圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)基础知识及常用结论

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆

一、椭圆定义

定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ）

椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ）

定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-）

二、椭圆的性质定理

长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e

p ，切线方程用代替③

焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解：

1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+

2准线方程：2

a x c

= （

a 方除以c ）

3椭圆的通径

d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距

离称为椭圆的通径.（通径22

c b 2b 2a c a

d 2ep =⋅⋅==）

过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到.

等效代替后的是切线方程是：0022x x y y

1a b

+=

4、焦三角形计面积，半角正切连乘b

焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半.

则焦三角形的面积为：2

S b 2

tan

θ

=

证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理：

222m n 2mn 4c cos θ+-⋅=

22224a 4b m n 4b ()=-=+-

即：2

2mn 2mn 4b cos θ-⋅=-，即：22b 1mn (cos )θ=+.

即：2

122b mn PF PF 1||||cos θ==+

故：12

F PF 1S m n 2sin θ=⋅⋅△2

2

12b b 211sin sin cos cos θθθθ=⋅

⋅=⋅++

又：22221222

sin cos

sin tan cos cos

θθ

θ

θ

θθ

=

=+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122

F PF S b 2tan θ

∆=. 三、椭圆的相关公式

切线平分焦周角，称为弦切角定理①

1F

2F

O

x

y

P

m

n

切点连线求方程，极线定理须牢记② 弦与中线斜率积，准线去除准焦距③ 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④ 注解：

1

弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.

弦切角是指椭圆的弦与其切线相交

于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.

2若000P x y (,)在椭圆

22

2

2x y 1a b

+=外，则过0P 作椭圆的两条切线，切点为

12P P ,，则点0P 和切点弦12P P ,分别称为椭圆的极点和极线.

切点弦12P P 的直线方程即极线方程是0022x x

y y

1a b

+=（称为极线定理）

3弦指椭圆内的一弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即

OAB ∆得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2

c a x c

=-去除

准焦距2

b

p c

=

，其结果是：2AB OM

2c p b k k x a

⋅==- 4

中点弦AB 的方程：在椭圆中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，弦AB 称

为中点弦，则中点弦的方程就是22

00002222x x y y x y a b a b

+=+，是直线方程.

弦中点M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点000P x y (,)的弦AB ，其

中点M 的方程就是22

002222x x y y x y a b a b

+=+，仍为椭圆.

这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线

一、双曲线定义

二、双曲线的性质定理

基本同椭圆，有所区别：

实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e

p ，切线方程用代替③

焦三角形计面积，半角余切连乘b ④ 注解：

1实轴2a =，虚轴2b =，焦距2c =，则：222

a b c +=

2

准线方程2

a x c

=± （a 方除以c ）

准焦距p ：焦点到准线的距离：2

b p

c = （b 方除以c ）

3通径等于2 e p ，切线方程用代替

双曲线的通径

d ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间

的距离称为双曲线的通径.（通径22

c b 2b 2a c a

d 2ep =⋅⋅==）

过双曲线上000P x y (,)点的切线方程，用000P x y (,)等效代替双曲线方程

得到，等效代替后的是切线方程是：0022x x y y

1a b

-=

4焦三角形计面积，半角余切连乘b

焦三角形：以双曲线的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF γ=∠的一半.

双曲线22

22x y 1a b

-=的左右焦点分别为12F F ,，点P 为双曲线上异于顶

点任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点三角形满足：2

122b PF PF 1cos γ=- 其面积为；122

F PF S b co 2t γ

∆=.

证明：设21PF m PF n ,==，则m n 2a -=

在12F PF ∆中，由余弦定理得：

2

2

2

121212PF PF 2PF PF F F cos γ+-=，

即：222m n 2mn 4c cos γ+-⋅=2222

4a 4b m n 4b ()=+=-+ 即：2222

m n 2mn m n 4b cos ()γ+-⋅=-+

即：2

2mn 2mn 4b cos γ-⋅=，即：22b mn 1(cos )γ=-