正态—Wishart先验分布下多重线性回归模型的Bayes估计
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（ ， ） 其 中 Ｏ ，
（ ）
是 未 知 的 协 方 差 阵 ， ＞ Ｏ 假 定 对 这 ｋ个 自变 量 、ｎ个 因 变 量 进 行 ”次 观 测 ， ｏ ｒ 得
到 ”组 观 测 数 据 ： ｍ （
Ｙ ｌ １
２ ｌ
… ， Ｙ Ｙ２ … ， ） ｉ＝ １ ２ … ，／将 其 代 Ａ （ ）式 ， 有 撞； ｉ， Ｙ ， ， ， ｒ。 １ 则
收 稿 日期 ：０ １ ６—１ ２ ０ —０ ９ 朱慧明 男 ３ ６岁 博 士 生
维普资讯
总第 １ ５期 朱 慧 明 ２
韩 玉 启 正 态 一Ｗ ｉ ａｔ 验分 布 下 多重 线性 回归 模 型 的 Ｂ ｙｓ 计 ｓ ｒ先 ｈ ａｅ估
４５ ３
一
定 相互独立 ， 妨假设 它们服从多元 正态分布 ， ［ｌ ｅ … 不 即 ｅ ２
Ｊ Ｐ＋ｌｌｆ ２ 十 ２ “ ｏ ２ ＋２ 一 Ｙ ２ １ １ ＋ ２
：
（ １ ）
＋￡
式 中 ， （ ＝０， ， ， ＝ １ ２ … ， ） 未 知 参 数 ； ｌ ｅ ， ， 是 随 机误 差 项 ， ， １ … ｋ； ，， 是 ｅ ，２ … ｅ 它们 并 不
１ 模 型 的统 计 结构 及 其 参数 共轭 先 验 分布 的构 造
设 模 型 中有 ｋ个 自变 量 ｌ ， ， ｋ 个 因 变 量 Ｙ ， ２ … ， ， ， … Ｘ； ２ ｌＹ ， Ｙ 它们 之 间 存 在 如 下 线
性 关 系式 ：
ｆ ｌ＝ Ｐｌ＋ １ ＋ｆ １ Ｙ ｏ ｌ ｌ １ ｘ２＋ … ＋ １ ｋ＋ ｅ ２ Ｘ ｌ
置 ， 们 都 是 维 列 向量 ， 它 ｉ＝ １ ２ … ， 显 然 ｌ（）＝ （ Ｉ（） ￡ｍ 由 于 ￡ １， （）… ， ， ， ”。 ， ｘ／） ＋ （ （）￡２，
￡ 独 立 同分 布 （）
；
（ ， ） 所 以 Ｙ（ ｌ（） … ，， ） 互 独 立 ， 且 ｌ（）～ Ｎ （ ｘ／）加 ０ ， Ｄ，， ， ｌ（ 相 ２ 并 ， （ Ｉ（
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第 ２ ６卷 第 ４期
２０ ０ ２年 ８月
南 京
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＮ｛ ｏ ｒ ａ ｏ
理
工
大
学
学
报
Ｖ ｏ ． ６ Ｎｏ ４ １２ ．
Ａｕｇ．２０ ０２
ｉ ｎｉ ｅ ｓ ｔ ｆ Ｓ ｉ ｎｃ ｎｄ Ｔ ｎ２ Ｕ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｅ ｅ ａ
Ｙ× ＝ Ｚ
儿 殂
× ＋） １ ＋ ￡ × （ １ ＋） （ ×
或者 其 等 价形 式 ： Ｙ Ｄ ｙ ２ … ｙ ］ ＝ ［邓 ） ） （ ／ （ … （ ／ （ ］ ＋ ［ （ （ ） （ ） （ （ ｘＩ ２ １ ） ） ｘＩ ）） ［（ ￡ ） … ￡ ） ， ￡１ （ （ ］ 其中 ｙ 小 （ ／ （ 、（ 分别表示矩阵 ｌ 和￡的第 ｉ 的转 ） ２ （ ｘＩ ￡ ） ）） ， 、 行
ｅ儿 Ｅ２ １ ｅ１ ２ ｅ ｅｌ ｍ ｅ２ ｍ ：
Ｙ １ ２
２ ２
Ｙｌ ｍ Ｙ２ ｍ
＋
：
１
２ …
１ １
Ｊ
． ．．
ｌ １
１ …
，ＪＬ ｏ ｐ Ｐ ｌ
…
像 Ｊ ｌ ｅ１
（） ２
如 果将 上 式 中 的各 矩 阵 从 左 至 右 依 次 记 为 ｌ、 、 和 ￡， 它 可 简 化 为 ，ｘ 则
分类号 Ｏ １ ２２
通 常 ， 元 线 性 回归模 型 研 究 一 个 因变 量 与 一 个 或 多 个 自变 量 之 间 的 数 量 关 系 ， 而 ， 多 然 在 许 多 实 际 问 题 中 ， 常 需 要 考 虑 多 个 因 变 量 对 多 个 自变 量 之 间 的 依 赖 关 系 。 例 如 ： 工 厂 经 在
正 态 一Ｗ ｉ ａｔ 验 分 布 下 多 重 线 性 回归 ｓ ｒ先 ｈ 模 型 的 Ｂ ｙｓ 计 ａｅ 估
朱慧明 韩玉启
（ 京 理 工 大学 经 济 管 理 学 院 ， 京 ２ ０ ９ ） 南 南 １ ０ ４
摘要 该 文从 多 重 线 性 回 归模 型 的 基 本 统 计 结 构 出发 ， 其 Ｂ ｙｓ理 论 进 行 了深 对 ａｅ
中要 考 察 某 产 品 的质 量 特性 ， 反 映 产 品 质 量 特 性 的指 标 往 往 是 好 几 个 ， 是 产 品 的质 量 指 而 于
标 可作 为 多 个 因变 量 ， 同时 影 响产 品质 量 的 因素 也 有 多 个 ， 们 可 以 作 为 自变 量 ， 何 从 数 它 如 量上 揭示 这 种 多 个 因变 量 与 多 个 自变 量 之 间 的相 互 依 赖 关 系 ， 如 何 建 立 它们 的 回归 模 型 ， 又
入 的 研 究 。通 过 对 样 本 似 然 函数 的 分 解 ， 明 当协 方 差 阵 未 知 时 ， 态 一Ｗ ｉｈ ｒ 证 正 ｓ ａｔ
分 布 就 是 模 型参 数 矩 阵 的共 轭 先 验 分 布 ； 此 先 验 分 布 下 ， 在 系数 矩 阵 、 度 阵 的 后 精
验 分 布 分 别 为矩 阵 ｔ分 布 和 Ｗ ｉｈ ｒ 分 布 ， 此 求 出 了 它们 各 自的 Ｂ ｙ ｓ 计 。 ｓ ａｔ 据 ａｅ 估 关 键 词 多 重 回 归 ， ａ ｅ 计 ， 阵 ｔ分 布 Ｂ ｙｓ估 矩
以及 预 测 预 报 ， 就 是一 个 多 重 回 归分 析 问题 。 这
关 于 多 重 线 性 回归 模 型 的研 究 ， 率 统 计 学 派 已 有 其 深 人 的研 究 结 果 ， 文 拟 从 Ｂ ｙｓ 频 本 ａ ｅ 理 论 的 观 点 出 发 ， 讨 多 重 线 性 回 归模 型 的 Ｂ ｙｓ 论 。 探 ａｅ 理
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（ ， ） 其 中 Ｏ ，
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是 未 知 的 协 方 差 阵 ， ＞ Ｏ 假 定 对 这 ｋ个 自变 量 、ｎ个 因 变 量 进 行 ”次 观 测 ， ｏ ｒ 得
到 ”组 观 测 数 据 ： ｍ （
Ｙ ｌ １
２ ｌ
… ， Ｙ Ｙ２ … ， ） ｉ＝ １ ２ … ，／将 其 代 Ａ （ ）式 ， 有 撞； ｉ， Ｙ ， ， ， ｒ。 １ 则
收 稿 日期 ：０ １ ６—１ ２ ０ —０ ９ 朱慧明 男 ３ ６岁 博 士 生
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总第 １ ５期 朱 慧 明 ２
韩 玉 启 正 态 一Ｗ ｉ ａｔ 验分 布 下 多重 线性 回归 模 型 的 Ｂ ｙｓ 计 ｓ ｒ先 ｈ ａｅ估
４５ ３
一
定 相互独立 ， 妨假设 它们服从多元 正态分布 ， ［ｌ ｅ … 不 即 ｅ ２
Ｊ Ｐ＋ｌｌｆ ２ 十 ２ “ ｏ ２ ＋２ 一 Ｙ ２ １ １ ＋ ２
：
（ １ ）
＋￡
式 中 ， （ ＝０， ， ， ＝ １ ２ … ， ） 未 知 参 数 ； ｌ ｅ ， ， 是 随 机误 差 项 ， ， １ … ｋ； ，， 是 ｅ ，２ … ｅ 它们 并 不
１ 模 型 的统 计 结构 及 其 参数 共轭 先 验 分布 的构 造
设 模 型 中有 ｋ个 自变 量 ｌ ， ， ｋ 个 因 变 量 Ｙ ， ２ … ， ， ， … Ｘ； ２ ｌＹ ， Ｙ 它们 之 间 存 在 如 下 线
性 关 系式 ：
ｆ ｌ＝ Ｐｌ＋ １ ＋ｆ １ Ｙ ｏ ｌ ｌ １ ｘ２＋ … ＋ １ ｋ＋ ｅ ２ Ｘ ｌ
置 ， 们 都 是 维 列 向量 ， 它 ｉ＝ １ ２ … ， 显 然 ｌ（）＝ （ Ｉ（） ￡ｍ 由 于 ￡ １， （）… ， ， ， ”。 ， ｘ／） ＋ （ （）￡２，
￡ 独 立 同分 布 （）
；
（ ， ） 所 以 Ｙ（ ｌ（） … ，， ） 互 独 立 ， 且 ｌ（）～ Ｎ （ ｘ／）加 ０ ， Ｄ，， ， ｌ（ 相 ２ 并 ， （ Ｉ（
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第 ２ ６卷 第 ４期
２０ ０ ２年 ８月
南 京
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＮ｛ ｏ ｒ ａ ｏ
理
工
大
学
学
报
Ｖ ｏ ． ６ Ｎｏ ４ １２ ．
Ａｕｇ．２０ ０２
ｉ ｎｉ ｅ ｓ ｔ ｆ Ｓ ｉ ｎｃ ｎｄ Ｔ ｎ２ Ｕ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｅ ｅ ａ
Ｙ× ＝ Ｚ
儿 殂
× ＋） １ ＋ ￡ × （ １ ＋） （ ×
或者 其 等 价形 式 ： Ｙ Ｄ ｙ ２ … ｙ ］ ＝ ［邓 ） ） （ ／ （ … （ ／ （ ］ ＋ ［ （ （ ） （ ） （ （ ｘＩ ２ １ ） ） ｘＩ ）） ［（ ￡ ） … ￡ ） ， ￡１ （ （ ］ 其中 ｙ 小 （ ／ （ 、（ 分别表示矩阵 ｌ 和￡的第 ｉ 的转 ） ２ （ ｘＩ ￡ ） ）） ， 、 行
ｅ儿 Ｅ２ １ ｅ１ ２ ｅ ｅｌ ｍ ｅ２ ｍ ：
Ｙ １ ２
２ ２
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＋
：
１
２ …
１ １
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…
像 Ｊ ｌ ｅ１
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如 果将 上 式 中 的各 矩 阵 从 左 至 右 依 次 记 为 ｌ、 、 和 ￡， 它 可 简 化 为 ，ｘ 则
分类号 Ｏ １ ２２
通 常 ， 元 线 性 回归模 型 研 究 一 个 因变 量 与 一 个 或 多 个 自变 量 之 间 的 数 量 关 系 ， 而 ， 多 然 在 许 多 实 际 问 题 中 ， 常 需 要 考 虑 多 个 因 变 量 对 多 个 自变 量 之 间 的 依 赖 关 系 。 例 如 ： 工 厂 经 在
正 态 一Ｗ ｉ ａｔ 验 分 布 下 多 重 线 性 回归 ｓ ｒ先 ｈ 模 型 的 Ｂ ｙｓ 计 ａｅ 估
朱慧明 韩玉启
（ 京 理 工 大学 经 济 管 理 学 院 ， 京 ２ ０ ９ ） 南 南 １ ０ ４
摘要 该 文从 多 重 线 性 回 归模 型 的 基 本 统 计 结 构 出发 ， 其 Ｂ ｙｓ理 论 进 行 了深 对 ａｅ
中要 考 察 某 产 品 的质 量 特性 ， 反 映 产 品 质 量 特 性 的指 标 往 往 是 好 几 个 ， 是 产 品 的质 量 指 而 于
标 可作 为 多 个 因变 量 ， 同时 影 响产 品质 量 的 因素 也 有 多 个 ， 们 可 以 作 为 自变 量 ， 何 从 数 它 如 量上 揭示 这 种 多 个 因变 量 与 多 个 自变 量 之 间 的相 互 依 赖 关 系 ， 如 何 建 立 它们 的 回归 模 型 ， 又
入 的 研 究 。通 过 对 样 本 似 然 函数 的 分 解 ， 明 当协 方 差 阵 未 知 时 ， 态 一Ｗ ｉｈ ｒ 证 正 ｓ ａｔ
分 布 就 是 模 型参 数 矩 阵 的共 轭 先 验 分 布 ； 此 先 验 分 布 下 ， 在 系数 矩 阵 、 度 阵 的 后 精
验 分 布 分 别 为矩 阵 ｔ分 布 和 Ｗ ｉｈ ｒ 分 布 ， 此 求 出 了 它们 各 自的 Ｂ ｙ ｓ 计 。 ｓ ａｔ 据 ａｅ 估 关 键 词 多 重 回 归 ， ａ ｅ 计 ， 阵 ｔ分 布 Ｂ ｙｓ估 矩
以及 预 测 预 报 ， 就 是一 个 多 重 回 归分 析 问题 。 这
关 于 多 重 线 性 回归 模 型 的研 究 ， 率 统 计 学 派 已 有 其 深 人 的研 究 结 果 ， 文 拟 从 Ｂ ｙｓ 频 本 ａ ｅ 理 论 的 观 点 出 发 ， 讨 多 重 线 性 回 归模 型 的 Ｂ ｙｓ 论 。 探 ａｅ 理