条据书信 如何证明是向量空间
4.5 向量空间(同济大学第五版)
V = { λ1a1 + λ2a2 + …+ λmam | λ1, λ2, ..., λm∈R }
向量在给定基下的坐标
定义 设 , , …, 是向量空间 V 的一个基, x V, 则 1 2 r
x 可由 1, 2, …, r 线性表出: ( x1, x2, …, xrR ) x = x1a1x2a2 xrar , (1)
§5 向量空间
封闭的概念
定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到 的结果仍属于该集合． 例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？
� � �
整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
向量空间的概念
定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果 ① 集合 V 非空， ② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭， 具体地说，就是：
x11 x2 2 xr r y11 y2 2 yr r
例3
集合
V{x| x(0 x2 xn)T x2 xnR} 是一个向量空间 证明 若a(0 a2 an)T V b(0 b2 bn)T 则 ab(0 a2b2 anbn)TV a(0 a2 an)TV
满足
向量空间的基 设V 为向量空间 若有 r 个向量 a1 a2 arV 且满足 ① a1 a2 ar 线性无关 ② V 中任一向量都可由 a1 a2 ar 线性表示 则称向量组 a1 a2 ar 就称为向量空间V 的一个基 基础解系
空间向量基本定理的推论证明
空间向量基本定理的推论证明
摘要：
I.引言
- 空间向量基本定理简介
- 推论及证明的背景和意义
II.空间向量基本定理
- 空间向量基本定理的定义
- 空间向量基本定理的性质
III.推论及证明
- 推论1：如果两个向量线性无关，则它们是空间中的两个不同向量- 证明1：反证法
- 推论2：如果两个向量线性相关，则它们可以用一个向量线性表示- 证明2：构造法
- 推论3：如果一个向量是零向量，则它是线性相关的
- 证明3：直接证明
IV.结论
- 空间向量基本定理推论的总结
- 空间向量基本定理在数学中的应用和意义
正文：
空间向量基本定理的推论证明
I.引言
空间向量基本定理是线性代数中的一个重要定理，它为我们研究空间向量的性质和运算提供了基础。在本文中，我们将介绍空间向量基本定理的一些推论，并通过证明这些推论来加深对空间向量基本定理的理解。
II.空间向量基本定理
空间向量基本定理是指：如果三个向量线性无关，则它们是空间中的三个不同向量。这个定理表明，任何一个线性空间都可以通过三个线性无关的向量来表示。这三个向量被称为空间的基底，它们是空间中的基本元素，可以用来表示空间中的任意向量。
空间向量基本定理还有一个重要的性质，即：如果两个向量线性相关，则它们可以用一个向量线性表示。这个性质为我们研究空间向量的性质和运算提供了方便。
III.推论及证明
1.推论1：如果两个向量线性无关，则它们是空间中的两个不同向量
证明：假设两个向量线性无关，那么它们不能用同一个向量线性表示。如果它们是同一个向量，那么它们可以用一个向量线性表示，与假设矛盾。因此，它们是空间中的两个不同向量。
空间向量基本定理的推论证明
空间向量基本定理的推论证明
引言
空间向量基本定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了向量的线性相关性和线性无关性之间的关系。本文将探讨空间向量基本定理的推论证明，深入分析其数学原理和推导过程。
空间向量基本定理
空间向量基本定理是指：任意n个非零向量组成的集合S中，如果存在一个向量可以由其余n-1个向量线性表示，那么这n个向量线性相关。
推论证明
推论1：如果n个向量中存在一个零向量，那么这n个向量线性相关。
证明：假设n个向量组成的集合S中存在一个零向量0。我们可以将零向量0表
示为其他n-1个向量的线性组合，即存在一组不全为零的实数c1, c2, …, cn-1，使得：0 = c1 * v1 + c2 * v2 + … + cn-1 * vn-1 其中v1, v2, …, vn-1为
S中的其他n-1个向量。
由于0向量的存在，上述等式左边为零向量，而右边的线性组合也为零向量。因此，我们可以得到以下等式：c1 * v1 + c2 * v2 + … + cn-1 * vn-1 = 0 由于c1, c2, …, cn-1不全为零，所以这个等式表明n个向量线性相关。
推论2：如果n个向量中存在一个向量可以由其余n-2个向量线性表示，那么这n
个向量线性相关。
证明：假设n个向量组成的集合S中存在一个向量vn可以由其余n-2个向量线性表示，即存在一组不全为零的实数c1, c2, …, cn-2，使得： vn = c1 * v1 +
c2 * v2 + … + cn-2 * vn-2 其中v1, v2, …, vn-2为S中的其他n-2个向量。
向量空间证明
向量空间证明
第一篇：向量空间证明
向量空间证明解题的基本方法：
1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中 2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法 2 解：
因为x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z为任意实数
则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)步骤1 记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA 为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
第二篇：向量空间证明
向量空间证明
解题的基本方法：
1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中
2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;
3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;
向量空间证明
向量空间证明
向量空间证明解题的基本方法：
1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中
2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;
3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;
4)求解给定问题
证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的
向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可
只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法
2
解：
因为x+y+z=0
x=-y-z
y=y+0*z
z=0*y+z
(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z
y,z为任意实数
则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)
步骤1
记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步骤2.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步骤3.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
第四节 向量空间
例2 向量集合: V1={X=(x1,x2,x3,x4)| x1,,x4R, x1+x2+x3=x4} V2={X=(x1,x2,x3,x4)| x1,,x4R, x12=x4} 是否是向量空间? 解: 对V1 : (1)若=(a1,a2,a3,a4)V1, =(b1,b2,b3,b4)V1 +=(a1+b1,a2+b2,a3+b3,a4+b4) ai+biR (i=1,2,3,4) (a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3) =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3) =a4+b4 +V1
定义12 设V2是一个向量空间,V1是V2的一 个非空子集,若V1对于V2中所定义的加法及 数乘两种运算也构成一个向量空间,则称 V1为V2的子空间. 在向量空间V中,只由零向量组成的子 集是V的一个子空间,称为零空间. 向量空间V本身也是V的一个子空间.
例3 设1,2,,m是已知n维向量,集合 V={X=11+22++mm|1,2,,mR} 是一个向量空间. ∵(1)若X1,X2V, 则 X1=a11+a22++amm (aiR) X2=b11+b22++bmm (biR) X1+X2=(a1+b1)1+(a2+b2)2++(am+bm)m V (2)若X1V, R, 则X1=a11+a22++ammV 这个向量空间称为由向量组1,2,,m 所生成的向量空间.
向量空间的基本性质与判定定理
向量空间的基本性质与判定定理向量空间是线性代数中的重要概念，它有一些基本的性质和判定定理。本文将介绍向量空间的定义、基本性质和判定定理，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、向量空间的定义
向量空间是一种包含了向量的集合，满足特定的运算规则和性质。具体而言，向量空间要满足以下三个条件：
1. 封闭性：对于向量空间V中的任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v也属于V。
2. 结合律：对于向量空间V中的任意三个向量u、v和w，
(u+v)+w=u+(v+w)。
3. 数乘结合律：对于向量空间V中的任意标量c和任意向量v，有c(v+u)=cv+cu。
二、向量空间的基本性质
1. 零向量：向量空间V中存在一个特殊的向量0，称为零向量，满足对于任意向量v，v+0=v。
2. 负向量：对于向量空间V中的任意向量v，存在一个唯一的向量-v，满足v+(-v)=0。
3. 唯一性：向量空间V中的零向量和负向量是唯一的，即只有一个零向量和一个负向量。
三、向量空间的判定定理
判定一个集合是否构成向量空间的基本手段是验证其是否满足向量空间的定义和基本性质。除此之外，还有一些判定定理可以用来简化判定过程。
1. 零向量的存在性：一个集合构成向量空间的必要条件是存在一个零向量。
2. 加法逆元的存在性：一个集合构成向量空间的必要条件是每个向量都存在一个加法逆元。
3. 闭性的必要性：一个集合构成向量空间的必要条件是对于任意两个向量，它们的线性组合也属于该集合。
4. 向量空间的非空性：一个集合构成向量空间的充分必要条件是该集合非空。
向量空间的判断方法
向量空间的判断方法
判断一个集合是否构成向量空间，需要满足以下条件：
1. 集合中的元素必须满足封闭性，对于任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v也必须在集合中。
2. 集合中的元素必须满足加法交换律，对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。
3. 集合中的元素必须满足加法结合律，对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。
4. 集合中必须存在零向量，存在一个向量0，使得对于任意向量u，有u+0 = u。
5. 集合中的元素必须满足加法逆元存在性，对于任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。
6. 集合中的元素必须满足标量乘法封闭性，对于任意向量u和标量c，它们的标量乘积cu也必须在集合中。
7. 集合中的元素必须满足标量乘法结合律，对于任意向量u和标量c和d，有(cd)u = c(du)。
8. 集合中的元素必须满足分配律，对于任意向量u和标量c和d，有(c+d)u = cu+du和c(u+v) = cu+cv。
如果一个集合满足以上所有条件，那么它就是一个向量空间。需要注意的是，向量空间可以是有限维的，也可以是无限维的。
第6章向量空间
1. A+B=B+A 2. (A+B)+C= A+( B+C) 3. O＋A=A 4. A+(-A)=O
5. a(A+B)= aA+Ab 6. (a+b)B=a B +Bb 7. (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A＝A
例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可 以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个 向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的 方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都 有表达式，…… 类似的问题许多，……，有必要总结它们的共性：
三、重点、难点
线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概 念，替换定理的证明．
6.3.1 线性组合与线性表示
定义1
设1,2,,r是向量空间V的r个向量，a1, a2 , , ar
是数域F中任意r个数. 我们把和
a11 a22 arr
叫做向量 1, 2 ,, r的一个向量组合. 如果V 中某一向量可以表示成向量 1,2,,r的 线性组合，我们也说可以由 1,2,,r 线性表示. 零向量显然可以由任意一组向量1,2,,r 线性
证明 ：（1）首先，
0
0
0 0
F
怎样证明v是向量空间例题
怎样证明v是向量空间例题
在数学领域，向量空间是一个重要的概念，它是描述两个或多个向量的集合，用来定义和分析几何结构和数学空间结构。因此，证明一个向量属于某一向量空间非常重要，保证了向量空间的有效性，也方便了数学研究。本文就以证明v属于向量空间为例，进行深入探讨。
第二段：
首先要明确的是，要证明v属于向量空间，首先要确定v是什么样的向量，也就是要把它写出来，即v = (v1, v2, v3,…, vn)，然后再根据此例中所给出的向量空间的定义来判断。
第三段：
其次，要检验v是否属于所给的向量空间，可以采用规范矩阵法。首先，要把v作为矩阵中的一列，先在矩阵的行与列上添加一定数量的“*”，使得整个矩阵的形状保持完整；然后，在矩阵中添加v和其他基本向量，使得矩阵变为规范矩阵；最后，判断矩阵是否为满秩矩阵，如果是，则v属于所给的向量空间。
第四段：
在实际中，有可能存在多个不同类型的向量空间，这就需要引入线性无关的概念，即确定两个向量是否存在线性无关，也就是要判断两个向量的系数组合是否为0，如果是，则说明两个向量存在线性无关，不存在线性无关则说明可以构成一个新的向量空间。
第五段：
最后，值得一提的是，证明v属于向量空间的过程中，也可以采
用数学归纳法来证明。即给出若干个向量，以此为基础，证明v能够线性组合这些基础向量，从而构成一个新的向量空间，表明v属于所给的向量空间。
第六段：
总的来说，从概念上来讲，证明v属于向量空间，可以采取多种方法，例如规范矩阵法、数学归纳法等，本文分别介绍了几种方法，让读者对证明v属于向量空间有更深入的认识。
第十二次课 向量空间
证明 L1 L2 证
设 x L1，则 x 可由 1 ,, m 线性表示. 因 1 ,, m 可由 1 ,, s 线性表示，故 x 可由
1 ,, s 线性表示 x L2 L1 L2
同理 L2 L1
定义 设有向量空间 V1 及 V2 ，若 V1 V2 ，就称 V1 是
知 1 (1,1, 0,1)T , 2 (0, 0,1, 2)T
是V的一组基，且 dimV 2
定理4.5.1(基的扩张定理) 设 1 ,, m 是 R n 的一组线性 无关组，m n 则存在n-m个向量 m1 , , an 使得 1 ,, m , m1 ,, n 为 R n 的一组基。 例7 设 V span 1 , 2 span 1 , 2 其中
1 2 1 5 1 2 1 5 2 5 2 5 5 12 3 5 1 1 1 r 0 3 0 7 0 2 1 1 0 0 4 0 0 1 15 1 0 0 0 0 5
知 1 , 2 是向量组 1 ,, 5 的一个极大无关组，也是V的一组
在基 1 , , r 下坐标为 y ( y1 ,, yr )T
的过渡矩阵为P，则
基 1 ,, r 到基 1 , , r
x1 y1 1 , , r 1 , , r xr yr
空间向量基本定理的推论证明
空间向量基本定理的推论证明
摘要：
1.空间向量基本定理的概念和意义
2.空间向量基本定理的证明方法
3.空间向量基本定理的应用举例
4.空间向量基本定理在几何和物理中的意义
正文：
一、空间向量基本定理的概念和意义
空间向量基本定理是指在空间中，任意一个向量都可以表示为三个线性无关向量的和。这个定理为我们研究空间向量提供了一种基础性的理论支持，同时也是空间向量分析的重要基石。
二、空间向量基本定理的证明方法
空间向量基本定理的证明方法有很多，其中比较常见的方法是利用向量分解和向量投影。在这里，我们以向量投影为例进行证明。
假设在空间中有三个不共面的点A、B、C，我们以这三个点为顶点构建一个三角形ABC。由于三角形ABC 的三个顶点不共面，所以它可以看作是一个平面。我们设平面ABC 的法向量为n，向量AB、AC 分别与法向量n 垂直，那么向量AB、AC 在平面ABC 上的投影分别为AB·n 和AC·n。根据向量投影的定义，AB·n = |AB|·cosθ1，AC·n = |AC|·cosθ2，其中θ1 和θ2 分别为向量AB 和AC 与法向量n 的夹角。
由于向量AB 和AC 在平面ABC 上的投影分别为AB·n 和AC·n，所以
可以得到两个方程：
AB·n = |AB|·cosθ1
AC·n = |AC|·cosθ2
我们将这两个方程相加，可以得到：
AB·n + AC·n = |AB|·cosθ1 + |AC|·cosθ2
根据向量的加法和数量积的定义，上式可以变形为：
(AB + AC)·n = |AB|·cosθ1 + |AC|·cosθ2
向量空间证明(完整版)
向量空间证明
向量空间证明
29，
所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为
|a|·|b|＝22×29＝25
8.
8.如图，平面pa⊥平面ab，△ab是以a为斜边的等腰直角三角形，e，f，o分别为pa，pb，a的中点，a＝16，pa＝p＝
10.设g是o的中点，证明：
fg∥平面boe
.
证明：
如图，连接op，因为pa＝p，ab＝b，所以po⊥a，bo⊥a，
又平面pa⊥平面ab，所以可以以点o为坐标原点，分别以ob，o，op所在直线为x轴，轴，z轴建立空间直角坐标系o-xz .
则o，a，b，，p，e，f．由题意，得g．
→＝，oe→＝，因为ob
设平面boe的一个法向量为n＝，
→n·ob＝0?x＝0则?，即?，→＝0?－4＋3z＝0?oe?n·
取＝
3，则z＝
4，所以n＝．
→＝，得n·→＝0. 由fgfg
又直线fg不在平面boe内，所以fg∥平面boe
.
9.如图，四棱锥p-abd的底面为正方形，侧棱pa⊥底面abd，且pa
＝ad＝
2，e，f，h分别是线段pa，pd，ab的中点．
求证：
pb∥平面efh；
求证：
pd⊥平面ahf
.
证明：
建立如图所示的空间直角坐标系a-xz，
所以a，b，，d，p，e，f，h．
→＝，eh→＝，因为pb
→＝2eh→，所以pb
因为pb?平面efh，且eh?平面efh，
所以pb∥平面efh.
→＝，ah→＝，af→＝，因为pd
→·→＝0×0＋2×1＋×1＝0，所以pdaf
→·→＝0×1＋2×0＋×0＝0， pdah
所以pd⊥af，pd⊥ah，
又因为af∩ah＝a，所以pd⊥平面ahf.
第五篇：
向量空间的定义和基本性质
向量空间的定义和基本性质
向量空间是现代代数学的一个重要分支，与线性代数、函数论、微积分等领域有着紧密的联系。本文将介绍向量空间的定义及其
基本性质。
一、向量空间的定义
向量空间是指一个非空集合V及定义在其上的加法和数乘两种
运算，满足以下条件：
1. 加法满足结合律、交换律和存在零元素的性质。
2. 数乘满足分配律和结合律，并且存在单位元素1。
3. 两种运算满足对于任意的向量u、v和任意的标量a、b，有
如下运算规则：
（a+b）u = au + bu
a（u+v）= au + av
(ab)u = a(bu)
1u = u
其中，u、v为V中的向量，a、b为标量。
二、向量空间的基本性质
1. 向量空间存在唯一的零元素和相反元素
对于V中任意向量v，存在对应的相反元素-v，满足v+（-v）=0。而0是唯一的零元素，满足对于任意的向量v，v+0=v。
2. 向量空间存在唯一的单位元素
单位元素指的是满足1v=v的向量1，它是唯一的。
3. 向量空间中的线性组合
向量空间中的线性组合指的是将向量v、w按照一定比例组合得到的新向量，即av+bw。其中a、b为标量。线性组合具有封闭性，即对于任意的v、w和标量a、b，有av+bw仍然属于向量空间V。
4. 向量空间的维数
向量空间的维数是指该空间中线性无关向量的个数，记作dimV。如果一组向量v1、v2、...、vn线性无关，则称它们为向量空间的一组基底。任意向量都可以表示为这组基底的线性组合。
5. 向量空间的子空间
向量空间的子空间指的是一个向量空间中的子集，也是一个向量空间。它必须满足以下条件：
空间向量基本定理证明
空间向量基本定理证明
引言
在向量空间中，空间向量基本定理是一个重要的定理，它描述了空间中的向量组是否能够生成整个向量空间。本文将对空间向量基本定理进行证明，并详细解释其原理和应用。
空间向量基本定理的表述
设V是n维线性空间，S是V的一个有限维子空间。如果S的一组基向量可以扩充
为V的一组基向量，则称S在V中稠密。
空间向量基本定理的证明
步骤1：假设线性空间V是n维的，S是V的m维子空间，并且m < n。
步骤2：假设S有一组基底{v1, v2, …, vm}。
步骤3：将这组基底扩充为V的一组基底{v1, v2, …, vm, w1, w2, …, wn-m}，其中w1, w2, …, wn-m是线性无关的。
步骤4：对于任意一个属于V的向量x，可以表示为x = a1v1 + a2v2 + … + amvm + b1w1 + b2w2 + … + b(n-m)wn-m。
步骤5：由于w1, w2, …, wn-m是线性无关的，所以只有当b1 = b2 = … =
b(n-m) = 0时，才能使得x属于S。
步骤6：因此，S的一组基底可以扩充为V的一组基底，即S在V中稠密。
空间向量基本定理的应用
空间向量基本定理在线性代数和几何学中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用场景：
1. 判断向量组是否生成整个空间
通过空间向量基本定理，我们可以判断一个给定的向量组是否能够生成整个空间。如果给定的向量组可以扩充为该空间的一组基底，则说明该向量组能够生成整个空间；否则，说明该向量组不能生成整个空间。
2. 寻找子空间的补空间
向量空间的定义和基本性质
5.2向量空间的定义和基本性质
授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质
教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质
授课时数：3学时
教学重点：线性空间的定义及基本性质
教学难点：性质及有关结论的证明
教学过程：
一、线性空间的定义
1. 引例―――定义产生的背景
例子． 设F b a F n ∈∈,,,,γβα则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.
（1）αββα+=+ （2）)()(γβαγβα++=++
（3）ααα=+∀∃有零向量 （4）
0=-+-∀）（使，有对αααα （5）βαβαa a a +=+)( （6）αααb a b a +=+)(
（7）)()(ααb a ab = （8）αα=⋅1
这里F b a F n ∈∈,,,,γβα
2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质
Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作 ,,,γβα；F 是一个数域F c b a ∈ ,,,如果在集合V 中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了FV 到V 的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F 中元素与V 中的乘积记作V a a ∈αα,）。如果加法和纯量乘法满足：
1）αββα+=+
2）)()(γβαγβα++=++
3）ααα=+∈∀∈∃0,0，有对V V （找出元）
4）∃∈∀，V αˊV ∈使得αα+ˊ=称ˊ为的负向量（找出负元）
5）βαβαa a a +=+)(
6）αααb a b a +=+)(
7）)()(ααb a ab =
8）αα=⋅1
V 是F 上的一个线性空间，并称F 为基数域.
3. 进一步的例子――加深定义的理解
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如何证明是向量空间
向量空间证明解题的基本方法：
1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中
2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;
3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;
4)求解给定问题
证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可
只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法
2
解：
因为x+y+z=0
x=-y-z
y=y+0xz
z=0xy+z
(x,y,z)=(-1，1，0)xy+(-1，0，1)xz
y,z为任意实数
则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)
步骤1
记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步骤2.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。篇二:《空间向量在几何证明题解法》
空间向量在几何体中例题
1如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。
（1）求证：EF⊥CD；
（2）证明：PA//平面DEF
3．已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，
DAB90,PA底面ABCD，且PA AD DC 1
2
，
AB1，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。{如何证明是向量空间}.
16．（本题满分14分）求ax+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件。
2
6．（本题满分14分）解:若方程有一正根和一负根，等价于x1x2
1
0a＜0a
Δ44a02若方程有两负根，等价于0a 1
0 a
0＜a≤1
综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a＜0或0＜a≤1
由以上推理的可逆性，知当a＜0时方程有异号两根；当0＜a≤1时，方程有两负根
2
故a＜0或0＜a≤1是方程ax+2x+1=0至少有一负根的充分条件2
所以ax+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件是a＜0或0＜a≤1 5．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1，中，AD AA,AB2，点E在
棱AD上移11（1）证明：D1E A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1EC D的大小为
.4
解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，
建立空间直角坐标系，设AE x，则A,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)1(1
（1）因为DA,0,1),(1,x,1)0,所以DA1D1.1,D1(1
（2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E(1,1,1),AC(1,2,0)，
n AC0,
AD1(1,0,1)，设平面ACD1的法向量为(a,b,c)，则
AD10,
a2b0a2b
也即，得，从而n(2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离为
a c0a c
h
2121
.33
（3）设平面D1EC的法向量(a,b,c)，∴
CE(1,x2,0),D1C(0,2,1),DD1(0,0,1),
n D1C0,2b c0由令b1,c2,a2，x a b(x2)0.0,
∴n(2x,1,2).依题意cos
4
1
222
.
222(x2) 5
∴x12（不合，舍去），x22 3.
∴AE2D1EC D的大小为{如何证明是向量空间}.
.4
6．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上
一点，PF EC.已知PD
2,CD2,AE
1,2
求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
D（Ⅱ）二面角E PC的大小.
解：（Ⅰ）以D为原点，、、分别为
x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得D(0,0,0),PC(0,2,0)设A(x,0,0)(x0),则B(x,2,0),
113
E(x,,0),(x,,2),(x,,0).由PE CE得0，
222
即x
2
313
0,故x.由DE CE(,,0)(,,0)0得DE CE，422222
又PD DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得||1，故异面直线
PD,CE的距离为1.
（Ⅱ）作DG PC，可设G(0,y,z).由0得(0,y,z)(0,2,2)0即z
2y,故可取(0,1,2),作EF PC于F，设F(0,m,n)，
则(
31,m,n).22
31
,m,n)(0,2,2)0,即2m12n0，22
2212
m2,故m1,n,EF(,,).22222
由0得(