第2章第5节微分
第二章 导数与微分
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算， 即
已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正 可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义， 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
第二章流体静力学本章研究流体在静止状态下的力学规律。静止：1
第二章 流体静力学本章研究流体在静止状态下的力学规律。
静止：1、流体整体对于地球没有相对运动的叫绝对静止；2、整体相对于地球有相对运动，而流体各质点没有相对运动，称为相对静止。
第1节、作用在流体上的力作用在流体上的力可分为质量力和表面力两类。
一、质量力：作用在流体的每一个质点上，大小与流体M 成正比，对于均质流体与体积V 也成正比。
最常见两类：重力等由于力场引起的惯性力：直线加速运动：达朗伯尔力曲线运动：离心力单位质量的质量力称为单位质量力，常用它来衡量质量力的大小。
设,,x y F F F z 分别表示质量力F v 在x ，y ，z 三轴上的分量，而用X ，Y ，Z 分别表示单位质量力在三坐标轴上的投影，则x x y y z z F F X M V F F Y M V F F Z M V ρρρ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩设流体只受重力作用，设z 轴铅直向上，则00X Y Mg Z g M⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=−=−⎩ 即单位质量力在数值上就等于加速度，并与加速度量纲相同。
二、表面力：作用在所取流体分离体的表面上的力，并与受作用的流体表面积成比例，单位表面积上的表面力称为应力。
按表面力作用在表面上的方向不同：法向力：与表面法线方向一致切向力：沿表面切线方向作用在上的平均法向应力和平均切向应力分别表示为：SΔ图2-1 作用在流体上的力nn n FP S F SττΔ⎧=⎪⎪Δ⎨Δ⎪=⎪Δ⎩S Δ趋于0（向A 点）并取极限，则可得流体由A 点处的法向应力和切向应力为：lim lim n nS S F dF P S dSF dF S dSτττΔ→∞Δ→∞Δ⎧==⎪⎪Δ⎨Δ⎪==⎪Δ⎩τ是由于流体的粘性和流体具有相对运动而产生的，流体处于静止时，切向应力不再存在，流体表面上就只有法向力，又因流体不能承受拉力，所以法向应力只能指向流体表面的内法线方向，即为流体的静压强。
第二节、流体静压强及其特性流体静压强有两个特性：1、流体静压强的方向垂直于作用面并指向流体内部；2、平衡流体中任意点处的静压强的大小与其作用面的方位无关，只是该点位置坐标的函数，即p=f （x ，y ，z ）。
数学一复习计划
总结归纳第四、五章中的知识点, 整理并创建四、五章中的难题、错题题库
高等数学 第六章 定积分的应用
天数
学习章节
习题章节
练习题目
备注
第一天
第 6 章第 1 节
——
——
元素法
第 6 章 第 2 节
习题6—2
1(1)(4),2(1),4,5(1),9,12,15(1) (3) ,16,19,21
求平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形）旋转体的体积及侧面积 平行截面面积为已知的立体的体积平面曲线的弧长
第五天
总结归纳第二章中的知识点, 整理并创建本章中的难题、错题题库
高等数学 第三章 微分中值定理与导数的应用
天数
学习章节
习题章节
练习题目
备注
第一天
第 3 章 第 1 节
习题3－1
6,8,11(1),12,15
费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义 构造辅助函数
第二天
第 3 章第 2 节
第 1 章 第 7 节
习题1－7
1,2,3(1),4(3) (4)
无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶无穷小）及其应用 一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法
第五天
第 1 章 第 8 节
习题1－8
3(4),4,5
函数的连续性, 函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点） 判断函数的连续性和间断点的类型
第二天
第 6 章第 3 节
习题6—3
5,11
用定积分求功、水压力、引力
第三天
第 6章总复习六
总复习题六
2,3,5
(完整word版)高等数学D
高等数学D(一)一、内容第一章函数与极限第一节：函数要求：理解函数的概念、会求函数的定义域和函数值。
了解函数的几种特性。
了解反函数、分段函数、复合函数和初等函数的概念，会求反函数。
掌握16个函数及一些常见函数的图形。
第二节：数列的极限第三节：函数的极限要求：理解数列与函数极限的概念。
理解左、右极限的概念、以及极限存在与左右极限之间的关系。
第四节：无穷小与无穷大要求：理解无穷小与无穷大的概念及两者的关系，理解无穷小的性质。
第五节：极限运算法则要求：掌握极限的四则运算法则。
了解复合函数的极限运算法则。
第六节：极限存在准则，两个重要极限要求：会用两个重要极限求极限。
第七节：无穷小的比较要求：了解无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
第八节：函数的连续性第九节：闭区间上连续函数的性质要求：理解函数在点x0处连续与间断点的概念。
了解初等函数的连续性。
理解闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理）。
第二章导数与微分第一节：导数概念要求：理解可导与导数的概念及导数的表达式。
理解左导数与右导数的概念。
掌握导数的几何意义（含曲线的切线方程与法线方程）。
掌握函数可导性与连续性的关系。
第二节：函数的和、积、商的求导法则要求：记16个函数的求导公式及函数的和、差、积、商的求导法则。
第三节：反函数和复合函数的求导法则要求：掌握复合函数的求导法则。
第四节：高阶导数要求：会求高阶导数。
第五节：隐含数的导数及由参数方程所确定的函数的导数要求：会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数。
第六节：函数的微分要求：了解可微与微分的概念。
掌握函数的一阶微分。
第三章中值定理与导数的应用第一节：中值定理要求：熟悉罗尔定理、拉格朗日中值定理的内容。
第二节：洛必达法则要求：会用洛必达法则求未定式的极限。
第四节：函数的单调性与曲线的凹凸性要求：掌握用导数判定函数的单调性及曲线的凹凸性的方法。
会求曲线的拐点。
会用函数的单调性证明简单的不等式。
流体力学讲义 第二章 流体静力学
第二章流体静力学作用在流体上的力有面积力与质量力。
静止流体中，面积力只有压应力——压强。
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等。
第一节作用于流体上的力一、分类1.按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。
2.按作用方式分：质量力和面积力。
二、质量力1.质量力(mass force):是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
对于均质流体（各点密度相同的流体），质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
单位牛顿（N）。
2.单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。
(2-1) 单位质量力的单位：m/s2 ，与加速度单位一致。
最常见的质量力有：重力、惯性力。
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所受的单位质量力f水和f水银的大小？A. f水<f水银；B. f水=f水银；C. f水>f水银；D、不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液体所受的单位质量力大小（fX. fY. fZ）分别为多少？自由落体：X＝Y=0,Z=0。
加速运动：X=-a,Y=0,Z=-g。
三、面积力1.面积力（surface force）：又称表面力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面面积成正比。
表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2.应力：单位面积上的表面力，单位：或图2-1压强(2-2)切应力(2-3) 考考你1.静止的流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，无法承受剪切力。
2.理想流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。
第二节流体静压强特性一、静止流体中任一点应力的特性1.静止流体表面应力只能是压应力或压强，且静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
第二章导数与微分
第二章导数与微分一、教学目标与基本要求1.理解函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义；了解导函数与函数在一点的导数的区别和联系；会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在；了解导数的几何意义及平面曲线的切线和法线的求法。
2.掌握常数、基本初等函数及双曲函数与反双曲函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。
3.理解高阶导数定义；掌握两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式；综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数高阶导数。
4.理解隐函数定义并会求隐函数的一阶、二阶导数；掌握反函数的求导法则。
5.掌握参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式；会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数。
6.理解微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系；掌握基本初等函数的微分公式；理解微分形式的不变性；了解微分在近似计算及误差估计中的应用。
7.理解函数在一点处可导、可微和连续之间的关系。
二、教学内容与学时分配第一节导数的概念，计划3.5学时；第二节函数的和、差、积、商的求导法则，计划1.5学时；第三节反函数的导数、复合函数的求导法则，计划3.5学时；第四节初等函数的导数问题，计划1学时；第五节高阶导数，计划2.5学时；第六节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数，计划3.5学时；第七节函数的微分，计划2.5学时；第八节微分在近似计算中的应用，计划1.5学时；共计20学时。
三、重点与难点1.导数的概念与几何意义及物理意义；2.可导与连续的关系；3.导数的运算法则与基本求导公式；4.微分的概念与微分的运算法则；5.可微与可导的关系。
四、内容的深化与拓宽1.导数概念的深刻背景2.复合函数的求导法则的应用3.综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数的高阶导数。
应用高等数学第2章 微分学及其应用
7
例2-1 求函数y=c(c为常数)的导数.
8
例2-2 求函数y=sinx的导数.
9
三、函数可导性与连续性的关系 x0 定理2-1 若函数y=f(x)在点x0可导，则f(x)在点 .
例2-3 证明函数
在点x=0连续，但不可导.
10
图2-3
11
四、曲线的切线与法线 根据导数的几何意义，如果函数y=f(x)在点x0 可导，则曲线y=f(x)在点M0（x0，y0）处的切线方 程为
33
图2-4
34
三、微分的运算 由导数运算法则可推出微分的运算法则：
35
例2-26 已知y=lnsin(2x+1)，求dy.
36
四、由参数方程所确定的函数的导数 前面研究的都是形如y=f(x)的函数关系.但在某 些情况下，函数y与自变量x的函数关系是通过第3 个变量（叫做参变量）给出的，如方程
19
例2-10
已知
解 因为y=ax与x=logay互为反函数，由反函数 求导法，得
20
定理2-4 如果u=φ(x)在点x处有导数
函数y=f(u)在对应点u处有导数 则复合函数y=f［φ(x)］在点x处有导数，并且
21
例2-11 已知y=sin2x，求
解 y=sin2x由y=sinu,u=2x复合而成.
2
图2-1
3
2 设曲线L的方程为y=f(x)，求此曲线上点M0处 切线的斜率K（见图2-2）.
图2-2
4
二、导数定义 求瞬时速度与切线斜率这两个问题，在数学上 共同地被表示为一个函数在某点的增量与自变量增 量比的极限.除了这两个在历史上与导数概念形成 有着密切关系的问题外，在科学和工程技术领域中 还有大量类似的问题.例如：物理学中的电流强度 ，化学中的反应速度等等，都可以用增量比的极限 来描述，这就是我们要引入的导数.
第二章第5节函数的微分22042
切线M 段可 P 近似代替M 曲N.线段
9
五、微分的求法
d yf(x)dx
求法 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
例4 yearcta1nx2,求dy. 解 dyearct1axn2d(arc1 t axn 2)
earct1 ax2 n
1 d1x2
1( 1x2)2
earc1 txa 2n 2 1 x221 1 x2d(1x2)
xea rct a n1x2
dx.
(x2 2) 1 x2
14
例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
cx o ( 3 s e 1 3 x )d e x 1 3 x ( sx i)d nx
e 1 3 x(3 co x s six )n d.x
12
六、微分形式的不变性
设y 函 f(x )有 数 f导 (x ), 数 (1)若 x是自,变 d yf量 (x)d时 ;x (2)若x是中间变 , 即量为时另一 t的变 可量 微函x数 (t),则 d yf(x) (t)d,t
19
例2 计算下列各数的近似值. (1 )39.5 9 ; 8 (2 )e 0 .0.3
解 (1 )39.9 5 8 3101 0 .50 3 100(01 1.5 ) 13010.0015 1000 10(110.001) 59.99. 5 3
(2)e0.0310.03 0.9.7
第五节 二阶常系数线性微分方程
(C ) C1 y1 C 2 y 2 ( 1 C1 C 2 ) y 3 ;
(89 考研 )
例3.已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 有三
x 2x y x , y e , y e , 求此方程满足初始条件 个解 1 2 3
第五节 二阶常系数线性 微分方程
二阶线性微分方程解的结构 常系数齐次线性微分方程的解 常系数非齐次线性微分方程的解
一、二阶线性微分方程解的结构 1、二阶线性微分方程
特点：关于未知函数及其各阶导数都是一次的. 1． n 阶线性微分方程的一般形式：
y
( n)
p1 ( x ) y
( n 1 )
y Y
y*
非齐次方程特解
对应齐次方程通解
关键: 求特解y*.
求特解的方法 — 待定系数法： 1. 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式；
2. 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
1、
f ( x ) e λ x Pm ( x ) 型
其中 为实数 ,
Pm ( x ) 为已知 m 次多项式 .
有特征重根：r1 r2 1 ,
t s ( C C t ) e 因此原方程的通解为 1 2
利用初始条件得
C1 4,
C2 2
于是所求初值问题的解为
例3. 求方程 y 2 y 5 y 0 的通解.
解： 特征方程为 r 2r 5 0 ,
2
2 4 20 1 2i , r1， 2 2 故所求通解为 y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
第二章多元函数微分法及其应用第二节偏导数与全微分
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序.
- 21 -
第二节 偏导数与全微分
二 全微分
1 全微分的定义
第
八 函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y)的某邻域内有定义，
章并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意一点，则
多
元称这两点的函数值之差
u x
ye xy yz2
元 函 数 的
2u xy
e xy
xye xy z2
微 分 法 及
2u 0 2 yz 2 yz xz
其
应
用
- 20 -
第二节 偏导数与全微分
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
第 定理. 若 fx y ( x,y)和 f y x ( x,y)都在点( x0 , y0 )连续, 则
dx
f ( x, y0 )
x
x0
z
M0
元 函 数 的
是曲线
z
f (x, y y0
y)在点
M0 处的切线
Tx
微 分
M 0Tx
对 x 轴的斜率.
o
Ty
y0
y
法 及 其 应
f
d
y
x x0 y y
0
dy
f ( x0, y)
y
y0
x0
x
用 是曲线
在点M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的
分 法
fz(x, y,z) ?
及
其
应
用
x x
x
x
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分第一节 导数概念习题2.11、设26)(x x f =，试按定义求)1(-'f2、证明x x sin )(cos -='3、下列各题中均假定)(0x f '存在，按导数的定义观察下列极限，并指出a 表示什么：（1）a xx f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim 000（2）a xx f x =→)(lim，其中0)0(=f ，且)0(f '存在。
（3）a hh x f h x f h =-+--→)()(lim0004、求下列函数的导数：（1）52x y = （2）53x y =（3）4.2x y = （4）xy 2=（5）31xy = （6）35x x y ⋅=（7）3533xxx y ⋅=5、已知物体的运动规律为3t s =(m)，求这物体在2=t 秒(s)时的速度。
6、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '0=。
7、求曲线x y sin =在具在下列横坐标的各点处切线的斜率： π32=x ，π=x8、求曲线x y cos =上点)21,3(π处的切线方程和法线方程。
9、求曲线2x e y =在点)1,0(处的切线方程和法线方程。
10、在抛物线2x y =上取横坐标为11=x 及2x 3=的两点，作过这两点的割线。
问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？11、讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性： （1）x y sin =；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 3x x xx y ； （3）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin x x xx y 。
12、设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(3x b ax x x x f为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，b a ,应取什么值？13、已知)(x f =⎩⎨⎧<-≥0,0,3x x x x ，求)0(+'f 及)0(-'f ，又)0(f '是否存在？14、已知⎩⎨⎧≥<0,0,sin 2x x x x ，)(x f '15、证明：双曲线2a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。
第二章第五节 函数的微分
高等数学
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+∆x时, ∆y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 自变量的微分, ∆y = ∆x = dx 称∆x为 自变量的微分 记作 dx dy = f ′(x) 导数也叫作微商 则有 dy = f ′(x) dx 从而 dx
高等数学
§2.5函数的微分 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
高等数学
一、微分的概念 引例: 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A= x2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆x 时, 面积的增量为 (∆x)2 x0∆x ∆x 关于△x 的 ∆x →0时为 线性主部 高阶无穷小 故 称为函数在 x0 的微分
高等数学
2、 微分的四则运算法则 、 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
= du ± dv = vdu + udv
3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
= f ′(u) ϕ′(x) dx dy = f ′(u) du
du
微分形式不变
高等数学
若y=f(u), u=j(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. y =ln(1+ex2 ) , 求 dy. 解 dy =d ln(1+ex2 ) = 1 2 d(1+ex2 ) 1+ex 1 ⋅ex2d(x2) = 1 ⋅ex2 ⋅2xdx = 2xex2 dx = . x2 x2 x2 1+e 1+e 1+e
2-5第五节 函 数 的 微 分
高 等 数 学 电 子 教 案
定理 由于f ’(x)和△ x 无关,且 α ∆x = ο (∆x) 所以上式相当(1)式, f(x)在点x0可微.且 f ′( x0 ) = A 上面表示可微 可导
函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是f(x)在点x0 可导,且 dy | x = x0 = f ′( x0 ) ∆x
1− 2 x 2 1− 2 x 2
解: 将1-2x2看成中间变量u
dy = e d (1 − 2 x ) = − 4 xe
2
dx
y ′ = − 4 xe x
例5
解 :
1− 2 x 2
2
y = f [φ ( x 2 ) + ψ 求函数的微分
( x )]
已知 f 可导 .
y = f [φ ( x 2 ) + ψ
′ ′ ′ dy = y ′ dx = y u ⋅ u ′ dx = y u du → dy = y u du x x
对照 dy=yx’dx, 公式dy=yu’du 说明不论u是自变量还是中
学 数
间变量,函数微分的形式是完全一样的,此即称为微分形式 不变性质.
高 等 数 学 电 子 教 案
例4
利用函数微分的不变性,求函数y=e1-2x2的微分和导数
∆y = A∆x + o(∆x) → ∆y o(∆x) = A+ ∆x ∆x
所以,f(x)在点x0可导,且A=f‘(x0). (2) 可导也可推出可微 如果y=f(x)在点x0可导,即有 由极限和无穷小的关系,得到
∆y lim = f ′( x0 ) = A ∆ x → 0 ∆x
学 数
∆y = f ′( x0 ) + α ( lim α = 0) ∴ ∆y = f ′( x)∆x + α∆x ∆x → 0 ∆x
第2章第5节信号流图和梅逊公式
+ G1 (s)G2 (s)G7 (s)[1 + G4 (s)G8 (s)]}/[1 + G4 (s)G8 (s) + G2 (s)G7 (s)G9 (s) + G4 (s)G5 (s)G6 (s)G9 (s) + G2 (s)G3 (s)G4 (s)G5 (s)G9 (s) + G2 (s)G4 (s)G7 (s)G8 (s)G9 (s)]
增益
x1
节点
J.Z. Xiao, CEIE, HBU
a 21
支路
x2
节点
x2 = a21 x1
3
一、由线性方程组绘制信号流图
例2-12
设一线性系统由下列方程组描述
x 2 = a 21 x1 + a 23 x3 + a 24 x 4 + a 25 x5
x3 = a32 x 2
x 4 = a 43 x3 + a 44 x 4
∆(s) = 1 − N1 (s) + N 2 (s) − N 3 (s) + L
N 2 ( s) = L1 ( s) L2 ( s)
= 1 + G4 (s)G8 (s) + G2 (s)G7 (s)G9 (s) + G4 (s)G5 (s)G6 (s)G9 (s) + G2 (s)G3 (s)G4 (s)G5 (s)G9 (s) + G2 (s)G4 (s)G7 (s)G8 (s)G9 (s)
11
L3 = G6 ( s )G4 ( s )G5 ( s )(−G9 ( s ))
J.Z. G7 G3 G4 －G8 G5
L2
C(s)
G1
G2
第二节 导数的求导法则、求导
主
页 后退 目录
退
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
出
2020年5月2日6时21分
23
第二节 导数的运算
高阶导数的计算
本节
知识
引入 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
本节
目的 与要
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
求
本节 重点 与难
1 2x2
19
第二节 导数的运算
本节 知识
例13 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
引入
本节
目的 与要
解
求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1) dx
10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
主 页 后退 目录 退 出
点
本节 复习
解
y ln u, u sin x.
指导
dy dy du 1 cos x cos x cot x
dx du dx u
sin x
主
页
后退 目录
退
出
2020年5月2日6时21分
15
复合函数的导数
设复合函数y=f[g(x)]关于x可导，则 y f [g(x)]• g(x)
2
第二章 导数与微分
前言
• 本节预备 知识
求函数的导数的方法叫微分法。
• 本节目的
与要求
微分法是指运用求导数的基本法则和基本
本节重点 初等函数的导数公式，求出初等函数导数 与难点 的方法。
本节复习
指导 • 因此我们将要建立最基本的一组求导数的
5(5)二阶微分方程
线 无 的 1(x)与y2 (x)称 方 L[ y] = 0 性 关 y 为 程
的基础解系.
15
二阶微分方程
线性方程的通解, 为了求 齐次 线性方程的通解 只要求它的两个线性无关的特解. 只要求它的两个线性无关的特解 如 y ′′ + y = 0, y1 = cos x , y 2 = sin x , y2 , 且 = tan x ≠ 常数 通解 y = C1 cos x + C2 sin x. y1
2
3
二阶微分方程
例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . 解: 设电路中电流为 i(t), 极板上 R 的电量为 q(t) 自感电动势为 EL , , 由电学知
‖ +q q Q 根据回路电压定律: 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 di q E L Ri = 0 dt C
如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 2 di q d uC duC 2 E + 2β +ω0 uC = 0 L d t C Ri = 0 5 dt d t2
二阶微分方程
例1 例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
d y dy 形如 (x + Q( x) y = f ( x) 2 + P( x) dx dx
= C 1 cos x + C 2 sin x + x 2 2
非齐次方程的通解 方程的通解. 是非齐次方程的通解
22
二阶微分方程
定理5 定理5
(线性叠加原理2) (线性叠加原理2) 线性叠加原理
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一、微分的概念 二、微分的运算
第二章
三、复合函数的微分 一阶微分形式的不变性 四、微分在近似计算中的应用
1
一、微分的概念
引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其 边长由x0 变到 x0 x ,问此薄片面积 增加了多少? 设薄片边长为 x,面积 A x 2 , 当 x 在 x0 取 得增量 x时, 面积的增量
x
x0
x0 x
2 A x0
( x )
2
x 0时 为高阶无穷小
x0 x
称为函数 A x 2 在 x0 的微分
2
定义: 设
在点
x0
的增量
A x o( x ) 若 存在常数 A, 使 则称 y f ( x )在点 可微,
在点 x0 的微分: d y 在点 x0 处可微 在点 x0 处可导, 定理:
例1
已知
1 x
求
解：
所以
6
练习
d ( arctan e ) 1 x ? 2 x e ( 1) d x 1 e x e dx
x
1 e
2 x
sec x 1 d x dtan x ? 3 dsin x cos x d x cos x
2
7
例2: 解:
设
x arcsin t
注意: 数学中 的反问题 往往出现多值性.
2 ( )
2
sin
4
4
(
)
2 ) 4
2
(
2 2
2 sin( 4 2k ) 2
15
四、 微分在近似计算中的应用
y f ( x )在点 的微分 d y f ( x0 )x 表示 曲线 y f ( x ) 在点 处的切线上 纵坐标的增量 当 x 很小时,得近似等式: y d y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x
C 为常数
C u( x ) C d u( x ) v ( x )du( x ) u( x )dv ( x ) u( x ) 2 v( x ) [v( x ) ]
9
三、复合函数 的微分 一阶微分形式的不变性
的微分 的微分
d y f ( u)du,
则复合函数 的微分为 微分形式不变性
x2
2
11
例3. 设 解: 两边微分
求
d(
) d[
]
sin x d y ycos x d x sin( x y )(dx d y ) 0
[sin x sin( x y )]
[ y cos x sin( x y )]
y cos x sin( x y ) dy dx sin( x y ) sin x
y ln(1 t )
2
求
1
dy dx
d y 2t 2 dt 1 t
dx
1 t2
dt
dy dx
2 t 2 1 t 1 1 t2
2 t
1 t2
8
Байду номын сангаас
二、 微分的运算
设 u(x) , v(x) 都可微, 则
u( x ) v ( x ) d u( x ) d v ( x ) u( x )v ( x ) v ( x )du( x ) u( x )dv ( x )
d (cos x ) sin x d x d (sin x ) cos x d x d( ) sin ( x )d ( x ) cos d (sin ) cos ( x ) d ( x ) d (cos( x y )) d (sin ) cos( xy ) d( xy ) sin( x y )d( x y ) cos( xy ) ( y d x x d y ) sin( x y )(d x d10y )
R1
2
时体积的增量
4 R R R 1
R 0.01 R 0.01
0.13 (cm 3 )
因此每只球需用铜约为 8.9 0.13 1.16 ( g )
20
内容小结
1. 微分概念 微分的定义 及几何意义
可导 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : 可微
d y f ( u) du
当 x 0时 y 0, 由上式得 d y
1 dx 2
14
例4.在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 1 2 d( x C ) xdx (1) 2 1 (2) d( sin t C ) cos t d t
1 上述微分的反问题 说明 : (3) d( cos 2 x C ) sin 2 x d x 2 是不定积分 要研究的内容.
y y f ( x)
d y f ( x0 ) x tan x
y f ( x0 x ) f ( x0 )
f ( x 0 x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) x 令 x x0 x
y
o
dy
x0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
x x
1 x x
18
例5.
计算
的近似值 .
解:
2 ) 243 2 3(1 243 1 2 ) 3 (1 5 243
3.0048
(1 x ) 1 x
19
为了提高球面 例6. 有一批半径为1cm 的球, 的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为 0.01cm, 估计一下, 每只球需 用铜多少克 . 解: 球体体积为 镀铜体积为V 在
29 ) sin cos ( sin 29 sin 6 180 180 6
1 3 ( 0.0175) 2 2
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
17
x 0 ) f ( 0 x0 )( x x f ( x ) f (0 0 0) 特别当 x0 0 , x 很小时, f ( x ) f (0) f (0) x
x0 x x
使用原则: ; 1) f ( x0 ), f ( x0 ) 好算 16 2) x 与 x0 靠近 .
例4.求
的近似值 . 则
180
解: 设 f ( x ) sin x ,
sin x sin x0 cos x0 ( x x0 )
取
则 x x0
3
y f ( x )的微分 d y f ( x )d x x d f ( x ) f ( x )d
例如 d ( sin x) ( sin x) x cos x x 1 d (ln x) (ln x) x x x d x ( x) x dy 则有 d y f ( x ) d x 从而 d x f ( x ) 2 3 y x , d y 3 x dx 导数也叫作微商 1 dx y arctan x , d y 2 1 x y tan x , d y sec2 x d x 4
常用近似公式:
1x
f ( x ) (1 x ) 1 证明: 令 f ( x ) (1 x ) f (0) 1, f (0) 当 x 很小时, (1 x ) f (0) f (0) x 1 x
n b 设 a 0,且 a , 则 1 b b b n n n n a b a 1 n a (1 n ) a (1 n ) a a na
A x
即 d y f ( x 0 ) x
在点 设 处可导 证明 x 在点 x 00 设 处可微 y y o ( x )0 ) y ( lim lim f ( x0 ) 则 x 0 A x o( x ), lim lim ( A ) A x 0 则 x x x 0 x x 0 x y xx )即 , f (x 故 在点 x0 处可微 o( 0 ) x x 即 在点 处可导 0 d y f ( x ) x 且 0
基本初等函数的微分公式 (见 P107表)
d (C) 0 a d ( x ) ax a 1 d x
2
d( x )
1
2 x
dx
d ( x ) 2x d x x x d ( a ) a ln a d x d ( e x) e x d x
1 d (ln x ) dx x 1 dx d (arcsin x) 2 1 x d (sin x ) cos x d x 1 dx d (arccos x) d (cos x ) sin x d x 2 1 x 1 d (tan x ) sec2 x d x d (arctan x) 2dx 1 x 2 cot x d( ) csc x d x 1 d (arccot x) dx 2 d (sec x ) sec x tan x d x 1 x 5 d (csc x ) csc x cot x d x
12
练习1 已知 解： 两边微分
求
d(
) d(
)
y d x x d y
13
练习2
设
由方程 确定,
求
解: 两边微分,
3 x d x 3 y d y 3cos 3 xd x 6d y
2 2
dy
(3cos 3 x 3 x ) d x
2
3 y2 6
cos 3 x x 2 dx 2 y 2
dx f ( u) ( x )d x f ( u) du