06高数期末试卷答案A卷

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06年化生高数下试卷A

中南民族大学试卷试卷名称： 2006-2007学年度第二学期期末考试《高等数学B (二)》试卷试卷类型： A 卷共 8 页适用范围：化、生学院(系) 2006 级各专业本科A 卷第1页共 8 页学院专业级学号姓名………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………A一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知22(,)y f x y x y x+=-,则=),(y x f _____________.2、已知π=⎰∞+∞--dx ex2,则=⎰∞+--dx exx21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。

A 卷第2页共 8 页A二、选择题(每小题3分,共15分)6、知dx exp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep xx dx 11ln均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7、数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是().(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na 收敛，则∑∞=-1)1(n n n a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定中南民族大学试卷A 卷第3页共 8 页………………………………密………………………………封………………………………线………………………………………A学院专业级学号姓名………………………………装………………………………订………………………………线………………………………………三、计算题(每小题6分,共60分)11、设),2(yx x f z =,求22xz ∂∂.12、求二重极限 11lim 222200-+++→→y x yx y x .注意事项：1. 必须在答题纸注明的试题号处答题，否则不予计算答题得分；1. 严禁使用草稿纸,草稿可在答题纸背面书写，试卷不得拆开、撕角；2. 将考试证(学生证)及笔、计算器放在桌上备查，考试用具不得相互转借；3. 认真核对试卷页数后交卷，否则按已交试卷计分。

05-06高数期末(下)试题(A)

中国农业大学2005 ~2006 学年第二学期高等数学（A 、B ）课程考试试题 (A 卷)试题（2006/6）一、填空题（满分15分，每小题3分，共5道小题），请将答案写在横线上.1．函数yz x u 2=在点)1,1,1(P 处沿(2,2,1)方向的方向导数为_____________.2．函数xy z =在条件1=+y x 下的极大值=___________.3．设L 为圆周922=+y x ，取逆时针方向，则曲线积分⎰-+-L dy x x dx y xy )2()32(2=__________.4．设⎩⎨⎧<≤+<≤--=ππx x x x f 0101)(2，且以π2为周期，则)(x f 的傅里叶级数在点π=x 处收敛于_____________.5．微分方程0)(=++dx y x xdy 的通解为__________________.二、选择题（满分15分，每小题3分，共5道小题），请将合适选项填在括号内.1. 设有直线L :21211-=+=-z y x 和平面0224:=-+-∏z y x ,则L 与∏ （） (A) 垂直； (B) L 在∏上； (C) 平行； (D) 斜交.2．下列命题不正确的是（）(A)),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在该点连续；(B)),(y x f 在点),(00y x 的偏导数存在，则),(y x f 在该点连续；(C)),(y x f 的偏导数在点),(00y x 连续，则),(y x f 在该点可微；(D)),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在该点的偏导数存在.3．设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分⎰⎰∑ydS 的值是（） (A) 334 ； (B) 0； (C) 34； (D) π.4．设α为常数，则级数∑∞=-13]1sin [n nn n α（） (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 敛散性与α有关； (D) 发散.5．若21,y y 是二阶齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解，21,C C 为两个任意常数，则2211y C y C y +=（）(A ) 是该方程的解； (B ) 是该方程的特解；(C ) 是该方程的通解； (D ) 不一定是该方程的解.三、（10分）求过点)2,1,3(0-P 且通过直线12354:z y x l =+=-的平面方程.四、（10分）设函数),(y x z z =由方程)(22z x yf z x -=+确定，其中f 为可微函数，证明：x y z y x z z =∂∂+∂∂.五、（10分）计算积分：⎰⎰⎰⎰+x x x dy y x dx dy y x dx 242212sin 2sin ππ.六、（11分）设)(x f 具有二阶连续导数，1)0(',0)0(==f f ，曲线积分dy y x x f dx y x f xy y x L ])('[])([222++-+⎰与路径无关，求)(x f .解：由xQ y P ∂∂=∂∂，整理得)(x f 满足微分方程2)()(x x f x f =+''七、（12分）求幂级数∑∞=-1121n n n x n 的收敛域，并求其和函数.八、（12分）计算曲面积分⎰⎰∑++++212222)()(z y x dxdy a z axdydz ，其中∑为222y x a z ---=的上侧，a 为大于零的常数.九、（5分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(='=f f ，证明级数∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.。

高数A(二)A卷参考答案

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学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）
考试班级
05级A类
考试标准用时
120
试卷代号
A
参考答案及评分标准：
一、填空题：（每小题4分，共24分）
1、 2、 3、 4、 5、 6、3
二、选择题：（每小题4分，共16分）
1、D 2、C 3、B 4、C
三、计算重积分：（每小题7分，共14分）
1、 3分
7分
2、 3分
7分
四、计算曲线积分（每小题7分，共14分）
1、 4分
7分
2、，
2分
= 4分
7分
五、（本题共有两小题，第1题5分，第2题7分，共12分）
1、 3分
发散5分
2、 2分
命题人
的收敛区域为 3分
5分
7分
六、求解微分方程（每小题7分，共14分）
1、先求对应的齐次方程：，变量分离可得：
两边积分可得：是对应的齐次方程的通解3分
再利用常数变易法，设为原方程的解，代入原方程可得：
为原方程的通解6分
又即为原方程满足初始条件的解7分
2、特征方程为得所对应的齐次方程的通解为 2分
命题
时间
2006年6月16日
教研室
审核人
审核
时间
年月日
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学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）

河北工程大学06 ~ 07学年第 1学期高数期末考试试卷(A)卷

…………密…………封…………线…………内…………请…………不…………要…………答…………题…………河北工程大学 06 ~ 07 学年第 1学期期末考试试卷（A ）卷一. 填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分。

把正确答案填写在题后的横格线上)1． )12111(lim 222nn n n n ++++++∞→ ＝。

2. 若)(x f 在0x 点连续，)()(00x f x x f y -∆+=∆，则=∆→∆y x 0lim 。

3. 设)(,)(lim0x f k xx f x =→在0=x 连续，则=')0(f 。

4. 0=x 是函数xx y 1sin =的第________类间断点。

5. 3002limxdte x xt x ⎰-→= 。

6．设)(x f 连续，dt t f x x f ⎰+=10)(2)(，则=)(x f 。

二．选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分；在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或不选均不得分，）1. 设当0x x →时，)(),(x x βα均是无穷小量，下列变量中，当0x x →时，可能不是无穷小量的是【】A ．)()(x x βα+；B ．)()(x x βα-；C ．)()(x x βα⋅；D ．)0)(()()(≠x x x ββα. 2. 由0,1,===y x x y 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V ＝【】A ．4π B ．2πC ．πD ． π2 3.⎰10ln xdx 是【】A . 反常积分且值为1-;B . 反常积分且发散 ;C . 定积分且值为1-;D . 定积分且值为14. 设)(x f 在a x =的某邻域内有定义，则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是【】存在.A. )]()1([lim a f ha f h h -++∞→ B. h h a f h a f h )()2(lim0+-+→C. h h a f h a f h 2)()(lim 0--+→D. hh a f a f h )()(lim 0--→…………密…………封…………线…………内…………请…………不…………要…………答…………题…………5. 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，)()(b f a f =。

2005-2006高数下(8学分)期末试题A及解答

华东理工大学2005-2006学年高等数学下(8学分)期末考试试卷A 2006.6一. 填空题(每小题4分, 共36分) 1.一阶微分方程0)21(22=-+'y x y x 的通解是y =____________.2.微分方程052=+'+''y y y 满足初始条件3)0(,1)0(='=y y 的特解为y =___________.3.已知ABC ∆的三个顶点为)2,3,4(),4,3,2(),1,1,1(C B A =, 则ABC ∆的面积S =_______.4.已知)0,2,2(),1,,0(-=ππB A , 则函数)sin(2yz e u x =在点A 处沿方向B A方向导数A lu |∂∂=_______.5.空间曲线)(),(z g y y f x ==(其中g f ,是可微函数)上对应于0z z =点的切线方程是_____________________6.设函数)(⋅f 具有二阶连续导数, ),(⋅⋅g 具有二阶连续偏导数, ),()(z xyz g z xy f u ++=,则zx u ∂∂∂2=_____________.7.二次积分dy e dx xy ⎰⎰-2222的值等于______________.8.某公司生产产品A , 当生产到第x 个单位的边际成本是34)(+='x x c (万元/单位), 其固定成本是100万元, 则生产量为10单位时的平均成本等于_______(万元/单位). 9.设22224|),,{(y x z y x z y x --≤≤+=Ω, 则Ω的体积V =________. 10.函数)1ln(),,(2z x ye z y x f z ++=在点)0,1,1(P 处的梯度)(P gradf ________.二. 选择题(每小题4分, 共32分)1. 微分方程1+=-''x e y y 的一个特解应具有形式(式中b a ,为常数), ( ) (A)b ae x +; (B)b axe x +; (C)bx ae x +; (D)bx axe x +.2.函数),(y x f y =在点),(00y x 处具有偏导数),(00y x f x , ),(00y x f y 是该函数在点),(00y x 可微的()(A)充要条件; (B)必要条件; (C)充分条件; (D)既非充分条件也非必要条件.3.已知非零向量b a,满足||||b a b a +=-,则必成立的是 ( )(A)b a b a +=-; (B)b a =; (C)0=⨯b a ; (D)0=⋅b a.4.下列广义积分中收敛的是( ) (A)dx xx e⎰1ln 1; (B)dx xx e⎰+∞ln 1; (C)dxxx e⎰+∞ln 1; (D)dxxx e⎰12ln 1.5*.二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(点处( )(A)连续且偏导数存在; (B)连续, 偏导数不存在;(C)不连续, 偏导数存在; (D)不连续, 偏导数不存在三. (本题8分) 设函数yz e x u =, 而)(x z z =与)(y z z =分别是由方程1=-xz e z 与2sin =-y z e z所确定,计算yux u ∂∂∂∂,. 四. (本题6分)曲线过点)1,1(, 其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的法线在x 轴上截距的乘积的两倍, 求曲线方程.五. (本题6分) 计算数列极限2)1tan511(lim 2nn nn-+∞→.六. (本题8分)在曲面1:=++∑z y x 上作一切平面, 使它与三个坐标面所围成的四面体体积最大, 求切平面方程.七、(本题8分)设1D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域,2D 是由抛物线22x y =和直线a x y ==,0所围成的平面区域, 其中20<<a .(1)求1D 绕x 轴旋转而生成的旋转体体积)(1a V , 求2D 绕x 轴旋转而生成的旋转体体积)(1a V ; (2)当a 取何值时, )()(21a V a V +取得最大值? 并求此最大值. 八、设函数)(x f 在]1,0[上连续, 2)(1=⎰dx x f , 证明:3)(1)(11)(≥⋅⎰⎰dx x f dx ex f x f .华东理工大学2005-2006学年第二学期《高等数学（下）》课程期终考试试卷参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，共40分）1.cx x +-2||ln 1 2.)2si n (cos x x e y x +=- 3. 62 4.32π+5.1)()()()]([)]([000000z z z g z g y z g z g f z g f x -='-='⋅'- 6. 22321221g zx g zy g zf y -+-''7. 41--e 8. 33 9.二．选择题（每小题4分，共32分）：5.C;A ; 4.D; 3.;B 2.;1.B三．xz xyeexu yzyz∂∂+=∂∂,yz xyexze yu yzyz∂∂+=∂∂而xe z xz z-=∂∂,ye z z yz zsin cos -=∂∂, ------------------------------------------------（2分xe xyzeex z zyzyz-+=∂∂, ------------------------------------------------（2分）ye xyzexzeyz zyzyzsin -+=∂∂, -----------------------------------------(2分)四．曲线在点),(y x 处的法线方程为: )(1x X y y Y -'-=-,令0=Y , 得曲线在x 轴上截距为: y y x X '+=,根据题意得: )(222y y x x y x '+=+或 x y xy y -=-'212, 1)1(=y , -------------( 2分)令2y z =,x z xdxdz -=-1 ------------(3分))())(()1()1(2c x x c dx ex ez y dxxdxx+-=+-==⎰⎰-⎰--, -------------------------------------(3分)由1)1(=y , 得2=c ,所求曲线为)2(2x x y -=或.222x y x =+ ----------------------------(1分)六．（本题8分）曲面∑在点),,(000z y x 处的切平面方程为:0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x , -------------------------------（2分）,100=++z z y y x x ,截距分别为000,,z y x ,问题为求xyz V 61=在条件1000=++z y x 下的最大值, ---------（2分）令 )1(6100-+++=z y x xyz L λ,⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=010212102121,02121z y x L zzxy L yy xz L xx yz L zy yxλλλ, 解得: 91===z y x ,-----------------------------------------（3分）因为问题的最大值存在,故91===z y x 就是最大值点,此时截距为31000===z y x ,所求切平面为: 31=++z y x . --------------------------（1分）七、)32(54)2()(52221a dx x a V a-==⎰ππ, -------------------------（2分）422222)(a dx x x a V aππ=⋅=⎰, -------------------------(2分)设)()()(21a V a V a V +=, 令 0)1(4)(3=-='a a a V π, 得唯一驻点: 1=a , ----（2分）当10<<a 时, 0)(>'a V ; 当21<<a 时, 0)(<'a V ;故当1=a 时, )()()(21a V a V a V +=取到最大值π5129)1(=V . --------------------（2分）八、dx x f dx e x f x f ⎰⎰⋅110)()(1)(dy y f dx ex f x f ⎰⎰⋅=11)()(1)(⎰⎰=Dx f dxdy ey f x f )()()(,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D , --------------------(2)又dx x f dy ey f y f ⎰⎰⋅=11)()(1)(⎰⎰=Dy f dxdy ex f y f )()()(,所以dx x f dx ex f x f ⎰⎰⋅11)()(1)(⎰⎰+=Dy f x f dxdy ex f y f ey f x f ])()()()([21)()(⎰⎰+≥Dy f x f dxdye)]()([21--------------------(2)⎰⎰++≥Ddxdy y f x f ]2)()(1[3)(21)(2111111=++≥⎰⎰⎰⎰dy y f dx dy dx x f . ----------(2)填空题解答:1. 0)21(22=-+'y x y x , 是可分离变量微分方程,分离变量得: dx xx dy y )12(2-=, 积分得: c x x y--=-||ln 12,化简为:cx x +-2||ln 1.2. 特征方程: 0522=++λλ, 解得: i 212542222,1±-=⨯-±-=λ,故通解为: )2si n (co s x x e y x +=-. 3.|}1,2,3{}3,2,1{|21||21⨯=⨯=AB AC S 6216641621|}4,8,4{|21=++=--=.4.}1,2,2{--=B A , 32cos =α,32cos -=β, 31cos -=γ ,0|)sin(2|2==∂∂A xA exy x xu ,1|)cos(|2-==∂∂A xA eyz z yu ,π-==∂∂A xeyz y zu |)cos(2,γβαcos |cos |cos |A A A zu yu xu lu ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=323132)1(320ππ+=-⨯+-⨯-+⨯.。

高数期末考试题及答案选择

高数期末考试题及答案选择一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 4答案： A2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{2}{3} \)D. \( \frac{3}{4} \)答案： A3. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \) 存在，则\( \lim_{x \to 0} f(x) \) 与 \( \lim_{x \to 0} g(x) \) 必须：A. 都存在B. 都不存在C. 至少有一个存在D. 至少有一个不存在答案： D4. 函数 \( y = \sin(x) \) 的周期是：A. \( 2\pi \)B. \( \pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \frac{1}{2} \)答案： A5. 根据泰勒公式，函数 \( e^x \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式为：A. \( 1 + x \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \)C. \( 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots \)D. \( 1 + x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \cdots \)答案： B6. 级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 收敛于：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{\pi^2}{6} \)C. \( \frac{e}{2} \)D. \( \frac{1}{e} \)答案： B7. 若 \( \lim_{x \to \infty} f(x) = L \)，则函数 \( f(x) \) 必须：A. 在 \( x \) 足够大时，值接近 \( L \)B. 在 \( x \) 足够大时，值等于 \( L \)C. 在 \( x \) 足够大时，值小于 \( L \)D. 在 \( x \) 足够大时，值大于 \( L \)答案： A8. 函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 的拐点是：A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 3 \)答案： B9. 若 \( f(x) \) 在区间 \( I \) 上连续，则 \( \int_{a}^{b}f(x) dx \) 存在，其中 \( a, b \) 是区间 \( I \) 上的任意两点：A. 正确B. 错误答案： A10. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是：A. \( x > 0 \)B. \( x < 0 \)C. \( x \geq 0 \)D. \( x \leq 0 \)答案： A二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是_______。

高数(2-2)历年期末试题参考答案

2006—2007学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1．设三向量→→→c b a ,,满足关系式→→→→⋅=⋅c a b a ，则（ D ）. （A ）必有→→=0a 或者→→=c b ；（B ）必有→→→→===0c b a ；（C ）当→→≠0a 时，必有→→=c b ；（D ）必有)(→→→-⊥c b a . 2. 已知2,2==→→b a ，且2=⋅→→b a ，则=⨯→→b a （ A ）.（A ）2 ；（B ）22；（C ）22；（D ）1 . 3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z a z y x S ，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ C ）.（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ；（B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ；（D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS .4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（D ）. （A ）632=+-z y x ；（B ）632=-+z y x ；（C ）632=++z y x ；（D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=⋅1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ B ）.（A ）条件收敛；（B ）发散；（C ）绝对收敛；（D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（B ）.（A ）平行于xoy 平面；（B ）平行于z 轴，但不通过z 轴；（C ）垂直于z 轴；（D ）通过z 轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知xy e z =，则2x xdy ydx e dz xy -⋅-=.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿向量→OP 的方向导数是71411，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是}3,4,5{，该点处方向导数的最大值是25.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则π2)(2=+⎰Lds y x .4. 设函数展开傅立叶级数为：)(,cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则12=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）. 1. 求幂级数∑∞=+01n nn x 收敛域及其和函数. 解 nn n a a 1lim+∞→ ,121lim =++=∞→n n n ∴收敛半径为1，当1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n nn 收敛，故所求的收敛域为)1,1[-；令;)1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x S n n于是.1,1)(01<+=∑∞=+x n x x S x n n 逐项求导，得.1,11)1(])([001<-=='+='∑∑∞=∞=+x x x n x x S x n n n n.1),1ln(1])([)(00<--=-='=∴⎰⎰x x t dtdt t tS x xS x x1,)1ln(1)(<--=∴x x xx S 且.0≠x而,2ln )1ln(1lim )(lim )1(11=--==-++-→-→x x x S S x x 1)0(=S ，故⎪⎩⎪⎨⎧=<<<≤---=.01,1001,)1ln()(x x x xx x S 2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222y x y xdxdy e.解令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，则⎰⎰≤++42222y x y x dxdy e⎰⎰=20202rdr e d r πθ ⎰=22)(2r d e r π202r eπ=).1(4-=e π3. 已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解由,22ydy xdx dz -=得),1(2x xf=∂∂ ),2(2y y f -=∂∂)1(两边关于x 积分，得)(2),(y C xdx y x f +=⎰)(2y C x +=，此式两边关于y 求偏导，再由)2(知,2)(y y C -=',)(2C y y C +-=⇒.),(22C y x y x f +-=∴ 由2)1,1(=f 知，2=C ,故.2),(22+-=y x y x f令,0202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂==∂∂y yf x x f得驻点)0,0(在D 内部，且2)0,0(=f ，在D 的边界1422=+y x 上：.11,252)44(222≤≤--=+--=x x x x z 其最大值是,3)0,1(1=±=±=f z x 最小值是2)2,0(0-=±==f z x ；故),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值是3}2,3,2max{=-，最小值是.2}2,3,2min{-=-.4. 设Ω是由4,22=+=z y x z ，所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x)(22.解令,sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθ则.4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++∴Ω422020222)()(rdz z r rdr d dxdydz z y x πθ⎰⎰+=42202)(2rdz z r rdr π⎰==+=204222]2[2dr z z r r z r z π⎰-+=2053)2384(2dr r r r π.32]44[220624ππ=-+=r r r 5. 设AB L 为从点)0,1(-A 沿曲线21x y -=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++ABL y x ydy xdx 22. 解 ⎩⎨⎧-=-=≤≤-==,2,1.11,,:2xdx dy x y x dx dx x x L AB.0)1()2)(1(11222222=-+--+=++∴⎰⎰-dx x x x x x y x ydy xdx ABL6. 设∑是上半球面221y x z --=的下侧，计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322.解 ,2,,2322z y xy R z y x Q xz P +=-== ,222z y x zRy Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂ 作.1,0:22≤+=∑y x z 上补与下∑所围成的立体为Ω，由高斯公式，⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰∑+∑++-+=上补下dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰∑++-+-上补dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω⋅+---∂∂+∂∂+∂∂-=1222)02(00y x dxdy y xy dxdydz z R y Q x P ）（000222---++-=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x ）（（作球面坐标变换）⎰⎰⎰⋅-=1222020sin ρϕρρϕθππd d d .52sin 21420πρρϕϕππ-=-=⎰⎰d d 7. 将函数61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解.1,110<=-∑∞=x x x n n.1,)1(110<-=+∑∞=x x x n n n )2131(51)3)(2(161)(2+--=-+=--=∴x x x x x x x f ]3)1(12)1(1[51+----=x x]311131211121[51-+⋅---⋅-=x x ]311131211121[51-+⋅+--⋅-=x x∑∞=+--=012)1(51n n n x ∑∞=+---013)1()1(51n n nn x ( 121<-x 且131<-x ) 21,)1](3)1(21[51011<---+-=∑∞=++x x n n n nn 即).3,1(-∈x四、证明题（7分）. 证明不等式:2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x yσ，其中D 是正方形区域：.10,10≤≤≤≤y x证D 关于y x =对称，⎰⎰∴Dd yσ2(cos ⎰⎰=D d x σ2cos ，⎰⎰+∴Dd x y σ)sin (cos 22.)sin (cos 22⎰⎰+=Dd x x σ又 ),4sin(2)cos 21sin 21(2cos sin 22222π+=+=+x x x x x而,102≤≤x ,2)4sin(22212≤+≤=∴πx 即 ,2cos sin 122≤+≤x x,22)cos (sin 1122=≤+≤⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDd d x x d σσσ即 .2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x y σ2007—2008学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

2005-2006第一学期工商学院高数期末试卷A(8学分)答案

x
2 x 1 2
](1
2 2 ) e 2x 1
1
(cot x) ln x . 2．求极限 lim
x 0 1 ln x
(cot x) 解： lim
x 0
e ＝ lim
x 0
1 ln cot x ln x
e 1
1 ( csc 2 x) ln cot x x cot x 其中 lim lim lim ( ) 1 . x 0 x 0 x 0 1 ln x sin x cos x x
Q
50 Q 10Q 200 2
1 Q 2 15Q 200 2
L(Q) Q 15 ，所以，当 Q 15 时， L(Q) 0 .
当 Q 15 时，工厂日总利润 L 最大.
6

九、(７分)某工厂生产某产品,日总成本为 C 元, 其中固定成本为 200 元, 每多生产一单位产品, 成本增加 10 元. 该商品的需求函数为 Q 50 2 P ,求 Q 为多少时工厂日总利润 L 最大?
得分
解： L(Q) R(Q) C (Q)
Q P (10Q 200)
1 1 ( , ) ，下凸区间为 ( ,1), (1, ) ，极小值为 f (0) 1 . 2 2
x 2 , x 1 七、（５分）确定常数 a 、 b 的值，使函数 f ( x) 在其定义域内可导． ax b , x 1
得分
解：显然函数 f ( x) 在 x 1 及 x 1 时是可导的， x 1 处，
得分
五、证明题（每题５分，共 1０分）
得分
１．函数 f ( x) 和 g ( x) 都在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导， f (1) g (1) ，且对所有 x (0, 1) 有

2005-2006第一学期高数期末A卷

x 1

2
x
2．求极限
lim[(1 x)e
x
1 x
x]
第 2 页共 5 页
2
对外经济贸易大学信息学院
高等数学（上）
期末考试试卷 A
f x) 二阶可导，求 y 。 3. 设 y f ln 1 x ，其中（
4. 设参数方程
x ln(1 t 2 ) y t arctgt
B D
f '(0) f (1) f (0) f '(1) f '(0) f '(1) f (1) f (0)
第 1 页共 6 页
1
对外经济贸易大学经贸学院
高等数学（上）
期末考试试卷 A
5 3．函数 y ln sin x 在 , 上满足罗尔定理的 = （ 6 6
（1） f x 在 , 上连续；（2） f x 在 , 上可导。解：（1）显然 f x 除了 x 0 外必连续，而 f 0 0 lim ln ax b ln b f 0 ， f 0 0 lim sin x 0 ，
D
）。
(B) ( x x0 )[ f ( x) f ( x0 )] 0 ; (D) lim
t x0
f (t ) f ( x) 0 ( x x0 ) ; (t x) 2
2
t x0
f (t ) f ( x) 0 (t x) 2
( x x0 ) 。
得分
三、计算题：（每题 6 分，共 42 分） 1．求极限 lim(1 x ) tan
2
5．设 f ( x) 为可导函数，且 lim 切线斜率是_________.

2006-2007(2)高等数学试题(A卷)(90)解答

广州大学2006-2007学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1.(,)(1,2)lim2x y xy →=-14.2.设2sin z x y =,则2z x y∂=∂∂2cos x y.3.函数3x z y e =的全微分dz =323x x y e dx y e dy +.4.若243(,)2f x x x x x =++,221(,)221f x x x x '=-+,则22(,)f x x '=2221x x ++.5.改换积分次序:ln 1(,)ex dx f x y dy =⎰⎰10(,)ye edy f x y dx⎰⎰. 6.平面1x y z ++=在第一卦限部分的面积等于2. 7.设L 为圆周222x y a +=,则⎰=+Lds y x )(2232aπ.8.若级数1n n u ∞=∑条件收敛，则级数1||n n u ∞=∑的敛散性为：发散 .9.函数11()xn f x n ∞==∑的定义域为x ∈(1,)+∞.10.若2()2ln 0y f x dx y xdy +=为全微分方程,则()f x =1x.二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分) 1.已知),(y x f z =是由方程0ze xyz -=确定的隐函数, 求xz ∂∂和22xz ∂∂.解: 0zz z e yz xyxx∂∂--=∂∂zz yz xe xy∂=∂-………………………………………………………4分222()()()zzx x zyz e xy yz e z y z xe xy ---∂=∂- ………………………………6分2322322()zzzy ze xy z y z ee xy --=-……………………………………7分2.求曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)-处的切平面及法线方程. 解: (2,4,6)n x y z =(1,1,1)(2,4,6)n -=-……………………………………………3分所求切平面方程 2(1)4(1)6(1)0x y z --++-= ……………………5分即 2360x y z -+-= 所求法线方程 111246x y z -+-==- ……………………………7分三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分14分）1.计算c o s ()Dx x y d σ+⎰⎰,其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域.解: 积分区域如图(从略) ……………………………………………2分cos()Dx x y d σ+⎰⎰cos()xdx x x y dyπ=+⎰⎰…………………………………………4分(sin 2sin )x x x dx π=-⎰ …………………………………………5分1(cos cos 2)2xd x x π=-⎰11[(cos cos 2)(sin sin 2)]24x x x x x π=---32π=- …………………………………………………………7分2.设L 为正向圆周221x y +=,计算⎰+-Ldy xy dx yx x 222)(sin .解: 记22:1D x y +≤,由格林公式有 ⎰+-Ldy xy dx yx x 222)(sin22()Dy x dxdy =+⎰⎰………………………………………………3分213d d πθρρ=⎰⎰ ………………………………………………5分2π= ……………………………………………………………7分四．(本题满分8分）求幂级数2ln nn xn∞=∑的收敛域.解: 收敛半径 1ln(1)lim ||lim1ln n n n n a n R a n→∞→∞++===………………………3分当1x =时,得级数21ln n n∞=∑,因11ln nn>,而21n n∞=∑发散,所以21ln n n∞=∑发散……………………………5分当1x =-时,得交错级数2(1)ln nn n∞=-∑,因1lim0ln n n→∞=,且11(2,,)ln ln(1)n nn >=+ ,所以2(1)ln nn n∞=-∑收敛 ……7分所求收敛域为[1,1)-……………………………………………………8分五．(本题满分6分）求微分方程dy y x dxx y=+的通解.解: 令y ux =,则dy du u x dxdx =+………………………………………2分原方程化为 1du u xu dx u+=+………………………………………3分分离变量得 1udu dx x= (4)分两边积分得 21ln ||2u x C =+………………………………………5分y u x=回代得 222(ln ||)y x x C =+ …………………………………6分六．（本题满分8分）某厂家生产两种产品I 和II ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品I 与生产y 单位的产品II 的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y +++++（元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？解: 利润函数为(,)(109)L x y x y =+-22[400230.01(33)]x y x xy y +++++ 22860.01(33)400x y x xy y =+-++-………………3分由80.01(6)060.01(6)0x y L x y L x y =-+=⎧⎨=-+=⎩……………………………………………5分得驻点(120,80)…………………………………………………………7分因驻点唯一,所以取得最大利润时，两种产品的产量分别为120x =,80y =…………………………………………………………8分七．（本题满分8分）设Ω是由曲面226z x y =--及z =所围成的有界闭区域,求Ω的体积.解: Ω在xOy 面上的投影区域为22:4D x y +≤……………………2分Ω的体积为 222600V dv d d dzπρρθρρ-Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………………5分222(6)d d πθρρρρ=--⎰⎰………………………6分432202[3]43ρρπρ=--323π=……………………8分八．(本题满分12分）（1）验证函数3693()13!6!9!(3)!nxxxxy x n =++++++ ，（x -∞<<+∞）满足微分方程 x y y y e '''++=；（2）利用（1）的结果求幂级数30(3)!nn xn ∞=∑的和函数.解: (1) 258312!5!8!(31)!n xx x xy n -'=+++++- 47324!7!(32)!n xxxy x n -''=+++++-!nxn xy y y e n ∞='''++==∑……………………………………4分(2) 0y y y '''++=的通解为212(cossin)22x Y eC x C x -=+………………………7分设x y y y e '''++=的待定特解*x y Ae =,代入x y y y e '''++=,求得13A =,1*3xy e=……………………………………………9分xy y y e'''++=的通解为2121(cossin)223x xy eC x C x e-=++……………………10分由(0)1y =,(0)0y '=,求得123C =,20C =幂级数30(3)!nn xn ∞=∑的和函数为221cos323x xy ex e-=+……………………………12分。

06年《高等数学》试题及答案

2006年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷题号一二三四五六总分核分人分数一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为（） A. ]1,21[B. ]1,1[-C. ]1,0[D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是（） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解：01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x xx xx f x f A ⇒.3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的（） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小解： 1sin lim2-=-→xx xx C ⇒.4.极限=+∞→nnn n sin 32lim（）A. ∞B. 2C. 3D. 5 解：B nn nnn n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim.5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x xe xf ax，在0=x 处连续，则常数=a （） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：B a a a aexex f axx axx x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 2020.6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导，则=--+→xx f x f x )1()21(lim（）A. )1(f 'B. )1(2f 'C. )1(3f 'D. -)1(f ' 解：xx f f f x f xx f x f x x )1()1()1()21(lim)1()21(lim--+-+=--+→→C f xf x f xf x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim2)1()21(lim207. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标（） A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2）得分评卷人解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,2422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t，则=dx dy （） A. 2t B. t 2 C.-2t D. t 2- 解： D t tt t dxdy ⇒-=-=2sin sin 222.9.设2(ln )2(>=-n x x yn ，为正整数),则=)(n y （）A.x n x ln )(+B. x1 C.1)!2()1(---n nxn D. 0解：B xy x y x x yn n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2(.10.曲线233222++--=x xx x y （）A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线解：A y y y x x x x x xx x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim,4lim ,1lim)2)(1()3)(1(2332.11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（） A.]2,0[|,1|-=x y B. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y = 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒.12. 函数xe y -=在区间),(+∞-∞内（）A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线解： C ey ey xx ⇒>=''<-='--0,0.13.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )( （） A.C eF exx++--)( B. C eF x+-)( C. C eF exx+---)( D. C eF x+--)(解：D C eF ed ef dx e f e xxxx x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设)(x f 为可导函数，且xe xf =-')12( ，则 =)(x f （）A.C ex +-1221 B. C ex ++)1(212C.C ex ++1221 D. C ex +-)1(212解：B C ex f e x f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(.15. 导数=⎰batdt dxd arcsin （）A.x arcsinB. 0C. a b arcsin arcsin -D.211x-解：⎰baxdx arcsin 是常数，所以B xdx dxd ba⇒=⎰0arcsin .16.下列广义积分收敛的是（） A. ⎰+∞1dx e xB. ⎰+∞11dx xC. ⎰+∞+1241dx xD. ⎰+∞1cos xdx解：C x dx x⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为（）A. ⎰-ba dx x g x f )]()([ B.⎰-badx x g x f )]()([C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-badx x g x f |)()(|解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z ny x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n（）A. 2B. 3C. 4D. 5解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{. 19.设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为（）A.2B.1C.-1D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(. 20. 设方程02=-xyz e z确定了函数),(y x f z = ，则xz ∂∂ = （）A. )12(-z x z B.)12(+z x z C.)12(-z x y D. )12(+z x y解：令xy e F yz F xyz e z y x F zz x z -='-='⇒-=222,),,(A z x z xyxyz yz xyeyz xz z⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222.21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dz （）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2 解：222xydxxdy dy x xydx dz -++=A dy dx dx dy dy dx dzy x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内（） A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂xz y x y x yz x y xz⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222yx z yz 是极大值A ⇒.23设D 为圆周由012222=+--+y x y x 围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy （）A. πB. 2πC.4πD. 16π 解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24.交换二次积分⎰⎰>a xa dy y x f dx0(),(，常数）的积分次序后可化为（）A. ⎰⎰a ydx y x f dy0),( B.⎰⎰aay dx y x f dy),( C. ⎰⎰aa dx y x f dy00),( D. ⎰⎰ayadx y x f dy),(解：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.若二重积分⎰⎰⎰⎰=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D，则积分区域D 为（）A. x yx 222≤+ B. 222≤+yxC. y yx 222≤+ D. 220yy x -≤≤解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y yx 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰Ldy dx y x )(（）A. 2B.1C. -1D. -2 解：L ：,1⎩⎨⎧-==xy x x x 从1变到0，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L.27.下列级数中，绝对收敛的是（）A ．∑∞=1sinn nπB ．∑∞=-1sin)1(n nnπC ．∑∞=-12sin)1(n nnπD ．∑∞=1cos n n π解： ⇒<22sinnnππ∑∞=π12sinn n收敛C ⇒.28. 设幂级数n n nn a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n na 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为（） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos得分C. C y x =sin sinD. C y x =cos cos 解：dx xx dy yy ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+C C y x C x y xx d yy d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin .30.微分方程xxe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为（）A. x e b ax x y -+=*)(B. xeb ax x y -+=*)(2C. xeb ax y -+=*)( D. xaxe y -=*解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设xe b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每小题2分，共30分）31.设函数,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.解：1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x .32.=--+→xxx x 231lim22=_____________.解：=++=++--=--+→→→)31(1lim)31)(2()2(lim231lim2222x x x x x x xxx x x x123341==.33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.解：dx xdy 2412+=.34.设函数bx axx x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别为___________.解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f . 37.⎰-=+ππdx x x )sin(32 _________.解：3202sin)sin(323232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x .38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x，则 ⎰=-20)1(dx x f __________.解：⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-211112132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xtx .39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a与向量的夹角为__________.解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a. 40.曲线⎩⎨⎧==022z xy L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 解：把x y22=中的2y 换成22y z+，即得所求曲面方程x yz222=+.41.设函数y x xy z sin 2+= ，则 =∂∂∂yx z 2_________.解：⇒+=∂∂y x y xz sin 2y x yx z cos 212+=∂∂∂.42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-Ddxdy x y .解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dxdxdy x y 12101122322)()( .43. 函数2)(xex f -=在00=x 处展开的幂级数是________________.解： ∑∞=⇒=0!n n xn xe ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==022),(,!1)1(!)()(2n n nnn xx xn n x ex f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x的和函数为 _________.解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-011111)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n nn n nn n n nx nx n x n x,)22(≤<-x .45.通解为xxeC eC y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为_________.解：xxe C eC y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 xx exxx 2sin1lim322-→--.解：23042320161lim3222lim81lim2sin 1lim2222xexxex xexxx ex xx xx xx xx -=+-=--=---→-→-→-→161lim 161322lim220-=-=-=-→-→xx xx exxe.47.求函数xx x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy .解：取对数得：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，得分评卷人两边对x 求导得：x xxx x xx y y2sin 332)3ln(2cos 2122++++='所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xxx x x x x x y x+++++='x x x x x xx x xx x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求不定积分 ⎰-dx xx224.解：⎰⎰⎰====⎰-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdxxxtx t )2cos 1(2sin4cos 2cos 2sin4422sin 22222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin2cos sin 22arcsin 22sin 22.49.计算定积分⎰--+12)2()1ln(dx x x .解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+11112)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x xx xdx dx x x⎰=-=+-+=++--=112ln 312ln 322ln 12ln312ln )1121(312ln xx dx xx.50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求 yz xz ∂∂∂∂,.解：xv v g xu u g xy x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2(),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'= =∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yv v g yu u g yy x y x f yz )2()2(),()2(xy x g x y x f v'++'. 51．计算二重积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中D 由12,===x x y x y 及所围成.解：积分区域如图06-1所示，可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤. 所以 ⎰⎰⎰⎰==10222xxDydy x dxydxdyx I10310323)2(105142122====⎰⎰xdx x ydx x xx.52．求幂级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.解：令t x =-1，级数化为 nn nt n ∑∞=-+0)3(1，这是不缺项的标准的幂级数.xy x y =o12x y 2=图06-1因为 313)3(11)3(1lim1)3(1)3(1limlim11=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n nn nn n nn a a ρ，故级数nn nt n ∑∞=-+0)3(1的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）.对级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1有313<-<-x ，即42<<-x .故所求级数的收敛区间为），（42-. 53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解. 解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xx y xy -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y xy 通解为2xC y =.设非齐次线性微分方程的通解为2)(xx C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C xx x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xC xy +-=.四、应用题（每小题7分，共计14分）54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y x ,千件；甲厂月生产成本是5221+-=x xC （千元），乙厂月生产成本是3222++=y yC （千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x .问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 .把8=+y x 代入目标函数得 0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故 5=x 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元.55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕y 轴旋转一周而得到。

2006高数试题与答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2006学年第一学期考试科目：高等数学考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六七总分得分评阅人一、填空题（每空3分） 1．1.()=-+∞→n n nn 1lim_____2．设()f x 可微，则d (cos 2)f x = ．3．设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y t t x ，则=22dx yd _____ 4．设22(1),0(),x x x f x a x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，要使()f x 在(,)-∞+∞内连续，则a = ． 5．(2008)(cos(3))x = ．二、选择题（每题3分）1．当0x →时，tan sin x x -是nx 的同阶无穷小，则n 等于． A ．1． B ．2． C ．3． D ．4．2．设函数3()(1)f x x =-，则()f x 的图象在区间[1,3]上．Ａ．上升向上凹．Ｂ．上升向上凸．Ｃ．下降向上凹．Ｄ．下降向上凸．３．设232,0,()0,0,ln(1)3,0.x x x x f x x x e x ⎧--<⎪==⎨⎪++->⎩则0x =是()f x 的间断点．Ａ．无穷．Ｂ．可去．Ｃ．跳跃．Ｄ．振荡．４．0()0f x ''=是00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点的．Ａ．必要条件．Ｂ．充分条件．Ｃ．充分必要条件．Ｄ．既非充分亦非必要条件．三．求下列极限（每题５分）１．01sin 1lim cos 1x x x x →+--．２．10lim()(0,0)2x x x x a b a b →+>>．３．222111lim()12n n n n n→∞++++++ ．四、解答下列各题（每题５分）１．设函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，讨论其在0x =处的可导性．２．设函数()y y x =是由方程tan()ln3y e x x y y +=+-+所确定，求d y ．３．设函数()y y x =由参数方程3238x t y t ⎧=-⎨=+⎩（其中t 为参数）所确定，求22d d yx ．五、计算下列积分（每题６分）１．1d 1xx e +⎰．２．40d xe x ⎰．３．2d 2x x x -∞+∞++⎰．六、应用题（每题６分）１．设π为曲线2xy =与直线2y =，3x =围成的平面图形，求此平面图形的面积以及它绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积．２．求内接于椭圆22221x y a b+=（其中0,0a b >>）且四边平行于坐标轴的面积最大的矩形面积．七、证明题（每题５分）１．设函数()f x 的二阶导数存在且大于零，又(0)0f =，证明函数()()f x F x x=在区间(0,)+∞上是单调增加的．2．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，12()33f =，试证至少存在一点ξ(0,1)∈，使得()1f ξ'=．答案2006学年第一学期高等数学试卷(A)答案一、填空题（每空３分）（1）4π；（2）2(cos2)sin 2d f x x x '-；（3）(ln )f x x-；（４）2e -；（5）20083cos3x ．二、选择题（每空３分）(１)C ； (２)Ｄ； (３)Ｂ； (４)Ｄ．三、求下列极限（每题５分）１．01sin 1limcos 1x x x x →+--02sin lim1(1sin 12x x xx x x →=-++ （２分） 22lim1(1sin 12x x x x x →=-++（２分） =－１（1分）２．11ln()200lim()lim 2xxa b x x x xx x a b e +→→+= （1分）ln()2limx xx a b xe→+= （1分）ln 2ab e= （2分）ab = （1分）３．因为22222111121n n n nn n n nn ≤++≤+++++（2分）又2lim1n n n n →∞=+，2lim1n n n →∞+＝１（2分）则222111lim()112n n n n n→∞+++=+++ （1分）四、解答下列各题（每题５分）１．因为2211sin0sin y x x x x∆=∆-=∆∆∆ （１分）则0lim x y x ∆→∆∆2001sin1lim lim sin x x x x x x x∆→∆→∆∆==∆∆∆ （２分） 0= （１分）所以函数()f x 在0x =处可导．（１分）２．解将方程两边对x 求导得2d d d 1sec ()(1)d d d y y y ye x y x x x⋅+=++- （２分）则 22d tan ()d tan ()yy x y x e x y +=-+ （２分）所以 22tan ()d d tan ()y x y y x e x y +=-+ （１分）３．解2d y (t)22d x (t)33y t x t t'===-'- （２分） 222d()d d 3d d d y t t x t x-=⨯ （２分） 22422339t t t==-- （１分）五、计算下列积分（每题６分）１．1d 1xx e +⎰d 1xx e x e --=+⎰ （２分） 1d(1)1xx e e --=-++⎰ （２分） ln(1)xe c -=-++ （２分）２．4d xe x ⎰22d ()t te t x t ==⎰令（２分）202[]t t te e =- （３分）22(1)e =+ （１分）３．22d d 172()24x xx x x -∞-∞+∞+∞=++++⎰⎰ （2分）21d()217()24x x -∞+∞+=++⎰ （1分） 221[arctan ()]277x -∞+∞=+ （2分）22()2277πππ=--=-（1分）六、应用题（每题６分）１．解平面图形的面积312(2)d 42ln 3S x x =-=-⎰ （３分）π绕x 轴一周所成的旋转体的体积332211216[2d ()d ]3V x x x ππ=-=⎰⎰ (3分) ２．解设所求矩形在第一象限的顶点坐标为(,)x y ，则矩形的面积为224()4bx S x xy a x a==- （１分）由2222244()b bx S x a x a a a x'=---，令()0S x '=得驻点22a x = （２分）而当202x a <<时，()0S x '>；当22a x a <<时，()0S x '<，所以22ax =为()S x 的最大值点（２分）则最大矩形面积max 2S ab =．（１分）七、证明题（每题５分）１．证明因为2()()(),(0,)xf x f x F x x x '-'=∈+∞ （１分）令()()()x xf x f x ϕ'=-，显然，()x ϕ在(0,)+∞上连续且()()0x xf x ϕ'''=> （２分）x ∈(0,)+∞，故()x ϕ在(0,)+∞上是单调增加的，即()(0)0x ϕϕ>=，从而()0F x '>，故函数()()f x F x x=在区间(0,)+∞上是单调增加．（２分）２．证明设()()F x f x x =- （１分）易知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又1211(1)10,()03333F F =-<=-=>，由零点定理可知至少存在一点1(,1)3η∈，使()0F η= （２分）而(0)0F =，根据罗尔定理可知至少存在一点(0,)ξη∈，使()0F ξ'=，即()1f ξ'=，由于(0,)η(0,1)⊂，故至少存在一点ξ(0,1)∈，使得()1f ξ'=．（２分）。

2006-2007(1)高等数学试题(A卷)(90)解答

广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=∞→xxx sin lim0 2．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =(ln )d f x x x'3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k 1 4．设()xf x xe =, 则(2006)()fx =2006x x xe e +5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于 0.5 米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( C ). A. 高阶无穷小; B. 低阶无穷小; C. 等价无穷小; D. 同阶但不等价无穷小.2. 0x =是函数1arctany x=的( B )间断点. A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( A ).A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x f B . ];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x fC. ];1,0[,)(∈=x e x f xD. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( D ). A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2axf x x f x x =⎰⎰，则a =( A ). A. 4; B. 2; C.12; D. 1. 三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．21sin ()xe y x -=，求y '. 解：112sin (sin )x x e e y x x --''=⋅。

06级高数(下)试题及答案-8页word资料

一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设()()a b y 1,3,2,2,,4r r==，则当y =时, rr a b ⊥;当y = 时, //rr a b .2. 函数 (,,)u x y z z x y=--221的间断点是.3. 设函数z x y y =+22, 则 dz =.4. 设G 是一个单连通域,(,)P x y 与(,)Q x y 在G 内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分LPdx Qdy +⎰ 在G 内与路径无关的充要条件是.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :x x y y z z m n p---==000, 平面方程为 :Ax By Cz D ∏+++=0, 若直线与平面平行,则 ( ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=.(B) 充要条件是:A B C m n p==. (C) 充分但不必要条件是:0Am Bn Cp ++=(D) 充分但不必要条件是:A B C m n p==. 2．设(,)z z x y =是由方程 zx y z e ++= 所确定的隐函数, 则zx∂=∂( ). (A) z e -11. (B) ze -21.(C) z e -11. (D) ze -1.3．函数33(,)3f x y x y xy =+- 的极小值为 ( ).(A)1 . (B) 1-. (C) 0. (D) 3-.4．下列说法正确的是 ( ).(A) 若lim 0n n u →+∞=, 则级数 1n n u ∞=∑ 必收敛.(B) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则必有 lim 0n n u →+∞≠. (C) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则 lim n n s →+∞=∞. (D) 若lim 0n n u →+∞≠, 则级数 1n n u ∞=∑ 必发散.5．微分方程 0ydx xdy += 的通解是 ( ).(A) 0x y +=. (B) y x =. (C)y C =. (D) xy C =.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．设一平面经过原点及点(,,),-632M 且与平面x y z -+=428 垂直, 求此平面方程.2．设(,),z f u v =而,u y v xy ==,且f具有二阶连续偏导数,求zx y∂∂∂2.四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算二重积分x y Ded σ+⎰⎰22,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域. 2、计算曲线积分2(22)(4)ÑLxy y dx x x dy -+-⎰, 其中 L 是取圆周229x y += 的正向闭曲线.五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰Ò,其中∑是长方体：{}(,,)|,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤000整个表面的外侧.2、判别正项级数 122nn n ∞=+∑ 的敛散性.六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）: 1、设幂级数11n n nx ∞-=∑. (1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数. 2、求微分方程'''x y y y e ++=222 的通解.七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于x y +2.南昌大学 2019～2019学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设()()a b y 1,3,2,2,,4r r ==，则当y =-103时, rr a b ⊥;当y = 6时, //rr a b .2. 函数(,,)u x y z z x y=--221的间断点是{}(,,)|x y z z x y =+22.3. 设函数z x y y =+22, 则 dz =()xydx x y dy++222.4. 设G 是一个单连通域,(,)P x y 与(,)Q x y 在G 内即有一阶连续偏导数, 则曲线积分LPdx Qdy +⎰ 在G 内与路径无关的充要条件是P Q y x∂∂=∂∂.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 设直线方程为 L :x x y y z z m n p---==000, 平面方程为 :Ax By Cz D ∏+++=0, 若直线与平面平行,则 ( A ).(A) 充要条件是:0Am Bn Cp ++=.(B) 充要条件是:A B C m n p==. (C) 充分但不必要条件是:0Am Bn Cp ++=(D) 充分但不必要条件是:A B C m n p==. 2．设(,)z z x y =是由方程 zx y z e ++= 所确定的隐函数, 则zx∂=∂( C ). (A) z e -11. (B) ze -21.(C) z e -11. (D) ze -1.3．函数33(,)3f x y x y xy =+- 的极小值为 ( B ).(A)1 . (B) 1-. (C) 0. (D) 3-.4．下列说法正确的是 ( D ).(A) 若lim 0n n u →+∞=, 则级数 1n n u ∞=∑ 必收敛.(B) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则必有 lim 0n n u →+∞≠. (C) 若级数1n n u ∞=∑ 发散, 则 lim n n s →+∞=∞. (D) 若lim 0n n u →+∞≠, 则级数 1n n u ∞=∑ 必发散.5．微分方程 0ydx xdy += 的通解是 ( D ).(A) 0x y +=. (B) y x =. (C)y C =. (D) xy C =.三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分) 1．设一平面经过原点及点(,,),-632M 且与平面x y z -+=428 垂直, 求此平面方程.解法一: 所求平面的法向量(,,),(,,)n n OM ⊥-⊥=-412632u u u ur r r .则(,,)(,,)(,,)-⨯-=-412632446. 取 (,,)n =-223r.故所求平面方程为:x y z +-=2230. 解法二: 设所求平面法向量(,,),n A B C =r则,(,,)n OM n ⊥⊥-412u u u ur r r .于是有 ,.A B C A B C -+=⎧⎨-+=⎩6320420解得: ,A B C B ==-32. 由平面的点法式方程可知,所求平面方程为Ax By Cz ++=0.将,A B C B ==-32代入上式,并约去()B B ≠0,便得：x y z +-=2230. 即为所求平面方程.2．设(,),z f u v =而,u y v xy ==,且f具有二阶连续偏导数,求zx y∂∂∂2.解:'.zy f x∂=⋅∂2 ()'''''z f y f f x x y∂=++⋅∂∂222122'''''.f yf xyf =++22122四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分): 1、计算二重积分x y Ded σ+⎰⎰22,其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域. 解:x y Ded d ed πρσθρρ+=⋅⎰⎰⎰⎰2222200().e d e e ρρπρππ⎡⎤===-⎣⎦⎰2222240012122、计算曲线积分2(22)(4)ÑLxy y dx x x dy -+-⎰, 其中 L 是取圆周229x y += 的正向闭曲线.解:,,Q P x x x y ∂∂=-=-∂∂2422 .Q P x y∂∂-=-∂∂2 由格林公式,有原式().Dd σππ=-=-⋅⋅=-⎰⎰222318五、计算题 (共2小题, 每小题8分,共16分): 1、利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰Ò,其中∑是长方体：{}(,,)|,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤000整个表面的外侧. 解:,,.P x Q y R z ===,,PQRxy z∂∂∂===∂∂∂111 则由高斯公式有原式().dv abc Ω=++=⎰⎰⎰11132、判别正项级数 122nn n ∞=+∑ 的敛散性.解:lim lim n n n n n n u n u n ++→∞→∞⎛⎫+=⋅ ⎪+⎝⎭113222Qlim .()n n n →∞+==<+311222所以原级数收敛.六、解下列各题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:1、设幂级数11n n nx ∞-=∑.(1). 求收敛半径及收敛区间 . (2). 求和函数.解: (1). limlim .n n n na n a n ρ+→∞→∞+===111 所以收敛半径.R =1当x =1时,n n ∞=∑1发散;当x =-1时,()n n n ∞-=-∑111 发散.所以收敛区间为:(,)-11.(2). 设和函数为:()n n S x nx ∞-==∑11. ()xx xn n n n S x dx nx dx nx dx ∞∞--==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰110011 .x n nn n x x x x ∞∞==⎡⎤===⎣⎦-∑∑1101故 '().().()x S x x x x ⎛⎫==-<< ⎪--⎝⎭2111112、求微分方程'''x y y y e ++=222 的通解.解:..r r r r ++===-2122101()x Y C C x e -∴=+12.λ=2Q 不是特征根,所以设特解为: *x y Ae =2.则(*)',(*)''x x y Ae y Ae ==2224,代入原方程得A =29. *xy e ∴=229.故通解为:().x x y C C x e e -=++21229七、(6分) 求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于x y +2.解: 依题意: ',().y x y y =+⎧⎨=⎩200则： x y x Ce =--+22.把()y =00 代入上式, 得C =2.故().x y e x =--21。

2006-2007年高数期末试卷(下A)

高等数学（下）（A 卷）一、填空题（每题2分，共20分）1、 xyxy y x +-→→93lim=__________________.2、微分方程03'2''=--y y y 的通解为 .3、设⎰⎰=x xdy y x f dx I 220),(，交换积分次序后，=I ____________________.4、曲面22y x z +=在点（1，1，2）处的切平面方程为 _________________.5、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为_____________.6、 ⎰+Lds y x )(=_____________,其中L 为连接)0,1(及)1,0(两点的直线段.7、函数)ln(222z y x u ++=在点Ｍ（１，２，－２）处的梯度=M gradu | ______.8、函数yxez 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数为_________.9、函数x ye z =的全微分=dz ___________________________.10、)(x f 是以2π为周期的周期函数，其在[)ππ,-上的表达式为x x f =)(，设)(x f 的Fourier 级数的和函数为s(x)，则 =)(2πs ______,=)(πs ________√ √二、计算题（每题8分，共64分）1. 设yz zx ln=，求xz ∂∂，yz ∂∂2. 求曲线2,1,1t z tt y tt x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线及法平面方程.3. 计算D d yx D,22⎰⎰σ是由直线x y =、2=x 及曲线1=xy 所围成的闭区域.4. 计算⎰-+++Lx x dy x y e dx y y e )cos ()sin (π，其中L 是下半圆周9)4(22=+-y x 逆时针方向的封闭曲线.5. 求∑∞=1n nnx的收敛域与和函数.6. 求微分方程25)1(12+=+-x x y dxdy 的通解.7. 将21)(2-+=x x x f 展成x 的幂级数，并求收敛域8. 计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中Σ是)0(222a z z yx ≤≤=+的外侧.三、确定常数λ，使得在右半平面0>x 上，⎰+-+Ldy y x x dx y x xy λλ)()(224224与积分路径无关. (8分)四、求表面积为2a 而体积最大的长方体的体积.（8分）。

2005-2006学年第一学期期末考试《高等数学》(A)评分标准及标准答案

e y + (xe y − e−y + ye−y ) y′ = 2x
Байду номын сангаас∴ y′ = 2x − e y
(1′)
xey − e−y + ye−y
x=0⇒ y=0
(1′)
∴ y′ x=0 = 1
(1′)
∫ ∫ 5、
x+
3
x
dx
( 2′)
==
(
x
+
−1
x6
) dx =
2
3
x2
+
6
5
x6
+
c
(3′) ；
x
35
∫ ∫ ∫ 6、
x→ 0
x→ 0
(1′)；
∫ 3、 f ′ ( x) = 2x x ln tdt + x2ln x, (3′) ∴ f′ ( e) = e2 (2′) ； e
4、方程两边同时对 x 求导（ y 是 x 的函数），得
e y + xey y′− y′e− y − ye− y (− y′) = 2x
(2′)
0
0
0
0
(1′)
∫ ∫ =
1
e
f(
x) dx
+
xe
f
( x)
0
1 0
−
1 e f (x)dx
0
(2′)
= e f (1)
(1′)
四、解答题
1、①定义域： (−∞, +∞) ；
② y′ = 6x2 −12x −18 = 0,⇒ x = −1, x = 3;
③列表
x (−∞, −1)

2006-2007(1)高等数学试题(A卷)(54)解答

2006-2007(1)高等数学试题(A 卷)(54)解答D第 2 页共 6页第 3 页共 6页第 4 页共 6页4. 函数2x e y -=的渐近线为 0=y5. 曲线233x x y -=的拐点坐标为 (1,-2)二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1．下列函数为偶函数的是（ C ）.(A) x x cos ; (B) 1+x ; (C) 12+x; (D)xx cos +.2. 当0→x 时,11-+x 是2x 的( B )无穷小.(A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶但不等价; (D) 等价.3．函数)(x f 在点0x 处有定义,是函数)(x f 在点0x处连续的( A ).(A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.4. 函数||y x =在点0=x 处（ B ）.(A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.5. 设⎰+-=C x dx x f sin )(, 则=')(x f ( D ).(A) cos x -; (B) x sin -; (C) x cos ; (D) sin x .第 5 页共 6页三．解答下列各题(每小题6分，本大题满分18分)1. 112-=x y , 求y ''.解: )1111(21+--=x x y ∴ ])1(1)1(1[2122++--='x x y 3分32233)1(26)1(1)1(1-+=+--=''x x x x y 6分2. 设)(ln x f y =, 其中)(x f 可微, 求dy . 解:dxx f dy ])(ln ['=2分=dxx x f ))(ln (ln ''4分=dx x f x)(ln 1'6分3. 设)(x y 是由方程2=+-x ye xy e所确定的隐函数,第 6 页共 6页求0|=x dxdy . 解:方程 2=+-x ye xy e(*)两端同时对x 求导,得0=+'--'x y e y x y y e (**) 3分在(*)式中令0=x ,得 0)0(=y 在(**)式中令0=x ,得 1)0(-='y 6分即 0|=x dxdy =-1第 7 页共 6页四．计算下列极限(每小题6分，本大题满分12分)1. 0sin lim (1cos )x x xx x →--. 解:原式=3021sin limx xx x -→2分=2023cos 1limx xx -→4分=xxx 3sin lim 0→ =316分 2．xx xln 12)1(lim ++∞→. 解:原式=x x x eln )1ln(lim2++∞→2分 =2212limxx x e ++∞→4分 =2e订线内不要答题第 8 页共 6页6分五．计算下列积分(每小题6分，本大题满分24分)1. dx x x )3(-⎰.解: 原式=dxx dx x ⎰⎰-2/12/333分=C x x +-2/32/52526分 2. ⎰dxx x )1(sin 2+.解:原式=⎰⎰+xdxdx xx 2sin2分 =22221)(sin 21x x d x +⎰4分 =C x x +--)(cos 21226分第 9 页共 6页3. 22ln(1)x dxx +⎰. 解:原式=)1()1ln(2⎰-+xd x2分=)1ln(1)1ln(122+++-⎰x d xxx=dx xx x ⎰+++-2212)1ln(14分 =C x x x+++-arctan 2)1ln(126分 4. dxxx ⎰+31.解: 令6u x =,则du u dx 56= ∴dxxx ⎰+31=duu u u ⎰+2356=du uu ⎰+1633分=duuu ⎰+-+11)1(63第 10 页共 6页=du udu u u ⎰⎰+-+-11)1([62]=Cu u u u ++-+-)1ln(663223=Cx x x x ++-+-)1ln(6626636分六．(本题满分10分)某厂生产x件产品的成本为 21()2500020040C x x x =++(元). 问(1) 若使平均成本最小, 应生产多少件产品?(2) 若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产多少件产品?解: (1)依题意, 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++== 2分所以 40125000)(2+-='xx C 令0)(='x C ,得1000=x5分故要使平均成本最小, 应生产1000件产品; (2) 依题意, 利润)40120025000(500)(2x x x x L ++-==240125000300x x --7分订线内不要答题则 x x L 201300)(-='令0)(='x L ,得6000=x10分故若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产6000件产品.七．(本题满分6分)证明: 当0x >时,221)1ln(1x x x x +>+++. 证明: 令221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=2分则有 22221111)1ln()(xx xx x x xx x x f +-+++++++='=)1ln(2x x ++>0(当>x 时)4分故函数)(x f 在(0,+∞)内是单调增加函数,所以当0x >时,)0()(f x f >=0,即 221)1ln(1x x x x +>+++. 6分。