《保险精算》之三--生命表

�
定义：( x)
的瞬时死亡率，简记 µx
s′( x) f ( x) µx = − = = − ln[ s( x)]′ s( x) s( x)
�
死亡力与生存函数的关系
x
s ( x) = exp{− ∫ µs ds}
0
x +t t
px = exp{− ∫ µ s ds}
x
20
死亡力
21
对 µ y 从 x 到 x + n 积分，有
∫
x+n x
µ y dy = − ∫
x+n x
s'( y) +n d y = − lns(y) | x = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n ) = − ln n p x s( x)
x+ n
p x = e ∫x
−
µ ydy
l25 − l50 = 0.2 l 25
由 (**) 式 可 得 ： 0.8 l 25 = l 50 代 入 (*) 可 得 ： 0.125l50 = 0.3l75 由此可推知 = 25 p50 = l 50
l75
0.125 = 0.4167 0.3
11
例： 已知 lx =1000×(1− 解： 50 l50 (1) 20 p30 = = 120 = 77.78% l30 1− 30 120 1− 45 50 (1 − ) − (1 − ) l45 −l50 120 120 (2) 20|5 q 25 = = = 5.26% 25 l25 1− 120
qx
4
生命表基本函数
l x − d x = l x +1 , x = 1, 2,L ω − 1 l x − n d x = l x + n , n = 1, 2, L ω − x − 1
ω −1
(1) (2) (3)
l0 =
n
dx ∑ x
=0
d x d x + d x+1 + L + d x+ n−1 = n qx = lx lx = qx + 1 qx + 2 qx + L + n−1 qx
在死亡均匀分布假设下，
E[S ( x)] = 1 2
o
故，
e x = ex + 1 2
30
整值平均余寿与中值余寿
中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年龄之 前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x岁 的中值余寿，则
Pr[T ( x) ≤ m( x )] = Pr[T ( x) > m( x )] = 1 2
l3 997255 = = 0.997255 l0 1000000
( 2 ) 在 1岁 和 3 岁 之 间 的 死 亡 人 数 为 l1 − l3 , 故 死 亡 概 率 为
l1 − l3 1165 = = 0.001165 l0 1000000
10
例： 25 岁 到 75 岁 之 间 死 亡 的 人 群 中 ， 其 中30% 在50 岁 之 前 死 亡 。 25 岁 的 人 在 50 岁 之 前 死 亡 的 概 率 为0.2 ， 计 算 25 p50 。 解： 已知 0.3(l 25 -l 75 )=l 25 − l 50 (*) (**)
( x ≥ 0)
f ( x) = F '( x) , x ≥ 0
�
s(x)：生存函数，它是新生儿活到 x岁的概率，以概率表示为 xp0。
s ( x) = 1 − F ( x) = Pr( X > x)
( x ≥ 0)
新生儿在 x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：
Pr( x < X ≤ z ) = F ( z ) − F ( x) = s( x ) − s ( z )
n −1
= ∑ t qx
t =0
5
生命表基本函数
npx：
x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。
当n=1，简记为px 。
Q
dx qx = , lx
lx = n d x + lx +n ,
l x+ n n px = lx
∴
n
qx + n px = 1
6
生命表基本函数
nLx：x岁的人在 x~x+n生存的人年数。
�
o
∞
ex
∞ ∞l Tx ex = = ∫ t px dt = ∫ x + t dt 0 0 l lx x
8
o
生命表基本函数
n｜ x
q ：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率， 或x岁的人在x+n~x+n+1岁死亡的概率。
d x + n lx +n d x + n q x＝ = ⋅ =n p x ⋅ q x + n n｜ lx lx l x+ n
Lx = ∫ lx +t dt
0
�
1
生命表 x岁累积生存人年数 Tx正是生存人数函数 lx+t在0~ ∞上的积分
Tx = ∫ lx +t dt
0
24
∞
死亡力
0
对于x岁期望剩余寿命
∞
ex
∞
，可以证明：
∫
0
t t p x µ x+ t dt = ∫
∞ ∞ 0 t 0
0
d (− t p x ) tdt dt
= − t p xt 0 + ∫ =∫
∞ 0 t
p xdt
p x dt = e x
25
例：
如果当 20 ≤ x ≤ 25时， µ x = 0.001 ，试计算 2|2 q 20 。 解： 由于在 20≤ x ≤ 25， µ x为常数 0.001 ，故 4 p ×µ q = ∫ 2|2 20 2 t 20 20+ t dt 4 = ∫2 e −0.001t dt = 0.002
保险精算之三
王 明 征 大连理工大学管理学院 2009年11月
第三章 生命表
2
生命表相关定义
�
生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。 封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
3
�
生命表基本函数
� lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 � ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx � nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为
14
新生儿的生存函数
生命表函数中的存活人数 lx 正是生命表基数 l0与 x岁生存函数之积，
lx=l0s(x)
而 s(x)曲线形状如下图所示，
15
x岁余寿的生存函数
�
x岁的人在t时间内死亡的概率tqx
t
qx = Pr[T ( x) ≤ t ]
(t ≥ 0)
以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示
t =2
∑k
k =0
k｜ x
q =1｜qx + 2 ｜qx + 3 ｜qx + LL
+2｜qx +3 ｜qx + LL +3 ｜qx + LL
∞
所以
= ∑ k +1 px
k =0
29
整值平均余寿与中值余寿
由于 故，
T x) = K ( x) + S ( x)
E[T ( x)] = E[ K ( x)] + E[ S ( x)]
µ x+ sds = e ∫0
−
xn
同样，对于
t
ty
px, 有
−
t
px = e ∫
−
x+ t µ ydy x
µ x+ s ds ∫ 0 = e
另外，
n qx =
∫
n t
0
p x ×µ x + s d t
t
n |m
qx =
∫
n+m n
p x ×µ x + s d t
22
死亡力
o
实际上生命表x岁平均余寿
�
x岁的人在t时间内存活的概率 tpx
t
px = 1 −t qx = Pr[T ( x) > t ]
(t ≥ 0)
16
当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。
x岁余寿的生存函数
�
考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到 了x岁 ，tqx实际是一个条件概率
qx = Pr[ x < X ≤ t + x | X > x] F (t + x ) − F ( x ) = 1 − F ( x) s( x ) − s ( x + t ) = s( x )
x ), 计算 20 p30 和 20|5 q25 . 120
12
生存分布
一、新生儿的生存函数 二、x岁余寿的生存函数 三、死亡力 四、整值平均余寿与中值余寿
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13
新生儿的生存函数
�
F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为 x的分布函数。
F ( x) = Pr( X ≤ x)
即，
s[ x + m( x )] = 0.5 s ( x)
31
非整数年龄存活函数的估计