2013届高考数学一轮复习课时检测 第一章 第一节 集合 理
2013届高考数学一轮复习课时练 第1课时 集合 新人教版 理
2013届高考一轮数学复习理科课时练（人教版）第1课时 集合1．(2011·大纲全国)设集合U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则∁U (M ∩N )＝( )A ．{1,2}B ．{2,3}C ．{2,4}D ．{1,4} 答案 D解析 依题意得，M ∩N ＝{2,3}，∁U (M ∩N )＝{1,4}，故选D.2．(2011·某某)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞) B．(0，12)C ．(0，＋∞) D．(－∞，0][12，＋∞)答案 A解析 因为函数y ＝log 2x 在定义域内为增函数，故U ＝{y |y >0}，函数y ＝1x在(0，＋∞)内为减函数，故集合P ＝{y |0<y <12}，所以∁U P ＝{y |y ≥12}．3．(2011·)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1] B. [1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 答案 C解析 由P ∪M ＝P ⇒M ⊆P ，即a ∈P ，又P ＝{x |－1≤x ≤1}，因此a 的取值X 围为[－1,1]，故选C.4．集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N *}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}，则下列关系中正确的是( )A ．M PB ．P MC ．M ＝PD ．M P 且PM答案 A解析 P ＝{x |x ＝1＋(a －2)2，a ∈N *}，当a ＝2时，x ＝1，而M 中无元素1，P 比M 多一个元素．5.如图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义集合AB 为阴影部分所表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则AB ＝( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2} D．{x |0≤x ≤1或x ＞2} 答案 D解析 依据定义，AB 就是将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合．B ＝{y |y ＞1}，依据定义得：AB ＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．6．(2011·某某)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠Ø的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8 答案 B解析 由题意知，集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.7．(2012·某某模拟)设集合P ＝{(x ，y )|x ＋y <4，x ，y ∈N *}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8 答案 C解析 当x ＝1时，y <3，又y ∈N *，因此y ＝1或y ＝2；当x ＝2时，y <2，又y ∈N *，因此y ＝1；当x ＝3时，y <1，又y ∈N *，因此这样的y 不存在．综上所述，集合P 中的元素有(1,1)、(1,2)、(2,1)，集合P 的非空子集的个数是23－1＝7，选C.8．(2011·某某)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝{x ||x －1i |<2，i 为虚数单位，x ∈R }，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 答案 C解析 对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式x 2＋1<2，即x 2<1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．正确选项为C.9．(2011·某某)已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x |－1<x <3}，A ∩Z ＝{0,1,2}，A ∩Z 中所有元素之和等于3. 10．(2011·《高考调研》原创题)已知集合A 、B 与集合AB 的对应关系如下表：________.答案 {2011,2012}11．a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }，则b －a 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 答案 C解析 利用集合相等的定义，后面集合中含有元素0，前面集合中也必含有元素0，且只可能a ＋b 或a 为0.注意后面集合中含有元素b a，故a ≠0，只能a ＋b ＝0，即b ＝－a .集合变成了{1,0，a }＝{0，－1，－a }，显然a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2，选C.12．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数为________．答案 10解析 由题知，A ∩B ＝{0,1}，A ∪B {－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共10个，即A *B 中的元素有10个．13．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈A ∩B ；(2){9}＝A ∩B . 答案 (1)a ＝5或a ＝－3 (2)a ＝－3 解析 (1)∵9∈A ∩B 且9∈B ，∴9∈A . ∴2a －1＝9或a 2＝9.∴a ＝5或a ＝±3. 而当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，故舍去． ∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A ∩B . ∴a ＝5或a ＝－3.而当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}≠{9}，故a ＝5舍去． ∴a ＝－3.讲评 9∈A ∩B 与{9}＝A ∩B 意义不同，9∈A ∩B 说明9是A 与B 的一个公共元素，但A 与B 允许有其他公共元素．而{9}＝A ∩B 说明A 与B 的公共元素有且只有一个9.14．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，某某数m 的取值X 围．答案 m ∈(－∞，3]解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{x |－2≤x ≤5}， 当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，解得m <2.当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可知，m ∈(－∞，3]．讲评 空集在以下两种情况下容易忘记：①在以方程的根、不等式的解为元素构成的集合中，方程或不等式无解时的情况容易漏掉；②在A ∪B ＝B 、A ∩B ＝A 中，容易忽视A ＝∅的情况．15．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )＜0}． (1)若AB ，求a 的取值X 围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的取值X 围． 答案 (1)43≤a ≤2 (2)a ≤23或a ≥4 (3)3解析 ∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}． (1)当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2， 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥4⇒a ∈∅.∴43≤a ≤2时，A B . (2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，a ≥4或3a ≤2， ∴0＜a ≤23或a ≥4.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43.∴a ＜0时成立．验证知当a ＝0时也成立． 综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}， 而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}， 故所求a 的值为3.1．(2011·某某)设集合M ＝{x |x 2＋x －6<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．(2,3] D ．[2,3] 答案 A解析 集合M ＝(－3,2)，M ∩N ＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)． 2．若P ＝{x |x <1}，Q ＝{x |x >－1|，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P 答案 C解析 由题意，∁R P ＝{x |x ≥1}，画数轴可知，选项A ，B ，D 错，故选C.3．设全集U ＝Z ，集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝4m ，m ∈Z }，则U 等于( ) A ．P ∪Q B ．(∁U P )∪QC ．P ∪(∁U Q )D ．(∁U P )∪(∁U Q ) 答案 C4．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有________．①A∪B＝A；②∁U A∩B＝∅②∁U A⊆∁U B；④A∪∁U B＝U答案①②③④解析由韦恩图知①②③④均正确．5．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝Ø，则m的值是________．答案1或2思路本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A)∩B＝Ø对集合A，B 的关系进行转化．解析A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝Ø，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠Ø.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4, 这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.1．(2011·文)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁U P＝( )A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 D解析集合P＝[－1,1]，所以∁U P＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．(2011·某某)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D．{x |0≤x ≤1} 答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．3．M ＝{x |x ＝3n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝3n －1，n ∈Z }且a ∈M ，b ∈N ，c ∈P .设d ＝a －b ＋c ，则( )A ．d ∈MB ．d ∈NC ．d ∈PD ．以上都不对 答案 B解析 ①集合M 表示3的整数倍数集，N 表示被3除余1数集，P 表示被3除余2数集， ∴a 为3的倍数，b ＝3k ＋1，c ＝3n ＋2. ∴d ＝a －b ＋c 表示被3除余1的数．∴d ∈N . ②法2，取a ＝3，b ＝4，c ＝2，∴d ＝1被3除余1.4．(2012·东北三省等值模拟)已知集合A ＝{－1,0，a }，B ＝{x |0<x <1}，若A ∩B ≠Ø，则实数a 的取值X 围是( )A ．{1}B ．(－∞，0)C ．(1，＋∞) D．(0,1) 答案 D解析 ∵A 中－1,0不属于B ，且A ∩B ≠Ø ∴a ∈B ，∴a ∈(0,1)．5．已知集合A ＝B ＝{0,1}，集合C ＝{u |u ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，则集合C 的子集个数是( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．16 答案 A解析 ∵C ＝{u |u ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }， ∴C ＝{0,1}，故C 的子集个数为22个．6．(2012·某某一模)设函数y ＝x ＋1的定义域为M ，集合N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．ØB ．NC ．[1，＋∞) D．M 答案 B解析 由题意得M ＝{x |x ≥－1}＝[－1，＋∞)，N ＝{y |y >0}＝(0，＋∞)，∴M ∩N ＝N . 7．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i ⊕A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3，满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 C解析 A 0⊕A 0＝A 0，A 1⊕A 1＝A 2，A 2⊕A 2＝A 0，A 3⊕A 3＝A 2，再次进行计算可知只有A 1，A 3符合题目要求，故选C.8．(2011·某某)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1x ＝y ，得2x 2＝1，解得x ＝22或x ＝－22，这时y ＝22或y ＝－22，即A ∩B 中有两个元素．9．(2011·某某理)设a ，b ，c 为实数，f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }．若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A ．|S |＝1且|T |＝0B ．|S |＝1且|T |＝1C ．|S |＝2且|T |＝2D ．|S |＝2且|T |＝3 答案 D解析 若a ＝b ＝c ＝0，则f (x )＝x 3＝0，x ＝0，|S |＝1，g (x )＝1，g (x )＝0无解，因此|T |＝0，即A 项有可能；若a ＝1且b 2－4c <0，则|S |＝1且|T |＝1成立，即f (x )＝0和g (x )＝0都仅有一个解x ＝－1，即B 项也是有可能的；若a ＝1且b 2－4c ＝0(b ＝22，c ＝2)，则|S |＝2且|T |＝2成立，即都仅有两个解x ＝－1和x ＝－2，即C 项也是有可能的；对于D 项，若|T |＝3，则Δ＝b 2－4c >0，从而导致f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )也有3解，因此|S |＝2且|T |＝3不可能成立．10．已知R 为实数集，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，若B ∪∁R A ＝R ，B ∩∁R A ＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .解析 A ＝{x |1≤x ≤2}． ∴∁R A ＝(－∞，1)∪(2，＋∞)．∵B ∪∁R A ＝R .B ∩∁R A ＝(0,1)∪(2,3)．∴B ＝(0,3)．11．(2011·海淀区)已知集合A＝{1,2,3，…，2n}(n∈N*)，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m，则称S具有性质P.(1)当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x>9}和C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由；(2)若集合S具有性质P，试判断集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由．解析(1)当n＝10时，集合A＝{1,2,3，…，19,20}，B＝{x∈A|x>9}＝{10,11,12，…，19,20}不具有性质P.因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10＋m，使得|b1－b2|＝m成立．集合C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}具有性质P.因为可取m＝1<10，对于该集合中任意一对元素c1＝3k1－1，c2＝3k2－1，k1，k2∈N*，都有|c1－c2|＝3|k1－k2|≠1.(2)若集合S具有性质P，那么集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}一定具有性质P.首先因为T＝{(2n＋1)－x|x∈S}，任取t＝(2n＋1)－x0∈T，其中x0∈S，因为S⊆A，所以x0∈{1,2,3，……，2n}，从而1≤(2n＋1)－x0≤2n，即t∈A，所以T⊆A，由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m，对上述取定的不大于n的正整数m，从集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}中任取元素t1＝2n＋1－x1，t2＝2n＋1－x2，其中x1，x2∈S，都有|t1－t2|＝|x1－x2|；因为x1，x2∈S，所以有|x1－x2|≠m，即|t1－t2|≠m，所以集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}具有性质P.。
2013年高考数学(理)一轮复习复习讲义第一部分集合与简易逻辑1集合部分(人教A版)
集合部分一， 解决集合问题应注意的问题1，明确集合的三种表示方法，能够灵活的应用和转化； 2，明确集合的元素的意义，确定对象的类型，即元素是点、还是说、还是图形、还是向量等；如集合2A={x|y=x 1}-和2B={y|y=x 1}-不是同一个集合 3，弄清集合是由哪些元素组成的，善于对集合的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）之间进行相互转化；化简出集合的最简形式； 4，注意集合元素的互异性，在求值问题中不要忘记检验是否满足这一性质，这是集合题目的隐含条件； 5，注意空集的特殊性和特殊作用，注意空集性质的应用； 6，判断集合关系的方法和研究集合问题的方法是从元素下手； 7，注意运用数形结合思想、分类讨论思想、化归和转化思想来解决集合的问题； 8， 集合问题多与函数、方程、不等式等知识综合在一起，应注意各类知识之间的联系和融会贯通； 二， 常见的结论1，若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个2，若集合A 中元素的个数用card(A)表示，则集合A 和集合B 的并集中元素的个数为()()()()card A B card A card B card A B =+-；则集合A 、B 、C 三个集合的并集中元素的个数为()()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card C B card A B C =++---+ 3， 集合交集和并集的混合运算的两个公式：()()()u u u A B A B c c c =()()()u u u A B A B c c c =4， 空集的性质（1）A ∅⊆（2）()A A ∅⊂≠∅（3）A ∅=∅（4）A A ∅=5，A B A A B =⇔⊆，A B A B A =⇔⊆6，A B B A A B ⊆⊆⇔=且7，A B ⊂是A B ⊆的充分不必要条件三， 例题分析1、（12浙江理1）设集合{|14}A x x =<<，集合2{|230}B x x x =--≤, 则()R A C B =（ ） A 、(1,4) B 、(3,4) C 、(1,3) D 、 (1,2)(3,4)【解析】此题考查集合的交集和补集的运算，考查一元二次不等式的解法2{|230}{|13}{|13}R B x x x x x C B xx x =--≤=-≤≤⇒=<->或， ()R A C B =}43|{<<x x 。
高考数学第一轮复习资料(详细答案)精品
＝ 1a＝ 1 或－ 1，∴ a＝ 1 或－ 1.答案： 0,1，－ 1
5．满足 {1} A? {1,2,3} 的集合 A 的个数是 ________个． 解析： A 中一定有元素 1，所以 A 有 {1,2} ， {1,3} ， {1,2,3} ． 答案： 3
5． (2009 年高考江西卷改编 )已知全集 U＝ A∪ B 中有 m 个元素， (?U A)∪ (?U B) 中 有 n 个元素．若 A∩ B 非空，则 A∩B 的元素个数为 ________．
解析： 根据已知得 M ∩ ( ?U N) ＝ { x|－ 2≤ x≤ 2} ∩ { x|x<0 或 x>3} ＝ { x|－
2≤ x<0} ． 答案： { x|－2≤ x<0}
4．集合 A＝ {3 ， log 2a} ， B＝ { a， b} ，若 A∩ B＝{2} ，则 A∪B＝ ________. 解析： 由 A∩ B＝{2} 得 log2a＝ 2， ∴a＝ 4，从而 b＝ 2，∴ A∪B＝ {2,3,4} ． 答案： {2,3,4}
2013 高考数学第一轮复习资料（教师版）
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第一章 集合
第一节 集合的含义、表示及基本关系 A组
1．已知 A＝ {1,2} ， B＝ { x|x∈ A} ，则集合 A 与 B 的关系为 ________．。 解析： 由集合 B＝{ x|x∈ A} 知， B＝ {1,2} ．答案： A＝ B
2013 高考数学第一轮复习资料（教师版）
{ x| x≥－ 1} ． (2) 若 B? A，则 m>1，即 m的取值范围为 (1 ，＋∞ )
2013版高考数学一轮复习 第一章集合与常用逻辑用语(单元总结与测试)精品学案 新人教A版
2013版高考数学一轮复习精品学案：第一章集合与常用逻辑用语单元总结与测试【章节知识网络】【章节巩固与提高】一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·郑州模拟)集合={x|y=23x-,x∈R}，={y|y=x2-1,x∈R}，则∩=( )(){(-2,1),(2,1)} ()Ø(){z|-1≤z≤3} (){z|0≤z≤3}2.（预测题）设全集U={1,2,3,4,5}，集合={1,a-2,5},U={2,4}，则a的值为( ) ()3 ()4 ()5 ()63.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )4.“若a∉，则b∈”的否定是( )()若a∉，则b∉()若a∈，则b∉()若b∈，则a∉()若b∉，则a∈5.集合={y∈R|y=2x}，={-1,0,1}，则下列结论正确的是( )()∩={0,1} ()∪=(0,+∞)()(R)∪=(-∞,0) ()(R)∩={-1,0}6.（2012·福州模拟）下列结论错误的是( )()命题“若p，则q”与命题“若⌝q,则⌝p”互为逆否命题()命题p:∀x∈[0,1],ex≥1,命题q:∃x0∈R,x02+x0+1<0,则p∨q为真()“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题()若p∨q为假命题，则p、q均为假命题7.(2012·大连模拟)下列四个命题中的真命题为( ) ()∃x0∈R，使得sinx0-cosx0=-1.5()∀x∈R，总有x2-2x-3≥0()∀x∈R，∃y∈R，y2＜x()∃x0∈R，∀y∈R，y·x0=y8.已知全集U=R，集合M={x||x|＜2},P={x|x＞a}，并且M UP，那么a的取值范围是（）（）{2} （）{a|a≤2}（）{a|a≥2} （）{a|a＜2}9.（2012·厦门模拟）“lnx>1”是“x>1”的( )()充分不必要条件()必要不充分条件()充要条件()既不充分也不必要条件10.已知a＞0，设p:存在a∈R，使y=ax是R上的单调递减函数；q:存在a∈R，使函数g(x)=lg(2ax2+2x+1)的值域为R，如果“p∧q”为假，“p∨q”为真，则a的取值范围是( )()(12,1) ()(12,+∞)()(0, 12］∪［1,+∞) ()(0,12)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)11.命题“∃x0∈R，使得2x+2x0+5=0”的否定是____________________.12.（2012·泉州模拟）若命题“∃x0∈R,使x02+(a-1)x0+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为___________.13.(2012·合肥模拟)设集合U={1,3a+5,a2+1},={1,a+1}，且U={5}，则a=________.14.原命题：“设a,b,c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有________个.15.（易错题）已知p:-4＜x-a＜4，q:(x-2)(3-x)＞0,若⌝p是⌝q的充分条件，则实数a的取值范围是_________.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(13分)(2012·汕头模拟)已知集合={x|2-a≤x≤2+a}，={x|x2-5x+4≥0},(1)当a=3时，求∩，∪(U);(2)若∩=Ø，求实数a的取值范围.17.(13分)(2012·天水模拟)设={x|x2+4x=0},={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，其中x∈R ，如果∩=,求实数a的取值范围.18.(13分)设p:函数y=loga(x+1)(a＞0且a≠1)在(0,+∞)上单调递减; q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x 轴交于不同的两点.如果p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围.19．（13分）（2012·三明模拟）已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.20.(14分)已知p:-2≤x≤10，q:x2－2x+1－m2≤0(m＞0).若⌝p是⌝q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.20.(14分)求证：方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜1 3.21. (14分)已知p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈［-1, 1］恒成立；q:不等式ax2+2x-1>0有解，若p为真，q为假，求a的取值范围.答案解析1.【解析】选.由3-x2≥0得-3≤x≤3，∴={x|-3≤x≤3}.∵x2-1≥-1,∴={y|y≥-1}.∴∩={z|-1≤z≤3}.2.【解析】选.∵U={2,4},∴={1,3,5},∴a-2=3,∴a=5.3.【解析】选.由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.故选.4.【解析】选.“若a ∉，则b ∈”的否定为“若a ∈，则b ∉”.5.【解析】选.因为={y∈R|y=2x}={y|y>0}，R={y|y≤0}，∴(R)∩={-1,0}.6.【解析】选.选项的逆命题“若a<b,则am2<bm2”,当m=0时不成立，故选.7.【解析】选.当x0=1时，对∀y∈R，y·x0=y 恒成立，故选.8. 【解题指南】首先化简集合M，然后利用数轴求出a的取值范围.【解析】选.∵M={x||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，UP={x|x≤a},∴M UP⇔M(-∞,a］⇔a≥2,如数轴所示：9.【解析】选.若lnx>1，则x>e满足x>1，反之不成立，故选.10.【解析】选.由题意知p:0＜a＜1，q:0＜a≤1 2,因为“p∧q”为假，“p∨q”为真，所以p、q一真一假.当p真q假时，得12＜a＜1，当p假q真时，a的值不存在，综上知12＜a＜1.11.【解析】特称命题的否定是全称命题，其否定为“∀x∈R，都有x2+2x+5≠0”. 答案：∀x∈R，都有x2+2x+5≠012.【解析】由题意可知对∀x∈R都有x2+（a-1）x+1≥0成立，∴Δ＝（a-1）2-4≤0,解得-1≤a≤3.答案：［-1，3］13.【解析】由U={5}知5∈U且5∉，若3a+5=5，则a=0，不合题意. 若a2+1=5，则a=2或a=-2,当a=2时，={1,3}，不合题意.当a=-2时,={1,-1}，符合题意，故a=-2.答案：-214.【解析】∵“若ac2＞bc2，则a＞b”是真命题,∴逆否命题是真命题.又逆命题“若a＞b，则ac2＞bc2”是假命题，∴原命题的否命题也是假命题.答案：115.【解析】p:-4＜x-a＜4⇔a-4＜x＜a+4,q:(x-2)(3-x)＞0⇔2＜x＜3,又⌝p是⌝q的充分条件，即⌝p⇒⌝q,等价于q⇒p,所以a42 a43-≤⎧⎨+≥⎩，解得-1≤a≤6.答案：［-1,6］【误区警示】解答本题时易弄错p、q的关系，导致答案错误，求解时，也可先求出⌝p、⌝q，再根据其关系求a的取值范围.16.【解析】(1)当a=3时，={x|-1≤x≤5},={x|x2-5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}，U={x|1＜x＜4},∩={x|-1≤x≤1或4≤x≤5},∪(U )={x|-1≤x ≤5}.(2)当a ＜0时，=Ø，显然∩=Ø,合乎题意.当a ≥0时，≠Ø，={x|2-a ≤x ≤2+a},={x|x2-5x+4≥0}={x|x ≤1或x ≥4}. 由∩=Ø，得2a 12a 4-⎧⎨+⎩＞＜，解得0≤a ＜1.故实数a 的取值范围是(-∞,1).17.【解析】={0,-4},又∩=,所以⊆. (1)=Ø时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)＜0,得a ＜-1; (2)={0}或={-4}时,把x=0代入x2+2(a+1)x+a2-1=0中得a=±1,把x=-4代入x2+2(a+1)x+a2-1=0,得a=1或7，又因为Δ=0,得a=-1; (3)={0,-4}时，Δ=a+1＞0,()22a 14a 10⎧-+=-⎪⎨-=⎪⎩,解得a=1.综上所述实数a=1或a ≤-1.18.【解析】∵函数y=loga(x+1)在(0,+∞)上单调递减,∴0＜a ＜1，即p:0＜a ＜1,∵曲线y=x2+(2a-3)x+1与x 轴交于不同的两点,∴Δ＞0，即(2a-3)2-4＞0，解得a ＜12或a ＞52.即q:a ＜12或a ＞52.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真,∴p 真q 假或p 假q 真,即0a1 15a22⎧⎪⎨≤≤⎪⎩＜＜或⎧⎪⎨⎪⎩a＞115 a＜或a＞22.解得12≤a＜1或a＞52.19.【解析】由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题. 若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2],∴a≤1.若q为真命题，即x2+2ax+2-a=0有实根，Δ＝4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2，综上，实数a的取值范围为a≤-2或a=1.20.【证明】(1)充分性:∵0＜m＜13,∴方程mx2-2x+3=0的判别式Δ=4-12m＞0，且3m＞0,∴方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性:若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根,则有12412m03x x0m∆=-⎧⎪⎨=⎪⎩＞＞.∴0＜m＜13.综合(1)(2)可知，方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜1 3.21.【解题指南】根据已知先得出p真时a的范围，再通过讨论a得到q真时a的范围，最后根据p真q假，得a的取值范围.【解析】∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，∴x1+x2=m，x1·x2=-2,=∴∴当m∈［-1,1］时，|x1-x2|max=3,由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈［-1,1］恒成立,可得：a2-5a-3≥3,∴a≥6或a≤-1,①若不等式ax2+2x-1>0有解，则当a>0时，显然有解，当a=0时，ax2+2x-1>0有解，当a<0时，∵ax2+2x-1>0有解，∴Δ=4+4a>0,∴-1<a<0,所以不等式ax2+2x-1>0有解时a>-1.∴q假时a的范围为a≤-1②由①②可得a的取值范围为a≤-1.【思想与方法解读】高考数学第一轮复习五建议古语云：授人以鱼，只供一饭。
2013届高考数学第1轮总复习1.1集合的概念课件文(广西专版)
题型1 元素与集合，集合与集合的关系 1. (原创)已知A={x|x≤ 3 2,x∈R}，
a= 15 ，b= 2 3, 则(
A. a∈A且b A
)
B. a A且b∈A
C. a∈A且b∈A D. {a} A且{b}A
解：由 15< 18= 3 2 及2 3= 12< 18
用符号“∈ A={y|y=x2+1,x∈N},B={(x,y)|y=x2-2x+2,x∈R},则：
(1)0_ __A;3.5_ __A;10___A;(1,2)__ _A. (2)(0,0)_ __B;(1,1)___B;2___B.
解：(1)A={y|y=x2+1,x∈N}是函数y=x2+1(x∈
所以A={x|x≥3}.又y=(b-2)2-1，b∈R，
所以y≥-1，所以B={y|y≥-１}，故A B.
参考题
题型 集合与元素关系的应用
1. 设 m ， n 是 整 数 ， 集 合 A={(x ， y)|(x-
m)2+3n≤6y}包含点(2，1)，但不包含点(1，0) 与(3，2)，求m及n的值.
解：因为(2,1)∈A,所以(2-m)2+3n≤6.①
又因为(1，0) A，(3，2)A，
所以(1-m)2+3n>0，② (3-m)2+3n>12.③
由①②得6-(2-m)2>-(1-m)2，解得 m - 3 .
由①③得 m - 1 , 又m∈Z，
2
2
所以m=-1,代入①,②得-4<3n≤-3,又n∈Z，
盘点指南：①确定性；②互异性；③无 序性；④列举法；⑤描述法；⑥图示法；⑦有 限集；⑧无限集；⑨R; ⑩Q; 11Z; 12N;
2013高考数学(理)一轮复习课件：1-1
2－ 2 2
②若m＝0，代入验证，可知不符合题意；
m 1 2 ③若m>0，则当 2 ≤m ，即m≥ 2 时，集合A表示一个环形区 域，集合B表示一个带形区域，从而当直线x＋y＝2m＋1与x＋ y＝2m中至少有一条与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，即符合题 |2－2m| |2－2m－1| 2－ 2 意，从而有 ≤|m|或 ≤|m|，解得 2 ≤m≤2 2 2 1 2－ 2 1 ＋ 2，由于2> 2 ，所以2≤m≤2＋ 2. 1 综上所述，m的取值范围是 ≤m≤2＋ 2. 2 答案
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x －7≥8－2x}，则A∪B等于( A．{x|3≤x＜4} C．{x|x＞2} )． B．{x|x≥3} D．{x|x≥2}
解析 B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}， ∴结合数轴得：A∪B＝{x|x≥2}． 答案 D
2． (2011· 浙江)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( A．P⊆Q 解析 答案 B．Q⊆P C．∁RP⊆Q
)．
D．Q⊆∁RP
∵∁RP＝{x|x≥1}，∴∁RP⊆Q. C )．
3．(2011· 福建)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( A．i∈S 解析 答案 B．i ∈S
一、集合与排列组合 【示例】► (2011· 安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝ {4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( A．57 B．56 C．49 D．8 )．
二、集合与不等式的解题策略 【示例】► (2011· 山东)设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝ )． C．(2,3] D．[2,3]
空集
13年江苏高考数学一轮复习教案+课时训练+答案第一章 第1课时
§1.1集合的概念及其基本运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：__________、________、________.(2)元素与集合的关系是__________或________关系，用符号______或______表示．(3)集合的表示法：__________、__________、____________、____________.(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为________、________、________. 2．集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则________(或________)．∅______A；A______A；A⊆B，B⊆C⇒A______C.若A含有n个元素，则A的子集有______个，A的非空子集有______个，A的非空真子集有______个．(2)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；交集：A∩B＝__________________；补集：∁U A＝____________________.U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．(2)集合的运算性质 并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . 补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A . [难点正本 疑点清源] 1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A ≠∅两种可能的情况． 3．正确区分∅，{0}，{∅}∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,5}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(∁U B )＝________. 2．(2011·上海)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________.3．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤1＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．4．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若A ∪B ＝A ，则m 的可能取值组成的集合为________．5．已知R 是实数集，M ＝{x |2x<1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩(∁R M )＝__________.型一 集合的基本概念例1 (1)已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，且1∈A ，求实数2 013a 的值；(2)x ，x 2－x ，x 3－3x 能表示一个有三个元素的集合吗？如果能表示一个集合，说明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合．探究提高 (1)加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．(2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.题型二 集合间的基本关系例2 已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤2.(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3)A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．探究提高 在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答． 分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 题型三 集合的基本运算例3 设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．探究提高 本题的主要难点有两个：一是集合A ，B 之间关系的确定；二是对集合B 中方程的分类求解．集合的交并补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn 图进行直观的分析不难找出来，如A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，(∁U A )∩B ＝∅⇔B ⊆A 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 题型四 集合中的新定义问题例4 在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算 和 如下：那么d (a c )＝________.探究提高 本题新定义了两种运算，看似复杂，但事实上运算结果可以通过题目中的表格得出．借助于集合定义新运算是高考中命制创新试题的一个良好素材．已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是____________．1.忽略空集致误试题：(1)(5分)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为__________．(2)(5分)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可取值组成的集合为________________________________________________________________． 学生答案展示审题视角 (1)从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅.(2)从集合元素看，第(1)小题S ≠∅时，S 中元素为－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.第(2)小题B ≠∅，必有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1m ＋1≥－22m －1≤5.正确答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12 (2){m |m ≤3}解析 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； 当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．批阅笔记 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓 住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S ＝∅时，a ＝0；B ＝∅时，m <2.二是易忽略对字母的讨论．如－1a 可以为－3或－2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． 失误与防范1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非 空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．4．Venn 图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性．课时规范训练(时间：60分钟)A 组 专项基础训练题组一、填空题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为__________．2．(2011·湖南改编)设全集U ＝M ∪N ＝{1,2,3,4,5}，M ∩∁U N ＝{2,4}，则N ＝____________.3．已知集合M ＝{x |xx －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N ＝____________.4．如果全集U ＝R ，A ＝{x |2<x ≤4}，B ＝{3,4}，则A ∩(∁U B )＝____________.5． 若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N *}，B ＝{y |4y ∈N *，y ∈N *}，则A ∩B 中元素的个数为________．6．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝__________.7．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为________． 二、解答题8．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．B 组 专项能力提升题组一、填空题1．设集合A ＝{1,2,3,5,7}，B ＝{x ∈Z |1<x ≤6}，全集U ＝A ∪B ，则A ∩(∁U B )＝__________. 2．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是________．3．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝____________.4．已知集合A ＝{x |log 2x ＋1>0}，B ＝{y |y ＝3－2x －x 2}，则(∁R A )∩B ＝____________. 5．已知集合A ＝(－∞，0]，B ＝{1,3，a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________． 6．(2010·重庆)设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 7．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是__________． 二、解答题8．对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M *N ＝(M －N )∪(N －M )，设M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }，求M *N .9．已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．答案要点梳理1．(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 区间法 (5)有限集 无限集 空集2．(1)A B B A ⊆ ⊆ ⊆ 2n 2n －1 2n －2 3．(1){x |x ∈A ，且x ∈B } {x |x ∈U ，且x ∉A } 基础自测1．{2,4} 2.{x |0<x <1} 3.(2,3) 4.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－12 5.[0,2]题型分类·深度剖析例1 解 (1)当a ＋2＝1，即a ＝－1时， (a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1与a ＋2相同， ∴不符合题意．当(a ＋1)2＝1，即a ＝0或a ＝－2时， ①a ＝0符合要求．②a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝1与(a ＋1)2相同，不符合题意． 当a 2＋3a ＋3＝1，即a ＝－2或a ＝－1.①当a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝(a ＋1)2＝1，不符合题意． ②当a ＝－1时，a 2＋3a ＋3＝a ＋2＝1，不符合题意． 综上所述，a ＝0. ∴2 013a ＝1.(2)因为当x ＝0时，x ＝x 2－x ＝x 3－3x ＝0. 所以它不一定能表示一个有三个元素的集合． 要使它表示一个有三个元素的集合，则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠x 2－x ，x 2－x ≠x 3－3x ，x ≠x 3－3x .∴x ≠0且x ≠2且x ≠－1且x ≠－2时，{x ，x 2－x ，x 3－3x }能表示一个有三个元素的集合．变式训练1 0或98例2 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a ＝0，则A ＝R ；②若a <0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |4a ≤x <－1a ；③若a >0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a <x ≤4a .(1)当a ＝0时，若A ⊆B ，此种情况不存在． 当a <0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎨⎧4a >－12－1a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0或a <－8a >0或a ≤－12，又a <0，∴a <－8.当a >0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎨⎧－1a ≥－124a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a <0a ≥2或a <0.又∵a>0，∴a ≥2.综上知，当A ⊆B 时，a<-8或a ≥2. (2)当a=0时，显然B ⊆A ； 当a<0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12－1a >2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－8≤a <0－12<a <0.又∵a<0，∴- <a<0. 当a>0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧－1a ≤－124a ≥2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤20<a ≤2.又∵a>0，∴0<a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，- <a ≤2.(3)当且仅当A 、B 两个集合互相包含时，A ＝B . 由(1)、(2)知，a ＝2. 变式训练2 4 例3 1或2 例4 a变式训练4 6 {0,1,2,3} 课时规范训练 A 组1．2 2.{1,3,5} 3.{x |x >1}4．{x |2<x <3或3<x <4} 5.3 6.－1或2 7．18 8．解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3. B 组1．{1,7} 2．56 3.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 4.⎣⎡⎦⎤0，12 5．a ≤0 6.－3 7.(－∞，－3)8．解 ∵M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}， N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }＝{y |－3≤y ≤3}， ∴M －N ＝{y |y >3}，N －M ＝{y |－3≤y <0}， ∴M *N ＝(M －N )∪(N －M ) ＝{y |y >3}∪{y |－3≤y <0} ＝{y |y >3或－3≤y <0}．9．解 由x －5x ＋1≤0，所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}． (1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， 所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}． (2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}， A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意， 故实数m 的值为8.。
2013年高考试题分章节汇编必修一 第一章 集合
必修一 第一章 集合一、选择题错误！未指定书签。
1．（2013年重庆数学（理））已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则)(B A C U =( )A.{}134，， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 【解析】 ∵}3,2,1{=B A ,∴补集是{4}.故选D.2错误！未指定书签。
．（2013年辽宁数学（理））已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A.()01，B.(]02，C.()1,2D.(]12， 【答案】D 【解析】 ∵ )4,1(=A ，]2,(∞=B ，∴]2,1(=B A ，故选D.3错误！未指定书签。
．（2013年天津数学（理））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1]【答案】D 【解析】 ∵]1,2[],1,(],2,2[-=∴-∞=-B A B A ，故选D4错误！未指定书签。
．（2013年福建数学（理））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )A.*,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q ==【答案】D 【解析】 根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确； 令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．错误！未指定书签。
高三数学一轮复习 第1篇 第1节 集合课时训练 理
必考部分第一篇集合与常用逻辑用语(必修1、选修21)第1节集合课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号集合的概念7、11集合间的关系4、9、10、15集合的运算1、2、3、5、8、12、14、16 集合中的新情境问题6、13基础过关一、选择题1.(2013高考四川卷)设集合A={1,2,3},集合B={-2,2},则A∩B等于( B )(A) (B){2}(C){-2,2} (D){-2,1,2,3}解析:A∩B={2},故选B.2.(2014宝鸡一模)已知集合M={-1,0,1}和P={0,1,2,3}关系的韦恩(Venn)图所图所示,则阴影部分所示的集合是( A )(A){0,1} (B){0}(C){-1,2,3} (D){-1,0,1,2,3}解析:由韦恩图可知,阴影部分所表示的集合为M∩P,可知M∩P={-1,0,1}∩{0,1,2,3}={0,1}.3.(2014高考辽宁卷)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)等于( D )(A){x|x≥0} (B){x|x≤1}(C){x|0≤x≤1} (D){x|0<x<1}解析:因为A∪B={x|x≤0或x≥1},所以∁U(A∪B)={x|0<x<1}.4.(2014西安模拟)设集合A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a}.若A⊆B,则a的范围是( B )(A)(-∞,1) (B)(-∞,1](C)(-∞,2) (D)(-∞,2]解析:因为A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a},根据题意,A⊆B,而A={x|1≤x≤2},在数轴上表示可得,必有a≤1.5.(2014宜春模拟)已知全集U=R,集合M={x|2x>1},集合N={x|log2x>1},则下列结论中成立的是( D )(A)M∩N=M (B)M∪N=N(C)M∩(∁U N)= ∅(D)(∁U M)∩N=∅解析:由题M={x|2x>1}={x|x>0},N={x|log2x>1}={x|x>2},所以∁R M={x|x≤0},(∁R M)∩N=∅.6.对于非空集合A,B,定义运算:A⊕B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B},已知M={x|a<x<b},N={x|c<x<d},其中a、b、c、d满足a+b=c+d,ab<cd<0,则M⊕N等于( C ) (A)(a,d)∪(b,c) (B)(c,a]∪[b,d)(C)(a,c]∪[d,b) (D)(c,a)∪(d,b)解析:∵a+b=c+d,ab<cd<0,a<x<b,c<x<d,∴a<c<0<d<b,∴M∪N=(a,b),M∩N=(c,d),∴M⊕N=(a,c]∪[d,b),故选C.二、填空题7.集合A={x||x-2|<4}中的最小整数为.解析:A={x||x-2|<4}={x|-2<x<6},则最小整数为-1.答案:-18.(2014上海静安模拟)已知集合A={(x,y)|x+y-1=0},B={(x,y)|y=x2-1},则A∩B= .解析:由于集合的元素是曲线上的点.因此A∩B中的元素是两个曲线的交点,故解方程组得或所以A∩B={(-2,3),(1,0)}.答案:{(-2,3),(1,0)}9.已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值组成的集合为.解析:若a=0时,B= ,满足B⊆A,若a≠0,B={-},∵B⊆A,∴-=-1或-=1,∴a=1或a=-1.所以a=0或a=1或a=-1,组成的集合为{-1,0,1}.答案:{-1,0,1}10.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b-a= .解析:由题意,得或解得所以b-a=2.答案:2三、解答题11.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.(1)9∈(A∩B);(2){9}=A∩B.解:(1)∵9∈(A∩B),∴2a-1=9或a2=9,∴a=5或a=3或a=-3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9};当a=3时,a-5=1-a=-2,不满足集合元素的互异性;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},所以a=5或a=-3.(2)由(1)可知,当a=5时,A∩B={-4,9},不合题意,当a=-3时,A∩B={9}.所以a=-3.12.(2014上海松江模拟)已知集合A={x||x-1|≤1},B={x|x2-4ax+3a2≤0,a≥0}.(1)当a=1时,求集合A∩B;(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.解:(1)由|x-1|≤1,得0≤x≤2,所以A=[0,2],当a=1时,B={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3},∴A∩B=[1,2].(2)由(1)A=[0,2].∵a≥0,∴B={x|a≤x≤3a},若A∩B=B,则B⊆A,∴即a∈[0,].能力提升13.(2014广州一模)设全集U,已知非空集合M和N,规定M-N={x|x∈M且x∈/N},那么M-(M-N)等于( B )(A)M∪N (B)M∩N(C)M (D)N解析:法一设集合M={1,2,3,4,5},N={4,5,6,7},根据定义M-N={x|x∈M且x∈/N},则M-N={1,2,3},因此M-(M-N)={x|x∈M且x∈/M-N}={4,5}=M∩N,故选B.法二根据定义M-N={x|x∈M且x∈/N}=M∩(∁U N),即如图中阴影部分,则M-(M-N)=M∩∁U(M-N)=M∩N.故选B.14.已知R是实数集,集合P={x|y=ln(x2+2014x-2015)},Q={y|y=},则(∁R P)∪Q= .解析:集合P表示函数y=ln(x2+2014x-2015)的定义域,由x2+2014x-2015>0,即(x-1)(x+2015)>0,解得x<-2015或x>1.故P=(-∞,-2015)∪(1,+∞),∁R P=[-2015,1].集合Q表示函数y=的值域,所以y∈[0,2],即Q=[0,2].所以(∁R P)∪Q=[-2015,2].答案:[-2015,2]15.(2014太原模拟)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁U A)∩B=∅,求m的值.解:A={-2,-1},由 (∁U A)∩B=∅得B⊆A,因为方程x2+(m+1)x+m=0的判别式:Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,所以B≠∅,所以B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,所以B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3且m=(-1)·(-2)=2,得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.所以m=1或m=2.探究创新16.(2014九江市二模)如图所示,已知集合A={x|框图中输出的x值},B={y|框图中输出的y 值},则当x=-1时,A∩B等于( C )(A){1,3,5} (B){-1,1}(C){1,3} (D){-1,1,3}解析:由程序框图,知当x=-1时,y=2×(-1)-1=-3,x=-1+1=0,输出x=0,y=-3. 因为0>3不成立,故执行循环:y=2×0-1=-1,x=0+1=1,输出x=1,y=-1.因为1>3不成立,故执行循环:y=2×1-1=1,x=1+1=2,输出x=2,y=1.因为2>3不成立,故执行循环:y=2×2-1=3,x=2+1=3,输出x=3,y=3.因为3>3不成立,故执行循环:y=2×3-1=5,x=3+1=4,输出x=4,y=5.因为4>3成立,所以结束循环.所以集合A={0,1,2,3,4},B={-3,-1,1,3,5},所以A∩B={1,3}.。
高考数学一轮复习 第一章 第一节 集合演练知能检测 文
第一节 集 合[全盘巩固]1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知集合M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝( )A ．{－2，－1,0,1}B ．{－3，－2，－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．{－3，－2，－1}解析：选C 因为M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1，0,1}，所以M ∩N ＝{－2，－1,0}．2．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3}，B ＝{2,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{2,6}D ．{1,6}解析：选 D 图中阴影部分表示的集合为∁U (A ∪B )．因为A ∪B ＝{2,3,4,5}，U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{1,6}．3．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，－1 解析：选D 由A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，得2a ＝12，解得a ＝－1，从而b ＝12.所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，则A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，－1. 4．(2014·潍坊模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}．则A ∩∁R B ＝( )A ．[－3,2]B ．[－2,0)∪(0,3]C ．[－3,0]D ．[－3,0)解析：选D 集合A ＝[－3,2]，集合B ＝[0,2]，∁R B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以A ∩∁R B ＝[－3,0)．5．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 C ．(－∞，－1] D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .(1)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32； (2)当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1. 由(1)(2)可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．6．(2014·丽水模拟)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则集合C 中所含元素的个数为( )A ．5B ．6C ．12D ．13解析：选D 当x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.7．若1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －3，9a 2－1，a 2＋1，－1，则实数a 的值为________． 解析：若a －3＝1，则a ＝4，此时9a 2－1＝a 2＋1＝17，不符合集合中元素的互异性；若9a 2－1＝1，则a ＝49，符合条件；若a 2＋1＝1，则a ＝0，此时9a 2－1＝－1，不符合集合中元素的互异性．综上可知a ＝49. 答案：498．(2014·杭州模拟)已知集合A ＝{0,1}，则满足条件A ∪B ＝{2,0,1,3}的集合B 的个数为______．解析：由题知B 集合必须含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共四个．答案：49．设A 、B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x ＞0}，则A ×B ＝________________.解析：由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}．所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：[0,1]∪(2，＋∞)10．(2014·绍兴模拟)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求出适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9.∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3.经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}；当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．综上知a ＝－3.11．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁U A )∩B ＝∅，求m 的值． 解：由题意知A ＝{－2，－1}，集合B 中的方程的根是x 1＝－1，x 2＝－m .当－m ≠－1时，集合B ＝{－1，－m }，此时只能A ＝B ，即m ＝2；当－m ＝－1时，集合B ＝{－1}，此时集合B 是集合A 的真子集，也符合要求．∴m ＝1或2.12．设集合A ＝{x |x ＋1≤0，或x －4≥0}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋2}．(1)若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x ≤－1，或x ≥4}．(1)∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，a ＋2≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，2a ≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，a ≤－12，∴a ＝2，或a ≤－12. 即a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a ＝2，或a ≤－12. (2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，且有三种情况．①⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，a ＋2≤－1，解得a ≤－3； ②⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，2a ≥4，解得a ＝2；③由B ＝∅，得2a >a ＋2，得a >2.∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．[冲击名校]1．(2014·青岛模拟)用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧ C A －C B ，C A ≥C B ，C B －C A ，C A ＜C B ，若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ，则C (S )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由A ＝{1,2}，得C (A )＝2，由A *B ＝1，得C (B )＝1或C (B )＝3.由(x 2＋ax )(x2＋ax ＋2)＝0，得x 2＋ax ＝0或x 2＋ax ＋2＝0.当C (B )＝1时，方程(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0只有实根x ＝0，这时a ＝0.当C (B )＝3时，必有a ≠0，这时x 2＋ax ＝0有两个不相等的实根x 1＝0，x 2＝－a ，方程x 2＋ax ＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x 1＝0，x 2＝－a ，由Δ＝a 2－8＝0，得a ＝±22，可验证均满足题意，故S ＝{－22，0,22}，C (S )＝3.2．(2014·海淀模拟)已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2＜1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2＜1}，则点{x ，y }在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0＜k ＜1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2＜1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝54，点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12在此圆上，但点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－14不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集的个数为2.。
高考数学(理)一轮总复习检测：第一章 第一节 集 合 Word版含解析
第一节集合【最新考纲】 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算及其性质1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}．()(2)任何集合都有两个子集．()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．(2017·广州一模)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅解析：本题主要考查集合之间的关系．因为M＝{x||x|≤1}，所以M＝{x|－1≤x≤1}，因为N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，所以N＝{y|0≤y≤1}，所以N⊆M.答案：C3．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝()A．(－1，3) B．(－1，0)C．(0，2) D．(2，3)解析：将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1，3)．答案：A4．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}解析：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，∴∁U A＝{2，4，7}．答案：C5．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B＝∅，则实数a 的值范围为()A．{a|a≤1} B．{a|a＜1}C．{a|a≥1} D．{a|a＞1}解析：∵A∩B＝∅，∴a≥1.答案：C一个前提集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合问题的前提．一种方法借助Venn图和数轴即数形结合研究集合问题能使抽象问题直观化，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．两个防范1．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．两个结论1．集合A 中元素的个数记为n ，则它的子集的个数为2n ，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n －2.2．要注意五个关系式A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B)＝∅的等价性．一、选择题1．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3}，则( )A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅C ．A BD ．B A解析：∵A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3}，∴2，3∈A 且2，3∈B ，1∈A 但1∉B ，∴B A.答案：D2．若集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3，4}，则A ∩B 的子集个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．16解析：A ∩B ＝{1，3}，其子集有∅，{1}，{3}，{1，3}，共4个． 答案：C3．(2016·课标全国Ⅰ卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析：通过解不等式化简集合A ，B ，再利用交集定义求解． ∵x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3，∴A ＝{x |1＜x ＜3}．∵2x －3＞0，∴x ＞32，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞32. ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞32＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32＜x ＜3.故选D. 答案：D4．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由题意可知，集合M ＝{5，6，7，8}，共4个元素． 答案：B5．已知全集为R ，集合A ＝{x|(12)x ≤1}，B ＝{x|x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩(∁RB)＝( )A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2，或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2，或x ≥4}解析：A ＝{x|(12)x ≤1}＝{x|x ≥0}，B ＝{x|x 2－6x ＋8≤0}＝{x|2≤x ≤4}，所以∁RB ＝{x|x ＜2，或x ＞4}，于是A ∩(∁RB)＝{x|0≤x ＜2，或x ＞4}．答案：C6．(2016·南昌调研)已知集合A ＝{x|x 2＋2x ＜0}，B ＝{x|(12)x －2≥0}，则A∩(∁R B)＝()A．(－2，－1)B．(－1，0) C．(－2，－1] D．[－1，0)解析：A＝{x|x2＋2x＜0}＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|(12)x－2≥0}＝{x|x≤－1}，所以∁R B＝{x|x＞－1}，A∩(∁R B)＝(－1，0)．答案：B二、填空题7．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是________．解析：因为A＝{1，2}，A∪B＝{0，1，2}，则集合B可以是{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}共4个．答案：48．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：∵A＝{x|－5＜x＜1}，B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B ＝{x|－1＜x＜n}，∴m＝－1，n＝1.答案：－1 19．(2016·郑州月考)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a的取值集合为________．解析：若a＋2＝1，则a＝－1，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，不合题意；若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2，经检验，a ＝0符合题意； 若a 2＋3a ＋3＝1，则a ＝－1或a ＝－2，经检验，均不合题意． 答案：{0}三、解答题10．若集合M ＝{x|x 2＋x －6＝0}，N ＝{x|ax ＋2＝0，a ∈R}，且M ∩N ＝N ，求实数a 的取值集合．解：∵M ∩N ＝N ，∴N ⊆M ，又M ＝{－3，2}，若N ＝∅，则a ＝0.若N ≠∅，则N ＝{－3}或N ＝{2}，所以－3a ＋2＝0或2a ＋2＝0，解得a ＝23或a ＝－1， 所以a 的取值集合是{－1，0，23}． 11．已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，B ＝{x|x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}．(1)若A ∩B ＝[0，3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x|－1≤x ≤3}，B ＝{x|m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0，3]，∴⎩⎨⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}，∵A⊆∁R B，∴m－2＞3或m＋2＜－1.∴m＞5或m＜－3，即m的取值范围为(－∞，3)∪(5，＋∞)．。
2013届高考数学一轮复习精讲精练第01章集合与简易逻辑
2013高中数学精讲精练第二章函数【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第1课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础练习】1．设有函数组：①y x =，y =；②y x =，y =；③y =y =；④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10xy =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___． 2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____． 3.写出下列函数定义域：(1) ()13f x x =-的定义域为______________； (2) 21()1f x x =-的定义域为______________； (3)1()f x x =的定义域为______________； (4)()f x =_________________．4．已知三个函数:(1)()()P x y Q x =；(2)y =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________． 5.写出下列函数值域：(1) 2()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}． (2) 2()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]．【范例解析】①②③④R {1}x x ≠± [1,0)(0,)-⋃+∞ (,1)(1,0)-∞-⋃- ()0Q x ≠ ()0P x ≥ ()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠例1.设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()f x =，()g x③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例2.求下列函数的定义域：①12y x =- ②()f x = 解：（1）① 由题意得：220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．② 由题意得：12log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）22x y x =+()x R ∈；（3）y x =-分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域． （1） 解：2242(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈，∴函数的值域为[2,2]-；（2） 解法一：由2221111x y x x ==-++，21011x <≤+，则21101x -≤-<+，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．解法二：由221x y x =+，则21y x y=-，20x ≥，∴01y y ≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)． （3t =(0)t ≥，则21x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】(,0]-∞1．函数f (x )＝x21-的定义域是___________．2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为________________． 4.函数23y x =-的值域为_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________．6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，x <－1或x ≥1， 即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ． ∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时， 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)．第2课 函数的表示方法【考点导读】(1,2)(2,3)⋃ (0,1] (,4]-∞ 13[,0)(,1]44-⋃1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式． 【基础练习】1.设函数()23f x x =+，()35g x x =-，则(())f g x =_________；(())g f x =__________． 2.设函数1()1f x x=+，2()2g x x =+,则(1)g -=_____3_______；[(2)]f g =17；[()]f g x =213x +．3.已知函数()f x 是一次函数，且(3)7f =，(5)1f =-,则(1)f =__15___．4.设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝_____________． 5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 【范例解析】例1.已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式． 分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．解法一：设2()(0)f x ax bx c a =++>，则26,426,4 4.4c a b c ac b a ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得2,4,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的解析式为2()246f x x x =-+． 解法二：(0)(2)f f =，∴抛物线()y f x =有对称轴1x =．故可设2()(1)4(0)f x a x a =-+>．将点(0,6)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法三：设()() 6.F x f x =-，由(0)(2)6f f ==，知()0F x =有两个根0，2， 可设()()6(0)(2)F x f x a x x =-=--(0)a >，()(0)(2)6f x a x x ∴=--+，将点(1,4)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式． 例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出()y f x =的函数解析式．分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．解：当[0,30]x ∈时，直线方程为115y x =，当[40,60]x ∈第5题67x - 64x + 413|1|2323--=x y (0≤x ≤2)1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域． 【反馈演练】1．若()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则(2)f x =（ D ）Ａ． 2()f x Ｂ．2[()()]f x g x + Ｃ．2()g x Ｄ． 2[()()]f x g x ⋅2．已知1(1)232f x x -=+，且()6f m =，则m 等于________．3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．求函数g (x )的解析式． 解：设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故．第3课 函数的单调性【考点导读】14-1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性． 【基础练习】 1.下列函数中： ①1()f x x=； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-． 其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数y x x =的递增区间是___ R ___． 3.函数y =__________． 4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．5.已知下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数； ②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______． 【范例解析】例 . 求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数； （2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+，又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．(,1]-∞- (1,)+∞所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数． （2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论． 例2.确定函数()f x =分析：作差后，符号的确定是关键．解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则12()()f x f x -===又120x x -<0>，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．所以，()f x 在区间1(,)2-∞上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．【反馈演练】(0,1)1．已知函数1()21x f x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___.3.函数y =1[2,]2--.4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2-∞-． 5. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >．第4课 函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数． 【基础练习】1.给出4个函数：①5()5f x x x =+；②421()x f x x-=；③()25f x x =-+；④()x xf x e e -=-． 其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____． 2. 设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a －1 ．3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）A .R x x y ∈-=,3B .R x x y ∈=,sinC .R x x y ∈=,D .R x x y ∈=,)21(【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）2(12)()2x xf x +=； （2）()lg(f x x =；（3）221()lg lgf x x x=+； （4）()(1f x x =- （5）2()11f x x x =+-+； （6）22(0),()(0).x x x f x x x x⎧-+≥⎪=⎨<+⎪⎩分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断． 解：（1）定义域为x R ∈，关于原点对称；2222(12)2(12)()222x x x x x x f x ----+⋅+-===⋅2(12)()2x xf x +=, 所以()f x 为偶函数．（2）定义域为x R ∈，关于原点对称；()()lg(lg(lg10f x f x x x -+=-+==，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．（3）定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，关于原点对称；()0f x =，()()f x f x ∴-=-且()()f x f x -=，所以()f x 既为奇函数又为偶函数．（4）定义域为[1,1)x ∈-，不关于原点对称；故()f x 既不是奇函数也不是偶函数． （5）定义域为x R ∈，关于原点对称；(1)4f -=，(1)2f =，则(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（6）定义域为x R ∈，关于原点对称；22()()(0),()(0).()()x x x f x x x x ⎧--+-->⎪-=⎨-<-+-⎪⎩，22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧-->⎪∴-=⎨<-⎪⎩又(0)0f =， 22(0),()(0).x x x f x x x x⎧--<⎪∴-=⎨≥-⎪⎩()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即()()f x f x -=-或()()f x f x -=判断，注意定义的等价形式()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=．例2. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2()22f x x x =-+，求函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间．分析：奇函数若在原点有定义，则(0)0f =． 解：设0x <，则0x ->，2()22f x x x ∴-=++．又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，2()()22f x f x x x ∴=--=---． 当0x =时，(0)0f =．综上，()f x 的解析式为2222,0()0,0022,x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪<---⎩． 作出()f x 的图像，可得增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞，减区间为[1,0)-，(0,1]．点评：（1）求解析式时0x =的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“⋃”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x -”实现转化；（4）根据图像写单调区间．【反馈演练】1．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ D ）A ．()()76f f >B ．()()96f f >C ．()()97f f >D ．()()107f f >2. 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ B ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为____1，3 ___． 4．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f ________．5．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取 值范围是（－2，2）．6. 已知函数21()ax f x bx c+=+(,,)a b c Z ∈是奇函数．又(1)2f =，(2)3f <,求a ，b ，c 的值；解：由()()f x f x -=-，得()bx c bx c -+=-+，得0c =．又(1)2f =，得12a b +=，而(2)3f <，得4131a a +<+，解得12a -<<．又a Z ∈，0a ∴=或1． 若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈．所以，1,1,0a b c ===．综上，可知()f x 的值域为{0,1,2,3,4}．第5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；252.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法． 【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）2x y =12x y -= 123x y -=+；（2）2log y x =2log ()y x =- 2log (3)y x =-． 2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31xy =-； （2）2log (2)y x =-； （3）21xy x -=-． 解：（1）将3xy =的图像向下平移1个单位，可得31xy =-的图像．图略；（2）将2log y x =的图像向右平移2个单位，可得2log (2)y x =-的图像．图略；（3）由21111x y x x -==---，将1y x =的图像先向右平移1个单位，得11y x =-的图像，再向下平移1个单位，可得21x y x -=-的图像．如下图所示：3.作出下列各个函数图像的示意图：（1）12log ()y x =-； （2）1()2x y =-； （3）12log y x =； （4）21y x =-．解：（1）作12log y x =的图像关于y 轴的对称图像，如图1所示；（2）作1()2x y =的图像关于x 轴的对称图像，如图2所示；（3）作12log y x =的图像及它关于y 轴的对称图像，如图3所示；（4）作21y x =-的图像，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，如图4所示．图3向右平移1个单位 向上平移3个单位作关于y 轴对称的图形 向右平移3个单位图44. 函数()|1|f x x =-的图象是（ B ）例1.作出函数2()223f x x x =-++及()f x -，()f x -，(2)f x +，()f x ，()f x 的图像． 分析：根据图像变换得到相应函数的图像． 解：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；将()y f x =的图像向左平移2个单位得到(2)y f x =+的图像；保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分； 将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．图略．点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；()y f x =--与()y f x =的图像关于原点对称；()y f x =保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；()y f x =将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分． 例2.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到)(x f 的图像，第（3）问实质是恒成立问题． 解：（1）（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A . 由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.【反馈演练】11B ）2. 为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象向右平移1个单位长度得到． 3．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k =14-． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y =f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ． 5. 作出下列函数的简图：（1）2(1)y x x =-+； （2）21x y =-； （3）2log 21y x =-．第6课 二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为32x =；顶点坐标为 31(,)24-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14-． 2. 二次函数2223y x mx m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞．3. 函数221y x x =--的零点为11,2-． 4. 实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <；有两正根的充要条件为0,0,0b c a a ∆≥->>；有两负根的充要条件为0,0,0b ca a∆≥-<>．5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________．【范例解析】例1.设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈． （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）若2a =时，求)(x f 的最小值． 分析：去绝对值．解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数．当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ． 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43． 点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值． 例2.函数()f x 212ax x a =+-()a R ∈在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式． 分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．解：∵直线1x a =-是抛物线()f x 212ax x a =+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： （1）当0>a 时，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段，由10x a=-<知()f x在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ；（2）当0=a 时，()f x x =，2]x ∈，有)(a g =2；[1,2]（3）当0<a 时，，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，若1x a=-]2,0(∈即22-≤a 时，)(ag f ==若1x a =-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a a a=-=--， 若1x a =-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ．综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ． 点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =在区间2]上的单调性．【反馈演练】1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥．2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2215y x x =-++．3. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一：则a 的值为 （ B ）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 4．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是5[,)2-+∞． 5.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是(,5][5,)-∞-⋃+∞．6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ． （1）求()g a 的表达式； （2）求()g a 的最大值．解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2ax =， 当12a≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+； 当112a-<<，即22a -<<时，2()()322a a g a f =-=-；当12a≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-； 综上，225,(2)()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩．（2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3．7. 分别根据下列条件,求实数a 的值：（1）函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2； （2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4．解：（1）当0a <时，max ()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-； 当01a ≤≤时，max ()()f x f a =，令()2f a =，a ∴=； 当1a >时，max ()(1)f x f =，即2a =． 综上，可得1a =-或2a =．（2）当0a >时，max ()(2)f x f =，即814a +=，则38a =； 当0a <时，max ()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-．综上，38a =或3a =-． 8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈．（1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小；（2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围．解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥． （2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．第7课 指数式与对数式【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127； log 1a =___0_____； log a a =____1____；log 4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a ba b ---÷-=6a -；（2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+．3.求值：（1）35log(84)⨯=___－38____；（2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____． 【范例解析】 例1. 化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值；（2）若3log 41x =，求332222x xx x--++的值． 分析：先化简再求值． 解：（1）由13a a-+=，得11222()1a a --=，故11221a a--=±；又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-． （2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x xx x---+=-+=+． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56． 分析：化为同底．解：（1）原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=；（2）由2log 3m =，得31log 2m =；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn m mn ++===++++．点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数． 例3. 已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值． 分析：将a ，b 都用c 表示． 解：由35a b c ==，得1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b+=，则log 3log 52c c +=， 得215c =．0c >，c ∴=点评：三个方程三个未知数，消元法求解．【反馈演练】1．若21025x =，则10x -=15． 2．设lg321a =，则lg0.321=3a -． 3．已知函数1()lg1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ． 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12． 6．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．7．已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ． （1）求实数c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f ． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >+得，当102x <<12x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．第8课 幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图像了解它们的变化情况；2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】1.指数函数()(1)xf x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)．2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2xf x =的图像，则()f x =222x -+．3.函数220.3x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1(,]2-∞-；值域14(0,0.3]．4.已知函数1()41x f x a =++是奇函数，则实数a 的取值12-． 5.要使11()2x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2．【范例解析】例1.比较各组值的大小： （1）0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62；（2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<；（3）131()2，121()3．分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．解：（1）0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<，0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<．（2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>．（3）111322111()()()223>>．点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数,求,a b 的值；解：因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= －f （－1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++例3.已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （2）方程()0f x =没有负根． 分析：注意反证法的运用．证明：（1）设121x x -<<，122112123()()()(1)(1)x xx x f x f x a a x x --=-+++，1a >，210x x a a ∴->，又121x x -<<，所以210x x ->，110x +>，210x +>，则12()()0f x f x -< 故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数．（2）设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，则00021x x ax -=-+．又001xa <<，002011x x -∴<-<+ 即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根． 点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．【反馈演练】1．函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有（ C ） A ．)()()(y f x f xy f =B ．)()()(y f x f xy f +=C ．)()()(y f x f y x f =+D ．)()()(y f x f y x f +=+2．设713=x ，则（ A ）A ．－2<x <－1B ．－3<x <－2C ．－1<x <0D ．0<x <13．将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像．A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ． 先向下平行移动1个单位4．函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ C ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a5．函数xa y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为___2__．6．若关于x 的方程4220x xm ++-=有实数根，求实数m 的取值范围． 解：由4220x xm ++-=得，219422(2)224x x x m =--+=-++<，(,2)m ∴∈-∞ 7．已知函数2()()(0,1)2x xa f x a a a a a -=->≠-． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．解：（1）定义域为R ，则2()()()2x xa f x a a f x a --=-=--，故()f x 是奇函数． （2）设12x x R <∈，12121221()()()(1)2x x x x a f x f x a a a a-+-=-+-，当01a <<时，得220a -<，即01a <<；当1a >时，得220a ->，即a >综上，实数a 的取值范围是(0,1))⋃+∞．第9课 对数函数及其性质【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4．2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞． 【范例解析】例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________．（2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题：①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零． 解：（1）0,1a a >≠，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又2ax -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<．（2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立；③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2,2420.aa a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅，不成立．点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决． 例3.已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 分析：利用定义证明复合函数的单调性．解：x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xxx x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力． 【反馈演练】1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)；③ln ln 2.其中值最大的序号是___④___. 2．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _．3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--．4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为12． 5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数有___3___个.6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+；④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.7．求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值． 解：2222()log 2log (log 1)(log 2)4xf x x x x =⋅=+-222log log 2x x =-- 令2log t x =，1[,4]2x ∈，则[1,2]t ∈-，即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值． 故函数()f x 的最大值为0，最小值为94-． 8．已知函数()log ax bf x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明． 解：（1）解：由0x bx b+>-，故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞．第6题（2）()log ()()a x bf x f x x b-+-==---，故()f x 为奇函数． （3）证明：设12b x x <<，则121221()()()()log ()()ax b x b f x f x x b x b +--=+-，12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-．当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数； 当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数．第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点． 2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个． 【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+， 则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根； ③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根； ④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根． 其中，正确的结论有___________． 分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a=-，由图知，当222a -<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②． 点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >． 求证：（1）0a >且12-<<-ab； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换． 证明：（1）(0)0f c =>，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a <<，即1(2,1)b ca a=--∈--，即证． （2）11()024f a =-<，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证． 点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负。
2013年高考数学总复习 第一章 第1课时 集合的概念与运算随堂检测(含解析) 新人教版
word 1 / 1 2013年高考数学总复习 第一章 第1课时 集合的概念与运算随堂检测（含解析） 新人教版‘1．已知集合U ＝{x |0≤x ≤6，x ∈Z }，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{1}B ．{3,6}C ．{4,5}D ．{1,3,4,5,6}解析：选B.已知U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，所以∁U B ＝{0,2,3,6}，则A ∩(∁U B )＝{3,6}，故选B.2.如图，I 是全集，A 、B 、C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(∁I A )∩B ∩CB ．(∁I B )∪A ∩CC ．A ∩B ∩(∁I C )D ．A ∩(∁I B )∩C 解析：选D.由图可知阴影部分所表示的集合是A ∩(∁I B )∩C ，故选D.3．已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}解析：选D.当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，x ＝－1a ，令－1a ＝1或－1a＝－1得a ＝－1或a ＝1，故选D.4．(2011·高考某某卷)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N ＝( )A ．MB ．NC ．ID ．∅解析：选A.∵N ∩(∁I M )＝∅，∴N ⊆M ，∴M ∪N ＝M .5．(2012·某某调研)已知集合S ＝{x ||2x －1|<1}，则使(S ∩T )⊇(S ∪T )的集合T ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x <12} C ．{x |x <12} D ．{x |12<x <1}解析：选A.由(S ∩T )⊇(S ∪T )可得T ＝S ＝{x ||2x －1|<1}＝{x |0<x <1}，故应选A.。
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第一章第一节集合
一、选择题
1．(2012·福建四地六校联考)集合M＝{a，b}，N＝{a＋1,3}，a，b为实数，若M∩N ＝
{2}，则M∪N＝( )
A．{0,1,2} B．{0,1,3}
C．{0,2,3} D．{1,2,3}
解析：∵M∩N＝2，∴2∈M,2∈N.
∴a＋1＝2，即a＝1.
又∵M＝{a，b}，∴b＝2.
∴A∪B＝{1,2,3}．
答案：D
2．(2011·山东高考)设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝( ) A．[1,2) B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
解析：集合M＝(－3,2)，M∩N＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)．
答案：A
3．(2012·安徽师大附中模拟)集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则实数a 的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0或±1
解析：A＝{－1,1}，∵B⊆A，∴当B＝∅时，a＝0；当B≠∅时，a＝±1.
答案：D
4．图中的阴影表示的集合是( )
A．(∁U A)∩B B．(∁U B)∩A
C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)
解析：阴影部分在集合B中而不在集合A中，故阴影部分可表示为(∁U A)∩B.
答案：A
5．(2011·辽宁高考)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁I M)＝∅，则M∪N＝( )
A ．M
B ．N
C ．I
D ．∅
解析：本小题利用韦恩图解决，根据题意，N 是M 的真子集，所以M ∪N ＝M .
答案：A
6．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R|x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时a 的值是( )
A ．2
B ．2或3
C ．1或3
D ．1或2
解析：由题意得，当a ＝1时，方程x 2－ax ＋1＝0无解，集合B ＝∅，满足题意；当a ＝
2时，方程x 2
－ax ＋1＝0有两个相等的实根1，集合B ＝{1}，满足题意；当a ＝3时，方程x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的实根3＋52，3－52，集合B ＝{3＋52，3－52
}，不满足题意．所以满足A ∩B ＝B 的a 的值为1或2.
答案：D
二、填空题
7．(2011·上海高考)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________. 解析：∵A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，∴∁U A ＝{x |0<x <1}．
答案：{x |0<x <1}
8．已知集合M ＝{x |x x －2<0}，N ＝{y |y ＝3x 2
＋1，x ∈R}，则M ∩N 等于________． 解析：M ＝{x |0<x <2}，N ＝{y |y ≥1}，∴M ∩N ＝[1,2)．
答案：[1,2)
9．(2011·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R||x －1|＜2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．
解析：A ＝{x |－1＜x ＜3}，A ∩Z＝{0,1,2}，A ∩Z 中所有元素之和等于3.
答案：3
三、解答题
10．已知集合A ＝{x |4≤x <8}，B ＝{x |2<x <10}，
C ＝{x |x <a }．
(1)求A ∪B ；(∁R A )∩B ；
(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．
解：(1)A ∪B ＝{x |4≤x <8}∪{x |2<x <10}
＝{x |2<x <10}；
∁R A ＝{x |x <4或x ≥8}，
(∁R A )∩B ＝{x |2<x <4或8≤x ＜10}．
(2)若A ∩C ≠∅，则a >4.
11．已知集合A ＝{x ∈R|
3x ＋1≥1}，集合B ＝{x ∈R|y ＝－x 2＋x －m ＋m 2}，若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．
解：由题意得：A ＝{x ∈R|x －2x ＋1
≤0}＝(－1,2]， B ＝{x ∈R|x 2－x ＋m －m 2≤0}＝{x ∈R|(x －m )(x －1＋m )≤0}
由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜m ≤2，－1＜1－m ≤2，
解得：－1<m <2
12．已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)<0}，函数y ＝lg 2a －x x －a 2＋1的定义域为集合B .
(1)若a ＝2，求集合B ；(2)若A ＝B ，求实数a 的值．
解：(1)当a ＝2时，由4－x x －5
>0得4<x <5， 故集合B ＝{x |4<x <5}；
(2)由题意可知，B ＝{x |2a <x <a 2＋1}，
①若2<3a ＋1，即a >13
时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}． 又因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋1＝3a ＋1，无解；
②若2＝3a ＋1时，显然不合题意；
③若2>3a ＋1，即a <13
时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}． 又因为A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3a ＋1a 2＋1＝2，解得a ＝－1.
综上所述，a ＝－1。