数学：5.5角平分线的性质同步练习(湘教版七年级下)

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湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》教学设计

湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》是初中数学的重要内容，主要介绍了角平分线的性质。

本节课的内容是学生学习几何知识的基础，也是学生进一步学习圆的知识的前提。

通过本节课的学习，学生可以掌握角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线的概念等基础知识，对几何图形有一定的认识。

但是，学生对角平分线的性质还没有接触过，对于如何运用角平分线的性质解决实际问题还需要引导。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过学生自主探究、合作交流的方式，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.角平分线的性质的推导过程。

2.如何运用角平分线的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、学生自主探究法、合作交流法等教学方法。

通过引导学生提出问题、自主探究、合作交流的方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的几何思维能力。

六. 教学准备教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具。

学生准备课本、笔记本等学习工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引导学生思考：“如何找到一个角的平分线？”学生可以自由发言，教师引导学生提出问题，引出本节课的主题——角平分线的性质。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角平分线的性质，让学生初步了解角平分线的性质。

然后，教师引导学生自主探究，让学生通过观察、思考、推理等过程，推导出角平分线的性质。

3.操练（10分钟）教师通过PPT展示一些练习题，让学生运用角平分线的性质解决问题。

学生在纸上完成练习题，教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。

4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些巩固题，让学生再次运用角平分线的性质解决问题。

七年级数学下册 4.3 平行线的性质精练精析 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中七年级下册数学试题

平行线的性质(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2013·某某中考)如图,AB∥CD,AD平分∠BAC,若∠BAD=70°,那么∠ACD的度数为( )°°°°2.如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,∠EFB=65°,则∠AED'等于( )°°°°3.(2013·黄冈中考)如图,AB∥CD∥EF,AC∥DF,若∠BAC=120°,则∠CDF=( )°°°°二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,已知AB∥CD,BC∥DE,∠ABC=40°,则∠CDE=.5.如图所示,∠AOB的两边OA,OB均为平面反光镜,∠AOB=35°,在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上的点D反射后,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是.6.如图,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=35°24',则∠2的度数为.三、解答题(共26分)7.(8分)如图,∠B,∠D的两边分别平行.在图①中,∠B与∠D的数量关系为.在图②中,∠B与∠D的数量关系为.试分别说明理由,并用一句话归纳结论.8.(8分)已知:AB∥CD,OE平分∠AOD,OF⊥OE于O,∠D=60°,求∠BOF的度数.【拓展延伸】9.(10分)如图,已知AB∥CD,分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB,∠PCD的关系,请从你所得四个关系中选出任意一个,说明你探究的结论的正确性.结论:(1).(2).(3).(4).选择结论:,说明理由.答案解析1.【解析】∠BAC,∠BAD=70°,所以∠BAC=140°.因为AB∥CD,所以∠ACD=180°-∠BAC=40°.2.【解析】选C.根据长方形的对边平行知:AD∥BC,由两直线平行,内错角相等得∠DEF=∠EFB=65°.由折叠知∠D'EF=∠DEF=65°,所以∠AED'=180°-∠D'EF-∠DEF=180°-65°-65°=50°.故选C.3.【解析】∥CD,∠BAC=120°,所以∠ACD=60°.又因为AC∥DF,所以∠CDF=∠ACD=60°.4.【解析】因为AB∥CD,BC∥DE,∠ABC=40°,所以∠CDE=∠C=∠ABC=40°.答案:40°5.【解析】过点D作DF⊥射角等于反射角,所以∠1=∠3,因为CD∥OB,所以∠1=∠2(两直线平行,内错角相等),所以∠2=∠3(等量代换).在Rt△DOF中,∠ODF=90°,∠AOB=35°,所以∠2=55°,所以在△DEF中,∠DEB=180°-2∠2=70°.答案:70°6.【解析】先由∠1与AB⊥BC得到∠2的同旁内角为90°-35°24',因为直线a∥b,所以∠2=180°-(90°-35°24')=125°24' .答案:125°24'7.【解析】图①中∠B与∠D相等.理由:如图①,因为BE∥DF,所以∠CME=∠D,因为AB∥DC,所以∠B=∠CME,所以∠B=∠D.图②中∠B与∠D互补.理由:如图②,因为BE∥DF,所以∠BND+∠D=180°,因为AB∥DC,所以∠B=∠BND,所以∠B+∠D=180°.结论:如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.8.【解析】因为AB∥CD,所以∠AOD=180°-∠D=180°-60°=120°,∠BOD=∠D=60°,因为OE平分∠AOD,所以∠EOD=60°,因为OF⊥OE,所以∠DOF=90°-60°=30°,所以∠BOF=∠BOD-∠DOF=60°-30°=30°.9.【解析】结论:(1)∠PAB+∠APC+∠PCD=360°(2)∠APC =∠PAB+∠PCD(3)∠APC =∠PCD-∠PAB(4)∠APC =∠PAB-∠PCD选择结论:答案不唯一,理由:(1)过点P作PQ∥AB,因为AB∥CD,所以PQ∥CD,由PQ∥AB可得∠PAB+∠APQ=180°;由PQ∥CD得∠PCD+∠CPQ=180°,所以∠PAB+∠APQ+∠PCD+∠CPQ=360°,即∠PAB+∠APC+∠PCD=360°.(2)过点P作PQ∥AB,因为AB∥CD,所以PQ∥CD,由PQ∥AB可得∠PAB=∠APQ;由PQ∥CD得∠PCD=∠CPQ,所以∠APC =∠PAB+∠PCD.(3)因为AB∥CD,所以∠PEB=∠PCD,又因为∠AEP+∠APC+∠PAB=180°,∠PEB+∠AEP=180°,所以∠APC+∠PAB=∠PCD,即∠APC =∠PCD-∠PAB.(4)因为AB∥CD,所以∠PED=∠PAB,又因为∠CEP+∠APC+∠PCD=180°,∠PED+∠CEP=180°,所以∠APC+∠PCD=∠PAB,即∠APC =∠PAB-∠PCD.。

湘教版数学七年级下册_线段垂直平分线的性质定理

线段垂直平分线的性质定理内容：1．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．2．逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用：线段垂直平分线的性质定理是初中几何的基本定理，它在几何证明和求解中有着广泛的应用．现举例加以说明，供同学们参考．一、用于求线段的长【例1】如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长．【分析】题中有“线段垂直平分线”这个条件，因此考虑运用其性质定理，把BE与AE进行等量代换，再根据△BCE的周长及AC的长，可求出BC的长．【解】因为ED是线段AB的垂直平分线，所以BE=AE．因为△BCE的周长等于50，所以BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50，而AE+EC=AC=27，所以BC=50-27=23．二、用于求角的度数【例2】如图，在△ABC中，已知AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，且∠BAC=115º，∠EAF的度数．【分析】要求∠EAF的度数，可采用整体思想，结合条件“垂直平分线”得“线段相等”，进一步可得∠B=∠EAB，∠C=∠FAC，而∠B+∠C=180º-∠BAC=65º，从而可求得∠EAF的度数．【解】因为EM、FD分别是AB、AC的垂直平分线，所以EB=EA，FC=FA，所以∠B=∠EAB，∠C=∠FAC．因为∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF=180º，所以∠EAF=180º-2（∠B+∠C），而∠BAC=115º，所以B+∠C=180º-115º=65º，所以∠EAF=180º-130º=50º．三、用于证明两角（或线段）相等【例3】如图，已知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF．求证：∠B=∠CAF．【分析】证明两角（或两线段）相等的常用方法是证两三角形全等，或用等边对等角（等角对等边），而本题中∠B与∠CAF不在同一个三角形内，它们所在的三角形又不能全等，故应从垂直平分线入手考虑问题．由于EF垂直平分AD，所以AF=DF，可得∠FDA=∠FAD，而∠CAF=∠FAD-∠1，只要证明∠B=∠FDA-∠2即可，这可由三角形外角定理证得．【证明】因为EF垂直平分AD，所以FA=FD，所以∠FDA=∠FAD．因为∠B=∠FDA-∠2，∠CAF=∠FAD-∠1，又因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2，所以∠B=∠CAF．四、用于证明两线段垂直【例4】如图，在△ABC中，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，AD= BD．求证：DC⊥AC．【分析】要证DC⊥AC，可证∠ACD=90º．由于AD=BD，可在AB上取中点E，连结DE，由AB= 2AC及∠BAD=∠CAD，易证得△ADE≌△ADC，从而得∠ACD=∠AED．由AD= BD知D在AB的垂直平分线上，可知∠AED=90º，本题得证．【证明】在AB上取中点E，连结DE．因为AD= BD，E为AB的中点，所以ED⊥AB．因为AB= 2AC，所以AE= AB=AC．在△ADE和△ADC中，因为AE= AC，∠DAE=∠DAC，AD公用，所以△ADE≌△ADC，所以∠ACD=∠AED=90º，所以DC⊥AC．【注】由于受学习习惯的影响，很多同学在可以用线段垂直平分线定理证明两角（或线段）相等，或证明两线段垂直（或直角）的地方，仍习惯用三角形全等的方法，这无形中增加了解（证）的复杂程度，我们在学习中应有意识地应用新定理探求新的解（证）题途径，切勿机械套用全等三角形知识．。

湘教版数学七年级(下册)几何(③⑤章)基本知识点与方法总结1

湘教版七年级下册几何（③⑤章）基本知识点与方法总结第三章平面上直线的位置关系和度量关系一、知识结构图：二、知识点：1.线段、直线、射线：①线段的形象描述：一条拉紧的绳子.一段笔直的铁轨。

特征：两个端点、两个方向。

②直线：一条线段向两端无限延伸后的几何图形。

特征：没有端点.有两个方向。

③射线：一条线段向某一方向无限延伸后的几何图形。

特征：只有一个端点.一个方向。

④点与直线的位置关系：a:点在直线外. b:点在直线上。

⑤两个公理：直线公理：过两点有且仅有一条直线。

线段公理：连接两点的所有线段中.线段最短。

⑥线段长短的比较：a:度量方法。

b:截取的方法2.角：①角的定义：一条射线绕它的端点旋转到另一位置时所形成的图形。

②角的进制：1º=60′=3600″③角的分类：锐角 (0º<α<90º)直角=90º 角钝角（90º<α<180º)平角=180º 周角=360º④两个角的概念：a. 补角：若 ∠A+∠B=180º,则 ∠A 与∠B 互为补角。

b. 余角：若 ∠A+∠B=90º,则 ∠A 与∠B 互为余角。

结论：同角或等角的余角相等.同角或等角补角相等。

⑤角的度量与比较：a.用量角器度量之后用数值比较。

B.用截取的方法比较。

⑥角平分线的定义：以一个角的顶点为端点的一条射线.如果把这个角分成两个相等的角.这条射线叫该角的平分线。

3.同一平面上直线的位置关系：平行两直线没有公共点 ①位置关系：相交两直线有且仅有一个公共点重合两直线有两个公共点②直线的平行关系的传递性：设a, b, c 是三条直线.如果 a ∥b,b ∥c,那么a ∥c③平行公理：经过一条直线外的一点有且仅有一条直线和已知直线平行。

④两相交直线产生的角：a. 对顶角结论：对顶角相等b. 邻补角结论：邻补角互补⑤两直线被第三条直线所截所产生的角：同位角：∠1与∠5,∠3与∠7等内错角：∠4与∠6.∠3与∠5同旁内角：∠4与∠5.∠3与∠64.图形的平移：定义：把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离。

七年级数学线段、直线、射线、角湘教版知识精讲

数学线段、直线、射线、角湘教版【本讲教育信息】一. 教学内容：线段、直线、射线、角［教学目标］1. 认识理解点、线段、射线、直线，掌握线段的中点、两点间距离及直线和线段的基本性质。

2. 会表示和区分线段、射线、直线，会运用性质解释生活问题。

3. 理解角的定义、角的和、差及角平分线、互余、互补、对顶角的概念。

4. 会比较角的大小，会用圆规、直尺准确地画出一个角等于已知角，会作一条线段等于已知线段的和、差、倍、分。

二. 重点、难点：1. 重点：直线、线段的基本性质，线段的中点，两点间的距离及线段计算，平角、周角、角平分线的定义，角度的计算，余角、补角的定义与应用。

2. 难点：线段长度的计算，角度的计算，余角、补角的定义与应用。

三. 本周知识要点：1. 直线、段线、射线这三者的区别与联系：线段有两个端点，将一条线段向两端无限延伸后给我们以直线的形象，直线没有端点，线段向一端无限延伸所成的图形叫射线，射线有一个端点。

2. 线段、直线、射线的表示方法：（1）如一条线段有两个端点A、B，可以把线段表示为“线段AB或BA”或用一个小写字母a，表示为“线段a”。

（2）直线上两个点的字母可以表示一条直线，有时也用一个小写字母表示，如图用“AB 或l表示”。

（3）如一条射线以一点D为端点，可在射线上另取一点A，把它记作“OA”，端点字母要写在前面，也可用一小写字母l表示一条射线。

3. 直线的一个性质（关于直线的公理）：通过两点有一条直线并且只有一条直线。

4. 线段的性质：连结两点的所有连线中，线段最短。

5. 如图线段AB上有一点C，使AC＝BC，则点C叫线段AB的中点，如图所示。

6. 角的定义：一条射线绕着它的端点旋转到另一位置时所成的图形叫作角，或有公共端点的两条射线所成的图形也叫做角。

学过的角有：锐角、直角、钝角、平角、周角。

以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线叫该角的角平分线。

湘教版七年级数学下册同步练习第3章因式分解公式法第2课时课后作业

公式法(第2课时)(30分钟50分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2013·南昌中考)下列因式分解正确的是( )A.x2-xy+x=x(x-y)B.a3-2a2b+ab2=a(a-b)2C.x2-2x+4=(x-1)2+3D.ax2-9=a(x+3)(x-3)2.a4b-6a3b+9a2b因式分解的正确结果是( )A.a2b(a2-6a+9)B.a2b(a+3)(a-3)C. b(a2-3)2D.a2b(a-3)23.多项式①16x3-4x;②(x-1)2-4(x-1)+4;③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+4x因式分解后，结果中含有相同因式的是( )A.①②B.③④C.①④D.②③二、填空题(每小题4分，共12分)4.(2013·沈阳中考)因式分解:3a2+6a+3= .5.用因式分解法计算:782+156×22+222=( )2= .6.若a+b=4，ab=3，则a3b+a2b2+ab3的值是.三、解答题(共26分)7.(9分)因式分解:(1)(a+b)2+6(a+b)+9.(2)-2xy-x2-y2.(3)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4.8.(7分)观察“探究性学习”小组的甲、乙两位同学进行的因式分解如下:(1)x2-xy+4x-4y=(x2-xy)+(4x-4y)(分成两组)=x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式)=(x-y)(x+4).(2)a2-b2-c2+2bc=a2-(b2+c2-2bc)(分成两组)=a2-(b-c)2=(a+b-c)(a-b+c).(直接运用公式)你能在他们的启发下，对下面的式子进行因式分解吗?(1)ab-ac+bc-b2.(2)x2-y2-6x+9.【拓展延伸】9. (10分)阅读理解:我们知道，多项式a 2+6a+9可以写成(a+3)2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解.当一个多项式(如a2+6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法:a2+6a+8=(a+3)2-1=[(a+3)+1][(a+3)-1]=(a+4)(a+2).请仿照上面的方法，将下列各式因式分解:(1)x2-6x-27.(2)x2-(2n+1)x+n2+n.答案解析1.【解析】选B.x2-xy+x=x(x-y+1)，故选项A错误.a3-2a2b+ab2=a(a2-2ab+b2)=a(a-b)2，故选项B正确.x2-2x+4=x2-2x+1+3=(x-1)2+3，此过程不叫因式分解，故选项C错误.ax2-9无法分解，故选项D错误.2.【解析】选D.a4b-6a3b+9a2b = a2b(a2-6a+9)=a2b(a-3)2.3.【解析】选C.①的结果是4x(2x+1)(2x-1);②的结果是(x-3)2;③的结果是(x2+1)2;④的结果是-(2x-1)2.故①和④有相同因式2x-1.4.【解析】3a2+6a+3=3(a2+2a+1)=3(a+1)2.答案:3(a+1)25.【解析】782+156×22+222=782+2×78×22+222=(78+22)2=1002=10000.答案:78+22 100006.【解析】a3b+a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=×3×42=24.答案:247.【解析】(1)(a+b)2+6(a+b)+9=(a+b+3)2.(2)-2xy-x2-y2=-(x2+2xy+y2)=-(x+y)2.(3)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4=(x2-2xy+y2)2=(x-y)4.8.【解析】(1)原式=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)+b(c-b)=a(b-c)-b(b-c)=(b-c)(a-b).(2)x2-y2-6x+9=(x2-6x+9)-y2=(x-3)2-y2=(x-3+y)(x-3-y).9.【解析】(1)x2-6x-27=x2-6x+9-9-27=(x-3)2-62=(x-3+6)(x-3-6)=(x+3)(x-9).(2)x2-(2n+1)x+n2+n=x2-(2n+1)x+-+n2+n=-==(x-n)(x-n-1).。

2021~2022学年初中数学湘教版七年级(下)期末质量检测卷B试题及答案

第1页共6页第2页共6页2021~2022学年七年级（下）期末质量检测卷B数学（湘教版）注意事项：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选出正确的答案。

1.下列App 图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2.二元一次方程组的解是（） A ．B ．C ．D ．3.下列各式中，计算正确的是（） A ．x （2x ﹣1）＝2x 2﹣1 B ．（a +2b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣4b 2C ．（a +2）2＝a 2+4D ．（x +2）（x ﹣3）＝x 2+x ﹣64.分解因式x 2+ax +b ，甲看错了a 的值，分解的结果为（x +6）（x ﹣1），乙看错了b 的值，分解结果为（x ﹣2）（x +1），那么x 2+ax +b 分解因式的正确结果为（） A ．（x ﹣2）（x +3）B ．（x +2）（x ﹣3）C ．（x ﹣2）（x ﹣3）D ．（x +2）（x +3）5.如图，AB ∥CD ，∠DCE 的角平分线CG 的反向延长线和∠ABE 的角平分线BF 交于点F ，∠E ﹣∠F ＝36°，则∠E ＝（）A ．82°B ．84°C ．97°D ．90°6.如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸的格点上，若△CDO 是由△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转而得，则旋转的角度是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”号召，东营市教育局发布关于疫情防控期间开展在线课程教学的通知：从2月10日开始，全市中小学按照教学计划，开展在线课程教学和答疑．据互联网后台数据显示，某中学九年级七科老师2月10日在线答疑问题总个数如下表所示，则2月10日该中学九年级七科老师在线答疑问题总个数的平均数是（）学科语文数学英语物理化学道法历史数量/个 2628 2826 24 2122A ．22B ．24C ．25D ．268.已知d=x 4﹣2x 3+x 2﹣12x ﹣5，则当x 2﹣2x ﹣5=0时，d 的值为（） A ．25B ．20C ．15D ．109.已知关于x 、y 的方程组，其中﹣3≤a ≤1，给出下列说法：①当a ＝1时，方程组的解也是方程x +y ＝2﹣a 的解；②当a ＝﹣2时，x 、y 的值互为相反数；③若x ≤1，则1≤y ≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（）A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．②③10.如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，∠C ＝110°，点E ，F 分别在AB ，BC 上，将△BEF 沿EF 翻折，得△GEF ，若GF ∥CD ，GE ∥AD ，则∠D 的度数为（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。

湘教版2023-2024学年七年级下册数学期末题型专练(填空题C卷)含答案

湘教版2023-2024学年七年级下册数学期末题型专练（填空题C 卷）1.为了庆祝神舟十五号成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小彬计划制作一个如图所示的简易飞机模型.已知该模型是一个关于AC 对称的轴对称图形，若，30cm AB =，则__________cm.22cm AC =AD =2.已知，则代数式的值为________.1a b +=2229a b b ++-3.分解因式：_______.224ax ay -=4.若，则__________.2(2)(5)x x x mx n ++=++m n +=5.如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形ABC BC 3cm DEF ABC 16cm 的周长为_____.ABFD6.如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______.7.某学生记录了家中六个月的用电情况，六个月缴纳的电费依次为（单位：元）：69，77，85，90，73，98，这组数据的中位数是____________，极差是____________，平均数是____________.8.如图，直线a 与的一边OA 相交，，向下平移直线a 得到直线b ，直线AOB ∠1130∠=︒b 与的另一边OB 相交，则_________.AOB ∠23∠+∠=9.已知关于的二次三项式，则分解因式的结x ()()23232x mx x x a +-=-+2441ax mx -+果为_____.10.已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为x y 33521x y k x y k+=⎧⎨-=-⎩6x y -=k ______.11.已知一组数据，，，的方差，则，，的方差1x 2x 3x 20x ⋯⋯7121x -221x -20......21x -为_______.12.如图，分别为的平分线，则,,,AB CD DE BE BF DF ⊥∥,ABE CDE ∠∠______°.BFD ∠=13.如图，一副三角板的三个内角分别是，，和，，，如图，若固90︒45︒45︒90︒60︒30︒定，将绕着公共顶点B 顺时针旋转度（），当边与ABC △BDE △α0180α<<DE 的某一边平行时，相应的旋转角的值为______.ABC △α答案以及解析1.答案：30解析：因为该模型是一个关于AC 对称的轴对称图形，若，，所以30cm AB =22cm AC =.30cm AD AB ==2.答案：10解析：2229a b b ++-()()29a b a b b =+-++29a b b =-++9a b =++19=+10=故10.3.答案：(2)(2)a x y x y +-解析：224ax ay -()224a x y =-，(2)(2)a x y x y =+-故答案为.(2)(2)a x y x y +-4.答案：17解析：因为，所以，，所以22(2)(5)710x x x x x mx n ++=++=++7m =10n =.17m n +=5.答案：22cm 解析：∵沿方向平移得到，ABC BC 3cm DEF ∴，，DF AC =3cm AD CF ==∴四边形的周长ABFD AB BF DF AD=+++AB BC CF AC AD=++++的周长ABC = AD CF++1633=++.22cm =故答案为.22cm6.答案：5解析：设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ，“优美矩形”ABCD 的周长为26，，a c =+，35d =故5.7.答案：，，812982解析：把这组数据从小到大排列为：69，73，77，85，90，98，所以这组数据的中位数是；7785281+÷=（）极差是；986929-=平均数是；697377859098682+++++÷=（）故81，29，82.8.答案：230︒解析：如图，过点O 作.//OC a 直线a 向下平移得到直线b ，，，//a b ∴//OC b ∴，，1180AOC ∴∠+∠=︒3180COB ∠+∠=︒，.123360∴∠+∠+∠=︒233601230∴∠+∠=︒-∠=︒9.答案：()221x -解析：∵，()()223233223(32)2x x a x ax x a x a x a -+=+--=+--∴，22323(32)2x mx x a x a +-=+--则，解得：，3222m a a =-⎧⎨-=-⎩11a m =⎧⎨=⎩将代入得：，11a m =⎧⎨=⎩2441ax mx -+2441x x -+∴，22441(21)x x x -+=-故()221x -解析：，33521x y k x y k +=⎧⎨-=-⎩①②①②得：-3⨯16y y ∴=①5⨯14211666316k x k y +=-=关于，的二元一次方程组的解满足， x y 33521x y k x y k+=⎧⎨-=-⎩6x y -=，∴142166361616k k +--=.32k ∴=11.答案：28解析：数据，，，的方差，1x 2x 3x 20x ⋯⋯7，()()()22212201720x x x x x x ⎡⎤∴-+-+⋯+-=⎣⎦，()12320120x x x x =⨯+++⋯+，，的平均数为121x ∴-221x -20......21x -，()()12201220212121 (211212020)x x x x x x x ++⋯+⨯-+-++-=-=-()()()2221220212121212121x x x x x x ⎡⎤--++--++⋯+--+⎣⎦ ()()()222122014420x x x x x x ⎡⎤=⨯-+-+⋯+-⎣⎦ ()()()22212201420x x x x x x ⎡⎤=⨯-+-+⋯+-⎣⎦47=⨯，28=故答案为.2812.答案：135解析：如图所示，过E 作，EG AB ∥∵，AB CD ∴，EG CD ∥∴，180180ABE BEG CDE DEG ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴°，360ABE BED CDE ∠+∠+∠=又∵，分别为的角平分线，DE BE ⊥BF DF ，ABE CDE ∠∠，∴，()1360901352FBE FDE ABE CDE ∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒（）∴四边形中，.BEDF 36036013590135BFD FBE FDE BED ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒故135.13.答案：45°，75°，165°解析：①如图1中，当时，//DE AB ，可得旋转角；45ABD D ∴∠=∠=︒45α=︒②如图2中，当时，//DE BC，可得旋转角；75ABD ABC CBD ABC D ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒75α=︒③如图3中，当时，作，//DE AC //BM AC 则，////AC BM DE ，，90CBM C ∴∠=∠=︒45DBM D ∠=∠=︒，可得旋转角，309045165ABD ∴∠=︒+︒+︒=︒165α=︒综上所述，满足条件的旋转角为45°，75°，165°，α故45°，75°，165°.。

湘教版数学七年级下册期末知识点复习+各章节培优题

七年级下册总复习第一章二元一次方程【知识点归纳】1.含有个未知数，并且项的次数都是的方程叫做二元一次方程。

2.把个含有未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成的方程组，叫做二元一次方程组。

3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程两边的值都的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。

4.由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有的代数式表示，再代入另一方程，便得到一个一元一次方程。

这种解方程组的方法叫做消元法，简称代入法。

5.两个二元一次方程中同一未知数的系数或时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。

这种解方程组的方法叫做消元法，简称加减法。

6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找。

【典型例题】1．已知方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心，把c给看错了，解得，求abc的值．2．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．3．先阅读，然后解方程组．解方程组时，可由①得x﹣y=1③，然后再将③代入②得4×1﹣y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解方程组．4．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．解方程组解：由①﹣②得2x +2y=2即x +y=1③ ③×16得16x +16y=16④ ②﹣④得x=﹣1，从而可得y=2 ∴方程组的解是．（1）请你仿上面的解法解方程组．（2）猜测关于x 、y 的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证．5．南山植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为重庆市民春游踏青、赏四季花卉、观山城夜景的重要旅游景区．若该植物园中现有A 、B 两个园区，已知A 园区为矩形，长为（x +y ）米，宽为（x ﹣y ）米；B 园区为正方形，边长为（x +3y ）米．（1）请用代数式表示A 、B 两园区的面积之和并化简；（2）现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加（11x ﹣y ）米，宽减少（x ﹣2y ）米，整改后A 区的长比宽多350米，C D 投入（元/平方米） 13 16 收益（元/平方米）1826且整改后两园区的周长之和为980米．若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：求整改后A、B两园区旅游的净收益之和．（净收益=收益﹣投入）6．江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3吨/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨．（1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？（2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1375千元，A，B两种原料还剩下多少吨？7．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？第二章整式的乘法【知识点归纳】1.同底数幂相乘，不变，相加。

角平分线的性质

《角平分线的性质》说课我从教材分析、教法与学法、教学过程、设计说明四个方面对我的教学设计加以说明．一、教材分析（一）地位和作用：本节课选自湘教版教材《数学》八年级下册第一章，本节课的教学内容包括探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。

是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．（二）教学目标1、知识目标：（1）探索并证明角平分线性质定理的逆定理.（2）会用角平分线性质定理的逆定理解决问题了解尺规作图的原理及角的平分线的性质.2、基本技能让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的判定，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。

3、数学思想方法：从特殊到一般4、基本活动经验：体验从操作、测量、猜想、验证的过程，获得验证几何命题正确性的一般过程的活动经验设计意图：通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力和数学建模能力了解角的平分线的性质在生产，生活中的应用培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情.（三）教学重难点进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把本节课的教学重点定为：理解角的平分线的性质并能初步运用，难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习．二、教法和学法本节课我坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”．鼓励学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、学法的最优组合．教学辅助手段：根据本节课的实际教学需要，我选择多媒体PPT课件，几何画板软件教学，将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握．三．教学过程（一）创设情景引出课题出示生活中的数学问题：问题1如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？［设计意图］利用多媒体渲染气氛，激发情感．教师利用多媒体展示，引领学生进入实际问题情景中，利用信息技术既生动展示问题，同时又通过图片让学生身临其境般感受生活。

湘教版八下数学1.4角平分线的性质说课稿

湘教版八下数学1.4角平分线的性质说课稿一. 教材分析湘教版八下数学第1.4节“角平分线的性质”，是在学生学习了角的概念、角的计算等基础知识后，进一步引导学生探究角平分线的性质。

本节内容通过探究角平分线的性质，培养学生的观察能力、推理能力及动手操作能力，使学生能更好地理解和运用角平分线的相关知识。

二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了角的基本知识，对角的计算、角的大小比较等有一定的了解。

但学生在角平分线的性质的理解上，可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、推理等方法，深入理解角平分线的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能理解角平分线的性质，并能运用角平分线的性质解决相关问题。

2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、推理等方法，培养观察能力、推理能力及动手操作能力。

3.情感态度与价值观目标：学生体验数学探究的过程，增强对数学的兴趣和信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：角平分线的性质。

2.教学难点：角平分线性质的推理和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导探究法、讨论法、演示法。

2.教学手段：黑板、粉笔、几何画板、教学课件。

六. 说教学过程1.导入：通过复习角的基本知识，引导学生进入对新知识的学习。

2.探究角平分线的性质：引导学生观察、操作、推理，探究角平分线的性质。

3.讲解与演示：教师讲解角平分线的性质，并用几何画板进行演示。

4.练习与讨论：学生进行练习，教师引导学生讨论，巩固角平分线的性质。

5.总结与拓展：教师引导学生总结本节课的内容，并进行拓展。

七. 说板书设计板书设计如下：角平分线的性质1.定义：角平分线是将一个角平分成两个相等角的线段。

2.性质：角平分线上的任意一点，到角的两边的距离相等。

3.应用：解决与角平分线相关的问题。

八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习结果和课堂讨论等方面进行。

教师应关注学生在学习过程中的参与程度、理解程度和运用能力，及时发现和解决问题。

七年级数学下：5.5角平分线的性质同步练习湘教版

CABDABCAB CDEF OPA B CDE角平分线的性质【基础知识扫描】1.三角形中到三边的距离相等的点是( )A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点C.三条中线的交点2.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°AD 的平分∠BAC, ∠BAD=20°,则∠B 的度数为( ) A. 40° B. 30° C. 60° D. 50°第2题图第3题图第4题图第6题图 3.如图, ∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D 到AB 的距离为( ) A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定4.如图,AB ∥CD,PB 平分∠ABC,PC 平分∠DCB,则 ∠P= 相等.【能力训练升级】6.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且AB=5cm,则△DEB 的周长为7.如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,AB=5cm,AC=3cm,则S △ABD ︰S △ACD = 第7题图第8题图第9题图第10题图 ∠ABC,M 求作一个角,使它等于21∠BAC （要求用尺规作图，并写出作法）;9.如图,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且DB=DC,求证:BE=CFD C BAABCDPABCDABCDE【探究创新实践】10.如图,已知E是∠AOB的平分线上的一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D，你能得到哪些结论？并证明你的结论。

参考答案1.D2.D3.C4. 90°5.角的两边的距离 7.5︰3 △EBD≌Rt△FCD(HL)10.OD=OC,CE=DE,DP=CP,OE⊥DC,∠DEO=∠CEO。

《角平分线的性质》教案湘教版

1．4角平分线的性质1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)一、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等【类型一】利用角平分线的性质求线段长如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE ⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD ＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长为DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝BC ＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案为7cm.方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．【类型二】利用角平分线的性质求面积如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.若AB＝18cm，BC＝12cm，DE＝2.4cm，求△ABC的面积．解析：根据角平分线的性质得到DE＝DF，再将△ABC分成△BCD和△ADB两个三角形，分别求出它们的面积再求和．解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF ⊥BF，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝12BC·DF＋12AB·DE＝12(BC＋AB)·DE＝12×30×2.4＝36(cm2)．方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和．【类型三】利用角平分线的性质进行证明如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD，求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.解析：过点P作PE⊥BA，根据已知条件得Rt△BPE≌Rt BPD，再根据AB＋BC＝2BD得AE＝CD，可证Rt△APE和Rt PDC，可得∠PCD＝∠P AE，根据邻补角互补可得∠BAP ＋∠BCP ＝180°.证明：过P 作PE ⊥AB ，交BA 的延长线于E .∵PD ⊥BC ，∠1＝∠2，∴PE ＝PD ，在Rt △BPE 和Rt △BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PD ，BP ＝BP ，∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL)，∴BE ＝BD .∵AB＋BC ＝2BD ，BC ＝CD ＋BD ，AB ＝BE －AE ，∴AE ＝CD .∵PE ⊥BE ，PD ⊥BC ，∴∠PEA ＝∠PDC ＝90°.在△PEA 和△PDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧PE ＝PD ，∠PEB ＝∠PDC ，AE ＝CD ，∴△PEA ≌△PDC (SAS)，∴∠PCD ＝∠P AE .∵∠BAP ＋∠EAP ＝180°，∴∠BAP ＋∠BCP ＝180°.方法总结：题目中有角平分线可过角平分线上的点作角两边的垂线，这是角平分线题目中常见的辅助线．探究点二：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上如图所示，在△ABC 中，PD 垂直平分BC ，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 交AC 的延长线于点N ，且BM ＝CN .求证：∠1＝∠2.解析：先根据中垂线性质得出PB ＝PC ，再根据HL 证Rt △PBM ≌Rt △PCN ，再根据角平分线性质的逆定理得出结论．证明：连接PB 、PC .∵PD 垂直平分BC ，∴PB ＝PC .∵PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，∴∠PMB ＝∠PNC ＝90°.在Rt △PBM 与Rt △PCN 中，∵PB ＝PC ，BM ＝CN ，∴Rt △PBM ≌Rt △PCN (HL)．∴PM ＝PN .∴点P 在∠BAC 的平分线上，即∠1＝∠2.方法总结：证明一条射线是角的平分线有两种方法：一是利用三角形全等证明；二是利用角平分线性质定理的逆定理证明．显然，方法二比方法一更简捷，在用方法二判定一条射线是一个角的平分线时一般分两步：一是找出或作出射线上的一点到角两边的垂线段；二是证明这两条线段相等．探究点三：角平分线的性质和判定的综合应用如图所示，在△ABC 外作等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE ，且使它们的顶角∠DAB ＝∠EAC ，连接BE 、CD 相交于P 点，AP 的延长线交BC 于F 点，试判断∠BPF 与∠CPF 的关系，并加以说明．解析：首先猜想∠BPF ＝∠CPF ，即∠DP A ＝∠EP A ，显然这两个角所在的三角形不一定全等，可考虑用角平分线的判定来求解．解：∠BPF ＝∠CPF ，理由如下：过A 点作AM ⊥DC 于M ，作AN ⊥BE 于N .∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAE ，在△BAE 和△DAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAC ，AE ＝AC ，∴△BAE ≌△DAC (SAS)，∴BE ＝DC ，S △BAE ＝S △DAC .∵AM ⊥DC ，AN ⊥BE ，∴12BE ·AN ＝12DC ·AM ，∴AN ＝AM ，∴P A 平分∠DPE ，∴∠DP A ＝∠APE .又∵∠DP A ＝∠CPF ，∠EP A ＝∠BPF ，∴∠BPF ＝∠CPF .方法总结：证明两个角相等：①如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；②如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定．探究点四：利用角平分线的性质作图如图所示，一条南北走向的铁路与一条东西走向的公路交叉通过，一工厂在铁路的东面，公路的南面，距交叉路口300m，并且工厂到铁路与公路的距离相等．请在图上标出工厂的位置，并说明理由(比例尺为1∶20000)．解：画出∠AOB的平分线OC，在射线OC上量出表示实际距离300m长度的图上距离线段OP，OP＝300×120000＝0.015(m)＝1.5(cm)．因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点P即是工厂在图中的位置．方法总结：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，进一步运用数学知识来解决．三、板书设计角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程.。