2.5.指数与指数函数 - 生
第5节 指数与指数函数--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.5 指数及指数函数(解析版)
第五讲 指数及指数函数一．根式 1.根式的概念2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a (n 为奇数)，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0)(n 为偶数)；②(na )n＝a (注意a 必须使na 有意义)． 二．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；②正数的负分数指数幂是m na＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①a s a t＝as ＋t(a >0，t ，s ∈Q )；②(a s )t ＝a st(a >0，t ，s ∈Q )； ③(ab )t＝a t b t(a >0，b >0，t ∈Q )．三．指数函数的图象与性质 （1）指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . （2）指数函数的图象与性质R 考向一 指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x−2；③x 32−x−32x 12−x −12.【答案】（1）7 （2）52 （3）－6a b（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425，=(32)3×13−312×2+(15)3×(−23)×425 =32−3+4=52．（3）①因为x 12+x −12=3，所以(x 12+x −12)2=x +2+x −1=9,即x +x −1=7.②因为x +x −1=7所以(x +x −1)2=x 2+2x ⋅x −1+x −2=x 2+2+x −2=49，即x 2+x −2=47. ③x 32−x−32x 12−x −12=(x 12)3−(x−12)3x 12−x −12=(x 12−x−12)(x+1+x −1)x 12−x −12=x +1+x −1=8.【举一反三】1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.【答案】31 【解析】原式＝0.3−1−36+25634−(125729)−13+95−93×(−16)=103−36+43−95+95−13=31.故答案为：312．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 【答案】√3−√2【解析】(√3+√2)2015×(√3−√2)2016 =[(√3+√2)(√3−√2)]2015×(√3−√2)=√3−√2. 故答案为：√3−√23．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．【答案】−1252【解析】原式=(14)12−(−2)2×(−2)4√2−1√2=12−4×16+(√2−1)−√2 =12−4×16+(√2+1)−√2 =−1252，故答案为−1252.4.已知x ＋x －1＝3，则3322xx的值为 ．【答案】 2 5 【解析】11222()xx ＝x ＋2＋x －1＝5，11225,xx331112222()(1)x x x x x x ＝5(3－1)＝2 5.5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝ . 【答案】55【解析】由已知得，a ＝3＋5，b ＝3－5，所以a ＋b ＝6，ab ＝4， 所以⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15.因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b ＝55. 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为 ．【答案】 27 【解析】 ∵2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为 ．【答案】 11＋13【解析】由a －1a＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，即a 2＋1a2－2＝9，故a 2＋a －2＝11.又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝13.于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13.考向二 指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有（ ） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1 【答案】C【解析】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数,根据指数函数的定义得到a 2－3a ＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.故答案为：C.【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数 【答案】C【解析】∵y =（a 2–3a +3）⋅a x是指数函数，∴{a 2−3a +3=1a >0且a ≠1，解得a =2．故选C ．2．函数f （x ）=（2a –3）a x 是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32 C ．4 D ．2【答案】D【解析】函数f （x ）=（2a-3）a x 是指数函数，∴2a-3=1，解得a=2；∴f （x ）=2x ，∴f （1）=2．故选：D ． 3．函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数，则实数m =（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．2或−1 【答案】D【解析】由指数函数的定义，得m 2−m −1=1，解得m =2或−1，故选D.考向三 指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为（ ） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【答案】D【解析】由题意，函数f (x )的定义域为R ， 设u =g (x )=1−|2x +4|={−2x −32x +5 x >−2x ≤−2，则g (x )在(−2,+∞)上单调递减，在(−∞,−2]上单调递增， 又因为y =5u 在R 上单调递增，根据复合函数的单调性， 可得函数f (x )的单调递增区间为(−∞,−2].【举一反三】 1.函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（ ）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)【答案】D【解析】因为y =e x ，是指数函数，是增函数，y =−x 2+4x −9是开口向下的二次函数， 所以x ＜2时，二次函数y =−x 2+4x −9是增函数，x ＞2时，y =−x 2+4x −9是减函数，由复合函数的单调性可知：函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（−∞，2）．故选：D ．2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．【答案】 [0，＋∞)【解析】 设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．【答案】 [2，＋∞)【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．考向四 指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数y =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 。
2025年高考数学一轮复习-2.5-指数与指数函数【课件】
课标要求
考情分析
1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.会画出具体指数函数的图象，理解指数函数的单调性与特殊点.
考点考法：高考命题以考查指数幂的运算性质、指数函数的单调性与特殊点、指数幂的大小比较为主，常以选择题或填空题的形式出现.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
2.(2023·山东烟台模拟)若 且 ，则函数 的图象恒过的定点的坐标为______.
解析：令 ，得 ，所以 ，所以函数 的图象恒过定点 .
核心考点 师生共研
02
考点一 指数幂的运算（自主练透）
1.已知 ， ，化简： ( )
A. B. C. D.
解析：选B.由题意得 .
由图象知，其在 上单调递减，所以实数 的取值范围为 .
【一题多变】
1.（变条件、变设问）若本例（2）的条件变为：函数 与直线 有两个不同交点，则实数 的取值范围是______.
解析：曲线 的图象是由函数 的图象向下平移一个单位长度后，再把位于 轴下方的图象沿 轴翻折到 轴上方得到的.作出直线 和曲线 的图象如图所示，
解析：由题意得 解得 故
指数函数图象的特点
（1）指数函数 （ ,且 ）的图象恒过点 ， ， ，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.
（2）函数 与 （ ，且 ）的图象关于 轴对称.
（3）在第一象限内，指数函数 （ ，且 ）的图象越高，底数越大.
【用一用】
1.函数 （ 是自然对数的底数）的大致图象是( )
由图象可得，如果曲线 与直线 有两个公共点，则 的取值范围是 .
2.（变条件、变设问）若本例（2）的条件变为：函数 的图象不经过第二象限，则实数 的取值范围是__________.
高考数学一轮复习：2.5指数与指数函数课件(文) (共39张PPT)
知识梳理
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a ②负分数指数幂：a
m n
n
＝________(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；
1
m
am
1
m － n
am a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)； ＝________ ＝________( a n
n
0 无意义． ③0 的正分数指数幂等于________ ，0 的负分数指数幂________
5 3 －1＝2－2－1＝0.
1 3 3 1 3 1 3 2 3 1 2 1 5
(2)原式＝
a －2b a×a ÷ × 1 1 1 1 1 1 a 3 2 3 3 3 2 2 3 a ＋a ×2b ＋2b a ×a a
1 3
1 3
[a －2b ]
1 3 3
＝a
易错剖析
n n 根式化简与指数运算的误区：混淆“ an”与“( a)n”；误用性质． 4 (1) a－b4＝____________________________；
7 (2)化简[(－2) ] －(－1)0 的结果为________ ．
1 6 2
a－ba≥b， |a－b |＝ b－aa<b
1 3
a 3 3 2 (a －2b )× 1 1 × 1 ＝a ×a×a ＝a . a 3 －2b 3 a 6
1 3
a
5 6
1
2
归纳小结
[点石成金] 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是 带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用 指数幂的运算性质来解答． 易错提醒：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有 分母又含有负指数，形式力求统一．
高三数学一轮复习精品教案9：2.5 指数与指数函数教学设计
2.5 指数与指数函数★ 知识要点 1．指数运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。
②性质：1）a a nn =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n。
（2）幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；2）)0(10≠=a a ； N 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n 。
②性质：1）r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a sr s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
2．（1）指数函数：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。
②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxa y a y -==与的图象关于y 轴对称。
2.5指数与指数函数
a=2,b=1
1 k<－ 3
问题． 2．考查指数函数与其它基本初等函数图 象的交点和方程的解之间的关系问题．
a＞1
0＜a＜1
题型一 指数幂的运算
【例 1】 （P19） (1)计算：(124＋22 3) －27 ＋16 －2×(8 ) －2 2 x ＋x －2 (2)已知 x ＋x ＝3，求 的值． x ＋x －3
1 2 1 2
3 2 3 2
1 2
1 6
3 4
2 3
－1
(1) 11
(2) 3
题型二 指数函数的图像与性质
e ＋e (1) (P20)函数 y＝ x －x的图象大致为 ( e －e
x
－x
A )
变式训练2
1 (2)[2012· 四川卷] 函数 y＝a －a(a＞0， 且 a≠1)的图 象可能是( D )
x
(3)(2013·金华)已知函数f(x)＝4＋ax－1 (a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点 (1,5) . P的坐标是
变式训练2
(4)(P20)若函数 f ( x) e
( x )2
(e 是自然对数的底
数)的最大值是 m， 且 f(x)是偶函数， 则 m＋μ＝____. 1
(5)(2012· 福州 ) 函数 f(x) ＝ a ＋ loga(x ＋ 1) 在 [0,1] 上 的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为 ( 1 A.4 1 B.2 C．2 D．4
§2.5 指数与指数函数
绍兴市稽山中学高三备课组
要点梳理
1．有理数指数幂的运算性质 ①ar· as＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q) ②(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q) ③(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q) 2．指数函数图象和性质
课件7：2.5 指数与指数函数
所以 A＝{x|－1≤x<3}．
又因为 B＝{x|2－2x＋1<(12)3(x－1)}＝{x|2－2x＋1<2－3(x－1)}＝{x|－2x ＋1<－3(x－1)}＝{x|x<2}．
所以∁UA＝{x|x<－1 或 x≥3}， 所以(∁UA)∩B＝{x|x<－1}．
(理)(2014·新泰摸底)已知函数 f(x)是奇函数，当 x>0 时，f(x)
[答案] [34，57]
[解析] 令 t＝(12)x，∵x∈[－3,2]， ∴t∈[14，8]． y＝t2－t＋1＝(t－12)2＋34. 当 t＝12时，ymin＝34； 当 t＝8 时，ymax＝57. ∴所求值域为[34，57]．
[失误与防范] 用换元法求解时，易漏掉“将 x 的取值范 围转化为新元的取值范围”而导致错误，故只要用换元法解题 就要考虑换元后新元的变化是否影响问题的结论．
• 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用 相应的指数型函数图象数形结合求解．
(文)已知实数a、b满足等式(
1 2
)a＝(
1 3
)b，下列五个关系式：
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b，其中不可
能成立的关系式有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
• [答案] B
指数函数的性质
• (文)(2014·山东青岛质检)设a＝0.32，b＝20.3，c＝
log20.3，则a，b，c的大小关系为( )
• A．c<a<b
B．a<c<b
• C．a<b<c
D．b<c<a
新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件
1．(方向 1)函数 y＝ax－1a(a>0，且 a≠1)的图象可能是( D )
解析：当 a>1 时函数单调递增，且函数图象过点0，1－1a， 因为 0<1－1a<1，故 A，B 均不正确；当 0<a<1 时，函数单调递减， 且函数恒过点0，1－1a，因为 1－1a<0，所以知 D 项正确．
2．(方向 2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值
(2)2a·2b＝2a＋b.
(3)由指数函数的形式定义知应满足的条件：①系数为 1，
②指数为 x，③底数 a>0 且 a≠1.
(4)当 a>1 时，由 am<an，得 m<n，
当 0<a<1 时，由 am<an，得 m>n.
2．小题热身
(1)化简4 16x8y4(x<0，y<0)得( D )
A．2x2y
所以
a－ a＋
bb2＝aa＋ ＋bb－ ＋22
aabb＝66－＋22
44＝15.
因为 a>b>0，所以
a>
b，所以
a－ a＋
b＝ b
5 5.
考点二 指数函数的图象及应用 命题方向 1 图象的识别
【例 2】 (2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 y＝a1x，y＝loga(x
＋12)(a>0，且 a≠1)的图象可能是( D )
y＝|2x－2|， y＝b
有两个交点(如图)，可知 0<b<2.
方法技巧 指数函数图象的画法判断及应用方法,1画判断指数函数 y＝ axa>0，a≠1的图象，应抓住三个关键点：1，a，0，1，－1，1a. 2与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数 的图象，通过平移、对称变换得到其图象. 3一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函 数数形结合求解.
专题05 指数与指数函数-新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案
2.5指数与指数函数【学习目标】1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【要点整合】1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna－＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质3.有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()xf y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()xf y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论． 求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数uy a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()xf y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()xf y a =在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．【典例讲练】题型一 指数幂的运算【例1-1】若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a3C ．(－2)0＝－1D ．144()a－＝1a答案 D解析 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，144()a－＝1a ，故D 正确．【例1-2】化简：41223333322533338242a a bb a a a a a ab ab a -⎛⎫-⋅÷-⨯ ⎪⋅⎝⎭++＝ (a >0)．答案 a 2 解析 原式＝11111251111333333336223331111111111223333353362[()(2)]2()(2).()(2)(2)()2a a b a b a a a a a a b a aa ab b a a a b b --⋅÷⨯⨯⨯+⋅+⋅-＝－＝归纳总结：【练习1-1】【答案】解：原式2123232322[()]1[()]()233=--+3441299=--+ 12=．【练习1-2】下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56a a -=-B ．24x =C ．332b =D ．52()a b --=【分析】根据各式是否有意义，是否符合根式与分数指数幂的互相转化规律进行判断．【答案】解：对于A ，0a ，而当0a <时，56a =无意义，故A 错误；对于B ，当0x <时，24x =B 错误；对于C ，31332224()b b ==，故C 错误．对于D ，52()a b --===D 正确． 故选：D ．题型二 指数函数的图象及应用 【例2-1】函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 答案 D 解析 由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x－b的图象是在y ＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.【例2-2】若函数y ＝|4x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为____________． 答案 (－∞，0]解析 函数y ＝|4x －1|的图象是由函数y ＝4x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．归纳总结：【练习2-1】已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.【练习2-2】方程2x＝2－x的解的个数是．答案1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型三 指数函数的性质及应用 考点1 比较大小【例3-1】已知a ＝432，b ＝254，c ＝1325，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 由a 15＝(243)15＝220，b 15＝(245)15＝212，c 15＝255>220，可知b 15<a 15<c 15，所以b <a <c . 归纳总结：【练习3-1】设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】对于函数2()5x y =，在其定义域上是减函数，3255>，32552255⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <. 在同一平面直角坐标系中画出函数3()5x y =和函数2()5x y =的图象，a c >. 从而bc a <<. 故A 正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论. 考点2 解简单的指数方程或不等式【例4-1】已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为 ．答案 12解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.【练习4-1】若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为 ． 答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0，当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0， 解得x >4或x <0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}．考点3 指数型函数性质综合应用【例5-1】函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为________．【答案】(0，2]【解析】设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，即可求解．由题意，设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，知当1t ≥-时，02y <≤，即函数221()2x xy -=的值域为(0,2]．【例4-2】求函数17218212+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的单调区间.解 设t ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21>0，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增.令x⎪⎭⎫⎝⎛21≤4，得x ≥－2. ∴当－2≤x 1<x 2时，4≥112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>212x⎛⎫⎪⎝⎭，即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17.∴17218212+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的单调增区间是[－2，＋∞).同理可得减区间是(－∞，－2].归纳总结：【练习5-1】若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值范围为A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞ C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】B【解析】由题得1222x xa <⋅-在（0,1）上恒成立， 设()2,1,2xt t =∈，所以()121,2a t t t<-∈，，由于函数()1()2,1,2f t t t t=-∈是增函数， 所以()12111a f ≤=⨯-=. 故选B ．【练习5-2】求函数176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调区间；解 176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数，∴y ＝176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在(－∞，3]上是增函数.在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数，∴176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=xxy在[3，＋∞)上是减函数.∴176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=xxy的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞).【课后作业】A 组 基础题一、选择题1.化简()1111232240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为（ ） A. a B. b C.abD.b a【答案】：A 【分析】根据指数幂运算法则进行化简即可.【详解】1111311131112322424242244a b a b a b a b a b a --⎛⎫⎛⎫÷=÷== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题. 2.下下下下下下下下 A ．a = B ．01a =C ．4=- Dπ=-【答案】：D3.把(a -(a －1)移到根号内等于( )A.C.【答案】：C4.下下下下下下下下下下下( )A ．B ．C ．D ．【答案】：D5.已知集合{}|128xA x =<≤，{}0,1,2B =，则下列选项正确的是（ ）A. A B ⊆B. A B ⊇C. {}0,1,2AB = D. {}1,2AB =【答案】：D 【分析】计算{}03A x x =<≤，根据集合的包含关系，交集并集运算依次判断每个选项得到答案. 【详解】,{}{}|12803x A x x x =<≤=<≤，{}0,1,2B =，则A B ⊆/，A B ⊇/，AB 错误； {}03A B x x ⋃=≤≤，C 错误；{}1,2A B =，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了解指数不等式，集合的包含关系，交集并集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6.若不等式()2223122x axx a -+<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,1)-B. 3(,)4+∞C. 3(0,)4D.3(,)4-∞【答案】：B7177)(m n mn =31243)3(-=-43433)(y x y x +=+3339=分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为222(3)x ax x a ->-+恒成立，利用判别式22(32)40a a ∆=--<，从而求得实数a 的取值范围.详解：不等式22231()22x axx a -+<恒成立，即222(3)11()()22x ax x a --+<，即222(3)x ax x a ->-+恒成立，即22(32)0x a x a +-+>恒成立，所以22(32)40a a ∆=--<，解得34a >，所以实数a 的取值范围是3(,)4+∞，故选B.点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的运算法则，注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合式子的判别式，求得结果.7. 已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|124,}x B x x N =<≤∈，则A ∩B =（ ） A. ∅ B. (1,2] C. {2} D. {1,2}【答案】：C 【分析】首先求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：集合{}2430A x x x =-+<{|13}x x =<<，{}02{|124,}{|222,}{|02,}1,2x x B x x N x x N x x x N =<≤∈=<≤∈=<≤∈=.所以{}2A B ⋂=. 故选：C【点睛】本题考查交集的运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.8.已知111222a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b b a a b >>B. a b b a b a >>C. b a b b a a >>D. b b a a b a >>【答案】：A 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性比较大小即可得答案.【详解】解：因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，111222a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1a b >>， 由于函数()1xy aa =>和函数()1b y x b =>在第一象限为增函数，所以a b a a >，b b a b >，故a b b a a b >>. 故选：A.【点睛】本题考查利用指数函数与幂函数的单调性比较大小，考查运算能力，是基础题. 9.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A. ()1,1- B. ()(),11,-∞-+∞C. ()0,1D. ()(),01,-∞⋃+∞【答案】：D 【分析】不等式即21x x >+．由于函数2xy =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，数形结合可得结论．【详解】解：不等式()0f x >，即21x x >+．由于函数2xy =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示： 不等式()0f x >的解集是()(),01,-∞⋃+∞， 故选：D ．【点睛】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题．10.函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】：D 【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11.已知全集U =R ，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B C ⋂=（ ）A. {|20}x x -≤<B. 1{|2}2x x -≤<C. 1{|0}2x x ≤<D. {|03}x x ≤<【答案】：B 【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y C B x x -==≥∴=≥∴=<，所以()U A B C ⋂= 1{|2}2x x -≤<． 考点：集合的交集、补集运算．12.设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】：A 【分析】分别考查指数函数1()3xy =及幂函数13y x =在实数集R 上单调性，即可得出答案．【详解】∵2133＞，由幂函数13y x =在实数集R 上单调递增的性质得113321()()33＞，∴a ＞c ．又由指数函数1()3x y =在实数集R 上单调递减的性质得213311()()33＜，∴c ＞b ．∴a ＞c ＞b ． 故选：A ．【点睛】掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键． 二、填空题13.=_________，220313e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ .【答案】：1π-； 4-【分析】根据指对数的运算求解即可.【详解】(1)11ππ=-=-(2) ()222033323141(8314)29e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-+=-+=-. 故答案为：1π- ；4-【点睛】本题主要考查了指数的基本运算,属于基础题型.14.计算210.00013427-- 【答案】：134【分析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题. 15.若2312a b ==，则21a b+= ． 【答案】：1试题分析：由题意得23log 12,log 12a b ==，则121211log 2,log 3a b==，所以()2121212212log 2log 3log 231a b+=+=⨯=. 考点：对数运算及其应用.16.已知函数()()(),01,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()()22f x f x <-的解集为______.【答案】：()2,1- 【分析】先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果.【详解】,1x y e y x ==+都为单调递增函数，且001e =+()f x ∴在R 上单调递增，()()22f x f x <-， 22x x ∴<-，即()()220210x x x x +-<+-<，∴21x -<< 故答案为：()2,1-17.若[1,)x ∈-+∞，不等式4210x x m -⋅+>恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】：(,2)-∞【分析】设12,2xt ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，将原不等式转化成11,,2m t t t⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，从而求出m 的范围．【详解】令2x t =，∵[1,)x ∈-+∞，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵4210x x m -⋅+>恒成立，∴11,,2m t t t⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，∵12t t+≥，当且仅当1t =时，即0x =时，表达式取得最小值， ∴2m <， 故答案为(,2)-∞．【点睛】本题考查与指数函数有关不等式的恒成立问题，可换元后转为含参数的一元二次不等式的恒成立问题，再利用参变分离可求参数的取值范围，此题需要学生有较好的逻辑分析能力，难度不大，属于基础题． 三、解答题18.计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】：（1）4a （2）0.09 【分析】根据同底数幂、分数指数幂的运算性质即可求出（1）（2）答案. 【详解】（1）()()2115211115111033663262362226326344a b a b a b a b a b a +-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=⨯-÷-⨯== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()113232333250.359-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦550.090.0933=+-=.19.已知函数1()421x x f x a +=-⋅+．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值－8，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．【答案】：（1）5；（2）1718a ≤≤. 【分析】（1）2()(2)221x x f x a =-⋅+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，进而讨论a 与52的关系求解；（2）[1x ∈-，2]，∴令12[2x t =∈，4]，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，进而求解．【详解】解：（1）2()(2)221x x f x a =-⋅+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，①52a ≤时，2()42418max f x a =-⨯+=-，解得258a =（舍）②52a >时，2()12118max f x a =-⨯+=-，解得5a =， 5a ∴=；（2）[1x ∈-，2]，∴令12,42x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，1122t a t =+≥=当且仅当122t t=，即1t =时等号成立，此时函数2()21g t t t =-+的图象如图，4t ∴=时，a 取得最大值178， 综上[1a ∈，17]8． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题． 20.已知集合{}2(2)(1)(21)0A x x m x m m =-++-+≤.集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.（Ⅰ）当1m =时，求AB ；（Ⅱ）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】：（Ⅰ）{|24}A B x x ⋃=-≤≤（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞【分析】（Ⅰ）把1m =代入，求出集合A ，再利用指数的单调性求解集合B ，根据集合的并运算即可求解.（Ⅱ）讨论m 的取值范围，求出集合A ，根据集合的包含关系可得12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩ 或21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，{}2|30{|03}A x x x x x =-≤=≤≤，1||381{|24}9x B x y x x x ⎧⎪⎧⎫===≤≤=-≤≤⎨⎨⎬⎩⎭⎪⎩，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤.（Ⅱ）集合{}2|(2)(1)(21)0{|(1)(21)0}A x x m x m m x x m x m =-++-+≤=+---≤若0m ≥，则{|121}A x m x m =-≤≤+,∵B A ⊆,∴12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3m ≥，若0m <，则{|211}A x m x m =+≤≤-.∵B A ⊆，∴21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，∴m 的取值范围为(,3][3,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.21.已知函数32()31x x a a f x bx ⋅+-=++是定义在R 上的奇函数，a ，b R ∈（1）判断函数f (x )的单调性；（2）若对任意的k ∈R ，不等式22(2)(1)0f k t f kt t -+++≥恒成立，求实t 数的取值范围.【答案】：（1）()f x 是R 上的增函数.（2）2,[2,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由()f x 是上R 的奇函数求出1a =，0b =，然后()3131221313131x x x x xf x -+-===-+++，即可判断出其单调性（2）由()()22210f k t f kt t -+++≥得()()()222211f k t f kt t f kt t -≥-++=---，然后得出2221k t kt t -≥---即可 【详解】（1）因为()f x 是上R 的奇函数 所以()00f =所以2031a a +-=+，所以1a =所以()3131x xf x bx -=++又()()11f f -=-所以111131313131b b ----=-+++ 所以0b =所以()3131-=+x xf x 因为()3131221313131x x x x xf x -+-===-+++ 所以()f x 是R 上的增函数（2）因为()f x 是R 上的增函数且是奇函数，由()()22210f k t f kt t -+++≥所以()()()222211f k t f kt t f kt t -≥-++=---所以2221k t kt t -≥---即22210k kt t t ++-+≥对任意k ∈R 恒成立只需()224210t t t ∆=--+≤，所以23840t t -+≥解之得2t ≥，或23t ≤所以实数t 的取值范围是[)2,2,3⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【点睛】解抽象函数的不等式时，怎么利用函数的单调性和奇偶性将f 去掉是解题的关键.22.已知函数()11439x xm f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当2m =-时，求函数f (x )在(－∞,0)上的值域；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，总有()6f x ≤成立，求实数m 的取值范围. 【答案】：（1）()3,+∞ （2）(],1-∞ 【分析】（1）利用换元法，把函数转化为二次函数，根据二次函数的图像与性质即可求解.（2）由()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立，采用分离参数法化为1233x x m ≤⋅-，然后求1233x x⋅-的最小值即可求解. 【详解】（1）当2m =-时，设13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵(),0x ∈-∞，∴()1,t ∈+∞， ∴()()222413t t t y g t -+=-=+=，对称轴1t =，图像开口向上， ∴()g t 在()1,t ∈+∞为增函数， ∴()3g t >，∴()f x 的值域为()3,+∞. （2）由题意知，()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立，即11239xxm ⎛⎫⎛⎫⋅≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1233xxm ≤⋅-在[)0,x ∈+∞恒成立， 则只需当[)0,x ∈+∞时，min1233xx m ⎛⎫≤⋅-⎪⎝⎭， 设3x t =，()12h t t t=-，由[)0,x ∈+∞得1t ≥，设121t t ≤<，则()()()()12121212210t t t t h t h t t t -+-=<，所以()h t 在[)1,+∞上递增，即()h t 在[)1,+∞上的最小值为()11h =， 所以实数m 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题主要考查指数型复合函数的值域、不等式恒成立求参数的取值范围以及根据函数的单调性求最值，综合性比较强，属于中档题.B 组 能力提升能一、选择题1.设函数1()1,()22x f x x g x t =-=⋅-，若存在[],0,2m n ∈，使得()()f m g n =成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 13,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 13,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 13,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】：D 【分析】将条件转化为值域有交集，然后分类讨论求出t 的范围． 【详解】∵[],0,2m n ∈，使得()()f m g n =成立，即()f x 和()g x 的值域有交集．[][]()1,0,2,()1,1f x x x f x =-∈∴∈-．∵()122xg x t =⋅-， 当0t =时，()11222xg x t =⋅-=，满足题意； 当0t >时，()122xg x t =⋅-在区间[]0,2上单调递增， []1110,2,()2,4222x x g x t t t ⎡⎤∈∴=⋅-∈--⎢⎥⎣⎦．∵()f x 和()g x 的值域有交集，∴112t -≤，即302t <<； ③0t <时，()122xg x t =⋅-在区间[]0,2上单调递减， 111[0,2],()24,222x x g x t t t ⎡⎤∈∴=⋅-∈--⎢⎥⎣⎦．∵()f x 和()g x 的值域有交集，∴112t -≥-，即102t <<； 综上：1322t -≤≤； 故选D ．【点睛】本题考查函数值域的求法及集合关系的讨论，注意根据等式关系转化为集合之间的关系，此类问题属于中档题.2.已知函数,1()(41)4,1x a x f x a x a x ⎧≥=⎨-+<⎩是(－∞, +∞)上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,74⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,74⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】：D 【分析】根据函数的单调性,列出不等式,求解即可.【详解】由题意,函数()f x 是(,)-∞+∞上的减函数,则101410414a a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≤-+⎩,解得1174a ≤<. 故选:D.【点睛】本题考查了函数的单调性,考查了分段函数的性质,属于基础题. 3.下列四个结论中，正确结论的个数为（ ）个． （1）函数()f x x =与函数()g x =（2）若函数()xf x a a =-（0a >且1a ≠）的图象没有经过第二象限，则1a >； （3）当()1,2x ∈时，关于x 的不等式240x mx ++<恒成立，则实数m 的取值范围为5m <-；（4）若函数()()2211x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则2M m +=．（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】：B 【分析】（1）由函数相等的概念即可判断；（2）根据指数函数的图像即可判断；（3）根据二次函数图像与性质即可判断；（4）根据函数奇偶性即可判断 【详解】解：对于（1）两个函数的定义域相同，但()g x x ==，则两函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以（1）错误；对于（2）由指数函数的图像可知，当1a >时，函数()xf x a a =-（0a >且1a ≠）的图像必不经过第二象限，所以（2）正确；对于（3），令2()4f x x mx =++，由于当()1,2x ∈时，关于x 的不等式240x mx ++<恒成立，则(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，解得5m ≤-，所以（3）错误；对于（4），()()22212111x x f x x x +==+++，令22()()1x g x x R x =∈+， 因为2222()()()11x xg x g x x x --==-=--++，所以()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，所以max min ()1()12M m g x g x +=+++=，所以（4）正确 故选：B【点睛】此题考查函数相等的判断，指数函数的图像，二次函数的图像和性质、函数的奇偶性及其应用，属于基础题4.已知函数7(13)10,(7)(),(7)x a x a x f x a x --+≤⎧=⎨>⎩是定义域R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 11(,)32B. 16(,]311C. 12[,)23D. 16(,]211【答案】：B 【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解. 【详解】若f （x ）是定义域（-∞，+∞）上的减函数，则满足 ()7701130713101a a a a a -⎧⎪-⎨⎪-+≥⎩＜＜＜＝ 即0113611a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪≤⎪⎩＜＜＞ ，整理得16311a <≤.故选B 【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键. 二、填空题5.已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .【答案】：92试题分析：由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数(0)xy a b b =+>的图象上，所以 a ＋b ＝3．1＜a ＜3，0＜b ＜2．4114114114192()[(1)]()(5)12121212b a a b a b a b a b a b -+=⨯+=⨯-++=⨯++≥----当且仅当72,33a b ==时取等号 考点：指数函数性质及图象，基本不等式，函数的最值 6.对任意x ∈R ，不等式()()442223x xxx a b --+++≤恒成立，则+a b 的最大值是______.【答案】【分析】设22x x t -+=，则2t ≥，()2223f t at bt a =+--，计算(10f ≤得到a b +≤，再验证等号成立得到答案. 【详解】设22x x t -+=，则2t ≥，()()442223x xxx a b --+++≤，即()2223a t bt -+≤恒成立，设()2223f t at bt a =+--，则((()1230f a b +=++-≤，解得a b +≤. 现在验证，存在,a b使等号成立，341a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，则3,42a b ==， 此时()2f t =1t =+()(max 10f x f ==. 满足条件，故+a b.故答案为：34.7.函数114x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为________；奇偶性为_________（填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）.【答案】：[)0,+∞ ；偶函数 【分析】(1)分0,0x x ≥<两种情况讨论即可. (2)将x 代换为x -再判断奇偶性即可.【详解】(1)当0x ≥时11144x x y -+-⎛⎫== ⎪⎝⎭为增函数,当0x <时()111144x x y --++⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为减函数.故单调增区间为[)0,+∞.(2)因为111144x x y --+-+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.且定义域为R .故奇偶性为偶函数.故答案为：(1) [)0,+∞; (2) 偶函数 三、解答题8.已知函数133()31x x f x +-=+.（1）判断函数f (x )的单调性并用定义法证明；（2）若对于任意的实数t ，不等式()()2240f t t f t k -++>恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围. 【答案】：（1）()f x 是R 上的增函数，证明见解析；（2）2k >；（3）3m ≤.【分析】（1）用定义法判断单调性即可,注意“作差”、“变形”、“定号”和“下结论”;（2）先判断函数的奇偶性,利用奇偶性可将不等式转化为()()224f t t f t k ->--,然后结合函数的单调性可得224t t t k ->--恒成立,结合二次函数的性质可求出实数k 的取值范围; （3）函数()g x 有零点,可得()()91430xxf m f ++-⋅=有解,结合函数的单调性和奇偶性可得方程9143x x m +=-+⋅有解,参变分离得9431x x m =-+⋅-,求出9431x x -+⋅-的取值范围即可.【详解】（1）由题意,1336()33131x x xf x +-==-++,且()f x 的定义域为R , 任取12,R x x ∈,且12x x <,则()()()()()122121121163366333131x x x x x x f x f x -++-=-=++, ∵12,R x x ∈,且12x x <,∴12033x x <<,12330x x -<,()()2131310xx++>, 故()()12f x f x <,所以函数()f x 是R 上的增函数.（2）由题意,113333()()3113x x x xf x f x -++----===-++, 又()f x 的定义域为R ,所以函数()f x 是R 上的奇函数.∴不等式()()2240f t t f t k -++>可化为()()()2224f t t f t k f t k ->-+=--,即()()224f t t f t k ->--恒成立,∵函数()f x 是R 上的增函数,∴224t t t k ->--,即对于任意的实数t ,2240t t k -+>恒成立, 则()2480k ∆=--<,解得2k >.（3）函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点,则()()91430xxf m f ++-⋅=有解,∵函数()f x 是R 上的奇函数, ∴()()()9143143xxxf m f f +=--⋅=-+⋅有解,∵函数()f x 是R 上的增函数,∴9143x x m +=-+⋅,即9431x x m =-+⋅-有解,令3x a =,则0a >,241m a a =-+-,令()2()410h a a a a =-+->,则()h a 在()0,2上单调递增,在[)2,+∞上单调递减,故()h a 的最大值为224213-+⨯-=,()h a 的值域为(],3-∞.所以,当3m ≤时,方程241m a a =-+-有解,即函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用,考查函数零点的应用,考查方程有解问题,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.9.已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设函数()()g x f x x=. （1）求a 、b 的值；（2）不等式(2)20x xf k -⋅≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）方程2(21)(3)021xx f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】：（1）1,0a b ==；（2）0k ≤；（3）0k > 【分析】（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a 与0的大小讨论，列出方程，即可求a ，b 的值； （2）转化不等式f （2x ）﹣k •2x ≥0，为k 在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x ∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k 的取值范围；（3）化简方程f （|2x﹣1|）+k （221x--3）＝0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k 的取值范围． 【详解】解：（1）g （x ）＝a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， ∵a ＞0，∴g （x ）在[2，3]上为增函数，故()()3421g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得96144411a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩，⇔10a b =⎧⎨=⎩． ∴a ＝1，b ＝0（2）方程f （2x ）﹣k •2x ≥0化为2x 12x+-2≥k •2x ， k ≤1212(2)2x x+- 令12x=t ，k ≤t 2﹣2t +1， ∵x ∈[﹣1，1]，∴t 122⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，记φ（t ）＝t 2﹣2t +1， ∴φ（t ）min ＝φ（1）＝0，∴k≤0．（3）由f（|2x﹣1|）+k（221x--3）＝0得|2x﹣1|1221kx++--（2+3k）＝0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|＝t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），∵方程|2x﹣1|1221kx++--（2+3k）＝0有三个不同的实数解，∴由t＝|2x﹣1|的图象（如图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，记φ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则()()012010tkφφ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩＞＜或()()01201023012tkkϕϕ⎧⎪=+⎪=-=⎨⎪+⎪⎩＞＜＜∴k＞0．【点睛】本题考查函数恒成立，二次函数闭区间上的最值的求法，考查转化思想与数形结合的思想．。
高中数学：第二章 2.5指数与指数函数
知识梳理 0<a<1
图象
定义域 值域
(1) R (2) (0，＋∞)
基础知识·自主学习
知识梳理
(3)过定点 (0,1)
(4)当x>0时， y>1 ； (5)当x>0时， 0<y<1 ；
性质 当x<0时， 0<y<1
当x<0时， y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是 (7)在(－∞，＋∞)上是
增函数
减函数
例3 (1)k为何值时，方程|3x－1|
解析
思维升华
当k<0时，直线y＝k与函数y ＝ |3x － 1| 的 图 象 无 交 点 ， 即
＝k无解？有一解？有两解？
方程无解； 当k＝0或k≥1时，直线y＝k
与函数y＝|3x－1|的图象有唯
一的交点，
所以方程有一解；
题型分类·深度剖析 题型三 指数函数的应用
论正确的是( D )
单调递减，
A．a>1，b<0
所以0<a<1.
B．a>1，b>0
函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)
C．0<a<1，b>0
＝ ax 的 基 础 上 向 左 平 移 得 到
D．0<a<1，b<0
的，所以b<0.
题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象和性质 解析
答案
思维升华
例2 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图 所示，其中a，b为常数，则下列结 (1)对与指数函数有关的函数
论正确的是( D )
的图象的研究，往往利用相
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0
指数与指数函数
调性来研究函数的单调性，构建方程获解． 解 令 t＝ax (a>0 且 a≠1)，
则原函数化为 y＝(t＋1)2－2 (t>0)． ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a， 此时 f(t)在a，1a上为增函数． 所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14. 所以1a＋12＝16，所以 a＝－15或 a＝13. 又因为 a>0，所以 a＝13.
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(1) R
值域 性质
(2) (0，＋∞)
(3)过定点 (0,1) (4)当 x>0 时， y>1 ； (5)当 x>0 时， 0<y<1 ；
x<0 时， 0<y<1
x<0 时， y>1
(6)在 R 上是 增函数 (7)在 R 上是 减函数
[难点正本 疑点清源] 1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数
∴y2＝4a，y2＝ 2x2 ＝4a.
∴x2＝2a，即 B(2a,4a)． 又∵点 O、A、B 共线，∴2aa＝24aa， ∴2a＝2，即 a＝1.∴A 的坐标为(1,2)．
题型三 指数函数的性质
例3 设 a>0 且 a≠1，函数 y＝a2x＋2ax－1 在[－1,1]上
的最大值是 14，求 a 的值．
由上式推得 t2－2t>－2t2＋k.
[12 分]
即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0， 而 Δ＝4＋12k<0，解得 k<－13.
高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数课件 理
1 3
的值为(
)
A．0 B.13 C．3 D．4
解析 原式＝1－(1－4)÷32＝3，故选 C.
2． 函数 f(x)＝ax－2＋1(a>0 且 a≠1)的图象必经 过点
(
)
A．(0,1)
B．(1,1)
C．(2,0)
D．(2,2)
解析 ∵a0＝1 故 x－2＝0 时 f(x)＝2，即 x＝2 时 f(x)＝ 2，故选 D.
4．[2017·广西桂林模拟]当 x<0 时，函数 f(x)＝(2a－1)x
的值恒大于 1，则实数 a 的取值范围是(
)
A.12，1 C．(1，＋∞)
B．(1,2) D．(－∞，1)
解析 由题意可得 0<2a－1<1，解得12<a<1，故选 A.
板块二 典例探究·考向突破
考向 指数幂的化简与求值
3．[课本改编]已知 a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(
)
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．b>c>a
解析 由 0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知 0.40.2>0.40.6，即 b>c；因为 a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以 a>b. 综上，a>b>c.
22×10－1×26×23－
3＝
2 865.
(2)原式＝a－13
b
1 2
·a－
1 2
1
5
高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.5指数与指数函数课件文
②负分数指数幂 a
m － n
m ＝____(a>0，m，n∈N＋，且 n 为既约分数)．
③ 0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 ____ ， 0 的 负 分 数 指 数 幂 __________________________________________________________ ______________． (2)有理指数幂的运算法则： 设 a>0，b>0，对任意有理数 α，β，有以下运算法则 aαaβ＝________，(aα)β＝________，(ab)α＝________. 上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂也适用．
－
化运算.
解：
热点二 【例 2】
指数函数的图象及应用 (1)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为 )
常数，则下列结论正确的是(
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 (2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围 是________．
【答案】 (1)D (2)[－1,1]
【总结反思】 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取 特殊点，判断选项中的图象是否过这些 点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一 般是从最基本的指数函数的图象入手， 通过平移、伸缩、对称变换而得到．特 别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定 时应注意分类讨论.
1．若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直 线 y＝b 有两个公共点，求 b 的取值范围．
解： 曲线 y＝|2x－1|与直线 y＝b 的图象如图所示， 由图象可得， 如果曲线 y＝|2x－1|与直线 y＝b 有两个公共点， 则 b 的取值范围是 (0,1)．
课件8：2.5 指数与指数函数
迎战2年高考模拟
4．有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
限时规范特训
第二章 第5讲
第12页
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2.5 指数与指数函数
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(3)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(a2x＋b·ax＋c≤0)的 指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新 元”的范围.
第二章 第5讲
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1个重要关系——分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互 化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
第二章 第5讲
高中数学-2.5 指数与指数函数
2.化简 2 3 × 1.5 × A.2 6 B.3 6
3
6
12的结果是( C.6
) D.12
关闭
2 3×
1 3
3
1.5 ×
6
12=2×3 ×
1 2
1 1 3 3 ×(3×4)6 =2×32 2
1
×3 ×2 ×3 ×
关闭
1 3
-
1 3
1 6
2 =6.故选 C.
C
解析
答案
第二章 1 2 3 4 5
2.5
指数与指数函数
知识梳理 双击自测 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-8-
3.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图像经过点(3,π),则函数f(x)的解 析式为( )
A.f(x)=π
x
B.f(x)= D.f(x)=
������ C.f(x)=π3
1 ������ π ������ 1 3 π
2.5
指数与指数函数
第二章
2.5
指数与指数函数
知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求 考纲要求
-2-
考纲要求:1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幂的 含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的 概念及其单调性,掌握指数函数的图像通过的特殊点,会画底数为 1 1 2,3,10, , 的指数. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
关闭
由f(x)=ax-b的图像可以看出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<a<1. 函数f(x)=ax-b的图像是在f(x)=ax的图像的基础上向左平移得到的,所以b<0.
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2014年高考一轮复习“自主·互动”探究学案
内容：指数与指数函数 课时：1 编号：S3108 编写：孟凡志 王安拓 使用日期：2013-9-12
【知识梳理】
1、指数函数12
3+=-x a
y 恒过的定点为___________；
2、函数x
a a a y )55(2
+-=是指数函数，则=a ____________； 3、指数函数)(x f 的图象经过点)4,2(，则=)3(f ____________； 4、指数函数x
x
x
x
d y c y b y a y ====,,,在同一坐标系内的图象如右图，则d c b a ,,,的大小顺序是_____________.
5、若指数函数x a y =在]1,1[-上最大值与最小值的差为1，则=a ____________；
6、a ＝(35)2
5，b ＝(25)35，c ＝(2
5
)2
5，则a ，b ，c 的大小关系是__________________. 【典例剖析】
一、指数幂的化简与求值 1、计算下列各式的值：
（1）5.031
3
2
)972()12527()027.0(-+-； （2）549)13(2
510----+；
（3）53542
15
658)
(b a b
a ÷⋅--； （4）
3313
233
23
431)12(248b ab b
ab a b
ab ⨯-⋅÷+⋅+--。
2、已知32
12
1=+-x x ，求
3
22
32
3
22-+-+--x
x x x 的值。
二、指数函数的图象与应用
1、在下列图象中，二次函数bx ax y +=2
与指数函数x a
b y )(=可能是
________.
2、已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12
x
f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是
3、函数3
42)
3
1(+-=x x y 的增区间是______________________,值域是___________________.
4、作出函数|
1|31-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=x y 的图象，并根据图象写出其单调区间和值域。
三、指数函数的性质与应用
已知函数f (x )＝3x －1
3|x |.
(1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x >0时，f (x )的单调性；
(3)若3t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1
2，1]恒成立，求m 的取值范围．
【针对训练】
1．函数y ＝3x
与y ＝－3
－x
的图像关于下列哪种图形对称( )
A ．x 轴
B ．y 轴
C ．直线y ＝x
D ．原点中心对称
2．(2012·西安模拟)已知a ＝5－1
2
，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则实数m ，n 的关系是( )
A ．m ＋n <0
B ．m ＋n >0
C ．m >n
D ．m <n
3．若a >1，b >0，且a b ＋a －
b ＝22，则a b －a －b
的值为( )
A. 6
B ．2或－2
C ．－2
D ．2
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 3x ， x >0，
2x x ≤0则f (9)＋f (0)＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x
，则g (x )＝( ) A ．e x －e －
x
B.12(e x ＋e －
x ) C.12(e －x －e x ) D.12
(e x －e －
x ) 6．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
21－x
，x ≤1，
1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 ( )
A ．[－1,2]
B ．[0,2]
C ．[1，＋∞)
D ．[0，＋∞)
二、填空题
7．某电脑公司2010年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2012年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2010年到2012年，每年经营总收入的年增长率相同，2011年预计经营总收入为________万元．
8．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．
9．设函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b ＝________. 三、解答题
10．若函数y ＝a ·2x －1－a
2x －1为奇函数．
(1)求a 的值； (2)求函数的定义域．
11．函数y ＝lg (3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．
12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )；
(2)若不等式(1a )x ＋(1
b
)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．。