函数y=sin(ωx+φ)的图象的三种变换

解：显然A＝2
2 2 2 y 2 sin(2 x ) T
5 T ( ) 6 6
解法1：由图知当 x 时，y＝0 故有 6 y 2 sin( 2 x ) 3 所求函数解析式为 3 y 2 sin 2 x 的图象向左移 解法2：由图象可知将 6 即得 y 2 sin 2( x 6 ) ，即 y 2 sin( 2 x ) 3 3 所求函数解析式为 y 2 sin( 2 x )
y sin( x

6
)
13 6


2


3

6
2
2 3

3 5 2 3
2
x
-1
2012-12-5
平移变换 二、函数y=sin(x+)图象:
左 右 ①把y=sinx的图象向__ (φ>0时)或向___(φ<0时)平移 |φ|个单位长度得到y=sin(x+ φ)的图象.
的变化引起图象位置发生变化(左加右减)

3 2
2
x
1 y sin x 2
y sin x
y 2 sin x
1 函数 y 2 sin x、y 2 sin x与 y sin x的图象
间的变化关系.
y
2
1
O -1
-2
2012-12-5

2

3 2
2
x
1 y sin x 2
y 2 sin x
振幅变换 一、函数y=Asinx(A>0)图象: y=sinx
y=Asin(x+)
横坐标不变
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
2012-12-5
如何由y=sinx的图象得到y= 3sin( 解法一:
向右平移π /4个单位长度
1 x 2
-

4
)的图象?
第1步: y=sinx 的图象
y=sin(x -

4
)的图象
第2步: y=sin(x - 4 )的图象
所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变
y=Asinx
A的大小决定这个函数的最大(小)值
2012-12-5
探究二： 对函数图象的影响 试研究y sin( x ), y sin( x ) 与
y sin x的图象关系.
3

6
y y sin( x ) 1 3
2012-12-5
方法1:(先平移后伸缩)
y 3 2 1

3
y 3 sin( 2 x ) 3 y sin( 2 x ) 3

6

3
2 5 7 3 6 12
o
-1 -2
6

7 6
5 3
2
x
2012-12-5
-3
y sin( x ) 3
y sin x
总结: y=sinx
y=Asin(x+)
方法1:按先平移后变周期的顺序变换
y=sinx
向左>0 (向右<0)
平移||个单位
y=sin(x+)
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍 纵坐标不变 横坐标不变
y=sin(x+) y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
探究一： A 对函数图象的影响
y=Asinx与y=sinx的图象关系:
作下列函数图象:
y 2 sin x 1 y sin x 2 y
2 1 O -1 -2
2012-12-5
x sinx 2sinx
1 si nx 2
0

2

0
0 0
3 2
2
0
0 0
1
2
1 2
1
2
1 2
0
0 0
2
如何由y=sinx的图象得到y= 3sin( 解法二:
第1步：
1 x 2
-

4
)的图象?
y=sinx的图象
各点的横坐标伸长到原来的2倍
(纵坐标不变)
x )的图象
向右平移π /2个单位长度
1 y= sin( x )的图象 2
y= sin( 2 x - )的图象 4
1
1 第2步：y=sin( 2
1 y= 第3步: sin( 2 x - 4 )的图象
7 12
5 6
2
sin(2 x / 3)
3sin(2x+π/3) y 3
2
0 0
1 3
0 0
-1 -3
0 0
1


5 6

3

oπ 6 12 -1 -3


2

3 2
2
x
-2
2012-12-5
思考:如何由 y sin x 变换得
y 3 si n ( x 2

3
) 的图象？

各点的横坐标伸长到原来的2倍
(纵坐标不变)
横坐标不变
y=sin(
1 x 2
-

4
)的图象
第3步: y=sin(x - 4 )的图象

各点的纵坐标伸长到原来的3倍
y=3sin( 2x - 4 )的图象
1

思考：如果先伸缩再平移，是不是把上述第1步和第 2步 颠倒过来就可以了呢？
2012-12-5
如果不行，那么图像应该怎么进行变换呢？
上述变换称为振幅变换，据此 3 y 理论，函数 2 sin( 3 x 4 ) 的图象是由
y sin( 3 x 函数

而得到的？
4
) 的图象经过怎样的变换
2012-12-5
用“五点法”画出函数y=3sin(2x+π/3)的简图.
解:
x

6


3
2x

3
0

12
2

3 2
-1
y sin 2 x
2012-12-5
周期变换 三、函数y=sinx(>0)图象:
缩短 伸长 ②把所得图象各点的横坐标____(ω>1时)或___ 1/ω (0< ω<1时)到原来的___倍(纵坐标不变),得到 y=sin(ωx+φ)的图象.
决定函数的周期: T
2

2012-12-5

2
y sin x
O

y sin( x ) 6


3

6
2
2 3


3 5 2 3
2 13 x 6
-1
2012-12-5
y
y si n (x

3
)
1
o
yysinsinsinxxxx yysinsinsinxx yysinsinsin yyxsinsin ysinxsinx ysinxx yyxx yx y
为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数 y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B )而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.
2012-12-5
各点的纵坐标伸长到原来的3倍 横坐标不变
y=3sin(
1 x 2
-

4
)的图象
2012-12-5
探究one： 对函数图象的影响:平移变换
探究two： 对函数图象的影响：周期变换
探究three： A 对函数图象的影响：振幅变换
2012-12-5
备选题 如图是函数 y A sin(x ) 的图象，确定A、 、 的值。
2012-12-5
方法2:(先伸缩后平移)
y 3 2 1

y 3 sin( 2 x ) 3
y sin( 2 x ) 3

6

3
2 5 7 3 6 12

3
o
-1 -2
6

7 6
5 3
2
x
2012-12-5
-3
y sin(2 x ) sin 2( x ) 3 6
物 理 中 简 谐 振 动 的 相 关 物 理 量
A：振幅 (运动的物体离开平衡位 置的最大距离 ) 2 T：周期T＝
(运动的物体往复运动一 次所需要的时间 )
1 f：频率f ＝ T 2 (运动的物体在单位时间 内往复运动的次数 )
x ：相位
x 0时的相位称为初相
2012-12-5
O -1
4
2
3 4

3 2
2
5 2
3
7 2
4
x
y sin 2 x
y sin x
1 y sin x 2
2012-12-5
1 函数 y sin 2 x、y sin 2 x y sin x 与 的图象
间的变化关系. y
1

2
O

2
4 x
1 y sin x 2
2012-12-5
探究三： 对函数图象的影响
作函数
2x
y sin 2 x 及
y sin 1 x 的图象. 2
0 0 0

x
sin 2 x

2

2
4
3 2 2 3 4
1 x 2
0

2

3 2 2
x
sin 1 2 x
0
0
1
2 3 4 0 1
1
0 1 0
0
y 1

2 x 2 (

6
) 0


3
2012-12-5
y sin 2 x
y sin x
总结: y=sinx
y=Asin(x+)
方法2:按先变周期后平移顺序变换
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍
y=sinx
纵坐标不变
y=sinx
向左>0 (向右<0)
平移||/个单位
y sin ( x ) sin(x )
2012-12-5
பைடு நூலகம்
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
3 关键点 : (0,0), ( ,1), ( ,0), ( ,1), ( 2 ,0) 2 2

y 1
O 1
2012-12-5

2

3 2
2
x
y A sin(x )(其中A 0, 0)在简谐 运动中的相关概念: