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数列综合问题高中数学教案

数列综合问题高中数学教案
知识点：数列的综合
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握数列的综合方法，解决相关数学问题。

教学重点：数列的综合求解方法。

教学难点：在实际问题中运用数列的综合方法解决问题。

教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师向学生介绍本节课的学习内容，引导学生了解数列的综合概念。

并通过一个简单的例子引出数列综合问题。

二、讲解与实践（15分钟）
1. 讲解数列的综合方法，说明综合的含义及求解步骤。

2. 通过几个示例讲解综合求解数列问题的步骤，引导学生掌握方法。

3. 学生进行练习，巩固数列综合的求解方法。

三、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些实际问题，让学生尝试用数列综合方法解决问题。

2. 学生结合实际问题进行讨论，分享不同解题思路。

四、作业布置（5分钟）
布置练习题作业，相关综合数列问题的练习。

五、课堂小结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调数列综合方法的重要性，并提醒学生作业要认真完成。

教学反思：本节课通过讲解数列的综合方法，让学生了解了数列的综合应用，实际问题中的数列综合求解方法。

通过多种实例的讲解和练习，学生对数列综合方法有了更深入的理解和掌握。

在今后的教学过程中，可以结合更多实际问题，让学生更好地运用数列综合方法解决各种数学问题。

高三数列综合专题复习

高三数列综合专题复习班级姓名探究点3 数列与函数、不等式的综合问题1.[2011·青岛一模] 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，n ∈N *.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 3a n ＋1，T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，求T 2011的值．2.[2011·广州二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m 、k (k >m ≥2，k ，m ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．3. [2011·惠州一模] 已知f (x )＝log m x (m 为常数，m >0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，记数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)若c n ＝a n lg a n ，问是否存在实数m ，使得{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m 的取值范围．[思路] (1)由已知可得数列{f (a n )}的通项公式，利用函数f (x )的解析式，可得{a n }的通项公式，再根据等比数列的定义可证明数列{a n }是等比数列；(2)由数列{b n }的通项公式，知符合错位相减法求和；(3)由条件得不等式c n －1<c n ，分类讨论，化归为不等式恒成立问题求解．4.已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N ，都有0n a >，且()23331212n n a a a a a a +++=+++．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．5.已知曲线C ：440xy x -+=，数列{}n a 的首项14a =，且当2n ≥时,点1(,)n n a a -恒在曲线C 上，数列{}n b 满足12n nb a =-.（1）试判断数列{}n b 是否是等差数列？并说明理由；（2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n c 满足21n n n a b c =，试比较数列{}n c 的前n 项和n S 与2的大小.6.已知函数)(x f 满足：对任意的0,≠∈x R x ，恒有x xf =)1(成立，数列}{}{n n b a 、满足1,111==b a ，且对任意+∈N n ，均有.1,2)()(11nn n n n n n a b b a f a f a a =-+=++ ( I )求函数)(x f 的解析式; ( II )求数列}{}{n n b a 、的通项公式;(III)对于]1,0[∈λ，是否存在+∈N k ，使得当k n ≥时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立？若存在，试求k 的最小值；若不存在，请说明理由.探究点4 数列与导数、解析几何、不等式的综合问题1.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n 的前n 项和的公式是 .2. [2011·陕西卷] 如图,从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.现从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.[点评] 数列与解析几何的综合问题，往往是数列的某几项或数列的通项作为曲线上的点的坐标来建立关系，或者是含数列通项的点在曲线的切线上，这样就会把导数综合在一起．因此此类问题一般是数列的递推关系问题．3.已知二次函数)(x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点),(n S n (n ∈N *) 均在函数)(x f y =的图像上．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ；4.已知函数2()4f x x =-，设曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线与x 轴的交点为1(,0)n x +(*)n N ∈，其中1x 为正实数．（Ⅰ）用n x 表示1n x +；（Ⅱ）若14x =，记2lg 2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式；5.已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程以()0f x =的两个根(α>β)，()f x '是()f x 的导数.设11()1,(1,2,3,)()n n n n f a a a a n f a +==-='.(1)求α、β的值； (2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln (1,2,3,)n n n a b n a βα-==-求数列{n b }的前n 项和Sn ．6.已知函数()x x x f -+=1ln )(，证明：()x x x ≤+≤+-1ln 1117.已知n 为正整数，曲线n n n n n L y x P nx y C 处的切线在其上一点),(:=总经过定点(1-,0)(1)求证点列：n P P P ,,,21 在同一直线上（2）若记 f(k)+f(k+1)+f(k+2)++ f(n)=∑=n k i i f )(,其中k, n 为正整数且k ≤n 求证：∑=++<<+n i i n y n 121)1ln(1)1ln( (n *N ∈)探究点3 数列与函数、不等式的综合问题1.[解答] (1)由题意得a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，所以当n ≥2时，{a n }是等比数列．要使n ≥1时，{a n }是等比数列，则只需a 2a 1＝2t ＋1t＝3，从而t ＝1. (2)由(1)得知a n ＝3n －1，b n ＝log 3a n ＋1＝n ， 1b n ·b n ＋1＝1(n ＋1)n ＝1n －1n ＋1， T 2011＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2011b 2012＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12011－12012＝20112012.2.[解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知，得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以a n ＝n (n ∈N *)．(2)假设存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k . 因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝k k ＋1. 所以⎝⎛⎭⎫m m ＋12＝12×k k ＋1.整理，得k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1. 以下给出求m ，k 的三种方法：方法一：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0. 解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列．方法二：因为k >m ，所以k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1>m .即2m m 2－2m －1＋1<0，即m 2－1m 2－2m －1<0. 解得－1<m <1－2或1<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列．方法三：因为k >m ≥2，所以k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1>2. 即m 2m 2－2m －1＋1<0，即2m 2－2m －1m 2－2m －1<0. 解得1－2<m <1－32或1＋32<m <1＋2，因为m ≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2、k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列．3.[解答] (1)由题意知f (a n )＝4＋2(n －1)＝2n ＋2，即log m a n ＝2n ＋2，∴a n ＝m 2n ＋2. ∴a n ＋1a n ＝m 2(n ＋1)＋2m2n ＋2＝m 2. ∵m >0且m ≠1，∴m 2为非零常数，∴数列{a n }是以m 4为首项，m 2为公比的等比数列．(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝m 2n ＋2log m m 2n ＋2＝(2n ＋2)·m 2n ＋2，当m ＝2时，b n ＝(2n ＋2)·2n ＋1＝(n ＋1)·2n ＋2. ∴S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，① ①式乘以2，得2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3.② ②－①并整理，得S n ＝－2·23－24－25－26－…－2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝－23－[23＋24＋25＋…＋2n ＋2]＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝－23－23[1－2n ]1－2＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝－23＋23(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋3 ＝n ·2n ＋3. (3)由题意c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·m 2n ＋2lg m ，要使c n －1<c n 对一切n ≥2成立，即n lg m <(n ＋1)·m 2·lg m 对一切n ≥2成立，①当m >1时，有lg m >0，则n <(n ＋1)m 2对n ≥2成立； ②当0<m <1时，有lg m <0，则n >(n ＋1)m 2， ∴n >m 21－m 2对一切n ≥2成立，只需2>m 21－m 2，解得－63<m <63，考虑到0<m <1，∴0<m <63. 综上，当0<m <63或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项． 4.（1）解：当1n =时，有3211a a =，由于0n a >，所以11a =．当2n =时，有()2331212a a a a +=+，将11a =代入上式，由于0n a >，所以22a =．（2）解：由于()23331212n n a a a a a a +++=+++， ①则有()23333121121n n n n a a a a a a a a ++++++=++++． ②②－①，得()()223112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++，由于0n a >，所以()211212n n n a a a a a ++=++++． ③同样有()21212n n n a a a a a -=++++()2n ≥， ④③－④，得2211n n n n a a a a ++-=+．所以11n n a a +-=．由于211a a -=，即当n ≥1时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列．故n a n =．（3）解：由（2）知n a n =，则()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭．所以13243511211111n n n n n S a a a a a a a a a a -++=+++++1111111111111112322423521122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭．∵()()11013n n S S n n +-=>++，∴数列{}n S 单调递增．所以()1min 13n S S ==．要使不等式()1log 13n a S a >-对任意正整数n 恒成立，只要()11log 133a a >-．∵10a ->，∴01a <<．∴1a a ->，即102a <<．所以，实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．5.解：（1）∵当2n ≥时,点1(,)n n a a -恒在曲线C 上∴11440n n n a a a ---+=-----------------------------------------------1分由12n nb a =-得当2n ≥时，111122n n n n b b a a ---=---111422n n n n n n a a a a a a ----=--+11142244n n n n n a a a a a ----=--+-111222n n n n a a a a ---==--+----5分∴数列{}n b 是公差为12-的等差数列.-------------------------------------------------------6分（2）∵1a ＝4，∴111122b a ==-- ∴111(1)()222n b n n =-+-⨯-=------------------------------------8分由12n n b a =-得1222n n a b n=-=+-----------------------------------------------10分（3）∵21n n n a b c = ∴212(1)n n n c a b n n ==+＝112()1n n -+----------------------12分 ∴12n n S c c c =+++111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+12(1)21n =-<+-----14分 6.解：( I )由x x f =)1(易得)0(,1)(≠=x x x f ----------------------------------------------2分( II )由2)()(1+=+n n n n a f a f a a 得21)(2111+=+=+nn n n n a a f a a a ，所以2111=-+n n a a .所以数列}1{na 是以1为首项，2为公差的等差数列所以12)1(211-=-+=n n a n ，得+∈-=N n n a n ,121.---5分因为.1211-==-+n a b b nn n 所以 113)52()32()()()(112211+++⋅⋅⋅+-+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n b b b b b b b b n n n n n 2212)22)(1(2+-=+--=n n n n .- (III)对于]1,0[∈λ时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立，等价于]1,0[∈λ时，⋅-≥+-)1(222λn n)12(-n 恒成立，等价于]1,0[∈λ时，034)12(2≥+-+⋅-n n n λ恒成立，设034)12()(2≥+-+-=n n n g λλ，对于]1,0[∈λ，034)12(2≥+-+⋅-n n n λ恒成立， 10分则有⎩⎨⎧≥≥,0)1(,0)0(g g 解得3≥n 或1≤n --------------------------------------13分由此可见存在+∈N k 使得当k n ≥时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立，其最小值为3. 14分探究点4 数列与导数、解析几何、不等式的综合问题2.[解答] (1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x 得Q k －1(x k －1，e x k －1)点处切线方程为y －e x k －1＝e x k－1(x －x k －1)，由y ＝0得x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )．(2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)，所以|P k Q k |＝e xk ＝e－(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e－(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1.3.（Ⅰ）依题设)0()(2≠+=a bx ax x f ，由b ax x f +=2)('又由26)('-=x x f 得3=a ,2-=b ,∴xx x f 23)(2-=，所以nn S n 232-=，当2≥n 时=-=-1n n n S S a56)]1(2)1(3[)23(22-=-----n n n n n ，当1=n 时，51611213211-⨯==⨯-⨯==S a 也符合，∴)(56*N n n a n ∈-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得)161561(21]5)1(6)[56(331+--=-+-==+n n n n a a b n n n ， ∴)1611(21)]161561()13171()711[(211+-=+--++-+-==∑=n n n b T ni i n ， ∴要使)(20)1611(21*N n m n ∈<+-恒成立，只要20)]1611(21[max mn <+-，又∵21)1611(21<+-n ，∴只要2021m ≤，即10≥m ，∴m 的最小整数为10． 4.（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．所以曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．即2(4)2()n n n y x x x x --=-．令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-．即2142n n n x x x ++=．显然0n x ≠，∴122n n nx x x +=+．（Ⅱ）由122n n n x x x +=+，知21(2)22222n n n n n x x x x x +++=++=，同理21(2)22n n nx x x +--=．故21122()22n n n n x x x x ++++=--．从而1122lg 2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．故111111222lg 2lg32n n n n x a a x ---+===-．即12lg 2lg32n n n x x -+=-．从而12232n n n x x -+=-所以11222(31)31n n n x --+=- 5.解:(1) 由 210x x +-=得x =α∴β= (2) ()21f x x '=+ 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++(22221111n n n n n nn n n a a a a a a a a ββαα+++⎛+ ⎛⎫--=== ⎪--⎝⎭∴ 12n n b b += 又111l na b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为公比为2的等比数列;∴)()12242112n n n S -==--7.解：（1）设切线L n 的斜率为k n ，由切线过点)0,1(-得切线方程为y=k n (x+1)则方程组⎩⎨⎧≥=+=)0()1(2y nx y x k y n 有解⎩⎨⎧==n ny y x x ， ……1分由方程组用代入法消去y 化简得 0)2(2222=+-+n n n k x n k x k （*）有4044)2(2222222nk n nk k k n k n n n n n =∴=+-=⋅--=∆ ………2分代入方程(*),得01204)42(422=+-=+-⋅+x x nx n n x n 即 n nx y x x n n n ====∴,11即有即n P P P ,,,21 在同一直线x=1上 …………………4分(2) 解：由（1）可知 iy i f n y in 11)( 2==∴=………5分设函数 F(x)=0)0(),,1(),1ln(=+∞-∈+-F x x x 有分时有有最小值即恒成立时有即当时有当恒成立时有即当时有当上为增函数在上是减函数在时当时当.8.......... .)0()(0),0()( )1ln(010)0()(01 . )1ln(100)0()(10),0()0,1()(0)('0;0)(',011111111)('F x F x F x F x x x F x F x x x x F x F x ，x F x ，F x x F x x x x x x x F >≠+><<-=><<-+><<=><<∴+∞-∴>><<<-∴+=+-+=+-=∴分即有取.....11).1ln(]ln )1[ln()2ln 3(ln 2ln 121111)(ln )1ln(1)(,,2ln 3ln )211ln(21)2(,2ln 11)1(ln )1ln()11ln(1)(),,,3,2,1(1)11+=-+++-+>+++==∴-+>=-=+>=>=-+=+>===∑∑==n n n n i i f nn nn f f f i i ii i f n i i x i ni n i1)1ln(1ln )]1ln([ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln 1121111)( )1ln(ln 1)(,,2ln 3ln 31)3(,1ln 2ln 21)2(,111)1()1ln(ln 1ln )1ln()11ln(1),,,3,2(1)11++<+=--++-+-+≤+++==∴--<=-<=-<===--<∴--=->-=-=∑∑==n n n n n ii f n n nn f f f f i i i i i i i n i i x ii ni n i 即有有再取综合上述有∑=++<<+nin yn 121)1ln(1)1ln( …………………14分。

《数列综合应用举例》教案

《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。

2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。

3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。

二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。

2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。

3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。

4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。

5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。

2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。

2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。

3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。

五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。

2. 第二课时：等比数列的应用举例。

3. 第三课时：数列的求和公式及应用。

4. 第四课时：数列的通项公式的应用。

5. 第五课时：数列在函数中的应用。

6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。

六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。

2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。

3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。

七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。

2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。

3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。

八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。

数列综合测试题含标准答案

数列综合测试题(经典)含标准答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列综合测试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )B ．1C ．2D ．32．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )3.(理)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．54．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为正偶数时，n 的值可以是( )A ．1B ．2C ．5D ．3或115．已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )或5－127．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －49，当该数列的前n 项和S n 达到最小时，n 等于( )A．24 B．25C．26 D．278．数列{a n}是等差数列，公差d≠0，且a2046＋a1978－a22012＝0，{b n}是等比数列，且b2012＝a2012，则b2010·b2014＝( )A．0 B．1C．4 D．89．已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1＝3，前三项的和为21，则a3＋a4＋a5＝( )A．33 B．72C．84 D．18910．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S3＝a5，a m＝2011，则m＝( ) A．1004 B．1005C．1006 D．100711．设{a n}是由正数组成的等差数列，{b n}是由正数组成的等比数列，且a1＝b1，a2003＝b2003，则( )A．a1002>b1002B．a1002＝b1002C．a1002≥b1002D．a1002≤b100212．已知数列{a n}的通项公式为a n＝6n－4，数列{b n}的通项公式为b n＝2n，则在数列{a n}的前100项中与数列{b n}中相同的项有( )A．50项B．34项C．6项D．5项第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知数列{a n}满足：a n＋1＝1－1a n，a1＝2，记数列{a n}的前n项之积为P n，则P2011＝________.14．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n}，已知a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．15．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a3＋a10a1＋a8＝________.16．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c的值为________．三、解答题()17．设数列{a n }的前n 项和为n S =2n 2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1，b 2(a 2 －a 1)=b 1。

八种数列及其变式

八种数列及其变式1、等差数列例题：12，17，22，27，()，37解析：12 17 22 27 () 37↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙5 5 5 5 5公差为0，形成一个常数数列答案：后一项与前一项的差为5，括号内应填32(1)二级等差数列例题：-2，1，7，16，()，43解析：-2 1 7 16 () 43↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙3 6 9 12 15新的公差为3的等差数列答案：16+12=28(2)二级等差数列的变式例题：1，2，5，14，()解析：1 2 5 14 ()↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙1 3 9 27公比为3的等比数列答案：17+27=41练习：20，22，25，30，37，()解析：20 22 25 30 37 ()↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙2 3 5 7 11二级为质数列答案：37+11=48(3)三级等差数列及其变式例题：1，10，31，70，133，()解析：1 10 31 70 133 ()↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙9 21 39 63 93 二级特征不明显↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘ ↙12 18 24 30 三级为公差为6的等差数列答案：63+30=93，93+133=226练习：0，1，3，8，22，63，()解析：0 1 3 8 22 63 ()↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙1 2 5 14 41 (122)二级特征不明显↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙1 3 9 27 (81) 三级为等比数列答案：41+81=122，122+63=1852、等比数列例题：3，9，()，81，243解析：后一项与前一项的比为3 答案：27(1)二级等比数列例题：1，2，8，()，1024解析：后一项与前一项的比得到2，4，8，16答案：8x8=64(2)二级等比数列的变式例题：2，4，12，48，()解析：2 4 12 48 ()↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙2 3 4 (5)二级为自然数列答案：48x5=240练习：10，9，17，50，()解析：9=1x10-1，17=9x2-1，50=17x3-1，由此类推( )=77x2+9答案：1633、和数列(1)两项和数列例题：1，1，2，3，5，8，() 解析：前两项相加得到第三项，括号内应填13练习：17，10，()，3，4，-1 解析：17-10=7（第3项），10-7=3（第4项），7-3=4（第5项），3-4=-1（第6项）答案：17-10=7(2)两项和数列的变式例题：3，8，10，17，()解析：3+8-1=10(第3项)，8+10-1=17(第4项)答案：10+17-1=26练习：4，5，11，14，22，()解析：每前一项与后一项的和得到9，16，25，36（自然数平方数列）答案：27(3)三项和数列的变式例题：0，1，1，2，4，7，13，()解析：0+1+1=2(第4项)，1+1+2=4(第5项)，1+2+4=7(第6项)，2+4+7=13(第7项)答案：4+7+13=24练习：1，1，1，2，3，5，9，()解析：每三项相加之和减1得到第四项答案：3+5+9-1=164、积数列(1)两项积数列例题：1，3，3，9，()，243解析：1x3=3(第3项)，3x3=9(第4项)，3x9=27(第5项)，9x27=243(第6项)答案：27练习：1，2，2，4，()，32解析：1x2=2（第3项），2x2=4（第4项），2x4=8（第5项），4x8=32（第6项）答案：8(2)积数列变式例题：2，5，11，56，()解析：2x5+1=11(第3项)，5x11+1=56(第4项)答案：11x56+1=617练习：3/2，2/3，3/4，1/3，3/8，() 解析：每两项相乘得到，1，1/2，1/4，1/8，1/16答案：1/65、平方数列(1)典型平方数列(递增或递减)例题：196，169，144，()，100解析：142，132，122，(112)，102答案：121(2)平方数列的变式例题：0，3，8，15，()解析：各项都是平方数减1的形式答案：52-1=24练习：17，27，39，()，69解析：各项分别为平方数列加自然数列的形式答案：72+4=53(3)二级平方数列(平方数列的最新变化) 例题：1，4，16，49，121，()解析：1 4 16 49 121 ()12 22 42 72 112 ()↘↙ ↘↙↘↙↘↙ ↘↙ 二级不看平方1 2 3 4 5三级为自然数列答案：162=256练习：1，2，3，7，46，()解析：3=22-1，7=32-2，46=72-3，()=462-7答案：21096、立方数列(1)典型立方数列(递增或递减)例题：125，64，27，()，1解析：53，43，33，(23)，13答案：8(2)立方数列的变式例题：3，10，29，66，()解析：各项都为立方数加2的形式答案：53+2=127练习：1/8，1/9，9/64，()，3/8解析：各项分母变化为2、3、4、5、6的立方，分子变化为1、3、9、27、81答案：27/1257、组合数列(1)数列间隔组合例题：1，3，3，5，7，9，13，15，()，() 解析：二级等差数列1，3，7，13，(21)和二级等差数列3，5，9，15，(23)的间隔组合答案：21，23练习：1，3，3，6，7，12，15，()解析：二级等差数列1，3，7，15和等比数列3，6，12，(24)的间隔组合答案：24(2)数列分段组合例题：6，12，19，27，33，()，48解析：6 12 19 27 33 () 48↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙ ↘↙6 7 8 6 (7) 8答案：33+7=40练习：2，2，4，12，12，()，72解析：2 2 4 12 12 () 72↘↙ ↘↙↘↙↘↙ ↘↙ ↘↙1 2 3 1 (2) 3答案：12x2=24(3)特殊组合数列例题：1.01，2.02，3.04，5.08，()解析：整数部分为和数列1，2，3，5，(8)；小数部分为等比数列0.01，0.02，0.04，0.08，(0.16)答案：8+0.16=8.168、其它数列(1)质数列及其变式例题：2，3，5，()，11，13解析：质数是只能被1和本身整除的数答案：7练习：4，6，10，14，22，()解析：各项除以2即得到质数列2，3，5，7，11，(13)答案：13x2=26(2)合数列例题：4，6，8，9，10，12，()解析：除去质数列剩下的不含1的自然数为合数列答案：14(3)分式最简式例题：133/57，119/51，91/39，49/21，()，7/3解析：各项约分成最简分式的形式都为7/3 答案：28/12(4)无理式(4)无理式。

数列的综合运用新

A．若{an}>M，则数列{an}的各项均大于等于M B．若{an}>M，{bn}>M，则{an＋bn}>2M C．若{an}>M，则{a}>M2 D．若{an}>M，则{2an＋1}>2M＋1
解析：对于A，即若{an}>M，an与an＋1中至少有一个不小于M，则数列{an}的各项不一定都大于M，错误；对于 B，若{an}>M，an与an＋1中至少有一个不小于M，{bn}>M， bn与bn＋1中至少有一个不小于M，但它们不一定是同一个n 值，则{an＋bn}>2M不成立；对于C，若{an}>M，数列各项的正负及M的正负不确定，则{a}>M2不成立；则只有D成立，
(4)数列的实际应用：现实生活中涉及利率，产品利润，工作效率，人口增长，常常考虑用数列知识加以解决．
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分
裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 ( )
A．511个
B．512个
C．1023个
D．1024个
解析：由题意知，细菌繁殖过程可以看作一个首项为
1，公比为2的等比数列模型，所以a10＝a1q9＝29＝512.故应选B.
答案：B
2 ．数列 {an} 的通项公式是关于 x 的不等式 x2 －
x<nx(n∈N*)的解集中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn
＝
()
A．n2
B．n(n＋1)
C.
D．(n＋1)(n＋2)
解析：由x2－x<nx，得0<x<n＋1(n∈N*)，因此an＝n， Sn＝
故选D.
答案：D
1．在解决数列综合问题时要注意以下方面 (1)用函数的观点和思想认识数列，将数列的通项公式与求和公式都看作自变量为正整数的函数． (2)用方程思想去处理数列问题，把通项公式与求和公式看作列方程的等量关系． (3)用转化思想去处理数学问题，将实际问题转化为等差数列或等比数列问题． (4)用猜想与递推的思想去解决数学问题．

数列综合练习题(含答案)精选全文

3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。

高考数学二轮复习：第八讲数列综合

第八讲数列综合★★★高考在考什么【考题回放】1.已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ B ）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．73. 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于A ．122n +- B.3n C. 2n D.31n-【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1na +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

4.设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ B ）A ．10B ．11C ．12D ．135. 已知正项数列{an}，其前n 项和Sn 满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an . 解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．又10Sn －1=an －12+5an －1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an －12)+6(an －an －1)，即(an+an －1)(an －an －1－5)=0 ∵an+an －1>0 ， ∴an －an －1=5 (n≥2)．当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时，a3=12， a15=72，有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n －3．6.已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2n a 各项的和为815.(I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；(II)对给定的(1,2,3,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和；解: (Ⅰ)依题意可知,⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-32358119112121q a qa q a(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155.★★★高考要考什么本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查1()a d q 、、n n n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．（2）给出Sn 与an 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列． ★★ 突破重难点【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式；（II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．解：（Ｉ）由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即12n n c c -=+（2n ≥）易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+．（II ）解：由题设得111()(2)2n n n n a b a b n ---=-≥，令n n n d a b =-，则11(2)2n n d d n -=≥．易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为112n n d -=．由12112n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1122n n a n =++，求和得21122n n n S n =-+++．【变式】在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)na nn b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

公务员考试：八大类数列及变式总结

公务员考试：八大类数列及变式总结一、简单数列自然数列：1，2，3，4，5，6，7，……奇数列：1，3，5，7，9，……偶数列：2，4，6，8，10，……自然数平方数列：1，4，9，16，25，36，……自然数立方数列：1，8，27，64，125，216，……等差数列：1，6，11，16，21，26，……等比数列：1，3，9，27，81，243，……二、等差数列1，等差数列：后一项减去前一项形成一个常数数列。

例题：12，17，22，27，（），37解析：17-12=5，22-17=5，……2，二级等差数列：后一项减去前一项形成一个新的数列是一个等差数列。

例题1：9，13，18，24，31，（）解析：13-9=4，18-13=5，24-18=6，31-24=7，……例题2.：66，83，102，123，（）解析：83-66=17，102-83=19，123-102=21，……3，二级等差数列变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。

例题1：0，1，4，13，40，（）解析：1-0=1，4-1=3，13-4=9，40-13=27，……公比为3的等比数列例题2：20，22，25，30，37，（）解析：22-20=2，25-22=3，30-25=5，37-30=7，…….二级为质数列4，三级等差数列及变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，再在这个新的数列中，后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。

例题1：1，9，18，29，43，61，（）解析：9-1=8，18-9=9，29-18=11，43-29=14，61-43=18，……二级特征不明显9-8=1，11-9=2，14-11=3，18-14=4，……三级为公差为1的等差数列例题2.：1，4，8，14，24，42，（）解析：4-1=3，8-4=4，14-8=6，24-14=10，42-24=18，……二级特征不明显4-3=1，6-4=2，10-6=4，18-10=8，……三级为等比数列例题3：（），40，23，14，9，6解析：40-23=17，23-14=9，14-9=5，9-6=3，……二级特征不明显17-9=8，9-5=4，5-3=2，……三级为等比数列三、等比数列1，等比数列：后一项与前一项的比为固定的值叫做等比数列例题：36，24，（）32/3，64/9解析：公比为2/3的等比数列。

数列综合题和应用性问题教案

数列综合题和应用性问题教案一、教学目标1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。

2. 培养学生解决数列综合题的能力，提高逻辑思维和运算能力。

3. 培养学生将数列知识应用于实际问题中，提高解决问题的能力。

二、教学内容1. 数列的基本概念和性质2. 等差数列的通项公式和求和公式3. 等比数列的通项公式和求和公式4. 数列的极限概念5. 数列综合题的解法及应用三、教学重点与难点1. 重点：数列的基本概念、性质、通项公式和求和公式。

2. 难点：数列综合题的解法和应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究数列的知识点。

2. 通过案例分析，让学生了解数列在实际问题中的应用。

3. 利用数列软件或板书演示数列的性质和规律，帮助学生直观理解。

4. 组织小组讨论，培养学生合作学习和解决问题的能力。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如级数求和、存贷款等问题，引发学生对数列的兴趣。

2. 讲解数列的基本概念和性质，引导学生掌握数列的基础知识。

3. 讲解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，让学生熟练运用。

4. 引入数列的极限概念，引导学生理解数列的极限性质。

5. 解析数列综合题，培养学生解决实际问题的能力。

6. 课堂练习：布置相关数列综合题，让学生巩固所学知识。

7. 总结与反馈：对学生的学习情况进行总结，及时调整教学策略。

六、教学评价1. 评价目标：检查学生对数列基本概念、性质、通项公式和求和公式的掌握程度，以及解决数列综合题的能力。

2. 评价方法：课堂提问、作业批改、小组讨论、笔试考试等。

3. 评价内容：数列的基本概念和性质、等差数列和等比数列的通项公式和求和公式、数列综合题的解法及应用。

七、教学资源1. 教材：数列相关教材或教学辅导书。

2. 课件：数列知识点、案例分析、数列软件演示等。

3. 习题库：数列综合题及应用性问题。

4. 教学板书：用于演示数列性质和规律。

八、教学进度安排1. 数列的基本概念和性质：2课时2. 等差数列的通项公式和求和公式：2课时3. 等比数列的通项公式和求和公式：2课时4. 数列的极限概念：1课时5. 数列综合题的解法及应用：3课时6. 教学评价：1课时九、教学作业布置1. 课后习题：数列综合题和应用性问题。

第8讲-数列综合应用五(清北班专练)

第8讲-数列综合应用五冲刺满分学习提纲与学习目标1、数列创新题型2、难度：难（清北班和实验班同学）例1（复旦自招）已知*11,,1n n n a n N S n n++=∈=++ 。

【解】令*11,1n n b n N n n +-=∈++，{}n b 的前n 项和为n T ，显然，1n n n a b n n =++，22211n n n a b n n ++=++，故()22n n a b +=，得2n n a b +=，另外，易得()()()2221211n n n na b n n n n +--==+-++，故()21n n a b n n -=+-，由22n n n n a b S T n +=⇒+=，由()21n n a b n n -=+- n n S T ⇒-()211n =+-，故，()()221121122n n n n n S ++-++-==例2（多选）已知数列{}n a 满足101a <<，()()*11ln 2n n n a a a n N ++=-∈，n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论正确的是（）【附：ln 1x x ≤-，仅当1x =时取等号】 A ．()12n n n S +> B ．202212022a > C ． 01n a << D ．若113a =，则1132n n a -≥ 【解】由题意得()1ln 2n n n a a a -=-，故0n a >（如0n a ≤，则()ln 20n a ->，从而知10n a -≤，继续下去，会得到10a ≤，矛盾）；另外，如1n a ≥，则()ln 20n a -≤，由()1ln 2n n n a a a -=-得10n a -<，参照前面的讨论，最后会得到10a <，矛盾，故01n a <<，C 正确；由()()111ln 221n n n n n a a a a a +++=-<--()11n n a a +=- 11n n n n a a a a ++⇒+< 111111111n n n n n n a a a a a a +++⇒>=+⇒->，累加可得1111n n a a ->-，故1111n n n a a >+->，从而()12n n n S +>，A 对；由2022202211120222022n n a a a >⇒>⇒<，B 错；由于()11ln 21n n na a a ++=-<，故{}n a 为递减数列，从而11n a a +<，故 ()()1115ln 2ln 2ln 3n n n a a a a ++=->-=，考虑到 2.72e <，故51ln ln 32e >=，故112n n a a +>，从而11211211132n n n n n n a a a a a a a a ----⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故D 对；综上，选ACD 。

数列综合练习题以及答案解析

数列综合练习题一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．55．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣212．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．10117．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣100819．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．13620．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜121．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．5523．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．数列综合练习题答案与解析一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）【解答】解：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，∴，解得2＜a＜4．故选：C．2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）【解答】解：∵{a n}是递增数列，∴a n＞a n，+1∵a n=n2+λn恒成立即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3，故选D．3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负【解答】解：∵f（a11）＞f（0）=0，a9+a13=2a11＞0，a9＞﹣a13，∴f（a9）＞f（﹣a13）=﹣f（a13），f（a9）+f（a13）＞0，∴f（a9）+f（a11）+f（a13）＞0，故选：A．4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．5【解答】解：∵等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，∴a1a10=a2a9=…=a4a7=10，∴数列{lga n}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10=lga1a2…a10=lg105=5故选：D5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，首尾之间的数总是上一行对应的两个数的和，∴a=3+3=6；故选C．6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，+＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；②每一行都有2n﹣1个项，所以第10行有2×10﹣1=19项，得到第10行第一个项为100﹣19+1=82，所以第12项的项数为82+12﹣1=93；所以A（10，12）=a93=故选A．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）【解答】解：∵======﹣=﹣sin（4d），∴sin（4d）=﹣1，∵d∈（﹣1，0），∴4d∈（﹣4，0），∴4d=﹣，d=﹣，∵S n=na1+==﹣+，∴其对称轴方程为：n=，有题意可知当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜＜，解得π＜a1＜，故选：A．9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③【解答】解：不妨设等比数列{a n}中，a n=a1•q n﹣1，①∵f（x）=3x，∴====常数，故当q≠1时，{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=3x不是等比函数；②∵f（x）=，∴===，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=是等比函数；③∵f（x）=x3，∴=═q3，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=x3是等比函数；④f（x）=log2|x|，∴==，故{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=log2|x|不是等比函数．故其中是“等比函数”的f（x）的序号②③，故选：D．10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③【解答】解：设数列{a n}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=a n+1﹣a n不是常数，∴数列{lnf（a n）}不为等差数列，不满足题意；③由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；④由题意，lnf（a n）=ln（2a n），∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln（2a n+1）﹣ln（2a n）=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③④故选：C．11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2【解答】解：∵a1=1，a n+1=，∴=+3，即﹣=3，∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，∴a n=，故选：A．12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由已知可得﹣=﹣1，设b n=，则数列{b n}是以为首项，公差为﹣1的等差数列．∴b31=+（31﹣1）×（﹣1）=﹣，∴a31=﹣．故选：B．13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列【解答】解：对于A：设b n=，则==（）2=q2，∴{b n}成等比数列；正确；对于B：数列{2}，=2≠常数；不正确；对于C：当a n＜0时lga n无意义；不正确；对于D：设c n=na n，则==≠常数．不正确．故选A．14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．【解答】解：在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，可得a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由==（﹣），可得=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故选：A．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：A，B﹣A，C﹣B也成等差数列．∴2（B﹣A）=A+C﹣B，解得3（B﹣A）=C．故选：C．16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．101【解答】解：数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），前50项和T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197=（﹣1+5）+（﹣9+13）+（﹣17+21）+…+（﹣193+197）=4+4+4+…+4=4×25=100．故选：C．17．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．【解答】解：===2（）．数列1，，，…，的前n项和：数列1+++…+=2（1++…）=2（1﹣）=．故选：B．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣1008【解答】解：∵，n=2k﹣1（k∈N*）时，a n=a2k﹣1=（2k﹣1）=0．n=2k时，a n=a2k=2kcoskπ=2k•（﹣1）k．∴s2017=（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2016）=0+（﹣2+4﹣…﹣2014+2016）=1008．故选：B．19．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．136+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a16﹣a15=29．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前16项和为4×2+8×4+=136．故选：D．20．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜1【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，∵++…+=1﹣＜1，故反映这个命题本质的式子是++…+＜1，故选：D21．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）【解答】解：∵=+，a1=8，则数列{}为等差数列．∴=+（n﹣1）=（n+1）．∴a n=2（n+1）2．故选：A．22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．55【解答】解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x 的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为S n=，∴S10=45，故选C．23．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足，∴（sina4cosa7﹣sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，∴sina4cosa7﹣sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0即sin（a4﹣a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）当sin（a4﹣a7）=1时，∵a4﹣a7=﹣3d∈（0，3），a4﹣a7=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=2kπ+，d=﹣﹣π．∴d=﹣∵S n=na1+=n2+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴8.5＜﹣＜9.5，∴π＜a1＜故选：C二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，{b2n}是等比数列，公比为3，首项为1．﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．。

数列大题综合(含答案)

数列大题综合1．（2022春·广东深圳·高二翠园中学校考期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．（2022春·广东广州·高二校考期中）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，33a S =，244a a S =.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值3．（2022春·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为.n S (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．4．（2022春·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）设{}n a 是首项为1的等比数列，且1a 、23a 、39a 成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，求{}n S 的前n 项和n T ．5．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n b 的前n 项和分别为n T ，求n T ．6．（2022春·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，()122N n n a S n *+=+∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足()32log 1n n n b a a n *⎛⎫=⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n b 的前n 项和nT.7．（2022春·广东广州·高二统考期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，24a =，3424a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求证：12311113nd d d d ++++<L .8．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知数列{}n a 、{}n b 满足1233= nbn a a a a ，若数列{}n a 是等比数列，且13，=a 434=+b b ．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)令()21nn n b c n a =+，求{}n c 的前n 项和为n S .9．（2022春·广东佛山·高二校考期中）在等比数列{}n a 中，公比0q >，其前n 项和为n S ，且26S =，______．从①430S =，②6496S S -=，③3a 是3S 与2的等差中项这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设log 2n n a b =，且数列{}n c 满足11c =，11n n n n c c b b ++-=，求数列{}n c 的通项公式．10．（2022春·广东佛山·高二顺德市李兆基中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且220n n S a -+=，数列{}n b 为等差数列，11b a =，523b b b =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n c 是由数列{}n b 的项删去数列{}n a 的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列{}n c 的前50项和50T .11．（2022春·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足322n n S a =-，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设,2,n n a n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .12．（2022春·广东深圳·高二校考期中）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且3616a a +=，981S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，若715n T >，求n 的最小值．13．（2022春·广东深圳·高二深圳市建文外国语学校校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213n n S a +=．(1)证明数列{}n a 为等比数列，且求其通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．14．（2022春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列{}n a 中，12a =，*121(N )n n a a n n +=-+∈.(1)求2a ，并证明{}n a n -为等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .15．（2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区郑裕彤中学校考期中）已知数列{}n a 中，12a =，24a =，且()*2132n n n a a a n N ++=-∈.(1)设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是常数列；(2)求数列{}n a 的通项公式，并求数列{}n a 的的前n 项和；(3)设2sin cos log 22n n n n c a ππ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前2022项的和.16．（2022春·广东广州·高二执信中学校考期中）已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列，前n 项和为n S ，11a =，且2，31a -，63a -成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2n n n n b S n a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证12n T <.17．（2022春·广东汕头·高二校考期中）在①35a =，5722a a +=；②11a =，525S =；③2n S n =，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若______.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n 11n n C a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（2022春·广东·高二校联考期中）已知首项为2的数列{}n a 满足111,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记212,-==n n n n b a c a .(1)求证：数列{}n b 是一个等差数列；(2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .19．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，()*211n nb n a =∈-N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求100S .20．（2022春·广东江门·高二校联考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()1212n n S S n -=+≥.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b的前n 项和n T .21．（2022春·广东揭阳·高二普宁市华侨中学校考期中）已知Sn 为等差数列{an }的前n 项和，若a 3＋a 5＝5，S 4＝7．(1)求an ；(2)记bn ＝2221n n a a +⋅，求数列{bn }的前n 项和Tn .22．（2022春·广东佛山·高二校联考期中）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为1a 万平方公里，第n 年绿洲的面积为n a 万平方公里.(1)求第n 年绿洲的面积n a 与上一年绿洲的面积1n a -的关系；(2)证明：数列45n a ⎧⎫-⎨⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：lg 20.3010=）23．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n d 的前n 项和2n S n n =+，且2d ，4d 为等比数列数列{}n a 的第2、3项．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n nnb a =，求证：122n b b b +++< 24．（2022春·广东佛山·高二校联考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且342n n S a =-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()221log n n b n a =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T .25．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足，110a =，且210a +，38a +，46a +成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的通项公式为2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和．26．（2022春·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知数列{}n a 为单调递增的等比数列，且1432a a =，2312a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .27．（2022春·广东韶关·高二校考期中）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．28．（2022春·广东广州·高二广州市协和中学校考期中）已知等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，11a =，{}n b 为等比数列且各项均为正数，11b =，且满足：22337,22b S b S +=+=.（1）求n a 与n b ；（2）记12n nn na cb -⋅=，求{}nc 的前项和；（3）若不等式1(1)2nn n n m T --⋅-<对一切n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围.29．（2022春·广东广州·高二广州市育才中学校考期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，()*)n S n N ∈在函数2y x =的图象上，数列{}n b 满足()1*1622,n n n b b n n N +-=+∈，且113b a =+(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明列数12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；(3)设数列{}n c 满足对任意的*312123123,2222n n nn c c c c n N a b b b b +∈=+++⋯+++++均有成立，求1232010c c c c +++⋯+的值．30．（2022春·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．数列大题综合答案1．（2022春·广东深圳·高二翠园中学校考期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．n 0n 的前项和，33244(1)求数列{}n a的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值，n 满足：4，10，其前项和为n (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．n 是首项为1的等比数列，且1、2、3成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，求{}n S 的前n 项和n T ．5．（2022秋·广东广州·高二校考期中）已知数列n a 的前n 项和为n S ，且222n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n b 的前n 项和分别为n T ，求n T ．n 的前n 项和为n 1，()122N n n a S n *+=+∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}nb 满足()32log 1n n n b a a n *⎛⎫=⋅-∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n b 的前n 项和nT .n 的各项均为正数，2，34(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求证：12311113nd d d d ++++<L .n 、n 满足123nn n 是等比数列，且13，=a 434=+b b ．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)令()21nn n b c n a =+，求{}n c 的前n 项和为n S .n 中，公比，其前n 项和为n ，且2，______．从①430S =，②6496S S -=，③3a 是3S 与2的等差中项这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设log 2n n a b =，且数列{}n c 满足11c =，11n n n n c c b b ++-=，求数列{}n c 的通项公式．n 的前项和为n ，且n n ，数列{}n b 为等差数列，11b a =，523b b b =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n c 是由数列{}n b 的项删去数列{}n a 的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列{}n c 的前50项和50T .n 的前n 项和为n ，满足322n n Sa =-，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设,2,n n a n b n n ⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .n 前n 项和为n ，且36，9．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，若715n T >，求n 的最小值．n 的前n 项和为n ，且213n n S a +=．(1)证明数列{}n a 为等比数列，且求其通项公式；(2)若数列{}n b 满足n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．n 中，1，1n n +=-+∈.(1)求2a ，并证明{}n a n -为等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .n 中，1，2，且()*2132n n n a a a n N ++=-∈.(1)设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是常数列；(2)求数列{}n a 的通项公式，并求数列{}n a 的的前n 项和；(3)设2sin cos log 22n n n n c a ππ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前2022项的和.n 是公差大于1的等差数列，前项和为n ，11a =，且2，31a -，63a -成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2n n n n b S n a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证12n T <.3，57；②1，5；③n 条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若______.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n 11n n C a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（2022春·广东·高二校联考期中）已知首项为2的数列{}n a 满足11,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记212,-==n n n n b a c a .(1)求证：数列{}n b 是一个等差数列；(2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .19．（2022春·广东佛山·高二校考期中）已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，*21n n b n a =∈-N .(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求100S .n 的前项和为n ，且满足1，1n n -(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .35S 4＝7．(1)求an ；(2)记bn ＝2221nn a a +⋅，求数列{bn }的前n 项和Tn .年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为1a 万平方公里，第n 年绿洲的面积为n a 万平方公里.(1)求第n 年绿洲的面积n a 与上一年绿洲的面积1n a -的关系；(2)证明：数列45n a ⎧⎫-⎨⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：lg 20.3010=）n n S n n =+2，4列{}n a 的第2、3项．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n nnb a =，求证：122n b b b +++<n 的前项和为n ，且n n (1)求{}n a 的通项公式；(2)若()221log n n b n a =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n T .n 12，3，4成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的通项公式为2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和．【答案】(1)28n a n =+(2)()116272n n S n +=-++⋅【详解】（1）等差数列{}n a 的首项110a =，公差设为d ，由210a +，38a +，46a +成等比数列，则()()()23248106a a a +=+⋅+，即()()()2111281036a d a d a d ++=++⋅++，即()()()218220163d d d +=+⋅+，解得2d =，所以()1128n a a n d n =+-=+.n 14，2312a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .n 为等差数列，n 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．n 中，前项和为n ，1，n 为等比数列且各项均为正数，11b =，且满足：22337,22b S b S +=+=.（1）求n a 与n b ；（2）记12n nn na cb -⋅=，求{}nc 的前项和；（3）若不等式1(1)2nn n n m T --⋅-<对一切n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围.29．（2022春·广东广州·高二广州市育才中学校考期中）已知数列n 的前项和为n ，点，n 在函数2y x =的图象上，数列{}n b 满足()1*1622,n n n b b n n N +-=+∈，且113b a =+(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明列数12n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；(3)设数列{}n c 满足对任意的*312123123,2222n n nn c c c c n N a b b b b +∈=+++⋯+++++均有成立，求1232010c c c c +++⋯+的值．30．（2022春·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）已知数列{}n a 中，11a =，24a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．。

数列综合应用1

数列综合应用
例1.(1)已知数列{a n }满足 : a1 1, 2a n * a n+1 (n N ), 求an . 2+a n
(2)已知数列a n 满足：a1 =9,3a n+1 an 4, 求该数列的通项公式a n .
例2.(1)设数列{a n }、 {b n }都是等差数列, 且a1 5, b1 15, a100 +b100 100, 则数列{a n b n }的前100项的和是6000 (2)在等差数列{a n }中, 若Sn an 2 (a 25)n a 1,
n 2 n 1 1 1 (1)在等比数列{a n }中,a1 1,q , 则 3 (4 1) ; 2 i 1 a i a i 1
例3
1 1 (2)求和 1 2 2 3
1 ; n (n-1)
n 1 n
(3)数列3， 33， 333， 3333，的前n项和为
（1）设b n a n+1 2a n，求证{b n }为等比数列；
an （2）设c n n ，求证{c n }为等差数列； 2 （3）求数列{a n }的通项公式a n 和前n项和Sn .
作业：
课课练第12课时
2 1 2
b n 1.
2
例6.由数列{a n }构造一个新数列： a1，a 2 -a1，a 3 -a 2，，a n -a n-1，此数列是首项
1 为1，公比为等比数列. 3 （ 1）求数列{a n }的通项公式a n；
（2）求数列{a n }的前n项和Sn .
例7.已知数列{a n }的前n项和Sn 4n 则 |a i | 2 i 1 n 24n 144

《数列综合应用举例》教案

《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与性质1.1 数列的定义引导学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数。

通过实例让学生了解数列的基本形式，如等差数列、等比数列等。

1.2 数列的性质引导学生学习数列的基本性质，如数列的项数、首项、末项、公差、公比等。

通过实例让学生掌握数列的性质，并能够运用性质解决实际问题。

第二章：数列的求和2.1 等差数列的求和引导学生学习等差数列的求和公式，理解公差、首项、末项与求和的关系。

通过实例让学生掌握等差数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。

2.2 等比数列的求和引导学生学习等比数列的求和公式，理解公比、首项、末项与求和的关系。

通过实例让学生掌握等比数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。

第三章：数列的极限3.1 数列极限的概念引导学生理解数列极限的概念，理解数列极限与数列收敛的关系。

通过实例让学生了解数列极限的性质，如保号性、单调性等。

3.2 数列极限的计算引导学生学习数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。

通过实例让学生掌握数列极限的计算方法，并能够运用极限的概念解决实际问题。

第四章：数列的应用4.1 数列在数学分析中的应用引导学生学习数列在数学分析中的应用，如级数、积分等。

通过实例让学生了解数列在数学分析中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。

4.2 数列在其他学科中的应用引导学生学习数列在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。

通过实例让学生了解数列在不同学科中的作用，并能够运用数列解决实际问题。

第五章：数列的综合应用5.1 数列在经济管理中的应用引导学生学习数列在经济管理中的应用，如库存管理、成本分析等。

通过实例让学生了解数列在经济管理中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。

5.2 数列在工程科技中的应用引导学生学习数列在工程科技中的应用，如信号处理、结构分析等。

通过实例让学生了解数列在工程科技中的作用，并能够运用数列解决实际问题。

数列综合练习18讲(求通项、求和、数列性质、数列和不等式综合一应俱全)

目录第1讲累加法、累乘法、差商法求通项 .................................................................................................................................. 1 第2讲已知n S 求n a .......................................................................................................................................................................... 4 第3讲构造辅助数列求通项 ......................................................................................................................................................... 6 第4讲分组求和 ................................................................................................................................................................................ 7 第5讲裂项求和 ................................................................................................................................................................................ 9 第6讲倒序相加 .............................................................................................................................................................................. 11 第7讲等差绝对值求和 ................................................................................................................................................................. 13 第8讲错位相减求和 ..................................................................................................................................................................... 13 第9讲数列的通项与求和综合 ................................................................................................................................................... 15 第10讲数列单调性问题 .............................................................................................................................................................. 18 第11讲数列的奇偶性问题 .......................................................................................................................................................... 21 第12讲数列周期性问题 .............................................................................................................................................................. 23 第13讲数列最值问题 ................................................................................................................................................................... 24 第14讲数阵问题（数列群问题） ............................................................................................................................................ 26 第15讲创新型数列问题 .............................................................................................................................................................. 31 第16讲存在性问题（整除问题） ............................................................................................................................................ 33 第17讲简单的数列与不等式证明 ............................................................................................................................................ 36 第18讲数列与其他知识点综合 . (38)第1讲累加法、累乘法、差商法求通项题型1 累加法1．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若1111(2)3(2,*)n n n n n a a a a a n n N -+-++=∈，则数列{}n a 的通项n a = ． 2．若数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则1220172018201911111a a a a a ++⋯+++= ． 3．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，且*111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N -+-++=∈．（1）证明：数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列1{2n n a a +}n 的前n 项和．题型2 累乘法1．已知数列{}n a 满足11a =，且1(1)n n na n a +=+，则(n a = )A ．1n +B ．nC ．1n -D ．2n -2．已知数列{}n a 满足1(2)(1)n n n a n a ++=+，且213a =，则(n a = )A ．11n + B ．121n - C ．121n n -- D ．11n n -+ 3．已知数列{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，若数列{}n b 满足12nn n b b +=+，且12b =，则式子312123n nb b b b a a a a +++⋯+的值是( ) A ．122n n +- B ．(1)22n n -+ C ．(1)22n n +- D ．1(1)22n n +-+4．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，2，3，)⋯，则4a = ，n a = ． 5．已知数列{}n a 满足123a =，12n n na a n +=+，求通项公式n a ．6．已知数列{}n a 满足13a =，131(1)32n n n a a n n +-=+，求n a 的通项公式．题型3差商法1．已知数列{}n a 中，11a =，对所有*n N ∈，都有212n a a a n ⋯=，则3(a = )A ．32B ．3C ．9D ．942．已知数列满足11222()2n n na a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求证221n S n n +-．3．已知数列n a 满足21*123222()2n n na a a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S ． 4．已知数列{}n a 满足112324296n n a a a a n -+++⋯+=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2||(3log )3n n a b n =-，探求使123111116nm b b b b -+++⋯+>恒成立的m 的最大整数值． 5．已知数列{}n a 满足1231(1)(41)23(1)6n n n n n a a a n a na -+-+++⋯+-+=．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）若111nn i i i T a a =+=∑，则求出2020T 的值；（Ⅲ）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，设1n n c b λ+=，若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围6．已知数列{}n a 满足12a =，1121222(*)n n n n a a a na n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求:an （Ⅱ）求证：1223111132(*)61112n n a a a n n n N a a a +----<++⋯+<∈--- 7．已知数列{}n a 满足11121(22)2(*)n n n a a a n N n-+++⋯+=∈．（1）求1a ，2a 和{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S 对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围． 8．（1）设数列{}n a 满足211233333n n na a a a -+++⋯+=，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =，求数列{}n a 的通项公式．第2讲已知nS 求na1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n n a =B ．3122n n n a n =⎧=⎨⎩C ．12n n a -=D ．12n n a +=2．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =-，1n n a S +=，那么5(a = ) A ．4-B ．8-C ．16-D ．32-3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N +=∈，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．*2()n a n n N =∈B ．*2()n n a n N =∈C ．*2()n a n n N =+∈D ．2*()n a n n N =∈4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式(n a = ) A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，2121(*)n n a S n n N +=++∈，若对任意的*n N ∈，123111120nn a n a n a n a λ+++⋯+-++++恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．(-∞，2] B ．(-∞，1]C ．1(,]4-∞D ．1(,]2-∞6．已知数列{}n a 满足：12a =，21(1)0(*)n n n a S S n N ++-=∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意的n 均有12(1)(1)(1)n S S S n ++⋯+恒成立，则的最大整数值为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22(*)n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a = ．设211(1)nn n n n a b a a ++=-，则数列{}n b 的前n 项和n T = ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n nS S S n ++⋯+=+，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231122n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式n a = ．11．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则n a = ．12．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2*1441,n n a S n n N +=++∈，且2a ，5a ，14a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，不等式3()362n T k n +-恒成立，则实数k 的取值范围是．13．已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2*42()n nn S a a n N =+∈，则n a = ． 14．数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，其前n 项和为n S ，则（1）13599a a a a +++⋯+= ；（2）4n S = ．15．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意*n N ∈，1(1)32n n n nS a n =-++-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是．16．设数列{}n a 前n 项和n S ，且11a =，2{}n n S n a -为常数列，则n a = ．17．已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意2n ，均有34n S -、n a 、13122n S ---成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 18．设a R ∈，函数()f x lnx ax =-．（1）若3a =，求曲线()y f x =在(1,3)P -处的切线方程；（2）求函数()f x 单调区间．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(*)n n S a n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log ()n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：121111nT T T ++⋯+<． 20．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足22()0nn S n n S -+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：1n T <．21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*1(,)n S n n a a R n N =+++∈∈．（1）若2a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 是等差数列，11n n n a b n S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在*n N ∈，使得13(1)n n n T S a +=+？若存在，求出所有满足条件的n 的值；若不存在，请说明理由． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ． 23．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，对任意的*n N ∈都有2232n n n S a a =+-．数列{}n b 各项都是正整数，11b =，24b =，且数列12,b b a a ，3,,n b b a a ⋯是等比数列．（1）证明：数列{}n a 是等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式n b ；（3）求满足124n n S b <+的最小正整数n ． 24．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，都有24(1)n n S a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n e tS 对任意的*n N ∈恒成立，求实数t 的最大值．25．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的n N +∈，有3322n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3311log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n s 是数列{}n a 的前n 项和，对任意的*n N ∈，有222()n n n s pa pa p p R =+-∈．（1）求常数p 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．第3讲构造辅助数列求通项1．已知数列{}n a 满112,413n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式为．2．已知数列{}n a 的首项12a =，1122n n n a a ++=+，则{}n a 的通项n a = ．3．数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为．变式：已知数列{}n a 中12a =，312n n a a +=，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为．4．已知数列{}n a 满足12a =，且*112(2,)1n n n na a n n N a n --=∈+-，则n a = ．5．已知数列{}n a 满足1a a =，*121()n n a a n N +=+∈．（1）若数列{}n a 是等差数列，求通项公式n a ；（2）已知2a =，求证数列{1}n a +是等比数列，并求通项公式n a ． 6．已知数列{}n a 满足：132a =，且*113(2,)21n n n na a n n N a n --=∈+-．（1）求1212nna a a ++⋯+的值；（2）求证：*2151()263n n a a a n n N n++⋯++-∈；（3）设*()nn a b n N n=∈，求证：122n b b b ⋯<．第4讲分组求和1．数列1，1，2，3，5，8，13，21，⋯最初是由意大利数学家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某校数学兴趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列{}:1n a ，2，1，6，9，10，17，⋯，设数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）请计算123a a a ++，234a a a ++，345a a a ++．并依此规律求数列{}n a 的第n 项n a = ．（2）31n S += ．（请用关于n 的多项式表示，其中2222(1)(21)123)6n n n n +++++⋯+=2．求数列的前n 项和：2111111,4,7,,32,n n a a a-+++⋯+-⋯．3．数列{}n a 中，*1112,,()22n n n a a a a n N n +-=-=∈+，n P 为抛物线24y x =与直线n y a =的交点，过n P 作抛物线的切线交直线1x =-于点n Q ，记n Q 的纵坐标为n b ．（Ⅰ）求n a ，n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．（附2222(1)(21):123)6n n n n +++++⋯+=4．已知数列{}n a 满足11a =，2*12(1)()n n na n a n n n N +-+=+∈．（1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列：（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．5．已知正项数列{}n a 的前三项分别为1，3，5，n S 为数列的前n 项和，满足：22321(1)(1)(3)(n n nS n S n n An Bn A +-+=+++，B R ∈，*)n N ∈．（1）求A ，B 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足122(1)()222n n nb b b n a n N ++=++⋯+∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（参考公式：222112(1)(21))6n n n n ++⋯+=++6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，45627a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b a =，求数列{}n b 前n 项和n T ．参考公式：222(1)(21)126n n n n ++++⋯⋯+=．7．已知数列{}n a 的前n 项和为3n n S =，数列{}n b 满足11b =-，*1(21)()n n b b n n N +=+-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n b 的通项公式n b ；（3）求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考公式：22221123(1)(21)6n n n n +++⋯+=++．8．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)32(32)n n a nn a b n n -=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)22n n a n nnb a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．已知数列{}n a 满足*1(1)(1)()n n nS n S n n n N +=+++∈，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(2)1(1)(1)(1)n n n n a b n n n ++=≠+-，记23n n T b b b =++⋯+，求n T ．11．在数列{}n a 中，13a =，12(2)(2n n a a n n -=+-，*)n N ∈．（1）求证：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的与前n 项和n S ．12．单调递增数列{}n a 满足21231()2n n a a a a a n +++⋯+=+．（1）求1a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设111,21,n n n a n a n c a n -+-⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．13．已知数列{}n a 和{}n b 满足122n b n n a a a -⋯=，若{}n a 为等比数列，且11a =，212b b =+．（1）求n a 与n b ；（2）设1*12()()2(1)n n c n N n n -=-∈+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．第5讲裂项求和1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912162a a =+，24a =，则数列1{}n S 的前20项的和为( )A ．1920B ．2021C ．2122D ．22232．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)2n n n S +=，则数列11{}n n a a +的前10项的和为．3．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11{}n na a -+的前n 项和为5，则n = ． 4．已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2n n n n a a n n a +-==-，3，4，)⋯．（1）求3a 、4a 的值；（2）设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式；（3）设*1sin 3()cos cos n n n c n N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n n a a =+，33S =，数列{}n b 为等比数列，13310b b a +=，24610b b a +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若11(1)(1)(1)n n n n n b c b b b -+=+++，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求使得2116n T λλ<-恒成立的实数λ的取值范围．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5125S S =，212n n a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b a =，且n b ，2n ，*n N ∈，求证：{}n b 的前n项和n T <．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ． 8．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足11a =，*11,n a n N +=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足214n n n n b a a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*n N ∀∈，不等式0n T na -<恒成立，求实数a 的取值范围．9．等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11(1)(1)n n n n a b a a ++=--，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．10．已知数列{}n a 满足21*123444()4n n na a a a n N -+++⋯+=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设421n nn a b n =+，求数列1{}n n b b +的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足113,144,2n n n S a a n -=⎧=⎨++⎩．（1）设12n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若2log n C =，数列11{}n n C C +的前n 项和为n T ，求证：423n T <．12．已知数列{}n a 满足123a =，*113()2n n n n a a a a n N ++-=∈．（1）求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列1{}n n a a +的前n 项和，证明：49n S <．13．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，并且11a =，对任意正整数n ，142n n S a +=+；设12(1n n n b a a n +=-=，2，3，)⋯．()I 证明数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式； ()II 设21221,3n n n n n b C T log C log C ++⎧⎫=⎨⎬⋅⎩⎭为数列的前n 项和，求n T ． 14．设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项；（2）若(2)(1)n n n n b c b b =--，数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：213n T <．15．设数列{}n a 为等差数列，{}n b 为单调递增的等比数列，且12327a a a ++=-，123512b b b =，112233||a a b b a a +=+=+（1）求22a b +的值及数列{}n a ，{}n b 的通项；（2）若(2)(1)nn n n b c b b =--，求数列{}n c 的前n 项和n S ．第6讲倒序相加1．已知函数21()1f x x =+，则111(2016)(2015)(2)()()()220152016f f f f f f ++⋯+++⋯++的值为( ) A ．2014B ．2015C ．2016D ．20172．已知函数3()(1)2f x x =-+，数列{}n a 为等比数列，0n a >，且1009a e =，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，则122017()()()(f lna f lna f lna ++⋯+= ) A ．20172B ．2017C ．4034D ．80683．已知函数1()log (0,1)21a x f x a a x=+>≠-，正项等比数列满足1009a =且13n a <<．则313232017(log )(log )(log )f a f a f a ++⋯+等于( )A ．1008B ．110082C ．110092D ．10094．已知函数()f x 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，且10090a >，则12320162017()()()()()f a f a f a f a f a +++⋯⋯++的值( )A ．恒为负数B ．恒为正数C ．恒为0D ．可正可负5．已知函数3()3(5)28f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，122017()()()4034f a f a f a ++⋯+=，则1009()f a 的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．56．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120190lga lga +=，若22()1f x x =+，则122019()()()(f a f a f a ++⋯+= )A ．2018B ．4036C ．2019D ．40387．如果函数221()1x f x x -=+，那么111(1)(2)(2015)()()()232015f f f f f f ++⋯++++⋯+的值为．8．已知函数22()1x f x x =+，那么1()()f x f x+= ，f （1）f +（2）f +（3）111(2015)()()()232015f f f f +⋯++++⋯+=． 9．已知函数()1xx e f x e =+，数列{}n a 为等比数列，0n a >，且10091a =，则122017()()()f lna f lna f lna ++⋯+= ．10．设函数21()212x x f x =-+，数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足122019()()()0f a f a f a ++⋯+=，则10091011a a = ．11．已如函数1()1x x e f x e -=+，()(1)1g x f x =-+，*12321()()()()()n n a g g g g n N n n n n-=+++⋯+∈，则数列{}n a 的通项公式为．12．任意实数a ，b ，定义,0,0ab ab a b a ab b⎧⎪=⎨<⎪⎩⊕，设函数()f x lnx x =⊕，正项数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且10101a =，12320192020()()()()()f a f a f a f a f a e +++⋯++=-，则2020a = ． 13．已知函数22()log (1)log (1)f x x x =--+ （1）求函数的定义域；（2）求1111()()()()2014201520142015f f f f ++-+-的值．14．已知：()1x f x x =+，求111()()()201520142f f f f ++⋯++（1）(0)f f ++（1）f +（2）(2015)f ⋯+ 15．已知函数22()1x f x x =+．（1）求f （2）与1()2f ，f （3）与1()3f ；（2）由（1）中求得的结果，你能发现()f x 与1()f x 的关系吗？并证明你的发现；（3）求f （1）f +（2）f +（3）111(2015)()()()232015f f f f +⋯++++⋯+的值．第7讲等差绝对值求和1．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且35a =，99S =，数列||n n b a = （1）求{}n a 的通项公式（2）求数列n b 的前n 项和n T ．2．已知等差数列{}n a 的公差不为零，111a =，且2a ，5a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设123||||||||n n S a a a a =+++⋯+，求n S ．3．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =且23125(22)a a a =+．（1）求d ，n a ．（2）若0d <，求123||||||||n a a a a +++⋯+．4．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列．（1）求d ，n a ；（2）若0d <，求12||||||n a a a ++⋯+．5．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，110a =．（1）求d ，n a ；（2）求1220||||||a a a ++⋯+．6．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且12a ，222a +，351a -成等比数列．（1）求d ，n a ；（2）若0d <，求123||||||||n a a a a +++⋯+第8讲错位相减求和1．已知{}n a 为等比数列，11a =，427a =；n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，13b =，535S =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n 满足(*)nn n a b n N =∈，求数列{}n 的前n 项和n T ．2．{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为*(),{}n n S n N b ∈是等差数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令22,,n n n n nn b b c a b n +⎧⎪⋅=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和为2n Q ；（3）若(32)n n C n a =-则数列{}n c 前n 项和n T ①求n T②若对2n ，*n N ∈任意，均有2(5)63135n T m n n --+恒成立，求实数m 的取值范围（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？（5）将数列{}n a ，{}n b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：1a ，1b ，2b ，2a ，3a ，3b ，4b ，4a ，5a ，5b ，6b ，⋯，求这个新数列的前n 项和n P（6）设2,2(log 1),2k n n kn n b n d b b n ⎧≠⎪=⎨+=⎪⎩，其中*k N ∈，求2*1()ni i d n N =∈∑ （7）是否存在新数列{}n c ，满足等式11122nn i n i i b c n ++-==--∑成立，若存在，求出数列{}n c 的通项公式；若不存在，请说明理由．（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？3．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且535S =，1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：122313131n n n b b ba =++⋯++++，求数列{}nb 的通项公式；（3）令(1)4n nn a b c -=，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且534a a -=，535S =，等比数列{}n b 满足231b a =+，371b a =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求21321n n a b a b a b +++⋯+的值．5．设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知13a =，23227a a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且534a a -=，535S =，等比数列{}n b 满足231b a =+，371b a =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求22221321n n a b a b a b +++⋯+的值．7．已知在等差数列{}n a 中，34a =前7项和等于35，数列{}n b 中，点(n b ，)n s 在直线220x y +-=上，其中n s 是数列{}n b 的前n 项和*()n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）设n n n c a b =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T 并证明；4532n T <． 8．已知各项都为整数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S =，且2a ，31a +，6a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设3n n n a b =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：54nT <． 9．已知等差数列{}n a 的公差0d >，且1611a a =，3412a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列112{}2n nn a a ++-的前n 项和n T ． 10．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，4a 是1a 与3a 的等比中项，55S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11nS nn n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410s b -= （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设nn n a b =，求数列{}n 的前n 项的和n T ．第9讲数列的通项与求和综合1．已知数列{}n a 的通项公式是12n n a -=，数列{}n b 的通项公式是3n b n =，令集合1{A a =，2a ，⋯，n a ，}⋯，1{B b =，2b ，⋯，n b ，}⋯，*n N ∈．将集合AB 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n c ．则数列{}n c 的前28项的和28S = ． 2．已知数列{}n a 满足1231232222n nn a a a a +++⋯+=----，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令11(2)(2)n n n b a a +=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．3．已知数列{}n a 满足1231(1)(41)23(1)6n n n n n a a a n a na -+-+++⋯+-+=．（1）求n a （2）求数列11{}n n a a +的前n 项和n T （3）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，设1n n c b λ+=，若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围4．（1）已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，求通项公式n a ；（2）在数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +-=+，求数列的通项n a ；（3）在数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=，求{}n a 的通项公式n a ．（4）已知在每项均大于零的数列{}n a 中，首项11a =，且前n 项和n S满足*n S S n N -∈，2)n ，求n a ．5．（1）在数列{}n a 中，12a =，132n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）已知数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）已知数列{}n a 满足2121233331n n a a a a n -+++⋯+=+，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式n a ；（4）已知数列{}n a 满足112,1,2n n n a n a a n ++-⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且11a =，求数列{}n a 的通项公式n a ．6．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，并且1(1)(3)4n n n S a a =-+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知数列{}n b 满足12(41)(41)na n n nb +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H 型数列”．（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，且其前n 项和n S 满足2*()n S n n n N <+∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”， 23n n b a =，5(1)2n n n a c n -=+，当数列{}n b 不是“H 型数列”时，试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由．8．已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c ，且1n n n b a a +=-，*1()n n n c b b n N +=-∈．若{}n b 是一个非零常数列，则称{}n a 是一阶等差数列，若{}n c 是一个非零常数列，则称{}n a 是二阶等差数列．（Ⅰ）已知11a =，11b =，1n c =，试写出二阶等差数列{}n a 的前五项；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：222n n n a -+=；（Ⅲ）若{}n a 的首项12a =，且满足1*132()n n n n c b a n N ++-+=-∈，判断{}n a 是否为二阶等差数列． 9．在等差数列{}n a 中，已知23a =，78a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n S ，若512n S =，求n 的值． 10．设数列{}n a 满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈均在直线21y x =+上．（1）证明数列{1}n a +等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）若2log (1)n n b a =+，求数列{(1)}n n a b +的前n 项和n T ．11．已知正项数列{}n b 满足2211111,2n n n n n nb b b b b b b +++=--=+．若数列{}n a 满足11211111,()(2n n n a a b n b b b -==++⋯+且*)n N ∈ （1）求数列{}n b 的通项公式n b ；（2）证明：1*322(4,)n n a n n N ->-∈；（3）求证：*1211110(1)(1)(1)()3n n N a a a ++⋯+<∈． 12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(21)(21)3nn n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．13．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令211441(1)n n n n n n b a a -++-=-，求数列{}n b 的前n 项和2n T ；（Ⅲ）若对于*n N ∀∈，2222n T λλ<--恒成立，求λ范围． 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163(*)n n S a n N +=+∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若(31)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163()n n S a a N ++=+∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设122233(1)(221)(2)(1)n n n n n n b log a log a --++=++，求{}n b 的前n 项和n T ． 16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1*63()n n S a n N +=+∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若32(31)log n n n b n a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n +，n S ，a 成等差数列*()n N ∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若21(21)log ()n n n b n a a +=+，求数列1{}nb 的前n 项和n T ．18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n +，n S ，a 成等差数列*()n N ∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若21(1)log ()n n n b an a a +=-，求数列1{}nb 的前n 项和n T ．第10讲数列单调性问题1．已知数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*n N ∈，在数列{}n a 中，2163n n a n =-，设数列{}n b 中的最小项是第k 项，则k 等于( )A ．30B ．28C ．26D ．242．在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103B ．8658C ．8258D ．1083．设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(2,3)C ．9(,3)4D ．(1,2)4．已知{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是．5．已知数列{}n a 是递增数列，且对于任意的n N +∈，223n a n n λ=++恒成立，则实数λ的取值范围是． 6．已知数列{}n b 满足113(1)2n n n n b λ-+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，则实数λ的取值范围．7．数列{}n a 满足1232()n n a a a a n a n N ++++⋯=-∈．数列{}n b 满足2(2)2n n nb a -=-，则{}n b 中的最大项的值是．8．已知数列{}n a ，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=，（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若24()n n a b n =，求数列{(1)}nn b -的前n 项和n T ；（Ⅲ）设2()n nnna λ=-，若数列{}n 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．9．已知数列{}n a 中，2(a a a =为非零常数），其前n 项和n S 满足：*1()()2n n n a a S n N -=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2a =，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +的最大项恰为第32p -项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． 10．设数列{}n a 满足：10a =，1(1)3n n n a a n +=++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设434n n na b +=，求数列{}n b 中的最大项的值．11．已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为0的函数，对任意实数x ，y 有()()()f x f y f x y =+，当0x >时，有0()1f x <<．（Ⅰ）求(0)f 的值，并证明()f x 恒正；（Ⅱ）判断()f x 在实数集R 上单调性；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，113a =，()(n a f n n =为正整数）．令()n nb f S =，问数列{}n b 中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由． 12．已知数列{}n a 满足：123n n a a a a n a +++⋯+=-，(1n =，2，3，)⋯．（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）令(2)(1)(1n n b n a n =--=，2，3)⋯，求数列{}n b 的最大项的值；（3）对第（2）问中的数列{}n b ，如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +，求实数t 的取值范围．13．已知无穷数列{}n a 满足：10a =，2*1(n na a c n N +=+∈，)c R ∈．对任意正整数2n ，记{|n M c =对任意{1i ∈，2，3，}n ⋯，||2}i a ，{|M c =对任意*i N ∈，||2}i a ．（Ⅰ）写出2M ，3M ；（Ⅱ）当14c >时，求证：数列{}n a 是递增数列，且存在正整数，使得c M ∉；（Ⅲ）求集合M ．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a a =+，*n N ∈，0a ≠．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T 满足3n n n T a =+． ①若1a =，求证：123111134n T T T T +++⋯+<； ②若数列{}n b 为递增数列，求a 的范围．15．若数列{}n a 的每一项都不等于零，且对于任意的*n N ∈，都有2(n na q q a +=为常数），则称数列{}n a 为“类等比数列”．已知数列{}n b 满足：1(,0)b b b R b =∈≠，对于任意的*n N ∈，都有112n n n b b ++⋅=．（1）求证：数列{}n b 是“类等比数列”；（2）求{}n b 通项公式；（3）若{}n b 是单调递增数列，求实数b 的取值范围．16．已知数列{}n a 的前n 项和为22n a S n =．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）试讨论数列{}n a 的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．17．已知函数22()1x f x x =+，()n a f n =．（1）求证：对任意*n N ∈，1n a <；（2）试判断数列{}n a 是否是递增数列，或是递减数列？18．已知数列{}n a 满足：11a =，1||n n n a a p +-=，*n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令1()n n n c n a a +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．第11讲数列的奇偶性问题1．已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，则2018(a = ) A ．20182019⨯B ．20172018⨯C ．20162017⨯D ．20182018⨯2．已知数列{}n a 满足1a l =，221(1)n n n a a -=+-，2123n n n a a +=+ *()n N ∈，则数列{}n a 的前2017项的和为()A ．100332005-B ．201632017-C ．100832017-D ．100932018-3．数列{}n a 满足1(1)(21)n n n a a n ++=--，则{}n a 的前60项和为( ) A ．1710-B ．1740-C ．1770-D ．1800-4．数列{}n a 满足*1(2|sin |1)2,2n n n a a n n N π+=-+∈，则数列{}n a 的前60项和为( ) A ．1860B ．5100C ．3720D ．9305．已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则2016(S = ) A ．201621-B ．1008323⨯-C ．1008321⨯-D ．2016322⨯-6．已知数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，若11a =，则3a = ，前60项的和为． 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，(1)21(1)n n n n a a n +++=-，20171008S =，则2a 的值为．8．已知数列{}n a 满足2(4)cos n a n n n π=+，则{}n a 的前50项的和为．9．已知函数2()cos()f n n n π=，数列{}n a 满足()(1)()n a f n f n n N +=++∈，则122n a a a ++⋯+= ． 10．已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n N ∈．（1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值；（2）设212n n na b -=，212333n n n S b b b =++⋯+，试求2020S ；（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系．11．已知数列{}n a 的通项公式为1,1,n n a n n ⎧=⎨-⎩为正奇数为正偶数．（1）写出这个数列的前6项，并画出图象；（2）判断7是该数列的第几项？12．已知数列{}n a 满足：1221,2222n n nn a n a n a n +⎧+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为正奇数为正偶数．（Ⅰ）问数列{}n a 是否为等差数列或等比数列？说明理由；（Ⅱ）求证：数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}2n a 的通项公式；（Ⅲ）设21n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．13．已知数列{}n a 满足：11a =，10.5,2,n n n a n n a a n n ++⎧=⎨-⎩为正奇数为正偶数，22n n b a =-；（1）求2a 、3a 、4a ；（2）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项公式；（3）求和242n n T a a a =++⋯+； 14．（1）设函数1()()2x g x x R -=∈，且数列{}n c 满足11c =，1()(n n c g c n N -=∈，1)n >；求数列{}n c 的通项公式．（2）设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且37462825a a b b b b +=++，127n n S An T n +=+，26S =；求常数A 的值及{}n a 的通项公式．（3）若()()n n na n d c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为正奇数为正偶数，其中n a 、n c 即为（1）、（2）中的数列{}n a 、{}n c 的第n 项，试求12n d d d ++⋯+．第12讲数列周期性问题1．已知数列{}n a 满足13a =，28a =，2n a +等于1n n a a +的个位数，则2020(a = ) A ．2B ．4C ．6D ．82．已知数列{}n a 满足：*11(2,)n n n a a a n n N +-=-∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019(S = )A ．3B ．4C ．1D ．03．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项的积为n T ，则2020(T = )A ．1B ．6-C ．2D ．34．已知数列{}n a 满足11(2)n n n a a a n +-=-，1a m =，2a n =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2017S 的值为()A ．2017n m -B ．2017n m -C ．mD ．n5．已知数列{}n a 满足11(n n n a a a n N +-+=-∈且2)n ，若11a =，23a =，12n n S a a a =++⋯+，则下列结论中正确的是( ) A ．20151a =，20152S = B ．20153a =-，20152S =C ．20151a =-，20152S =D ．20153a =，20152S =6．已知数列{}n a 满足11a =，23a =，11n n n a a a +-=，(2)n ，则2013a 的值等于( ) A ．3B ．1C ．13D ．201337．已知数列{}n a 满足11(2)n n n a a a n +-=-，11a =，23a =，记12n n S a a a =++⋯+，则下列结论正确的是()A ．1001a =-，1005S =B ．1003a =-，1005S =C ．1003a =-，1002S =D ．1001a =-，1002S =8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11(2)n n n a a a n +-=-，11a =，22a =，则2018S = ． 9．已知数列{}n a 满足条件：112a =，111n n a a +=-，则对任意正整数n ，132n n a a ++=的概率为．10．若数列{}n a 满足12a =，111n n a a -=-，(2n =，3，4，)⋯，且有一个形如1)2n a n ωϕ++的通项。

综合算式专项练习数列的通项公式

综合算式专项练习数列的通项公式综合算式专项练习：数列的通项公式在数学中，数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

经常我们需要找到它们的通项公式以便于进一步计算。

本文将介绍数列的基本概念，并提供一些综合算式专项练习，帮助读者掌握数列的通项公式。

一、数列的定义与分类数列指的是按照一定顺序排列的一系列数。

通常用字母表示数列中的第几个数，如：a₁, a₂, a₃, ..., aₙ根据数列的性质，我们可以将数列分为以下几类：1. 等差数列：相邻两项之间的差值恒定。

2. 等比数列：相邻两项之间的比值恒定。

3. 斐波那契数列：每一项是前两项的和。

4. 平方数列：数列中的项依次取平方根得到的新数列。

二、数列的通项公式数列的通项公式可以用数列中的项和项数来表示。

在找到数列的通项公式后，我们可以根据具体需求计算数列中任意项的值，或者求解数列中某一部分项的和。

1. 等差数列的通项公式对于等差数列 a₁, a₂, a₃, ..., aₙ其通项公式可表示为 aₙ = a₁ + (n - 1)d其中 a₁为首项，d 为公差，n 为第 n 个数。

2. 等比数列的通项公式对于等比数列 a₁, a₂, a₃, ..., aₙ其通项公式可表示为 aₙ = a₁ * r^(n - 1)其中 a₁为首项，r 为公比，n 为第 n 个数。

3. 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是一个特殊的数列，其通项公式可表示为 Fₙ =Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂其中 F₁ = 1，F₂ = 1 是斐波那契数列的前两项。

4. 平方数列的通项公式平方数列的通项公式可表示为 aₙ = n^2三、综合算式专项练习接下来，我们将提供一些综合算式的专项练习，帮助读者熟悉数列的通项公式的应用。

1. 请推导等差数列 2, 5, 8, ... 的通项公式，并计算第 10 项的值。

解析：根据等差数列的通项公式可知 aₙ = a₁ + (n - 1)d。

首项 a₁ = 2，公差 d = 3。

考编八大序列 -回复

考编八大序列-回复序列是数学中的概念之一，它是由有限或无限多个数按照一定的规律排列而成的。

在考编中，序列是一个非常重要的知识点，经常出现在数列、等差数列、等比数列等各种题目中。

本文将以“考编八大序列”为主题，一步一步回答相关的问题。

一、数列是什么？数列是指按照一定顺序排列的一列数，记作{a₁，a₂，a₃，a₄...}，其中a₁，a₂，a₃，a₄...称为该数列的项。

二、等差数列是什么？等差数列是指数列中任意相邻两项之差都相等的数列。

记作{a₁，a₂，a₃，a₄...}，其中a(n) - a(n-1) = d。

d称为公差。

三、等比数列是什么？等比数列是指数列中任意相邻两项之比都相等的数列。

记作{a₁，a₂，a₃，a₄...}，其中a(n) / a(n-1) = q。

q称为公比。

四、如何求等差数列的前n项和？等差数列的前n项和可以通过以下公式求得：Sn = (a₁+an)*n / 2。

五、如何求等比数列的前n项和？等比数列的前n项和可以通过以下公式求得：Sn = (a₁(1-qⁿ)) / (1-q)，其中q不等于1。

六、什么是斐波那契数列？斐波那契数列是指一个数列中，第3项开始每一项都等于前两项之和。

常见的斐波那契数列为：1，1，2，3，5，8，13...。

七、如何求斐波那契数列的第n项？斐波那契数列的第n项可以通过递推公式求得：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。

八、什么是调和数列？调和数列是指数列中每一个数的倒数构成的数列。

常见的调和数列为：1，1/2, 1/3, 1/4, 1/5...总结：数学中的序列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列和调和数列等。

等差数列中相邻两项之差相等，等比数列中相邻两项之比相等，斐波那契数列中每一项都等于前两项之和，调和数列中每一个数的倒数构成。

在考编中，这些序列经常出现，通过掌握各种序列的定义、求和公式以及递推公式，可以更好地解决相关题目。

MBA联考决胜系列八数列

MBA联考决胜系列八数列等差数列1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为A、89B、-101C、101D、-892．等差数列{a n}中，a15=33，a45=153，则217是这个数列的（）A、第60项B、第61项C、第62项D、不在这个数列中3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为A、4B、5C、6D、不存在4、等差数列{a n}中，a1+a7=42，a10-a3=21，则前10项的S10等于（）A、720B、257C、255D、不确定5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么a ：b 等于（）A、B、C、或1 D、6、已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数列{C n}，其通项公式为（）A、C n=4n-3B、C n=8n-1C、C n=4n-5D、C n=8n-97、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（）A、6项B、8项C、10项D、12项8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，则数列{a n+b n}的前100项和为（）A、0B、100C、10000D、5050009、在等差数列{a n}中，a n=m，a n+m=0，则a m= ______。

10、在等差数列{a n}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______ 。

11、在等差数列{a n}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到a30的和是______ 。

12、已知等差数列110，116，122，……，则大于450而不大于602的各项之和为______ 。

13、已知等差数列{a n}的公差d=，前100项的和S100=145,求：a1+a3+a5+……+a99的值14、已知等差数列{a n}的首项为a，记，已知{a n}的前13项的和与{b n}的前13的和之比为 3 ：2，求{b n}的公差。

初二数学下册综合算式专项练习题数列的通项与特殊性质分析

初二数学下册综合算式专项练习题数列的通项与特殊性质分析数列是初中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中有广泛的应用。

而数列的通项和特殊性质是数列研究中的重要内容。

本文将针对初二数学下册综合算式专项练习题中涉及到的数列问题，进行通项与特殊性质的分析。

一、等差数列的通项与特殊性质等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

在综合算式的专项练习题中，常常会涉及到等差数列的求和、求某一项的值等问题。

对于等差数列，有以下几个重要的概念和性质。

1. 通项公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。

等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d通过这个通项公式，我们可以方便地求解等差数列中任意一项的值。

2. 求和公式对于等差数列的前n项和，可以使用求和公式来计算。

求和公式如下：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2其中Sₙ表示前n项的和。

通过求和公式，我们可以直接得到等差数列前n项的和，而无需逐个相加。

3. 特殊性质等差数列中有一些特殊性质：（1）差数列的性质：差数列指相邻两项之间的差的数列。

对于等差数列来说，差数列是一个等差数列。

例如，等差数列1, 4, 7, 10, ...的差数列为3, 3, 3, ...，也是一个等差数列。

（2）公共项性质：两个等差数列如果有公共项，那么这些公共项也构成一个等差数列。

例如，数列1, 4, 7, 10, ...和数列2, 5, 8, 11, ...的公共项是4, 10, 16, ...，也构成一个等差数列。

（3）倒序性质：等差数列的倒序数列也是一个等差数列。

例如，数列1, 4, 7, 10, ...的倒序数列为..., 10, 7, 4, 1，也是一个等差数列。

通过以上的分析，我们可以更好地理解等差数列的通项与特殊性质，并能够在综合算式的专项练习题中灵活应用。

二、等比数列的通项与特殊性质等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

在综合算式的专项练习题中，也有一些涉及到等比数列的问题。

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