最新8 数列综合
高三数学数列综合应用试题答案及解析
高三数学数列综合应用试题答案及解析
1.已知数列{a
n }中，a
1
＝2，a
n
－a
n
－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．
(1)写出a
2，a
3
的值(只写结果)，并求出数列{a
n
}的通项公式；
(2)设b
n
＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt
＋>b
n
恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）a
2＝6，a
3
＝12. a
n
＝n(n＋1)．
（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】解：(1)∵a
1＝2，a
n
－a
n
－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，
∴a
2＝6，a
3
＝12.
当n≥3时，a
n －a
n
－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，
又a
3－a
2
＝2×3，a
2
－a
1
＝2×2，
∴a
n －a
1
＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，
∴a
n
＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．
当n＝1时，a
1＝2；当n＝2时，a
2
＝6，也满足上式，
∴数列{a
n }的通项公式为a
n
＝n(n＋1)．
(2)b
n
＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－＝－
＝
＝.
令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x)
min
＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(b
n )
max
＝.
要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>b
n
恒成立，则需t2－2mt＋
>(b
n )
max
＝，
即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，
∴，解得t>2或t<－2，
∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
数列与函数不等式综合应用及数列模型应用PPT课件
〔备选题〕例4已知正项数列{an}的首项 a1＝12， 函数 f(x)＝1＋x x. (1)若正项数列{an}满足 an＋1＝f(an)(n∈N*)，证明{a1n} 是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)若正项数列{an}满足 an＋1≤f(an)(n∈N*)，数列{bn} 满足 bn＝n＋an 1，证明：b1＋b2＋…＋bn<1.
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1．建立数学模型的三关 (1)整理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打 开突破口； (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达 数量关系； (3)数理关：在构建数学模型过程中，对已有的数学知识进行检索，从而认 定或构建相应的数学模型．
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∴
2an
＝
[f(0)
＋
f(1)]
＋
[f(
1 n
)
＋
f(
n－1 n
)]
＋
…
＋
[f(1)＋f(0)]＝n＋2 1
∴an＝n＋4 1，n∈N*
又 an＋1－an＝n＋41＋1－n＋4 1＝14
故数列{an}是等差数列．
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(3)∵bn＝4an4－1＝n4 ∴Tn＝b12＋b22＋…＋bn2＝16(1＋212＋312＋…＋n12) ≤16[1＋1×1 2＋2×1 3＋…＋n（n1－1）] ＝16(1＋1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1) ＝16(2－n1)＝32－1n6＝Sn ∴Tn≤Sn.
清单24 数列求和与数列综合问题(解析版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练
【解析】当 为奇数时, ,数列 是首项为1,公差为2的等差数列；
当 为偶数时, ,数列 是首项为2,公差为0的等差数列,即常数列.
则 .故选B.
5.若 为等差数列,求 的前n项和,可采用并项求和,即把相邻两项合并,构造一个新数列求和
【对点训练5】若数列 的通项公式是 ,则
A． B． C． D．
【对点训练14】（2021届浙江省湖州市、衢州市、丽水市高三上学期质量检测）已知正项数列 的前 项和为 ,且 , .
（1）求 , 的值,并写出数列 的通项公式；
（2）设 ,数列 的前 项和为 ,求证： .
【解析】（1）由正项数列 ,可得
当 时, ,即 ,解得： 或 （舍去）
当 时, ,即 ,解得： 或 （舍去）
即 ,故数列 是首项为 ,公差为2的等差数列,
则 ,则 ,
所以 ,
则 ,
令 ,解得 ,即 ,故选AB
14．（2021届湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中高三下学期仿真模拟）设随机变量 的分布列如下：
1
2
3
4
5
6
7ຫໍສະໝຸດ Baidu
8
9
10
则下列正确的是（）
A．当 为等差数列时,
B．数列 的通项公式可以为
C．当数列 满足 时,
A．10 212B．9 212C．11 212D．12 212
【数列】数列综合练习题(1)--测试用
数列综合练习题
一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分
1、数列 的一个通项公式是 （ ）
A. B ． C ． D ． 2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ） A 、010062=+-x x B 、0100122=++x x C 、0100122=--x x D 、0100122=+-x x
3、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数，则b 2(a 2-a 1)=（ ）A.8 B.-8 C.±8 D.
4、已知数列{}n a 是等比数列，若,a a a a 41813229=+则数列{}n a 的前30项的积
=30T （ ） A 、15
4， B 、15
2， C 、15
21⎪⎭
⎫ ⎝⎛， D 、153，
5、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( ) A ．15. B ．17. C ．19. D ．21
6、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 （ ）
（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）72
7、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为4
1
的等差数列，则
|m －n|=
（ ）
A ．1
B ．
4
3 C ．
2
1 D ．
8
3 8、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( ) A ．－1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－20 9、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( )
2011届高考数学二轮复习考点突破课件第8讲 数列求和及数列综合应用
1．等差数列{an}各项均为正整数，a1＝3，前 n 项和为 Sn，等比数 ．等差数列 各项均为正整数， 各项均为正整数 ， 列{bn}中，b1＝1，且 b2S2＝64，{ban}是公比为 64 的等比数列． 中 ， ， 是公比为 的等比数列． (1)求 an 与 bn； 求 1 1 1 3 (2)证明： ＋ ＋…＋S < . 证明： 证明 S S 4
①
1 ①式两边同乘以－2，得 式两边同乘以－ 1 1 － 1 1 1 －2Sn＝－2＋2－22＋…＋(n－1)·－2n 1＋n－2n. － 1 1 1 1 － ＋ ①式减去②式，得1＋2Sn＝1＋－2＋－22＋…＋－2n 1－ 式减去② ＋ ②
－ － k－1－Tk－2＝1. 解析： 解析：当 k＝5n＋1(n∈N )时，T ＝ ＋ ∈ 时 5 5
5 － (2)解：an－1＝－ 6n百度文库1， 解 ＝－15· ＝－
5 － 5 － ∴Sn＝n－51－15·6n 1－85＝n＋75·6n 1－90. － － ＝ ＋
5 － 当 n≥2 时，设 Sn－Sn－1＝an＝1－15·6n 1>0. ≥ －
5 － 1 即 15·6n 1<1，解得 n>log5 ＋1≈15.85. ， ≈ 15
高考数学二轮复习：第八讲 数列综合
第八讲 数列综合
★★★高考在考什么 【考题回放】
1.已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线
2
23y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ B ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=
．7
3. 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于
A ．1
2
2n +- B.3n C. 2n D.31n
-
【解析】因数列{}n a 为等比，则1
2n n a q -=，因数列{}1n
a +也是等比数列， 则
2212112221
2
(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=
即
2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。
4.设集合{1
23456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的
{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有
min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬
⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值
是（ B ）
A ．10
八种求数列通项的方法_已知递推公式_求通项公式
求数列通项公式方法归纳
一、公式法
例1 已知数列{}n a 满足1232n
n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以1
2n +，得
113222n n n n a a ++=+，则113222
n n n n a a ++-=
，故数列{}2n
n a 是以1222
a 1
1==为首项，以23
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222
n
n a n =-。
二、累加法
例2 已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++
+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=
所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例3、在数列{
n
a }中，31=a ,
)1(1
1++
=+n n a a n n ，求通项公式n a .
解：原递推式可化为：
1111+-
+
=+n n a a n n
则
,21
1112-+=a a 312123-
+=a a 413134-+
解三角形数列综合测试题(全面重点覆盖)
高二数学（理科）限时训练
考查知识点：函数，解三角形，数列 时间：两节课
班级： 姓名：
一选择题：
的值为则，，中，已知在c C b a ABC ,12046.1︒===∆
76.A 76.B 28.C 28.D
应等于的规律，，，，，，，，，，观察数列x x 553421853211.2
11.A 12.B 13.C 14.D
的值为，则，中，已知在A c C a ABC 3,606.3=︒==∆
︒45.A ︒135.B ︒︒13545.或C ︒︒12060.或D
的值为，则，中，已知等差数列124115116}{..4a a a a a n ==+
15.A 30.B 31.C 64.D
离为
向，这时船与灯塔的距后，看见灯塔在正西方海里的方向航行方向，后来船沿南偏东偏东某船开始看见灯塔在南906030.5︒︒
海里230.A 海里330.B 海里345.C 海里245.D
的值为，则，中，已知等差数列158431204}{..6a a a a a a n =+=+
26.A 30.B 28.C 36.D
的值为，则且项和是其前为等差数列，已知611tan 3
22,}{..7a S n S a n n π
=
3.A 3
3
.
B 3.±
C 3.-
D 等于时，的面积等于当，中，已知在C ABC B a ABC sin 32,3
24.8∆=
=∆π
147.
A 1414.
B 714.
C 14
21.D 9.在ABC ∆中，若7,3,8,a b c ===则面积为（ ）
A 12 B
21
2
.28C D
为取最小值的则使，若项和为的前等差数列n S a a a S n a n n n ,14,5}{..101041=+-=
数列综合练习题以及答案解析
数列综合练习题
一．选择题（共23小题）
1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）
A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）
2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）
3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）
A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负
4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）
A．2 B．lg50 C．10 D．5
5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）
A．B．C．D．
7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）
A．B．C．D．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）
9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：
高考数学数列题型之分段数列综合题
七、分段数列综合题
例76 数列{a n }的首项a 1＝1，且对任意n ∈N ，a n 与a n ＋1恰为方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两个根.
(Ⅰ)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(Ⅰ)由题意n ∈N *，a n ·a n ＋1＝2n
∴a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1
＝a n ＋2a n ＝2n ＋
12n ＝2'(1分)
又∵a 1·a 2＝2'a 1＝1'a 2＝2
∴a 1，a 3，…，a 2n －1是前项为a 1＝1公比为2的等比数列， a 2，a 4，…，a 2n 是前项为a 2＝2公比为2的等比数列
∴a 2n －1＝2n －
1' a 2n ＝2n ' n ∈N *
即a n ＝⎪⎩⎪
⎨⎧-为偶数
，为奇数，n n n n 2221
又∵b n ＝a n ＋a n ＋1
当n 为奇数时，b n ＝2n －12＋2n ＋12＝3·2n －1
2
当n 为偶数时，b n ＝2n 2＋2n 2＝2·2n
2
∴b n ＝⎪⎩⎪⎨⎧
⨯+-为偶数
，为奇数，n n n n 2121
223
(Ⅱ)S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
当n 为偶数时，
S n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n )
＝3－3·2n 21－2＋4－4·2
n 21－2
＝7·2n
2－7 (
当n 为奇数时，
S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n
＝S n －1＋b n ＝10·2n －1
2
－7 (
数列综合应用
数列综合应用 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第四节数列求和与数列的综合应用
自|主|排|查
1．公式法与分组求和法(1)公式法:直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。
①等差数列的前n项和公式：S n＝＝na1＋d。
②等比数列的前n项和公式：S n＝
(2)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。
2．倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法
如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。
(2)并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。
形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解。
例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050。
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧:①＝－。②＝。
③＝。④＝－。
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。
微点提醒1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点。
求数列通项公式的八种方法
求数列通项公式的八种方法
一、公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法
1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+
若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则
21321(1)
(2) ()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111
()n
n k a a f n +=-=
∑
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n
n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =。
：
例2 已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n
n n a a +-=⨯+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
数列与概率统计经典8题含详解
数列与概率统计经典8题
1．已知正三角形ABC ，某同学从A 点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为：
()n P A ，()n P B ，()n P C ，例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分
别为()10P A =，()112P B =
，()1
1
2
P C =（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率()3P A ，()3P B ，()3P C ；（2）记()n n P A a =，()n n P B b =，()n n P C c =，其中1n n n a b c ++=，n n b c =，求8a .
2．购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一．每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.消费者的目标是通过购买若干个盒子，集齐该套盲盒的所有产品．现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A ，2A ，
3A 中的一个，每个乙系列目盲盒可以开出玩偶1B ，2B 中的一个．
（1）记事件n E ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐玩偶1A ，2A ，3A 玩偶；事件n F ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐1B ，2B 玩偶；求概率()5P E 及()4P F ；
高中数学一轮复习列概念及等差数列：第8节 等差数列综合问题
第8节 等差数列综合问题
【基础知识】 1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．
数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *
，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式
(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *
)． (2)等差数列的前n 项和公式
S n ＝n （a 1＋a n ）2
＝na 1＋n （n －1）2
d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．
3．等差数列及前n 项和的性质
(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝
a ＋b
2
．
(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *
)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *
)是公差为md 的等差数列．
(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .
(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd
2；
若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案
第一章：数列的概念与性质
1.1 数列的定义
引导学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数。
通过实例让学生了解数列的基本形式，如等差数列、等比数列等。
1.2 数列的性质
引导学生学习数列的基本性质，如数列的项数、首项、末项、公差、公比等。通过实例让学生掌握数列的性质，并能够运用性质解决实际问题。
第二章：数列的求和
2.1 等差数列的求和
引导学生学习等差数列的求和公式，理解公差、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等差数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。
2.2 等比数列的求和
引导学生学习等比数列的求和公式，理解公比、首项、末项与求和的关系。
通过实例让学生掌握等比数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。第三章：数列的极限
3.1 数列极限的概念
引导学生理解数列极限的概念，理解数列极限与数列收敛的关系。
通过实例让学生了解数列极限的性质，如保号性、单调性等。
3.2 数列极限的计算
引导学生学习数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
通过实例让学生掌握数列极限的计算方法，并能够运用极限的概念解决实际问
题。
第四章：数列的应用
4.1 数列在数学分析中的应用
引导学生学习数列在数学分析中的应用，如级数、积分等。
通过实例让学生了解数列在数学分析中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。
4.2 数列在其他学科中的应用
引导学生学习数列在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。
通过实例让学生了解数列在不同学科中的作用，并能够运用数列解决实际问题。第五章：数列的综合应用
求数列通项公式的八种方法
求数列通项公式的八种方法
一、公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法
1、累加法适用于：1()n n a a f n +=+
若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则
21321(1)
(2) ()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-
=
两边分别相加得111
()n
n k a a f n +=-=∑
例1已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n n a n =+-
解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得
111
21
3333n n n n n a a +++=++
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8数列综合
第八讲数列综合
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.（宁夏）已知«Skip Record If...»成等比数列，且曲线«Skip Record If...»的顶点是
«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»等于（B）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．«Skip Record If...»
2.(江西)已知等差数列«Skip Record If...»的前«Skip Record If...»项和为«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．7
3.（辽宁卷）在等比数列«Skip Record If...»中,«Skip Record If...»,前«Skip Record If...»项和为«Skip Record If...»,若数列«Skip Record If...»也是等比数列,则«Skip Record If...»等于
A．«Skip Record If...» B.«Skip Record If...» C. «Skip Rec ord If...» D.«Skip Record If...»
【解析】因数列«Skip Record If...»为等比，则«Skip Record If...»，因数列«Skip Record If...»也是等比数列，
则«Skip Record If...»
即«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，故选择答案C。
4.（湖南）设集合«Skip Record If...»，«Skip Record If...»都是«Skip Record If...»的含两个元素的子集，且满足：对任意的«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
（«Skip Record If...»，«Skip Record If...»），都有«Skip Record If...»（«Skip Record If...»表示两个数«Skip Record If...»中的较小者），则«Skip Record If...»的最大值是（B）
A．10 B．11 C．12 D．13
5.(陕西卷)已知正项数列{a
n }，其前n项和S
n
满足10S
n
=a
n
2+5a
n
+6且a
1
,a
3
,a
15
成等比数列，
求数列{a n}的通项a n .
解析：解: ∵10S n=a n2+5a n+6，① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10S n－1=a n－12+5a n－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10a n=(a n2－a n－12)+6(a n－a n－1)，即(a n+a n－1)(a n－a n－1－5)=0
∵a n+a n－1>0 ，∴a n－a n－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴a n=5n－3．
6.（广东卷）已知公比为«Skip Record If...»的无穷等比数列«Skip Record If...»各项的和为9，无穷等比数列«Skip Record If...»各项的和为«Skip Record If...».
(I)求数列«Skip Record If...»的首项«Skip Record If...»和公比«Skip Record If...»；(II)对给定的«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»是首项为«Skip Record If...»，公差为«Skip Record If...»的等差数列，求«Skip Record If...»的前10项之和；
解: (Ⅰ)依题意可知,«Skip Record If...»
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,«Skip Record If...»,所以数列«Skip Record If...»的的首项为«Skip Record If...»,公差«Skip Record If...»,
«Skip Record If...»,即数列«Skip Record If...»的前10项之和为155.
★★★高考要考什么
本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．
高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查«Skip Record If...»
«Skip Record If...»间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．
高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在
一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：
（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．
（2）给出S n与a n的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．
（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．★★★突破重难点
【范例1】已知数列«Skip Record If...»，«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）
（I）令«Skip Record If...»，求数列«Skip Record If...»的通项公式；
（II）求数列«Skip Record If...»的通项公式及前«Skip Record If...»项和公式«Skip Record If...»．
解：（Ｉ）由题设得«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）
易知«Skip Record If...»是首项为«Skip Record If...»，公差为２的等差数列，通项公式为«Skip Record If...»．
（II）解：由题设得«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．
易知«Skip Record If...»是首项为«Skip Record If...»，公比为«Skip Record If...»的等比数列，通项公式为«Skip Record If...»．由«Skip Record If...»解得
«Skip Record If...»，求和得«Skip Record If...»．
【变式】（文）在等差数列«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，前«Skip Record If...»项和«Skip Record If...»满足条件«Skip Record If...»，（Ⅰ）求数列«Skip Record If...»的通项公式；