极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略

极坐标与参数方程高考常见题型及解题策略

【考纲要求】

（1）坐标系

①了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

②了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

③能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。

④了解参数方程，了解参数的意义。能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。

⑤能选择适当的参数写出直线，圆和椭圆的参数方程。了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解他们的区别。

（2）参数方程

①了解参数方程，了解参数的意义

②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。

③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。

④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨迹中的作用。

【热门考点】

高考题中这一部分主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程。冷点是推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，摆线在实际中的应用，摆线在表示行星运动轨道中的作用。涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用。多以选做题形式出现，以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档题。

【常见题型】

知识块 能力层次 知识点 11年 12年 13年 14年 备注 十八、坐标系与参数方程

理解 54．坐标系 23 23 23 23 理解

55．参数方程

23

23

23

23

一．极坐标方程与直角坐标方程的互化

例 1.（2011新课标1，第23题）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为

2cos 22sin x a

y a

=⎧⎨

=+⎩ (σ为参数)M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C 。 (1)求2C 的方程；

(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

π

θ=与1C 的异于极点的

交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB . 【解析】：(1)设),(y x P ，则由条件知)2

,2(y

x M ．

由于M 点在1C 上，所以2cos ,2

22sin ,2

x

a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即4cos ,44sin ,x a y a =⎧⎨=+⎩

从而2C 的参数方程为4cos ,

44sin ,x a y a =⎧⎨=+⎩

(σ为参数)

（2）曲线1C 的极坐标方程为θρsin 4=，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 8=。射线

3

π

θ=

与1C 的交点A 的极径为3

sin

41π

ρ=，射线3

π

θ=

与2C 的交点B 的极径为

3

sin

82π

ρ=，所以3221=-=

ρρAB 。

例2. （2013新课标1，第23题）已知曲线1C 的参数方程为45cos ,

55sin x t y t

=+⎧⎨

=+⎩(t 为参数)，

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为

θρsin 2=。

(1)把1C 的参数方程化为极坐标方程；

(2)求1C 与2C 交点的极坐标(πθ≤≤≥0,0t )． 【解析】（1）将⎩⎨

⎧+=+=t

y t x sin 54cos 54消去参数t ，化为普通方程25)5()4(2

2=-+-y x ，

即016108:2

21=+--+y x y x C 。将⎩⎨

⎧==θ

ρθ

ρsin cos y x 代入上式得1C 的极坐标方程：

016sin 10cos 82=+--θρθρρ。

（2）2C 的普通方程为022

2

=-+y y x 。由⎩

⎨⎧=-+=+--+020161082

222y y x y x y x 得：⎩⎨⎧==11

y x 或⎩⎨

⎧==2

0y x 。所以1C 与2C 交点的极坐标分别为)2,2(),4,2(π

π。

二．参数方程与直角坐标方程的互化

例 3.（2010新课标1第23题）已知直线⎩⎨

⎧=+=α

α

sin cos 1:1t y t x C (t 为参数)，圆2C ：

cos sin x y θ

θ

=⎧⎨

=⎩ (θ为参数)． (1)当α＝

3

π

时，求1C 与2C 的交点坐标； (2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 【解析】（1）当α＝

3

π

时，1C

的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为2

2

1x y +=

。联立方程组221)

1

y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1C 与2C 的交点为（1,0）)23,21(-。 （2）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=。A 点坐标为(

)2

sin

cos sin ααα-，