2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：9-6 Word版含解析

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2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：质量检测4 Word版含解析

质量检测(四)测试内容：立体几何时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(2013·烟台诊断)一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.13B.12C.23D.16解析：V ＝13Sh ＝13×12×2×1×1＝13. 答案：A2．已知水平放置的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′(斜二测画法)是边长为2a 的正三角形，则原△ABC 的面积为( )A.2a 2B.32a 2 C.62a 2D.6a 2解析：斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a )2，∴S ＝6a 2.故选D.答案：D3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AA 1，AB 的中点，则EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°解析：如图，∵EF ∥A 1B ，∴EF ，A 1B 与对角面BDD 1B 1所成的角相等，设正方体的棱长为1，则A 1B ＝ 2.连接A 1C 1，交D 1B 1于点M ，连接BM ，则有A 1M ⊥面BDD 1B 1，∠A 1BM 为A 1B 与面BDD 1B 1所成的角．Rt △A 1BM 中，A 1B ＝2，A 1M ＝22，故∠A 1BM ＝30°.∴EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是30°.答案：A4．(2013·山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83 C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.答案：B5．(2013·宁波市高三“十校”联考)若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α解析：α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或m ⊂α，又∵m ⊄α，∴m ∥α，选D.答案：D6．(2013·保定第一次模拟)三棱锥V －ABC 的底面ABC 为正三角形，侧面VAC 垂直于底面，VA ＝VC ，已知其正视图(VAC )的面积为23，则其左视图的面积为( )A.32B.36C.34D.33解析：利用三棱锥及三视图的特征，可设底面边长为a ，高为h ，则12ah ＝23，∴ah ＝43，故其左视图的面积为S ＝12·32a ·h ＝32，故选D.答案：D7．(2013·南平质检)如图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于( )A ．16＋2πB ．24πC ．16＋4πD ．12π解析：由三视图知，几何体是半个圆柱，而圆柱下底面圆的半径为2，其轴截面为边长为4的正方形，故表面积为4×4＋2π·4＋2·2π＝16＋12π.答案：A8．(2013·荆州质检(Ⅱ))在半径为R 的球内有一内接圆柱，设该圆柱底面半径为r ，当圆柱的侧面积最大时，rR 为( )A.14B.12C.22D.32解析：圆柱的底面半径为r ，则有h ＝2R 2－r 2，侧面积S ＝2πr ·h ＝4πr R 2－r 2＝4πr 2(R 2－r 2)≤4π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2＋R 2－r 222＝2πR 2，当且仅当r 2＝R 2－r 2即r R ＝22时，圆柱的侧面积取得最大值，所以选C.答案：C9．(2013·山东潍坊模拟)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：由面面平行、垂直的定义可知②③正确，故选B. 答案：B10．(2013·东北三校第二次联考)三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC .若球O 与三棱柱ABC －A 1B 1C 1各侧面、底面均相切，则侧棱AA 1的长为( )A.12B.32 C ．1D. 3解析：此三棱柱为正三棱柱，球O 与三个侧面均相切，其俯视图如图所示．其半径为R ，R ＝BD ·13＝12.球O 的半径为12，若球O 与上、下底面均相切，则AA 1＝2R ＝1，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)如图，单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在平面A 1BC 1上，则三棱锥P －ACD 1的体积为________．解析：由图易知，平面A 1BC 1∥平面ACD 1，∴P 到平面ACD 1的距离等于平面A 1BC 1与平面ACD 1间的距离，等于13B 1D ＝33，而S △ACD 1＝12AD 1·CD 1sin 60°＝32，∴三棱锥P －ACD 1的体积为13×32×33＝16. 答案：1612．(2013·汕头质量测评(二))如图，某简单几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且其体积为π4，则该几何体的俯视图可以是________．解析：该几何体是高为1的柱体，由体积为π4，知底面积为π4，所以填D.答案：D13．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.答案：24π14．(2013·北京卷)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析：点P 到直线CC 1的距离等于点P 在平面ABCD 上的射影到点C 的距离，设点P 在平面ABCD 上的射影为P ′，显然点P 到直线CC 1的距离的最小值为P ′C 的长度的最小值．当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255.答案：255三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)(2013·重庆卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．解：(1)证明：因为BC ＝CD ，所以△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC .因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD .从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC .(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.由P A ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13×3×23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18P A ，故 V F －BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13×3×18×23＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.16．(满分12分)(2013·辽宁卷)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC . 证明：(1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．由Q为P A的中点，得QM∥PC，又O为AB的中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.17．(满分13分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3，又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.18．(满分13分)(2013·四川卷)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)解：(1)证明：如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC .由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过D 作DE ⊥AC 于E .因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交，所以DE ⊥平面AA 1C 1C .由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝32AD ＝32，又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以V A 1－QC 1D ＝V D －A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36.因此三棱锥A 1－QC 1D 的体积是36.。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：质量检测3 Word版含解析

质量检测(三)测试内容：数列不等式推理与证明时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(2013·天津十二区县重点学校联考(一))“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2＝xz ”成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：lg x ，lg y ，lg z 成等差，必有2lg y ＝lg x ＋lg z 得y 2＝xz .故前者为后者的充分条件，但y 2＝x ·z ，y <0，x <0，z <0时，lg x ，lg y ，lg z 没有意义，故前者不是后者的必要条件，选A.答案：A2．(2013·辽宁六校联考)公比为q 的等比数列{a n }的各项为正数，且a 2a 12＝16，log q a 10＝7，则公比q ＝( )A.12B. 2 C ．2D.22解析：∵a 10＝a 4q 6＝q 7，∴a 4＝q ，又a 27＝a 2a 12＝a 4a 10＝16，∴q 8＝16，q 2＝2，q ＝2，故选B.答案：B3．(2013·东北三校第二次联考)已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：等比数列中，a 3·a 5＝a 1·a 7，∴a 7＝14，a 4＋a 7＝2×98，∴a 4＝2，得q ＝12，a 1＝16，S 5＝16⎝⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31，选C. 答案：C4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是( )A ．65B ．70C ．130D ．260解析：a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30 3a 1＋18d ＝30 a 1＋6d ＝10，a 7＝10S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝130，故选C. 答案：C5．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8 解析：a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤2，ab ≤4 ∴1ab ≥14，故C 错，A 错． 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，故B 错． (a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2) ∴a 2＋b 2≥8，故选D. 答案：D6．(2012·辽宁卷)设变量x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 解析：可行域如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝15，x ＋y ＝20得A (5,15)，A 点为最优解， ∴z max ＝2×5＋3×15＝55，故选D. 答案：D7．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．[－2,2)解析：当a ＝2时，不等式－4<0恒成立；当a ≠2时，由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ＝4(a －2)2＋4×4(a －2)<0，解得－2<a <2， ∴符合要求的a 的取值范围是(－2,2]，故选C. 答案：C8．(2013·辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n 是递减数列，所以p 3为假命题；设a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．答案：D9．(2013·浙江五校第二次联考)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥1x ＋2y ≤4x ＋my ＋n ≥0，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形，则n 的值是( )A ．－32 B ．－2 C ．2D.12解析：在坐标平面内画出线性约束条件所表示的可行域，欲使可行域为直角三角形，可得m ＝1时，可与直线x －y ＝1垂直，此时求出⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0x ＋y ＋n ＝0与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋n ＝0x ＋2y －4＝0的解，由直角三角形的面积为54，可求得n ＝－32，故选A.答案：A10．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋2)，当x >1时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2>2且(x 1－1)(x 2－1)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负解析：由f (－x )＝－f (x ＋2)知函数y ＝f (x )关于点(1,0)对称，因此由x >1时f (x )单调递增可知当x <1时函数f (x )单调递增．由(x 1－1)(x 2－1)<0知x 1－1，x 2－1异号，不妨设x 1>1，则x 2<1.∵x 1＋x 2>2，∴x 1>2－x 2.由x 2<1知2－x 2>1，故x 1>2－x 2>1. ∴f (x 1)>f (2－x 2)．∵f (2－x 2)＝－f (x 2)．∴f (x 1)>－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)>0. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝a 8＋5，S 6＝a 7＋a 9－5，则公差d 等于________．解析：a 6＝S 6－S 5＝a 7＋a 9－5－(a 8＋5) ＝a 7＋a 9－a 8－10，∴a 6－a 7＝a 9－a 8－10，∴－d ＝d －10，∴d ＝5. 答案：512．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的四维测度W ＝2πr 4，猜想其三维测度V ＝________.解析：由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V ＝W ′＝(2πr 4)′＝8πr 3.故填8πr 3.答案：8πr 313．(2013·安徽卷)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．解析：法一：画出可行域是如图所示的四边形OABC 的边界及内部，令z ＝x ＋y ，易知当直线y ＝－x ＋z 经过点C (4,0)时，直线在y 轴上截距最大，目标函数z 取得最大值，即z max ＝4.法二：令z ＝x ＋y .界点定值，同法一先画出可行域，这时把边界点O (0,0)，A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，52，C (4,0)代入目标函数z ＝x ＋y 可得z A ＝1，z B ＝73，z C ＝4，比较可得z max ＝4.答案：414．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0,2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .16．(满分12分)(1)解不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)； (2)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时， f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解为1a <x <1；当a ＝1时，解集为Ø；当0<a <1时，解为1<x <1a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为Ø；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.(2)法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时， f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋∞)时， f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．17．(满分13分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x 张(x 是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分36x 批，每批价值为20x 元，由题意得f (x )＝36x ·4＋k ·20x . 由x ＝4时，f (x )＝52，得k ＝1680＝15. ∴f (x )＝144x ＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)． (2)由(1)知f (x )＝144x ＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)， ∴f (x )≥2144x ×4x ＝48(元)．当且仅当144x ＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．18．(满分13分)(2013·浙江省重点中学摸底)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项之和为S n ，求S n ，并证明：S n2n >2n －3. 解：(1)∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)，所以，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，公差d ＝1，首项12，于是a n 2n ＝12＋(n －1)d ＝12＋(n －1)·1＝n －12， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n . (2)∵S n ＝12·21＋32·22＋52·23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ∴2S n ＝12·22＋32·23＋52·24＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1 以上两式相减得－S n ＝1＋22＋23＋ (2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1＝2＋22＋23＋ (2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1－1 ＝2(1－2n )1－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12·2n ＋1－1＝(3－2n )·2n －3，S n ＝(2n －3)·2n ＋3>(2n －3)·2n ， ∴S n2n >2n －3.。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：1-3 Word版含解析

课时作业(三)一、选择题1．(2013·湖北八校第一次联考)若命题p：∃x0∈[－3,3]，x20＋2x0＋1≤0，则对命题p的否定是()A．∀x∈[－3,3]，x2＋2x＋1>0B．∀x∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，x2＋2x＋1>0C．∃x∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，x2＋2x＋1≤0D．∃x0∈[－3,3]，x20＋2x0＋1<0解析：存在命题的否定是全称命题，故选A.答案：A2．(2013·湖南省六校联考)下列说法中正确的是()A．“x>5”是“x>3”必要不充分条件B．命题“对∀x∈R，恒有x2＋1>0”的否定是“∃x∈R，使得x2＋1≤0”C．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题解析：对于A，x>5是x>3的充分不必要条件；对于C，∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx都不是奇函数；对于D，p∨q为真命题；则p与q 有两种情况：均为真命题，一真一假，故p∧q不能判断其真假性；对于B是特称命题与全称命题的互换．答案：B3．(2013·资阳市第一次模拟)已知命题p：“若直线ax＋y＋1＝0与直线ax －y ＋2＝0垂直，则a ＝1”；命题q ：“a 12>b 12”是“a >b ”的充要条件，则( )A ．p 真，q 假B ．“p ∧q ”真C ．“p ∨q ”真D ．“p ∨q ”假解析：命题p ：若直线ax ＋y ＋1＝0与直线ax －y ＋2＝0垂直，即斜率(－a )·a ＝－1，即a 2＝1，a ＝±1，∴命题p 为假．命题q ：a 12>b 12⇒a >b ，但a >bD ⇒/a 12>b 12，∴命题q 为假．∴p ∨q 为假，故选D.答案：D4．(2013·辽宁五校第二次模拟)有下列说法：①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；③“p ∨q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件；④“綈p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于复合命题p ∧q ，p ∨q ，其真假性为：p ∧q 中，p 与q 至少有一个为假命题，则p ∧q 为假命题，p 与q 均为真命题，则p ∧q 为真命题；p 与q 至少有一个真命题，则p ∨q 为真命题，当p 与q 均为假命题时，p ∨q 为假命题，故①③正确．选B.答案：B5．(2013·湖北八校第二次联考)已知命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；命题q ：若a >b ，则ac >bc ，则下列命题为真命题的是( )A ．p 或qB ．綈p 或qC ．綈p 且qD ．p 且q解析：m ⊂α时，m ∥α不正确，命题p 假，c ≤0时，命题q 假，故选B.答案：B6．(2013·成都市第三次诊断性检测)对x ∈R ，“关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于( )A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)>0成立B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R, f (x )>0成立D ．∀x ∈R, f (x )≤0成立解析：由命题的转化关系易知A 正确．答案：A7．(2013·山东泰安第二次模拟)下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的否命题是真命题C ．命题“p ∨q ”为真命题，则命题p 和q 均为真命题D ．命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0” 解析：∃x ∈R ，x 2－x >0的否定是∀x ∈R ，x 2－x ≤0.答案：D8．(2013·东北三校第二次联考)下列判断中正确的是( )A ．命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2>12”是真命题 B ．“1a ＋1b ＝4”的必要不充分条件是“a ＝b ＝12”C ．命题“若a ＋1a ＝2，则a ＝1”的逆否命题是“若a ＝1，则a＋1a ≠2”D ．命题“∀a ∈R ，a 2＋1≥2a ”的否定是“∃a ∈R ，a 2＋1<2a ”解析：A 选项中，当a ＝12，b ＝12时，a 2＋b 2＝12>12不成立，B 选项中，1a ＋1b ＝4的充分不必要条件是a ＝b ＝12，C 选项中，逆否命题是“若a ≠1，则a ＋1a ≠2”，故选D.答案：D二、填空题9．(2013·安徽省江南十校高三模拟)命题p ：∀x ∈R,2x >1，则綈p ：________.解析：由全称命题的否定是特称命题很容易得綈p ：∃x 0∈R ，使2x 0≤1.答案：∃x 0∈R ，使2x 0≤110．若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则“∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0”是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3.答案：[－1,3]11．(2013·江西南昌调研考试)已知命题p ：“存在x ∈R ，使4x ＋2x ＋1＋m ＝0”，若“非p ”是假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：∵非p 是假命题，则p 是真命题，即∃x ∈R ，使m ＝－(4x ＋2·2x )m ＝－(2x ＋1)2＋1<0，∴m <0.答案：(－∞，0)三、解答题12．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．解：若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞的左侧，即c ≤12.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”，当“p 真q 假”时，c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 13．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解：命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，|a 2|≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2，即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．[热点预测]14．(1)(2013·贵州省六校联盟高三第一次联考)给出下列四个命题：①命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题为假命题；②命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1.则綈p ：∃x 0∈R ，使sin x 0>1；③“φ＝π2＋kπ(k ∈Z )”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件；④命题p ：“∃x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝32”；命题q ：“若sinα>sin β，则α>β ”，那么(綈p )∧q 为真命题．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2], f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析：(1)①原命题：若α＝π4，则tan α＝1为真命题，所以其逆否命题也为真命题，故①错；②全称命题与特称命题之间的转化，故②对；③y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)是偶函数则对任意的x ∈R 有f (－x )＝f (x )，即sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，化简得：sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝－sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ从而对任意x ∈R 方程sin 2x cos φ＝0恒成立，故cos φ＝0解得：φ＝π2＋kπ(k ∈Z )，另一方面φ＝π2＋kπ(k ∈Z )时y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋kπ＝cos(2x ＋kπ)＝(－1)k cos 2x 为偶函数，故③对；④对于命题q ：若sin α>sin β，则α>β，由于y ＝sin x 有增区间也有减区间，所以q 假，(綈p )∧q 为假，故④错．答案选择B.(2)由已知可得f min (x 1)≥g min (x 2)即0≥14－m ，∴m ≥14. 答案：(1)B (2)m ≥14。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：质量检测5 Word版含解析

3 即 2x－y＋3＝0，令 y＝0，得 x＝－2， 3 即在 x 轴上的截距为－2. 答案：A 2．到直线 3x－4y＋1＝0 的距离为 3 且与此直线平行的直线方程是( ) A．3x－4y＋4＝0 B．3x－4y＋4＝0 或 3x－4y－2＝0 C．3x－4y＋16＝0 D．3x－4y＋16＝0 或 3x－4y－14＝0 解析：设所求直线方程为 3x－4y＋m＝0. 由 |m－1| 5 ＝3，解得 m＝16，或 m＝－14.
2
答案：C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 11． “直线 ax＋2y＋1＝0 和直线 3x＋(a－1)y＋1＝0 平行”的充要条件是“a＝________”．
aa－1－2×3＝0，解析：由得 a＝－2， a－1×1≠2×1，
∴两直线平行的充要条件是“a＝－2”．答案：－2 x2 y2 12． (2012· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线m－ 2 m ＋4 ＝1 的离心率为 5，则 m 的值为________．
x2 y2 解析：由椭圆 4 ＋ 3 ＝1 可得点 F(－1,0)，点 O(0,0)，设 P(x，y)， → → x2 1 2 1 2 2 2 －2≤x≤2，则OP· FP＝x ＋x＋y ＝x ＋x＋31－ 4 ＝4x ＋x＋3＝4(x

→ → ＋2) ＋2，当且仅当 x＝2 时，OP· FP取得最大值 6.
4 A．y＝－3x＋3
4 C．x＝0 或 y＝3x＋3
D．x＝0
解析：当过点 A(0,3)且斜率不存在的直线与圆的相交弦长为 2 3，此时，弦所在直线方程为 x＝0；当弦所在的直线斜率存在时，设弦所在直线 l 的方程为 y＝kx＋3，即 kx－y＋3＝0. 因为弦长为 2 3，圆的半径为 2，所以弦心距为 22－ 32＝1，由点到直线距离公式得 4 解得 k＝－3. 4 综上，所求直线方程为 x＝0 或 y＝－3x＋3. 答案：B y 6．如果实数 x、y 满足(x－2)2＋y2＝3，那么x的最大值( 1 A.2 2 C. 2 3 B. 3 D. 3 ) |k＋3| ＝1， k2＋－12

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：2-7 Word版含解析

课时作业(十)一、选择题1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图象大致是( )解析：当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.答案：B2．(2013·北京卷)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e －(x＋1)＝e －x －1. 答案：D3．(2013·山东泰安高三期中)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：因为f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，所以f 2(x )＝log 2(x ＋2)，沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，根据“同形”的定义可知选A.答案：A4．(2013·黑龙江哈尔滨四校统一检测)函数y ＝lg|x ＋1|x ＋1的图象大致是( )解析：y ＝lg|x ＋1|x ＋1的图象可以看作是由函数y ＝lg|x |x 的图象向左平移1个单位而得到的，函数y ＝lg|x |x 的图象关于原点对称，所以y ＝lg|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)对称，排除A 、B ，而当x ＝9时，y ＝110>0，排除C ，选择D.答案：D5．(2013·河北唐山第二次模拟)已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的可能图象是( )解析：由图象可知，0<a <1，－1<k <0.选B. 答案：B6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.5]＝－2，[1.5]＝1，若直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，13 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13解析：作出x ≥0时f (x )的图象，当x <0时f (x )的周期为1. 如图所示，而y ＝k (x ＋1)恒过点(－1,0)．由图象可以看出过点A (2,1)，B (3,1)时为k 的界点值，而过点A 时，不适合k ＝13，过点B 时，适合k ＝14，选D.答案：D 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x 图象的对称中心为________．解析：f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，把函数y ＝1x 的图象向上平移1个单位，即得函数f (x )的图象．由y ＝1x 的对称中心为(0,0)，可得平移后的f (x )图象的对称中心为(0,1)．答案：(0,1)8．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1. ∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14.答案：f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >09．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，现将y ＝g (x )的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得图象是由两条线段组成的折线如图，则函数f (x )的表达式为________________________．解析：设所得图象对应函数为h (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，－2≤x ≤0，2x ＋1，0<x ≤1，∴g (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，0≤x ≤2，2x －4，2<x ≤3，∴f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，－1≤x ≤0，12x ＋2，0<x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，－1≤x ≤012x ＋2，0<x ≤2三、解答题10．利用函数图象讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．解：设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k <0时，方程没有实数根；当k ＝0或k <－1或k ≥1时，方程只有一个实数根；当0<k <1时，方程有两个不相等的实数根． 11．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示：由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，∵H (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，∴H (t )>H (0)＝0，因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ，且g (x )＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0,2]．∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1. 令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]， q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8， ∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7，故a 的取值范围为[7，＋∞)． [热点预测]13．(1)(2013·泉州高中质检)函数f (x )＝sin 2x ＋e ln|x |的图象的大致形状是( )(2)(2013·重庆九校联考)规定记号“□”表示一种运算，即：a □b＝a 2＋2ab －b 2，设函数f (x )＝x □2.且关于x 的方程为f (x )＝lg|x ＋2|(x ≠－2)恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值是( )A ．－4B ．4C ．8D ．－8解析：(1)函数f (x )＝sin 2x ＋e ln|x |＝sin 2x ＋|x |是非奇非偶函数，所以排除A 、C ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时sin 2x >0，x >0，∴f (x )>0，所以选B ，不选D.(2)由题意可得f (x )＝x 2＋4x －4为二次函数，其图象关于x ＝－2对称，令g (x )＝lg|x ＋2|此图象也关于x ＝－2对称，方程f (x )＝lg|x ＋2|的四个互不相等的根，分别为函数f (x )与函数g (x )图象的四个交点的横坐标，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4则x 2＋x 3＝－4，x 1＋x 4＝－4，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8，故选D.答案：(1)B (2)D。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：1-1 Word版含解析

课时作业(一)一、选择题1．(2013·安徽卷)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁A)∩B＝()RA．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B ＝{－2，－1}．答案：A2．(2013·天津卷)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝()A．(－∞，2] B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]解析：解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－2,1]．答案：D3．(2013·福建省高三上学期第一次联考)已知集合A＝{3，a2}，集合B＝{0，b,1－a}，且A∩B＝{1}，则A∪B＝() A．{0,1,3} B．{1,2,4}C．{0,1,2,3} D．{0,1,2,3,4}解析：因为a2＝1，所以a＝1或a＝－1，当a＝1时，B＝{0，b,0}与集合中元素互异性矛盾，所以舍去，故a＝－1，此时B＝{0，b,2}，所以b＝1，所以A∪B＝{0,1,2,3}．答案：C4．(2013·河南郑州第一次质量预测)若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或2或－2或1.经检验当x＝2或－2时满足题意，故选B.答案：B5．(2013·合肥第二次质检)已知集合A＝{x∈R|x≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2<0}且R为实数集，则下列结论正确的是() A．A∪B＝R B．A∩B≠ØC．A⊆(∁R B) D．A⊇(∁R B)解析：由题意可知B＝{x|－1<x<2}，故选C.答案：C6．(2013·山东烟台高三诊断性测试)若集合M＝{x∈N*|x<6}，N ＝{x||x－1|≤2}，则M∩(∁R N)＝()A．(－∞，－1) B．[1,3)C．(3,6) D．{4,5}解析：M＝{x∈N*|x<6}＝{1,2,3,4,5}，N＝{x||x－1|≤2}＝{x|－1≤x≤3}，∁R N＝{x|x<－1或x>3}．所以M∩(∁R N)＝{4,5}，选D.答案：D二、填空题7．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝______.解析：A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}8．设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ×B ＝______.解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2]，所以A ×B ＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)9．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A B ，则a 的取值范围为________．解析：由|x －a |<1得－1<x －a <1，∴a －1<x <a ＋1，由A B 得⎩⎪⎨⎪⎧a －1>1a ＋1<5，∴2<a <4. 又当a ＝2时，A ＝{x |1<x <3}满足A B ，a ＝4时，A ＝{x |3<x <5}也满足A B ，∴2≤a ≤4.答案：2≤a ≤4 三、解答题10．设A ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，求A ∪B .解：∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，∴12∈A 且12∈B . 将12分别代入方程2x 2－px ＋q ＝0及6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12－12p ＋q ＝0，32＋12(p ＋2)＋5＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝－4，∴A ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12， B ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，－4. 11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2，m ∈R }．(1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值； (2)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (3)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2} (1)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，如图有：⎩⎪⎨⎪⎧ m －2≥－1m ＋2≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1m ≤1，∴m ＝1.(2)∵A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0m ＋2≥3，∴m ＝2.(3)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ∴m －2>3或m ＋2<－1， ∴m >5或m <－3.12．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝Ø或B ＝{2}，当B ＝Ø时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}． [热点预测]13．(1)(2014·河北沧州高三质检)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －21－2x >0，B ＝{}y |y ＝log 2(x －1)，x ∈[3，9]，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3 B ．(2,3] C ．[1,2) D ．(1,2)(2)(2013·重庆市高三模拟)对于数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，A ÷B ＝{x |x ＝a b ，a ∈A ，b ∈B }，若集合A ＝{1,2}，则集合(A ＋A )÷A 中所有元素之和为( )A.102B.152C.212D.232(3)已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝Ø，则m ＝________.解析：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，B ＝{y |1≤y ≤3}，∴A ∩B ＝[1,2)．(2)由已知A ＋A ＝{2,3,4}，所以(A ＋A )÷A ＝{2,1,3，32，4}，其和为232.(3)A ＝{－1,2}，B ＝Ø时，m ＝0； B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12. 答案：(1)C (2)D (3)0,1，－12。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：3-6 Word版含解析

课时作业(二十一)一、选择题1．设0≤x <2π且1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则( ) A ．0≤x ≤π B.π4≤x ≤54π C.π4≤x ≤74πD.π4≤x ≤32π解析：由1－sin 2x ＝(sin x －cos x )2 ＝sin x －cos x 得sin x ≥cos x .又x ∈[0,2π)，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，54π.答案：B2．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72 解析：cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22⇒cos α＋sin α＝12. 答案：C3．已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( ) A ．有最大值12和最小值0 B ．有最小值12，无最大值 C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值解析：∵A ＋B ＝π2，∴B ＝π2－A .∴sin A sin B ＝sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin A cos A ＝12sin 2A . ∵0<A <π2，∴2A ∈(0，π)．∴0<sin 2A ≤1. ∴sin A sin B 有最大值12，无最小值．答案：D4．(2013·陕西宝鸡质检(一))函数y ＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 图象具有性质( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，最大值为2 B ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，最大值为1 C ．图象关于直线x ＝－π3对称，最大值为2 D ．图象关于直线x ＝－π6对称，最大值为1解析：y ＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin x ＋32cos x －12sin x ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 令x ＋π3＝kπ，∴x ＝－π3＋kπ(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π3，∴关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，y ∈[－1,1]，∴最大值为1，故选B.答案：B5．(2013·邯郸市质检)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为减函数的θ值可以是( ) A ．－π3 B ．－π6 C.5π6 D.2π3解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3 若f (x )为奇函数，∴θ＋π3＝π＋2kπ或2π＋2kπ， ∴θ＝23π＋2kπ或53π＋2kπ(k ∈Z )又∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为减函数，即2x ＋θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤θ＋π3，56π＋θ⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2kπ，32π＋2kπ(k ∈Z )∴θ＝23π，故选D. 答案：D6．(2013·河南洛阳高三统考)函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ⎝⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3解析：依题意， f (x )＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.答案：B二、填空题7．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________. 解析：原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝16cos 6°sin 6°cos 12°cos 24°cos 48°16cos 6°＝sin96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 答案：1168．(2013·绵阳第三次诊断)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝3，则sin x cos x 的值是________．解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋11－tan x ＝3得tan x ＝12，则sin x cos x ＝sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan x tan 2x ＋1＝1214＋1＝25.答案：259．(2013·广东省华附、省实、广雅、深中四校联考)函数y ＝(tan x －1)cos 2x 的最大值是________．解析：y ＝sin x cos x －cos 2 x ＝12(sin 2x －cos 2x )－12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－12，x ≠kπ＋π2.当x ＝kπ＋3π8，k ∈Z 时，y max ＝2－12.答案：2－12 三、解答题10．(2013·石家庄质检(二))已知函数f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2 ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －2＝3sin 2x ＋2cos 2x －2＝3sin 2x ＋cos 2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时， f (x )取得最小值－2. 11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值．解：(1)∵tan α2＝12，∴sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2·α2＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝45. (2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35. 又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π. 由cos(β－α)＝210，得0<β－α<π2. ∴sin(β－α)＝9810＝7210， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝25250＝22. 由π2<β<π得β＝34π. (或求cos β＝－22得β＝34π)12．(1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求证：cos 8x －sin 8x ＋14sin 2x sin 4x ＝cos 2x . 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2. 因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以原式＝－cos θ.(2)证明：左边＝(cos 4x －sin 4x )(cos 4x ＋sin 4x )＋ 12sin 22x cos 2x＝(cos 2x －sin 2x )(cos 4x ＋sin 4x )＋12sin 22x cos 2x ＝cos 2x (cos 4x ＋sin 4x )＋12sin 22x cos 2x ＝cos 2x (cos 4x ＋sin 4x ＋2sin 2x cos 2x ) ＝cos 2x (cos 2x ＋sin 2x )2＝cos 2x ＝右边， ∴原等式成立． [热点预测]13．(2013·山东泰安第二次模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x (1)求f (x )的单调递增区间；(2)已知cos(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，0<α<β≤π2，求f (β)．解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，令：π2＋2kπ≤x －π4≤π2＋2kπ，则－π4＋2kπ≤x ≤3π4＋2kπ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2kπ，3π4＋2kπ，(k ∈Z )． (2)∵cos(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且0<α<β≤π2 ∴sin(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，从而cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－925－1625＝－1.故cos β＝0，由于0<β≤π2即β＝π2， ∴f (β)＝2sin π4＝ 2.。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：8-4 Word版含解析

课时作业(四十七)一、选择题1．(2013·北京朝阳期末)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为k ＝1时，直线为x －y ＋1＝0，则圆心到直线的距离d ＝12<1，即相交；反之，若直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交，则圆心到直线的距离d ＝|k |2<1，得k ∈(－2，2)，故选A.答案：A2．(2013·浙江高三摸底测试)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22因此根据三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2.答案：D3．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＝8－m 2(m >3)，则两圆的位置关系是( )A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离解析：将两圆方程分别化为标准式圆C 1：(x －m )2＋y 2＝4圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝9，则|C 1C 2|＝(m ＋1)2＋m 2 ＝2m 2＋2m ＋1> 2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3∴两圆相离．答案：D4．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－22，3]解析：曲线y ＝3－4x －x 2表示圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的下半圆，如图所示，当直线y ＝x ＋b 经过点(0,3)时，b 取最大值3，当直线与半圆相切时，b 取最小值，由|2－3＋b |2＝2⇒b ＝1－22或1＋22(舍)，故b min ＝1－22，b 的取值范围为[1－22，3]．答案：C5．(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.故选A.答案：A6．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1，2＋1)C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)解析：计算得圆心到直线l 的距离为22＝2>1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.答案：A 二、填空题7．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________．解析：显然x ＝2为所求切线之一．另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx－y＋4－2k＝0，那么|4－2k|k2＋1＝2，k＝34，即3x－4y＋10＝0.答案：x＝2或3x－4y＋10＝08．(2013·内江市高三第二次模拟)若直线y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1交于A、B两点，且∠AOB＝60°，则实数k＝________.解析：△AOB为等腰三角形，∠AOB＝60°，所以|AB|＝1，圆心到直线的距离d＝32即1k2＋1＝32，解得k＝±33.答案：±3 39．已知两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x－2y－40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x－2y－40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x＋y－5＝0.圆心(5,5)到直线2x＋y－5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x＋y－5＝0230三、解答题10．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．解：已知圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴的对称圆C ′的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，如图所示．可设光线l 所在直线方程为y －3＝k (x ＋3)，∵直线l 与圆C ′相切，∴圆心C ′(2，－2)到直线l 的距离d ＝|5k ＋5|1＋k2＝1，解得k ＝－34或k ＝－43.∴光线l 所在直线的方程为 3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.12．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ① x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0② 联立①②消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4， ∴满足条件的直线l 存在，其方程为 x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. [热点预测]13．(1)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|O A →＋O B →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6 (2)(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212 C ．2 2D ．2(3)(2013·无锡质检)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦长为2，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为________．解析：(1)由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|知OA ⊥OB ，所以由题意可得|a |2＝2，所以a ＝±2.(2)圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎪⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k >0，即k ＝2.(3)∵直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，而直线与圆相交所得的弦长为2，∴圆心到直线的距离d 满足d 2＝r 2－12＝4－1＝3，即圆心到直线的距离d ＝|－1|m 2＋n 2＝3，∴m 2＋n 2＝13； ∵三角形的面积为S ＝121m ·1n ＝12|mn |，又S＝12|mn|≥1m2＋n2＝3，当且仅当|m|＝|n|＝66时取等号，故最小值为3.答案：(1)C(2)D(3)3。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：质量检测2 Word版含解析

质量检测(二)测试内容：三角函数平面向量解三角形复数时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(2013·黄冈模拟)sin 2 013°的值属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：sin 2 013°＝sin(360°×5＋213°)＝sin 213°＝－sin 33°，即sin 30°<sin 33°，所以－sin 33°<－12，故选B.答案：B2．(2013·武汉四月调研)若复数7＋b i3＋4i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A ．－7B ．－1C ．1D ．7解析：7＋b i 3＋4i ＝(7＋b i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝21＋4b 25＋3b －2825i ，实部与虚部互为相反数，则有21＋4b 25＋3b －2825＝0，解得b ＝1，选C.答案：C3．(2013·重庆模拟)已知向量a ＝(2，k )，b ＝(1,2)，若a ∥b ，则k 的值为( )A ．4B ．1C ．－1D ．－4解析：由a ∥b ⇒2×2＝k ×1⇒k ＝4，故选A. 答案：A4．(2013·重庆市六区调研抽测)设e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2.若a ⊥b ，则实数k 的值为( )A.167B.327 C ．16 D ．32解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝2k |e 1|2－12|e 2|2＋(3k －8)e 1·e 2＝2k －12＋(3k －8)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得k ＝16.答案：C5．(2013·辽宁大连第一次模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为( )A ．ω＝π，φ＝π3 B ．ω＝2π，φ＝π3 C ．ω＝π，φ＝π6 D ．ω＝2π，φ＝π6解析：由所对应函数的图象知A ＝2，14T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13，得T ＝2，所以ω＝π，又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2，代入2sin(πx ＋φ)得φ＝π6，故选C.答案：C6．(2013·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：y ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位后，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3的图象，此图象关于y轴对称，则x ＝0时，y ＝±2，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋π3＝±2，所以m ＋π3＝π2＋kπ，k ∈Z ，由于m >0，所以m min ＝π6，故选B.答案：B7．(2013·武汉市高中毕业生四月调研测试)已知tan α＝2，则4sin 3α－2cos α5cos α＋3sin α＝( )A.25B.511C.35D.711解析：由tan α＝2得sin α＝2cos α，又因为sin 2α＋cos 2α＝1所以sin 2α＝45，原式4sin 3 α－2cos α5cos α＋3sin α＝4sin 2α·tan α－25＋3tan α＝4×45×2－25＋6＝25，选A.答案：A8．(2013·保定第一次模拟)若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且|a |＝1，|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．2B ．5C ．2或5 D.2或 5解析：由已知a ，b ，c 两两夹角相等，故其夹角为0°或120°，|a ＋b ＋c |2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(|a ||b |cos θ＋|b ||c |cos θ＋|a ||c |cos θ)代入数据易得θ＝0°时，|a ＋b ＋c |＝5；θ＝120°时，|a ＋b ＋c |＝2，故选C.答案：C9．(2013·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析：根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ，所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 可得c ＝73b ，然后结合余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，所以角C ＝2π3.答案：B10．(2013·郑州第三次质量预测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝6，b ＝2，且1＋2cos(B ＋C )＝0，则△ABC 的BC 边上的高等于( )A. 2B.62 C.6＋22 D.3＋12解析：设BC 边上的高为h ，则由1＋2cos(B ＋C )＝0⇒cos A ＝12，又0<A <π，A ＝π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒sin B ＝22⇒B ＝π4，故有sin 15°＝6－h 2⇒h ＝6＋22.或由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 75°＝4＋23＝(3＋1)2得c ＝3＋1，h ＝c ·sin π4＝6＋22.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·厦门市高三质检)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝35，则cos 2x ＝________.解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＝35，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.答案：－72512．(2013·江西八校联考)已知向量a ，b ，满足|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎪⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为________．解析：(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎪⎫a －52b ⇒(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫a －52b ＝0⇒a 2－52b 2－32|a |·|b |·cos θ＝0⇒cos θ＝12，又两向量夹角范围为[0°，180°]，故θ＝60°.答案：60°13．(2013·资阳第一次模拟)在钝角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，b ＝1，c ＝3，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于________．解析：由正弦定理b sin B ＝csin Csin C ＝c b sin B ＝32，又△ABC 为钝角三角形，则C ＝120°，A ＝30°.S △ABC ＝12×1×3×12＝34.答案：3414．(2013·荆门高三调考)已知|OA →|＝1，|OB →|≤1，且S △OAB ＝14，则OA →与OB →夹角的取值范围是________．解析：S △OAB ＝12|OA →||OB →|·sin θ＝12|OB →|·sin θ＝14，∴sin θ＝12|OB →|≥12，∴π6≤θ≤56π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)(2013·陕西卷)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝()3sin x ，cos 2x ，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·()3sin x ，cos 2x＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，知当2x －π6＝π2，即x ＝π3时， f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时， f (0)＝－12，当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，∴f (x )的最小值为－12.因此， f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 16．(满分12分)(2013·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3的值．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，从而得cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin 2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝45＋318. 17．(满分13分)(2013·资阳第一次模拟)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12α－π6＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f (α)的值．解：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x＝cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＋sin 2x ＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(2)由(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12α－π6＝sin α＝13，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－223，故sin 2α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429，cos 2α＝2⎝⎛⎭⎪⎫－2232－1＝79， ∵f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12sin 2α＋32cos 2α＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－429＋32×79＝73－4218. 18．(满分13分)(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc2bc ＝－32.又0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得 S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ，因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：9-5 Word版含解析

课时作业(五十六)一、选择题1．(2012·广东卷)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19解析：在个位数与十位数之和为奇数的两位数中：(1)当个位数是偶数时，由分步计数乘法原理知，共有5×5＝25个；(2)当个位数是奇数时，由分步计数乘法原理知，共有4×5＝20个．综上可知，基本事件总数共有25＋20＝45(个)，满足条件的基本事件有5×1＝5(个)，∴概率P ＝545＝19.答案：D2．同时随机掷两颗骰子，则至少有一颗骰子向上的点数小于4的概率为( )A.19B.89C.14D.34解析：共有36种情况，其中至少有一颗骰子向上的点数小于4有27种情况，所以所求概率为2736＝34.答案：D3．(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析：事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P ＝1－110＝910.答案：D4．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析：点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上(2≤n ≤5)，且事件C n 的概率最大．当n ＝3时，P 点可能是(1,2)，(2,1)，当n ＝4时，P 点可能是(1,3)，(2,2)，即事件C 3、C 4的概率最大，故选D.答案：D5．(2013·浙江重点中学高三摸底测试)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋ni )2为纯虚数的概率为( )A.13B.14C.16D.112解析：由(m ＋ni )2＝m 2－n 2＋2mni ，要使虚数为纯虚数，则m 2－n 2＝0即m ＝n ，所以P ＝636＝16. 答案：C6．(2013·江西重点中学高三第一次联考)我们把棱长要么为1 cm ，要么为2 cm 的三棱锥定义为“和谐棱锥”．在所有结构不同的“和谐棱锥”中任取一个，取到有且仅有一个面是等边三角形的“和谐棱锥”的概率是( )A.12B.13C.14D.15解析：结构不同的和谐棱锥共5个：①底面三边均为1，其余棱为2，有1个；②底面三边均为2，其余棱为2，或其余三条棱一条为1，另两条为2，共2个；③一组对棱为1，其余四条棱为2，有1个，所以结构不同的“和谐棱锥”共有5个．其中有且仅有一个面为等边三角形的有一个，故所求概率为15.答案：D二、填空题7．(2013·无锡第一学期质检)甲、乙、丙三人站成一排，其中甲、乙两人不排在一起的概率为________．解析：甲、乙、丙三人站成一排，所有的站位方法共有：①甲、乙、丙；②甲、丙、乙；③乙、甲、丙；④乙、丙、甲；⑤丙、甲、乙；⑥丙、乙、甲六种情况，其中甲、乙两人不排在一起的共有2种，故答案为26＝13.答案：138．(2012·江苏卷)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意可知，这10个数分别为1，－3,9，－27,81，－35，36，－37,38，－39，在这10个数中，比8小的有5个负数和1个正数，故由古典概型的概率公式得所求概率P ＝610＝35.答案：359．(2013·湖北武汉调研测试)有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率为________．解析：依题意，二人离开的所有情况有6×6＝36种，二人在同一层离开的情况有6种，又每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，∴这2个人在不同层离开的概率P ＝1－66×6＝56. 答案：56三、解答题10．(2013·广东卷)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)由题意知苹果的样本总数n ＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)的频率是2050＝0.4.(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x 个，则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x )个．∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15，∴5∶15＝x ∶(4－x )，解得x ＝1.即重量在[80,85)的有1个．(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)中有1个，记为a ，重量在[95,100)中有3个，记为b 1，b 2，b 3，任取2个，有ab 1、ab 2、ab 3、b 1b 2、b 1b 3、b 2b 3共6种不同方法．记基本事件总数为n ，则n ＝6，其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A ，事件A 包含的基本事件为ab 1、ab 2、ab 3，共3个，由古典概型的概率计算公式得P (A )＝36＝12.11．(2013·河北唐山一中第二次月考)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；(3)若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a、b 的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为70.14＝50(人)．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等，前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内．(3)设成绩优秀的9人分别为a，b，c，d，e，f，g，h，k，则选出的2人所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，ak，bc，bd，be，bf，bg，bh，bk，cd，ce，cf，cg，ch，ck，de，df，dg，dh，dk，ef，eg，eh，ek，fg，fh，fk，gh，gk，hk.共36种，其中a、b至少有1人入选的情况有15种，∴a、b两人至少有1人入选的概率为P＝1536＝512.12．(2013·陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2)在1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)1231a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率p ＝418＝29.[热点预测]13．(2014·河北沧州质量监测)如图，茎叶图记录了甲组3名同学寒假期间去图书馆A 学习的次数和乙组4名同学寒假期间去图书馆B 学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，从学习次数大于8的学习中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．解：(1)当X ＝7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7,8,9,12，所以平均数为x ＝7＋8＋9＋124＝9；方差为s 2＝14[(7－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(12－9)2]＝72.(2)记甲组3名同学为A 1，A 2，A 3，他们去图书馆学习次数依次为9,12,11；乙组4名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们去图书馆学习次数依次为9,8,9,12；从学习次数大于8的学生B 1，B 3，B 4中选两名学生，所有可能的结果有A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 3，A 1B 4，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 3，A 2B 4，A 3B 1，A 3B 3，A 3B 4，B 1B 3，B 1B 4，B 3B 4共15种．用C 表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C 中的结果有5个，它们是：A 1B 4，A 2B 4，A 2B 3，A 2B 1，A 3B 4，故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为P (C )＝515＝13.。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：2-1 Word版含解析

课时作业(四)一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠kπ，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．答案：D2．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3 解析：由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，即f (x )＝x ＋1. 答案：B3．已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝( ) A ．8 B ．9 C ．11 D ．10解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11. 答案：C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4 D ．±2或4 解析：(1)当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝2； (2)当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4. 答案：C5．(2013·重庆卷)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0x －2≠1，所以x >2且x ≠3，故选C.答案：C6．(2013·山东潍坊模拟)某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析：由题意可得余数从7开始就应增加一名代表名额，故选B.答案：B 二、填空题7．(2013·湛江市普通高考测试题(二))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 3x ，x >0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＝－1，f (－1)＝2－1＝12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12. 答案：128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f []f (1)>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3, f []f (1)＝f (3)＝32＋6a ，若f []f (1)>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于________．解析：由已知可得M ＝N ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4. 答案：4三、解答题10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有惟一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有惟一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2xx ＋2.11．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－1，x <0，求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式．解：当x ≥0时，g (x )＝x 2， f [g (x )]＝2x 2－1，当x <0时，g (x )＝－1， f [g (x )]＝－2－1＝－3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3，x <0.∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g [f (x )]＝(2x －1)2，当2x －1<0，即x <12时，g [f (x )]＝－1，∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2，x ≥12，－1，x <12.12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义； (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元． [热点预测]13．(1)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①(2)(2013·安阳模拟)函数y ＝x ＋1＋(x －1)0lg (2－x )的定义域是________．解析：(1)①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足．②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )，x ＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0＝－f (x )，x >1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＝－f (x )满足．故选B.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1所以定义域是 {x |－1≤x <1或1<x <2}．答案：(1)B (2){x |－1≤x <1或1<x <2}。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：7-5 Word版含解析

课时作业(四十三)一、选择题1．(2013·潍坊模拟)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解析：l⊥α，α∥β则l⊥β，又m∥β，所以l⊥m；l⊥α，l⊥m则m⊂α或m∥α，又m∥β，所以α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件，选A.答案：A2．(2013·汕头质量测评)设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是() A．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解析：b⊂α且α⊥β，若α∩β＝l，b⊥l，则b⊥β，所以b⊂α，若α⊥β，则b⊥β，不正确，选C.答案：C3．(2013·广东省华附、省实、广雅、深中四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为() A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB ．过点P 垂直于直线l 的直线在平面α内C ．过点P 垂直于平面β的直线在平面α内D ．过点P 在平面α内作垂直于l 的直线必垂直于平面β解析：由于过点P 垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β，因此A 正确，B 不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C 、D 正确．答案：B4．(2013·泉州质检)已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β解析：m ⊥α，m ⊥n ，那么n ⊂α或n ∥α，①当n ⊂α时，若n ⊥β，则α⊥β，②当n ∥α时，则平面α内存在一条直线l ∥n ，若n ⊥β，则l ⊥β，所以有α⊥β，综合可知，m ⊥α，n ⊥β且m ⊥n ，则α⊥β正确，选A.答案：A5．(2013·广西卷)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13解析：如图，连接AC与BD交于点O，连接OC1，过C作CE⊥OC1，垂足为E，连接DE，则∠CDE就是CD与平面BDC1所成的角，设AB＝1，则AA1＝CC1＝2，OC＝22，OC1＝322，因为12OC1·CE＝12OC·CC1，所以CE＝23，所以sin∠CDE＝CECD＝23，故选A.答案：A6．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n ⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l 满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.答案：D二、填空题7．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l ⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，若l⊥m且l ⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.答案：充分不必要8．(2013·常州期末调研)给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为________．解析：根据定理和一些常用结论得：①、③、④正确．②中没有强调两条直线一定相交，否则就不一定平行．答案：①③④9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.解析：可证A1C1⊥平面EGM，故当N在EG上时，MN⊥A1C.可证平面MEH∥平面B1CD1，故当N在EH上时，MN∥平面B1D1C.答案：点N在EG上点N在EH上三、解答题10．(2013·常州市高三期末调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2，CD＝3，直线P A与底面ABCD所成角为60°，点M，N分别是P A，PB的中点．(1)求证：MN∥平面PCD；(2)求证：四边形MNCD是直角梯形；(3)求证：DN⊥平面PCB.证明：(1)因为点M，N分别是P A，PB的中点，所以MN∥AB.因为CD∥AB，所以MN∥CD.又CD⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD，又因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PD，又AD∩PD＝D，所以CD⊥平面P AD.因为MD⊂平面P AD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．(3)因为PD⊥底面ABCD，所以∠P AD就是直线P A与底面ABCD 所成的角，从而∠P AD＝60°.在Rt△PDA中，AD＝2，PD＝6，P A＝22，MD＝ 2.在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝3，CD＝3，CN＝MD2＋(CD－MN)2＝6，从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.在Rt△PDB中，PD＝DB＝6，N是PB的中点，则DN⊥PB.又因为PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.11．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB ⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD.所以P A⊥CD.所以CD⊥平面P AD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.12．(2013·河北唐山一中第二次月考)在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；(2)求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．解：如图，(1)由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则FH 綊12ED ，FH 綊AB ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴BF ∥AH ，BF ⊄平面ACD ，AH ⊂平面ACD ，∴BF ∥平面ACD ；(2)取AD 中点G ，连接CG 、EG ，则CG ⊥AD ，又平面ABED ⊥平面ACD ，∴CG ⊥平面ABED ，∴∠CEG 即为直线CE 与平面ABED 所成的角，设为α，则在Rt △CEG 中，有sin α＝CG CE ＝322＝64. [热点预测]13．(2013·江西省高三联考)如图，△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点P在平面ABC射影为AB的中点D，O是线段CD的中点，∠APC＝60°(1)判断PC与AB是否垂直(不需说明理由)；(2)求PD与平面PBC所成角的正切值；(3)在PB上是否存在点E，使OE∥平面P AC.若存在，求出PE 的长，若不存在，说明理由．解：(1)不垂直(2)由题意知：P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，OD ＝DB ＝52，取BC 的中点Q ，连接PQ 、DQ ，则BC ⊥DQ ，BC ⊥PQ ，∴BC ⊥面PDQ ，∴面PDQ ⊥面PBC ，∴D 在面PBC 上的射影落在PQ 上，则PD 与平面PBC 所成角即为∠QPD ，由于PD ＝392，DQ ＝2，PD ⊥DQ ，故所求角的正切值为43939.(3)过O 作OM ∥AB 交AC 于M ，在平面P AB 内平面直线AB ，使之交PB 于E ，交P A 于N ，并使OM ＝EN ，此时MOEN 为平行四边形，易知OE ∥平面P AC .由于OM 是△CAD 的中位线，∴PE ∶PB ＝NE ∶AB ＝MO ∶AB ＝1∶4.又△ABC 是直角三角形，CD 是斜边上的中线，PD ⊥平面ABC ，有△P AD ≌△PCD ≌△PBD∴P A ＝PC ＝PB ，由于∠APC ＝60°，△P AC 为正三角形，所以PB ＝PC ＝AC ＝4，∴PE ＝14PB ＝1，即在线段PB 上存在点E ，当PE ＝1时，OE ∥平面P AC .。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：9-2 Word版含解析

课时作业(五十三)一、选择题1．(2013·厦门市高三质检)某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有()A．20辆B．40辆C．60辆D．80辆解析：由图知车速大于或等于80 km/h的频率为0.1，被罚车辆大约为200×0.1＝20辆，选A.答案：A2．(2013·武汉调研测试)某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a的值为()A．0.006 B．0.005C．0.004 5 D．0.002 5解析：频率分布直方图中、各个矩形的面积和为1，所以20a＋0.2＋0.3＋0.4＝1，∴a＝0.005.答案：B3．(2013·安徽亳州高三摸底联考)样本中共有五个个体，其值分别为a,2,3,4,5，若该样本的平均值为3，则样本方差为()A.65 B.65C. 2 D．2解析：由a＋2＋3＋4＋55＝3得a＝1∴方差S2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2.∴故答案为D. 答案：D4．(2013·石家庄第二次模拟)给定一组数据x 1，x 2，…，x 20，若这组数据的方差为3，则数据2x 1＋3,2x 2＋3，…，2x 20＋3的方差为( )A ．6B ．9C ．12D ．15解析：由D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，可知2x 1＋3,2x 2＋3，…，2x 20＋3的方差为12.故选C.答案：C5．(2012·陕西卷)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A.x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B.x 甲<x 乙，m 甲<m 乙C.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙D.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙解析：由题图可得x 甲＝34516＝21.562 5，m 甲＝20， x 乙＝45716＝28.562 5，m 乙＝29，所以x 甲<x 乙，m 甲<m 乙．故选B. 答案：B6．(2012·安徽卷)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由图可得，x 甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6， x 乙＝3×5＋6＋95＝6，故A 错；而甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 错；s 2甲＝(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)25＝2， s 2乙＝3×(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)25＝2.4，故C 正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，故D 错．答案：C 二、填空题7．(2013·贵州省六校第一次联考)某同学学业水平考试的9科成绩如茎叶图所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为________．解析：由茎叶图可知该同学的分数由个位及十位数组成，个位数的平均数与十位数的平均数之和为该同学的平均数，所以平均分为：x＝1×60＋4×70＋3×80＋1×909＋3×8＋2×9＋2×2＋1＋39＝670＋509＝80.答案：808．(2013·马鞍山第一次质检)已知总体的各个个体的值由小到大依次为3,7，a，b,12,20，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a＝________.解析：总体的中位数为a＋b2＝12，即a＋b＝24，数据是从小到大排列的7≤a≤b≤12，∴a＝b＝12.答案：129．(2013·保定市高三第一次模拟)一个频率分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.6，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数之和是________．解析：由已知样本数据在[20,60)上的频率为0.6，故在[20,60)上的数据为30，则在[40,50)，[50,60)内的数据个数之和为21.答案：2110．(2013·湖北卷)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．解析：(1)由公式知，平均数为110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7；(2)由公式知，s2＝110(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4⇒s＝2.答案：7 2三、解答题11．为征求个人所得税法修改建议，某机构对当地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,4 000)的频率； (2)根据频率分布直方图估算样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？解：(1)居民月收入在[3 000,4 000)的频率为(0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2.(2)第一组和第二组的频率之和为(0.000 2＋0.000 4)×500＝0.3，第三组的频率为0.000 5×500＝0.25，因此，可以估算样本数据的中位数为 2 000＋0.5－0.30.25×500＝2 400(元)．(3)第四组的人数为0.000 5×500×10 000＝2 500，因此月收入在[2 500,3 000)的这段应抽2 500×10010 000＝25(人)． 12．某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命(单位：h)，可以把这批电子元件分成第一组[100,200]，第二组(200,300]，第三组(300,400]，第四组(400,500]，第五组(500,600]，第六组(600,700]，由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：(2)求图2中阴影部分的面积；(3)若电子元件的使用时间超过300h为合格产品，求这批电子元件合格的概率．解：(1)由题意可知0.1＝A·100，∴A＝0.001，∵0.1＝B200，∴B＝20，又C＝0.1，D＝30200＝0.15，E＝0.2×200＝40，F＝0.4×200＝80，G＝20200＝0.1，∴H＝10，I＝10200＝0.05.(2)阴影部分的面积为0.4＋0.1＝0.5.(3)电子元件的使用时间超过300 h的共有40＋80＋20＋10＝150个，故这批电子元件合格的概率P＝150 200＝34.[热点预测]13．(1)(2013·莆田质检)一组数据如茎叶图所示．若从中剔除2个数据，使得新数据组的平均数不变且方差最小，则剔除的2个数据的积等于________．(2)(2013·江门佛山两市质检)为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如下图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是( )A ．30B ．60C ．70D ．80解析：(1)这组数据的平均数x ＝3＋8＋12＋11＋13＋16＋217＝12，若剔除两个数据后平均数不变，则这两个数之和为24.若使方差最小，则这两个数应与12的差较大，所以剔除3和21，其乘积为3×21＝63.(2)100×(0.1＋0.2＋0.4)＝70. 答案：(1)63 (2)C。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：6-4 Word版含解析

课时作业(三十六)一、选择题1．(2013·泰安质检)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b >2abC.b a ＋ab ≥2D ．a 2＋b 2>2ab解析：ab >0，但是a <0，b <0时A 、B 不正确，而当a ＝b 时D 不正确，C 选项是恒成立的，故选C.答案：C2．(2013·河南洛阳高三统考)在△ABC 中，D 为边BC 上任意一点，AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：依题意得，λ＋μ＝1，λμ＝λ(1－λ)≤⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1－λ22＝14，当且仅当λ＝1－λ，即λ＝12时取等号，因此λμ的最大值是14，选D.答案：D3．(2013·山西适应性训练考试)对于实数a ，b ，若H ＝11a ＋1b 2，A＝a ＋b2，Q ＝a 2＋b 22，则有H ≤A ≤Q .据此判断M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，N＝⎝⎛⎭⎪⎫a －2＋b －22－12与H ，A ，Q 的大小关系是( ) A ．H ≤N ≤A ≤Q ≤M B ．H ≤N ≤M ≤A ≤Q C ．N ≤H ≤M ≤A ≤QD ．N ≤H ≤A ≤Q ≤M解析：由已知：H ≤A ≤Q ，即：a ＋b2≤a 2＋b 22，也可变形为：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，即：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a ＋b 2，∴M ≤A ；即：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 22，1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 22≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 22，∴H ≥N . 答案：C4．(2014·河北名校名师俱乐部二调)函数y ＝x 4x 2＋9(x >0)的最大值为( )A.16B.18C.19D.112解析：y ＝x 4x 2＋9＝14x ＋9x ≤112，当且仅当4x ＝9x ，即x ＝32时等号成立．答案：D5．(2013·宁波市高三“十校”联考)设a 、b ∈R ＋，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝by 时，上式取等号，利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12的最小值为( ) A ．169 B ．121 C ．25D ．16解析：x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时x >0,1－2x >0，由题中结论得f (x )＝42x ＋91－2x ＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x 即x ＝15时，取得最小值，选C.答案：C6．(2013·广州综合测试(二))某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3 000元，以后逐年递增3 000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是( )A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年解析：设这辆汽车报废的最佳年限为n 年，则年平均费用y 与n 的关系为：y ＝0.3n ＋n (n －1)2·0.3＋1.5n ＋15n ＝0.32n ＋15n ＋3.32≥20.32n ·15n ＋3.3＝6.3.当且仅当0.32n ＝15n ，即n ＝10时等号成立，故选B.答案：B 二、填空题7．(2013·成都第三次诊断)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M恒成立，则M 的最大值为________．解析：因为M ≤1xy 恒成立，即求1xy 的最小值为M 的最大值，2＝x ＋y ≥2xy ⇒x ·y ≤1，则1xy ≥1，故M 的最大值为1.答案：18．(2013·成都第一次诊断)当x >1时，log 2x 2＋log x 2的最小值为________．解析：log 2x 2＋log x 2＝2log 2x ＋log x 2＝2log x2＋log x 2≥22，当且仅当(log x 2)2＝2即x ＝222取等号．答案：2 29．(2013·江西省红色六校第二次联考)在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．解析：设填入的两个自然数分别为a ，b .则4a ＋9b ＝60，倒数和为1a ＋1b ＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b a ＋4a ＋9b b＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫9b a＋4a b ＋13≥160(236＋13)＝512，当且仅当9b a ＝4ab ，即a ∶b ＝3∶2时等号成立，取得最小值．又因为4a ＋9b ＝60，所以a ＝6，b ＝4.答案：6 4 三、解答题10．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 证明：∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ac b ，abc 都是正数．∴bc a ＋acb ≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立， ac b ＋abc ≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bca ≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立．三式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．11．(1)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值； (2)设x >－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最值．解：(1)∵x >0，a >2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x ) ≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(a －2x )22＝a 28 当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28. (2)∵x >－1，∴x ＋1>0. 设x ＋1＝z >0，则x ＝z －1∴y ＝(z ＋4)(z ＋1)z ＝z 2＋5z ＋4z ＝z ＋4z ＋5 ≥2z ·4z ＋5＝9.当且仅当z ＝2，即x ＝1时上式取等号． ∴x ＝1时，函数y 有最小值9，无最大值．12．(2013·长沙模拟)△ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3(百米)，底AB 的长为4(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF (宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S 1和S 2.(1)若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度； (2)求S 1S 2的最小值．解：(1)∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝32. ∵32＋3<32＋4，∴F 不在BC 上．则F 在AB 上，由AE ＋AF ＝3－AE ＋4－AF ＋3，∴AE ＋AF ＝5.∴AF ＝72<4.在△ABC 中，cos A ＝23.在△AEF 中，EF 2＝AE 2＋AF 2－2AE ·AF cos A ＝94＋494－2×32×72×23＝152，∴EF ＝302.即小路一端E 为AC 的中点时小路的长度为302(百米)．(2)若小道的端点E 、F 点都在两腰上，如图，设CE ＝x ，CF ＝y ，则x ＋y ＝5，S 1S 2＝S △CAB －S △CEF S △CEF ＝S △CABS △CEF－1＝12CA ·CB sin C 12CE ·CF sin C －1 ＝9xy －1≥9⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－1＝1125(当x ＝y ＝252时取等号)；若小道的端点E 、F 分别在一腰(不妨设腰AC )上和底上，设AE ＝x ，AF ＝y ，则x ＋y ＝5，S 1S 2＝S △ABC －S △AEF S △AEF ＝S △ABC S △AEF －1＝12xy －1≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－1＝2325⎝ ⎛⎭⎪⎫当x ＝y ＝52时取等号.所以，最小值是1125. [热点预测]13．(1)(2013·莆田质检)已知a 、b 为实数，ab >0，若函数f (x )＝xa ＋1b sin πx2＋a ＋b －1是奇函数，则f (1)的最小值是________．(2)(2013·黑龙江哈尔滨四校统一检测)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥03x －y －2≤0x ≥0y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：(1)若函数f (x )为奇函数，则a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.f (1)＝1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ∵ab >0，∴a >0，b >0.b a ＋ba ≥21，当且仅当a ＝b ＝1时，取得“＝”，∴f (1)≥2＋2＝4.(2)作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0和3x －y －2＝0的交点A (2,4)时，z 取得最大值6，所以2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3，所以log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋2a 3b ＋2b 3a ≥log 33＝1，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，选择A.答案：(1)4 (2)A。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：质量检测1 Word版含解析

质量检测(一)测试内容：集合常用逻辑用语与函数导数及应用时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为()A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆BD⇒/a＝3，所以“a ＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．(2013·山东烟台诊断)下列说法错误的是()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”解析：若p∧q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，故选C.答案：C4．(2013·西安长安区第一次质检)下列函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝m 1|x|B．y＝x3C．y＝2|x|D．y＝cos x解析：f(x)＝x3，f(－x)＝－x3＝－f(x)，∴f(x)＝x3为奇函数．且f(x)＝x3在R上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递增，故选B.答案：B5．若函数f(x)＝ax2＋(a2－1)x－3a为偶函数，其定义域为[4a＋2，a2＋1]，则f(x)的最小值为()A．3 B．0 C．2 D．－1解析：由f(x)为偶函数知a2－1＝0，即a＝±1，又其定义域需关于原点对称，即4a＋2＋a2＋1＝0必有a＝－1.这时f(x)＝－x2＋3，其最小值为f(－2)＝f(2)＝－1.故选D.答案：D6．(2014·河北名校名师俱乐部二调)曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B ．2 C.43 D.23解析：y ′＝x ＋1，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为y －4＝3(x －2)，令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝23，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×|－2|×23＝23.答案：D7．(2013·重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4解析：因为f [lg(log 210)]＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg2＝f [－lg(lg 2)]＝5，又f (x )＋f (－x )＝8，所以f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8，所以f [lg(lg 2)]＝3，故选C.答案：C8．(2013·青岛市统一质检)已知函数f (x )对定义域R 内的任意x 都有f (x )＝f (4－x )，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足xf ′(x )>2f ′(x )，若2<a <4则( )A ．f (2a )<f (3)<f (log 2a )B ．f (3)<f (log 2a )<f (2a )C ．f (log 2a )<f (3)<f (2a )D ．f (log 2a )<f (2a )<f (3)解析：由f (x )＝f (4－x )知函数f (x )关于x ＝2对称，x ≠2时，有(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时f ′(x )>0，x <2时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，2)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，2<a <4时4<2a <16，k log 2a <2，∴log 2a <2<2a ，知f (log 2a )<f (3)<f (2a )，选C.答案：C9．(2013·南平市质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x ＋a e x ，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞)解析：当a ＝1时，f (x )＝e x ＋1e x f ′(x )＝e x －1e x ＝e x－1e x 在[0,1]上f ′(x )≥0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增．a ＝－1时f (x )＝e x －1e x 很显然在区间[0,1]上单调递增，故选C.答案：C10．(2014·河北名校名师俱乐部二调)下图中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上．又∵a ≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a >0，∴a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，故f (－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·重庆市九校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－2，f (－2)＝14， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝14. 答案：1412．f (x )＝xn 2－3n (n ∈Z )是偶函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n <0，即0<n <3，又因为f (x )是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或213．(2013·山东菏泽模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)d x 的值等于________．解析：由于f(x)＝x m ＋ax 的导函数f ′(x)＝2x ＋1，所以f(x)＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f(－x)d x ＝⎠⎛12(x 2－x)d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56.答案：5614．(2013·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m )．解析：如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x.则S ＝x(40－x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m )．答案：20三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a>2或a<－2.即a 的取值范围为{a|a>2或a<－2}．16．(满分12分)(2013·丰台区期末练习)已知函数f(x)＝(ax 2＋bx ＋c)e x (a>0)的导函数y ＝f ′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－1，求f(x)的极大值．解：(1)f ′(x)＝(2ax ＋b)e x ＋(ax 2＋bx ＋c)e x ＝[ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c]e x .令g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c ，∵e x >0，∴y ＝f ′(x)的零点就是g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c 的零点，且f ′(x)与g(x)符号相同．又∵a>0，∴当x<－3，或x>0时，g(x)>0，即f ′(x)>0，当－3<x<0时，g(x)<0，即f ′(x)<0，∴f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)．(2)由(1)知，x ＝0是f(x)的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－1，b ＋c ＝0，9a －3(2a ＋b )＋b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝1，c ＝－1.所以函数的解析式为f(x)＝(x 2＋x －1)e x .又由(1)知，f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)．所以，函数f(x)的极大值为f(－3)＝(9－3－1)e －3＝5e 3.17．(满分12分)2013年8月31日第十二届全运会在辽宁沈阳开幕，历时13天．某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润为y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)．(2)由y ′＝5a(4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，所以当0<x<12时，y ′>0；当12<x<1时，y ′<0.所以函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，纪念品的销售价为20×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．18．(满分14分)(2013·山西省第三次四校联考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e ]上的最小值为－2，求a 的取值范围；(3)若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，且f(x 1)＋2x 1< f(x 2)＋2x 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f(x)＝2x －3＋1x . 因为f ′(1)＝0，f(1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．当a>0时，f ′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x＝2ax 2－(a ＋2)x －1x(x>0) 令f ′(x)＝0，即f ′(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋1x＝(2x －1)(ax －1)x＝0，所以x ＝12或x ＝1a .当0<1a ≤1，即a ≥1时，f(x)在[1，e ]上单调递增，所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(1)＝－2；当1<1a <e 时，f(x)在[1，e ]上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2，不合题意；当1a ≥e 时，f(x)在(1，e )上单调递减，所以f(x)在[1，e ]上的最小值是f(e )<f(1)＝－2，不合题意． ∴综上a ≥1.(3)设g(x)＝f(x)＋2x ，则g(x)＝ax 2－ax ＋ln x ，只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可．而g ′(x)＝2ax －a ＋1x ＝2ax 2－ax ＋1x当a ＝0时，g ′(x)＝1x >0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a ≠0时，只需g ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x ∈(0，＋∞)，只要2ax 2－ax ＋1≥0，则需要a>0，对于函数y ＝2ax 2－ax ＋1，过定点(0,1)，对称轴x ＝14>0，只需Δ＝a 2－8a ≤0，即0<a ≤8.综上0≤a ≤8.。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：质量检测6 Word版含解析

质量检测(六)测试内容：统计、概率算法初步时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．一个容量为100的样本，其频数分布表如下A．0.13 B．0.39C．0.52 D．0.64解析：由题意可知样本在(10,40]上的频数是：13＋24＋15＝52，由频率＝频数÷总数，可得样本数据落在(10,40]上的频率是0.52.答案：C2．(2013·江门佛山两市高三质检)为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如下图)，那么在这100株树木中，底部周长小于110 cm的株数是()A ．30B ．60C ．70D ．80解析：100×(0.1＋0.2＋0.4)＝70. 答案：C3．(2013·山东泰安第二次模拟)设某高中的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该高中某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该高中某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 解析：若该高中某女生身高为170 cm ，则其体重大约为58.79 kg ，故选项D 是不正确的．答案：D4．(2013·安徽江南十校开学第一考)下图是甲、乙两名运动员某赛季6个场次得分的茎叶图，用x 甲，x 乙分别表示甲，乙得分的平均数，则下列说法正确的是( )A ．x 甲>x 乙且甲得分比乙稳定B ．x 甲＝x 乙且乙得分比甲稳定C ．x 甲＝x 乙且甲得分比乙稳定D ．x 甲<x 乙且乙得分比甲稳定解析：由茎叶图所给数据，经计算x －甲＝x －乙＝25，而方差S 甲<S乙．答案：C5．(2013·山西第三次四校联考)下列说法错误的是( ) A ．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B ．线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，相关指数R 2为0.98的模型比相关指数R 2为0.80的模型拟合的效果好解析：线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^可以不经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…(x n ，y n )中的任一点．答案：B6．(2013·福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n 后，输出的S ∈(10,20)，那么n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：当n ＝1时，S ＝1；当n ＝2时，S ＝1＋2×1＝3；当n ＝3时，S ＝1＋2×3＝7；当n ＝4时，S ＝1＋2×7＝15∈(10,20)，故选B.答案：B7．(2013·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：第1次，S ＝－1，不满足判断框内的条件；第2次，n ＝2，S ＝1，不满足判断框内的条件；第3次，n ＝3，S ＝－2，不满足判断框内的条件；第4次，n ＝4，S ＝2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n ＝4.答案：D8．(2014·河北沧州名师名校俱乐部二调)如图是甲、乙两同学连续4次月考成绩的茎叶图，其中数据x (x ∈Z )无法确认，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.25B.12C.35D.45解析：由14×(92＋97＋88＋89)>14×(90＋x ＋99＋83＋89)，得x <5，故x 取值为0,1,2,3,4，所以所求概率为P ＝510＝12.答案：B9．(2013·淄博高三检测)设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析：由⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4≥0，0≤p ≤5得2≤p ≤5，故所求概率为5－25－0＝35.答案：C10．(2013·山西太原高三模拟(一))已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,4]上随机取一个实数x 0，则使得f (x 0)≥1成立的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：f (x 0)＝log 2x 0≥1，则x 0≥2 当x 0∈[1,4]时，所求概率为4－24－1＝23.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2013·成都第二次诊断)在某大型企业的招聘会上，前来应聘的本科生、硕士研究生和博士研究生共2 000人，各类毕业生人数统计如图所示，则博士研究生的人数为________．解析：由图可知，博士生人数所占比例为1－62%－26%＝12%，故博士生人数为2 000×12%＝240.答案：24012．(2013·泰安高三质检)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析：男生人数为280560＋420×560＝160.答案：16013．(2013·宁夏银川月考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y ＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．解析：(1)圆心坐标为(0,0)，圆心到直线4x＋3y＝25的距离d＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5.(2)如图l ′∥l ，且O 到l ′的距离为3，sin ∠ODE ＝323＝32，所以∠ODE ＝60°，从而∠BOD ＝60°，点A 应在劣弧BD 上，所以满足条件的概率为16.答案：5 1614．(2013·温州市高三第二次适应性测试)经过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速地区的时速(单位：km/h)，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中这100辆汽车时速范围是[35,85]，数据分组为[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)．由此估计通过这一地区的车辆平均速度为________．解析：40×0.05＋50×0.2＋60×0.4＋70×0.25＋80×0.1＝61.5.答案：61.5三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)(2013·安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n .由题意知，30n ＝0.05，即n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x 1′，x 2′.根据样本茎叶图可知，30(x 1′－x 2′)＝30x 1′－30x 2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.因此x 1′－x 2′＝0.5.故x 1－x 2的估计值为0.5分． 16．(满分12分)(2013·河南开封高三第一次模拟)为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：“m ，n 均不小于25”的概率；(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(参考公式：b ＝ni ＝1xiyi －n x －y －n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －－b x －)(参考数据：3i ＝1xiyi＝977，3i ＝1x 2i ＝434)解：(1)m ，n 的所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共10个．设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)．所以P (A )＝310，故事件A 的概率为310.(2)由数据得从5天中未选取的3天的平均数x －＝12，y －＝27,3x －y －＝972,3x 2＝432，又3i ＝1x i y i ＝977，3i ＝1x 2i ＝434，所以b ＝977－972434－432＝52，a ＝27－52×12＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(3)依题意得，当x ＝10时，y ^＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^＝17，|17－16|<2，所以得到的线性回归方程是可靠的．17．(满分12分)(2013·福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝11221221n1＋n2＋n＋1n＋2(注：此公式也可以写成K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)) 解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．18．(满分14分)(2013·天津卷)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，(ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果；(ⅱ)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B发生的概率．解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：124579一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝615＝2 5.。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：8-3 Word版含解析

课时作业(四十六)一、选择题1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4解析：AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为：x2＋y2＝2.答案：A2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为() A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案：A3．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)解析：曲线C的方程可以化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a>2.答案：D4．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12 解析：设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )，∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C.答案：C5．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95B ．1 C.45 D.135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.答案：C6．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：将圆的方程化成标准形式得(x －3)2＋(y －4)2＝25，所以圆心为P (3,4)，半径r ＝5.而|MP |＝(3－3)2＋(4－5)2＝1<5，所以点M (3,5)在圆内，故当过点M 的弦经过圆心时最长，此时|AC |＝2r ＝10，当弦BD 与MP 垂直时，弦BD 的长度最小，此时|BD |＝2r 2－|MP |2＝252－12＝4 6.又因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |×|BD |＝12×10×46＝20 6.答案：B二、填空题7．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.答案：(x ＋2)2＋y 2＝28．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π9．(2013·杭州模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是______．解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5.又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1.答案：(－∞，1)三、解答题10．(2013·重庆九校联考)已知⊙C 与两平行直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，且圆心C 在直线x ＋y ＝0上．(1)求⊙C 的方程；(2)斜率为2的直线l 与⊙C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点且满足OA →⊥OB →，求直线l 的方程．解：(1)由题意知⊙C 的直径为两平行线x －y ＝0及x －y －4＝0之间的距离∴d ＝2R ＝|0－(－4)|2＝22，解得R ＝2，设圆心C (a ，－a )，由圆心C 到x －y ＝0的距离|2a |2＝R ＝2得a ＝±1，检验得a ＝1.∴⊙C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)由(1)知⊙C 过原点，若OA →⊥OB →，则l 经过圆心，易得l 的方程：2x －y －3＝0.11．(2013·无锡第一中学质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A (－4,0)，B (0，－2)，半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AB 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r .(1)若r 为正常数，求圆M 的方程；(2)当r 变化时，是否存在定直线l 与圆相切？如果存在求出定直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵定点A (－4,0)，B (0，－2)，线段AB 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3；∵圆M 的圆心M 在线段AB 的垂直平分线上，且在y 轴右侧∴设圆心M 为(x 0,2x 0＋3)∵圆M 被y 轴截得的弦长为3r ，∴圆心到y 轴的距离x 0满足：x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2＝r 2，即x 0＝r 2，∴圆心M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2，r ＋3 ∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12r 2＋(y －r －3)2＝r 2； (2)圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ，r ＋3在直线y ＝2x ＋3上移动，且半径为r ，设直线l ：y ＝2x ＋m 与圆M 相切，则2·12r－(r＋3)＋m22＋12＝r，解得m＝3±5r，所以不存在符合题意的定直线．12．如右图所示，圆O1和圆O2的半径长都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|＝2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简，得(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.[热点预测]13．(1)(2013·安徽亳州摸底联考)已知圆C 的圆心是抛物线y ＝116x 2的焦点．直线4x －3y －3＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的方程为________．(2)(2013·吉林长春三校调研)设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．解析：(1)y ＝116x 2的焦点为(0,4)，∴设圆的方程为x 2＋(y －4)2＝r 2(r >0)所以弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝ 2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|4×0－3×4－3|32＋422＝2 r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|15|52＝8. 所以r 2＝25，所以圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.(2)如图，A 为PB 的中点，而C 为AB 的中点，因此，C 为PB 的四等分点．而C (3,5)，P 点的横坐标为0，因此，A 、B 的横坐标分别为2、4，将A 的横坐标代入圆的方程中，可得A (2,3)或A (2,7)，根据直线的两点式得到直线l 的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0.答案：(1)x2＋(y－4)2＝25(2)2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：1-2 Word版含解析

课时作业(二)一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案：B2．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案：D3．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．答案：A4．(2013·福建卷)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P 在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y ＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．答案：A5．(2014·河北名校名师俱乐部二调)已知“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]解析：由3x＋1<1，得3x＋1－1＝－x＋2x＋1<0，所以x<－1或x>2.因为“x>k”是“3x＋1<1”的充分不必要条件，所以k≥2. 答案：A6．(2013·湖南卷)“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“1<x <2”可以推得“x <2”，即满足充分性，但“x <2”得不出“1<x <2”，所以为充分不必要条件．答案：A7．(2013·浙江卷)若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α<cos α；而当sin α<cos α时，α＝0或α＝π6，…，故选A.答案：A8．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”．若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2.对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1.对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，故不能推出x >1或y >1.对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1，故选B.答案：B二、填空题9．命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填 “真”或“假”)解析：其否命题为“若x ≤0，则x 2≤0”，它是假命题．答案：假10．(2013·绍兴模拟)“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a＝1表示椭圆”的________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．答案：必要不充分11．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2D ⇒/A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．(2013·山西高考考前适应性训练)给出下面几个命题： ①“若x >2，则x >3”的否命题；②“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x 在定义域内单调递增”的否定； ③“π是函数y ＝sin x 的一个周期”或“2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期”；④“x 2＋y 2＝0”是“xy ＝0”的必要条件．其中真命题的序号是________．解析：①的否命题为：若x ≤2，则x ≤3，这是个真命题；②的否定为：∃a ∈(0，＋∞)使得函数y ＝a x 在定义域上是减函数；因为a ∈(0,1)时，函数y ＝a x 在定义域上是减函数，因此这个命题是真命题；③或连接的命题只要有一个为真则连接命题为真，其中2π是函数y ＝sin 2x 的一个周期为真，因此这个是真命题；④x 2＋y 2＝0可得：x ＝0且y ＝0，即：xy ＝0；而xy ＝0，可得：x 2＋y 2≥0；因此x 2＋y 2＝0是xy ＝0的充分条件，不是必要条件．答案：①②③三、解答题13．(2013·荆门市高三元月调考)已知命题p ：函数f (x )＝(2a －5)x 是R 上的减函数；命题q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：p ：∵函数f (x )＝(2a －5)x 是R 上的减函数∴0<2a －5<1，故有52<a <3.q ：由x 2－ax ＋x <0得ax >x 2＋2，∵1<x <2，且a >x 2＋2x ＝x ＋2x 在x ∈(1,2)时恒成立，又x ＋2x ∈[22，3]，∴a ≥3.p ∨q 是真命题，故p 真或q 真，所以有52<a <3或a ≥3.所以a 的取值范围是a >52.[热点预测]14．设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1，或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1，或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴B A ，∴a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a <12.∴0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.。

2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：6-6 Word版含解析

课时作业(三十八)一、选择题1．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)>0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．答案：B2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0答案：C3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：P 2＝2a ＋7＋2a (a ＋7)，Q 2＝2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)＝2a ＋7＋a 2＋7a ＋12 显然P 2<Q 2，从而P <Q . 答案：C4．(2013·银川模拟)若a 、b 、c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①②正确，③中，a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.答案：C5．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( ) A ．都不大于－2 B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都大于－2，即a ＋1b >－2，b ＋1c >－2，c ＋1a >－2，将三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a >－6，又因为a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c ≤－2，三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≤－6，所以假设不成立．答案：C6．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：由已知得x 2＝ab ，y 2＝bc ，而ab 、b 2、bc 中因a 、b 、c 均为正数且2b ＝a ＋c ，∴2b 2＝ab ＋bc ，∴x 2、b 2、y 2成等差数列而非等比数列．答案：B 二、填空题7．若记号“※”表示求两个实数a 和b 的算术平均数的运算，即a ※b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“※”和“＋”，且对于任意3个实数a ，b ，c 都能成立一个等式可以是________．解析：∵a ※b ＝a ＋b 2，b ※a ＝b ＋a2，∴a ※b ＋c ＝b ※a ＋c . 答案：a ※b ＋c ＝b ※a ＋c .8．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．解析：由题意可得f (－1)>0或f (1)>0即可，解f (－1)>0，得2p 2＋3p －9<0，即－3<p <32，解f (1)>0，得2p 2－p －1<0，即－12<p <1，求并集得－3<p <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 9．(1)由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比“若a ，b ，c 为三个向量，则(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想，a n ＝2n －2；(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；(4)若 f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2＋1.上述四个推理中，得出的结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)解析：向量的乘法不满足结合律，故(1)不正确； ∵ f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，故 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＋1＝2，故(4)不正确．答案：(2)(3) 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )≤g (x )．解：(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)．h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )． 11．已知函数y ＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)y ′＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.∵a >1，∴ln a >0，a x>0.又x >－1，∴3(x ＋1)2>0，∴y ′>0，∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设方程f (x )＝0有负数根，即存在x 0<0，使f (x 0)＝0，即ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0，∴ax 0＝2－x 0x 0＋1. 若x 0<－1，则2－x 0x 0＋1<0.①而ax 0>0恒成立，② ∴①式与②式矛盾，若－1<x 0<0，则ax 0＝－1＋3x 0＋1.∵－1<x 0<0，∴0<x 0＋1<1， ∴1x 0＋1>1，∴3x 0＋1>3， ∴－1＋3x 0＋1>2.③而当－1<x 0<0时，0<ax 0<1.④ ∴③式与④式矛盾．综上可知，假设不成立，原命题正确，即方程f (x )＝0没有负数根．12．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2<b 2n ＋1. 解：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明：由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n . b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2·2n ＋1＋1)＝－2n <0，所以b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.[热点预测]13．(2013·湖南省六校联考)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－(a ＋1)x (a ≥1)(1)讨论f (x )的单调性与极值点．(2)若g (x )＝12x 2－x －1(x >1)，证明：当a ＝1时，g (x )的图象恒在f (x )的图象上方．(3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)．解：(1)f ′(x )＝ax ＋x －(a ＋1)＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x (x >0) 当a ＝1时f ′(x )＝(x －1)2x ≥0在(0，＋∞)上恒成立 ∴f (x )在(0，＋∞)单调递增，此时f (x )无极值点当a >1时f ′(x )，f (x )在定义域上的变化情况如下表：a )上单调递减．x ＝1为极大值点，x ＝a 为极小值点．(2)证明：a ＝1时，令F (x )＝g (x )－f (x )＝12x 2－x －1－ln x －12x 2＋2x ＝x －1－ln xF ′(x )＝1－1x ＝x －1x 当x >1时，F ′(x )>0,0<x <1时，F ′(x )<0 ∴F (x )在(0,1)递减，在(1，＋∞)上递增． ∴F (x )≥F (1)＝0，∴x >1时，F (x )>0恒成立即x >1时g (x )>f (x )恒成立∴当x >1，g (x )的图象恒在f (x )的图象的上方． (3)证明：由(2)知F (x )≥F (1)＝0即ln x ≤x －1 ∵x >0，∴ln x x ≤1－1x .令x ＝n 2(n ∈N *)则ln n 2n 2≤1－1n 2，∴ln n n 2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2∴ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋1－132＋…＋1－1n 2＝12(n －1)－12⎝⎛⎭⎪⎫122＋132＋…＋1n 2.<12(n －1)－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…1n (n ＋1) ＝12(n －1)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝12(n －1)－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＝2n2－n－1 4(n＋1)∴不等式成立．。