运筹学3-2
2011 运筹学(试题)参考答案 南京航空航天大学 硕士研究生入学考试试题
南京航空航天大学2011年硕士研究生入学考试参考答案科目代码：824科目名称：运筹学一、（本题15分，3分×5=15分）判断下列说法是否正确。
若正确打“√”，错误打“×”。
1. 若线性规划问题的可行解为最优解，则该可行解必定是基可行解。
(√)2. 若X 1,X 2分别是某一线性规划问题的最优解，则X=λ1X 1+λ2X 2也是该线性规划问题的最优解，其中λ1，λ2为正实数。
(×)3. 指派问题效率矩阵的每个元素都乘上同一常数，不影响最优指派方案。
(√)4. 若需将某工程项目工期缩短到10天，简单可行的方法是：做生意找出该项目网络中一条关键路线，采取必要措施将其缩短到10天即可。
(×)5. 运输问题按照最小元素法给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出且仅能找出唯一的闭合回路。
(×)二、（本题30分，5分×6=30分）简答题1. 简述影子价格及其经济意义。
答：影子价格是根据资源在生产中做出的贡献而作出的估价。
其含义：（1） 市场价格随市场供求变化，影子价格则有赖于资源的利用情况。
（2） 影子价格是一种边际价格，表示每增加一个单位资源时目标函数值的增量。
（3） 影子价格是一种机会成本，当市场价格低于影子价格时，应购进该种资源，反之则应出售该种资源。
（4） 影子价格为0时表示该种资源未得到充分利用，大于0时表示已耗费完毕。
（5） 影子价格可作为公司内部结算价格，以便控制有限资源的合理利用。
2. 简述对偶问题的“互补松弛性”。
答：在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格的等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零，也即：如ˆ0,i y >果则1ˆ.n ijj i j a x b ==∑ 如果1ˆ,n ijj i j a x b =<∑则ˆ0.i y= 3. 简述割平面法的基本思想。
规划数学(运筹学)第三版课后习题答案 习 题 2
习题21图解法解下列目标规划问题：1122334min (2)f Pd P d P d d -+--=+++..s t 121140x x d d -+++-=122250x x d d -+++-=13324x d d -++-=1244430x x d d -+++-=120,0;,0,1,2,3,4i i x x d d i -+≥≥≥=P 1:AD 直线上侧，P 2:四边形ABCD,P 3:四边形ABEF ，P 4:四边形ABEF 。
故该问题的满意解为四边形ABEF 内的点，所有目标都达到了。
2用单纯形法求解以下目标规划问题的满意解：（1）1122334min (53)f Pd P d P d d -+--=+++..s t 121180x x d d -+++-=122290x x d d -+++-=13370x d d -++-=24445x d d -++-=120,0;,0,1,2,3,4i i x x d d i -+≥≥≥=（2）1122234min ()f P d d P d P d -+--=+++..s t 12114580x x d d -+++-=12224248x x d d -+++-=123381080x x d d -+++-=1445x d d -++-=120,0;,0,1,2,3,4i i x x d d i -+≥≥≥=5案例练习（1)某厂生产甲、乙两种产品，每件利润分别为20、30元。
这两种产品都要在A 、B 、C 、D 四种设备上加工，每件甲产品需，而这4种设备正常生产能力依次为每天12、8、16、12机时。
此外，A 、B 两种设备每天还可加班运行。
试拟订一个满足下列目标的生产计划： 1P ：两种产品每天总利润不低于120元；2P ：两种产品的产量尽可能均衡；3P ：A 、B 设备都应不超负荷，其中A 设备能力还应充分利用（A 比B 重要3倍）。
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
22
2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
运筹学教学课件 第三章 运输问题
7 4 9 3 6 5 6
2.1 确定初始基可行解
• 这与一般线性规划问题不同，产 销平衡的运输问题总是存在可行解。 因有
b a
i 1 j i 1
m
m
i
d
必存在 0≤ xij,i=1,…,m,j=1,…,n 是可行解。又因 0≤xij≤min(a1,bj) • 故运输问题的可行解和最优解必存在。 • 确定初始可行解的方法有很多，一般 希望的方法即简便又尽可能接近最优解。 下面介绍两种方法：最小元素法和伏格 尔（Vogel）法。（其它如西北角法等）
例1
• 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂。每 日的产量分别为： • A1——7吨，A2——4吨，A3——9吨。该公 司把这些产品分别运往四个销售点。各销售 点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨， • B3——5吨，B4——6吨。已知从各工厂到各 销售点的单位产品的运价为表3-3所示，问该 公司应如何调运产品，在满足各销点的需要 量的前提下，使总运费为最少。
运价表与行差和 列差的计算
表3-10 伏格尔法
伏格尔法基可行解， 总运费为85，恰好得 到最优解
销地 B1 B2 B3 B4 行 产 差 量 产地
销地 B1 B2 B3 B4 产地 A1 A2
A1
A2 A3
3
1 7
11 3
9 4 5 6 2 1 5
10 0
8 3 6 1 1
7
4 9
10 5
列差 2 销量 3
A3
表3-13
B1 销地 加工厂 A1 A2 A3 销量 ห้องสมุดไป่ตู้2 B3 B4 产量
5 3 6 3 6 5
2 1 3 6
7 4 9
运筹学-3运输问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学第三章TP
收点 B1 发点 A1 6 A2 42 A3 7 收量 2
kj 2
B2 B3 B4 发量 hi
5 33 4 4 11 4 7 5 6 11 6 58 32 4 3 4 13 1 21
Operations Research
收 点 B1 B2 B3 B4 发 量 hi 发点 A 1 6 5 3 3 4 4 11 A 2 4 2 4 7 5 6 11 A 3 7 63 5 8 3 2 收 量 2 4 3 4 13
收 点 B1 B2 B3 B4 发 量 发点
A1 6 2 5
34
4
A2 4
4
75
6
A3 7
6
58
3
收 量 2 4 3 4 13
Operations Research
（2）向a1，b1较大方向移动一格（或向 右，或向下）此时向右移动一格（A1，B2） B2需要4吨，而A1只有2吨，A1已发完，划 去A1行，并把b2改成（4-2）=2。
A 2 42 41 7 53 6
A 3 7 63 5 8 3 收 量 2 4 3 4 13
kj
Operations Research
西北角法得到初始方案：x11=2，x12=2， x22=2，x23=3，x24=1，x34=3，总运费 =6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80（元）
最小元素法得到初始方案：x13=3，x14=1， x21=2，x22=4，x34=3，总运费 =3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61（元）
Operations Research
运输问题的图表形式
Ai Bj
运筹学 第三章 运输问题
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
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调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
运筹学3.运输问题
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
④③
7
1
A2 ③
9
2
①
84
7
4
10
5
A3
⑥
③
9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法（Vogel）
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1
②
11
3
⑤
10 7 0 0 0 0
A2
19
①
28
③
4 1111
A3
74
⑥
10 5
③
9 12 - -
bj
36
5
6 20
25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中，有几点需要注意： • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中，不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1
运筹学课后答案
运筹学课后答案与一般线性规划的数学模型相比，运输问题的数学模型具有什么特征答： 1、运输问题一定有有限最优解。
2、约束系数只取0或1。
3、约束系数矩阵的每列有两个1， 而且只有两个1。
前m 行中有一个1，或n 行中有一个1。
4、对于产销平衡的运输问题，所有的约束都取等式。
运输问题的基可行解应满足什么条件将其填入运输表中时有什么体现并说明在迭代计算过程中对它的要求。
解：运输问题基可行解的要求是基变量的个数等于m+n-1。
填入表格时体现在数字格的个数也应该等于m+n-1。
在迭代过程中，要始终保持数字格的个数不变。
|试对给出运输问题初始基可行解的西北角法、最小元素法和Vogel 法进行比较，分析给出的解之质量不同的原因。
解：用西北角法可以快速得到初始解，但是由于没有考虑运输价格，效果不好；最小元素法从最小的运输价格入手，一开始效果很好，但是到了最后因选择余地较少效果不好； Vogel 法从产地和销地运价的级差来考虑问题，总体效果很好，但是方法较复杂。
详细说明用位势法(对偶变量法)求检验数的原理。
解：原问题的检验数也可以利用对偶变量来计算 ：其中，ui 和vj 就是原问题约束对应的对偶变量。
由于原问题的基变量的个数等于m+n-1。
所以相应的检验数就应该等于0。
即有：由于方程有m+n-1个， 而变量有m+n 个。
所以上面的方程有无穷多个解。
任意确定一个变量的值都可以通过方程求出一个解。
然后再利用这个解就可以求出非基变量的检验数了。
用表上作业法求解运输问题时，在什么情况下会出现退化解当出现退化解时应如何处理 解：当数字格的数量小于m+n-1时，相应的解就是退化解。
如果出现了退化解，首先找到同时划去的行和列，然后在同时划去的行和列中的某个空格中填入数字0。
只要数字格的数量保持在m+n-1个的水平即可。
nj m i v u c j i ij ij ,,2,1;,2,1)( ==+-=σnj m i v u c j i ij ,,2,1;,2,10)( ===+-一般线性规划问题具备什么特征才能将其转化为运输问题求解，请举例说明。
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+kn σ（标准形为求最小值），其经济意义是什么？8．将i j ji bc a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。
8．对于i j ji bc a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0<i x ，且i x 所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
管理运筹学讲义 第3章 运输问题(6学时)
... 1
其系数列向量的结构是：
A ij (0,..., 0,1, 0,..., 0,1, 0,..., 0) T , 除第i个和第（m j）个分量为 1外，其他分量全等于零。因此，运输问题具有以下特点： 约束条件系数矩阵的元素为0或1； 约束矩阵每一列都有两个非零元素，这对应于每一个变量在 前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方程中出现一次。
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
运价表（元/吨） B4 产量
A3
需要量
3 5 4 5
2 3 1 7
6 8 2 8
3 2 9 3
10 8 5 23
解:设xij ( i =1,2,3；j =1,2,3,4)为i个产粮地 运往第j个需求地的运量，这样得到下列运输问题的数 学模型：
Min z = 3x11+ 2x12+ 6x13+ 3x14+ 5x21+ 3x22+ 8x23+ 2x24 + 4x31+ x32+ 2x33+ 9x34 x11 x12 x13 x14 10 x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x x x x 8 21 22 23 24 x13 x23 x33 8 x x x x 5 31 32 33 34 x14 x24 x34 3
下表中填有数字的格为基变量，它们对应的约束 方程组的系数列向量线型无关：
B1
4
B2
12
运筹学清华大学第四版答案
运筹学清华大学第四版答案【篇一：运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案】s=txt>2．1 题（p. 77）写出下列线性规划问题的对偶问题：????（1）?????maxz?2x1?2x2?4x3s.t.x1?3x2?4x3?22x1?x2?3x3?3x1?4x2? 3x3?5x1?0，x2?0,x3无约束；解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：?maxw?2y1?3y2?5y3?s.t.y1?2y2?y3?2??3y1?y2?4y3?2 ? ?4y1?3y2?3y3?4?y1?0,y2?0,y3?0??mn?minz???cijxij?i?1j?1?n???cijxij?ai,i?1,?,m（2）? j?1?n??cijxij?bj,j?1,?,n?j?1???xij?0,i?1,?,m;j?1,?,n解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：mn??maxw??aiui??bjvji?1j?1??ui?vj?cij ??i?1,?,m;j?1,?,n???ui无约束，vj无约束2．2判断下列说法是否正确，为什么？（1）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；答：错。
因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。
但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
maxz?3x1?x2例如原问题s.t.?x1?x2?1?x2?3??x?0,x?02?1有可行解，但其对偶问题minw?y1?3y2s.t.?3?y1?y2?1?y1??y?0,y?02?1无可行解。
（2）如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：错，如（1）中的例子。
（3）在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或求极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值。
答：错。
正确说法是：在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，求极大的问题可行解的目标函数值一定不超过求极小的问题可行解的目标函数值。
运筹学 考题与答案
一、填空题：1. 表1中给出某线性规划问题计算过程中的一个单纯形表，目标函数为654228max x x x z ++=，约束条件为≤，表中321,,x x x 为松弛变量，表中解的目标函数值为14=z 。
（1）a ＝______，b ＝______，c ＝______，d ＝______，e ＝______，f ＝______，g ＝______； （2）表中给出的解为___________（提示：最优解，满意解，可行解……）。
2.在单纯形法的计算中，按照最小比值θ来确定换出基的变量时，有时出现存在两个以上相同的最小比值，从而出现_______现象。
3.使用动态规划方法解决多阶段决策问题，首先要将实际问题写成动态规划模型，此时要用到5个概念：_______、_______、_______、状态转移方程和指标函数。
二、判断题1.图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
( )2.根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解；反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。
( )3.运输问题时一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解。
( )4.动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所作决策的相互独立性。
( )5.求图的最小支撑树以及求图中一点至另一点的最短路问题，都可以归结为求解整数规划问题。
( )三、简答题1.简述影子价格的经济意义。
2.简述不确定型决策方法中的悲观准则。
四、计算题1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
（8分）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,5.14312.46min 21212121x x x x x x st x x z 2.已知表2为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中4x ，5x 为松弛变量，问题的约束为≤形式。
运筹学建模例题和判断题
【例1-2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。
根据统计，商场每天需要的营业员如表1-2所示。
123456714567125671236712347123452345634567min 3003003504004806005500,1,2,,7jZ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧++++≥⎪++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎨++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎪≥=⎩（2）在例1.2中，如果设x j (j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．123456723456345671456712567123671234712345min 3003003504004806005500,1,2,,7jZ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧++++≥⎪++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎨++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎪≥=⎩【例1-3】合理用料问题。
某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m ），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m 。
现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？10112345134678924578910min 221000243210002324510000,1,210j jj Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧++++≥⎪++++++≥⎪⎨+++++≥⎪⎪≥=⋯⎩∑， 如果要求余料最少，数学模型如何变化；23457891012345134678924578910min 0.30.50.10.40.30.60.20.5221000243210002324510000,1,210j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++++⎧++++≥⎪++++++≥⎪⎨+++++≥⎪⎪≥=⋯⎩，【例1-4】配料问题。
运筹学 第三章 运输问题
1）闭环回路法： 在给出的初始调运方案表上，从每一空格 出发找一条闭环回路，它是以某空格为起点 ，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格 转90°后（回路的转角点必须是一个基变量 ） ，继续前进，直到回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在且只有唯一的闭 环回路。 从空格开始加减闭环各个顶点的运输单价 ，可得每个空格对应的检验数。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 16
销地
B1
产地
A1
A2
3
A3
销量 3
B2 B3
4 1 6
65
B4 产量
37
4
39
6
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33)
闭环回路 (11)－(21)－(23)－(13)－(11) (12)－(32)－(34)－(14)－(12) (22)－(32)－(34)－(14)－(13) －(23)－(22) (24)－(14)－(13)－(23)－(24) (31)－(34)－(14)－(13)－(23) －(21)－(31) (33)－(34)－(14)－(13)－(33)
基变量：
X13 U1+V3=C13=3
X14 U1+V4=C14=10
X21 U2+V1=C21=1
1
3 10 U1=0
2
U2=-1
X23 U2+V3=C23=2
4
运筹学
第一章 习 题1、一个毛纺厂用羊毛和涤纶生产A 、B 、C 三种混纺毛料，生产1单位产品需要的原料如表1—1所列。
表1-13种产品的单位利润分别为4，1，5。
每月可购进的原料限额为羊毛8000单位，涤纶3000单位，问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润? 请建立线性规划模型。
2、某饲料厂生产的一种动物饲料由6种配料混合配成。
每种配料中所含的营养成份A 、B 及单位配料购入价由表1—2给出。
?要求建立此问题的线性规划模型。
3、某工厂生产A 、B 、C 三种产品，在车间1、2连续加工，用一种每天购入数量最多为300单位的原料。
车间1、2每天可用工时分别为320，200。
放置产品的成品仓库面积也有限制，如只生产产品A ，可放置400单位，而每单位B 的放置面积2倍于A 。
每单住C 的放置面积为A 的1／3。
每单位A 在车间1要加工1h ，在车间2要加工1／2h ，需1单位原料，利润为l 元。
每单位B 在车间1要加工2h ，在车间2要加工l ／3h ，需1／4单位原料，利润为2元。
每单位C 在车间1要加工1／4h ，在车间2要加工I ／4h ，需1／8单位原料，利润为1.5元。
问如何安排生产使利润最大?要求建立此问题的线性规划模型。
4、某汽车运输公司有资金50万元可用于扩大车队，有4种车可供选择，每辆车的成本及每季收入如表l —3所列。
表l —3可驾驶新卡车的司机只有30人。
该公司新增的维修能力如只修卡车，可修50辆，1辆卡车的维修时间3倍于四轮有盖拖车或串联式拖车，4倍于无盖拖车。
又要求卡车辆数与拖车组数之比最少为4:3。
问该公司怎样使用资金使每季度收入最大？要求建立此问题的线性规划模型。
5、将下列线性规划问题模型化为标准型：1234123412341234123min3425422314.322,,0z x x x x x x x x x x x x s tx x x x x x x =-+-+-+-=-⎧⎪++-≤⎪⎨-+-+≥⎪⎪≥⎩6、用图解法解下列线性规划问题：(1)121121212max243530.5220,0z x x x x x x s tx x x x =+-+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ (2)12121212min3224.66,0z x x x x s t x x x x =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩第二章 习 题1.用单纯形法解第一章习题中的以下各题：1，3，4，6之(2)。
《运筹学》第三章运输问题
Vogel近似法
考虑运输成本差异， 进行逼近最优解。
运输问题的扩展和变体
1
生产产能约束
考虑生产能力限制，同时优化货物的运输方案。
2
供需不平衡
存在供需不平衡时如何有效分配货物，避免浪费和延误。
3
多目标运输问题
同时考虑多个目标，如最小化成本和最大化利润。
运输问题的应用实例和案例分析
物流领域的应用
通过运输问题的优化，提升物流效率，降低成本。
运输问题的基本模型
运输方案的表示
常用的表示方法包括运输矩阵和网络图。
目标函数和约束条件
目标函数通常是最小化运输成本，约束条件包 括供需平衡和容量限制。
运输问题的解决方法
最小成本法
逐步分配货物，直至 达到最小总成本。
北北角法
按照最小单位运输成 本进行分配，直至l's Approximation Method）法为基础， 逐步分配货物。
《运筹学》第三章运输问 题
运输问题是运筹学中重要的问题之一，涉及到各种场景下的货物运输优化。 本章将介绍运输问题的定义、基本模型、解决方法，以及其在物流和生产调 度中的应用实例。
运输问题的概念和应用领域
• 运输问题是一种优化问题，旨在找到使运输成本最小的货物运输方案。 • 运输问题广泛应用于物流管理、供应链优化以及交通规划等领域。
生产调度中的应用
合理安排生产计划，提高生产线的利用率。
总结和展望
运输问题是优化领域的重要研究方向，未来随着物流技术的发展将有更多的应用场景和解决方法出现。
管理运筹学知识
0 c1 100 • 假设产品甲的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得
50 c2 +
• 假若产品甲、乙的利润均改变，则可直接用式（*）来判断。
• 假设产品甲、乙的利润分别为60元、55元，则
- 2 - (60 / 55) - 1
那麽，最优解为 z = x1 + x2 和 z = 2 x1 + x2 的交点 x1 = 100，x2 = 200 。
• 工商企业对运筹学应用和需求是很大的 • 在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做
8
§4如何学习运筹学
• MBA学员学习运筹学要把重点放在结合实际的应用上，不要 被一些概念、理论的困难吓倒，要用好计算机这个强有力的工 具。
• MBA学员学习运筹学要充分发挥自己实践经验丰富和理论联系实际 能力强的优势。
*** 设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等
5
运筹学方法使用情况(美1983)
70 60 50 40 30 20 10
0
从不使用 有时使用 经常使用
6
统计 计算机模拟
网络计划 线性规划
排队论 非线性规划
动态规划 对策论
运筹学方法在中国使用情况(随机抽样)
90 80 70 60 50 40 30 20 10
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一般 m 种资源 Aj 对 n 个项目 Bj 投资的建模： 资源投资数据表
耗资 项目
B1
B2
……
Bn
资源限额
资源
A1 A2 …… Am 期望收益
a11 a12 a21 a22 … … am1 am2 c1 c2
…… …… …… …… ……
a1n a2n … amn cn
b1 b2 …… bm
解：设决策变量
s.t.
a x
j 1 ij
n
j 1
j
bi , i 1,, m
x j 0或1, j 1,, n
加上项目制约关系式。
项目制约关系式常规：
① 如果B1 , B2 ,Bk中仅选一项:
x
j 1
k
k
j
1,
,即不能同时选多项 : ② 如果B1, B2 ,Bk 相互排斥
x
j 1
3. 指派(分派)问题： 现需分派n个人A1, A2 , An去完成n件工作B1, B2 ,, Bn , 每项有且仅有 1个人去做 , Ai完成B j 所需时间为 cij ,问如何分 派这项工作 , 使总时间最少 .? 解. 用决策变量 xij 表示Ai 分派去做B j的状态, 则 1, 如果Ai 被分去做B j ; xij 0, 否则; 于是问题的模型化为以下0 – 1规划：
x1 x3 x5 1
③ B，D 选且只选一项：
x2 x4 1
④ 选 C 必须先选 D ：
x3 1 x4 1, 或x3 0 x4 0, 或1 x3 x4
于是数学模型为以下 0－1 规划：
max z 10x1 8x2 7 x3 6 x4 9 x5 s.t. 6 x1 4 x2 2 x3 4 x4 5x5 15 x1 x3 x5 1 x2 x4 1 x3 x4 x j 0或1, j 1,2,3,4,5
项目 A B C D E 所需资金（万元） 6 4 2 4 5 收益期望值（万元） 10 8 7 6 9
A，B，C，D，E 之间的关系是： ① A、C、E 三项中需且只能选一项； ② B、D 两项中需且只能选一项； ③ 选 C 必须先选 D 。 问题：如何选择投资决策，使总投资期望值最大？ 解：用 xj 分别表示 A ，B ，C ，D ，E 的被选情况，则
可在其中一种 (只能选一种 ),则
原约束
a
j 1
tj
n
tj
x j bt
改为
a'
j 1
n
x j b't yM ,
a' '
j 1
n
tj
x j b' 't (1 y) M
y 0 或 1,
M为充分大的正数
1, 选资源At ' ' 投资 y 0, 选资源A ' 投资 t
min z cij xij
s.t.
n
n
x
x
i 1
n
i 1 j 1
j 1 m
ij
1,
1,
( Ai只做一项工作 ),
( B j只有一个人做 ),
i 1,2,, n,
j 1,2,, n.
ij
xij 0 或 1
max z 15x1 20x2 s.t. 6 x1 4 x2 25 x1 3x 2 10 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
这是一个纯整数规划，可以用 E2 中图解法或枚举法求解。 2. 投资项目选取问题 某单位拟利用闲置资金15万元进行对外投资，现有 5 个投资项目可供选择，所需资金及投资回报收益期望值为
3.2 IP的实例模型
1. 生产计划问题：
工厂生产A1和A2两种产品，产品均由两 种部件B1和B2组装而成 .
单件产品 , 部件及利润的关系为 :
产品
部件
B1
6 4 25
B2
1 3 10
利润(百元)
A1
A2
部件限量
15 20
问如何安排生产，使工厂利润最大？
解： 设 A1，A2 的产量分别为 x1、x2，则
k
j
1,
如果B1 , B2 ,Bk中至少选一项: ③
x
j 1
j
1
④如果B j 投资的先决条件为 Bi 先投资 ,则
x j xi
⑤ 如果Bi与B j是捆绑投资 ,则
x j xi
(i j )
关于资源条件的进一步要求：
如果资源At可用另外两种资源 At ' 及At ' ' 代替, At ' 及At ' '中
1, B j 被选中； j 1 ~ n. xj 0, B 不被选中， j
期望收益目标值：
z cj xj
j 1
n
常规约束：
a x
j 1 ij
n
j
bi （第 i 种资源 Ai 对所有
项目投资额 <= bi）
n
于是得 0—1 规划：
max z c j x j
1, 项目 j 被选中, xj 0, 项目 j未 被选中,
j 1,2,3,4,5
于是投资总收益期望值：
z 10x1 8x2 7 x3 6x4 9x5
约束条件： ① 资金总额限制：
6x1 4x2 2x3 4x4 5x5 15
② A，C，E 选且只选一项：