《电磁场与电磁波》第三版 电子课件003解析

值为 S 1 S－2 S 0 ，式(3-2-1)
() 2dV 0 V
(3-2-2)
因为（）2 非负， 故只有 0 ，由此必然得到电位函数
=常数。又由于边界上电位的值等于零，即 0 ， 因 S =0。 所以可以推得 1 2 ， 这就证明了解的唯一性。
其他两类边界条件的证明与上面的证明类似， 在此略去。
实际问题总是有边界的。所有的边值问题可以归结为以下 三类：
(1) 已知场域边界面S上各点电位的值，即给定
S f1(S)
(3-1-1)
称为第一类边界条件或狄利克利条件。这类问题称为第一类边值
问题。
第3章 边值问题的解法
(2) 已知场域边界面S
n S f2 (S )
(3-1-2)
称为第二类边界条件或诺伊曼条件。这类问题称为第二类边值
对于那些电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的
区域内多数点的体电荷密度等于零，即ρV=0，因而有
2 0
(3-1-6)
式(3-1-6)称为拉普拉斯方程(Laplace’s Equation)。第3章Fra bibliotek边值问题的解法
3.2 唯 一 性 定 理
如前所述，所有的边值问题都可以归结为在给定的边界条 件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的问题。
问题。
(3) 已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组
合值，即给定
(
) S
n
f3(S)
(3-1-3)
称为第三类边界条件或混合边界条件。这类问题称为第三类边
值问题。
第3章 边值问题的解法
如果边界面S是导体，则上述三类问题分别变为：已知各 导体表面的电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体电位 和另一部分导体的电荷量。
第3章 边值问题的解法
所谓镜像法，就是暂时忽略边界的存在，在所求的区域 之外放置虚拟电荷来代替实际导体表面上复杂的电荷分布来 进行计算。这个虚拟的电荷被称为实际电荷的镜像(Image)。 根据唯一性定理，只要镜像电荷与实际电荷一起产生的电位 能满足给定的边界条件，又在所求的区域内满足拉普拉斯方 程， 这个结果就是正确的。
使用镜像法时要注意以下三点： (1) (2) (3)导电体的表面是等位面。
第3章 边值问题的解法
3.3.1 点电荷与平面边界 在无限大导电平面上方d处有一点电荷，则导电平面对点
电荷的影响可以用置于导电平面下方的镜像电荷－q来代替， 如图3-1所示， 空间任一点P(x, y, z)
q (1－1) 4π0 r1 r2
• )
dV
S
dS
n
因为 2 =0，
(3-2-2)
() 2dV dS
V
S n
(3-2-3)
1 2 两个
解，由于拉普拉斯方程是线性的，两个解的差 1－2
也满足方程 2 0 ， 因此有
() 2dV dS
V
S n
(3-2-4)
第3章 边值问题的解法
在边界S上，电位 1 S 2 S 3 S ， 所以 在边界S上的
第3章 边值问题的解法
第3章 边值问题的解法
3.1 边值问题的提法 3.2 唯一性定理 3.3 镜像法 3.4 分离变量法 3.5 有限差分法 习题
第3章 边值问题的解法
3.1 边值问题的提法
所谓边值问题，就是在给定边界条件下如何求解电场或电 位函数所满足的方程。就边界条件而言，不同的问题有不同的 给定方式，通常可以分为三类；而要求解的方程对于静电场或 恒定电场问题通常是电位函数满足的方程。因此下面首先来讨 论边界条件的分类和电位函数应满足的方程。 3.1.1 边值问题的分类
导数就不能再任意给定了，反之亦然。
第3章 边值问题的解法
3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程 在线性、各向同性、均匀的电介质中，将式(2-1-16)代入式
(2-2-9)
2 － V
(3-1-5)
式(3-1-5)称为静电场的泊松方程(Poisson’s Equation)，它表示求
解区域的电位分布取决于当地的电荷分布。
在静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯
(Uniqueness Theorem)。 下面用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程
的解是唯一的。 考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第一定理：
V
(2
•
)
dV
S
n
dS
(3-2-1)
第3章 边值问题的解法
令上式中ψ=φ= ，
V
(2
位函数满足 0 的边界条件。根据唯一性定理，式(3-3-1) z0
第3章 边值问题的解法
唯一性定理给出了拉普拉斯方程(或泊松方程)定解的充分 必要条件，这个定理启发我们， 在解拉普拉斯方程(或泊松方 程)的时候，不管采用什么方法，只要能找到一个既能满足给 定的边界条件，又能满足拉普拉斯方程(或泊松方程)的电位函 数，则这个解就是正确的。任何一种方法求得的同一问题的解 必然是完全相同的。下面介绍的镜像法和分离变量法就是唯一 性定理的应用。
如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界 条件。对于电荷分布在有限区域的情况，则在无限远处电位为 有限值，即
limr 有限值
r
式(3-1-4)称为自然边界条件。
(3-1-4)
必须指出，如果给定边界上的电位，则该给定边界上的法
向导数也就确定。因为在任意边界上，它的电位和它上面的电
荷密度是相互制约的，若给定了边界上的电位后，电位的法向
第3章 边值问题的解法
3.3
镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯 一性定理，使某些看来难解的边值问题易于解决。
当实际电荷(或电荷分布)靠近导体表面时，由于导体表面 上出现感应电荷，必然会对实际电荷的场产生影响。例如地球 对架空传输线所产生电场的影响就不可忽略。类似的，发射或 接收天线的场分布会因支撑它们的金属导电体的出现而显著地 改变。也就是说，为了计算空间的场，不仅要考虑原电荷的电 场，还要考虑感应电荷产生的电场，这就必须知道导体表面的 电荷分布。但是要直接分析这些问题往往是复杂而困难的。
q(
1
－
4π0 x2 y2 (z－d )2
1
)
x2 y2 (z d)2
(3-3-1)
第3章 边值问题的解法
图3-1 平面边界上的点电荷与其镜像
第3章 边值问题的解法
下面来验证解的正确性。
在上半平面(除点电荷所在的点外)均满
足拉普拉斯方程，即 2 0 ，而在边界上(z=0的平面)，电