 方程起源于流体力学、几何问题以及其它应用学科.例如，当k = n 时， k -Hessian 方程可以描述Weingarten 曲率和反光体的形状特征.近年来，许多学者针对k - Hessian 方程Dirichlet 问题的径向解进行了讨论，并取得了一些经典的结果.例如，Wei 在文献[1]中讨论了问题(1.1)径向解的存在性，其中f (|x |, -u ) = A (-u )p + (-u )q , A 是一个实参数，p> 0且q> 0•根据文献[2]中的分析方法，得到如下结论.定理1.1[1，Theorem1-3〕假设k<号且0 <p<k<q< i n -^ .则存在一常数人> 0使得(1) 当0 < A < A 时，问题(1.1)至少存在两个负径向滋；(2) 当A =人时，问题(1.1)至少存在一个负径向解；收稿日期：2019-10-09;修订日期：2020-01-03E-mail: liangzai ***********; aus **************基金项目：国家自然科学基金(11901004)和安徽省自然科学基金(1908085QA02)Supported by the NSFC (11901004) and the NSF of Anhui Province(1908085QA02)64数学物理学报Vol.41A(3)当入〉A 时，问题(1.1)不存在径向解.与此同时，Wei 还应用Atkinson 和Peletier 在文献[3]中建立的方法得到了如下结论.定理1.21The°re 沁4]假设2k < n < 4k , k<p<气妒且$ =•则存在一常数A 〉0使得：(1)当入〉A 时，问题(1.1)至少存在两个负径向解；(2)当0 <\< A 时，问题(1.1)不存在径向解.此外，Wei 在文献⑷中得到了一些关于问题(1.1)负径向解存在唯一性的结果.为了更全面地了解问题(1.1)径向解的存在性结果，请参考文献[5-14]及其参考文献.但值得注意的是，上述文献主要研究了问题(1.1) 一个或两个径向解的存在性，而关于三个或三个以上径向解的存在性研究相当少.在此启发，该文继续研究这一问题.本文将研究问题(1.1)三个以及任意多个非平凡径向解的存在性.令u (x ) = 3(r ), r = |x |,则问题(1.1) 可化简为下列边值问题C k -K r n -k 3)k )' = kr n -1f (r, —3), r G (0,1),』(0)=0, 3(1) = 0.作变量替换v = -3,则问题(1.2)等价于下列问题C k -1(r ”_k (-V )k )' = kr n -1f (r,v ), r G (0, 1),v '(0)=0, v (1) = 0.(1.2)(1.3)根据Leggett-Williams 不动点定理[15],得到了如下结论.定理(A i )(A 2)(A 3) 1.3假设存在正常数e , a , b 和4且0 <0 < 2和0 < a < b < 6d < d 使得对于任意的(r, v ) G [0,1] x [0, a ]，有 f (r, v ) <对于任意的(r, v ) G [0,1] x [0, d ],有 f (r, v ) <对于任意的(r, v ) G [0,1] x [b, I ]，有 f (r, v ) >2k nC n - 1 a k k2k nC n - \d k nC k((I )k .k k -1n — 1则问题(1.3)至少存在3个正解v i ,v 2,v 3满足||v i|| < a, min v 2(r ) > b, ||v 3〔| > a with min v 3(r ) < b, (1.4)1 e <r <i -e 其中 ||训=sup |v i (r )|, i = 1, 3.r 曰0,1]此外，定理1.3还可以推广到如下结论.定理 1.4 假设存在正常数 0 <e < 2, 0 < a i < b l < ed i < d i <a 2 <b ? < 0d 2 <d 2 < …<a m < b m < ed m < d m , m = 1, 2,…，使得(C l )对于任意的(r, v ) G [0,1] x [0, a i ],有 f (r, v ) < ""[—卅,i = 1, 2, ••• ,m ；(C 2)对于任意的(r, v ) G [0,1] x [0, d i ],有 f (r, v ) < 兰三空,i = 1,2, ••• ,m ；(C 3)对于任意的(r, v ) G [0,1] x [b i ,务]，有 f (r, v ) > k ((i —[—-眄(务)",i = 1, 2, •••, m . 则问题(1.3)至少存在2m +1个正解.最后，值得注意的是，本文首次得到了关于k -Hessian 方程任意多个非平凡径向解的存在性结论.此夕卜，本文应用Leggett-Williams 不动点定理来研究k -Hessian 方程径向解的存在性，该方法目前还没有应用到该问题的研究.本文的其余部分结构如下：在第2节中，给出了一些预备知识.定理1.3和1.4的证明将在第3节中给出.第4节给出了一个例子来验证本文的结论.No.1梁载涛等：k-Hessian方程径向解的存在性与多解性65 2预备知识设X是一个实的Banach空间且K是X中的一个锥，如果y:K t[0,+Q是连续的映射且满足Y(入t+(1—入)s)>入y(t)+(1—入)Y(s),V t,s G K,V A G[0,1],则映射Y是K上的一个非负连续凹函数.对于常数a,b且0<a<b,设K(y,a,b)={v G K:y(v)>a,||训<b},K a={v G K:||v||<a}.引理2.1药]令t厶K d t K d是一个全连续算子，Y是K上的一个非负连续凹泛函且使得Y(v)<||v||,V v G K d.假设存在常数a,b,c,d且0<a<b<c<d使得(H i)对于v G K(y,b,c),有{v G K(y,b,c):y(v)>b}=0和y(T v)>b;(H2)对于||v||<a,有||Tv||<a;(H3)对于v G K(y,b,d)且||Tv||>c，有y(T v)>b.则T至少存在3个不动点v i,v2,v3G K d满足||vi||<a,y(©2)>b,|闷|>a且y(©3)<b.3定理1.3和1.4的证明令X=C[0,1]和||v||=sup|v(r)|.设K是X中的锥r e[0,1]K={v G X:v(r)>0,r G[0,1]且min v(r)>创训}.r e[e,i-e]在K上定义一个线性算子T,如下Tv(r)=f(右s n-1f(s,v(s))d s)k d t,v G K.根据文献[9,引理2.2]知如果v G K是T的一个不动点，则v是问题(1.3)的一个正解，并且对任意v G K，有Tv(r)>0,Tv'(r)<0,Tv"(r)<0且min Tv(r)>0||Tv||.(3.1)r E[&,1~&]因此，T(K)c K.与此同时，根据验证紧连续算子的标准过程，可以很容易地证明T在K 上是紧连续的(详见文献[9]).定理1.3的证明对于v G K,定义v(r).y(v)min&<r<1-e显然，y是K上的一个非负连续凹函数且对于v G K有y(v)<||v||.66数学物理学报Vol.41A令上=|，如果b <如那么d>c .首先证明T : K d -応.根据假设条件(A 2),对任意的v e K d ,看忆训閱/(石甘"〔s n-1f (s,v (s ))d ^ 切tk ~ns n-1f (s,v (s ))d s) fc d t (右t k -n 1d k k —s k d t类似地，可以证明T : K a - K a .故引理2.1的条件(H 2)成立.接下来，将验证引理2.1的条件(H 1)是否满足.令v = 0(b + c ),则v e K 且c > sup |v (r )| > v (r ) > 呵o ,1]min v (r )e <r <1-e Y (v ) > 0c = b,这意味着{v e K (7, b, c ) : y (v ) > b } = 0.此外，由于v e K (Y,b,c ),则有b < v (r ) < c = b ，对于r e [0,1 - 0].根据假设条件(A 3),有Y (Tv (r ))min Tv (r )e <r <1-e b.d t最后验证引理2.1的条件(H 3).假设v e K (Y,b,d )且||Tv|| > c ,根据(3.1)式，有Y (Tv (r )) = min Tv (r ) > 0||Tv|| > 0c = b.到目前为止，列理2.1的所有条件都已经满足.故引理2.1保证了问题(1.3)至少存在3 个正解v 1,v 2,v 3 e K d 且满足(1.4)式.最后，如果b = 0d ,那么c = d .显然，结论仍然是成立的，因为若c = d ,引理2.1的条件(H 1)相当于条件(企).定理1.3证毕. _ I定理1.4的证明类似于定理1.3的再明二同样可以证明问题(1.1)在K d i 中至少存在三个不同的径向解.然叫只能肯定在K d i /K d i -i , i = 2, 3, •••申中至少存在两个不同的解，因为第三个解可能在K d… j<i , i = 2, 3, ••• 中•因此，根据归纳法可知，问题(1.1) 至少存在2m +1个不同的径向解.定理1.4证毕.INo.1梁载涛等：k-Hessian方程径向解的存在性与多解性67 4应用在本节中，给出了一个例子来验证本文的结果.例1考虑下面的Dirichlet问题S k(D2v)=adx l j-—爲,x G B(1),v=0,x G dB(1),其中a:[0,1]t(0,x)是一个连续函数，p,q是正常数.结论假设存在正常数0,b且0<0<*使得nc n-1(1+b2q)<ak护b p-k((1—e)n—e n)<a*‘(4.1) (4.2)其中a*=min a(r).若2q+k>p>^.p>2q,则问题(4.1)至少存在3个不同的径向r e[0,1]解.证问题(4.1)可以看作是问题(1.1)的特例，其中v pf(r,v)=a(r)i+v q.根据p>2q,可知/(r,v)在区间v G(0,+x)是单调递增的.由(4.2)式可得f(r，v)>几讪>肖>业1—:n--沪)g几V(r,v)g[0,1]x[砖],这意味着定理1.3的条件(H3)成立•此外，通过计算可知对于r G[0,1],有lim竺工=0和lim竺工=0v t0+v k v t+x v k因此，存在常数a,d且0<a<b<0d<d使得2k nC k-1a fc/(r,v)<------n-_，对任意(r,v)G[0,1]x[0,a];k2k nC k-1d k/(r,v)<——，对任意(r,v)G[0,1]x[0,d].k则根据定理1.3,可知问题(4.1)至少存在3个不同的径向解.参考文献[1]Wei W.Existence and multiplicity for negative solutions of k-Hessian equations.J Differential Equations,2017,263:615-640[2]Ambrosetti A,Garcia J,Peral I.Multiplicity of solutions for semilinear and quasilinear elliptic problems.J Funct Anal,1996,137:219-242[3]Atkinson F V,Peletier L A.Emden-Fowler equations involving critical exponents.Nonlinear Anal,1986,10:755-776[4]Wei W.Uniqueness theorems for negative radial solutions of k-Hessian equations in a ball.J DifferentialEquations,2016,261:3756-377168数学物理学报Vol.41A[5]Covei D P.A necessary and a su伍cient condition for the existence of the positive radial solutions to Hessianequation and systems with weights.Acta Math Sci,2017,37:47—57[6]de Oliveira J F,do(5J M,Ubilla P.Existence for a k-Hessian equation involving supercritical growth.JDifferential Equations,2019,267:1001-1024[7]Dieu N Q,Dung N T.Radial symmetric solution of complex Hessian equation in the unit plexVar Elliptic Equa,2013,58:1261-1272[8]Escudero C,Torres P J.Existence of radial solutions to biharmonic k-Hessian equations.J DifferentialEquations,2015,259:2732-2761[9]Feng M.New results of coupled system of k-Hessian equations.Appl Math Lett,2019,94:196-203[10]He J,Zhang X,Liu L,Wu Y.Existence and nonexistence of radial solutions of the Dirichlet problem fora class of general k-Hessian equations.Nonlinear Anal:Model Control,2018,23:475-492[11]Sanchez J,Vergara V.Bounded solutions of a k-Hessian equation in a ball.J Differential Equations,2016,261:797-820[12]Sanchez J,Vergara V.Bounded solutions of a k-Hessian equation involving a weighted nonlinear source.J Differential Equations,2017,263:687-708[13]Wang C,Bao J.Necessary and sufcient conditions on existence and convexity of solutions for Dirichletproblems of Hessian equations on exterior domains.Proc Amer Math Soc,2013,141:1289-1296[14]Wang X J.The k-Hessian Equation//Change Alice,et al.Geometric Analysis and PDEs.Berlin:Springer,2009:177-252[15]Leggett R W,Williams L R.Multiple positive fxed points of nonlinear operators on ordered Banach spaces.Indiana Univ Math J,1979,28:673-688Multiplicity of Radial Solutions of k-Hessian EquationsLiang Zaitao Shan Xuemeng(School of Mathematics and Big Data,Anhui University of Science and Technology,Anhui Huainan232001) Abstract:This paper concerns with a Dirichlet problem of the k-Hessian equation.By usingthe Leggett-Williams fixed point theorem,we get some results on the existence of triple andarbitrarily many nontrivial radial solutions.Key words:Radial solutions;Dirichlet problem;k-Hessian equations;Leggett-Williams fixed point theorem.MR(2010)Subject Classification:34B15;35A20;35J93。

抛物型2-hessian方程的刚性定理

抛物型2-hessian方程的刚性定理首先，我们回顾一下Hessian方程的定义。

Hessian方程是定义在开集Ω上的一个二阶偏微分方程，其一般形式可以表示为：det(Hess(u)) = f(x)其中，Hess(u)表示u的Hessian矩阵，f(x)是已知的函数。

我们考虑求解这个方程的局部解。

假设u是Hessian方程的解，那么根据方程的定义，Hess(u)的行列式应该等于f(x)。

为了简化讨论，我们假设Ω是包含原点的一个球，并取球心原点。

根据泰勒展开的二次项，我们可以将u在原点附近进行局部展开：u(x) = u(0) + ∇u(0)·x + 1/2 x·Hess(u(0))·x + o(，x，^2)其中，∇u(0)是u在原点的梯度，Hess(u(0))是u在原点的Hessian 矩阵。

根据Hessian方程的定义，我们可以得到：det(Hess(u(0))) = f(0)因此，如果Hessian矩阵在原点处满足行列式的条件，即det(Hess(u(0))) = f(0) ≠ 0，那么u的解在原点附近可以得到良好的局部展开，即存在一定的正则性。

进一步，我们可以研究Hessian矩阵的偏导数。

假设u是Hessian方程的解，那么根据方程的定义，每个Hessian矩阵的元素都满足一定的偏微分方程。

我们可以推导出Hessian矩阵的偏导数的表达式，即：∂^2u/∂x∂y=∂^2u/∂y∂x这个等式表明，Hessian矩阵在原点附近具有对称性。

这种对称性可以进一步改善解的正则性。

综上所述，抛物型2-Hessian方程的刚性定理可以总结为：当Hessian矩阵在原点处满足行列式的条件，即det(Hess(u(0))) = f(0) ≠ 0，并且满足Hessian矩阵的偏导数的对称性时，方程的解具有一定的正则性。

这个定理在数学物理领域具有广泛的应用。

例如，在偏微分方程的数值解中，这个定理可以用作刚性条件的一种判断方法。

亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解

亥姆霍兹方程十一种正交坐标系下的展开形式和部分解
亥姆霍兹方程是一种常见的偏微分方程，描述了波动现象的传播和衰减过程。

在物理学和工程学中，亥姆霍兹方程被广泛应用于声波、电磁波和光波等领域。

为了更好地理解和解决亥姆霍兹方程，人们提出了各种正交坐标系下的展开形式和部分解方法。

在直角坐标系下，亥姆霍兹方程可以写成：
∇²u + k²u = 0，
u是待求函数，∇²是拉普拉斯算子（也叫做二阶导数算子），k是波数（与波长和频率成反比）。

在直角坐标系下，亥姆霍兹方程的解可以采用分离变量法。

假设u(x,y,z)可以表示为三个变量的积：u(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)。

将u(x,y,z)代入亥姆霍兹方程，可以得到三个方程：
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) + Z''(z)Z(z) + k²X(x)Y(y)Z(z) = 0，
然后可以分别研究这三个方程，得到X(x)、Y(y)和Z(z)的解，最后将它们乘积起来就得到了u(x,y,z)的解。

1/r ∂/∂r (r ∂u/∂r) + 1/r² ∂²u/∂θ² + ∂²u/∂z² + k²u = 0。

除了直角坐标系和柱坐标系，亥姆霍兹方程还可以应用于球坐标系、椭球坐标系、柱面坐标系等其他正交坐标系。

每种坐标系下的亥姆霍兹方程都有相应的展开形式和部分解方法。

薛定谔方程和抛物方程

薛定谔方程和抛物方程
薛定谔方程和抛物方程是两个不同的方程，分别用于描述量子力学和经典力学中的物理现象。

薛定谔方程，也称为量子力学的定态薛定谔方程，是描述微观粒子（如电子、原子等）行为的基本方程。

它是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述粒子波函数的时间演化。

薛定谔方程的一般形式是:
HΨ = EΨ
其中，Ψ是粒子的波函数，H是哈密顿算子，E是粒子的能量。

薛定谔方程的解决给出了粒子在不同能级上的波函数及能谱。

抛物方程，也称为二阶偏微分方程，是一种经典物理中常见的方程形式。

它描述了一维空间中的平衡状态下某个物理量随时间变化的规律。

一般形式的抛物方程可以写作:
∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²
其中，u是待求的物理量，t是时间，x是空间变量，c是传播
速度。

抛物方程可以用来描述热传导、扩散等现象。

总之，薛定谔方程和抛物方程分别适用于量子力学和经典力学中的不同物理现象，具有不同的数学形式和应用范围。

K-Hessian方程的一个Liouville型结果

K-Hessian方程的一个Liouville型结果1. 引言1.1 背景介绍K-Hessian方程是一类非线性偏微分方程，它在几何分析和微分几何领域中具有重要的应用。

从数学上讲，K-Hessian方程可以被表示为一个高阶非线性椭圆型偏微分方程。

随着几何分析的发展，人们对K-Hessian方程的研究也愈发深入，其中涉及到许多复杂的理论和技巧。

K-Hessian方程的解的性质一直是研究的焦点之一。

Liouville型结果是指关于K-Hessian方程解的性质和分类的一类结果。

通过对K-Hessian方程进行Liouville型结果的研究，可以更好地理解方程的解的结构和特征，为进一步研究和应用奠定基础。

在过去的研究中，已经取得了一些关于K-Hessian方程的Liouville型结果的定理，这些定理对于揭示方程解的性质和特点具有重要的意义。

通过对这些定理的详细讨论和证明，可以进一步加深我们对K-Hessian方程解的理解，并为其在不同领域中的应用提供理论支持。

【内容结束】1.2 问题提出K-Hessian方程的一个Liouville型结果是一个重要的数学问题，它涉及到对K-Hessian方程的研究及其在几何分析中的应用。

在这个问题中，我们将探讨K-Hessian方程的性质，以及通过Liouville型结果得到的一些有趣的结论。

具体来说，我们将研究K-Hessian方程的解的性质，并讨论这些解在不同情况下的表现。

从而揭示K-Hessian 方程的一些新的特征和规律。

通过对K-Hessian方程的研究，我们可以更好地理解其在数学和几何中的应用，并为未来的研究工作提供新的方向和思路。

本文将从K-Hessian方程的定义开始，介绍Liouville 型结果的定理，讨论证明思路和数学推导，最后通过实例分析展示K-Hessian方程的一些具体应用。

通过本文的研究，读者将对K-Hessian方程及其Liouville型结果有一个更全面和深入的了解。

抛物型方程的galerkin有限元方法

抛物型方程的galerkin有限元方法抛物型方程是一类重要的偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。

而galerkin有限元方法是一种常用的数值解法，可以有效地求解抛物型方程。

本文将介绍抛物型方程的galerkin有限元方法。

一、抛物型方程抛物型方程是一类偏微分方程，其一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (a\nabla u) + cu = f $$其中，$u$是未知函数，$a$和$c$是已知函数，$f$是给定函数。

抛物型方程的特点是时间和空间都是连续的，因此需要使用时间和空间上的离散化方法来求解。

二、galerkin有限元方法galerkin有限元方法是一种常用的数值解法，它将偏微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，然后通过求解系数来得到解。

具体来说，galerkin有限元方法将偏微分方程的解表示为：$$u_h(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$其中，$u_i(t)$是待求系数，$\phi_i(x)$是一组基函数，$N$是基函数的个数。

将上式代入偏微分方程中，得到：$$\sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial u_i}{\partial t} - \nabla \cdot(a\nabla \phi_i) + c\phi_i \right) \phi_j = \int_\Omega f\phi_j $$对于任意的$j=1,2,\cdots,N$，上式都成立。

因此，可以得到一个关于系数$u_i(t)$的线性方程组，通过求解该方程组即可得到解$u_h(x,t)$。

三、抛物型方程的galerkin有限元方法将抛物型方程代入galerkin有限元方法中，得到：\sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial u_i}{\partial t} - \nabla \cdot (a\nabla \phi_i) + c\phi_i \right) \phi_j = \int_\Omega f\phi_j $$对于任意的$j=1,2,\cdots,N$，上式都成立。

抛物型方程范文

抛物型方程范文抛物型方程是描述一类物理现象的偏微分方程，主要用于描述质点在受力作用下的运动。

常见的抛物型方程包括热传导方程、亥姆霍兹方程和波动方程等。

在这篇文章中，我将从热传导方程和亥姆霍兹方程两个方面来介绍抛物型方程的基本概念、特点和解法。

热传导方程是描述物质热传导过程的方程，其一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \cdot\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$表示物质的温度分布，$x$表示空间变量，$t$表示时间变量，$\alpha$表示热扩散系数。

这个方程可以用来描述物体在温度差驱动下的热传导过程。

其特点是，如果初始时刻温度分布和边界条件已知，则可以求解出任意时刻的温度分布。

亥姆霍兹方程是描述波动现象的方程，其一般形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + k^2 u = f$$其中，$u(x)$表示波函数，$x$表示空间变量，$k$表示波数，$f(x)$表示外力源。

这个方程可以用来描述各种波动现象，如声波、光波等。

其特点是，如果已知边界条件和外力源，则可以求解出任意位置的波函数。

下面我们来具体介绍一些解抛物型方程的方法。

对于热传导方程，最常用的求解方法是分离变量法。

这种方法假设温度分布可以表示为一个时间函数和空间函数的乘积形式，然后将原方程代入得到两个常微分方程，再求解这两个方程得到温度分布。

但是这种方法只适用于一些简单的边界条件和外力源。

对于亥姆霍兹方程，常用的求解方法是格林函数法。

这种方法是先求解格林函数的方程，再利用格林函数和外力源的卷积来得到波函数。

格林函数可以看作是在单位脉冲作用下产生的响应波函数，因此利用外力源的线性叠加性质，可以得到任意外力源下的波函数。

此外，还有一些其他的数值方法可以用来求解抛物型方程，如有限差分法、有限元法等。

柯西函数方程及其推论的应用

柯西函数方程及其推论的应用
柯西函数方程(Cauchy-Euler Equation)是一类常微分方程，用于描述二维空间内的曲线，它可以描述出各种类型的曲线，如直线，抛物线，椭圆，双曲线等。

柯西函数方程是由法
国数学家奥古斯丁•柯西(Augustin Cauchy)在1789年提出的，经过重新推导可以被改写
成如下的形式：
y′′+P(x)y′+Q(x)y = 0
其中，P(x)和Q(x)是任意可微定义的函数。

柯西函数方程的推导非常重要，它有着广泛的应用，最主要的应用就是用来求解复杂的常微分方程，比如拉普拉斯方程、Burgers方程
等等。

此外，柯西函数方程还可以用来解决物理学和工程学应用中例如振动数学分析、电子电路
中电流电压等问题。

在工程学领域，柯西函数方程还可以用来解决悬臂梁固有振动的问题。

此外，法国分析家保罗•欧曼(Paul Euler)还把柯西函数方程用来求解其他问题，如圆锥
体的体积和物体的重量等。

另外，柯西函数方程的推导还可以帮助我们求解许多难以求解的常微分方程，比如拉普拉
斯方程、Burgers方程、贝叶斯方程等等。

这些方程描述了物理现象及其它复杂运动，因此，柯西函数方程的推导在很多方面有着重要的应用，广泛应用于物理学及工程学中。

总之，柯西函数方程的推导是十分重要的，它的推导可以求解许多难以求解的复杂常微分
方程，在物理学和工程学中有很多应用。

柯西函数方程的推导可以帮助我们更好地理解和
描述复杂的物理现象，因此，它在数学研究和物理学领域具有重要意义。

科茨公式的代数精度

科茨公式的代数精度科茨公式，也称为科茨-哈默尔公式或哈默尔-科茨公式，是一个计算多重定积分的公式，具有高代数精度。

它是由德国数学家埃利亚斯·科茨在19世纪中期提出的，并在后来由帕尔·哈默尔进一步完善。

在开始介绍科茨公式之前，让我们先回顾一下基本的单一变量微积分原理。

在一维情况下，对于一个函数f(x)，我们可以通过等距节点上的采样点来计算它的定积分。

例如，使用复合中点法或复合辛普森法等方法计算定积分的近似值。

这些方法中，复合辛普森法是最常见的一种方法，它通过将区间等分为子区间，并在每个子区间上用一个二次多项式逼近函数f(x)，然后对所有子区间上的逼近多项式进行加权求和，从而得到近似的定积分值。

这个方法的代数精度是2n-1，其中n是子区间的数量。

然而，在多维情况下，这个计算方法不再适用。

在多维情况下，我们需要计算多重定积分，即对于一个多变量函数f(x1, x2, ..., xn)，我们需要计算其在一个n维区域上的定积分。

这样的多重定积分在科学和工程领域中经常出现，例如在热力学、流体力学、电磁学和量子力学等领域。

科茨公式是一种用于计算多重定积分的方法，它通过将多重定积分转化为一系列一维定积分的乘积形式，从而提供了一个高代数精度的计算方法。

具体而言，科茨公式将n维空间中的多重定积分转化为低维空间中的一系列一维定积分的乘积形式。

这些一维定积分可以通过前面提到的单一变量微积分方法来计算，从而得到多重定积分的近似值。

科茨公式的代数精度可以通过多种方法来证明。

其中一种方法是使用泰勒展开，将原始函数在定积分区域中展开成一系列多项式的和。

然后，通过对这些多项式进行恰当的积分近似，以获得定积分的近似值。

由于泰勒展开的高阶项在积分中起到了减弱作用，因此科茨公式具有较高的代数精度。

科茨公式的一个重要应用是在数值计算和科学计算中。

通过利用科茨公式，我们可以更准确地计算包含多重定积分的数学和物理问题。

尽管科茨公式在计算上更为复杂，但由于其高代数精度，它通常可以提供比较准确的数值结果。

K-Hessian方程的一个Liouville型结果

K-Hessian方程的一个Liouville型结果K-Hessian方程是一个具有广泛应用的偏微分方程，它在几何分析、数学物理和其他领域都有重要的意义。

在研究K-Hessian方程的性质时，人们经常会涉及到Liouville型结果，即有关方程解的性质和行为的结果。

在本文中，我们将讨论K-Hessian方程的一个Liouville型结果，以及其在数学和其他学科中的重要性。

让我们来了解一下K-Hessian方程是什么。

K-Hessian方程是一个高阶非线性偏微分方程，它的一个典型形式可以写为：det(Hess(u) + λg) = f(x, u)Hess(u)表示函数u的Hessian矩阵，g为给定的Riemannian度量，λ为常数，f(x, u)为已知函数。

K-Hessian方程的研究涉及到几何分析、微分几何和非线性偏微分方程等领域，它具有复杂的性质和丰富的数学结构。

定理：设u(x)是K-Hessian方程det(Hess(u) + λg) = f(x, u)的一个非负解，且满足一些适当的增长条件，则存在一个正的常数C，使得对于任意的半径为R的球B_R(x_0)，有sup_{B_R(x_0)} u ≤ C(1 + R^2)这个定理告诉我们，对于K-Hessian方程的非负解，其在有界区域内的增长是受到限制的。

换句话说，解不能在有界区域内无限增长，它的增长受到一定的约束。

这个结果对于我们理解K-Hessian方程解的性质和行为具有重要的意义。

这个Liouville型结果的证明涉及到一些复杂的分析技术和几何方法，需要借助于微分几何、偏微分方程和几何分析等多个领域的知识。

在证明过程中，人们常常需要利用到K-Hessian方程的具体结构和常数值等信息，以及相关的不等式和估计等工具。

K-Hessian方程的Liouville型结果还对于几何分析和微分几何等领域具有重要的意义。

通过研究K-Hessian方程解的性质和行为，可以揭示Riemannian度量和几何结构之间的内在联系，以及在流形上的几何流动和曲率调节等重要问题。

一类抛物型k-Hessian方程

一类抛物型k-Hessian方程任长宇;牛颖;袁洪君【摘要】考虑抛物型k-Hessian方程-ut+log Sk(λ(D2u))=(φ)(x,t,u)的第一初边值问题.对于一般的光滑区域Ω,在方程存在可容许下解的条件下,建立了可容许解的C2,1(-QT)先验估计,并利用连续性方法得到方程可容许解的存在性.当(φ))u≥0时,解是唯一的.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2013(051)003【总页数】8页(P341-348)【关键词】完全非线性;抛物型;Hessian方程【作者】任长宇;牛颖;袁洪君【作者单位】吉林大学数学学院,长春130012;吉林大学数学学院,长春130012;吉林大学数学学院,长春130012【正文语种】中文【中图分类】O175.260 引言及主要结果Hessian方程属于完全非线性偏微分方程,与几何中的曲率度量问题密切相关. 抛物型Hessian方程是Hessian方程的扩展,物体表面按某种曲率进行形体演变的模型都可以归结为抛物型Hessian方程[1-2]. Ivochkina等[3]研究了抛物型k-Hessian方程的第一初边值问题,这里λ(D2u)=(λ1,…,λn)表示未知函数u(x,t)的Hessian矩阵特征值向量. Sk(λ)为λ的k阶初等对称多项式,即文献[4]将此结果由推广到一般的f(λ(D2u)). 文献[5]讨论了如下更一般形式的抛物型Hessian方程: -Dtu+f(λ(D2u+σ))=ψ(x,t). 文献[6-7]借助如下抛物型k-Hessian方程第一初边值问题解的存在唯一性研究了退化椭圆型k-Hessian方程:(1)文献[7]中,取其中Ω为 Rn中的严格k-1-凸区域. 为了得到解的最大模估计,文献[6-7]对ψ有增长阶的限制:|ψ(x,t,z)|≤C0(1+|z|), ∀(x,t,z)∈QT×R.(2)本文考虑如下抛物型k-Hessian方程第一初边值问题:(3)其中:是 Rn中的有界区域;φ(x,t)和ψ(x,t,p)分别为定义在和R上的函数.本文沿用Hessian方程的写法:等. 类似于文献[8]的定义,记Γk为包含(1,…,1)点的集合{λ∈Rn;Sk(λ)>0}. 显然Γk是顶点在原点、包含正锥{λ∈Rn;λi>0}的开凸锥,并且任意交换两个λi,λj都不变. Γk还可以表示[6]为即∀1<i1<…<ik-1<n.如果λ(D2u)∈Γk,则称一个C2类函数u为可容许函数,也称函数u是k-凸的. 显然,对于可容许函数u,问题(3)中的方程为抛物型完全非线性偏微分方程.基本假设条件如下:(H1) 对α∈(0,1),Ω为 Rn中有界区域,(H2) 存在可容许下解满足(H3) 问题(3)中ψ和φ满足直到二阶为止的衔接条件.本文的主要结果如下:定理1 假设条件(H1)～(H3)成立,则问题(3)存在可容许解u∈K,其中若ψu≥0,则解是唯一的.本文不要求区域Ω的形状是k-1-凸的,也不需要ψ满足式(2)的增长阶条件. 但需要假设问题(3)有一个可容许下解为方便,假设-Dtφ(x,t)+F(D2φ(x,t))=ψ(x,t,φ(x,t)), ∀(x,t)∈Ω×{t=0}.定理1中解的唯一性是极值原理的一个直接结论. 借助度理论方法或隐函数定理和Krylov-Safonov估计,可容许解的存在性证明可归结为解u的先验估计[3-7]. 与定理1假设条件中有关的已知量称为“问题数据”,仅依赖问题数据的量称为“可控的”.1 解的一阶导数估计令v(x,t)为如下以t为参数椭圆方程Dirichlet问题的解：由比较原理,有u(x,t)≤v(x,t),∀由于是u的下解,并且∀(x,t)∈∂Ω×[0,T],显然有: 定理2 设u∈K为问题(3)满足定理1条件的可容许解,则存在仅依赖于问题数据的常数M0>0,使得:定理2蕴含了ψ(x,t,u)在上有界,即存在常数ψ0,ψ1,使得ψ0≤ψ(x,t,u)≤ψ1, ∀(4)对于ut的估计,有如下结论:定理3 设u∈K为问题(3)满足定理1条件的可容许解,则存在仅依赖于问题数据的常数C>0,使得证明: 先估计ut的下界. 由于ut在∂pQT上的值可直接由问题(3)的边值条件得到,因此这里只考虑ut 在QT内部的估计. 令G=ut(M-u)-1,这里则在上M-u≥1.显然,如果G在边界∂pQT上某点P0达到其最小值,则存在一个可控常数C>0,使得ut≥-C. 假设G在QT内部某点P0达到其最小值,不妨设该最小值为负数,则有(5)ujt+(M-u)-1utuj=0,(6)并且矩阵(uijt+(M-u)-1(uituj+ujtui+utuij)+2(M-u)-2uiujut)=(uijt+(M-u)-1utuij)≥0. (7)对问题(3)中的方程关于t微分,有-utt+Fijuijt=ψt+ψuut,(8)其中由式(5),(7),(8)及Fijuij=k得因此,存在可控常数C>0,使得ut≥-C.类似地可估计ut的上界. 令G=ut(M+u)-1. 如果G在边界∂pQT上某点P0达到其最大值,则存在一个可控常数C>0,使得ut≤C. 假设G在QT内部某点P0达到其最大值,则有由式(9),(8),(11)得从而有ut≤C.定理4 设u∈K为问题(3)满足定理1条件的可容许解,则存在仅依赖于问题数据的常数M1>0,使得证明：由定理2,只需估计|Du|在QT内部的界即可. 考虑检验函数W=weav2,其中: 不妨设W在QT内某点P0达到最大值,则有将式(13)两端同时乘以w2Fij,有wFijwij-Fijwiwj+2aw2vFijvij+2aw2Fijvivj≤0.(15)由w的定义,w2=1+,进而(16)于是(17)由式(16)可得从而再由式(17),有(18)为了估计式(18)的右端项,将问题(3)中的方程关于xk微分,两边同乘uk后再求和,得(19)在式(14)中将w,v直接代入计算可得于是,式(19)可转化为(20)由式(12),(16)有(21)将式(20),(21)代入式(15)得即注意到Fijuij=k,并且上式右侧有界,因此存在可控常数C1>0,使得2a(1-2av2)Fijuiuj≤C1. 选择a>0充分小,使得(1-2av2)≥1/2,则有Fijuiuj≤C,(22)这里C>0为可控常数.不失一般性,可以假设矩阵(uij)在P0点是对角矩阵. 因此,在P0点还可以假设在P0点|Du|≤nu1. 由式(12),(16),u11=-2avw2<0. 利用f(λ)的如下性质[9-10]:∀λ ∈Γk, λj<0,这里ν0为依赖于的常数. 由式(22),有从而可得|Du|≤M1.2 解的二阶导数估计定理5 设u∈K为问题(3)满足定理1条件的可容许解,则存在仅依赖于问题数据的常数M2>0,使得定理5的证明可以分为|D2u|在QT抛物边界∂pQT上的先验估计和在QT内部的先验估计两部分.1) |D2u|在∂pQT上的先验估计.由问题(3)的初值条件,u(x,0)=φ(x,0),∀x∈Ω,所以只需做u(x,t)在∂Ω×[0,T]上的估计即可. 对∀x0∈∂Ω,通过适当的坐标平移和旋转,不妨设x0为坐标原点,xn为∂Ω的内法向量. 于是在x0附近,∂Ω可表示[8]为其中κα为∂Ω在x0点的主曲率. 由边值条件u(x,t)=φ(x,t),∀(x,t)∈∂Ω×[0,T]可知,在(x0,t)点,有∀α,β≤n-1,(23)从而得到了u的切向二阶导数估计|uαβ(x0,t)|≤C,∀α,β≤n-1.下面用文献[10]的方法做u的切向和法向混合的二阶导数估计. 设x0为∂Ω上一点,通过平移x0点的直角坐标系,可以选择一个 Rn上的单位正交标架场e1,e2,…,en,en为∂Ω的单位内法向量场. 记ρ(x)为x到x0的距离,并且令Ωδ={x∈Ω;ρ(x)<δ}. 由于可选取充分小的δ>0,使得在Ωδ上,有∀x∈Ωδ.(24)记d(x)为x∈Ω到∂Ω的边界距离函数. 由于∂Ω是C4+α光滑的,则在Ωδ内d(x)也是C4+α光滑的. 记对于问题(3)的可容许解u∈K,在Qδ内考虑线性抛物算子: Lv=-Dtv+FijDijv.引理1 存在充分小的可控正常数s,δ,ε和充分大的可控常数N,使得函数满足:Lv≤-ε(1+∑Fii), (x,t)∈Qδ, v≥0, (x,t)∈∂pQδ.证明：由d(x)的定义,对任意的β<n,Dβd=0,且Dnd=1. 所以Ld2=2dLd+2FijDidDjd=2dLd+2Fnn,Ld=-Dtd+FijDijd=FijDijd.显然存在依赖于∂Ω和δ的可控常数C0>0,使得|Ld|≤C0(1+∑Fii).令由于是可容许下解,并且因此可取ε>0充分小,使得w也是可容许函数,并且Sk(λ(D2w))≥ε0/2于利用F的凹性,有其中C1为依赖于的常数. 再利用式(24),有(25)Lv≤C1+C0(s+Nδ)+(C0(s+Nδ)-3ε)∑Fii-NFnn, (x,t)∈Qδ.不失一般性,可假设f1≥…≥fn,于是有∑Fii=∑fi,Fnn≥fn. 由代数-几何平均不等式,有ε∑Fii+NFnn≥nε(Nf1…fn)1/n≥εnμ0N1/n=c1N1/n,(26)其中第二个不等号用到了f(λ)的另一个性质[9-10]: (f1…fn)1/n≥μ0,λ∈Γk,这里μ0为依赖于的一致正常数. 选取s=ε/(2C0),N充分大,使得c1N1/n≥ C1+2ε,再选取δ≤s/N即可完成引理1的证明.引理2 设假设h满足h≥0于∂Ω×[0,T],h(x0,t0)=0,并且-L h≤β(1+∑Fii), (x,t)∈Qδ.则Dnh(x0,t0)≤C,这里C为依赖于和1/ε的常数.证明：由引理1,可以选择A≫B≫1,使得Av+Bρ2-h≥0于∂pQδ, L(Av+Bρ2-h)≤0于Qδ.由抛物算子的极值原理知,Av+Bρ2-h≥0于Qδ. 注意到在(x0,t0)点,Av+Bρ2-h=0,这蕴含了Dn(Av+Bρ2-h)(x0,t0)≥0,即引理2成立.为了估计可容许解的切、法方向的混合二阶导数,将问题(3)中的方程关于xm微分,得-utm+Fijuijm=ψm+ψuum.显然,对每个m=1,2,…,n,有(27)由于u(x,t)加上一个关于x的线性函数后仍然满足问题(3)中的方程,所以可以假设在(x0,t)点对应用引理2,有|uαn(x0,t)|≤C, ∀α<n.从而建立了可容许解u在∂Ω×[0,T]上的切、法方向二阶混合导数的先验估计.下面做法向的二阶导数Dnnu估计. 由于Δ u>0,只需推导出它的上界即可,即Dnnu≤C于∂Ω×[0,T].(29)仿照文献[10]的方法. 记为Γk到λ′=(λ1,λ2,…,λn-1)上的投影,设,由文献[8]知,可以找到的一个支撑面,即存在μ′=(μ1,μ2,…,μn-1)∈Rn-1,满足⊂又由文献[8]中引理6.2,对于可以视为某种意义下λ′到的距离.与估计切向二阶导数时所用的方法(23)一样,在x∈∂Ω点,有Dξη(u-φ)=-Dν(u-φ)Π(ξ,η),其中: ξ,η为∂Ω在x点的单位切向量;ν为单位内法向量;Π(ξ,η)为∂Ω的第二基本型. 引理3 存在一致的常数c0>0,使得d(x,t)=d(λ′(Dξηφ-Dν(u-φ)Π(ξ,η)))≥c0, ∀(x,t)∈∂Ω×[0,T].证明：考虑d(x,t)在∂Ω×[0,T]上的最小值点(x0,t0),只需证明d(x0,t0)≥c0>0即可. 在x0点选择一个直角坐标系e1,e2,…,en,使得en为∂Ω的内法方向,(Dαβu(x0,t0))(1≤α,β≤n-1)为对角矩阵,并且D11u(x0,t0)≤…≤Dn-1,n-1u(x0,t0). 由d(x,t)的定义知,根据文献[8]中引理6.2,对(x0,t0)点附近的点(x,t)∈∂Ω×[0,T],有(30)于是对于边界∂Ω×[0,T]上(x0,t0)点附近的点,由式(23)有(31)由于,因此可以假设(否则引理成立). 于是再次利用文献[8]中引理6.2,有从而可知存在一致正常数c2和δ′≤δ,使得于其中δ意义同引理1. 于是,式(31)蕴含了于(32)其中是上的光滑函数. 注意到及式(27),对应用引理2可得Dnnu(x0,t0)≤C,即λ(D2u)(x0,t0)位于Γk的一个有界子集中. 再由Γk的定义知,对于又由方程Sk(λ(D2u))=exp{ut+ψ(x,t,u)}的先验估计可知,存在一致的常数c3>0,使得dist(λ(Diju)(x0,t0),∂Γk)≥c3. 即蕴含了存在某个正常数c0,d(x0,t0)≥c0.下面证明式(29). 由引理3知∀(x,t)∈∂Ω×[0,T].假设Dnnu(x,t)没有上界,则由文献[8]中引理1.2及Sk(λ)的严格单调性,有矛盾. 从而式(29)成立.2) |D2u|在上的估计.证明对任意方向导数于令其中a>0为待定常数. 显然只需得到W的上界估计即可.若W的最大值在∂pQT上达到,则由前面的结果知W有一致的上界. 若W在内部某点(x0,t0)对某个单位向量ξ达到其最大值,不妨假设ξ=(1,0,…,0). 通过旋转坐标系,使得{Diju(x0,t0)}是对角矩阵,并且u11≥…≥unn. 令λi=Diiu(x0,t0)(i=1,2,…,n),则Fii=fi. 显然,只需估计λ1.由于在(x0,t0)点达到其最大值,则对每个i=1,2,…,n,有在(x0,t0)处微分问题(3)中的方程两次,再利用先验估计及函数F的凹性,有其中C>0为可控常数. 式(34)两端同时乘以Fiiλ1,对1≤i≤n求和,再利用式(37),(33),(35)及(36)有选取a>0充分小,使得则有(38)注意到Sk(λ)的一个性质[11]:则有f1λ1≥Cn,k,其中Cn,k>0为仅依赖于n,k的常数. 于是由式(38)即可得到λ1的上界.综合1),2),即可完成定理5的证明.参考文献【相关文献】[1] Chow B. Deforming Convex Hypersurfaces by the Square Root of the Scalar Curvature [J]. Inventiones Mathematicae,1987,87: 63-82.[2] Andrews B,McCoy J. Convex Hypersurfaces with Pinched Principal Curvatures and Flow of Convex Hypersurfaces by High Powers of Curvature [J]. Trans Amer MathSoc,2012,364(7): 3427-3447.[3] Ivochkina N M,Ladyzhenskaya O A. The First Initial-Boundary Value Problem for Evolutions Generated by Traces of Order m of the Hessian of the Unknown Surface [J]. (Russian) Acad Sci Docl Math,1995,50(1): 61-65.[4] LIU Hui-zhao,WANG Guang-lie. The First Initial-Boundary Value Problem for the Complete-Nonlinear Parabolic Equations Generated by Eigenvalues of Hessian Matrix [J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Jilinensis,1998(1): 27-37. (刘辉昭,王光烈. Hessian 矩阵特征值生成的完全非线性抛物方程第一初边值问题 [J]. 吉林大学自然科学学报,1998(1): 27-37.)[5] REN Chang-yu. The First Initial-Boundary Value Problem for Fully Nonlinear Parabolic Equations Generated by Functions of the Eigenvalues of the Hessian [J]. J Math Anal Appl,2008,339(2): 1362-1373.[6] WANG Xu-jia. A Class of Fully Nonlinear Elliptic Equations and Related Functionals [J]. Indiana Univ Math J,1994,43(1): 25-54.[7] CHOU Kai-seng,WANG Xu-jia. A Variational Theory of the Hessian Equation [J]. Comm Pure Appl Math,2001,54(9): 1029-1064.[8] Caffarelli L,Nirenberg L,Spruck J. The Dirichlet Problem for Nonlinear Second-Order Elliptic Equations,Ⅲ: Functions of the Eigenvalues of the Hessians [J]. ActaMath,1985,155(1): 261-301.[9] LI Yan-yan. Some Existence Results for Fully Nonlinear Elliptic Equations of Monge-Ampere Type [J]. Comm Pure Appl Math,1990,43(2): 233-271.[10] Guan B. The Dirichlet Problem for Hessian Equations on Riemannian Manifolds [J]. Calc Var Part Differ Equa,1999,8(1): 45-69.[11] WANG Xu-jia. The k-Hessian Equation [C]//Geometric Analysis and PDEs. Lecture Notes in Math. Dordrecht: Springer,2009: 177-252.。

K-Hessian方程的一个Liouville型结果

K-Hessian方程的一个Liouville型结果K-Hessian方程是一个重要的偏微分方程，它在几何分析和非线性偏微分方程中都有重要的应用。

在数学研究中，人们一直在努力寻找这个方程的各种性质和解的性质。

在这篇文章中，我们将探讨K-Hessian方程的一个Liouville型结果。

我们来简单回顾一下K-Hessian方程的定义。

K-Hessian方程是指形如u_k = F(D^2u)的方程，其中u_k表示u的广义K-Hessian算子，F是一个给定的函数，D^2u表示u的Hessian矩阵。

K-Hessian方程在几何分析中起着重要的作用，它的解与黎曼度量、测地线、曲率等几何概念之间有着密切的联系。

对K-Hessian方程的研究成为了数学领域中的热点问题之一。

在K-Hessian方程的研究中，Liouville型结果是一个非常重要的概念。

Liouville型结果是指一类特殊的解的性质，它指出了一类方程的解在某些条件下只能是常数。

这类结果在数学中有着广泛的应用，因为它揭示了一类方程的解的特殊性质，更进一步揭示了这类方程和其它数学领域的联系。

F(D^2u) = f(x, u, Du)其中F是一个凸函数，f是一个已知函数，u是未知函数，Du表示u的梯度。

我们的目标是证明当f满足一定条件时，方程的解u只能是常数。

我们需要引入Hessian矩阵的逆矩阵，即G = (g^{ij}) = (F^{ij})^{-1}，其中F^{ij}是F的偏导数。

对于凸函数F来说，它的逆矩阵G也是一个凸函数。

接下来，我们可以给出K-Hessian方程的一个Liouville型结果的具体表述：假设u是上面提到的方程的一个有界解，且满足F(D^2u) = f(x, u, Du)。

如果f(x, s, p)关于p 是严格凸的，即对于所有的p_1 \neq p_2有f(x, s, p_1) \neq f(x, s, p_2)，那么u只能是常数。

抛物问题的Galerkin法及最小二乘处理

抛物问题的Galerkin法及最小二乘处理
魏继东
【期刊名称】《衡阳师范学院学报》
【年(卷),期】2004(25)6
【摘要】讨论了抛物问题的Galerkin法,并应用最小二乘法处理有限元解,得到超收敛结果.
【总页数】2页(P8-9)
【作者】魏继东
【作者单位】衡阳师范学院,数学系,湖南衡阳,421008
【正文语种】中文
【中图分类】O241.5
【相关文献】
1.椭圆边值问题的Galerkin法及最小二乘法处理 [J], 魏继东;朱起定
2.边界积分方程的GALERKIN法及最小二乘法处理 [J], 魏继东
3.椭圆边值问题的Galerkin法及最小二乘法处理 [J], 魏继东;朱起定
4.二阶抛物问题的最小二乘扩展混合元格式 [J], 丁胜
5.抛物方程的Legendre Galerkin谱配置最小二乘法 [J], 胡玉巧;覃永辉;范友康因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

ksp表达式

ksp表达式KSP，即Kīrala-Somayajulu-Parekh表达式，是一种基于多项式方法的技术，可以用于从给定的统计数据中提取有意义的信息。

KSP表达式是一种隐式的非线性统计分析方法，它可以从数据中捕捉有意义的相关性，并帮助弄清楚因果关系。

它也可以用于多元回归分析，以及统计可视化。

KSP表达式的基本原理是用可随机分布参数，经过几何变化计数，最后得到KSP表达式。

通常，KSP表达式通过在每个观测点上计算几何变换的参数，以捕捉我们想要捕捉的任何变化，来实现非线性统计分析。

KSP表达式的计算公式是：KSP(s,y) =0 +1sin(s) +2cos(s) +3sin(2s) +4cos(2s) +5sin(3s) + ...+ncos(ns)其中，s是可随机分布参数，θ0,1,2,3...θn是要估计的参数，y是观测数据。

估计θ0,1,2,3...θn的方法是用最小二乘法对KSP表达式进行拟合，确定观测数据的最佳参数。

KSP表达式的一般形式可以表示如下：KSP(s,y) =0 +1*f1(s) +2*f2(s) +3*f3(s) +...+p*fp(s) 其中，f1(s),f2(s),f3(s),…fp(s)是k-1次以上的函数，β0,1,2,3…βp是要估计通过拟合的参数。

KSP表达式的一个优点是，它允许从测量数据中提取出具有实际意义的信息和因果关系。

它可以捕捉复杂的数据分布，并可以用来计算不同数据组之间的关系，从而可以更好地理解实际世界中发生的事件和过程。

此外，KSP表达式还可用于多元回归分析和统计可视化。

多元回归分析可用KSP表达式表示，从而可以推断出不同变量之间的关系，并能够解释变量的贡献度。

进一步的，KSP表达式也可以用于统计可视化，能够以多种形式（曲线图，散点图等）更好地可视化数据。

总的来说，KSP表达式是一种有效的统计分析方法，它被广泛应用于数据分析、多元回归分析和统计可视化等领域。